ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1023-1031

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.984.5

О СПЕКТРЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ ОПЕРАТОРА ДИРАКА

Рассматривается спектральная задача для оператора Дирака с произвольными двухто-

чечными краевыми условиями и произвольным комплекснозначным суммируемым потен-

циалом. Устанавливается существование нетривиальных краевых задач указанного типа,

кратность собственных значений которых неограниченно растёт.

DOI: 10.31857/S0374064121080033

Введение. В настоящей работе изучается система Дирака

By^′ + V y = λy,

(1)

где y = col (y₁(x), y₂(x)), λ ∈ C - спектральный параметр,

(

)

(

)

p(x) q(x)

V (x) =

−1

q(x)

-p(x)

функции p, q ∈ L₁(0, π) комплекснозначные, с двухточечными краевыми условиями

U (y) ≡ Cy(0) + Dy(π) = 0,

(2)

где

(

)

(

)

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₁₄

C =

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₂₄

коэффициенты a_ij могут быть любыми комплексными числами, а строки матрицы

(

)

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₁₄

A = (CD) =

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₂₄

линейно независимы.

Обозначим через ∥f∥ = (|f₁|² + |f₂|²)1/2 норму произвольного вектора f = col (f₁, f₂) ∈ C²

и положим 〈f, g〉 = f₁g₁ + f₂g₂, а через ∥W ∥ = sup ∥W f∥ - норму произвольной 2 × 2-мат-

∥f∥=1

рицы W. Пусть L2,2(a, b) - пространство двумерных вектор-функций f(t) = col (f₁(t), f₂(t)) с

∫b

нормой ∥f∥L2,2(a,b) = (

∥f(t)∥ dt)1/2 и L2,22,2(a, b) - пространство 2 × 2-матриц-функций W (t)

∫b

с нормой ∥W ∥_L2,2

∥W (t)∥ dt)1/2. Оператор Ly = By^′ + V y будем рассматривать как

(a,b)

2,2

линейный в пространстве L2,2(0, π) с областью определения D(L) = {y ∈ W¹¹[0, π] : Ly ∈

∈ L2,2(0,π), U_j(y) = 0 (j = 1,2)}.

Пусть

(

)

c₁(x,λ)

-s₂(x,λ)

E(x, λ) =

s₁(x,λ) c₂(x,λ)

- фундаментальная матрица уравнения (1) с краевым условием E(0, λ) = I, где I - единичная

матрица, и E₀(x, λ) - фундаментальная матрица невозмущённого уравнения By^′ = λy с

краевым условием E₀(0, λ) = I. Очевидно, что

(

)

cos(λx)

- sin(λx)

E₀(x,λ) =

sin(λx) cos(λx)

1023

1024

МАКИН

Хорошо известно, что элементы матрицы E(x, λ) связаны соотношением

c₁(x,λ)c₂(x,λ) + s₁(x,λ)s₂(x,λ) = 1,

(3)

справедливом при любых x, λ. Обозначим через J_ij определитель, составленный из i-го и

j-го столбцов матрицы A. Обозначим J₀ = J₁₂ + J₃₄, J₁ = J₁₄ - J₂₃, J₂ = J₁₃ + J₂₄.

Методом оператора преобразования в [1] показано, что характеристический определитель

Δ(λ) задачи (1), (2), равный

Δ(λ) = J₁₂ + J₃₄ + J₁₄c₂(π, λ) - J₂₃c₁(π, λ) - J₁₃s₂(π, λ) - J₂₄s₁(π, λ),

(4)

может быть приведён к виду

∫π

∫

Δ(λ) = Δ₀(λ) + r₁(t)e^-iλt dt + r₂(t)e^iλt dt = Δ₀(λ) + R(λ),

(5)

в котором функция

Δ₀(λ) = J₀ + J₁ cos(πλ) - J₂ sin(πλ) =

=J₁₂ +J₃₄ +

(e^iπλ(J₁ + iJ₂) + e^-iπλ(J₁ - iJ₂)) = J₀ + C₁e^iπλ + C₂e^-iπλ,

(6)

где C₁ = (J₁ + iJ₂)/2, C₂ = (J₁ - iJ₂)/2, является характеристическим определителем невоз-

мущённой задачи

By^′ = λy, U(y) = 0,

(7)

а функции r_j принадлежат пространству L₁(0, π), j = 1, 2. Если p, q ∈ L₂(0, π) (для кратко-

сти будем писать V ∈ L₂(0, π)), то r_j ∈ L₂(0, π). Отсюда следует, что функция Δ(λ) является

целой функцией экспоненциального типа, стало быть, для спектра оператора L задачи (1),

(2) могут представиться разве что только следующие возможности: 1) спектр отсутствует;

2) спектр является конечным непустым множеством; 3) спектр представляет собой счётное

множество, не имеющее конечной предельной точки; 4) спектр заполняет всю комплексную

плоскость.

