ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 7, с.922-931

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

УДК 519.633.2+517.958:536.71

СПЕКТРАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

ЯВНОЙ ТРЁХСЛОЙНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

С ВОЗМУЩЕНИЯМИ

Изучаются разностные схемы, связанные с упрощённой линеаризованной многомерной ги-

перболической квазигазодинамической системой дифференциальных уравнений. Показы-

вается, что явную двухслойную векторную разностную схему с релаксацией потоков для

гиперболического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, являюще-

гося возмущением уравнения переноса с параметром-множителем при старших производ-

ных, можно свести к явной трёхслойной разностной схеме. Анализируется спектральное

условие равномерной по времени устойчивости такой явной трёхслойной разностной схе-

мы в случае постоянных коэффициентов и выводятся как достаточные, так и необходимые

условия его справедливости, в том числе в форме условий типа Куранта на отношение

шагов по времени и по пространству.

DOI: 10.31857/S0374064121070062

Введение. Гиперболическая квазигазодинамическая (ГКГД) система уравнений представ-

ляет собой специальным образом возмущённую систему уравнений газовой динамики, содер-

жащую слагаемые с производными второго порядка по пространственным и временной пере-

менным с малым параметром-множителем τ > 0. Она применяется для построения семейства

трёхслойных и двухслойных векторных разностных методов численного решения различных

задач газовой динамики [1]. Отметим, что параболические КГД системы представлены в [2, 3].

В [4, 5] установлен набор математических свойств ГКГД системы, в том числе выведены рав-

номерные по времени оценки для соответствующей линеаризованной на постоянном решении

системы. Изучались также гиперболическое второго порядка возмущение с параметром τ па-

раболической начально-краевой задачи без конвективных членов [6, 7] и с ними [8] и устойчи-

вость соответствующих трёхслойного с весом и двухслойного векторного численных методов

[9]. Равномерная по времени устойчивость неявных трёхслойной с весом и двухслойной век-

торной разностных схем для линеаризованной ГКГД системы доказана в [10].

На практике наибольший интерес представляют явные разностные схемы для ГКГД сис-

темы. Однако обоснование равномерной по τ устойчивости их линеаризаций в настоящее

время отсутствует. Применить для этого энергетический метод подобно [4, 10] пока не уда-

лось ввиду достаточно сложной структуры линеаризованных схем, в том числе и по причине

наличия в них аппроксимаций слагаемых как с первыми, так и со вторыми производными по

пространственным и временной переменным, при этом перед вторыми производными присут-

ствует параметр-множитель τ.

Чтобы продвинуться в изучении этого вопроса, в настоящей работе вместо ГКГД системы

уравнений рассматривается упрощённый случай одного гиперболического уравнения второго

порядка с переменными коэффициентами, являющегося возмущением уравнения переноса с

параметром τ при вторых производных. Во-первых, показывается, что явную двухслойную

векторную разностную схему с релаксацией потоков типа [11] для такого уравнения можно

свести к явной трёхслойной разностной схеме. В этой трёхслойной схеме параметр τ перед

аппроксимацией второй производной по t умножен на некоторый множитель больше единицы.

Во-вторых, и это главное, анализируется спектральное условие равномерной по времени устой-

чивости такой явной трёхслойной схемы в случае постоянных коэффициентов. Выводятся как

922

СПЕКТРАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

923

достаточные, так и близкие к ним необходимые условия справедливости спектрального усло-

вия, в том числе в форме условий типа Куранта на отношение шагов по времени и пространст-

ву. Эти условия не зависят от τ. В число необходимых условий входит условие преобладания

коэффициентов вязких слагаемых над коэффициентами переноса. Вывод основан на анализе

расположения на комплексной плоскости корней соответствующего характеристического мно-

гочлена с комплексными коэффициентами с помощью обобщённого критерия Рауса-Гурвица

[12, гл. XVI, § 19]. Предварительно анализируются также критерии аналогичного спектраль-

ного условия устойчивости для самого дифференциального уравнения и разностной схемы

с обнулением параметра τ. Для уравнения таким критерием является условие своего рода

преобладания матрицы вязких слагаемых над вектором коэффициентов переноса; условия по-

добного рода играли существенную роль в [4, 10]. Для указанной схемы критерием служит

условие типа Куранта. Полученные результаты являются достаточно обнадёживающими для

последующего анализа соответствующих свойств разностных схем для ГКГД системы.

1. Гиперболическое дифференциальное уравнение второго порядка и сведение

явной двухслойной векторной разностной схемы с релаксацией потоков для него

к трёхслойной схеме. Рассмотрим гиперболическое дифференциальное уравнение второго

порядка с параметром-множителем τ > 0 при старших производных

τ∂2tu + ∂_tu + ∂_i(b_i(x)u) - τ div (A(x)∇u) = f.

