ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1014-1022

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.911+517.923

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ

РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ КОШИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭМДЕНА-ФАУЛЕРА

Для уравнения Эмдена-Фаулера y^′′ - x^ay^σ = 0 с параметрами a ∈ R и σ < 0 рас-

сматривается задача Коши, у которой начальное значение решения принадлежит одной

из положительных координатных полуосей. Для задачи с начальным значением на по-

ложительной полуоси ординат (при этом допускается несобственное начальное значение

производной решения) получены необходимые и достаточные условия, которым должны

удовлетворять параметры уравнения, чтобы эта задача Коши имела решение. Для задачи

с начальным значением на положительной полуоси абсцисс доказано, что при σ ∈ (-1, 0)

она имеет единственное решение.

DOI: 10.31857/S0374064121080021

1. Введение. В работе изучается нелинейное дифференциальное уравнение Эмдена-Фа-

улера

y^′′ - x^ay^σ = 0,

(1.1)

здесь a и σ - вещественные параметры, σ = 1. Это уравнение и его обобщения имеют зна-

чительные применения во многих областях науки и техники. Уравнение Эмдена-Фаулера ис-

следовалось во многих монографиях и статьях. Например, в монографиях [1, гл. 7; 2, гл. 5]

изучены асимптотические свойства его решений в бесконечности. В работах [3-7] установлены

некоторые асимптотические свойства решений уравнения Эмдена-Фаулера в окрестности ну-

ля, а также получен ряд результатов о решении некоторых задач Коши для уравнения (1.1),

которые побудили нас изучить в данной работе эти задачи в случае σ < 0 и a ∈ R полностью.

В [3] доказано, что при σ < 1, если a = -2, каждое решение y(x) уравнения (1.1),

определённое на интервале с нулевым левым концом, имеет при x → +0 асимптотическое

представление

y(x) = (1 - σ)1/(1-σ)(- ln x)1/(1-σ)(1 + o(1)),

а если a < -2, то каждое такое положительное решение y(x) имеет при x → +0 представ-

ление

y(x) = [(a + 2)(1 + a + σ)/(1 - σ)²]1/(σ-1)x(a+2)/(1-σ)(1 + o(1)),

из чего следует, что ось y является вертикальной асимптотой решения уравнения (1.1) при

a ≤ -2, σ < 1. В работе [5] показано, что если σ ≤ -1 и x₁ > 0, то каждое положитель-

ное монотонное решение уравнения (1.1), определённое в точке x₁, существует на некотором

интервале I таком, что (0, x₁] ⊂ I. В [5] показано также, что при σ < 0, a > -2, если

y(x) - положительное решение уравнения (1.1), определённое на полуинтервале (0, x0] при

некотором x₀ > 0, такое, что y^′(x₀) ≤ 0, то lim y(x) существует и конечен. Кроме того, в

x→0+

теореме 3 из [5] для уравнения (1.1) при σ < 0, a > -1 доказаны существование и единствен-

ность решения задачи Коши

y(0) = c, y^′(0) = λ,

(1.2)

где c > 0, λ ∈ R (здесь y(0) = lim

y(x) и y^′(0) = lim y^′(x), существование этих пределов

x→0+

следует из приведённых выше результатов).

В этой работе мы дополним результаты [3] и [5].

1014

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

1015

Структура работы следующая. В п. 2 рассматривается задача Коши (1.1), (1.2) при c ∈

∈ (0, ∞), λ ∈ R

^⋃ {-∞}. Мы получим необходимые и достаточные условия, которым долж-

ны удовлетворять параметры a и σ уравнения (1.1), чтобы задача Коши (1.1), (1.2) имела

решение (или не имела решения). В случаях когда решение существует, мы исследуем его

единственность. В п. 3 для уравнения (1.1) рассматривается задача Коши

y(x₀) = 0, y^′(x₀) = λ, x₀ > 0,

(1.3)

где σ < 0, a ∈ R и λ ∈ R. Доказано, что при σ ∈ (-1, 0) эта задача имеет единственное

решение.

