ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 7, с.880-888
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 519.63
СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ
ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
© 2021 г. П. Н. Вабищевич
Для нестационарных задач приближённое решение на новом слое по времени часто полу-
чают из ряда более простых задач. В стандартных схемах расщепления используют адди-
тивное расщепление оператора задачи на более удобные для вычислительной реализации
операторы и явно-неявные аппроксимации по времени. В работе рассматривается новый
класс схем расщепления, который связывается с аддитивным представлением не операто-
ра задачи, а самого решения. Предложена новая общая процедура расщепления решения
на основе аддитивного представления единичного оператора через операторы ограничения
и продолжения для вспомогательных пространств. Построены и исследуются безусловно
устойчивые схемы расщепления при приближённом решении задачи Коши для эволюцион-
ного уравнения второго порядка, которое рассматривается в конечномерном гильбертовом
пространстве.
DOI: 10.31857/S0374064121070025
Введение. Численное решение нестационарных краевых задач для уравнений с частными
производными базируется на использовании, чаще всего, неявных аппроксимаций по времени,
которые обеспечивают для соответствующих разностных схем их безусловную устойчивость
по начальным данным и правой части [1, гл. 6; 2, гл. II]. Явные схемы более просты для
нахождения приближённого решения на новом слое, но имеют жёсткие ограничения на шаги
по времени. Целью многих исследований является построение схем, которые бы наследовали, в
той или иной мере, достоинства явных и неявных аппроксимаций: сохраняли бы устойчивость,
но были бы более удобными для вычислительной реализации.
Упрощение задачи на новом слое без потери устойчивости достигается, в частности, ис-
пользованием неоднородных аппроксимаций по времени. Широкое распространение получили
явно-неявные схемы (IMEX-методы) (см., например, [3, гл. IV]). В этом случае оператор задачи
расщепляется на два операторных слагаемых с выделением приемлемого для вычислительной
реализации слагаемого, которое берётся с верхнего слоя, а другое слагаемое - с нижнего слоя
по времени. В недавней работе [4] нами проведено исследование явно-неявных двух- и трёх-
слойных операторно-разностных схем для эволюционного уравнения первого порядка как для
стандартного расщепления основного оператора задачи, так и для расщепления оператора при
производной решения по времени.
В схемах расщепления [5, гл. II; 6, гл. 3] используется аддитивное представление оператора
задачи. Переход на новый слой по времени осуществляется при помощи решения эволюцион-
ных задач для отдельных операторных слагаемых. Во многих нестационарных задачах вы-
числительно приемлемые подзадачи имеет смысл строить на основе декомпозиции решения,
когда более простые задачи формулируются для отдельных составляющих решения. Такие схе-
мы расщепления решения построены в работе [7] для приближённого решения задачи Коши в
конечномерном гильбертовом пространстве для эволюционного уравнения первого порядка.
В настоящей работе схемы расщепления решения строятся для эволюционных уравнений
второго порядка. Декомпозиция решения проводится как на прямой сумме подпространств,
так и на новом варианте, который связывается с аддитивным представлением единичного
оператора на основе операторов ограничения и продолжения. Схемы расщепления основыва-
ются на использовании явно-неявных аппроксимаций по времени при выделении диагональной
части или треугольного расщепления соответствующей операторной матрицы. Устойчивость
предложенных трёхслойных схем расщепления решения исследуется с привлечением общих
880
СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
881
результатов теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем [2, гл. IV; 8,
гл. 4].
1. Постановка задачи. Рассматривается задача Коши для эволюционного уравнения вто-
рого порядка в конечномерном гильбертовом пространстве V. Для того чтобы не усложнять
текст несущественными техническими деталями, ограничимся однородным уравнением
d2u
+ Au = 0,
0<t≤T.
(1)
dt2
Дополним уравнение (1) начальными условиями
du
u(0) = u0,
(0) = u0.
(2)
dt
Будем считать, для упрощения, что линейный оператор A : V → V является постоянным (не
зависит от t), самосопряжённым и положительным:
d
d
A=A
,
A = A∗ > 0.
(3)
dt
dt
К задаче (1)-(3) мы приходим, например, при численном решении начально-краевых задач
для гиперболических уравнений второго порядка после дискретизации по пространственным
переменным.
