ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 6, с.830-839
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 519.642.7+517.968.73
МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
ДЛЯ ПРИБЛИЖЁННОГО РЕШЕНИЯ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ПРИЛОЖЕНИИ К ДВУМЕРНЫМ
ЗАДАЧАМ ДИФРАКЦИИ
© 2021 г. Г. А. Расолько, В. М. Волков
Рассматривается математическая модель рассеяния H -поляризованных электромагнит-
ных волн на экране с криволинейной границей, основанная на сингулярном интегро-диф-
ференциальном уравнении с ядром Коши и логарифмической особенностью. Подынте-
гральные выражения содержат как искомую функцию, так и её первую производную. Для
численного анализа данной модели построены две вычислительные схемы, основанные на
представлении искомой функции в виде линейной комбинации ортогональных многочленов
Чебышёва и спектральных соотношениях, позволяющих получить простые аналитические
выражения для сингулярной составляющей уравнения. Коэффициенты разложения реше-
ния по базису полиномов Чебышёва вычисляются как решение соответствующей системы
линейных алгебраических уравнений. Результаты численных экспериментов показывают,
что на сетке из 20-30 узлов погрешность приближённого решения не превышает вычисли-
тельной погрешности.
DOI: 10.31857/S0374064121060091
Введение. Аппарат сингулярных интегральных уравнений (СИУ) широко используется
при решении задач аэродинамики, дифракции и в разных областях естествознания. Точность
приближённого численного решения интегральных уравнений во многом определяется спосо-
бом их дискретизации, т.е. выбором квадратурных формул, базисных функций и узлов ап-
проксимации, с помощью которых исходная задача сводится при численном интегрировании
к системе линейных алгебраических уравнений приемлемой размерности и обусловленности.
Для сингулярных интегральных уравнений вследствие наличия особенностей в подынтеграль-
ных функциях требуется максимально учитывать специфику задачи.
Данная работа является продолжением исследований [1-4], посвящённых разработке вы-
числительных схем приближённого решения сингулярных интегро-дифференциальных урав-
нений методом ортогональных многочленов.
1. Постановка задачи. Математическое описание задачи рассеяния H-поляризованных
электромагнитных волн экраном с криволинейной границей сводится к решению интегро-диф-
ференциального уравнения вида (см. [5, с. 87])
1
1
1
∫
∫
∫
1
ϕ′(t)
1
1
dt +
M (x, t)ϕ(t) ln |t - x| dt +
ϕ(t)K(x, t) dt = f(x),
-1 < x < 1.
(1)
π
t-x
π
π
−1
-1
-1
Здесь M(x, t), K(x, t) и f(x) - заданные функции из класса Гёльдера Hα,
0 < α ≤ 1,
и ϕ(x) ∈ Hα - искомая функция. В монографии [5, с. 67] отмечено, что решение данного
уравнения существует и единственно при выполнении условий
ϕ(-1) = ϕ(1) = 0
(2)
и искомая функция представима в виде
√
ϕ(x) =
1 - x2 v(x),
(3)
где v(x) - функция, ограниченная на отрезке x ∈ [-1, 1].
830
МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
831
Вычислительная схема, предложенная в [5, с. 85], основывается на интерполировании ис-
комого решения многочленом по узлам Чебышёва τm = cos θm, θm = mπ/(n + 1), m = 1, n,
и привлечении известных спектральных соотношений для интеграла
1
∫
1
Tk(t)
√
ln |t - x| dt = αkTk(x), k ∈ N
⋃ {0},
(4)
π
1-t2
−1
где α0 = - ln 2, αk = -1/k, k > 0, а Tk(x) - многочлены Чебышёва первого рода; как
известно, Tk(x) = cos(k arccos x) при x ∈ [-1, 1].
В данной работе предлагаются алгоритмы численного решения уравнения (1) методом ор-
тогональных многочленов, которые, в отличие от методики [5], построены на основе спектраль-
ных или квазиспектральных соотношений и позволяют получить приближённые аналитиче-
ские выражения для сингулярных интегралов, не прибегая к квадратурным формулам.
2. Предварительные сведения. Наряду с (4) будем использовать известные спектраль-
ные соотношения [6, с. 45]
1
∫
1
Tn(t)
dt
√
= Un-1(x),
-1 < x < 1, n ∈ N,
(5)
π
1-t2 t-x
−1
∫
1
√
1
dt
1 - t2Un-1(t)
= -Tn(x),
-1 < x < 1, n ∈ N,
(6)
π
t-x
−1
где Uk(x), k ∈ N
⋃{0}, - многочлены Чебышёва второго рода. Кроме приведённых, получим
некоторые дополнительные тождества, необходимые для построения эффективных алгорит-
мов численного решения поставленной задачи.