2. Задача Коши для уравнения Эмдена-Фаулера для начальной точки на поло-

жительной части оси y. Рассмотрим задачу Коши (1.1), (1.2), в которой σ < 0, a ∈ R и

λ∈R

^⋃ {-∞}, c > 0.

Прежде всего мы должны определить, что означает постановка задачи Коши в рассматри-

ваемой ситуации. Будем понимать величины y(0) и y^′(0) как пределы при x → 0+ функций

y(x) и y^′(x). Как следует из приведённых во введении результатов работы [5], при σ ≤ -1 и

a > -2 для положительного решения y(x) уравнения (1.1), определённого на интервале с ну-

левым левым концом, существует y(0) ∈ [0, +∞). Существование y^′(0) ∈ R

^⋃ {-∞} вытекает

из того, что в силу уравнения (1.1) справедливо неравенство y^′′(x) > 0 при x > 0.

Рассмотрим уравнение (1.1) для σ < 0 и a ∈ R. Как сказано во введении, в [3] доказано, в

частности, что если σ < 0 и a ≤ -2, то x = 0 является вертикальной асимптотой всех поло-

жительных решений уравнения (1.1), определённых на интервалах с нулевым левым концом,

а согласно теореме 3 из [5], если σ < 0, a > -1 и λ ∈ R, то задача Коши (1.1), (1.2) имеет

единственное решение. Вследствие этого естественно возникают два вопроса.

1. Как ведут себя положительные решения уравнения (1.1), определённые на интервалах с

нулевым левым концом, при x → 0+, в случае, когда σ < 0 и -2 < a ≤ -1 ?

2. Могут ли решения уравнения (1.1) в случае σ < 0 и a > -1 стремиться к конечной

точке на положительной полуоси оси y, когда x → 0+ с наклоном “λ = -∞” ?

Следующие лемма, теорема и пример дают ответ на первый вопрос.

Лемма 2.1. Пусть σ < 0, -2 < a ≤ -1, λ ∈ R и c > 0. Тогда задача Коши (1.1), (1.2)

не имеет решения.

Доказательство. Предположим, что такое решение y(·) существует, и пусть оно опреде-

лено на (0, h] для некоторого h > 0. Интегрируя уравнение (1.1), получаем

∫h

y^′(h) - λ = x^ay^σ(x)dx.

(2.1)

Так как y(x) → c, когда x → 0+, то x^ay^σ ∼ Cx^a для некоторого C > 0, когда x → 0+.

Поэтому правая часть равенства (2.1) бесконечна, а его левая часть конечна, получаем про-

тиворечие. Лемма доказана.

Теорема 2.1. Пусть σ < 0 и -2 < a ≤ -1. Тогда для любого положительного решения

y(·) дифференциального уравнения (1.1), определённого на интервале (0, x₀] при некотором

x₀ > 0, такого, что y^′(x₀) ≤ 0, имеет место соотношение

lim y^′(x) = -∞.

x→0+

Доказательство. В теореме 1 работы [5] доказано, что если σ < 0 и a + σ + 1 ≤ 0, то

никакое положительное решение уравнения (1.1), определённое на интервале с нулевым левым

концом, не стремится к нулю. Следовательно, решение y(x), удовлетворяющее предположени-

ям доказываемой теоремы, стремится при x → 0+ к конечной точке положительной полуоси

оси y. Так как y^′′(x) > 0, то решения уравнения (1.1) представляют собой выпуклые функ-

ции, и поэтому существует lim y^′(x). Обозначим наклон к оси x решения y(x) в точке 0

x→0+

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1016

КРТИНИЧ, МИКИЧ

через λ, λ ∈ R

^⋃{-∞}. Пусть λ = -∞. Интегрируя уравнение (1.1), получаем

∫h

y^′(h) - λ = x^ay^σ(x)dx.