Скалярное произведение векторов u, v ∈ V обозначим через (u, v), а норму вектора u -
через ∥u∥ = (u, u)1/2. Для самосопряжённого и положительного оператора D определяет-
ся гильбертово пространство VD со скалярным произведением (u, v)D = (Du, v) и нормой
∥u∥D = (u, v)1/2D.
При приближённом решении задачи Коши (1), (2) чаще всего ориентируются на неявные
аппроксимации по времени, которые дают безусловно устойчивые схемы. Будем использовать
равномерную сетку по времени с шагом τ, и пусть
yn = y(tn), tn = nτ, n = 0,N, Nτ = T.
Наше рассмотрение естественно начать с трёхслойной схемы с весом σ = const:
yn+1 - 2yn + yn-1
+ A(σyn+1 + (1 - 2σ)yn + σyn-1) = 0, n = 1, N - 1,
(4)
τ2
при заданных начальных условиях
y0 = u0, y1 = u1.
(5)
Второе начальное условие на решениях уравнениях (1) определим со вторым порядком, на-
пример, из уравнения
(
)
τ2
I+
A u1 =u0 +τu0,
2
где I - единичный оператор в V. Разностная схема (4), (5) аппроксимирует задачу (1), (2) со
вторым порядком по τ при достаточной гладкости решения u(t).
При формулировке условий устойчивости трёхслойных схем мы можем ориентироваться
на общие результаты устойчивости операторно-разностных схем [2, гл. IV; 8, гл. 4]. Наша
цель состоит в получении аналогов априорных оценок, которые имеют место для дифферен-
циальной задачи. Простейшую оценку для решения задачи (1)-(3) можно получить, скалярно
домножая уравнение (1) на du/dt, что даёт
(
)
d
du2
∥u∥2
= 0.
+
A
dt
dt
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№7
2021
882
ВАБИЩЕВИЧ
В результате приходим к равенству
du
2
t)
∥u(t)∥2A = ∥u0∥2 + ∥u0∥2A,
(6)
+
dt (
которое обеспечивает устойчивость решения по начальным данным и консервативность.
Исследование устойчивости операторно-разностных схем базируется на следующем вспо-
могательном утверждении.
Лемма. Пусть в трёхслойной схеме
n-1
yn+1 - 2yn + y
C
+ Ayn = 0, n = 1, N - 1,
(7)
τ2
C и A - постоянные самосопряжённые операторы. Тогда для решения имеет место равен-
ство
En+1 = En, n = 1,N - 1,
(8)
в котором
(
)
(
)
yn+1 + yn
yn+1 + yn
yn+1 - yn
yn+1 - yn
En+1 = A
,
+ G
,
,
2
2
τ
τ
где G = C - τ2A/4.
Доказательство. Принимая во внимание равенство
n-1
yn+1 + 2yn + y
τ2 yn+1 - 2yn + yn-1
yn =
-
,
4
4
τ2
запишем схему (7) в виде
n-1
yn+1 - 2yn + y
yn+1 + 2yn + yn-1
G
+A
= 0.
(9)
τ2
4
Введём новые переменные sn = (yn + yn-1)/2, rn = (yn - yn-1)/τ, в которых равенство (9)
принимает вид
n
rn+1 - r
sn+1 + sn
G
+A
= 0.
τ
2
Домножая его скалярно на 2(sn+1 - sn) = τ(rn+1 + rn), получаем
(Grn+1, rn+1) + (Asn+1, sn+1) = (Grn, rn) + (Asn, sn).
Возвращаясь к старым переменным, приходим к равенству (8). Лемма доказана.
Следствие 1. При выполнении неравенств
2
τ
A > 0, C -
A>0
(10)
4
En+1 определяет норму решения, а (8) является оценкой устойчивости
yn+1-yn
2
yn+1+yn
2
u1-u0
2
u1+u0
2
+
=
+
n = 1,N - 1,
(11)
,
τ
2
τ
2
G
A
G
A
для разностной схемы (5), (7).
Следствие 2. При менее жёстких, чем (10), ограничениях
2
τ
A > 0, C -
A≥0
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№7
2021
СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
883
оценка устойчивости имеет место в более слабой норме: вместо равенства (11) выполня-
ется неравенство
yn+1+yn
2
u1-u0
2
u1+u0
2
≤
+
n = 1,N - 1,
,
2
τ
2
A
G
A
для 0.5(yn+1 + yn).
