ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 6, с.844-848

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.956.6

К ВОПРОСУ О ЕДИНСТВЕННОСТИ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГЕЛЛЕРСТЕДТА

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ

СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ

Получены некоторые теоремы о единственности решения задачи Геллерстедта для уравне-

ния Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром λ с данными на параллельных и

на внешних характеристиках.

DOI: 10.31857/S037406412106011X

1. Рассмотрим уравнение

u_xx + (sgn y)u_yy + λu = 0,

(1)

в котором λ - вещественный параметр, в области G, ограниченной в полуплоскости y > 0 ле-

жащей в этой полуплоскости ляпуновской кривой Γ c концами в точках A₁(-l₁, 0) и A₂(l₂, 0),

где l₁ и l₂ - заданные положительные числа, и при y ≤ 0 отрезками A₁C₁, C₁O, OC₂, C₂A₂

характеристик соответственно x + y = -l₁, x - y = 0, x + y = 0, x - y = l₂ уравнения (1),

где координаты точек следующие: C₁(-l₁/2, -l₁/2), O(0, 0) и C₂(l₂/2, -l₂/2).

Через G₀ обозначим область G

^⋂ {y > 0} и в полуплоскости y < 0 через G₁ - треуголь-

ную область A₁C₁O, а через G₂ - треугольную область OC₂A₂.

В области G для уравнения (1) рассмотрим задачу Геллерстедта с краевыми условиями

на параллельных характеристиках, которую обозначим₁G1λ.

Задача₁G1λ. Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям

u(x, y) ∈ C(G)

^⋂C¹(G)^⋂ C²(G₀ ⋃G₁ ⋃ G₂);

(2)

u_xx + (sgn y)u_yy + λu = 0, (x,y) ∈ G₀

^⋃G₁⋃G₂;

(3)

частные производные u_x и u_y непрерывны в замкнутой области G₀, за исключением точек

A₁, O, A₂, и для любого ε > 0 градиент функции u(x,y) в точках A₁, O, A₂ может иметь

следующую особенность:

|∇u(x, y)| ≤

C = const > 0;

(4)

[((x + l₁)² + y²)(x² + y²)((x - l₂)² + y²)]1/2-ε

u(x, y)|_Γ = u(x(s), y(s)) = ϕ(s),

0≤s≤l,

(5)

где x = x(s), y = y(s) - параметрические уравнения кривой Γ, s - длина её дуги, отсчи-

тываемой от точки A₂(l₂, 0), l - длина кривой Γ, а ϕ(s) - заданная достаточно гладкая

функция;

u(x, y)|A1C₁ = u(x, -l1 - x) = ψ1(x),

-l₁ ≤ x ≤ -l₁/2,

(6)

u(x, y)|OC2 = u(x, -x) = ψ₂(x),

0 ≤ x ≤ l₂/2,

(7)

где ψ₁(x), ψ₂(x) - заданные достаточно гладкие функции и ϕ(l) = ψ₁(-l₁).

Обозначим через G∗0 область в полуплоскости y < 0, симметричную области G₀ относи-

тельно оси y = 0.

Пусть λ₀ - наименьшее положительное собственное значение спектральной задачи

Δv + λv = 0, (x,y) ∈ Ω = G₀

^⋃G∗0⋃A₁A₂,

v|∂Ω = 0,

где ∂Ω - граница области Ω.

844

К ВОПРОСУ О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГЕЛЛЕРСТЕДТА

845

Теорема 1. Если существует решение задачи₁G1λ, то оно единственно при всех 0 ≤

≤λ<λ₀.

Доказательство. Допуская существование двух различных решений u₁(x, y) и u₂(x, y)

неоднородной задачи₁G1λ, заключаем, что функция u = u₁ - u₂ является решением однород-

ной задачи₁G1λ и удовлетворяет следующей однородной задаче [1]:

u_xx + u_yy + λu = 0 в G₀,

(8)

u|_Γ = 0,

(9)

∫x

√

J₁(

λ(x - t))

(u_x - u_y)|y=0 = -λ

√

τ (t) dt,

-l₁ < x < 0,

(10)

λ(x - t)

−l₁

∫x

√

J₁(

λ(x - t))

(u_x - u_y)|y=0 = -λ

√

τ (t) dt,

0 < x < l₂, u(0,0) = 0,

(11)

λ(x - t)

√

где τ(x)=u(x, 0), J₁(z) - функция Бесселя первого рода первого порядка,

λ > 0 при λ > 0.