Из соотношений (5), (6) вытекает, что для задачи (7) случай 1) реализуется, например, для

краевых условий, задаваемых матрицей

(

)

-1

-i

а случай 4) - для краевых условий, задаваемых матрицей

(

)

-i

Докажем, что случай 2) невозможен. Пусть уравнение

Δ(λ) = 0

имеет конечное число корней λ_k, k = 1, n. Если C₁C₂ = 0, то условия (2) являются регу-

лярными и задача (1), (2) имеет счётное множество собственных значений, поэтому C₁C₂ = 0.

∏n

Обозначим P (λ) =

(λ - λ_k). Согласно [2]

k=1

Δ(λ) = P (λ)eaλ+b,

где a, b - некоторые постоянные. Предположим, например, что C₂ = 0. Полагая в равенстве

(5) λ = -iy, где y > 0, получаем

J₀ + C₁e^πy + R(-iy) = P(-iy)e-iay+b,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

О СПЕКТРЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

1025

откуда вытекает, что

J₀e^-πy + C₁ + e^-πyR(-iy) = P(-iy)eb-iReaye(Ima-π)y.

(8)

Согласно [3, с. 36] выражение в левой части равенства (8) при y → ∞ стремится к C₁. Если

Im a - π ≥ 0, то выражение в правой части равенства (8) по абсолютной величине стремится

к бесконечности, а если Im a - π < 0, то к нулю. Отсюда следует, что C₁ = 0. Если C₁ =

= C₂ = 0, то

R(λ) = P (λ)eaλ+b.

(9)

Очевидно, левая часть равенства (9) ограничена на вещественной оси, а правая часть нет, т.е.

приходим к противоречию.

Определение. Будем говорить, что задача (1), (2) имеет классическую асимптотику спек-

тра, если её спектр представляет собой счётное множество, причём кратности собственных

значений равномерно ограничены.

Целью настоящей работы является построение задач (1), (2), для которых реализуется

случай 3) и кратности собственных значений неограниченно растут, т.е. задач с неклассической

асимптотикой спектра.

Основные результаты. Обозначим c_j (λ) = c_j (π, λ), s_j(λ) = s_j(π, λ), j = 1, 2. Обо-

значим также через P W_σ класс целых функций f(z) экспоненциального типа, не превос-

ходящего σ, таких, что ∥f∥L2(R) < ∞. Известно [4], что функции cj (λ), sj(λ) допускают

представление

c_j(λ) = cos(πλ) + g_j(λ), s_j(λ) = sin(πλ) + h_j(λ),

где g_j , h_j ∈ P W_π, j = 1, 2.

Лемма 1 [5]. Функции u(λ) и v(λ) допускают представления

u(λ) = sin(πλ) + h(λ), v(λ) = cos(πλ) + g(λ),

где h, g ∈ P W_π, тогда и только тогда, когда

∏

λ_n - λ

u(λ) = -π(λ₀ - λ)

n=-∞

n=0

где λ_n = n + ε_n,

{ε_n} ∈ l₂,

∏

λ_n - λ

v(λ) =

n - 1/2

n=-∞

где λ_n = n - 1/2 + κ_n, {κn} ∈ l2.

Рассмотрим систему Дирака с краевыми условиями, задаваемыми матрицей

(

)

(10)

Будем предполагать, что V ∈ L₂(0, π). Из представления (4) следует, что характеристический

определитель Δ(λ) задачи (1), (2) с матрицей A, определённой в (10), может быть приведён

к виду

∫π

Δ(λ) = s₁(λ) - s₂(λ) = r(t)e^iλt dt = f(λ),

-π

где r ∈ L₂(0, π), f ∈ P W_π. Справедливо и обратное утверждение.