Теперь мы можем сформулировать условия устойчивости схемы (4), (5). Уравнение (4)
записывается в виде (7) при C = I + στ2A. Тем самым
(
)
1
G=I+ σ-
τ2A
4
и условия устойчивости (10) будут выполнены при стандартных [2, гл. IV; 8, гл. 4] ограниче-
ниях на вес: σ ≥ 0.25.
Основной недостаток неявных схем связан с вычислительной сложностью задачи для опре-
деления решения на новом слое по времени. При использовании схемы (4), (5) приближённое
решение yn+1 находится как решение задачи
(I + στ2A)yn+1 = ϕn
при известной правой части
ϕn = (I + στ2A)(2yn - yn-1) - τ2Ayn.
Актуальной является задача построения таких аппроксимаций по времени, которые приводили
бы к более простым алгоритмам для нахождения приближённого решения на новом слое по
времени.
В методах расщепления [5, гл. II; 6, гл. 3] упрощение задачи достигается за счёт того или
иного представления оператора (операторов) задачи в виде суммы более простых операторов.
Если оператор задачи A имеет аддитивное представление
∑
A= Aα,
α=1
то для приближённого решения задачи (1), (2) применяются явно-неявные аппроксимации. Пе-
реход на новый слой по времени обеспечивается решением ряда более простых задач, которые
формируются отдельными операторами Aα, α = 1, p:
(I + στ2Aα)yn+1α = ϕnα, σα = const, α = 1, p.
Мы рассматриваем новый класс численных методов приближённого решения нестационар-
ных задач. Эти методы основываются не на расщеплении операторов, а на расщеплении самого
решения [7]. Выделим общие конструкции аддитивного представления приближённого реше-
ния и построим соответствующие явно-неявные схемы для задачи Коши (1), (2).
2. Расщепление решения. Будем работать с семейством некоторых конечномерных гиль-
бертовых пространств Vα, α = 1, p, которые имеют, например, существенно меньшую размер-
ность, чем пространство V. Из решений в пространствах Vα строится аддитивное представ-
ление решения в исходном пространстве V.
Для каждого их этих пространств определены линейные операторы - оператор Rα огра-
ничения с пространства V на пространство Vα и оператор R∗α продолжения с Vα на V :
Rα : V → Vα, R∗α : Vα → V, α = 1,p.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№7
2021
2∗
884
ВАБИЩЕВИЧ
Мы предполагаем, что для V имеет место разложение
∑
V = R∗αVα,
α=1
так что для каждого u ∈ V справедливо равенство
∑
u = R∗αuα, uα ∈ Vα, α = 1,p.
(12)
α=1
Тем самым имеет место аддитивное представление для u ∈ V :
∑
u = wα, wα = R∗αuα, wα ∈ V, α = 1,p.
α=1
Чтобы получить систему уравнений для отдельных слагаемых uα,
α = 1,p, подставим
представление (12) в уравнение (1) и поочерёдно домножим его на Rα,
α = 1,p. Это даёт
∑
d2uβ
∑
RαR∗
+
RαAR∗βuβ = 0, α = 1,p.
(13)
β dt2
β=1
β=1
Полученная система уравнений дополняется начальными условиями
duα
uα(0) = u0α,
(0) = u0α, α = 1, p,
(14)
dt
которые вытекают из условий (2). В (14) векторы u0α, α = 1, p, и u0α, α = 1, p, - решения,
возможно не единственные, систем уравнений
∑
∑
RαR∗βu0β = Rαu0,
RαR∗βu0β = Rαu0, α = 1,p.
β=1
β=1
Наша цель состоит в том, чтобы построить такие аппроксимации по времени для задачи
Коши (13), (14), которые обеспечивали бы переход на новый слой по времени с помощью реше-
ния отдельных задач для uα, α = 1, p. В этом случае, принимая во внимание представление
(12), речь идёт о схемах расщепления решения для задачи (1), (2).
Запишем систему (13) в виде одного уравнения второго порядка для векторных величин.
Определим вектор u = {u1, . . . , up} и от задачи (13), (14) перейдём к задаче Коши
d2u
B
+ Au = 0,
(15)
dt2
du
u(t) = u0,
(0) = u0,
(16)
dt
где B и A - следующие операторные матрицы: B = (RαR∗β), A = (RαAR∗β), α, β = 1, p.