(1)

Искомая функция u = u(x, t) определена и уравнение рассматривается при x = (x₁, . . . , x_n) ∈

∈ Rⁿ, t ≥ 0, а n ≥ 1. Здесь и ниже A(x) = diag {a₁(x),... ,a_n(x)} - диагональная матрица,

операторы div и ∇ берутся по x, а по повторяющимся индексам i, j предполагается сум-

мирование от 1 до n.

Введём равномерную сетку ω_kh с узлами x_kl = lh_k, l ∈ Z, и шагом h_k > 0, сетку,

сдвинутую на h_k/2, с узлами xk(l-1/2) = (l - (1/2))h_k , l ∈ Z, и сеточные операторы

vl-1+ v_l

v_l - vl-1

wl+1/2 - wl-1/2

vl+1 - 2v_l + vl-1

s_kvl-1/2 =

δ_kvl-1/2 =

δ^∗kw_l =

Λ_kv_l =

h_k

h²

где v_l = v(x_kl), wl-1/2 = w(xk(l-1/2)),

1 ≤ k ≤ n. Положим также h = (h₁,...,h_n) и введём

сетку ω_h := ω1h × . . . × ω_nh и операторы s = (s₁, . . . , s_n), ∇h = (δ1,... ,δn).

Введём равномерную сетку ωht с узлами t_m = mh_t, m ≥ 0, и шагом h_t > 0 и разностные

операторы

y-y

δty =y-y,

δ_ty =

ty =

Λ_ty = δ_tδ_ty =y-2y+y,

h_t

2h_t

h²

где y^m = y(t_m),

ym = ym-1 и y^m = ym+1. Пусть ωht = ωht \{0}.

Рассмотрим явную двухслойную по t векторную разностную схему с релаксацией потоков

типа [11] для уравнения (1), симметричную и трёхточечную по x₁, . . . , x_n:

ϕ = e-ht/τϕ - (1 - e-ht/τ)(Bsv - τA∇_hv),

(2)

δ_tv = div_h

ϕ+f.

(3)

Искомыми являются функция v ≈ u, определённая на сетке ω_h × ωht , и вспомогательная

вектор-функция ϕ = (ϕ₁, . . . , ϕ_n)^т c компонентами ϕ_k, определёнными на сетке, сдвинутой

на h_k/2 по x_k относительно ω_h × ωht . Здесь B(x) = diag {b₁(x), . . . , b_n(x)} - диагональная

матрица, div_hϕ = δ∗1ϕ₁ + . . . + δ^∗nϕ_n и уравнения схемы записываются на тех же сетках, на

которых определены сами искомые функции.

Сведём двухслойную векторную схему к трёхслойной схеме стандартного типа для v.

Теорема 1. Функция v удовлетворяет явной по времени симметричной и трёхточечной

по всем переменным x₁, ..., x_n, t (трёхслойной по t) разностной схеме

⁽h_t)

τα₀

Λ_tv +δtv + div_h(Bsv) - τ div_h(A∇_hv)

f на ω_h × ωht,

(4)

2τ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

924

ЗЛОТНИК, ЧЕТВЕРУШКИН

где α₀(ζ) := ζ cth ζ и свободный член имеет вид

f -e-ht/τfˇ

f :=

(5)

1-e-ht/τ

Доказательство. Применим оператор div_h к уравнению (2) и получим уравнение

div_h

ϕ = e-ht/τ div_hϕ - (1 - e-ht/τ)div_h(Bsv - τA∇_hv).

Исключим из него функцию ϕ, выразив div_h

ϕ и div_hϕ=δtv

f в силу уравнения (3):

δ_tv - f = e-ht/τ (δtv

f) - (1 - e-ht/τ)div_h(Bsv - τA∇_hv).

Симметризуем запись последнего уравнения умножением его на eht/(2τ):

eht/(2τ)δ_tv - e-ht/(2τ)δ_tv + 2shht

div_h(Bsv - τA∇_hv) = eht/(2τ)f - e-ht/(2τ)fˇ.

2τ

Далее воспользуемся простыми формулами

δ_tv =δtv + (h_t/2)Λ_tv,

δtv =^δtv - (ht/2)Λtv

и перейдём к уравнению

h_t

h_t ch

Λ_tv + 2sh

div_h(Bsv - τA∇_hv) = eht/(2τ)f - e-ht/(2τ)fˇ.

tv + 2sh

2τ

Поделив его на 2 sh(h_t/(2τ)), окончательно получим для v явную трёхслойную по времени

разностную схему (4), (5). Теорема доказана.