Теорема. Для любой функции f ∈ P W_π существует такой потенциал V ∈ L₂(0, π),

что характеристический определитель Δ(λ) задачи (1), (2) с матрицей A, определённой

равенством (10), и потенциалом V (x) тождественно равен f(λ).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1026

МАКИН

Доказательство. Пусть f(λ) - произвольная функция из класса P W_π. Из теоремы Пэли-

Винера и [3, с. 36] следует, что

lim e-π|Imλ|f(λ) = 0,

(11)

|λ|→∞

следовательно, существует столь большое натуральное число N₀, что |f(λ)| < 1/100, если

Im λ = 0, |Re λ| ≥ N₀.

Пусть {λ_n}, n ∈ Z, - строго монотонно возрастающая последовательность вещественных

чисел такая, что N₀ < λ_n < N₀ + 1/100, если 1 ≤ n ≤ N₀, λ_n = n - 1/2, если n > N₀, и

λ_n = -λ-n+1 для любого n. Обозначим

∏

λ_n - λ

c(λ) =

n - 1/2

n=-∞

Из леммы 1 вытекает равенство

c(λ) = cos(πλ) + g(λ),

(12)

где g ∈ P W_π. Из теоремы Пэли-Винера и [3, с. 36] следует, что

lim e-π|Imλ|g(λ) = 0,

|λ|→∞

поэтому

|c(λ)| ≥ c₀eπ|Imλ|

(13)

(c₀ = const > 0) при |Im λ| ≥ M, где M - некоторое достаточно большое число.

Дифференцируя равенство (12), получаем

ċ(λ) = -π sin(πλ) + ġ(λ).

(14)

Так как функция ġ принадлежит классу P W_π, то, согласно [6], имеем

ċ(λ_n) = -π sin(πλ_n) + τ_n,

где

∑

|τ_n|² < ∞.

n=-∞

Отсюда в силу определения чисел λ_n получаем

ċ(λ_n) = π(-1)ⁿ + ρ_n,

(15)

где

∑

|ρ_n|² < ∞.

n=-∞

Следовательно, при всех достаточно больших по абсолютной величине чётных n имеет ме-

сто неравенство

ċ(λ_n) > 0. Несложно видеть, что для всех n ∈ Z справедливо неравенство

ċ(λ_n) ċ(λn+1) < 0. Отсюда вытекает, что

(-1)ⁿ ċ(λ_n) > 0

(16)

при всех n ∈ Z. Заметим, что из (15) следует равенство

(-1)ⁿ

+σ_n,

(17)

ċ(λ_n)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

О СПЕКТРЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

1027

где

∑

|σ_n|² < ∞.

n=-∞

Рассмотрим квадратное уравнение

w² + f(λ_n)w - 1 = 0.

(18)

Оно имеет корни

√

-f(λ_n) ±

f²(λ_n) + 4

s^±n =

Обозначим через Γ(z, r) круг с центром в точке z радиуса r. Нетрудно видеть, что все числа

s+n лежат внутри круга Γ(1,1/10), а все числа s^-n - внутри круга Γ(-1,1/10). Пусть s_n = s+n,

если n нечётно, и s_n = s^-n, если n чётно. Так как [6] {f(λ_n)} ∈ l₂, то из определения чисел

s_n следует, что

s_n = (-1)n+1 + ϑ_n,

(19)

где {ϑn} ∈ l2. Из определения чисел sn и неравенства (16) также следует, что все числа

z_n = s_n/ċ(λ_n) лежат строго левее мнимой оси, а из (17) и (19) вытекает равенство

z_n = -

+ρ_n,

где {ρ_n} ∈ l₂. Пусть β_n = s_n - sin(πλ_n), тогда {β_n} ∈ l₂ вследствие (19). Обозначим

∑

β_n

h(λ) = c(λ)

ċ(λ_n)(λ - λ_n)

n=-∞

Согласно [7, c. 120] функция h принадлежит классу P W_π и h(λ_n) = β_n. Обозначим s(λ) =

= sin(πλ)+ h(λ), тогда s(λ_n) = s_n = 0, следовательно, функции s(λ) и c(λ) не имеют общих

корней.

