ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1005-1013

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.938.5

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ

ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ СЕМЕЙСТВА

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, ОПРЕДЕЛЁННЫХ

НА ПРОИЗВОЛЬНОМ МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Рассматривается параметрическое семейство динамических систем, определённых на не-

компактном метрическом пространстве и непрерывно зависящих от параметра из некото-

рого метрического пространства. Для любого такого семейства топологическая энтропия

входящих в него динамических систем изучается как функция параметра с точки зрения

бэровской классификации функций.

DOI: 10.31857/S037406412108001X

Топологическая энтропия для автономных динамических систем на инвариантном ком-

пактном метрическом пространстве определена в статье [1]. В дальнейшем в работе [2] это

понятие было распространено на динамические системы, определённые на произвольном мет-

рическом пространстве.

1. Класс Бэра топологической энтропии семейства динамических систем в слу-

чае неинвариантного компакта. Следуя [2], приведём необходимое в дальнейшем опреде-

ление. Пусть (X, d) - метрическое пространство, K(X) - множество компактных подмножеств

(компактов) в X, а f : X → X - непрерывное отображение. Наряду с исходной метрикой d

определим на X дополнительную систему метрик dⁿ, n ∈ N, равенством

d^fn(x,y) = max d(f^◦i(x),f^◦i(y)), x,y ∈ X, n ∈ N,

0≤i≤n-1

где f^◦i, i ∈ N, - i-я итерация отображения f, f◦0 ≡ id_X . Для фиксированного K ∈ K(X) и

каждых n ∈ N и ε > 0 обозначим через N_d(K, f, ε, n) максимальное число точек в компакте

K, попарные dⁿ-pасстояния между которыми больше, чем ε. Тогда верхней и нижней топо-

логической энтропией отображения f на компакте K называют соответственно величины

h_top(K,f) = lim

lim

ln N_d(K, f, ε, n) и h_top(K, f) = lim lim

ln N_d(K, f, ε, n).

(1)

ε→0

n→∞ n

ε→0_n→∞ n

Отметим, что если метрику d заменить на другую метрику, порождающую ту же, что и d,

топологию, то значения величин (1) не изменятся [3, с. 121].

Напомним ещё формулы для вычисления верхней и нижней топологических энтропий

отображения f на компакте K, используемые в дальнейшем. Для каждых x ∈ X, ε > 0

и n ∈ N через B_f(x,ε,n) обозначим открытый шар {y ∈ K : dⁿ(x,y) < ε} c центром в x ра-

диуса ε в пространстве (X, dⁿ). Множество D ⊂ K называется (f, ε, n)-покрытием компакта

K, если

⋃

K ⊂ B_f(x,ε,n).

x∈D

Пусть S_d(K, f, ε, n) обозначает минимальное количество элементов, которое может содержать

(f, ε, n)-покрытие компакта K. Тогда верхняя и нижняя топологические энтропии отображе-

ния f на компакте K могут быть вычислены по формулам [3, с. 122]

h_top(K,f) = lim

lim

ln S_d(K, f, ε, n), h_top(K, f) = lim lim

ln S_d(K, f, ε, n).

(2)

ε→0

n→∞ n

ε→0_n→∞ n

1005

1006

ВЕТОХИН

Из формул (1) (или (2)) очевидно следует неравенство h_top(K, f) ≥ h_top(K, f). Если ком-

пакт K является для отображения f инвариантным множеством, т.е. выполнено включение

f (K) ⊂ K, то значения верхней и нижней топологических энтропий отображения f на ком-

пакте K совпадают [3, с. 122]. В общем случае, как показывает следующий пример, величины

(1) могут не совпадать между собой. Рассмотрим множество Ω₂ последовательностей x =

= (x₁, x₂, x₃, . . .), где x_i ∈ {0, 1}, с метрикой

{

если x = y,

dΩ2 (x,y) =

1/min{i : x_i = y_i},

если x = y.

Отметим, что пространство (Ω₂, dΩ2 ) гомеоморфно множеству Кантора на отрезке [0, 1] с

метрикой, индуцированной стандартной метрикой вещественной прямой. Пусть K₀ - компакт

в Ω₂, задаваемый условием:

⋃

(x₁, x₂, x₃, . . .) ∈ K₀ ⇔ x_i = 0, i ∈

{(2k)!, . . . , (2k + 1)!},

⋃

k∈N

{0}

а отображение σ : Ω₂ → Ω₂ - сдвиг влево на один элемент: σ((x₁, x₂, x₃, . . .)) = (x₂, x₃, x₄, . . .).