Отметим, что α₀(ζ) > max{1, ζ} при ζ > 0 и α₀(ζ) = ζ(1 + O(e-2ζ )) при ζ → +∞; при

этом |α₀(ζ) - ζ| < 0.075,

0.015,

0.0027

уже при ζ ≥ 2, 3, 4 соответственно. Обратим также

внимание на то, что в пределе при h_t/(2τ) → +∞ происходит замена τα₀(h_t/(2τ)) на h_t/2 и

трёхслойная разностная схема (4) переходит в явную двухслойную схему

δ_tv + div_h(Bsv) - τ div_h(A∇_hv) = f,

поскольку (h_t/2)Λ_tv +δtv = δ_tv.

Обратим внимание на то, что в случае постоянных коэффициентов умножение разностной

схемы (4) на τ и замена шагов (h, h_t) → (h/τ, h_t/τ) приводит к частному случаю этой схемы

с τ = 1 (включая аргумент коэффициента α₀(h_t/(2τ))). Поэтому некоторые свойства этой

схемы не зависят от значения τ. В том числе это относится к изучаемому ниже спектральному

условию равномерной по времени устойчивости.

Существенно, что применённый выше способ сведения двухслойной схемы к трёхслойной

можно использовать не только в рассмотренном скалярном случае, но и для самой ГКГД

системы уравнений. Сведение других двухслойных векторных методов для гиперболических

уравнений второго порядка к трёхслойным методам выполнялось, в том числе, в [10, 13, 14].

Отметим также, что большое количество двухслойных разностных схем для уравнения пере-

носа приведено, например, в [15].

2. Многомерное уравнение переноса с возмущениями и явная трёхслойная раз-

ностная схема для него. Рассмотрим многомерное однородное уравнение переноса с воз-

мущениями - слагаемыми, представляющими собой производные второго порядка от искомой

функции по t и по x_i с параметрами-множителями:

α₀τ∂2tu + ∂_tu + b_i∂_iu - τa_ij∂_i∂_ju = 0,

(6)

где b_i, aij - постоянные коэффициенты, α0 > 0, τ > 0 - параметры. Напомним, что по

повторяющимся индексам i, j предполагается суммирование от 1 до n. Введение параметра

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

СПЕКТРАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

925

α₀ обусловлено видом схемы (4) (от него легко освободиться заменами α₀τ → τ, a_ij → a_ij/α₀,

но для наглядности этого делать не будем). Искомая функция u(x, t) определена и уравне-

ние (6) рассматривается на Rⁿ × [0, +∞). Функции u|t=0 и ∂_tu|t=0 считаем заданными. Не

ограничивая общности будем считать, что матрица A = (a_ij )ni,j=1 симметричная. Пусть b =

= (b₁, . . . , b_n)^т.

Предварительно, во-первых, обратим внимание на то, что дифференцирование уравнения

переноса ∂_tu + b_i∂_iu = f приводит к равенствам

∂2tu + b_j∂_t∂_ju = ∂_tf, b_j∂_j∂_tu + b_jb_i∂_j∂_iu = b_j∂_jf

и поэтому

∂2tu - b_ib_j∂_j∂_iu = ∂_tf - b_j∂_jf.

Тем самым решение уравнения переноса удовлетворяет и уравнению второго порядка

τ∂2tu + ∂_tu + b_i∂_iu - τb_ib_j∂_i∂_ju = f + τ(∂_tf - b_j∂_jf)

типа (6) с α₀ = 1 при любом τ = 0 (при τ = 0 это само уравнение переноса). Возникшая

матрица b

^⊗b с элементами b_ib_j такова, что b^⊗b ≥ 0, а Kerb^⊗b совпадает с ортогональ-

ным дополнением к вектору b. Поэтому полученное уравнение является вырождающимся при

n ≥ 2 или при n = 1 и b₁ = 0.

Во-вторых, умножение уравнения (6) на τ и замена переменных (x, t) → (x/τ, t/τ) приво-

дит к частному случаю уравнения (6) с τ = 1. Поэтому ряд свойств решений этого уравнения,

в том числе анализируемое ниже свойство, не зависят от значения τ.

Рассмотрим комплексные частные решения уравнения (6), имеющие вид

u(x, t) = eix·ξw(ξ, t), x, ξ = (ξ₁, . . . , ξ_n)^т ∈ Rⁿ, t ≥ 0,

где i - мнимая единица, а символ “ · ” обозначает скалярное произведение векторов. Их под-

становка в уравнение (6) приводит к следующему обыкновенному дифференциальному урав-

нению (ОДУ) относительно w:

α₀τ∂2tw + ∂_tw + θw = 0, θ := ib_iξ_i + τa_ijξ_jξ_i = ib · ξ + τAξ · ξ ∈ C.

(7)

Изучим свойство равномерной ограниченности по t его решения. Пусть Ker A и Im A -

ядро и образ матрицы A (т.е. соответствующего линейного оператора, действующего в Rⁿ).

