ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 7, с.889-899

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

УДК 519.642.2

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ В ОСОБОМ СЛУЧАЕ

Исследовано линейное интегро-дифференциальное уравнение с особым дифференциаль-

ным оператором в главной части. Для его приближённого решения в пространстве

обобщённых функций предложен и обоснован специальный обобщённый вариант метода

коллокации.

DOI: 10.31857/S0374064121070037

Объектом исследования в работе является линейное интегро-дифференциальное уравнение

(ИДУ) вида

∫

∏

Ax ≡ x(p)(t) (t - t_j)mj + K(t, s)x(s) ds = y(t),

(1)

j=1

-1

в котором t ∈ I ≡ [-1, 1], числа t_j ∈ (-1, 1), m_j ∈ N (j = 1, q) и p ∈ Z₊ фиксированы;

K и y - известные непрерывные функции, обладающие определёнными свойствами “гладко-

сти” точечного характера, а x - искомая функция. Очевидно, что задача о нахождении реше-

ния уравнения (1) в классе обычных гладких функций является некорректно поставленной.

Следовательно, возникает важный вопрос о построении основных пространств, обеспечиваю-

щих корректность этой задачи. При изучении этого вопроса естественно учитывать то, что

при p = 0 ИДУ (1) представляет собой интегральное уравнение третьего рода (УТР) (т.е.

в этом смысле эти уравнения являются “родственными”). Последнее уравнение встречается

в ряде задач теорий переноса нейтронов, упругости, рассеяния частиц (см., например, [1 и

библиографию в ней; 2, с. 121-129]), теории уравнений с частными производными смешанно-

го типа [3], а также теории сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся симво-

лом [4]. При этом, как правило, естественными классами решений УТР являются специальные

пространства обобщённых функций типа D или V. Под D (соответственно, V ) понимается

пространство обобщённых функций, построенных при помощи функционала “дельта-функция

Дирака” (соответственно, “конечная часть интеграла по Адамару”). Подробный обзор получен-

ных результатов и обширную библиографию по УТР можно найти в монографии [5, с. 3-11,

168-173] и в диссертации [6, с. 3-6, 106-114].

ИДУ (1) при q = 1, t₁ = 0 исследовано в работе [7, с. 25-43], в которой с использовани-

ем известных результатов по УТР построена теория Нётера для такого уравнения в классах

гладких и обобщённых функций типа D. При этом вопросы фредгольмовости и обратимо-

сти оператора A, поиска точного решения ИДУ (1) в пространстве обобщённых функций

остались не решёнными. Следует отметить, что исследуемые ИДУ точно решаются лишь в

очень редких частных случаях. Поэтому особенно актуальна разработка эффективных мето-

дов их приближённого решения в пространствах обобщённых функций с соответствующим

теоретическим обоснованием. Построение таких методов до настоящего времени в литературе

не рассматривалось.

В данной работе построена полная теория разрешимости общего ИДУ (1) в некотором

пространстве типа D обобщённых функций (фредгольмовость уравнения, условия разреши-

мости, алгоритм отыскания точного решения, достаточные условия непрерывной обратимости

оператора A). Более того, разработан полиномиальный прямой проекционный метод, спе-

циально приспособленный к приближённому решению ИДУ (1) в классе обобщённых функ-

ций, и дано его обоснование в смысле [8, гл. 1]. Именно, доказана теорема существования и

889

890

ГАББАСОВ

единственности решения соответствующего приближённого уравнения, установлены оценки

погрешности этого решения и доказана сходимость последовательности приближённых реше-

ний к точному решению в пространстве обобщённых функций. Исследованы также вопросы

устойчивости и обусловленности аппроксимирующих уравнений.

1. Пространства основных и обобщённых функций. Пусть C ≡ C(I) - банахово

пространство всех непрерывных на I функций с обычной max-нормой и m ∈ N. Следуя [9],

скажем, что функция f ∈ C принадлежит классу C{m; t₀} ≡ C^{m}t(I), если в точке t0 ∈

∈ (-1, 1) существует тейлоровская производная f^{m}(t₀) порядка m (естественно считаем,

что C{0; t₀} ≡ C).