Для произвольной функции f(x), x ∈ [-1, 1], используем приближённое её представление
в виде интерполяционного многочлена по узлам Чебышёва первого рода [7, с. 104]
∑
f (x) ≈ fn(x) =
fjTj(x),
(7)
j=0
где
(
)
∑
∑
1
2
2k + 1
f0 =
f (xk), fj =
f (xk)Tj (xk), j = 1, n, xk = cos
π
,
k = 0,n.
n+1
n+1
2n + 2
k=0
k=0
Для разложения функции f(x) по многочленам Чебышёва второго рода воспользуемся в
представлении (7) известными тождествами [7, с. 23]
T0(x) = U0(x),
2T1(x) = U1(x),
2Tj (x) = Uj (x) - Uj-2(x), j ≥ 2.
В результате будем иметь
∑
fn(x) =
fjUj(x),
(8)
j=0
где
fj = Gj - Gj+2, j = 0,n - 2, fn-1 = Gn-1, fn = Gn,
(
)
∑
1
2k + 1
Gj =
f (xk)Tj (xk), j = 0, n, xk = cos
π
,
k = 0,n.
n+1
2n + 2
k=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
8∗
832
РАСОЛЬКО, ВОЛКОВ
Используя разложения (7) и (8), несложно построить следующий интерполяционный мно-
гочлен Ψn,n(x, t) функции двух переменных Ψ(x, t):
∑
∑
Ψ(x, t) ≈ Ψn,n(x, t) =
Tq(x)
Uj(t)ψq,j,
q=0
j=0
∑
∑
δq
ψq,j =
Tq(xl)
Ψ(xl, xr)(Tj (xr) - θjTj+2(xr)),
(n + 1)2
l=0
r=0
{
{
(
)
1, q = 0,
1, j = 0, n - 2,
2k + 1
δq =
θj =
xk = cos
π
,
k = 0,n.
(9)
2, q = 0,
0, j = n - 1, n,
2n + 2
3. Спектральные схемы решения задачи (1), (2). Рассмотрим две схемы численного
решения задачи (1), (2). Данные схемы основаны на представлении искомого решения в ви-
де интерполяционных полиномов Чебышёва и использовании соответствующих спектральных
соотношений вида (4)-(6).
3.1. В первой схеме приближённое решение задачи (1), (2) будем искать как решение сле-
дующей задачи относительно новой неизвестной функции ϕn(x):
∫
1
∫
1
1
ϕ′n(t)
1
dt +
Mn,n(x,t)ϕn(t)ln |t - x|dt +
π
t-x
π
−1
-1
1
∫
1
+
ϕn(t)Kn,n(x, t) dt = f3n+2(x),
|x| < 1, ϕn(-1) = ϕn(1) = 0,
(10)
π
−1
где Mn,n(x, t) и Kn,n(x, t) - интерполяционные многочлены вида (9) степени n для функций
M (x, t) и K(x, t) соответственно, f3n+2(x) - интерполяционный многочлен функции f(x)
вида (8) степени 3n + 2. Отметим, что, согласно [5, с. 67], уравнение (10) разрешимо.
Чтобы получить явное выражение для функции ϕn(x), поступим следующим образом.
Введём вспомогательную функцию
1
∫
1
ϕ′n(t)
vn(x) =
dt.
(11)
π
t-x
−1
Тогда, выполнив обращение интеграла (11) в классе неограниченных функций, получим
∫
1
√
1
1
1 - t2vn(t)
c
ϕ′n(x) = -√
dt +
√
1-x2 π
t-x
1-x2
−1
Далее, учитывая, что ϕn(-1) = 0, приходим к выражению
x
1
∫x
∫
∫
)
√
1
(1
vn(t)
c
ϕn(x) = ϕn(τ) dτ = -
√
1-t2
dt +
√
dτ =
1-τ2
π
t-τ
1-τ
2
-1
-1
−1
1
∫
1
=
H(x, t)vn(t) dt + μ(x), μ(x) = c(arcsin x + π/2),
(12)
π
−1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
833
где
∫
x
(
)
√
1
dτ
H(x, t) = -
1-t2
√
=
1-τ2 t-τ
-1
(
√
√
)
√
√
√
2
1
1 - xt +
1-x2
1-t
1 - xt +
1-x2
1-t2
=-
1-t2
√
ln
= -ln
1-t2
|t - x|
|t - x|
Учитывая тождество H(-1, t) = H(1, t), находим, что c = 0. Функция H(x, t), очевидно,
является симметрической и неположительной, и кроме того, имеют место оценки
(
(
)-1)
θ+σ
θ-σ
H(x, t) = H(cos θ, cos σ) = - ln
(1 - cos(θ + σ))
2sin
in
=
s
2
2
(
)
θ+σ
θ-σ-1
= -ln sin
in
≤ 0,
0 < σ, θ ≤ π,
s
2
2
1
1
x
∫
∫
∫
(
)
√
√
1
1
1
dτ
2
|H(x, t)| dt =
1-t
√
dt =
1 - x2 ≤ 1.