Напомним, что так как A = A^т, то Rⁿ представляется в виде ортогональной прямой суммы

подпространств Ker A и Im A.

Теорема 2. Для справедливости оценки

sup|w(ξ,t)| < ∞ для каждого ξ ∈ Rⁿ

(8)

t≥0

при любых w(ξ,0) и ∂_tw(ξ,0) необходимо, чтобы выполнялось свойство A ≥ 0.

Критериями (т.е. необходимыми и достаточными условиями) справедливости указанной

оценки, кроме A ≥ 0, служат:

1) если A > 0, то α₀|A-1/2b|² = α₀A-1b · b ≤ 1;

2) если же Ker A = {0}, то b ∈ Im A и при Im A = {0} имеем α₀

A-1b · b ≤ 1, где

A -

сужение A на ImA, а иначе b = 0 при Im A = {0} (т.е. A = 0).

В частности, при A = diag {a₁, . . . , a_n} критерием служит совокупность условий:

∑

b2k

a_k ≥ 0, причём если a_k = 0, то b_k = 0 при 1 ≤ k ≤ n; α₀

≤ 1.

(9)

a_k

k:a_k>0

Доказательство. Характеристическое уравнение для ОДУ (7) имеет вид

r₂(z) ≡ α₀τz² + z + θ = 0, z ∈ C.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

926

ЗЛОТНИК, ЧЕТВЕРУШКИН

Свойство (8) эквивалентно тому, что оба корня многочлена r₂(z) лежат в замкнутой левой

полуплоскости

P_l := {z ∈ C: z_R ≤ 0} и на мнимой оси нет кратных корней (т.е. z = 0 не

является кратным корнем, что и имеет место). Здесь и ниже используется стандартная запись

комплексных чисел в виде z = z_R + iz_I .

Для анализа последнего свойства воспользуемся обобщённым критерием Рауса-Гурвица

для многочленов с комплексными коэффициентами [12, гл. XVI, § 19]. Для этого запишем

вспомогательный многочлен -ir2(iz) = z + θI + i(α0τz2 - θR) и определитель четвёртого

порядка - результант (с точностью до знака) возникших двух многочленов с вещественными

коэффициентами



α0τ

-θ_R



θ_I



V₄ =



.



α₀τ

-θ_R



θ_I

Его главный угловой минор второго порядка V₂ = α₀τ положителен, а сам определитель равен

V₄ = α₀τ(θ_R - α₀τθ2I) = α₀τ²[Aξ · ξ - α₀(b · ξ)²].

Пусть сначала V₄ = 0. Тогда критерием того, что корни r₂(z) лежат в открытой левой

полуплоскости P_l := {z ∈ C: z_R < 0}, является условие V₄ > 0. При V₄ = 0, как легко

проверить, имеется чисто мнимый корень -iθ_I , а поэтому второй корень равен iθ_I -1/(α₀τ) ∈

∈ P_l. Поэтому критерием того, что оба корня лежат в

P_l, является условие V₄ ≥ 0, т.е.

α₀(b · ξ)² ≤ Aξ · ξ для всех ξ ∈ Rⁿ.

(10)

Его можно записать в виде α₀b

^⊗b ≤ A, и это условие своего рода преобладания A над b.

В него не вошёл параметр τ, что естественно в соответствии со сказанным выше. Условия

подобного рода играли существенную роль в работах [4, 10].

Из критерия (10) следует, что A ≥ 0. Если A > 0, то его можно записать в виде

α₀(A-1/2b · A1/2ξ)² ≤ |A1/2ξ|² для всех ξ ∈ Rⁿ.

Введя вектор η := A1/2ξ, получим эквивалентный явный критерий из п. 1) теоремы.

Если же Ker A = {0}, то b ⊥ Ker A в силу критерия (10), и поэтому b ∈ Im A, а сам он

принимает вид

α₀(b · ξ)² ≤ Aξ · ξ

Aξ · ξ для всех ξ ∈ Im A,

что сводит п. 2) теоремы к п. 1), в котором в роли Rⁿ выступает Im A при Im A = {0}.

Случай Im A = {0} очевиден. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь явную симметричную и трёхточечную по всем переменным x₁, . . . , x_n,

t (трёхслойную по t) разностную схему для уравнения (6):

α₀τΛ_tv +δtv + b_iδ_iv - τa_iΛ_iv = 0 на ω_h × ωht,

(11)

в которой искомая функция v определена на ω_h × ωht . Значения на исходном и первом слоях

по времени v(x_k, 0) и v(x_k, h_t), где x_k = (k₁h₁, . . . , k_nh_n), k = (k₁, . . . , k_n) ∈ Zⁿ, считаем

заданными. Здесь для большей наглядности взят случай A = diag {a₁, . . . , a_n}, причём a_i > 0

при 1 ≤ i ≤ n. Так как div_h(Bs) = b_iδ_i и div_h(A∇_h) = a_iΛ_i при постоянных коэффициентах

b_i и a_i, то эта схема получается из схемы (4).