Далее, пусть t₁, t₂, . . . , t_q - произвольно фиксированные попарно различные точки ин-

тервала (-1, 1). Каждой точке t_j поставим в соответствие некоторое натуральное число m_j

(j = 1, q). Введём векторное пространство

⋂

C{m; τ} ≡ C^{m}τ(I) ≡ C{m_j; t_j },

j=1

где m ≡ (m₁, m₂, . . . , m_q) и τ ≡ (t₁, t₂, . . . , t_q) - конечные наборы соответствующих величин.

Построим теперь основное в наших исследованиях пространство

Y ≡ {y ∈ C{m;τ} : y^{i}(t_j) = 0 (i = 0,p - 1, j = 1,q)},

где p ∈ Z₊ таково, что p < μ, μ ≡ min{m₁, m₂, . . . , m_q}. Снабдим его нормой

∑

m_j-1∑

∥y∥_Y ≡ ∥T y∥_C +

|y^{i}(t_j )|,

(2)

j=1

i=p

где T : Y → C - “характеристический” оператор класса Y, определяемый следующим образом:

[

]

∑

m_j-1∑

(T y)(t) ≡ y(t) -

y^{i}(t_j)H_ji(t) (u(t))-1 ≡ H(t) ∈ C,

j=1

i=p

∏

u(t) ≡

(t - t_j )mj , H(t_j ) ≡ lim H(t) (j = 1, q),

t→t_j

j=1

∑_q

H_ji - фундаментальные полиномы Эрмита степени m - 1 по системе {t_j}, m ≡

m_j.

j=1

Лемма 1. i) Включение y ∈ Y равносильно равенству

∑

m_j-1∑

y(t) = (u · H)(t) +

α_jiH_ji(t),

(3)

j=1

i=p

причём Ty = H ∈ C с точностью до устранимого разрыва в точках t_j (j = 1,q), а y^{i}(t_j) =

= α_ji ∈ R (i = p,m_j - 1, j = 1,q).

ii) Пространство Y по норме (2) полно и вложено в пространство C.

Справедливость леммы 1 легко следует из леммы 1.4.5 [5, с. 23] для класса C{m; τ} и

определения пространства Y основных функций.

Критерий компактности множеств в пространстве Y устанавливает

Лемма 2. Множество M ⊂ Y относительно компактно в Y тогда и только тог-

да, когда: i) M ограничено; ii) семейство T(M) непрерывных на I функций равностепенно

непрерывно.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

891

Доказательство проводится так же, как и доказательство теоремы 1.2.2 из [5, с. 15].

Отличие заключается лишь в том, что роль пространства C{m; 0} и его “характеристического”

оператора, фигурирующих в теореме 1.2.2, играют соответственно Y и T.

Обозначим через C(p) ≡ C(p)(I) векторное пространство p раз непрерывно дифференци-

руемых на I функций и наделим его специальной нормой

∑

∥z∥(p) ≡ ∥Dz∥_C +

|z(i)(-1)| (z ∈ C(p)),

(4)

i=0

где Dz ≡ z(p)(t) ∈ C. В силу формулы Тейлора (см., например, [10, с. 20]) очевидно, что

включение z ∈ C(p) равносильно равенству

∑

z(t) = (Jg)(t) +

α_i(t + 1)ⁱ,

(5)

i=0

здесь Dz = g ∈ C, z(i)(-1) = α_ii! (i = 0, p - 1);

∫

Jg ≡ (Jp-1g)(t) ≡ ((p - 1)!)-1 (t - s)p-1g(s)ds;

-1

при этом J : C → C(p), (Jg)(i) = Jp-i-1g (i = 0, p - 1), DJg = g.

Из соотношений (5) и (4) легко следует

Лемма 3. Пространство C(p) с нормой (4) полно и нормально вложено в пространство C.

Следствие 1. Обычная норма ∥·∥_C(p) в C(p) и норма (4) эквивалентны, т.е. существует

постоянная d ≥ 1 такая, что ∥z∥(p) ≤ ∥z∥_C(p) ≤ d∥z∥(p) для любой функции z ∈ C(p), где

∑_p

∥z∥_C(p) ≡

∥z(i)∥_C .

i=0

Пусть C(p)-1 ≡ C(p)-1(I) ≡ {z ∈ C(p)|z(i)(-1) = 0 (i = 0, p - 1)} - банахово пространство

гладких функций с нормой ∥z∥(p) ≡ ∥Dz∥_C .