(2.2)

Из того, что y(x) → c > 0 при x → 0+, следует эквивалентность x^ay^σ ∼ Cx^a, где C > 0,

когда x → 0 + . Поэтому левая часть равенства (2.2) конечна, а его правая часть бесконечна,

что приводит к противоречию. Теорема доказана.

В силу леммы 2.1 и теоремы 2.1 заключаем, что если σ < 0 и a ∈ (-2, -1], то все положи-

тельные решения дифференциального уравнения (1.1), определённые на интервале (0, x₀] при

некотором x₀ > 0, имеют наклон λ = -∞, когда x → 0+, т.е. ось y является касательной к

интегральным кривым решений этого уравнения.

Это приводит к вопросу о единственности решения задачи Коши

y(0) = c, y^′(0) = -∞

(2.3)

для уравнения (1.1) при σ < 0,

-2 < a ≤ -1 и c > 0. Следующий пример показывает, что

решение задачи Коши (1.1), (2.3) не обязательно будет единственным.

Пример. Пусть

x(t) =

√

(2.4)

t(t - 1) + ln(

√t - 1) + d,y(t)=

t(t - 1) + ln(

t - 1) + d

где c и d - произвольные положительные постоянные. Заметим, что функции x(t) и y(t)

корректно определены на интервале (1, ∞). Кроме того, функция x(t) монотонна на (1, ∞),

поэтому x(t) и y(t) - параметрические представления некоторой функции y(x). Простыми

вычислениями получаем равенства

√

c³

(t) = -

√

2 (

t(t - 1) + ln(

√t - 1) + d)2 t - 1^,

√

ln(

√t - 1) + d -^√t/(t - 1)

(t) = c

√

(

t(t - 1) + ln(

√t - 1) + d)2

√

d²x

c³ 1 + 4t +

t-1(t - 1)-1(ln(

√t - 1) + d)

(t) =

√

dt²

(t - 1)(

t(t - 1) + ln(

√t - 1) + d)3

√

d²y

c 5t + (5 - 4t)

t/(t - 1)(ln(

√t - 1) + d)

(t) =

√

dt²

(t - 1)(

t(t - 1) + ln(

√t - 1) + d)3

Отсюда следует, что

2 1

√

y′′x2(t) =

(y^′′(t)x^′(t) - x^′′(t)y^′(t)) =

(

t(t - 1) + ln(

t - 1) + d)³,

(x^′(t))³

c⁵ t²

а из определения (2.4) - что

2 1

√

(x(t))-1(y(t))-2 =

(

t(t - 1) + ln(

t - 1) + d)³.

c⁵ t²

Поэтому x(t) и y(t) при каждых c > 0, d > 0 задают параметрическое представление

функции y(x), являющейся решением уравнения y^′′ = x-1y-2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

1017

При t → ∞ получаем x(t) → 0, y(t) → c,

√

(

)

√

y^′x(t) = -

ln(

t - 1) + d -

√

→ -∞

c²

1 - 1/t

для любого d ∈ (0, ∞). Таким образом, функции x(t) и y(t), определённые равенствами (2.4),

дают при каждом положительном d параметрическое представление решения y(x) задачи

Коши (2.3) для уравнения y^′′ = x-1y-2. Остаётся убедиться, что при разных d получаются

различные решения.

Из определения (2.4) очевидно вытекает, что y(t)/x(t) = 2t/c². Поэтому, если график

функции y(x), имеющей параметрическое представление (2.4), при некотором значении па-

раметра t проходит через точку (x₀, y₀) ∈ (0, ∞)², то это значение параметра определяется

однозначно: t₀ = c²y₀/(2x₀) (число c > 0 фиксировано). Но тогда из любого уравнения (2.4)

√

однозначно находится d = c³/(2x₀) - (

t₀(t₀ - 1) + ln(√t0 +√t0 - 1 )). Таким образом, функ-

ции, имеющие параметрические представления (2.4) с разными d, не только не совпадают

друг с другом, но их графики даже не имеют общих точек.