Рассмотрим комплексные частные решения разностной схемы (11), имеющие вид

v(x_k, t_m) = eik·ξw(ξ, t_m), k ∈ Zⁿ, m ≥ 0, ξ = (ξ₁, . . . , ξ_n)^т ∈ [-π, π]ⁿ.

Назовём спектральным условием равномерной по времени устойчивости свойство:

sup |w(ξ,t_m)| < ∞ для каждого ξ ∈ [-π,π]ⁿ

(12)

m≥0

при любых w(ξ, 0) и w(ξ, h_t) (ср. с (8) и [16, гл. 8, § 25]).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

СПЕКТРАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

927

Функция eik·ξ является собственной функцией операторовδl и Λ_l, отвечающей собствен-

ным значениям ih-1l sin ξ_l и -4h-2l sin²(ξ_l/2) соответственно. Поэтому функция w удовлетво-

ряет трёхслойному разностному уравнению (фактически разностной схеме для ОДУ (7))

(

)

4a_i

ξ_i

α₀τΛ_tw +δtw + ibi

sin ξ_i + τ

sin²

w=0

на ωht .

(13)

h_i

h2i

В силу определений операторов Λ_t иδt после умножения на h2t/(α₀τ) последнее уравнение

можно записать в рекуррентной форме

(1 + d)w - 2(1 - θ)w + (1 - d) w = 0,

(14)

где

h_t

h2ta_i

ξ_i

h2tb_i

d :=

> 0, θ ≡ θ(ξ) = 2

sin²

sin ξ_i ∈ C.

2α₀τ

α₀h2i

2α₀τh_i

Характеристическое уравнение для разностного уравнения (14) имеет вид

p₂(q) ≡ (1 + d)q² - 2(1 - θ)q + 1 - d = 0.

(15)

Выполнение спектрального условия устойчивости (12) равносильно тому, что оба корня этого

уравнения лежат в замкнутом единичном круге |q| ≤ 1 на C и на его границе нет кратных

корней.

Для сравнения изучим сначала трёхслойную симметричную схему

tv + bi^δiv = 0 на ωh × ωht,

(16)

получающуюся из схемы (11) при τ = 0.

Теорема 3. Для разностной схемы (16) критерий справедливости спектрального условия

равномерной по времени устойчивости имеет вид условия типа Куранта

∑

|b_k|

h_t

< 1.

(17)

h_k

k=1

Доказательство. При τ = 0 из схемы (13) следует иное, чем (14), рекуррентное уравнение

b_i

w + 2ih_tγw - w = 0, γ ≡ γ(ξ) =

sin ξ_i.

h_i

Соответствующее характеристическое уравнение - это q² + 2ih_tγq - 1 = 0. Оно имеет корни

{

√

-ih_tγ ±

1-h2tγ²,

если h_t|γ| ≤ 1,

q1,2 =

√

−i(h_tγ ±

h2tγ² - 1), если h_t|γ| > 1.

√

В случае h_t|γ| > 1 максимальный из |q1,2| равен h_t|γ| +

h2tγ² - 1 > 1. В случае h_t|γ| ≤ 1

имеем |q1,2| = 1, но при h_t|γ| = 1 корень становится кратным. Это приводит к условию

h_t|γ| < 1 при всех ξ ∈ [-π,π]ⁿ и в конечном итоге (при ξ = ((π/2)sgn b₁,... ,(π/2)sgn b_n)) -

к условию (17). Теорема доказана.

Перейдём теперь к анализу разностной схемы (11).

Теорема 4. Пусть a_i > 0 при 1 ≤ i ≤ n. Для разностной схемы (11) справедливость

спектрального условия её равномерной по времени устойчивости не зависит от значения

параметра τ > 0.

Для его справедливости необходимо выполнение двух условий типа Куранта на h_t:

)1/2

∑

h_t

a_k

|b_k|

√

≤ 1, h_t

≤ 1,

(18)

α₀

h²

h_k

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

928

ЗЛОТНИК, ЧЕТВЕРУШКИН

второе из которых почти совпадает с условием (17). Необходимым является также

условие

∑

b2k

α₀

≤1

(19)

a_k

k=1

(ср. с условиями (9)).

Для справедливости указанного спектрального условия достаточно выполнение условия

}

∑

^{h2 a

b2k

max

,α₀

≤ 1.