Теперь над пространством Y основных функций построим семейство X ≡ D(p)-1{m; τ }

обобщённых функций x(t) вида

∑

m_j-p-1∑

x(t) ≡ z(t) +

γ_jiδ^{i}(t - t_j),

(6)

j=1

i=0

где t ∈ I, z ∈ C(p)-1, γ_ji ∈ R - произвольные постоянные, а δ и δ^{i} - соответственно дельта-

функция Дирака и её “тейлоровские” производные, действующие на пространстве Y основных

функций по следующему правилу:

∫1

(δ^{i}, y) ≡

δ^{i}(t - t_j)y(t)dt ≡ (-1)ⁱy^{i}(t_j) (y ∈ Y, i = 0,m_j - p - 1, j = 1,q).

(7)

−1

Очевидно, что векторное пространство X по норме

∑

m_j-p-1∑

∥x∥_X ≡ ∥z∥(p) +

|γ_ji|

(8)

j=1

i=0

является банаховым.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

892

ГАББАСОВ

2. Фредгольмовость ИДУ (1). Пусть задано ИДУ (1):

(Ax)(t) ≡ (V x)(t) + (Kx)(t) = y(t) (t ∈ I),

(9)

∫1

V ≡ UD, Uf ≡ (u · f)(t), Kx ≡ K(t,s)x(s)ds,

-1

где y ∈ Y, ядро K удовлетворяет следующим условиям:

K(·,s) ∈ C, K(t,·) ∈ Y, ϕ_ji(s) ≡ K^{i}t(t_j,s) ∈ C (i = p,m_j - 1,j = 1,q),

ψ_ji(t) ≡ K^{i}s(t,t_j) ∈ Y (i = 0,m_j - p - 1, j = 1,q);

(10)

а x ∈ X - искомая обобщённая функция.

Теорема 1. При выполнении условий (10) оператор A : X → Y фредгольмов.

Доказательство. Предварительно изучим уравнение

∏

V x ≡ x(p)(t) (t - t_j)mj = y(t),

(11)

j=1

в котором p < μ, μ ≡ min{m₁, m₂, . . . , m_q}; y ∈ Y. Покажем, что оператор V : X → Y

ограничен. В силу равенств (6) и (11) имеем

∑

m_j-p-1∑

∑

m_j-1∑

(Dx)(t) = (Dz)(t) +

γ_jiδ{i+p}(t - t_j) = (Dz)(t) +

γ_j,k-pδ^{k}(t - t_j).

(12)

j=1

i=0

j=1 k=p

Тогда, учитывая свойство

(u(t) · δ^{k}(t - t_j), ϕ(t)) ≡ (δ^{k}, (uϕ)(t)) ≡ (-1)^k(uϕ)^{k}(t_j) = 0

(k = 0, m_j - 1, j = 1, q; ϕ ∈ C{m; τ}),

(13)

получаем V x ≡ UDx = UDz, откуда на основании соотношений (2), (3) и (8) следует, что

∥V x∥_Y = ∥UDz∥_Y ≡ ∥T UDz∥_C = ∥Dz∥_C ≡ ∥z∥(p) ≤ ∥x∥_X ,

т.е. ∥V ∥ ≡ ∥V ∥X→Y ≤ 1.

Теперь найдём в пространстве X ≡ D(p)-1{m; τ} решение уравнения (11) и индекс опера-

тора V. Из равенств (12) и (13) вытекает, что в пространстве X общее решение однородного

уравнения V x = 0 имеет вид

∑

m_j-p-1∑

x(t) =

γ_jiδ^{i}(t - t_j) (γ_ji ∈ R).

j=1

i=0

Следовательно, α(V ) ≡ dim ker V = m - pq. С другой стороны, неоднородное уравнение (11)

разрешимо в пространстве X тогда и только тогда, когда выполнены дополнительные условия

(δ^{i}(t - t_j), y) = 0 (i = p, m_j - 1, j = 1, q). При их выполнении общее решение уравнения

(11) представляется формулой

∑

m_j-p-1∑

x(t) = (JT y)(t) +

γ_jiδ^{i}(t - t_j) (γ_ji ∈ R).

j=1

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

893

Это означает, что β(V ) ≡ dim coker V = m - pq. Таким образом, ind V ≡ α(V ) - β(V ) = 0, т.е.

оператор V : X → Y фредгольмов.

