ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1032-1038

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.927.25

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА ВЕБЕРА,

ВОЗМУЩЁННОГО δ-ФУНКЦИЕЙ ДИРАКА

В L²[0, +∞) рассматривается оператор Штурма-Лиувилля, порождаемый выражением

x² - 2

l_a,b := -

+ aδ(x - b), a, b > 0,

dx²

и краевым условием y(0) = 0. Доказывается, что собственные значения λ_n, n = 1, 2, . . . ,

этого оператора удовлетворяют неравенствам 1 < λ₁ ≤ 2,

2n - 1 ≤ λ_n ≤ 2n, n = 2, 3, . . .

DOI: 10.31857/S0374064121080045

Введение. В пространстве L²[0, +∞) рассмотрим оператор Штурма-Лиувилля, порож-

даемый выражением

x² - 2

l_a,b := -

+ aδ(x - b)

(1)

dx²

(δ - дельта-функция Дирака, a и b - положительные числа) и граничным условием y(0) = 0.

При определении оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями будем

следовать подходу, развитому А.М. Савчуком и А.А. Шкаликовым в работах [1, 2]. Для абсо-

лютно непрерывной на любом отрезке [0, t], t > 0, функции y(x) определим её квазипроиз-

водную, положив

dy(x)

y^[1](x) :=

- Q(x)y(x),

где

Q(x) =

+ aH(x - b),

а H - функция Хевисайда: H(x) = 0, если x < 0, и H(x) = 1 при x ≥ 0. Если функция

y^[1](x) в свою очередь является абсолютно непрерывной, то действие оператора (1) запишется

в виде

dy^[1](x)

l_a,b[y] := -

- Q(x)y^[1](x) - Q²(x)y(x).

Нетрудно убедиться, что включение y^[1] ∈ AC[0, t] (при всех t > 0) равносильно тому, что

функция y^′ обладает следующими четырьмя свойствами:

1) y^′ ∈ C[0, b)

^⋃C(b,+∞);

2) существуют односторонние пределы y^′(b-) и y^′(b+), и для них имеет место равенство

y^′(b+) - y^′(b-) = ay(b);

3) функция y^′, доопределённая в точке b значением y^′(b-), абсолютно непрерывна на

отрезке [0, b];

4) функция y^′, доопределённая в точке b значением y^′(b+), абсолютно непрерывна на

отрезке [b, t] (при всех t > b).

В пространстве L²[0, +∞) зададим оператор H_a,b, положив

H_a,by = l_a,b[y],

Dom H_a,b: ={ y ∈ L²[0, +∞): y(x) ∈ AC[0, +∞), y^′(x) ∈ AC([0, +∞)\{b}), y^′(b+) - y^′(b-) =

= ay(b), y(0) = 0, l_a,b[y] ∈ L²[0, +∞)}.

1032

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА ВЕБЕРА

1033

Локализация спектра оператора H_a,b.

Теорема. Собственные значения λ_n оператора H_a,b удовлетворяют неравенствам

1 < λ₁ ≤ 2,

2n - 1 ≤ λ_n ≤ 2n, n = 2, 3, . . .

Доказательство. Функции параболического цилиндра D_λ(x), D_λ(-x) являются линейно

независимыми решениями уравнения Вебера [3]

x² - 2

-y^′′(x) +

y(x) = λy(x).

(2)

Тогда функция

Γ(-λ)

V_λ(x) =

√

(D_λ(-x) - cos(πλ)D_λ(x)),

2π

где Γ(λ) - гамма-функция Эйлера, также является решением уравнения Вебера. Вронскиан

функций D_λ(x), V_λ(x) равен единице. Поэтому эти функции образуют фундаментальную

систему решений уравнения Вебера. Так как D_λ(x) ∈ L²[0, +∞), а V_λ(x) ∈ L₂[0, +∞), то

собственная функция ψ(x, λ) оператора H_a,b на луче b ≤ x < +∞ пропорциональна функции

D_λ(x), а на отрезке 0 ≤ x ≤ b допускает представление

ψ(x, λ) = C₁(λ)D_λ(x) + C₂(λ)V_λ(x).