Тогда

h_top(K₀,σ) = ln 2, h_top(K₀,σ) = 0.

По метрическому пространству M, компакту K ⊂ X и непрерывному отображению

f :M×X →X

(3)

образуем функции

μ → h_top(K,f(μ,·)),

(4)

μ → h_top(K,f(μ,·)).

(5)

В данной работе для любого отображения (3) функции (4) и (5) изучаются c точки зрения

бэровской классификации функций. Напомним, что функциями нулевого бэровского класса на

метрическом пространстве M называются непрерывные функции M → R, и для всякого

натурального числа p функциями p -го бэровского класса называются функции, являющиеся

поточечными пределами последовательностей функций (p - 1)-го бэровского класса.

В случае инвариантности компакта K относительно отображения f, как уже отмеча-

лось, величины (1) совпадают между собой, а их общее значение называют топологической

энтропией отображения f и обозначают h_top(f). В работе [4] установлено, что для любого

отображения (3) функция

μ → h_top(f(μ,·))

(6)

принадлежит второму бэровскому классу на пространстве M, а в [5] для X = M = Ω₂ по-

строено семейство гомеоморфизмов (3), для которого функция (6) не принадлежит первому

бэровскому классу, а следовательно, функции (4) и (5), вообще говоря, также не принадле-

жат первому бэровскому классу. В работе [4] показано, что если пространство M метризуемо

полной метрикой, то множество точек полунепрерывности снизу функции (6) содержит всю-

ду плотное в пространстве M множество типа G_δ, а в работе [6] установлено, что само

множество точек полунепрерывности снизу является всюду плотным в M множеством типа

Gδ. Кроме того, в работе [7] для X = Ω2 и любого полного метрического сепарабельного

нульмерного пространства M (в качестве примера такого пространства можно рассматри-

вать Ω₂) для каждого всюду плотного в пространстве M множества типа G_δ построено

такое отображение (3), что множество точек полунепрерывности снизу функции (6) совпа-

дает с этим множеством. Оказывается, в случае неинвариантного компакта K справедлива

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ

1007

Теорема 1. Для любых K ∈ K(X) и отображения (3) функция (4) принадлежит тре-

тьему бэровскому классу, а функция (5) - второму бэровскому классу на пространстве M.

Если пространство M метризуемо полной метрикой, то для любого отображения (3) мно-

жество точек полунепрерывности снизу функции (5) является всюду плотным множе-

ством типа G_δ.

Доказательство. Для каждых ε > 0 и n ∈ N функция μ → n-1 ln N_d(K, f(μ, · ), ε, n) по-

лунепрерывна снизу [8], а функция μ → n-1 ln S_d(K, f(μ, · ), ε, n) полунепрерывна сверху [4],

следовательно [9, гл. IX, § 37, XI], существуют последовательности непрерывных на простран-

стве M функций μ → ϕ^md(K; μ, ε, n) и μ → ψ^md(K; μ, ε, n), m ∈ N, такие, что

ln N_d(K, f(μ, · ), ε, n) = sup ϕ^md(K; μ, ε, n), μ ∈ M,

(7)

m∈N

ln S_d(K, f(μ, · ), ε, n) = inf

ψ^md(K;μ,ε,n), μ ∈ M.

(8)

m∈N

Вследствие формулы (7) получаем представление

h_top(K,f(μ,·)) = lim

lim

ln N_d(K, f(μ, · ), ε, n) = sup

lim sup ϕ^md(K; μ, 1/k, n) =

ε→0

n→∞ n

n→∞m∈N

k∈N

= sup

inf sup sup ϕ^md(K; μ, 1/k, l) =

k∈N

n∈N l≥n m∈N

= lim

max

lim

min

lim

max

ϕmd(K; μ, 1/k, l),

p→∞

1≤k≤p

r→∞

1≤n≤r

q→∞

n≤l≤q

1≤m≤q

а в силу формулы (8) - представление

h_top(K,f(μ,·)) = lim lim

ln S_d(K, f(μ, · ), ε, n) = sup lim

inf

ψ^md(K;μ,1/k,n) =

ε→0_n→∞ n

m∈N

k∈N n→∞

= supsup

inf

ψ^md(K;μ,1/k,l) =

k∈N n∈N

l≥n

m∈N

= lim

max

lim

min

ψ^md(K;μ,1/k,l).

p→∞

1≤k≤p

1≤n≤p

q→∞

n≤l≤q

1≤m≤q

Из этих представлений, поскольку максимум и минимум конечного множества функций

из некоторого бэровского класса принадлежит тому же классу [9, гл. IX, § 37, III], очевидно

вытекает, что функция μ → h_top(K, f(μ, · )) принадлежит третьему классу Бэра, а функция

μ → h_top(K,f(μ,·)) - второму классу Бэра на пространстве M.