Далее обсудим свойства интегрального оператора K. В силу соотношений (9), (6) и (7)

имеем

∑

m_j-p-1∑

(Kx)(t) = (Kz)(t) +

(-1)ⁱγ_jiψ_ji(t).

(14)

j=1

i=0

Отсюда с учётом условий (10) видим, что Kx ∈ Y (x ∈ X). Используя определение (2),

следствие 1 и определение (8), последовательно находим, что

∑

m_j-p-1∑

∥Kx∥_Y ≤ ∥Kz∥_Y +

|γ_ji|∥ψ_ji∥_Y

≤ 2dd₀∥x∥_X ,

j=1

i=0

где d₀ ≡ ∥T_tK∥_C + (m - pq) max

|ϕ_ji(s)|. Следовательно, оператор K действует из X в Y

s∈I;i,j

ограниченно, причём ∥K∥ ≡ ∥K∥_X→Y ≤ 2dd₀.

Пусть L ≡ {x} ⊂ X - произвольное ограниченное множество. Рассуждая аналогично слу-

чаю интегральных уравнений третьего рода (см. [5, с. 52, 53]), с использованием леммы 2

несложно показать, что множество M ≡ K(L) относительно компактно в Y. Другими слова-

ми, оператор K : X → Y вполне непрерывен. Тогда утверждение теоремы 1 непосредственно

следует из того, что возмущение нётерова оператора вполне непрерывным оператором сохра-

няет нётеровость и не изменяет его индекса.

3. Непрерывная обратимость интегро-дифференциального оператора. Рассмот-

рим ИДУ (1), в котором ядро K подчинено условиям (10), y ∈ Y, а x ∈ X - искомая

обобщённая функция вида (6). С учётом соотношений (6), (12)-(14) преобразуем уравнение

(1) к виду

∑

m_j-p-1∑

(Az)(t) = y(t) -

c_jiψ_ji(t),

(15)

j=1

i=0

где cji ≡ (-1)iγji (i = 0, mj - p - 1, j = 1, q). Наша задача заключается в нахождении

функции z ∈ C(p)-1 и произвольных постоянных c_ji.

Лемма 4. Если ядро K (по s) принадлежит классу C, а ядро K (по t) и функция y

принадлежат пространству Y, то ИДУ (1) (A : C(p)-1 → Y ) эквивалентно в C(p)-1 ИДУ

∫1

Bx ≡ (Dx)(t) + (T_tK)(t,s)x(s)ds = (Ty)(t)

-1

и соотношениям

∫

ϕlk(s)x(s) ds = y^{k}(tl) (k = p, ml - 1, l = 1, q).

-1

Доказательство. В силу равенства (3) очевидно, что для любой функции g ∈ Y имеет

место эквивалентность

g = 0 ⇔ Tg = 0, g^{k}(t_l) = 0 (k = p,m_l - 1, l = 1,q).

(16)

Тогда, взяв в (16) g ≡ Ax - y ∈ Y (x ∈ C(p)-1, y ∈ Y ), убеждаемся в справедливости утвер-

ждения леммы. Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

894

ГАББАСОВ

Из этой леммы следует, что уравнение (15) равносильно ИДУ

∑

m_j-p-1∑

(Bz)(t) = (T y)(t) -

c_ji(Tψ_ji)(t)

(17)

j=1

i=0

в пространстве C(p)-1 и соотношениям

∫1

∑

m_j-p-1∑

y^{k}(t_l) - ϕ_lk(s)z(s)ds -

c_jiψ^{k}ji(t_l) = 0 (k = p,m_l - 1, l = 1,q).

(18)

j=1

i=0

−1

Очевидно, что подстановка z(p) ≡ w(t) ∈ C равносильным образом приводит ИДУ (17) к

следующему уравнению Фредгольма второго рода в пространстве C:

∫1

∑

m_j-p-1∑

w(t) + G(t, ρ)w(ρ) dρ = (T y)(t) -

c_ji(Tψ_ji)(t),

(19)

j=1

i=0

−1

где

∫

G(t, ρ) ≡

(T_tK)(t, s)(s - ρ)p-1 ds,

(p - 1)!

причём G ∈ C(I²).