(20)

α₀ h2k

a_k

k=1

При n = 1 оно принимает вид

h_t

√

√a₁ ≤ 1, α₀b21 ≤ a₁

(21)

α0 h1

и служит критерием.

Замечание 1. Прокомментируем условия из этой теоремы. Второе из условий (18) следует

из первого условия и условия (19) в силу неравенства Коши-Шварца:

)₂

∑

|b_k|

b2k

a_k

h_t

≤ α₀

h_k

a_k α₀

h²

k=1

Как будет доказано, необходимым является и несколько более точное условие

[(

]1/2

∑

|b_k|

a_k

h_t

≤

(22)

h_k

α₀

h²

α₀

h²

k=1

правая часть которого в силу первого из условий (18) не превосходит 1.

Более грубым достаточным условием, чем (20), очевидно, служит неравенство

∑

a_k

+α₀

≤1

α₀

h²

a_k

k=1

(ср. с первым условием (18) и условием (19)).

Замечание 2. Можно использовать 1-нормы векторов коэффициентов a := (a₁, . . . , a_n) и

b и ввести при a = 0 и b = 0 специальные средние шаги по пространству h_a > 0 и h_b > 0

формулами

∑

)-1/2

∑

)-1

a_k

|b_k|

|a|₁ :=

a_k,

|b|₁ :=

|b_k|, h_a := |a|1/2

h_b := |b|₁

h²

h_k

k=1

При этом h_a, h_b ∈ [h_min, h_max], где h_min = min

h_k, h_max = max

h_k. Тогда условия типа

1≤k≤n

Куранта (18) примут следующий вид:

√

|a|₁ h_t

h_t

≤ 1,

|b|₁

≤ 1.

α₀ h_a

h_b

√

Доказательство. Если корни уравнения (15) кратные, то их модуль равен

|1 - d|/(1 + d)

и меньше 1. Если θ = 0, то корнями многочлена p₂(q) являются 1 и (1 - d)/(1+d) (последний

по модулю, очевидно, меньше 1). Следовательно, ниже можно считать, что θ = 0 и поэтому

p₂(1) = 2θ = 0, и что эти корни простые.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

СПЕКТРАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

929

Выполним дробно-рациональное преобразование q(z) = (z + 1)/(z - 1), устанавливающее

взаимно однозначное соответствие между проколотым замкнутым единичным кругом {q ∈

∈ C: |q| ≤ 1, q = 1} и замкнутой левой полуплоскостью

P_l. Соответствие между проколотой

единичной окружностью {q ∈ C:

|q| = 1, q = 1} и мнимой осью zR = 0 также взаимно

однозначное; отметим, что обратная функция z(-1)(q) = (q + 1)/(q - 1) совпадает с исходной.

При этом

p₂(q(z))(z - 1)² = 2r₂(z) := 2(θz² + 2dz + 2 - θ).

Здесь r₂(1) = 2(1 + d) > 0. Обозначим через z₁, z₂ корни многочлена r₂(z) и получим

условия их принадлежности полуплоскости

P_l.

Пусть сначала θ_I = 0. При θ_R = 0, как хорошо известно, z₁, z₂ ∈

P_l при следующих

условиях на коэффициенты многочлена: d/θ_R ≥ 0 и (2 - θ_R)/θ_R ≥ 0. Так как d > 0, то это

приводит к условию 0 < θ_R ≤ 2 (причём z₁, z₂ ∈ P_l при θ_R < 2, либо z₁ = -d < 0 и z₂ = 0

при θ_R = 2).

Пусть теперь θ_I = 0 и поэтому ξ = 0. Снова запишем вспомогательный многочлен

-r₂(iz) = θ_Rz² + θ_R - 2 + i(θ_Iz² - 2dz + θ_I)

(23)

и определитель 4-го порядка - результант (с точностью до знака) двух многочленов с веще-

ственными коэффициентами в правой части



θI

-2d θ_I



θR

θ_R - 2



V₄ =



.



θ_I

-2d

θ_I



θ_R

θ_R - 2

Его главный угловой минор второго порядка V₂ = 2dθ_R положителен при ξ = 0. Умно-

жим 2-ю и 4-ю строки V₄ на θ_I /θ_R, вычтем их из 1-й и 3-й строк соответственно и разложим

полученный определитель по первому столбцу:



[

]

-2d

-2θ_I /θ_R



θ2I



V₄ = -θ_R

θ_I

-2d

-2θ_I /θ_R

= -4θ_R d²(θ_R - 2) +

= -4[d²θ_R(θ_R - 2) + θ2I].