Так как функция μ → h_top(K, f(μ, · )) представима в виде неубывающей последователь-

ности функций первого бэровского класса, то её множество точек полунепрерывности снизу

является всюду плотным множеством типа G_δ [10, лемма 2]. Теорема доказана.

Отметим, что из теоремы 1 в силу теоремы Бэра [9, гл. IX, § 39, VI] вытекает, что для любого

отображения (3) в полном метрическом пространстве M найдётся всюду плотное множество

G типа G_δ такое, что сужения функций μ → h_top(K, f(μ, · )) и μ → h_top(K, f(μ, · )) на

множество G непрерывны.

Возникает естественный вопрос о наименьшем бэровском классе, которому принадлежит

функция (4). Чтобы ответить на него, построим метрические пространства B и C. Точка-

ми пространства B являются, по определению, всевозможные (счётные) последовательности

μ = (μ_k)∞k=1 натуральных чисел. Расстояние между двумя точками μ и ν определяется ра-

венством

{

если μ = ν;

d_B(μ,ν) =

1/min{k : μ_k = ν_k},

если μ = ν.

Отметим, что пространство (B, d_B) гомеоморфно множеству иррациональных чисел на отрез-

ке [0, 1] с метрикой, индуцированной естественной метрикой вещественной прямой. Точками

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1008

ВЕТОХИН

пространства C являются всевозможные пары (x, i), где x ∈ [0, 1] и i ∈ N. Расстояние между

точками (x, i) и (y, j) определяется равенством

{

|x - y|, если i = j;

d_C((x,i),(y,j)) =

если i = j.

Для каждого r ∈ N обозначим через K_r ∈ K(C) компакт K_r = [0, 1] × {1, . . . , r} в прост-

ранстве C.

Теорема 2. Пусть M = B, X = C и K = K_r, тогда существует отображение (3)

такое, что функция (4) всюду разрывна и не принадлежит второму бэровскому классу на

пространстве M.

Доказательство. По последовательности μ = (μ_k)∞k=1 ∈ B построим последовательность

α(μ) с элементами α_k(μ) = μ[log2(k+1)]

([·] - целая часть числа). Рассмотрим последователь-

ность (f_k) отображений из B × [0, 1] в [0, 1], определяемых следующим образом:

⎧

⎨x,

если 0 ≤ x ≤ 1 - 1/α_k(μ),

f_k(μ,x) =

2x - 1 + 1/α_k(μ),

если 1 - 1/α_k(μ) < x ≤ 1 - 1/(2α_k(μ)),

⎩

−2x + 3 - 1/α_k(μ),

если 1 - 1/(2α_k (μ)) < x ≤ 1.

По этой последовательности построим отображение f : B × C → C следующим образом:

f (μ, (x, k)) = (f_k(μ, x), k + 1).

(9)

Функция f в силу её определения непрерывна на B × C.

Обозначим через E множество тех последовательностей из B, которые стремятся к беско-

нечности. Вычислим значение верхней топологической энтропии отображения (9) для μ ∈ E.

Лемма 1. Если μ ∈ E, то для отображения (9) при любом r ∈ N выполнено равенство

h_top(K_r,f(μ,·)) = 0.

Доказательство. Зафиксируем ε ∈ (0, 1) и μ ∈ E, тогда найдётся такой номер k₀(ε) > r,

что для любого k ≥ k₀(ε) выполнено неравенство 1/α_k(μ) < ε/2.

Пусть Ak0(ε) - такое (f(μ, · ), ε/2, k0(ε))-покрытие компакта Kr, которое содержит мини-

мальное количество элементов. Докажем, чт⋃множество Ak0(ε) является (f(μ, · ), ε, k0(ε) + i)-

покрытием компакта K_r для любого i ∈ N

{0}.