Пусть λ = -1 не является собственным значением уравнения (19) (или ядра G) и R -

разрешающий оператор этого уравнения. Тогда функция

∑

m_j-p-1∑

w^∗(t) ≡ (RTy)(t) -

c_ji(RTψ_ji)(t)

j=1

i=0

является единственным непрерывным решением уравнения (19). Следовательно,

∑

m_j-p-1∑

z^∗(t) ≡ (Jw^∗)(t) = (JRTy)(t) -

c_ji(JRTψ_ji)(t)

j=1

i=0

– единственное гладкое решение ИДУ (17), которое будет решением и исходного уравнения

(15), если в силу (18) постоянные {c_ji} удовлетворяют квадратной системе линейных алгеб-

раических уравнений (СЛАУ)

∑

c_ji(Qψ_ji)^{k}(t_l) = (Qy)^{k}(t_l) (k = p,m_l - 1, l = 1,q),

(20)

j=1

i=0

где оператор Q ≡ E - KJRT отображает Y в Y, а E - единичный оператор в Y.

Таким образом, доказана

Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:

a) ядро K удовлетворяет условиям (10), и y ∈ Y ;

b) число λ = -1 не является собственным значением ядра G(t, ρ);

c) определитель СЛАУ (20) отличен от нуля.

Тогда для любой правой части y ∈ Y ИДУ(1) допускает единственное обобщённое реше-

ние x^∗ ∈ X. Это решение представляется формулой

∑

m_j-p-1∑

∑

m_j-p-1∑

x^∗(t) = (JRTy)(t) -

c^∗ji(JRTψ_ji)(t) +

(-1)ⁱc^∗jiδ^{i}(t - t_j),

(21)

j=1

i=0

j=1

i=0

где {c^∗ji} - единственное решение СЛАУ (20).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

895

Следствие 2. В условиях теоремы 2 интегро-дифференциальный оператор A : X → Y,

определённый равенством (1), непрерывно обратим.

Теперь построим пример, который, во-первых, хорошо иллюстрирует содержание теоремы 2

и, во-вторых, играет полезную роль при оптимизации прямых проекционных методов решения

ИДУ вида (1).

Пример 1. Ради упрощения выкладок в ИДУ (1) будем считать q = 1, t₁ = 0, т.е.

рассмотрим уравнение вида

∫1

Ax ≡ t^mx(p)(t) + K(t, s)x(s) ds = y(t) (t ∈ I),

(22)

-1

в котором p < m, y ∈ Y ≡ {y ∈ C{m; 0}| : y^{i}(0) = 0 (i = 0, p - 1)},

∑

K(t, s) = K^∗(t, s) ≡

(j!(j - p)!)-1t^js^j-p,

j=p

∑m-p-1

а x(t) ≡ z(t) +

γ_iδ^{i}(t) - искомая обобщённая функция. В обозначениях теоремы 2

i=0

последовательно заключаем, что справедливы импликации:

T_tK = 0 ⇒ G(t,ρ) ≡ 0 ⇒ R = E : C → C ⇒ Qy = y - KJTy (y ∈ Y );

ψ_i(t) ≡ K^{i}s(t,0) = ((i + p)!)-1ti+p (i = 0,m-p-1) ⇒ Tψ_i = 0 ⇒ Qψ_i = ψ_i (i = 0,m-p-1).

Следовательно, СЛАУ (20) принимает вид

∑

c_iδk,i+p = (y - KJTy)^{k}(0) (k = p,m - 1),

i=0

где δk,i+p - символ Кронекера, откуда получаем, что c^∗i = (y-KJT y){i+p}(0) (i=0, m - p - 1).

Тогда в силу (21) имеем

∑

x^∗(t) = (JTy)(t) +

(-1)ⁱ(y - KJT y){i+p}(0)δ^{i}(t).

(23)

i=0

Непосредственная подстановка элемента x^∗ в уравнение (22) показывает, что ИДУ (22) при

K = K^∗ имеет единственное обобщённое решение (23) для любой правой части y ∈ Y.

4. Обобщённый метод коллокации (ОМК) приближённого решения ИДУ (1).