Так же, как в доказательстве теоремы 1 из [2] для случая λ ≥ 0, показывается, что имеют

место равенства

∫

√

J₁(

λ(x - t))

(u2x + u2y - λu²) dx dy = -λ τ(x)

√

τ (t) dt dx -

λ(x - t)

G₀

-l₁

∫l2

∫

√

J₁(

λ(x - t))

− λ τ(x)

√

τ (t) dt dx

(12)

λ(x - t)

∫

√

J₁(

λ(x - t))

(u2x + u2y - λu²) dx dy = -

τ (x)

√

τ (t) dt dx -

λ(x - t)

G₀

-l₁

l₂

√

∫

J₁(

λ(x - t))

−

τ (x)

√

τ (t) dt dx = (-λ)(M₁ + M₂),

(13)

λ(x - t)

где

∫

√

M₁ =

τ (x)

1 - θ2 cos(

λ(x - t)θ) dθτ(t) dt dx ≥ 0,

(14)

−l₁

-l₁

∫

[(∫l2

)₂

(∫l2

)₂]

√

M₂ =

1-θ²

τ (x) cos (

λθx) dx

+ τ(x)sin(

λθx) dx dθ ≥ 0

(15)

для всех λ ≥ 0.

Дальнейшие рассуждения полностью совпадают с рассуждениями доказательства теоре-

мы 1 из [2] для случая λ ≥ 0. В них, в частности, устанавливается неравенство

∫

u² dxdy ≤

(u2x + u2y) dx dy,

(16)

λ₀

G₀

которое понадобится нам ниже. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

846

ПОНОМАРЁВ

Как показано в [2] с использованием оценки [3, с. 71, (2.12)], справедливо неравенство

λ₀ ≥ 2/(9mes G₀). Поэтому хотя точное значение λ₀ и не всегда известно, но вследствие этого

неравенства можно утверждать, что теорема 1 имеет место при всех λ ∈ [0, 2/(9 mes G₀)).

Заметим, что функциональные уравнения (10) и (11), дающие связь между функциями

τ (x) и ν(x) = ∂u(x, 0)/∂y, иногда полезно записать в виде [1, с. 94; 2]

∫x

√

τ (x) = J₀(

λ(x - t))ν(t) dt,

-l₁ ≤ x ≤ 0,

l₁

∫x

√

τ (x) = J₀(

λ(x - t))ν(t) dt,

0≤x≤l₂,

где J₀(z) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Рассмотрим теперь для уравнения (1) в области G задачу Геллерстедта с краевыми усло-

виями на внешних характеристиках, которую обозначим₂G1λ.

Задача₂G1λ. Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям (2)-(6) и условию

u|C2A₂ = u(x, x - l2) = ψ(x), l2/2 ≤ x ≤ l2,

(17)

где ψ₁(x), ψ(x) - заданные достаточно гладкие функции и ϕ(l) = ψ₁(-l₁), ϕ(0) = ψ(l₂).

Теорема 2. Если существует решение задачи₂G1λ, то оно единственно при всех 0 ≤

≤λ<λ₀.

Доказательство. Допуская существование двух различных решений u₁(x, y) и u₂(x, y)

неоднородной задачи₂G1λ, заключаем, что функция u = u₁ - u₂ является решением однород-

ной задачи₂G1λ и удовлетворяет следующей однородной задаче [1]: (8)-(10) и

∫l2

√

J₁(

λ(t - x))

(u_x + u_y)|y=0 = λ

√

τ (t) dt,

0<x<l₂.

(18)

λ(t - x)

Так как Γ - ляпуновская кривая, то, применяя формулу Грина в области G₀ и учитывая

равенства (8)-(10), (18) и то, что τ(-l₁) = τ(l₂) = 0, получаем

∫

√

J₁(

λ(x - t))

(u2x + u2y - λu²) dx dy = -

u²(0,0) - λ τ(x)

√

τ (t) dt dx -

λ(x - t)

G₀

-l₁

∫l2

∫

l₂

√

J₁(

λ(t - x))

−

u²(0,0) - λ τ(x)

√

τ (t) dt dx.

(19)

λ(t - x)

Если λ = 0, то u(x, y) ≡ 0 в G₀, a значит, и во всей области G.

Если λ > 0, то, учитывая тождество J₁(-z) = -J₁(z) для всех z ∈ C и меняя порядок

интегрирования в интегралах в правой части равенства (19), будем иметь

∫

√

J₁(

λ(x - t))

u²(0,0) + (u2x + u2y - λu²)dxdy = -

τ (x)

√

τ (t) dt dx -

λ(x - t)

G₀

-l₁

l₂

√

∫

J₁(

λ(x - t))

−

τ (x)

√

τ (t) dt dx = (-λ)(M₁ + M₂),

(20)

λ(x - t)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

К ВОПРОСУ О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГЕЛЛЕРСТЕДТА

847

где постоянные M₁ и M₂ определены равенствами (14) и (15). Отсюда в силу равенств (14)-

(16) следует, что

∫

(λ₀ - λ) u² dx dy ≤ 0,

G₀

и если 0 < λ < λ₀, то u(x, y) ≡ 0 в G₀, а значит, и во всей области G. Теорема доказана.

Заметим, что функциональное уравнение (18), дающее связь между функциями τ(x) и

ν(x), иногда полезно записать в виде

∫l2

√

τ (x) = J₀(

λ(t - x))ν(t) dt,

0≤x≤l₂.