Обозначим

(

)

cos(λx)

Y₀(x,λ) =

sin(λx)

Для дальнейших рассуждений нам понадобится следующая элементарная

Лемма 2. Если системы функций {ϕ_n} и {ψ_n} полны в L₂(a, b) (n ∈ N), то система

векторов

(

{ϕ_n})⋃({ϕn})

Ψ_n,n =

{ψ_n}

{-ψ_n}

полна в L2,2(a, b).

Доказательство. Предположим, существует вектор f(x) = col (f₁(x), f₂(x)) = 0 та-

кой, что

∫

(ϕ_n(x)f₁(x) + ψ_n(x)f₂(x)) dx = 0,

(ϕ_n(x)f₁(x) - ψ_n(x)f₂(x)) dx = 0

для всех n ∈ N. Тогда

∫

ϕn(x)f1(x) dx = 0,

ψ_n(x)f₂(x) dx = 0,

следовательно, f₁(x) ≡ f₂(x) ≡ 0. Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1028

МАКИН

Из [8] следует, что системы функций {cos(λ_nx)} и {sin(λ_nx)} (n ∈ N) полны в L₂(0, π).

Отсюда, из определения чисел λ_n и леммы 2 вытекает, что система векторов

(

)

cos(λ_nx)

Y₀(x,λ_n) =

sin(λ_nx)

(n ∈ Z) полна в L2,2(0, π). Обозначим

(

)

∑

s_n

F (x, t) = -

(Y₀(x, λ_n)Y^т0(t, λ_n)) +

Y₀(x,n - 1/2)Y^т0(t,n - 1/2)

(20)

ċ(λ_n)

n=-∞

Из [4] следует, что

∥F ( · , x)∥_L2,2

+ ∥F (x, · )∥_L2,2

< C,

(0,π)

2,2

где C - постоянная, не зависящая от x. Докажем, что для каждого x ∈ [0, π] однородное

уравнение

∫x

f^т(t) + f^т(s)F(s,t)ds = 0,

(21)

в котором f(t) = col (f₁(t), f₂(t)), f ∈ L2,2(0,x), f(t) = 0 при x < t ≤ π, имеет только

тривиальное решение. Умножая уравнение (21) на f^т(t) и интегрируя полученное равенство

на отрезке [0, x], получаем

∫

∥f∥2L

f^т(s)F(s,t)ds,f^т(t) dt = 0.

2,2(0,x)

Учитывая определение (20), несложными вычислениями находим

{

∑

f^т(s)F(s,t) = -

z_n[f₁(s)cos(λ_ns)cos(λ_nt) + f₂(s)sin(λ_ns)cos(λ_nt),

n=-∞

f₁(s)cos(λ_ns)sin(λ_nt) + f₂(s)sin(λ_ns)sin(λ_nt)] +

[f₁(s) cos((n - 1/2)s) cos((n - 1/2)t) + f₂(s) sin((n - 1/2)s) cos((n - 1/2)t),

}}

f₁(s)cos((n - 1/2)s)sin((n - 1/2)t) + f₂(s)sin((n - 1/2)s)sin((n - 1/2)t)]

{

∑

z_n[f₁(s)cos(λ_ns)cos(λ_nt) + f₂(s)sin(λ_ns)cos(λ_nt)] +

n=-∞

[f₁(s) cos((n - 1/2)s) cos((n - 1/2)t) + f₂(s) sin((n - 1/2)s) cos((n - 1/2)t)],

z_n[f₁(s)cos(λ_ns)sin(λ_nt) + f₂(s)sin(λ_ns)sin(λ_nt)] +

}}

[f₁(s) cos(((n - 1/2)s)) sin((n - 1/2)t)f₂(s) sin((n - 1/2)s) sin((n - 1/2)t)]

откуда следует, что

∫

f^т(s)F(s,t)ds,f^т(t) dt =

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

О СПЕКТРЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

1029

{

∫

(∫x{

∑

z_n[f₁(s)cos(λ_ns)cos(λ_nt) + f₂(s)sin(λ_ns)cos(λ_nt)] +

n=-∞ 0

}

)

[f₁(s) cos((n - 1/2)s) cos((n - 1/2)t) + f₂(s) sin((n - 1/2)s) cos((n - 1/2)t)] ds f₁(t) dt +