θ_R



θ_R

θ_R - 2



(Несложно видеть, что итоговая формула верна и при θ_R = 0). Напомним, что при V₄ = 0

критерием того, что корни r₂(z) лежат в P_l, является условие V₄ > 0. При V₄ = 0 имеется

чисто мнимый корень z₁ = iy₁. Он является общим корнем двух вещественных многочленов

в правой части (23), откуда легко получается, что y₁ = θ_I /(dθ_R). Тогда z₂ = -iy-11((2/θ) - 1)

и поэтому z2,R = -d/(θ_R|θ|²) < 0, т.е. z₂ ∈ P_l. Следовательно, критерием того, что оба корня

лежат в

P_l и на мнимой оси нет кратных корней, является условие V₄ ≥ 0, т.е.

θ2R + (θ_I/d)² ≤ 2θ_R для всех ξ ∈ [-π,π]ⁿ.

(24)

В соответствии с предыдущим анализом это условие справедливо и при θ_I = 0. Полученный

критерий геометрически означает принадлежность θ эллипсу на C:

(θ_R - 1)² + (θ_I /d)² ≤ 1 для всех ξ ∈ [-π, π]ⁿ.

(25)

Поскольку θ_I /d = b_i(h_t/h_i) sin ξ_i, то параметр τ не участвует в выведенном критерии.

Очевидно, что необходимым условием справедливости критерия (25) служат неравенства

0 ≤ θ_R ≤ 2,

|θ_I |/d ≤ 1 для всех ξ ∈ [-π, π]ⁿ

(условия принадлежности θ прямоугольнику, объемлющему указанный эллипс). Максимум

величины θ_R ≥ 0, очевидно, достигается при ξ = (π, . . . , π), а максимум величины |θ_I |/d -

при ξ = ((π/2) sgn b₁, . . . , (π/2) sgn b_n). Это и приводит к условиям (18).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

930

ЗЛОТНИК, ЧЕТВЕРУШКИН

Положив ξ = ((π/2) sgn b₁, . . . , (π/2) sgn b_n) в (24), приходим к неравенству

√

∑

|θI|

|b_k|

a_k

=h_t

≤

(2 -θR)θR с

θR =^h

h_k

α₀

h²

k=1

т.е. к необходимому условию (22).

Возьмём также ξ_k = εb_kh_k/(a_kh_t), k = 1, n, в критерии (24) и, разложив обе его части по

степеням ε → 0, получим

)₂

∑

b2k

ε²

b2k

O(ε⁴) + ε²

≤

+ O(ε⁴).

a_k

α₀

a_k

k=1

Разделив обе части на ε² и перейдя к пределу при ε → 0, выведем необходимое условие (19).

√

С другой стороны, имеем | sin ξ_k| = 2

σ_k(1 - σ_k), где σ_k := sin²(ξ_k/2) пробегает отрезок

[0, 1], и по неравенству Коши-Шварца верна оценка

⁽θ_I)²

b2i

≤ 2θ_Rα₀

(1 - σ_i).

a_i

Поэтому после сокращения на 2θ_R = 0 (что эквивалентно σ := (σ₁, . . . , σ_n) = 0) заключаем,

что критерий (24) следует из неравенства

)₂

a_i

⁽h_t

b2i

σ_i + α₀

(1 - σ_i) ≤ 1 для всех σ ∈ [0, 1]ⁿ, σ = 0.

(26)

α₀

h_i

a_i

Его левая часть является аффинной функцией σ простого вида, и поэтому, как нетрудно

видеть, это неравенство эквивалентно неравенству (20), тем самым являющемуся достаточным

условием справедливости критерия.

При n = 1 критерий (24) после деления на 2θ_R принимает вид (26), и поэтому условия

(21) становятся критерием.

Замечание 3. Отметим дополнительно, что в случае коэффициентов a_i произвольных

знаков ситуация в теореме 4 становится аналогичной указанной в критерии (9). Во-первых,

в доказательстве теоремы 4 при θI = 0 показано, что условие θR ≥ 0 необходимо. При

θI = 0 и θR < 0 имеем V2 < 0 и V4 < 0, значит, один из корней r2(z) лежит в правой

полуплоскости z_R > 0. Поэтому и при θ_I = 0 необходимо, чтобы θ_R ≥ 0 при всех ξ ∈

∈ [-π, π]ⁿ. Последнее влечёт за собой необходимость условия a_i ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. Во-вторых,

если a_k = 0 при некотором k, то возьмём ξ_i = 0 при i = k, а sin ξ_k = 0. Тогда θ_R = 0 и

θ_I/d = b_k(h_t/h_k)sin ξ_k. При b_k = 0 корни r₂(z) = i(θ_Iz² - 2idz - θ_I - 2i) таковы, что z₁ +

+z₂ =2id/θ_I, откуда z1R+z2R =0, ипри z₁,z₂

P_l имеем z1R = z2R = 0. Но тогда должно

быть вещественным произведение z₁z₂ = -1 - (2i/θ_I ), что не так. Значит, при a_k = 0 условие

b_k = 0 необходимо.