π
π
1-τ2 t-τ
−1
-1
-1
Для вспомогательной функции (11) используем разложение
∑
vn(x) =
ckUk(x),
(13)
k=0
ck, k = 0,n, - пока неизвестные постоянные. Из (12) и (13) следует, что
√
∑
1
ϕn(x) = -
1-x2
(14)
ck k + 1Uk(x),
k=0
так как
∫x
∫
1
)
√
1
(1
vn(t)
ϕn(x) = -
√
1-t2
dt dτ =
1-τ2
π
t-τ
-1
−1
∫
1
)
∫
x
∑ ∫x
√
∑
∑
1
(1
Uk(t)
1
=- ck
√
1-t2
dt dτ =
ck
√
Tk+1(τ)dτ =
ckAk(x),
1-τ2
π
t-τ
1-τ2
k=0
k=0
k=0
-1
-1
-1
где
∫x
√
2
Tk+1(τ)
1
1-x
Ak(x) =
√
dτ = -
sin((k + 1) arccos(x)) = -
Uk(x), k ≥ 0.
1-τ2
k+1
k+1
−1
Далее, введём обозначения
1
∫
1
I(ϕn; x) =
Mn,n(x,t)ϕn(t)ln |t - x|dt,
(15)
π
−1
1
∫
1
k(ϕn; x) =
ϕn(t)Kn,n(x, t) dt.
(16)
π
−1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
834
РАСОЛЬКО, ВОЛКОВ
Уравнение (10) с учётом разложения (13) и обозначений (15), (16) принимает вид
vn(x) + I(ϕn;x) + k(ϕn;x) = f3n+2(x).
(17)
Воспользовавшись представлением (14), преобразуем слагаемые (15) и (16) в равенстве (17).
Для интеграла I(ϕn; x) имеем
1
∫
1
I(ϕn; x) =
ϕn(t)Mn,n(x, t) ln |t - x| dt =
π
-1
∫
1
√
∑
∑
1
ck
=
1-t2
βkckUk(t)Mn,n(x,t)ln |t - x|dt = -
Jk(x),
(18)
π
k+1
k=0
k=0
−1
где
1
∫
√
1
Jk(x) =
1 - t2Mn,n(x,t)Uk(t)ln|t - x|dt.
(19)
π
−1
Запишем для функции M(x, t) её интерполяционный многочлен Mn,n(x, t) вида (9):
∑
∑
Mn,n(x,t) =
Tq(x)
Uj(t)mq,j,
q=0
j=0
∑
∑
δq
mq,j =
Tq(xl)
M (xl, xr)(Tj (xr) - θjTj+2(xr)),
(20)
(n + 1)2
l=0
r=0
где δq, θj и xk, k = 0, n, - те же, что в (9). Тогда функция (19) примет вид
1
∫
∑
∑
√
∑
∑
1
Jk(x) =
Tq(x)
mq,j
1 - t2Uk(t)Uj(t)ln|t - x|dt =
Tq(x)
mq,jLk,j(x),
(21)
π
q=0
j=0
q=0
j=0
-1
здесь
1
∫
√
1
Lk,j(x) =
1 - t2Uk(t)Uj(t)ln|t - x|dt.
π
-1
Учитывая тождество
√
T|k-j|(t) - Tk+j+2(t)
1 - t2Uk(t)Uj(t) =
√
2
1-t2
и спектральные соотношения (4), для функции Lk,j(x) получаем представление
1
∫
1
T|k-j|(t) - Tk+j+2(t)
1
Lk,j(x) =
√
ln |t - x| dt =
(α|k-j|T|k-j|(x) - αk+j+2Tk+j+2(x)),
2π
1-t2
2
−1
и тогда из (21) следует, что
∑
∑
1
Jk(x) =
Tq(x)
mq,j
Sk,j(x), Sk,j(x) = (α|k-j|T|k-j|(x) - αk+j+2Tk+j+2(x)).