Ответ на второй из поставленных в начале этого пункта вопросов даёт

Лемма 2.2. Пусть σ < 0, a > -1, c > 0 и λ = -∞. Тогда задача Коши (1.1), (1.2) не

имеет решения.

Доказательство. Предположим, что такое решение y(x) существует, и пусть это решение

определено на (0, h] при некотором h > 0. Интегрируя уравнение (1.1), получаем

∫h

∫

y^′(h) - y^′(δ) = y^′′(x)dx = x^ay^σ(x)dx,

(2.5)

где δ ∈ (0, h). Так как y → c при x → 0+, то x^ay^σ ∼ Cx^a для некоторого C > 0, когда

x → 0 + . Поэтому правая часть равенства (2.5) конечна, а его левая часть бесконечна, когда

δ → 0+, что приводит к противоречию. Лемма доказана.

3. Задача Коши для уравнения Эмдена-Фаулера для начальной точки на по-

ложительной части оси x. Для уравнения (1.1) рассмотрим задачу Коши (1.1), (1.3), в

которой σ < 0, a ∈ R и λ ∈ R. Уточнение постановки задачи (1.1), (1.3) проводится анало-

гично тому, как это сделано в начале п. 2 для задачи (1.2), т.е. под y(x₀) и y^′(x₀) понимаются

односторонние пределы при x → x₀+ функций y(x) и y^′(x) соответственно.

Как отмечено выше, в теореме 1 из [5] показано, что если σ < 0 и a + σ + 1 ≤ 0, то

не существует положительного решения уравнения (1.1) такого, что его график “стремится к

точке” (0, 0) .

Естественно возникает вопрос: при каких условиях будет существовать решение уравнения

(1.1) такое, что его график “стремится” к некоторой точке на оси x ? Частичный ответ на этот

вопрос следует для λ = 0 из работы [6]. Действительно, в теореме 1 этой работы показано,

что при σ > -1, если p(x) - непрерывная отрицательная функция на [0, 1], существует

решение уравнения y^′′ + p(x)|y|σ = 0 такое, что y(0) = y′(0) = 0. Отметим, что в этом

утверждении начальные условия относятся к точке (0, 0), но если применить его к функции

p(x) = -(x - x₀)^a, где x₀ > 0, то получим ответ на наш вопрос для точки x₀.

Ответ на поставленный вопрос для λ ≥ 0, σ ∈ (-1, 0) даёт

Теорема 3.1. Пусть -1 < σ < 0 и λ ≥ 0. Тогда задача Коши (1.1), (1.3) имеет решение,

определённое на полуинтервале (x₀,x₀ + h] при некотором h > 0.

Доказательство. Рассмотрим семейство решений y_μ(x) на [x₀, x₀ + h] такое, что

y_μ(x₀) = μ, y^′μ(x₀) = λ.

Так как y^′′μ(x) = x^ay^σμ(x), имеем, что y^′′μ(x) > 0 и y^′μ(x) ≥ 0 на [x0, x0 + h]. Кроме того,

поскольку отображение x → x^a непрерывно и положительно на [x0, x0 + h], существуют

постоянные m и M такие, что M ≥ x^a ≥ m > 0 для каждого x ∈ [x₀, x₀ + h].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1018

КРТИНИЧ, МИКИЧ

Пусть 0 < α ≤ h. Если x ∈ (x₀, x₀ +α], то y^′′μ(x) = x^ay^σμ(x) ≥ my^σμ(x₀ +α). Следовательно,

∫x

∫

y^′μ(x) - λ = y^′μ(x) - y^′μ(x₀) = y^′′μ(t)dt ≥ my^σμ(x₀ + α) dt = my^σμ(x₀ + α)(x - x₀)

x₀

для каждого x ∈ [x₀, x₀ + α]. Воспользовавшись этим неравенством, аналогично получаем

∫x

my^σμ(x₀

+ α)

y_μ(x) - μ = y_μ(x) - y_μ(x₀) = y^′μ(t)dt ≥ λ(x - x₀) +

(x - x₀)²

x₀

для каждого x ∈ [x₀, x₀ + α].

