ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 6, с.840-843

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.927.6

МНОГОТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА ГРАФЕ

Даётся постановка многоточечной краевой задачи, заданной на геометрическом графе.

Описаны характеристики графа, допускающего такую постановку. Найден вид краевой

задачи, сопряжённой к поставленной задаче. Для функции Грина спектральной многото-

чечной краевой задачи на графе получен аналог теоремы Келдыша о вычетах.

DOI: 10.31857/S0374064121060108

1. Об одном подходе к многоточечной краевой задаче Валле-Пуссена. Пусть на

конечном отрезке [α, β], α < β, вещественной оси заданы непрерывные функции p_i(x), i =

= 0, n, n ≥ 2, и непрерывная функция f(x). Пусть также задан набор из (m + 1)-й точки:

α = a₀ < a₁ < ... < a_m = β, m ≥ 1.

Рассмотрим многоточечную краевую задачу Валле-Пуссена для дифференциального урав-

нения

p₀(x)u(n)(x) + p₁(x)u(n-1)(x) + ... + p_n(x)u(x) = f(x) (x ∈ [α,β])

(1)

при условиях

u(a_k) = u^′(a_k) = . . . = u(μk -¹⁾(a_k) = 0, k = 0, m,

(2)

где μ_k ≥ 1 и μ₀ + μ₁ + . . . + μ_m = n.

Считаем, что inf

|p₀(x)| > 0. Эта задача имеет n условий и её решение ищется в прост-

x∈[α,β]

ранстве Cⁿ[α, β].

Опишем иной подход к поставленной задаче. Для этого сузим дифференциальное уравне-

ние (1) на объединение интервалов ℑ = [α, β]\{a_k : k = 0, m} и дополним его во внутренних

точках a_k, k = 1, m - 1, отрезка [α, β] условиями непрерывности

u(j)(a_k - 0) = u(j)(a_k + 0), j = 0,n - 1, k = 1,m - 1.

Полученная задача вместе с условиями (2) эквивалентна многоточечной краевой задаче Валле-

Пуссена (1), (2). Она имеет n + n(m - 1) = nm условий и является краевой задачей, заданной

на геометрическом графе Γ = [α, β] с множеством вершин a_k, k = 0, m, и множеством рёбер

γ_k = (ak-1,a_k), k = 1,m.

Такая трактовка многоточечной задачи Валле-Пуссена полезна как для построения сопря-

жённой к ней краевой задачи, так и для описания поведения функции Грина. При этом не

обязательно требовать непрерывность в точках a_k, k = 1, m - 1, коэффициентов и правой

части дифференциального уравнения (1). Достаточно, чтобы они были равномерно непрерыв-

ны на интервалах (ak-1, a_k), k = 1, m.

2. Постановка многоточечной краевой задачи на графе. Приступим к построению

многоточечной краевой задачи, заданной на произвольном графе.

Пусть Γ - конечный связный ориентированный геометрический граф (см. [1]), имеющий m

рёбер. Считаем, что каждое ребро инцидентно двум различным вершинам, которые по опре-

делению этому ребру не принадлежат [1]. Следуя указанной работе, введём обозначения: ℑ -

объединение всех рёбер графа Γ, ρ - его цикломатическое число и I^a - множество всех рёбер,

инцидентных вершине a. Положим ζ^aγ = 1 (ζ^aγ = -1), если ребро γ ориентировано к вер-

шине a (от вершины a). Напомним, что цикломатическое число ρ определяется равенством

ρ = m-ν+1, где ν - количество вершин графа; вершину называют внутренней (граничной),

если ей инцидентны два или более рёбер (лишь одно ребро).

840

МНОГОТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА ГРАФЕ

841

Для коэффициентов p_i ∈ C(ℑ), i = 0, n, inf

|p₀(x)| > 0, и функции f ∈ C(ℑ) рассмотрим

x∈ℑ

на множестве ℑ дифференциальное уравнение порядка n ≥ 2

p₀(x)u(n)(x) + p₁(x)u(n-1)(x) + ... + p_n(x)u(x) = f(x) (x ∈ ℑ),

(3)

дополненное условиями непрерывности

(ζ^aγ)^ku(k)(a_γ ) = (-ζ^aη)^ku(k)(a_η), γ ∈ ℑ\{η}, k = 0, n - 1,

(4)

в каждой внутренней вершине a, и условиями

u(a_η) = u^′(a_η) = . . . = u(μa-¹⁾(a_η) = 0

(0 ≤ μ^a < n)

(5)

во всех или в некоторых вершинах графа Γ. В условиях (5) η ∈ I^a - фиксированное ребро, своё

для каждой вершины a. Очевидно, что если μ^a > 0 для некоторой вершины a, то условия

(4) и (5) гарантируют равенство нулю всех односторонних пределов u(j)(a_γ ), j = 0, μ^a - 1,

вычисленных в вершине a вдоль рёбер γ ∈ I^a.