2. Рассмотрим уравнение

(sgn y)u_xx + u_yy + λu = 0,

(21)

где λ - вещественный параметр, в области G (характеристики уравнений (1) и (21) совпа-

дают).

В области G для уравнения (21) рассмотрим задачу Геллерстедта с краевыми условиями

на параллельных характеристиках.

Задача₁G2λ. Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям

u(x, y) ∈ C(G)

^⋂C¹(G)C²(G₀ ⋃ G₁ ⋃ G₂),

(22)

(sgn y)u_xx + u_yy + λu = 0 при (x, y) ∈ G₀

^⋃G₁⋃G₂

(23)

и условиям (4)-(7).

Теорема 3. Если существует решение задачи₁G2λ, то оно единственно при всех λ ≤ 0.

Доказательство. Допуская существование двух различных решений u₁(x, y) и u₂(x, y)

неоднородной задачи₁G2λ, заключаем, что функция u = u₁ - u₂ является решением однород-

ной задачи₁G2λ, и, если положить α = -λ, удовлетворяет следующей однородной задаче [1]:

u_xx + u_yy - αu = 0 в G₀,

(24)

u|_Γ = 0,

(25)

∫x

J₁(√α(x - t))

(u_x - u_y)|y=0 = -α

-l₁ < x < 0,

(26)

√α(x - t)τ(t)dt,

−l₁

∫x

J₁(√α(x - t))

(u_x - u_y)|y=0 = -α

0 < x < l₂, u(0,0) = 0.

(27)

√α(x - t)τ(t)dt,

Применяя формулу Грина в области G₀ и учитывая равенства (24)-(27) и то, что τ(-l₁) =

= τ(0) = τ(l₂) = 0, получаем

∫

J₁(√α(x - t))

(u2x + u2y + αu²) dx dy = -α τ(x)

√α(x - t)τ(t)dtdx-

G₀

-l₁

∫l2

∫

J₁(√α(x - t))

− α τ(x)

(28)

√α(x - t)τ(t)dtdx.

Если α = 0, то u(x, y) ≡ 0 в G₀, а значит, и во всей области G (при λ = 0).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021

9^∗

848

ПОНОМАРЁВ

Если α > 0, то из представления (28) в силу равенств (12)-(15) следует, что

∫

(u2x + u2y + αu²) dx dy ≤ 0,

G₀

и поэтому u(x, y) ≡ 0 в G₀, а значит, и во всей области G (при λ < 0). Теорема доказана.

Рассмотрим теперь в области G для уравнения (21) задачу Геллерстедта с краевыми усло-

виями на внешних характеристиках, которую обозначим₂G2λ.

Задача₂G2λ. Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям (22), (23), (4)-(6), (17).

Теорема 4. Если существует решение задачи₂G2λ (22), (23), (4)-(6), (17), то оно един-

ственно при всех λ ≤ 0.

Доказательство. Допуская существование двух различных решений u₁(x, y) и u₂(x, y)

неоднородной задачи₂G2λ, заключаем, что функция u = u₁ - u₂ является решением однород-

ной задачи₂G2λ и, если положить α = -λ, удовлетворяет следующей однородной задаче:

u_xx + u_yy - αu = 0 в G₀,

(29)

u|_Γ = 0,

(30)

∫x

J₁(√α(x - t))

(u_x - u_y)|y=0 = -α

-l₁ < x < 0,

(31)

√α(x - t)τ(t)dt,

−l₁

∫l2

J₁(√α(t - x))

(u_x + u_y)|y=0 = α

0<x<l₂.

(32)

√α(t - x)τ(t)dt,

Применяя формулу Грина в G₀ и учитывая равенства (29)-(32), а также то, что τ(-l₁) =

= τ(l₂) = 0, будем иметь

∫

J₁(√α(x - t))

(u2x + u2y + αu²) dx dy = -

u²(0,0) - α τ(x)

√α(x - t)τ(t)dtdx-

G₀

-l₁

∫l2

∫

l₂

J₁(√α(t - x))

−

u²(0,0) - α τ(x)

√

τ (t) dt dx.

(33)

λ(t - x)

Если α = 0, то u(x, y) ≡ 0 в G₀, а значит, и во всей области G (при λ < 0).

Если α > 0, то из представления (33) в силу равенств (19), (20), (14), (15), вытекает_∫

неравенство_G

(u2x + u2y + αu²) dx dy ≤ 0, из которого следует, что u(x, y) ≡ 0 в G₀, а значит,

и во всей области G (при λ < 0). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пономарёв С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа

Лаврентьева-Бицадзе: дис

д-ра физ.-мат. наук. М., 1981.

2. Пономарёв С.М. Некоторые теоремы единственности решения задачи Геллерстедта для уравнения

Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 4.

С. 488-495.

3. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.

М., 1973.

г. Москва

Поступила в редакцию 11.02.2021 г.

После доработки 11.02.2021 г.

Принята к публикации 27.04.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№6

2021