Коэффициенты C₁(λ) и C₂(λ) определяются из условий в точке b:

C₁(λ)D_λ(b) + C₂(λ)V_λ(b) = D_λ(b), C₁(λ)D^′λ(b) + C₂(λ)V^′λ(b) = D^′λ(b) - aD_λ(b).

Решая эту систему уравнений, находим

C₁(λ) = 1 + aD_λ(b)V_λ(b), C₂(λ) = -aD2λ(b).

Учитывая граничное условие y(0) = 0, заключаем, что спектр оператора H_a,b совпадает

с множеством корней целой функции ψ(0, λ):

Δ(λ) = ψ(0, λ) = (1 + aD_λ(b)V_λ(b))D_λ(0) - aD2λ(b)V_λ(0) =

aΓ(-λ)

= D_λ(0) +

√

D_λ(0)D_λ(b)(D_λ(-b) - D_λ(b)).

(3)

2π

Невозмущённый оператор H₀, соответствующий значению a = 0, имеет дискретный спектр

{λ0n}∞n=1, являющийся множеством корней целой функции

λ/2

D_λ(0) =

√π

Γ((1 - λ)/2)

Следовательно, λ0n = 2n - 1, n = 1, 2, . . .

Функция D_λ(x) при Re λ < 0 может быть задана в виде интеграла [4]

∫

(

)

exp(-x²/4)

t²

D_λ(x) =

exp

- tx t-λ-1 dt,

(4)

Γ(-λ)

а при Re λ ≥ 0 - в виде контурного интеграла [4]

∫

(

)

Γ(λ + 1)

t²

D_λ(x) =

exp

+ tx t-λ-1 dt.

(5)

2πi

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1034

ПЕЧЕНЦОВ

В (5) контур l состоит из: интервала (-∞, -r), r > 0, проходимого от -∞ до -r, окруж-

ности γ = r exp(iφ), φ возрастает от -π до π, и интервала (-∞, -r), проходимого от -r

до -∞. При λ < 0 из представления (4) вытекают неравенства

D_λ(b) > 0, D_λ(-b) - D_λ(b) > 0,

кроме того,

λ/2

D_λ(0) =

√π

> 0, Γ(-λ) > 0.

Γ((1 - λ)/2)

Поэтому в силу представления (3) характеристический определитель Δ(λ) при λ < 0 положи-

телен и, следовательно, оператор H_a,b не имеет отрицательных собственных значений (с.з.).

Лемма 1. Характеристический определитель Δ(λ) положителен при 0 ≤ λ ≤ 1.

Доказательство. Воспользовавшись представлениями (3) и (4) и равенством D₀(b) =

= exp(-b²/4), вычислим Δ(0):

∫

Δ(0) = 1 +

√

exp(-b²/2) lim

exp(-t²/2)(exp(tb) - exp(-tb))t-λ-1 dt.

2π

λ→0-

Так как в этом несобственном интеграле подынтегральная функция положительна и

exp(-t²/2)(exp(tb) - exp(-tb))t-λ-1 ∼ bt^-λ при t → 0+,

то он сходится при λ < 1 и

∫

lim

exp(-t²/2)(exp(tb) - exp(-tb))t-λ-1 dt = c² > 0.

λ→0-

Таким образом,

Δ(0) = 1 +

√ exp(-b²/2) > 0.

2π

Используя тождество [5]

2z-1

Γ(2z) =

²√

Γ(z)Γ(z + 1/2),

2z = 0, -1, -2, . . . ,

и равенство D₁(b) = b exp(-b²/4), вычислим Δ(1):

Γ(-λ)

Δ(1) = -2ab² exp(-b²/2) lim

= ab² exp(-b²/2) > 0.

λ→1 Γ((1 - λ)/2)

Функция Δ(λ) принимает положительные значения и внутри отрезка [0,1]. В противном

случае найдутсяλ,

λ такие, что 0 <λ <λ < 1 и

Δ(^λ) = ψ(0,λ) = Δ(^λ) = ψ(0,λ) = 0.

Следовательно, собственная функция ψ(x,λ) оператора H_a,b, соответствующая с.з.λ, имеет

нуль x1,̃

= 0. Корни уравнения ψ(x, λ) = 0 являются непрерывными функциями от λ [6,

лемма 3.1, с. 23], и при увеличении λ каждый нуль x_λ передвигается влево [6, теорема 3.2; 7,

с. 144]. Поэтому собственная функция ψ(x,λ) имеет отрицательный нуль x1,̂

и нуль x2,̂

= 0.