Если суммарное количество κ условий (4) и (5), заданных во всех вершинах графа, равно

nm, то краевую задачу (3)-(5) будем называть многоточечной краевой задачей, заданной на

графе. Под её решением будем понимать функцию из пространства Cⁿ(ℑ). Отметим, что

если граф Γ представляет собой конечный отрезок [α, β], то многоточечная задача (3)-(5)

является (см. п. 1) классической многоточечной краевой задачей Валле-Пуссена (1), (2).

Теорема 1. Многоточечная краевая задача (3)-(5) может быть задана либо на графе-

дереве при суммарном количестве условий (5), равным n, либо на графе, имеющем один

простой цикл, при отсутствии условий (5) во всех вершинах этого графа.

На графе, имеющем более одного простого цикла, постановка многоточечной краевой за-

дачи невозможна.

Доказательство. Несложно проверить, что равенство κ = nm выполняется, если только

суммарное количество условий (5) равно n(1 - ρ). Теорема доказана.

3. Сопряжённая краевая задача. Пусть везде ниже p_i ∈ C(n-k)(ℑ), i = 0,n. На прост-

ранстве Cⁿ(ℑ) определим операторы

∑

(L^∗ku)(x) =

(-1)^j (p_k-j(x)u(x))(j), k = 0, n.

j=0

В силу результатов работы [1] верно следующее утверждение.

Теорема 2. Краевая задача, сопряжённая к многоточечной краевой задаче (3)-(5), сос-

тоит в определении функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

(L^∗nu)(x) = f^∗(x) (f^∗ ∈ C(ℑ), x ∈ ℑ)

(6)

на множестве ℑ, условиям

∑

(ζ^aγ)k+1(L^∗ku)(a_γ ) = (-ζ^aη)k+1(L^∗ku)(a_η), k = 0, n - μ^a - 1,

(7)

γ∈ℑ\{η}

во всех внутренних вершинах a и условиям

u(b) = u^′(b) = . . . = u(n-μb-¹⁾(b) = 0

(8)

во всех граничных вершинах b, если ρ = 0; и только условиям (7) c μ^a = 0, если ρ = 1.

Следствие. Краевая задача, сопряжённая к многоточечной краевой задаче (1), (2), зада-

ётся на объединении интервалов ℑ = [α,β]\{a_k : k = 0,m} дифференциальным уравнением

(6) при условиях непрерывности

u(j)(a_k - 0) = u(j)(a_k + 0), j = 0,n - μ_k - 1, k = 1,m - 1,

и краевых условиях

u(α) = u^′(α) = . . . = u(n-μ0-¹⁾(α) = 0, u(β) = u^′(β) = . . . = u(n-μm-¹⁾(β) = 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

842

ЗАВГОРОДНИЙ

Отметим, что в отличие от многоточечной краевой задачи (1), (2), решение которой принад-

лежит пространству Cⁿ[α, β], решение u(x) сопряжённой к ней краевой задачи не обладает

аналогичной гладкостью. В силу приведённого выше утверждения мы можем гарантировать

непрерывность производных этого решения u(x) в каждой точке a_k ∈ (α, β) лишь до порядка

n - μ_k - 1 включительно. Производные порядка n - μ_k и выше могут иметь разрывы.

4. Самосопряжённая многоточечная краевая задача. В силу теоремы 3 работы [1]

для самосопряжённости краевой задачи, заданной на графе, необходимо, чтобы дифференци-

альное уравнение (3) имело чётный порядок n = 2s и было приводимо к самосопряжённо-

му виду

(Du)(x) ≜ (g₀(x)u(s)(x))(s) + (g₁(x)u(s-1)(x))(s-1) + . . . + g_s(x)u(x) = f(x)

(9)

при некоторых коэффициентах g_k ∈ C(s-k)(ℑ), k = 0, s, inf

|g₀(x)| > 0.

x∈ℑ

Теорема 3. Многоточечная краевая задача (9), (4), (5), является самосопряжённой тогда

и только тогда, когда выполняются следующие условия:

а) граф Γ является простой цепью и в каждой его внутренней вершине условия (5)

отсутствуют;

б) коэффициенты g_k(x), k = 0,s - 1, дифференциального уравнения (9) непрерывны на

всей цепи Γ вместе со своими производными до (s - k - 1) порядка включительно;

в) если ρ = 0, то в каждой из двух граничных вершин задано по s условий вида (5).