В силу определения множества Ak0(ε) для любой точки (x, l) ∈ Kr найдётся такой элемент

(x₀, l) ∈ Ak0(ε), что (x, l) ∈ Bf(μ,· )((x0, l), ε/2, k0(ε)).

Если f◦(k0(ε)-1)(μ, (x, l)), f◦(k0(ε)-1)(μ, (x₀, l)) ∈ [0, 1 - ε/2] × N, то для любого i ∈ N

^⋃ {0}

выполнено неравенство

d_C(f◦(k0(ε)+i)(μ,(x,l)),f◦(k0(ε)+i)(μ,(x₀,l))) =

= d_C(f◦(k0(ε)-1)(μ,(x,l)),f◦(k0(ε)-1)(μ,(x₀,l))) < ε/2,

(10)

поско⋃ку отрезок [0, 1 - ε/2] инвариантен относительно отображения fk0(ε)+i(μ, · ) для всех

i∈N

{0}.

Если f◦(k0(ε)-1)(μ, (x, l)), f◦(k0(ε)-1)(μ, (x₀, l)) ∈ [1 - ε/2, 1] × N, то для любого i ∈ N

^⋃ {0}

имеет место неравенство

d_C(f◦(k0(ε)+i)(μ,(x,l)),f◦(k0(ε)+i)(μ,(x₀,l))) ≤ ε/2,

(11)

так к⋃ отрезок [1 - ε/2, 1] инвариантен относительно отображений fk0(ε)+i(μ, · ) для всех

i∈N

{0}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ

1009

Если либо f◦(k0(ε)-1)(μ, (x, l)) ∈ [0, 1 - ε/2] × N, f◦(k0(ε)-1)(μ, (x₀, l)) ∈ [1 - ε/2, 1] × N, либо

f◦(k0(ε)-1)(μ,(x₀,l)) ∈ [0,1 - ε/2] × N, f◦(k0(ε)-1)(μ,(x,l)) ∈ [1 - ε/2,1] × N, то для любого

i∈N

^⋃ {0} выполнено неравенство

d_C(f◦(k0(ε)+i)(μ,(x,l)),f◦(k0(ε)+i)(μ,(x₀,l))) ≤

≤ d_C(f◦(k0(ε)-1)(μ,(x,l)),f◦(k0(ε)-1)(μ,(x₀,l))) + ε/2 < ε.

(12)

Из неравенств (10)-(12) следует, что (x, l) ∈ Bf(μ,·)((x₀, l), ε, k₀(ε) + i) для любого i ∈

∈ N

^⋃ {0}, а следовательно, множество A_k

0(ε) является(f(μ,·),ε,k0(ε)+i)-покрытиемком-

пакта K_r для любого i ∈ N

^⋃ {0}. Таким образом, при n ≥ k₀(ε) справедлива оценка

SdC (K_r,f(μ,·),ε,n) ≤ SdC (K_r,f(μ,·),ε/2,k₀(ε)),

из которой вытекает, что

h_top(K_r,f(μ,·)) = lim

lim

ln SdC (K_r, f(μ, · ), ε, n) ≤

ε→0

n→∞ n

≤ lim

lim

ln SdC (K_r, f(μ, · ), ε/2, k₀(ε)) = 0.

ε→0

n→∞ n

Лемма доказана.

Теперь оценим значение верхней топологической энтропии отображения (9) для μ ∈ E.

Лемма 2. Если μ ∈ E, то для отображения (9) выполнено неравенство

h_top(K₁,f(μ,·)) ≥

ln 2.

Доказательство. Пусть μ ∈ E, тогда существуют подпоследовательность (μkj )∞j=1 ⊂

⊂ (μ_k)∞k=1 и натуральное число q такие, что μkj = q при всех j ∈ N.

Для всех j ∈ N, k ∈ {2kj - 1, . . . , 2kj +1 - 2} и x ∈ [0, 1] справедливо равенство f_k(μ, x) =

= f₂kj -1(μ,x) = tq(x),где

⎧

⎨

если 0 ≤ x ≤ 1 - 1/q;

t_q(x) =

2x - 1 + 1/q,

если 1 - 1/q < x ≤ 1 - 1/(2q);

^⎩-2x + 3 - 1/q, если 1 - 1/(2q) < x ≤ 1.