(22)
2
q=0
j=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
835
Вследствие тождества (22) представление (18) принимает вид
∑
∑
∑
1
ck
I(ϕn; x) = -
Tq(x)
mq,jSk,j(x).
2
k+1
k=0
q=0
j=0
Аналогичным образом получим представление интеграла (16), используя интерполяцион-
ный многочлен Kn,n(x, t) вида (9) для функции K(x, t):
∑
∑
Kn,n(x,t) =
Tq(x)
Uj(t)kq,j,
q=0
j=0
∑
∑
δq
kq,j =
Tq(xl)
K(xl, xr)(Tj (xr) - θjTj+2(xr)),
(23)
(n + 1)2
l=0
r=0
где δq, θj и xk, k = 0, n, - те же, что в (9).
С учётом представления (23) и свойства ортогональности многочленов Чебышёва второго
рода выражение (16) принимает вид
1
∫
∑
∑
∑
√
ck
1
k(ϕn; x) = -
Tq(x)
kq,j
1 - t2Uk(t)Uj(t)dt =
k+1
π
k=0
q=0
j=0
-1
{
∑
∑
∑
ck
0, 5, j = k,
=-
Tq(x)
kq,jρk,j, ρk,j =
k+1
0,
j =k,
k=0
q=0
j=0
или
∑
∑
1
ck
k(ϕn; x) = -
Tq(x)kq,k.
2
k+1
k=0
q=0
Окончательно, используя полученные выше представления интегралов в уравнении (10),
приходим к задаче расчёта коэффициентов разложения приближённого решения по базису
полиномов Чебышёва
]
∑
∑
ck
∑
∑
ckUk(x) -
Tq(x)
mq,j(α|k-j|T|k-j|(x) - αk+j+2Tk+j+2(x)) + kq,k
=
2k + 2
k=0
k=0
q=0
j=0
= f3n+2(x).
(24)
Рассматривая равенство (24) на множестве узлов чебышёвской сетки
(
)
2l + 1
xl = cos
π
,
l = 0,n,
(25)
2n + 2
приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвест-
ных ck, k = 0, n :
∑
ckal,k = f3n+2(xl),
(26)
k=0
где
]
∑
∑
1
al,k = Uk(xl) -
Tq(xl)
mq,j(α|k-j|T|k-j|(xl ) - αk+j+2Tk+j+2(xl)) + kq,k
,
2k + 2
q=0
j=0
α0 = - ln 2, αk = -1/k, k > 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
836
РАСОЛЬКО, ВОЛКОВ
Система (26), являющаяся следствием равенства (24), разрешима и имеет единственное
решение ck, k = 0, n.
Приближённое решение ϕn(x) вычисляется по формуле (14)
√
∑
1
ϕn(x) = -
1-x2
ckUk(x).
k+1
k=0
3.2. Рассмотрим построение другой схемы численного решения задачи (1), (2). Вначале
докажем следующие два утверждения.
Утверждение 1. Для |x| < 1 имеет место равенство
⎧
∫
1
⎨-Uk(x),
k = 0, k = 1,
√
1
dt
Lk(x) =
(
1 - t2Tk(t))′
=
(27)
π
t-x
⎩k-1
k+1
Uk-2(x) -
Uk(x), k ≥ 2.
-1
2
2
Доказательство. При k = 0 и k = 1 формула (27) очевидно верна вследствие соотноше-
ний (5), (6).
Пусть k ≥ 2. Вычислим производную от подынтегральной функции и используем тож-
дество [7, с. 23] xTk(x) = (1 - x2)Uk-1(x) - Tk-1(x). Тогда
∫
1
(
)
√
1
Tk-1(t)
dt
Lk(x) =
(k + 1)
1 - t2Uk-1(t) -
√
π
1-t2
t-x
−1
Принимая во внимание соотношения (5), (6) и тождество 2Tk(x) = Uk(x) - Uk-2(x), получаем
k-1
k+1
Lk(x) = -(k + 1)Tk(x) - Uk-2(x) =
Uk-2(x) -
Uk(x),
2
2
что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Для |x| < 1 имеет место равенство
⎧
⎪
ln 2
1
∫1
√
⎨-
T0(x) +
T2(x),
k = 0,
1
2
4
Jk(x) =
1 - t2Uk(t)ln|t - x|dt =
(28)
π
⎪
1
1
-1
⎩-
Tk(x) +
Tk+2(x), k ≥ 1.