Пусть задано ИДУ (1). Ради сокращения громоздких выкладок и упрощения формулировок,

не ограничивая при этом общности идей, методов и результатов, всюду в дальнейшем будем

считать q = 1, t₁ = 0, т.е. рассмотрим ИДУ вида

(Ax)(t) ≡ (V x)(t) + (Kx)(t) = y(t) (t ∈ I),

(24)

∫¹

V ≡ UD, Df ≡ f(p)(t), Ug ≡ t^mg(t), Kx ≡ K(t,s)x(s)ds,

-1

где p ∈ N

^⋃ {0}, m ∈ N, p < m; y ∈ Y ≡ C{m, p; 0} ≡ {y ∈ C{m; 0} : y^{i}(0) = 0 (i =

= 0, p - 1)}, ядро K обладает следующими свойствами:

K(·,s) ∈ C, K(t,·) ∈ Y, ψ_i(t) ≡ K^{i}s(t,0) ∈ Y (i = 0,m - p - 1),

(25)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

896

ГАББАСОВ

а x ∈ X - искомый элемент. В данном случае, согласно определению (6), X ≡ D(p)-1{m;0} -

пространство обобщённых функций x(t) вида

∑

x(t) ≡ z(t) +

γ_iδ^{i}(t) (z ∈ C(p)-1, γ_i ∈ R).

i=0

Приближённое решение уравнения (24) будем искать в виде

∑

x_n ≡ x_n(t;{c_j}) ≡ g_n(t) +

ci+nδ^{i}(t),

(26)

i=0

∑

g_n(t) ≡ (Jz_n)(t), z_n(t) ≡

c_itⁱ (n = 2,3,...).

(27)

i=0

Неизвестные коэффициенты c_j = c(n)j (j = 0, n + m - p - 1) найдём, согласно ОМК, из квад-

ратной СЛАУ (n + m - p)-го порядка:

(T ρ_n)(ν_k) = 0 (k = 1, n), ρ^{i}n(0) = 0 (i = p, m - 1),

(28)

где ρ_n(t) ≡ ρ^An(t) ≡ (Ax_n - y)(t)- невязка приближённого решения, а {ν_k} ⊂ I - система узлов

Чебышёва первого (или второго) рода.

Для вычислительной схемы (24)-(28) справедлива

Теорема 3. Пусть однородное ИДУ Ax = 0 имеет в X лишь нулевое решение (например,

в условиях теоремы 2), а функции h ≡ T_tK (по t), f_i ≡ T ψ_i (i = 0, m - p - 1) и T y принад-

лежат классу Дини-Липшица. Тогда при всех n ∈ N (n ≥ n₀) СЛАУ (28) обладает един-

ственным решением {c^∗j} и последовательность приближённых решений x^∗n ≡ x_n(t;{c^∗j})

сходится к точному решению x^∗ = A-1y по норме пространства X со скоростью

{[

]

}

∑

Δx^∗n ≡ ∥x^∗n - x^∗∥ = O Etn-1(h) +

En-1(f_i) + En-1(Ty) ln n

(29)

i=0

где E_l(f)- наилучшее равномерное приближение функции f ∈ C алгебраическими полинома-

ми степени не выше l, а через E^tl(·) обозначен функционал E_l(·), применённый по перемен-

ной t.

Доказательство. Очевидно, что ИДУ (24) представляется в виде линейного операторного

уравнения

Ax ≡ V x + Kx = y (x ∈ X ≡ D(p)-1{m; 0}, y ∈ Y ≡ C{m, p; 0}),

(30)

в котором оператор A : X → Y непрерывно обратим.

Систему (26)-(28) требуется записать также в операторной форме. С этой целью построим

соответствующие конечномерные подпространства. Именно, через X_n ⊂ X обозначим (n+m-

- p)-мерное подпространство элементов вида (26), а за Y_n ⊂ Y примем класс span{tⁱ}n+m-1p.

Далее введём линейный оператор Γ_n ≡ Γn+m-p : Y → Y_n согласно правилу

∑

tⁱ

Γ_ny ≡ Γn+m-p(y;t) ≡ (UL_nTy)(t) +

y^{i}(0)

(31)

i=p

где L_n : C → Πn-1 ≡ span {tⁱ}n-10 представляет собой интерполяционный оператор Лагранжа

по системе узлов {ν_k}n1.

Покажем теперь, что система (26)-(28) равносильна линейному уравнению

A_nx_n ≡ V x_n + Γ_nKx_n = Γ_ny (x_n ∈ X_n, Γ_ny ∈ Y_n).

(32)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

897

Пусть x^∗n ≡ x_n(t; {c^∗j}) - решение уравнения (32), т.е. V x^∗n + Γ_nη^∗n = 0 (η^∗n ≡ Kx^∗n - y). В силу

равенств (26), (27) и (31) последнее означает, что

∑

tⁱ

(U(z^∗n + L_nT η^∗n))(t) +

(η^∗n)^{i}(0)

≡ 0.