∫

(∫x{

∑

z_n[f₁(s)cos(λ_ns)sin(λ_nt) + f₂(s)sin(λ_ns)sin(λ_nt)] +

n=-∞ 0

}

)

}

[f₁(s) cos((n - 1/2)s) sin((n - 1/2)t) + f₂(s) sin((n - 1/2)s) sin((n - 1/2)t)] ds f₂(t) dt

{

(∫x

∫

∑

z_n[f₁(s)cos(λ_ns) + f₂(s)sin(λ_ns)]ds cos(λ_nt)f₁(t) dt +

n=-∞

∫

)

[f₁(s) cos((n - 1/2)s) + f₂(s) sin((n - 1/2)s)] ds cos((n - 1/2)t)f₁(t) dt

(∫x

∫

∑

z_n[f₁(s)cos(λ_ns) + f₂(s)sin(λ_ns)]ds sin(λ_nt)f₂(t) dt +

n=-∞

∫

)}

[f₁(s) cos((n - 1/2)s) + f₂(s) sin((n - 1/2)s)] ds sin((n - 1/2)t)f₂(t) dt

{

(∫x

∫

∑

z_n[f₁(s)cos(λ_ns) + f₂(s)sin(λ_ns)]ds cos(λ_nt)f₁(t) dt +

n=-∞

∫x

∫

)

[f₁(s) cos(λ_ns) + f₂(s) sin(λ_ns)] ds sin(λ_nt)f₂(t) dt

(∫x

)∫x

∑

[f₁(s) cos((n - 1/2)s) + f₂(s) sin((n - 1/2)s)] ds

cos((n - 1/2)t)f₁(t) dt +

n=-∞

∫x

∫

)}

[f₁(s) cos((n - 1/2)s) + f₂(s) sin((n - 1/2)s)] ds sin((n - 1/2)t)f₂(t) dt

{

(∫x

∫

∑

z_n[f₁(t)cos(λ_nt) + f₂(t)sin(λ_nt)]dt cos(λ_nt)f₁(t) dt +

n=-∞

∫x

∫

)

[f₁(t) cos(λ_nt) + f₂(t) sin(λ_nt)] dt sin(λ_nt)f₂(t) dt

(∫x

∫

∑

[f₁(t) cos((n - 1/2)t) + f₂(t) sin((n - 1/2)t)] dt cos((n - 1/2)t)f₁(t) dt +

n=-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1030

МАКИН

∫x

∫

)}

[f₁(t) cos(nt) + f₂(t) sin((n - 1/2)t)] dt sin((n - 1/2)t)f₂(t) dt

{

∫

∑ ∫x

z_n

[f₁(t) cos(λ_nt) + f₂(t) sin(λ_nt)] dt

[f₁(t) cos(λ_nt) + f₂(t) sin(λ_nt)] dt +

n=-∞

∫

∑

[f₁(t) cos((n - 1/2)t) + f₂(t) sin((n - 1/2)t)] dt ×

n=-∞

∫x

}

[f₁(t) cos((n - 1/2)t) + f₂(t) sin((n - 1/2)t)] dt

 ∫



 ∫



∑



²

∑



²



z_n

〈f(t), Y₀(t, λ_n)〉 dt

〈f(t), Y₀(t, (n - 1/2))〉 dt



n=-∞

Вследствие равенства Парсеваля получаем

∫



∑

1

²



∥f∥2L

〈f(t), Y₀(t, (n - 1/2))〉 dt

2,2(0,x)



n=-∞

поэтому

∫



∑



²



z_n

〈f(t), Y₀(t, λ_n)〉 dt

= 0.

(22)



n=-∞

∫_x

Так как Re z_n < 0 для любого n, то равенство (22) означает, что

〈f(t), Y₀(t, λ_n)〉 dt = 0.

Отсюда и из полноты системы векторов {Y₀(t, λ_n)} в L2,2(0, π) следует тождество f(t) ≡ 0.

Из однозначной разрешимости уравнения (21) вытекает [4], что функции c(λ) и -s(λ)

являются элементами первой строки матрицы монодромии

(

)

c₁(π,λ)

-s₂(π,λ)

^Ũ (π, λ) =

s₁(π,λ)

c₂(π,λ)

задачи (1), (2) с матрицей A, определённой в (10), и некоторым потенциалом

V ∈ L₂(0,π),

т.е.

c(λ) = c₁(π, λ), s(λ) = s₂(π, λ).