Поэтому

y_μ(x₀ + α) ≥ μ + λα +

y^σμ(x₀ + α)α² ≥

y^σμ(x₀ + α)α²,

т.е. y_μ(x₀ + α) ≥ (m/2)1/(1-σ)α2/(1-σ), а поскольку 0 < α ≤ h произвольно, имеем

)1/(1-σ)

⁽m

y_μ(x) ≥

(x - x₀)2/(1-σ)

(3.1)

для каждого x ∈ [x₀, x₀ + h].

Таким образом, справедлива оценка

y^′′μ(x) = x^ay^σμ(x) ≤ M(m/2)σ/(1-σ)(x - x₀)(2σ)/(1-σ) = c₁(x - x₀)(2σ)/(1-σ)

для каждого x ∈ (x₀, x₀ + h] (где c₁ - постоянная, не зависящая от μ). Интегрируя два раза,

получаем

∫x

∫

1-σ

y^′μ(x) - λ = y^′′(t) dt ≤ c1 (t - x0)2σ/(1-σ)

dt = c₁

(x - x₀)(1+σ)/(1-σ)

(3.2)

1+σ

x₀

∫x

(1 - σ)²

y_μ(x) - μ - λ(x - x₀) = y^′

(t) dt ≤ c₁

(x - x₀)2/(1-σ) = c₂(x - x₀)2/(1-σ)

(3.3)

2(1 + σ)

x₀

для каждого x ∈ [x₀, x₀ + h] (где c₂ - постоянная, не зависящая от μ). Из оценки (3.3)

следует, что семейство (y_μ(x))_μ является равномерно ограниченным на [x₀, x₀+h], а из оценки

(3.2) - что это семейство равностепенно непрерывно. По теореме Арцела-Асколи заключаем,

что существует последовательность μ^′ → 0 такая, что y_μ′ (x) равномерно сходится на [x₀, x₀ +

+ h] к некоторой функции y(x).

В частности, y_μ′ (x) равномерно сходится к y(x) на [x₀ +α, x₀ +h] для каждого α ∈ (0, h).

Из оценки (3.1) (ограниченность снизу) следует, что yσμ′ (x) равномерно сходится к y^σ(x) на

[x₀ + α, x₀ + h]. Так как y′′μ′ (x) = x^ayσμ′ (x), то y^′′(x) = x^ay^σ(x) на [x₀ + α, x₀ + h] (и поскольку

α произвольно, это равенство выполняется также на (x₀, x₀ + h]). Очевидно, что y(x₀) = 0 и

y^′(x₀) = λ. Теорема доказана.

Теорему 3.1 можно также доказать в случае -1 < σ < 0 и λ ≤ 0. Тогда решение опреде-

ляется на некотором полуинтервале [x₀ - h, x₀), h > 0, для достаточно малого h. Доказа-

тельство этого случая вытекает из рассмотрения функции y(2x₀ - x).

Теорема 3.1 даёт нам существование решения задачи Коши (1.1), (1.3). Возникает вопрос

о единственности такого решения. В случае, когда λ > 0 (λ < 0), ответ можно получить

стандартным способом. Это показано в следующей теореме.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

1019

Теорема 3.2. Пусть -1 < σ < 0 и λ ∈ (0, ∞). Тогда задача Коши (1.1), (1.3) имеет

единственное решение, определённое на некотором полуинтервале (x₀,x₀ + h], h > 0.