По теореме Штурма [6, теорема 3.1] между двумя нулями x1,̂

< x2,̂

= 0 решения ψ(x,λ)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА ВЕБЕРА

1035

уравнения (2) при λ =λ < 1 заключён по крайней мере один нуль решения D₁(x) уравнения

(2) при λ = 1. Но функция D₁(x) = x exp(-x²/4) не имеет отрицательных нулей. Полученное

противоречие доказывает лемму. Лемма доказана.

Пусть 1 < λ < 3. На этом интервале нули характеристического определителя Δ(λ) сов-

падают с нулями функции

Δ(λ)

aΓ(-λ)

Δ₁(λ) =

=1+

√

D_λ(b)(D_λ(-b) - D_λ(b)).

D_λ(0)

2π

При Re λ > 1 функция D_λ(x) может быть задана в виде интеграла

√

∫

D_λ(x) =

exp(x²/4)

exp(-t²/2)t^λ cos(xt - πλ/2) dt.

Тогда

√

∫

D_λ(-b) - D_λ(b) = -2

exp(x²/4)

exp(-t²/2)t^λ sin(bt) dt sin(πλ/2).

Учитывая соотношение

Γ(-λ)Γ(1 + λ) = -

λ = 0,±1,±2,... ,

sin(πλ)

получаем уравнение

C(λ)S(λ)

= -dΓ(λ + 1),

(6)

cos(πλ/2)

в котором

+∞

C(λ) = exp(-t²/2)t^λ cos(bt - πλ/2) dt,

+∞

^√π exp(-b²/2)

S(λ) = exp(-t²/2)t^λ sin(bt) dt, d =

Так как

lim

(C(λ)S(λ)) = C(1)S(1) = S²(1) =

b² exp (-b²) > 0,

λ→1+

то

C(λ)S(λ)

lim

= -∞.

λ→1+ cos(πλ/2)

Нетрудно видеть, что

lim

(C(λ)S(λ)) = C(3)S(3) = -S²(3) = -

b²(b² - 3)² exp (-b²).

λ→3-

√

Поэтому, если b =

3, то

C(λ)S(λ)

lim

= +∞,

λ→3- cos(πλ/2)

√

а если b =

3, то

C(λ)S(λ)

lim

= 0.

λ→3- cos(πλ/2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1036

ПЕЧЕНЦОВ

Следовательно, поскольку обе части уравнения (6) непрерывны (λ > 0), а его правая часть

при λ ∈ [1, 3] отрицательна и убывает, то на интервале (1, 3) уравнение (6) имеет хотя бы

одно решение.

Лемма 2. На интервале (1, 3) характеристический определитель Δ(λ) имеет един-

ственный нуль λ₁, причём λ₁ ≤ 2.

Доказательство. Уравнение (6) запишем в виде

S²(λ)sin(πλ/2) + A(λ)cos(πλ/2) = 0,

(7)

где

+∞

A(λ) = S(λ) exp(-t²/2)t^λ cos(bt) dt + dΓ(λ + 1).

Так как выражение A²(λ) + S⁴(λ) не принимает нулевых значений, то уравнение (7) равно-

сильно уравнению

sin(φ(λ) + πλ/2) = 0,

(8)

в котором

S²(λ)

φ(λ) = arccos

√

A²(λ) + S⁴(λ)

Заметим, что 0 ≤ φ(λ) ≤ π/2. Поэтому при λ ∈ (1, 3) аргумент функции sin в уравнении (8)

принадлежит интервалу (0, 2π), а значит, это уравнение равносильно уравнению

πλ

φ(λ) +

= π,

которое на интервале (1, 3) в силу непрерывности функции φ(λ) и того, что φ(λ) ∈ (0, π/2)

и φ(1) = π/2, имеет хотя бы один корень. Обозначим этот корень через λ₁. Если 2 < λ < 3,

то π < φ(λ) + πλ/2 < 2π, а значит, уравнение (8) не имеет корней при 2 < λ < 3. Поэтому

1 < λ₁ ≤ 2. Таким образом, ψ(0,λ₁) = 0 и собственная функция ψ(x,λ₁) оператора H_a,b,

соответствующая с.з. λ₁, имеет нуль x1,λ1 = 0. Такой же нуль x01,1 = 0 имеет решение D₁(x)

уравнения (2) при λ = 1.