Доказательство. Пусть многоточечная краевая задача (9), (4), (5) является самосопря-

жённой. Тогда

1) в каждой внутренней вершине a выполняется равенство δ^a -2 = -2μ^a, где δ^a - степень

вершины a, и, следовательно, δ^a = 2 и μ^a = 0;

2) условия (7), пересчитанные для оператора D с учётом утверждения 1), эквивалентны

условиям (4), а это возможно, лишь когда g_k ∈ C(s-k-1)(Γ);

3) в силу теоремы 3 работы [1] μ^a = s для любой граничной вершины a графа Γ.

Обратно, непосредственной проверкой убеждаемся, что многоточечная краевая задача (9),

(4), (5) при выполнении условий а)-в) теоремы является самосопряжённой. Теорема доказана.

Следствие. Среди всей совокупности многоточечных краевых задач Валле-Пуссена (1),

(2), заданных на конечном отрезке вещественной оси, только двухточечная краевая задача

для дифференциального уравнения самосопряжённого вида с одинаковым количеством условий

(2) в каждой из двух граничных точек отрезка является самосопряжённой.

5. О вычетах функции Грина многоточечной краевой задачи. Рассмотрим много-

точечную краевую задачу для дифференциального уравнения

p₀(x)u(n)(x) + p₁(x)u(n-1)(x) + ... + p_n(x)u(x) = λu(x) (x ∈ ℑ)

(10)

со спектральным параметром λ при условиях (4), (5) и сопряжённую к ней краевую задачу

для дифференциального уравнения (L^∗nu)(x) = λu(x) при условиях (7), (8).

Лемма 1. Собственные значения рассматриваемых взаимно сопряжённых спектральных

краевых задач совпадают с учётом геометрической и алгебраической кратностей.

Перейдём к рассмотрению функции Грина G(x, ξ, λ), x, ξ ∈ ℑ, краевой задачи (10), (4),

(5) и установим для неё аналог классического результата М.В. Келдыша (см. [2]).

Теорема 4. Пусть λ₀ - изолированное собственное значение многоточечной краевой за-

дачи (10), (4), (5), геометрическая и алгебраическая кратности которого равны i и q соот-

ветственно. Тогда для любой отвечающей λ₀ канонической системы корневых (собственных

и присоединённых) функций

uk0(x),uk1(x),... ,uk,qk-1(x), k = 1,i, q1 + q2 + ... + qi = q,

краевой задачи (10), (4), (5) найдётся биортогональная к ней каноническая система корневых

функций

vk0(ξ),vk1(ξ),... ,vk,qk-1(ξ), k = 1,i,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

МНОГОТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА ГРАФЕ

843

сопряжённой краевой задачи, отвечающая тому же собственному значению λ₀, такая, что

вычет функции Грина G(x, ξ, λ) относительно её полюса λ₀ является следующей линейной

комбинацией произведений корневых функций u_kj(x) и vk,qk-j-1(ξ):

∑

Res (G(x, ξ, λ), λ₀) = -

u_kj(x)vk,qk-j-1(ξ).

k=1 j=0

Теорема 4 для классической многоточечной краевой задачи Валле-Пуссена доказана в ра-

боте [3]. Там же фактически была построена краевая задача, сопряжённая к задаче Валле-

Пуссена, хотя это в работе не было отмечено.

Лемма 2. Функции Грина G(x, ξ, λ) и G^∗(x, ξ, λ) взаимно сопряжённых краевых задач,

заданных на графе, связаны равенством G^∗(x, ξ, λ) = G(x, ξ, λ).

Лемма 2 и теорема 4 позволяют найти вычет Res (G^∗(x, ξ, λ), λ₀) функции Грина G^∗(x, ξ, λ)

краевой задачи, сопряжённой к многоточечной.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Завгородний М.Г. Сопряжённые и самосопряжённые краевые задачи на геометрическом графе

// Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 4. С. 446-456.

2. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных

операторов // Успехи мат. наук. 1971. Т. 26. Вып. 4 (160). С. 15-41.

3. Завгородний М.Г., Литманович О.Ю. Аналог одной теоремы Келдыша для многоточечной задачи

Валле-Пуссена // Докл. АН СССР. 1992. Т. 326. № 4. С. 589-591.

Воронежский государственный университет

Поступила в редакцию 09.02.2020 г.

После доработки 07.04.2021 г.

Принята к публикации 27.04.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021