Доказательство. Задача Коши (1.1), (1.3) равносильна интегральному уравнению

∫x

y(x) = λ(x - x₀) + (x - t)t^ay^σ(t) dt.

(3.4)

x₀

Пусть y₁(x) и y₂(x) - решения задачи Коши (1.1), (1.3). Из представления (3.4) вытекает

неравенство

∫x

|y₁(x) - y₂(x)| ≤ (x - x₀) t^a|yσ1(t) - yσ2(t)| dt.

(3.5)

x₀

Вследствие уравнения (1.1) и начальных условий получаем, что y^′′(x) > 0 и λ ≤ y^′(x) ≤ 2λ

для x ∈ [x₀, x₀ + h] при некотором h > 0. Отсюда вытекает, что

λ(x - x₀) ≤ y₁(x) ≤ 2λ(x - x₀) и λ(x - x₀) ≤ y₂(x) ≤ 2λ(x - x₀)

(3.6)

для x ∈ [x₀, x₀ + h]. Согласно теореме Лагранжа справедливо равенство

|yσ1(x) - yσ2(x)| = |σ|ξσ-1(x)|y₁(x) - y₂(x)| при x ∈ (x₀, x₀ + h],

(3.7)

где ξ(x) ≥ λ(x - x₀) для x ∈ [x₀, x₀ + h]. Поэтому

ξσ-1(x) ≤ λσ-1(x - x₀)σ-1 при x ∈ (x₀,x₀ + h].

(3.8)

Из оценок (3.6) для x ∈ (x₀, x₀ + h] следует, что

|y₁(x) - y₂(x)|

y₁(x) + y₂(x)

≤

≤ 4λ < ∞,

x-x₀

поэтому

sup

(|y₁(x) - y₂(x)|(x - x₀)-1) < ∞. Далее, из неравенств (3.5), (3.7), (3.8) вы-

x∈(x₀,x₀+h]

текает, что

∫

|y₁(x) - y₂(x)|

|y₁(x) - y₂(x)| ≤ (x - x₀)|σ|λσ-1

sup

t^a(t - x₀)^σ dt,

x∈(x₀,x₀+h]

x-x₀

x₀

откуда

∫

|y₁(x) - y₂(x)|

≤ |σ|λσ-1 sup

t^a(t - x₀)^σ dt

(3.9)

x-x₀

x∈(x₀,x₀+h]

x₀

для x ∈ (x₀, x₀ + h]. Так как интеграл в неравенстве (3.9) конечен, то при достаточно малых

h получаем, что

|y₁(x) - y₂(x)|

sup

< sup

x-x₀

x∈(x₀,x₀+h]

Пришли к противоречию. Следовательно, y₁ ≡ y₂. Теорема доказана.

Теорему 3.2 можно также доказать в случае λ < 0. Тогда единственное решение опреде-

ляется на некотором полуинтервале [x₀ - h, x₀), h > 0, для достаточно малого h. Доказа-

тельство в этом случае аналогично предыдущему, поэтому оно опущено.

В случае λ = 0 рассуждения, проведённые в доказательстве теоремы 3.2, неприменимы.

Тем не менее результат, сформулированный в этой теореме, имеет место и в этом случае. Это

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1020

КРТИНИЧ, МИКИЧ

вытекает из работы [6]. Для полноты изложения в следующей теореме мы получим указанный

результат, используя технику, отличную от применяемой в [6].