Задачу (15), (16) естественно рассматривать на прямой сумме V = V1
⊕ ... ⊕Vp про-
странств V1, . . . , Vp; при этом для u, v ∈ V скалярное произведение и норма определяются
выражениями
∑
(u, v) =
(uα, vα)α и
∥u∥ = (u, u)1/2,
α=1
здесь и далее ( · , · )α - скалярное произведение в пространстве Vα, α = 1, p.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№7
2021
СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
885
В силу того, что (RαR∗β)∗ = RβR∗α, α, β = 1, p, оператор B самосопряжён. Кроме того,
непосредственно убеждаемся в том, что справедливо равенство
)2
)
((p∑
(Bu, u) =
R∗
α
uα
,1
,
(17)
α=1
из которого вытекает неотрицательность оператора B. В силу равенств (17) и (12) имеем
(Bu, u) = ∥u∥2.
(18)
Аналогичные свойства при выполнении условий (3) имеют место для оператора A:
)2
)
((p∑
(Au, u) =
R∗uα
,1
= ∥u∥2A.
(19)
α
α=1
A
Таким образом, приходим к векторной задаче (15), (16), в которой B = B∗ ≥ 0, A = A∗ ≥ 0.
Домножая уравнение (15) скалярно в V на du/dt, получаем
((
)
)
d
du
du
B
,
+ (Au, u)
= 0.
dt
dt
dt
Тем самым имеет место равенство
(
)
du
du
B
,
+ (Au, u) = (B u0, u0) + (Au0, u0),
dt
dt
которое с учётом равенств (18), (19) равносильно оценке (6) для решения задачи (1), (2).
После декомпозиции (12) решения задачи (1), (2) приходим к векторной задаче (13), (14)
для отдельных слагаемых решения uα, α = 1, p. Они связаны друг с другом компонентами не
только операторной матрицы A, но и матрицы B. Чтобы получить распадающиеся задачи,
нужно строить те или иные расщепления обеих операторных матриц A и B. Особенно про-
блематично это сделать для матрицы B - приходится ориентироваться на четырёхслойные
разностные аппроксимации по времени. Явно-неявные аппроксимации при расщеплении опера-
тора при производной по времени для эволюционных уравнений первого порядка рассмотрены
в статье [4] и использовались в [7] при построении схем расщепления решения. В настоящей
работе рассматриваются варианты расщепления решения в случае, когда операторная мат-
рица B является диагональной и необходимо расщеплять только операторную матрицу A.
Выделим два типа такого расщепления, которые связаны с дополнительными ограничениями
на пространства Vα, α = 1, p.
Будем искать решение u на прямой сумме подпространств, когда для V используется
декомпозиция
⊕
V = R∗αVα.
α=1
В этом случае для операторов ограничения имеет место соотношение
{
> 0, α = β,
RαR∗β =
α, β = 1, p.
(20)
0,
α=β,
Поэтому для отдельных слагаемых решения в представлении (12) получаем RαR∗αuα = Rαu,
α = 1,p. Для векторной задачи (15), (16) в случае (20) операторная матрица B является
диагональной и положительной, а матрица A та же, что и выше:
B = diag (R1R∗1,...,RpR∗p), A = (RαAR∗β), α,β = 1,p.
(21)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№7
2021
886
ВАБИЩЕВИЧ
Отметим второй подход к аддитивному представлению решения (12), который также при-
водит к диагональной операторной матрице B. Эта новая конструкция предложена в ра-
ботах [9, 10] для построения схем декомпозиции области для нестационарных задач. Будем
считать, что для операторов ограничения справедливо равенство
∑
R∗αRα = I.
(22)
α=1
Тем самым в (12) имеем uα = Rαu, α = 1, p. Тогда при расщеплении решения (12), (22) в
векторной задаче (15), (16) для операторных матриц B и A получаем
B = I, A = (RαAR∗β), α,β = 1,p,
(23)
где I - единичная операторная матрица в V .
3. Аппроксимация по времени. Мы ориентируемся на схемы расщепления решения, в
которых отдельные компоненты vα, α = 1, p, вектора v определяются из независимых задач.