2k
2k + 4
Доказательство. С учётом тождества 2(1 - x2)Uk(x) = Tk(x) - Tk+2(x) (см., например,
[7, с. 23]) подынтегральная функция в (28) принимает вид (4), откуда следует справедливость
утверждения.
Приближённое решение задачи (1), (2) будем искать в том же виде, что и (3), т.е. в виде
√
ϕn(x) =
1 - x2 vn(x), где новая неизвестная функция vn(x) - решение следующей задачи:
∫
1
√
∫
1
√
1
(
1 - t2vn(t))′
1
dt +
1 - t2vn(t)Mn,n(x,t)ln|t - x|dt +
π
t-x
π
−1
-1
1
∫
√
1
+
1 - t2vn(t)Kn,n(x,t)dt = f3n+2(x),
-1 < x < 1,
(29)
π
−1
здесь, как и выше, Mn,n(x, t) и Kn,n(x, t) - интерполяционные многочлены вида (9) степени
n для функций M(x, t) и K(x, t) соответственно, f3n+2(x) - интерполяционный многочлен
функции f(x) вида (7) степени 3n + 2.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
837
Используем следующее представление искомой функции:
∑
vn(x) =
ckTk(x),
(30)
k=0
в котором ck, k = 0, n, - пока неизвестные постоянные.
При подстановке (30) в (29) с учётом равенства (27) и того, что U-1(x) = 0, получим
1
√
√
∫
∫
∑
1
(
1 - t2vn(t))′
(
1 - t2Tk(t))′
dt =
dt =
ckLk(x).
(31)
π
t-x
ck π
t-x
k=0
k=0
-1
-1
Рассмотрим, далее, второй интеграл в (29):
1
∫
√
1
1 - t2vn(t)Mn,n(x,t)ln|t - x|dt =
π
-1
∫
√
∑
= ck
1 - t2Tk(t)Mn,n(x,t)ln|t - x|dt =
ckIk(x),
π
k=0
k=0
-1
где
1
∫
√
1
Ik(x) =
1 - t2Mn,n(x,t)Tk(t)ln|t - x|dt.
π
-1
Воспользовавшись представлением (20) для многочлена Mn,n(x, t), будем иметь
1
∫
∑
∑
√
∑
∑
1
Ik(x) =
Tq(x)
mq,j
1 - t2Tk(t)Uj(t)ln|t - x|dt =
Tq(x)
mq,jPk,j(x),
π
q=0
j=0
q=0
j=0
-1
где
∫
1
(∫1
)
√
√
1
1
Pk,j(x) =
1 - t2Tk(t)Uj(t)ln|t - x|dt =
1 - t2(Uj+k(t) + Uj-k(t))ln|t - x|dt
π
2π
−1
-1
Для вычисления интегралов из определения функции Pk,j(x) используем, поскольку
U-1(x) = 0 и Uk(x) = -U-(k+2)(x) при k < 0, равенство (28). В результате для второго
интеграла в (29) получим
1
∫
√
∑ n∑
∑
1
1 - t2vn(t)Mn,n(x,t)ln|t - x|dt =
ck
Tq(x)
mq,jPk,j(x),
(32)
π
k=0
q=0
j=0
−1
где
⎧
⎨Jj-k(x),
если j - k ≥ 0,
1
1
Pk,j(x) =
Jj+k(x) +
0,
если j - k = -1,
2
2 ⎩-Jk-j-2(x), если j - k < -1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
838
РАСОЛЬКО, ВОЛКОВ
Аналогичным образом преобразуем третий интеграл в (29), используя представление (23)
для многочлена Kn,n(x, t) и свойство ортогональности многочленов Чебышёва второго рода:
∫
1
∫
1
√
∑ n∑
∑
√
1
1
1-t2vn(t)Kn,n(x,t)dt =
ck
Tm(x) km,j
1 - t2Tk(t)Uj(t)dt =
π
π
k=0
m=0
j=0
−1
-1
∫
1
)
∑ n∑
∑
√
1(1
= ck Tm(x) km,j
1 - t2(Uj+k(t) + Uj-k(t))dt
=
2
π
k=0
m=0
j=0
-1
∑ n∑
∑
∑ n∑
1
= ck
Tm(x)
km,j(μj,k + ωj,k) =
ck
Tm(x)Dm,k.