Теорема 3.3. Пусть -1 < σ < 0 и λ = 0. Тогда задача Коши (1.1), (1.3) имеет един-

ственное решение, определённое на некотором полуинтервале (x₀,x₀ + h], h > 0.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай a ≥ 0. Предположим, что решение y(x)

задачи Коши (1.1), (1.3) определено на интервале (x₀, x₀ +h], h > 0, для некоторого h. Тогда

в силу уравнения (1.1) имеем

y^′′(x) = x^ay^σ(x) ≥ xa0y^σ(x)

(3.10)

для x ∈ (x₀, x₀ + h]. Из уравнения (1.1) следует, что y^′′(x) > 0 для x ∈ [x₀, x₀ + h], а из

начального условия y^′(x₀) = 0 - что y^′(x) > 0 для x ∈ (x₀, x₀ + h]. Умножая обе части

неравенства (3.10) на y^′(x) и затем интегрируя полученное неравенство, будем иметь

2xa0

y′2(x) ≥

yσ+1(x)

σ+1

для x ∈ [x₀, x₀ + h]. Отсюда, поскольку y^′(x) > 0 для x ∈ (x₀, x₀ + h], следует, что

(

)1/2

2xa0

y^′(x) ≥

(y(x))(σ+1)/2

σ+1

для x ∈ [x₀, x₀ + h]. После деления обеих частей этого неравенства на (y(x))(σ+1)/2 и после-

дующего интегрирования получаем

(

)1/2

1-σ

2xa0

(y(x))(1-σ)/2 ≥

(x - x₀),

σ+1

т.е.

1/(1-σ)

⁽1 - σ)2/(1-σ)( 2xa0 )

y(x) ≥

(x - x₀)2/(1-σ)

(3.11)

σ+1

при x ∈ [x₀, x₀ + h].

Задачи Коши (1.1), (1.3) при λ = 0 равносильна интегральному уравнению

∫x

y(x) = (x - t)t^ay^σ(t) dt.

(3.12)

x₀

Пусть y₁(x) и y₂(x) - решения задачи Коши (1.1), (1.3). Для x ∈ (x₀, x₀ + h] в силу представ-

ления (3.12) имеем

∫x

∫

|y₁(x) - y₂(x)| ≤ (x - t)t^a|yσ1(t) - yσ2(t)| dt ≤ (x₀

+ h)^a (x - t)|yσ1(t) - yσ2(t)| dt.

(3.13)

x₀

Согласно теореме Лагранжа и вследствие неравенства (3.11) для x ∈ (x₀, x₀ + h] получаем

|yσ1(x) - yσ2(x)| = ξσ-1(x)|y₁(x) - y₂(x)|,

где

1/(1-σ)

⁽1 - σ)2/(1-σ)( 2xa0 )

ξ(x) ≥ min{y₁(x), y₂(x)} ≥

(x - x₀)2/(1-σ).

σ+1

Так как σ ∈ (-1, 0), для x ∈ (x₀, x₀ + h] имеем неравенство

2(σ + 1)

ξσ-1(x) ≤

(x - x₀)-2.

(1 - σ)²x^a

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

1021

Из последнего неравенства и из (3.13) следует, что

∫

2(σ + 1)

|y₁(x) - y₂(x)| ≤ (x₀ + h)^a|σ|

(x - t)(t - x₀)-2|y₁(t) - y₂(t)| dt ≤

(1 - σ)²xa0

x₀

(

∫

2(σ + 1)

|y₁(x) - y₂(x)|

≤

|σ|

sup

(x - t)(t - x₀)-2+2/(1-σ) dt

(3.14)

x₀

(1 - σ)²

x∈(x₀,x₀

+h] (x - x0)2/(1-σ)

x₀

∫_x

при x ∈ (x₀, x₀ + h]. Для x ∈ (x₀, x₀ + h] интеграл

(x - t)(t - x₀)-2+2/(1-σ) dt сходится,

x₀

поскольку -2 + 2/(1 - σ) ∈ (-1, 0). Непосредственным вычислением находим

∫

(1 - σ)²

(x - t)(t - x₀)-2+2/(1-σ) dt =

(x - x₀)2/(1-σ),

2(σ + 1)

x₀

тогда при x ∈ (x₀, x₀ + h] из неравенства (3.14) вытекает оценка

(

)_a

|y₁(x) - y₂(x)|

≤ |σ|

sup

(3.15)