При помощи аффинного сохраняющего порядок преобразования ϕ отобразим отрезок I_q =

= [1 - 1/q, 1] на отрезок [0, 1], при этом отображение t_q|Iq : I_q → I_q перейдёт в отображение

g = ϕ ◦ t_q|Iq ◦ ϕ-1 : [0, 1] → [0, 1], определяемое равенством

{

2x,

если 0 ≤ x ≤ 1/2;

g(x) =

2 - 2x,

если 1/2 < x ≤ 1.

В монографии [3, с. 502] установлено, что топологическая энтропия отображения g равна ln 2,

следовательно, найдётся такое ε₀ < 1/q, что для любого ε < ε₀ выполнено неравенство

lim

ln N_d([0, 1], g, ε, n) ≥

ln 2, d(x, y) = |x - y|.

n→∞ n

Для каждого n ∈ N на отрезке [0, 1] рассмотрим множество точек {a₁, . . . , aNd([0, 1],g,ε,n)},

попарные dⁿ-pасстояния между которыми больше ε > 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1010

ВЕТОХИН

Пусть ε < ε₀ и n = 2kj +1 - 2kj - 1, тогда df(μ,·)

-pасстояние между любыми прооб-

2^kj +n-1

разами любых двух точек (ϕ-1(a_i), 2kj - 1) и (ϕ-1(a_m), 2kj - 1), i = m, при отображении

f◦(2kj -²⁾(μ,·) больше ε/q > 0, а следовательно,

NdC (K₁,f(μ,·),ε/q,2kj +1) ≥ N_d([0, 1],g,ε,2kj +1 - 2kj ),

откуда получаем оценки

(2kj +1 - 2kj )

h_top(K₁,f(μ,·)) ≥ lim

lim

ln N_d([0, 1], g, ε, 2kj +1 - 2kj ) ≥

ln 2.

ε→0

j→∞

2k^j +1

(2kj +1 - 2kj )

Лемма доказана.

Для завершения доказательства теоремы 2 воспользуемся следующим утверждением, уста-

новленным в работе [11]: если функция μ → h_top(K_r, f(μ, · )) принадлежит второму классу

Бэра, то пересечение замыканий множеств h_top(K_r, f(E, · )) и h_top(K_r, f(B \ E, · )) непусто.

В силу лемм 1 и 2 имеем неравенства

h_top(K_r,f(E,·)) = 0 <

ln 2 ≤ h_top(K₁, f(B \ E, · )) ≤ h_top(K_r, f(B \ E, · )),

следовательно, функция μ → h_top(K_r, f(μ, · )) не принадлежит второму бэровскому классу,

а в силу всюду плотности множеств E и B \ E в пространстве B она всюду разрывна на

пространстве B. Теорема доказана.

2. Класс Бэра топологической энтропии семейства динамических систем на

некомпактном метрическом пространстве. Следуя [2], назовём величины

h_top(f) = sup

h_top(K,f), h_top(f) = sup h_top(K,f)

(13)

K∈K(X)

соответственно верхней и нижней топологической энтропией отображения f : X → X. Как

показывает следующий пример, величины (13) могут не совпадать между собой. Построим

пространство A следующим образом. Точками пространства A являются всевозможные пары

(x, i), где x ∈ Ω₂, i ∈ N, а метрика определяется равенством

{

dΩ2 (x,y), если i = j,

d_A((x,i),(y,j)) =

если i = j.

По последовательности

{

∑

idΩ2 , если t2k ≤ n ≤ t2k+1 - 1,

f_n =

t_s =

m!, k = 0, 1, 2, . . . ,

σ,

если t2k+1 ≤ n ≤ t2k+2

− 1,

m=0

непрерывных отображений из Ω₂ в Ω₂ определим непрерывное отображение f_A : A → A

равенством

f_A(x,n) = (f_n(x),n + 1).

Лемма 3. Имеет место неравенство h_top(f_A) < h_top(f_A).

Доказательство. Для произвольного r ∈ N обозначим через H_r ∈ K(A) компакт H_r =

= Ω₂ × {1,...,r}. Для любого компакта K ∈ K(A) найдётся такое r, что K ⊂ H_r, следова-

тельно, выполнены равенства

h_top(f_A) = lim

h_top(H_r,f_A), h_top(f_A) = lim

h_top(H_r,f_A).

r→∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ

1011

Пусть p ∈ N, а множество Q является (f_A, 1/p, t2k)-покрытием компакта H_r, содержащим

минимальное количество элементов. Тогда в силу определения отображения f_A это множе-

ство является (f_A, 1/p, t2k+1)-покрытием компакта H_r. Так как точки (x, i) ∈ A, где x =

= (x₁, . . . , xt2k +p, 0, 0, . . .), i ∈ {1, 2, . . . , r}, образуют (fA, 1/p, t2k)-покрытие компакта Hr, то

количество элементов в множестве Q не превосходит r2t2k +^p. Поэтому получаем

(

)

(

)

t2k + p

ln r

ln 2

h_top(H_r,f_A) ≤ lim

lim

ln 2 +

≤ lim

= 0,

p→∞

k→∞

(2k + 1)!

k→∞ 2k + 1

(2k)!