(33)
2
k=0
m=0
j=0
k=0
m=0
Здесь μj,k = 0.5, если j = k = 0, и μj,k = 0 в противном случае,
⎧
⎨0.5,
если j = k,
∑
1
ωj,k =
-0.5,
если j = k - 2 ≥ 0,
Dm,k =
km,j(μj,k + ωj,k).
2
⎩0
в противном случае,
j=0
Для Dm,k имеем
⎧
⎨km,0/2,
если k = 0,
Dm,k =
km,1/4,
если k = 1,
⎩
(km,k - km,k-2)/4,
если k ≥ 2.
Используя полученные выше представления интегралов (31)-(33) в уравнении (29), прихо-
дим к задаче для нахождения коэффициентов разложения приближённого решения по базису
полиномов Чебышёва:
∑
∑ n∑
∑
∑ n∑
ckLk(x) +
ck
Tq(x)
mq,jPk,j(x) +
ck
Tq(x)Dq,k = f3n+2(x).
(34)
k=0
k=0
q=0
j=0
k=0
q=0
Рассматривая уравнение (34) на множестве узлов чебышёвской сетки (25), получаем сис-
тему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ck, k = 0, n :
∑
ckal,k = f3n+2(xl), l = 0,n,
(35)
k=0
где
)
∑
∑
al,k = Lk(xl) +
Tq(xl)
mq,jPk,j(xl) + Dq,k
,
k = 0,n, l = 0,n.
q=0
j=0
Приближённое решение уравнения (1) в произвольной точке x ∈ [-1, 1] вычисляется по
формуле
√
∑
ϕn(x) =
1-x2
ckTk(x).
(36)
k=0
4. Результаты численных экспериментов. Предложенные схемы протестированы на
примере решения модельной задачи для уравнения (1) при
√
4
√
4x
32x2
x(60
2 - 90) - 79
79
f (x) =
-
+
- x(2
2 + 1) +
,
5
15
30(x2 + 1)
30
x
x3t
1
M (x, t) =
(2t2 - 1), K(x, t) =
x2 + 1
x2 + 1 t2 + 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
839
Известно, что точным решением задачи (1), (2) в данном случае является функция ϕ(x) =
√
= 2x
1 - x2, в чём несложно убедиться и непосредственно.
Как показывают расчёты, уже при небольшом числе точек чебышёвской сетки достигается
достаточно высокая точность вычисления приближённого решения данного уравнения.
Для первой схемы вычисления, решая систему (26) при n ≥ 18, получаем, что точное
решение ϕ(x) отличается от приближённого ϕn(x), вычисленного по формуле (14), в системе
точек x = -0.99, -0.98, . . . , 0.99 не более чем на 3·10-15, что соизмеримо с вычислительной
погрешностью. Такие же результаты справедливы и относительно точности приближённого
решения, полученного при использовании второй схемы (35), (36).
Заключение. Построенные схемы численного решения интегро-дифференциальных урав-
нений вида (1), в отличие от ранее известных методик [5], позволяют получить приближённое
решение задачи, не прибегая к квадратурным формулам. Благодаря этому, как показывают
численные примеры, предложенные алгоритмы при небольших вычислительных затратах на
достаточно грубой сетке обеспечивают высокую точность приближённого решения, ограни-
ченную лишь вычислительной погрешностью.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Расолько Г.А. Численное решение сингулярного интегро-дифференциального уравнения Прандтля
методом ортогональных многочленов // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика.
2018. № 3. С. 68-74.
2. Расолько Г.А. К численному решению сингулярного интегро-дифференциального уравнения
Прандтля методом ортогональных многочленов // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Ин-
форматика. 2019. № 1. С. 58-68.
3. Расолько Г.А., Шешко С.М., Шешко М.А. Об одном методе численного решения некоторых сингу-
лярных интегро-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 9. С. 1285-
1292.
4. Расолько Г.А., Шешко С.М. Приближенное решение одного сингулярного интегро-дифференциаль-
ного уравнения методом ортогональных многочленов // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика.
Информатика. 2020. № 2. С. 10-20.
5. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумер-
ных задачах дифракции. Киев, 1984.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М., 1966.
7. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М., 1983.
Белорусский государственный университет,
Поступила в редакцию 28.10.2020 г.
г. Минск
После доработки 28.10.2020 г.
Принята к публикации 27.04.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№6
2021