(x - x₀)2/(1-σ)

x₀

x∈(x₀,x₀+h] (x - x0)2/(1-σ)

Супремум в (3.15) является конечным, поскольку в силу неравенства (3.3) имеем

|y₁(x) - y₂(x)|

y₁(x) + y₂(x)

≤

≤ 2c₂ < ∞

(x - x₀)2/(1-σ)

для x ∈ (x₀, x₀ + h]. Так как (1 + h/x₀)^a → 1 при h → 0+ и σ ∈ (-1, 0), то из оценки (3.15)

следует, что

|y₁(x) - y₂(x)|

sup

< sup

x-x₀

x∈(x₀,x₀+h]

для достаточно малого h > 0. Противоречие. Следовательно, y₁ ≡ y₂.

Рассмотрим теперь случай a < 0. Доказательство в этом случае аналогично доказатель-

ству в случае a ≥ 0, поэтому мы укажем только ключевые шаги. Неравенство

y^′′(x) = x^ay^σ(x) ≥ (x₀ + h)^ay^σ(x)

аналогично неравенству (3.10) для x ∈ (x₀, x₀ + h]. Применяя тот же метод, что и в случае

a ≥ 0, получаем неравенства, аналогичные неравенствам (3.11), (3.13) и (3.15) соответственно:

)1/(1-σ)

⁽1 - σ)2/(1-σ)(2(x₀ + h)

y(x) ≥

(x - x₀)2/(1-σ),

σ+1

∫

|y₁(x) - y₂(x)| ≤ xa0 (x - t)|yσ1(t) - yσ2(t)| dt

x₀

(

)-a

|y₁(x) - y₂(x)|

≤ |σ|

sup

(x - x₀)2/(1-σ)

x₀

x∈(x₀,x₀+h] (x - x0)2/(1-σ)

при x ∈ (x₀, x₀ + h]. Из последнего неравенства в силу произвольности h следует, что y₁ ≡ y₂

в случае a < 0. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

2^∗

1022

КРТИНИЧ, МИКИЧ

Теорему, аналогичную теореме 3.3, можно доказать в случае, когда λ = 0 и единственное

решение определяется на некотором полуинтервале [x₀ -h, x₀), h > 0, для достаточно малого

h > 0. Доказательство аналогично предыдущему, поэтому оно опущено.

Благодарим рецензента за полезные предложения, а также за литературные указания.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования, науки и техно-

логического развития Республики Сербия в Математическом институте Сербской академии

наук и искусств (проект OI174001) и при частичной финансовой поддержке Министерства

образования, науки и технологического развития Республики Сербия (грант 174017).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., 1954.

2. Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных

дифференциальных уравнений. М., 1990.

3. Кнежевич-Милянович Ю. Вертикальные асимптоты решений уравнения Эмдена-Фаулера // Диф-

ференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 12. С. 1710-1711.

4. Кнежевич-Милянович Ю. О задаче Коши для уравнения типа Эмдена-Фаулера // Дифференц.

уравнения. 2009. Т. 45. № 2. С. 260-262.

5. Krtinić Ð., Mikić M. Note on asymptotical behavior of solutions of Emden-Fowler equation and the

existence and uniqueness of solution of some Cauchy problem // Miskolc Math. Notes. 2017. V. 18. № 1.

P. 285-294.

6. Лысова Т.В. О решениях сингулярного уравнения типа Эмдена-Фаулера // Вестн. молодых ученых.

Сер. Прикл. математика и механика. 2004. № 4. С. 17-22.

7. Mikić M. Note about asymptotic behaviour of positive solutions of superlinear differential equation of

Emden-Fowler type at zero // Kragujevac J. of Math. 2016. V. 40. № 1. P. 105-112.

Белградский университет,

Поступила в редакцию 22.12.2020 г.

Сербия

После доработки 21.04.2021 г.

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021