(33)

i=p

На основании равенства (3) при q = 1, t₁ = 0 с учётом того, что L2n = L_n, очевидна эквива-

лентность тождества (33) системе

(L_n(z^∗n + T η^∗n))(t) ≡ 0, (η^∗n)^{i}(0) = 0 (i = p, m - 1).

(34)

Далее, согласно структуре уравнения (30) и равенствам (26), (27) имеем

(ρ^∗n)^{i}(0) = (η^∗n)^{i}(0) (i = p, m - 1, ρ^∗n ≡ Ax^∗n - y)

Tρ^∗n = T(V x^∗n + η^∗n) = z^∗n + Tη^∗n.

Поэтому в системе (34) тривиальность интерполяционного полинома означает, что

(T ρ^∗n)(ν_k) = (z^∗n + T η^∗n)(ν_k) = 0 (k = 1, n).

Следовательно, система (34) принимает вид

(T ρ^∗n)(ν_k) = 0 (k = 1, n), (ρ^∗n)^{i}(0) = 0 (i = p, m - 1).

Итак, СЛАУ (28) имеет решение {c^∗j}n+m-p-10, т.е. решение уравнения (32) является реше-

нием системы (26)-(28).

Для получения обратного утверждения достаточно провести те же рассуждения в обратном

порядке.

Таким образом, для доказательства теоремы 3 достаточно установить существование, един-

ственность и сходимость решений уравнений (32). В этих целях нам понадобится аппроксима-

тивное свойство оператора Γ_n, которое содержит

Лемма 5. Для любой функции y ∈ Y справедлива оценка

∥y - Γ_ny∥_Y ≤ d₁En-1(T y) ln n (n = 2, 3, . . .)

(35)

(здесь и далее d_i (i = 1, 2) - некоторые константы, значения которых не зависят от чис-

ла n).

Справедливость леммы 5 легко следует из представления (3) (при q = 1, t₁ = 0), опреде-

лений (31), (2) и оценки (см., например, [8, с. 107]) ∥f - L_nf∥_C ≤ d₁En-1(f) ln n (f ∈ C).

Рассмотрим теперь вопрос о близости операторов A и A_n на подпространстве X_n. Ис-

пользуя уравнения (24), (32) и оценку (35), для произвольного элемента x_n ∈ X_n находим, что

∥Ax_n - A_nx_n∥_Y = ∥Kx_n - Γ_nKx_n∥_Y ≤ d₁En-1(T Kx_n) ln n.

(36)

В силу равенств (14) и (26) имеем

∑

(Kx_n)(t) = (Kg_n)(t) +

(-1)ⁱci+nψ_i(t).

i=0

Следовательно,

∫1

∑

TKx_n = h(t,s)g_n(s)ds +

(-1)ⁱci+nf_i(t).

(37)

i=0

−1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

898

ГАББАСОВ

Для полиномиального приближения функции T Kx_n ∈ C построим следующий элемент:

∫¹

∑

(Pn-1x_n)(t) ≡ htn-1(t, s)g_n(s) ds +

(-1)ⁱci+nfin-1(t),

(38)

i=0

−1

где htn-1(t, s) и fin-1(t) - полиномы степени n - 1 наилучшего равномерного приближения

для h(t, s) (по t) и f_i(t) соответственно. Из вида функции (38) следует, что Pn-1x_n ∈ Πn-1.

На основании выражений (37) и (38), леммы 3 и определения (8) последовательно выводим

промежуточную оценку

En-1(TKx_n) ≤ ∥TKx_n - Pn-1x_n∥_C ≡

 ∫



∑



≡ max

(h - htn-1)(t, s)g_n(s) ds +

(-1)ⁱci+n(f_i - fin-1)(t)



≤

t∈I

−1

∑

≤ 2∥g_n∥_C Etn-1(h) +

|ci+n|En-1(f_i) ≤ 2∥g_n∥(p)E^t

n-1

(h) + ∥x_n∥_X

En-1(f_i) ≤

(

)

∑

≤ 2∥x_n∥_X Etn-1(h) + 2∥x_n∥_X En-1(f_i) = 2 Etn-1(h) + En-1(f_i) ∥xn∥.