Поэтому теорема 4 сохраняет силу и при a_i ≥ 0,

1 ≤ i ≤ n, с той лишь разницей, что

суммы в условиях (19) и (20) надо брать по всем 1 ≤ k ≤ n таким, что a_k > 0, и иметь в виду

свойство: если a_k = 0, то b_k = 0.

В частном случае b = 0 имеем θ_I = 0, и в теореме 4 первое из условий (18) становится кри-

терием. Оно аналогично условию устойчивости трёхслойной разностной схемы с параметром τ

из [9] в случае веса σ = 0. В этой схеме в данном случае надо взять B_h = α₀I, B1h = I (здесь

I - единичный оператор), A_h = -τa_iΛ_i, а условие её устойчивости имеет вид h_t(α_h/2) ≤ ε₁ с

произвольным 0 < ε₁ < 1, где

)1/2

∑

4a_k

ζ_k

a_k

π(N_k - 1)

α_h :=

sin²

√

ζ_k :=

√α₀

h2k

α₀

h2k

N_k

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

СПЕКТРАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

931

причём N_k - число отрезков разбиения по x_k (в отличие от данной работы в [9] рассмат-

ривается начально-краевая задача), а sin²(ζ_k/2) → 1 и последнее неравенство переходит в

равенство при N_k → +∞, 1 ≤ k ≤ n. Случай ε₁ = 1 также возможен (с некоторым ослабле-

нием используемых норм), см. в этой связи [17, замечание 1].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 19-11-

00104).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Четверушкин Б.Н. Гиперболическая квазигазодинамическая система // Мат. моделирование. 2018.

Т. 30. № 2. С. 81-98.

2. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. М., 2004.

3. Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М., 2007.

4. Злотник А.А., Четверушкин Б.Н. О параболичности квазигазодинамической системы уравне-

ний, ее гиперболической 2-го порядка модификации и устойчивости малых возмущений для них

// Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2008. Т. 48. № 3. С. 445-472.

5. Chetverushkin B.N., Zlotnik A.A. On some properties of multidimensional hyperbolic quasi-gasdynamic

systems of equations // Russ. J. Math. Phys. 2017. V. 24. № 3. P. 299-309.

6. Сурначев М.Д., Тишкин В.Ф., Четверушкин Б.Н. О законах сохранения для гиперболизированных

уравнений // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 7. С. 859-865.

7. Chetverushkin B.N., Zlotnik A.A. On a hyperbolic perturbation of a parabolic initial-boundary value

problem // Appl. Math. Lett. 2018. V. 83. P. 116-122.

8. Ильин А.А., Рыков Ю.Г. О близости траекторий для модельных квазигазодинамических уравнений.

Линейный случай // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2016. № 90. С. 1-14.

9. Злотник А.А., Четверушкин Б.Н. Устойчивость численных методов решения гиперболических

уравнений второго порядка с малым параметром // Докл. РАН. Математика. Информатика. Про-

цессы управления. 2020. Т. 490. № 1. С. 35-41.

10. Злотник А.А., Четверушкин Б.Н. Устойчивость неявных разностных схем для линеаризованной

гиперболической квазигазодинамической системы уравнений // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56.

№ 7. С. 936-947.

11. Давыдов А.А., Четверушкин Б.Н., Шильников Е.В. Моделирование течений несжимаемой жид-

кости и слабосжимаемого газа на многоядерных гибридных вычислительных системах // Журн.

вычислит. математики и мат. физики. 2010. Т. 50. № 12. С. 2275-2284.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1988.

13. Злотник А.А. Оценки скорости сходимости проекционно-сеточных методов для гиперболических

уравнений второго порядка // Вычислит. процессы и системы / Под ред. Г.И. Марчука. Вып. 8. М.,

1991. С. 116-167.

14. Zlotnik A.,

Čiegis R. On properties of compact 4th order finite-difference schemes for the variable

coefficient wave equation // Preprint. 2021. arXiv.org:2101.10575v2. P. 1-25.

15. Галанин М.П. Численное решение уравнения переноса // Будущее прикладной математики. Лекции

для молодых исследователей / Под ред. Г.Г. Малинецкого. М., 2004. С. 78-116.

16. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М., 1977.

17. Zlotnik A., Kireeva O. On compact 4th order finite-difference schemes for the wave equation // Preprint.

arXiv.org:2011.14104v2. P. 1-22.

Национальный исследовательский университет

Поступила в редакцию 08.02.2021 г.

“Высшая школа экономики”, г. Москва,

После доработки 08.02.2021 г.

Институт прикладной математики

Принята к публикации 27.04.2021 г.

им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№7

2021

5^∗