а следовательно, h_top(f_A) = 0.

Установим неравенство h_top(f_A) ≥ 0.5 ln 2, из которого будет следовать утверждение лем-

мы 3. В пространстве Ω₂ рассмотрим множество R_k, k ∈ N

^⋃{0}, точек вида

(x₁, . . . , x(2k+2)!, 0, 0, . . .).

В прообразе каждой точки (x, t2k+1), x ∈ R_k, при отображении f◦(t2k+1-1)A выберем одну

точку (y_x, 1) ∈ H₁. Пусть x^′ = x^′′, x^′, x^′′ ∈ R_k, тогда имеем

max

d_A(f^◦iA(x^′,t2k+1),f^◦iA(x^′′,t2k+1)) = 1.

dfAt2k+2 ((yx^′,1),(yx^′′ ,1)) ≥

0≤i≤(2k+2)!-1

Таким образом, для любого ε < 1 величина NdA (H₁, f_A, ε, t2k+2) не меньше, чем 2(2k+2)! -

мощности множества R_k, а значит, справедливы неравенства

(2k + 2)!

ln 2

h_top(f_A) ≥ h_top(H₁,f_A) ≥ lim

lim

ln NdA (H₁, f_A, ε, t2k+2) ≥ lim

ln 2 ≥

ε→0

k→∞ t2k+2

Лемма доказана.

Для отображения (3) рассмотрим функции

μ → h_top(f(μ,·)),

(14)

μ → h_top(f(μ,·)).

(15)

В случае компактности метрического пространства X величины (13) равны топологиче-

ской энтропии отображения f, поэтому, как вытекает из [4], функции (14) и (15) принадлежат

второму бэровскому классу, а из работы [5] следует, что они, вообще говоря, не принадлежат

первому бэровскому классу.

Теорема 3. Если M = B, X = C, то существует отображение (3) такое, что функция

(14) всюду разрывна и не принадлежит второму бэровскому классу на пространстве M.

Доказательство. Для любого компакта K ∈ K(C) найдётся такое r, что K ⊂ K_r, сле-

довательно, для топологической энтропии любого непрерывного отображения f : C → C вы-

полнено равенство

h_top(f) = sup

h_top(K,f) = suph_top(K_r,f).

K∈K(C)

r∈N

В силу лемм 1 и 2 для семейства (9) получаем цепочку неравенств

h_top(f(E,·)) = 0 <

ln 2 ≤ h_top(f(B \ E, · )),

следовательно, функция μ → h_top(f(μ, · )) не принадлежит второму бэровскому классу [11],

а в силу всюду плотности множеств E и B \ E в пространстве B она всюду разрывна на

пространстве B. Теорема доказана.

Напомним, что метрическое пространство X называют локально компактным, если каж-

дая его точка обладает компактной окрестностью [12, с. 315], а локально компактное прост-

ранство X счётно в бесконечности [12, с. 316], если оно является объединением счётного

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1012

ВЕТОХИН

семейства компактных множеств. Примерами таких пространств являются Rⁿ, определённое

выше пространство C и, вообще, любое локально компактное пространство со счётной базой

[12, с. 316; 13, с. 254].

Теорема 4. Пусть локально компактное пространство X счётно в бесконечности, тог-

да для любого пространства M и отображения (3) функция (14) принадлежит третьему

бэровскому классу на пространстве M, а функция (15) - второму бэровскому классу на

пространстве M. Если пространство M метризуемо полной метрикой, то для любого

отображения (3) множество точек полунепрерывности снизу функции (15) является всюду

плотным множеством типа G_δ в пространстве M.