(39)

Из неравенств (36) и (39) следует искомая оценка близости операторов A и A_n:

(

)

∑

ε_n ≡ ∥A - A_n∥Xn→Y ≤ d2 En-1(h) + En-1(fi) lnn.

(40)

Обозначим пространство

H^rα(S) ≡ {f ∈ C(r)(I) : ω(f(r);Δ) ≤ SΔ^α, S ≡ const > 0},

где ω(f; Δ) - модуль непрерывности функции f ∈ C с шагом Δ (0 < Δ ≤ 2).

На основании оценок (40) и (35) из теоремы 7 [8, с. 19] вытекает утверждение теоремы 3 с

оценкой погрешности (29).

Следствие 3. Если функции h (по t), f_i и T y принадлежат пространству H^rα(S), то

в условиях теоремы 3 справедлива оценка Δx^∗n = O(n^-r-α ln n) (r + 1 ∈ N, α ∈ (0, 1]).

5. Заключительные замечания.

1. В силу определения нормы в пространстве D(p)-1{m; 0} нетрудно заметить, что из сходи-

мости последовательности (x^∗n) к x^∗ = A-1y в метрике D(p)-1{m; 0} следует обычная сходи-

мость в пространстве обобщённых функций, т.е. слабая сходимость.

2. При приближении решений операторных уравнений Ax = y возникает естественный

вопрос о скорости сходимости невязки ρ^∗n(t) ≡ (Ax^∗n - y)(t) исследуемого метода. Один из ре-

зультатов в этом направлении легко вытекает из основной теоремы 3, а именно: если исходные

данные уравнения (24) принадлежат классу H^rα

(0 < α ≤ 1, r = 0, 1, 2, . . .), то в условиях

теоремы 3 справедлива оценка ∥ρ^∗n∥_Y = O(n^-r-α ln n).

3. При p = 0 исследуемое ИДУ (24) является интегральным уравнением третьего рода с

оператором A : D{m; 0} → C{m; 0}, а прямой проекционный метод (26)-(28) - специальным

для уравнения третьего рода вариантом ОМК. Следовательно, теорема 3 содержит в себе

известные результаты [5, с. 105, 106] по обоснованию специального варианта ОМК для решения

уравнений третьего рода в классе D{m; 0} обобщённых функций.

4. Так как в условиях теоремы 3 аппроксимирующие операторы A_n обладают свойством

вида ∥A-1n∥ = O(1) (A-1n : Y_n → X_n, n ≥ n₁), то очевидно [8, с. 23, 24], что предложенный в

данной работе прямой метод для ИДУ (24) устойчив относительно малых возмущений исход-

ных данных. Последнее позволяет найти численное решение исследуемых уравнений на ЭВМ

с любой наперёд заданной степенью точности. Более того, если ИДУ (24) хорошо обусловлено,

то хорошо обусловленной является также СЛАУ (28).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

899

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bart G.R., Warnock R.L. Linear integral equations of the third-kind // SIAM J. Math. Anal. 1973. V. 4.

№ 4. P. 609-622.

2. Кейз К.М., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. М., 1972.

3. Бжихатлов Х.Г. Об одной краевой задаче со смещением // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 1.

С. 162-165.

4. Расламбеков С.Н. Сингулярное интегральное уравнение первого рода в исключительном случае в

классах обобщенных функций // Изв. вузов. Математика. 1983. № 10. С. 51-56.

5. Габбасов Н.С. Методы решения интегральных уравнений Фредгольма в пространствах обобщённых

функций. Казань, 2006.

6. Замалиев Р.Р. О прямых методах решения интегральных уравнений третьего рода с особенностями

в ядре: дис

канд. физ.-мат. наук. Казань, 2012.

7. Абдурахман. Интегральное уравнение третьего рода с особым дифференциальным оператором в

главной части: дис

канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 2003.

8. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань, 1980.

9. Прессдорф З. Сингулярное интегральное уравнение с символом, обращающимся в нуль в конечном

числе точек // Мат. исследования. 1972. Т. 7. № 1. C. 116-132.

10. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М., 1988.

Набережночелнинский институт

Поступила в редакцию 15.01.2021 г.

Казанского (Приволжского) федерального университета

После доработки 15.01.2021 г.

Принята к публикации 27.04.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

3^∗