Благодаря выбору подпространств (20) или (22) эти компоненты (см. (21) и (23)) связываются
только операторной матрицей A.
Схемы расщепления решения мы можем строить на выделении диагональной части опе-
раторной матрицы A, тогда приходим к аналогам блочных методов Якоби. Второй вари-
ант базируется на треугольном разложении операторной матрицы A - приходим к аналогам
блочных методов Зейделя. Подобные классы аддитивных схем используются, например, при
численном решении краевых задач для систем параболических уравнений [6, гл. 10].
Выделим диагональную часть A0 операторной матрицы A:
A0 = diag (R1AR∗1,... ,RpAR∗p).
Для приближённого решения задачи (15), (16) будем использовать трёхслойную схему
n-1
yn+1 - 2yn + y
B
+A0(σyn+1 +(1-2σ)yn +σyn-1)+(A-A0)yn = 0, n = 1,N - 1, (24)
τ2
y0 = u0, y1 = u1,
(25)
с весовым параметром σ = const > 0. Второе начальное условие (25) рассчитывается, напри-
мер, с использованием двухслойной схемы
(
)
τ2
τ2
I+
A0 u1 = u0 + τ u0 +
(A0 - A)u0.
2
2
Для нахождения приближённого решения на новом слое в рассматриваемых нами случаях
(21) или (23) имеем систему распадающихся уравнений
(B + στ2A0)wn+1 = ϕn,
которая однозначно разрешима. Условия устойчивости даются следующим утверждением с
учётом того, что A ≥ 0.
Теорема 1. Для трёхслойной явно-неявной схемы (24), (25) при выполнении условий (21)
или (23) имеет место равенство (8), в котором
(
)
(
)
yn+1 + yn
yn+1 + yn
yn+1 - yn
yn+1 - yn
En+1 = A
,
+ G
,
,
(26)
2
2
τ
τ
где G = B + στ2A0 - τ2A/4.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№7
2021
СХЕМЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
887
При σ ≥ 0.25p справедливо неравенство G > 0, которое обеспечивает безусловную
устойчивость схемы с выполнением априорной оценки
yn+1-yn
2
u1-u0
2
u1+u0
2
≤
+
,
n = 1,N - 1.
(27)
τ
τ
2
G
G
A
Доказательство. Запишем схему (24) в виде
n-1
yn+1 - 2yn + y
C
+ Ayn = 0, n = 1, N - 1,
(28)
τ2
где C = B + στ2A0. На основании доказанной леммы справедливо равенство (8) при задании
En+1 равенством (26).
Очевидно, что G = C - τ2A/4. Поэтому с учётом (19) и неравенства
)2
( p∑
∑
aα
≤p a2α
α=1
α=1
получаем
∑
1
(A0v, v) =
((R∗αvα)2, 1)A ≥
(Av, v).
p
α=1
Тем самым G > 0 при σ ≥ 0.25p. Это даёт нам возможность из равенства (8), (26) вывести
оценку устойчивости по начальным данным (27). Теорема доказана.
Можно ориентироваться на оценки устойчивости непосредственно для исходной задачи
(1), (2). Например, в случае (21) вследствие (18), (19) при σ ≥ 0.25p имеем
(
)
(
)
yn+1 + yn
yn+1 + yn
yn+1 - yn
yn+1 - yn
yn+1-yn
2
yn+1+yn
2
A
,
+ G
,
≥
+
2
2
τ
τ
τ
2
A
с учётом того, что
∑
yn+1 =
R∗αyn+1α, yn+1 = {yn+11,... ,yn+1p}.
α=1
Равенство (8), (26) приводит нас к аналогу оценки (6):
(
)
yn+1-yn
2
yn+1+yn
2
u1-u0
2
u1+u0
2
u1 - u0
u1 - u0
≤
+ (G - B)
,
,
(29)
+
+
τ
2
τ
2
τ
τ
A
A
где n = 1, N - 1.
Любое расщепление операторов задачи приводит к дополнительным погрешностям при
приближённом решении нестационарных задач. Повышения точности схем расщепления для
задачи (15), (16) можно достичь использованием треугольного расщепления операторной мат-
рицы A. Определим треугольные матрицы
⎛
⎞
⎛
⎞
1
1
R1AR∗1
0
···
0
R1AR∗1
R1AR∗2
···
R1AR∗p
⎜2
⎟
⎜2
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
1
1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
R2AR∗
1
R2AR∗2
···
0
⎟
⎜
0
R2AR∗2
···
R2AR∗p
⎟
A1 =
2
,
A2 =
2
⎜
⎟
⎜
⎟.