Доказательство. Так как пространство X счётно в бесконечности, то существует воз-

растающая последовательность {U_s}∞s=1 относительно компактных открытых множеств, об-

разующая покрытие пространства X, такая, что U_s ⊂ Us+1 для всех s ∈ N [12, с. 316]. Для

любого компакта K ⊂ X найдётся такое s₀, что K ⊂ Us0 , так как в противном случае из

покрытия компакта K последовательностью {U_s}∞s=1 открытых множеств невозможно выде-

лить конечное подпокрытие, что противоречит компактности K. Таким образом, для любого

непрерывного отображения f : X → X имеем

h_top(f) = sup

h_top(K,f) = suph_top(U_s,f),

K∈K(X)

s∈N

h_top(f) = sup

h_top(K,f) = suph_top(U_s,f).

K∈K(X)

s∈N

Используя формулу (7), получаем

h_top(f(μ,·)) = sup

lim

ln N_d(U_s, f(μ, · ), ε, n) =

s∈N

ε→0

n→∞ n

= supsup

lim sup

ϕmd(U_s; μ, 1/k, n) = sup sup

inf sup sup ϕ^md(U_s; μ, 1/k, l) =

n→∞m∈N

s∈N k∈N

n∈N l≥n m∈N

= lim

max

lim

min

lim

max

ϕmd(U_s; μ, 1/k, l).

p→∞

1≤s≤p

1≤k≤p

r→∞

1≤n≤r

q→∞

n≤l≤q

1≤m≤q

Вследствие формулы (8) имеем

h_top(f(μ,·)) = sup

lim lim

ln S_d(U_s, f(μ, · ), ε, n) =

s∈N

ε→0_n→∞ n

= supsup lim

inf

ψ^md(U_s;μ,1/k,n) = supsup supinf

inf

ψ^md(U_s;μ,1/k,l) =

s∈N k∈N n→∞

m∈N

s∈N k∈N n∈N

l≥n

m∈N

= lim

max

lim

min

ψ^md(U_s;μ,1/k,l).

p→∞

1≤s≤p

1≤k≤p

1≤n≤p

q→∞

n≤l≤q

1≤m≤q

Так как максимум и минимум конечного множества функций из некоторого бэровского класса

принадлежат тому же классу [9, гл. IX, § 37, III], функция μ → h_top(f(μ, · )) принадлежит тре-

тьему классу Бэра, а функция μ → h_top(f(μ, · )) - второму классу Бэра на пространстве M.

Поскольку функция μ → h_top(f(μ, · , )) представима в виде неубывающей последователь-

ности функций первого бэровского класса, то её множество точек полунепрерывности снизу

является множеством типа G_δ, которое является всюду плотным в случае, когда пространство

M метризуемо полной метрикой [10, лемма 2]. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ

1013

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Adler R.L., Konheim A.G., McAndrew M.H. Topological entropy // Trans. Amer. Math. Soc. 1965.

V. 114. P. 309-319.

2. Bowen R. Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1971.

V. 153. P. 401-414.

3. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М., 1999.

4. Ветохин А.Н. Типичное свойство топологической энтропии непрерывных отображений компактов

// Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 4. С. 448-453.

5. Ветохин А.Н. Непринадлежность первому классу Бэра топологической энтропии на пространстве

гомеоморфизмов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2016. № 2. С. 44-48.

6. Ветохин А.Н. Строение множеств точек полунепрерывности топологической энтропии динами-

ческих систем, непрерывно зависящих от параметра // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика,

механика. 2019. № 3. С. 69-71.

7. Ветохин А.Н. О некоторых свойствах топологической энтропии и топологического давления се-

мейств динамических систем, непрерывно зависящих от параметра // Дифференц. уравнения. 2019.

Т. 55. № 10. С. 1275-1283.

8. Ветохин А.Н. Точный бэровский класс топологической энтропии неавтономных динамических сис-

тем // Мат. заметки. 2019. Т. 106. № 3. C. 327-333.

9. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М., 1937.

10. Карпук М.В. Строение множества точек полунепрерывности показателей Ляпунова линейных диф-

ференциальных систем, непрерывно зависящих от параметра // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51.

№ 4. С. 1404-1408.

11. Ветохин А.Н. Класс Бэра максимальных полунепрерывных снизу минорант показателей Ляпунова

// Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 10. С. 1313-1317.

12. Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функцио-

нальные пространства. Сводка результатов. Словарь. М., 1975.

13. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л., 1949.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 13.10.2020 г.

им. М.В. Ломоносова,

После доработки 31.05.2021 г.

Московский государственный технический

Принята к публикации 08.06.2021 г.

университет им. Н.Э. Баумана

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021