Предположим, что существует другое с.з.^λ оператора H_a,b и λ₁ <λ ≤ 2. Тогда ψ(0,λ) =

= 0 и, следовательно, x2,̃

= 0 является нулём функции ψ(x,λ). Собственная функция

ψ(x,λ) = 0 имеет также отрицательный нуль x1,̃

- результат сдвига влево нуля x1,λ1 =

= 0 собственной функции ψ(x,λ₁) при возрастании λ от λ₁ доλ. Таким образом, имеем

неравенства

x01,3 ≤ x1,̃

<x2,̃

= 0,

√

где x01,3 = -

3 - нуль функции D₃(x). Нетрудно убедиться в том, что

(

)

x²

D₃(x) = 2-3/2 exp -

x(x² - 3),

поэтому функция D₃(x) имеет всего один отрицательный нуль x01,3 ≤ x1,̃. Пришли к проти-

воречию с теоремой Штурма [6, теорема 3.1], которая утверждает, что между двумя нулями

x1,̃,

x2,̃

решения ψ(x,λ) уравнения (2) при λ =λ < 3 заключён по крайней мере один

нуль решения D₃(x) уравнения (2) при λ = 3. Полученное противоречие доказывает един-

ственность нуля характеристического определителя Δ(λ) на интервале (1,3). Лемма доказана.

√

Если b =

3, то D₃(b) = 0, и Δ(3) = 0 в силу (3). Значит, при b =

3 вторым с.з.

оператора H_a,b будет λ₂ = 3.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА ВЕБЕРА

1037

√

Если b =

3, то Δ(3) < 0, и, следовательно, λ = 3 не является с.з. оператора.

Рассмотрим уравнение Δ(λ) = 0 на произвольном отрезке [2n - 1, 2n + 1], n = 1, 2, . . .

Находим

Δ(2n - 1) =

√

D2n-1(b)(D2n-1(-b) - D2n-1(b)) lim

(Γ(-λ)D_λ(0)),

2π

λ→2n-1

Δ(2n + 1) =

√

D2n+1(b)(D2n+1(-b) - D2n+1(b)) lim

(Γ(-λ)D_λ(0)).

2π

λ→2n+1

Из представления [4]

√

D2n-1(b) = 2-(2n-1)/2 exp(-b²/4)H2n-1(b/

2),

(9)

√

где H2n-1(x/

2) - полином Эрмита степени 2n - 1, вытекает (в силу нечётности полинома

Эрмита) равенство

D2n-1(-b) - D2n-1(b) = -2D2n-1(b).

Так как

lim

(Γ(-λ)D_λ(0)) = 2-n-1/2Γ(-n + 1/2),

λ→2n-1

то

Δ(2n - 1) = -

√π2nD2n-1(b)Γ(-n+1/2).

Аналогично получаем

Δ(2n + 1) = -

√π2n+1D2n+1(b)Γ(-n-1/2).

Поскольку Γ(-n+1/2)Γ(-n-1/2) < 0, то произведение Δ(2n-1)Δ(2n+1) < 0 отрицательно,

√

если b не является корнем полиномов Эрмита H2n-1(x/

2), H2n+1(x/

2). Таким образом,

на концах отрезка [2n - 1, 2n + 1] непрерывная функция Δ(λ) принимает значения разных

знаков, если b не является корнем полиномов Эрмита H2n-1(b), H2n+1(b). Следовательно,

в этом случае на интервале (2n - 1, 2n + 1) существует нуль λn функции Δ(λ), который

является с.з. оператора H_a,b.

Доказательство единственности нуля функции Δ(λ) на интервале (2n-1, 2n+1) проведём

методом математической индукции. При n = 1 единственность нуля функции Δ(λ) на интер-

вале (1, 3) доказана в лемме 1. Предположим, что на n-м интервале (2n - 1, 2n + 1) функция

Δ(λ) также имеет ровно один нуль λ_n. Докажем, что тогда и на интервале (2n + 1, 2n + 3)

она имеет равно один нуль. Заметим, что функция D2n+1(x) имеет n отрицательных нулей

(следует из представления (9), в котором полином Эрмита H2n+1(x) степени 2n + 1 является

нечётной функцией. При переходе на следующий интервал (2n+1, 2n+3) функция ψ(x, λn+1)

будет иметь n отрицательных нулей x1,λn+1 < x2,λn+1 < . . . < xn,λn+1 < 0 и нуль xn+1,λn+1 = 0.