⎜
···
···
···
0
⎟
⎜
0
···
···
···
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
1
1
RpAR∗1
RpAR∗2
···
RpAR∗
p
0
0
···
RpRR∗
p
2
2
Тогда очевидны равенства
A=A1 +A2, A∗1 =A2.
(30)
Расщепления (30) связываются со схемами попеременно-треугольного метода Самарского [11].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№7
2021
888
ВАБИЩЕВИЧ
При двухкомпонентном расщеплении (30) наибольший интерес представляют аналоги клас-
сических схем переменных направлений. Такие аддитивные схемы для эволюционных уравне-
ний второго порядка рассмотрены в [6, гл. 4]. Для приближённого решения задачи (15), (16),
(30) будем использовать схему
n-1
yn+1 - 2yn + y
(B + στ2A1)B-1(B + στ2A2)
+ Ayn = 0, n = 1, N - 1.
(31)
τ2
Вычислительная реализация (31) обеспечивается последовательным определением компонент
решения на новом слое по времени. В плане адаптации в архитектуре параллельных вычис-
лительных систем схема (24) более предпочтительна, так как компоненты решения находятся
независимо друг от друга.
Теорема 2. Для трёхслойной явно-неявной схемы (25), (31) при выполнении условий (21)
или (23) имеет место равенство (8), (26), в котором
2
τ
G=C-
A, C = B + στ2A + σ2τ4A1B-1A2.
4
При σ ≥ 0.25 справедливы соотношения G = G∗ > 0, что обеспечивает безусловную устой-
чивость схемы с выполнением априорной оценки (27).
Доказательство. Исследование устойчивости проводится по схеме доказательства теоре-
мы 1. Схема (31) записывается в виде (28) при C = C∗ ≥ B + στ2A. Устойчивость в силу
доказанной в работе леммы имеет место при стандартных ограничениях на вес σ ≥ 0.25.
Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации (со-
глашение № 14.Y26.31.0013).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Samarskii A.A. The Theory of Difference Schemes. New York, 2001.
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М., 1973.
3. Hundsdorfer W., Verwer J. Numerical Solution of Time-Dependent Advection-Diffusion-Reaction Equ-
ations. Berlin, 2003.
4. Вабищевич П.Н. Явно-неявные схемы для эволюционных уравнений первого порядка // Диффе-
ренц. уравнения. 2020. Т. 56. № 7. С. 910-917.
5. Marchuk G.I. Splitting and alternating direction methods // Handbook of Numerical Analysis / Eds.
P.G. Ciarlet, J.-L. Lions. V. I. North-Holland, 1990. P. 197-462.
6. Vabishchevich P.N. Additive Operator-Difference Schemes: Splitting Schemes. Berlin, 2014.
7. Efendiev Y., Vabishchevich P.N. Splitting methods for solution decomposition in nonstationary problems
// Appl. Math. and Comput. 2021. V. 397. P. 125785.
8. Samarskii A.A., Matus P.P., Vabishchevich P.N. Difference Schemes with Operator Factors. Dordrecht,
2002.
9. Vabishchevich P.N. Vector domain decomposition schemes for parabolic equations // Comput. Math.
Math. Phys. 2017. V. 57. № 9. P. 1511-1527.
10. Vabishchevich P.N. Two classes of vector domain decomposition schemes for time-dependent problems
with overlapping subdomains // In: I. Lirkov, S. Margenov Eds. Large-Scale Scientific Computing. LSSC
2017. Lecture Notes in Computer Science. V. 10665. Springer, 2018. P. 85-92.
11. Samarskii A.A. An economical algorithm for the numerical solution of systems of differential and algebraic
equations // U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys. 1964. V. 4. № 3. P. 263-271.
Институт проблем безопасного развития
Поступила в редакцию 22.01.2021 г.
атомной энергетики РАН, г. Москва,
После доработки 22.01.2021 г.
Северо-Восточный федеральный университет
Принята к публикации 27.04.2021 г.
им. М.К. Аммосова, г. Якутск
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№7
2021