(23)

В силу (4) характеристический определитель

Δ(λ) этой задачи имеет вид

Δ(λ) = s₁(π, λ) - s₂(π, λ)

f (λ),

где

f ∈ PW_π. Из (3), (18) и (23) вытекает равенство

Δ(λ_n) = s₁(π, λ_n) - s₂(π, λ_n) =

- s₂(π,λ_n) =

- s(λ_n) = f(λ_n),

s₂(π,λ_n)

s(λ_n)

из которого следует, что функция

f (λ) -Δ(λ)

f (λ)

Φ(λ) =

c(λ)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

О СПЕКТРЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

1031

является целой. Так как

|f(λ)

f (λ)| < c₁eπ|Imλ|, c₁ = const,

(24)

то вследствие неравенства (13) получаем, что |Φ(λ)| ≤ c₂ = const, если |Im λ| ≥ M.

Обозначим через H объединение вертикальных отрезков {z : |Re z| = n, |Im z| ≤ M},

где |n| = N0 + 1, N0 + 2, . . . Так как функция c(λ) является функцией типа синуса [9], то

|c(λ)| > δ > 0, если λ ∈ H. Из последнего неравенства, оценки (24) и принципа максимума

вытекает неравенство |Φ(λ)| < c₃ = const в полосе |Im λ| ≤ M. Следовательно, функция Φ(λ)

ограничена во всей комплексной плоскости и в силу теоремы Лиувилля является постоянной.

Пусть |Im λ| = M. Тогда вследствие соотношения (11) имеем lim (f(λ)

f (λ)) = 0, поэтому

|λ|→∞

Φ(λ) ≡ 0, а значит, f(λ) ≡Δ(λ). Теорема доказана.

Примеры функций из класса P W_π, имеющих корни сколь угодно высокой кратности, в ли-

тературе известны (см., например, [10, 11]). Заметим, что существование одномерных краевых

задач с неограниченно растущей кратностью собственных значений ранее было установле-

но для оператора Штурма-Лувилля и обыкновенного дифференциального оператора любого

чётного порядка [10-12].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lunyov A., Malamud M. On the Riesz basis property of root vectors system for 2×2 Dirac type operators

// J. Math. Anal. Appl. 2016. V. 441. № 1. P. 57-103.

2. Кальменов Т.Ш., Шалданбаев А.Ш. О структуре спектра краевой задачи Штурма-Лиувилля на

конечном отрезке времени // Изв. АН РК. Сер. физ.-мат. 2000. № 3. С. 29-34.

3. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев, 1977.

4. Tkachenko V. Non-self-adjoint periodic Dirac operators // Oper. Theory: Adv. and Appl. 2001. V. 123.

P. 485-512.

5. Мисюра Т.В. Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порож-

даемых операцией Дирака. II // Теор. функц., функц. анализ и их прил. 1979. Т. 31. С. 102-109.

6. Tkachenko V. Non-self-adjoint periodic Dirac operators with finite-band spectra // Int. Equat. Oper.

Theory. 2000. V. 36. P. 325-348.

7. Левин Б.Я. Целые функции (курс лекций). М., 1971.

8. Седлецкий А.М. Негармонический анализ // Итоги науки и техн. Сер. сов. мат. и ее прил. Тематич.

обз. 2006. Т. 96. С. 106-211.

9. Левин Б.Я., Островский И.В. О малых возмущениях множества корней функций типа синуса

// ИАН СССР. Сер. мат. 1979. Т. 43. № 1. С. 87-110.

10. Макин А.С. О двухточечной краевой задаче для оператора Штурма-Лиувилля с неклассической

асимптотикой спектра // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 5. С. 564-572.

11. Макин А.С. Об одной задаче для оператора Штурма-Лиувилля с неклассической асимптотикой

спектра // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 3. С. 317-322.

12. Makin A. Two-point boundary value problems with nonclassical asymptotics on the spectrum // Electr.

J. Differ. Equat. 2018. V. 2018. № 95. P. 1-7.

Российский технологический университет (МИРЭА),

Поступила в редакцию 20.07.2020 г.

г. Москва

После доработки 20.07.2020 г.

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021