При этом функция D2n+3(x) имеет n + 1 отрицательных нулей. Предположение о существо-

вании у функции Δ(λ) ещё одного нуляλ, λn+1 <λ < 2n + 3, означает, что функция ψ(x,λ)

имеет n + 1 отрицательных нулей x1,̃

<x2,̃

<... <xn+1,̃

< 0 и нуль xn+2,̃

= 0. По тео-

реме Штурма [6, теорема 3.1; 7, с. 142] между каждыми двумя из этих нулей решения ψ(x,λ)

уравнения (2) при λ =λ < 2n + 3 заключён по крайней мере один нуль решения D2n+3(x)

того же уравнения при λ = 2n + 3. Следовательно, функция D2n+3(x) должна иметь не ме-

нее n + 2 отрицательных нулей. Полученное противоречие доказывает единственность нуля

функции Δ(λ) на интервале (2n + 1, 2n + 3).

Уточним расположение с.з. λ_n на интервале (2n-1, 2n+1). Воспользуемся уравнением (8).

При 2n < λ < 2n + 1 справедливы неравенства

πλ

πn < φ(λ) +

< π(n + 1),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

3^∗

1038

ПЕЧЕНЦОВ

из которых следует, что sin(φ(λ) + πλ/2) не обращается в нуль на этом интервале. Поэтому

2n - 1 < λ_n ≤ 2n.

√

Если b является корнем полинома Эрмита H2n+1(x/

2), то D2n+1(b) = 0 в силу (9).

Поэтому из представления (3) вытекает, что Δ(2n + 1) = 0. Следовательно, λn+1 = 2n + 1

является с.з.оператора H_a,b. Теорема доказана.

В заключение отметим, что уравнение (3) позволяет находить асимптотику с.з. λ_n при

n → +∞ и расположение первого с.з. λ₁ в зависимости от параметров a и b, включая слу-

чай a < 0. Для оператора Эйри с δ-взаимодействием асимптотика с.з. найдена в работе [8],

формулы регуляризованных следов получены в работе [9]. След разности сингулярных опе-

раторов Штурма-Лиувилля с потенциалом, содержащим δ-функции, в случае непрерывного

спектра вычислен в [10]. Асимптотика с.з. и формула регуляризованного следа для оператора

Штурма-Лиувилля на отрезке с потенциалом, содержащем δ-функции, установлена в рабо-

те [11]. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с

δ-потенциалом вычислен в работе [12].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами

// Мат. заметки. 1999. Т. 66. № 6. С. 897-912.

2. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма Лиувилля с потенциалами-распределениями

// Тр. Моск. мат. о-ва. 2003. Т. 64. С. 159-212.

3. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Т. 2. М., 1963.

4. Славянов С.Ю. Асимптотика решений одномерного уравнения Шрёдингера. Л., 1990.

5. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М., 1990.

6. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М., 1988.

7. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными урав-

нениями второго порядка. Т. 1. М., 1960.

8. Печенцов А.С., Попов А.Ю. Распределение спектра одного сингулярного оператора Штурма-

Лиувилля, возмущённого δ-функцией Дирака // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 2. С. 168-

179.

9. Печенцов А.С. Регуляризованные следы оператора Эйри, возмущённого δ-функцией Дирака

// Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 4. С. 498-503.

10. Pechentsov A. Trace of a difference of singular Sturm-Liouville operators with a potential containing

Dirac functions // Russ. J. of Math. Phys. 2013. V. 20. № 2. P. 230-238.

11. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и

формула следа для потенциала, содержащего δ-функции // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38.

№ 6. С. 735-751.

12. Савчук А.М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма Лиувилля с δ-потенциа-

лом // Успехи мат. наук. 2000. Т. 55. № 6. С. 155-156.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 14.05.2020 г.

им. М.В. Ломоносова

После доработки 04.02.2021 г.

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021