ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1039-1048

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.4

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ

ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ НА ПЛОСКОСТИ

Рассмотрены первая и вторая начально-краевые задачи для параболической по Петров-

скому системы второго порядка с переменными коэффициентами в ограниченной области

на плоскости с негладкими боковыми границами. Доказана единственность решения этих

задач в классе функций, непрерывных вместе с пространственной производной первого

порядка в замыкании области.

DOI: 10.31857/S0374064121080057

Введение. Работа посвящена вопросу о единственности классических решений начально-

краевых задач для параболических по Петровскому систем второго порядка в плоских обла-

стях с негладкими боковыми границами. В случае одного уравнения единственность класси-

ческого решения первой начально-краевой задачи следует из принципа максимума (см., на-

пример, [1]), а единственность классического решения второй начально-краевой задачи уста-

новлена в [2, 3] с помощью теоремы о знаке косой производной. Заметим, что для систем, в

отличие от уравнений, принцип максимума, вообще говоря, места не имеет (см. [4]).

Если область Ω имеет гладкую боковую границу, то однозначная разрешимость парабо-

лических начально-краевых задач для систем в классе Гёльдера H2+α,1+α/2(Ω) следует из

работы [5] (см. также [6, с. 706-707]). В случае областей с негладкими боковыми границами

единственность решения первой начально-краевой задачи доказана в [7, 8] для одномерной

по пространственной переменной x параболической системы второго порядка с постоянны-

ми коэффициентами в классе C1,0(Ω) при дополнительном условии на старшую производную

∂2xu решения и на характер его гладкости по временной переменной, а в [9] - для одномерной

параболической системы второго порядка с переменными коэффициентами в классе Гёльдера

H1+α,(1+α)/2(Ω).

В настоящей работе рассматриваются первая и вторая начально-краевые задачи для одно-

мерных по пространственной переменной параболических систем с переменными коэффици-

ентами в плоской ограниченной области Ω с негладкими боковыми границами и доказывается

единственность их решений в классе C1,0(Ω) функций, непрерывных вместе с пространствен-

ной производной первого порядка в замыкании области. Результаты настоящей работы анон-

сированы в [10].

Статья состоит из трёх пунктов. В п. 1 ставится начально-краевая задача, приводятся

необходимые сведения и формулируются основные теоремы единственности решений. В п. 2

доказывается вспомогательное утверждение, а в п. 3 - теоремы единственности.

1. Необходимые сведения и формулировка основных результатов. В полосе D =

= {(x, t) ∈ R² : x ∈ R, 0 < t < T}, T < +∞, рассматривается параболический по Петровско-

му [11] матричный оператор

∑

Lu ≡ ∂_tu - A_k(x,t)∂^kxu, u = (u₁,... ,u_m)^т, m > 1,

k=0

где ∂_t = ∂/∂t,

∂^kx = ∂^k/∂x^k, A_k = ∥a^kij∥mi,j=1 - m × m-матрицы, элементы которых - веще-

ственные функции, определённые в D и удовлетворяющие условиям:

1039

1040

БАДЕРКО, ЧЕРЕПОВА

a) собственные числа μ_r матрицы A₂ подчиняются неравенству Re μ_r(x, t) ≥ δ для неко-

торого δ > 0 и всех (x, t) ∈ D, r = 1, m;

б) имеют место включения akij ∈ Hα,α/2(D), α ∈ (0,1), i,j = 1, m, k = 0, 1, 2, где

Hβ,β/2(D) (β - нецелое число) - пространство Гёльдера [6, c. 16].

Известно (см., например, [12, c. 73; 13, c. 310]), что выполнение условий а) и б) обеспечивает

существование фундаментальной матрицы решений (ф.м.р.) Γ(x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D × D,

t > τ, системы Lu = 0, и при этом справедливы оценки

|∂^lt∂^kxΓ(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-(2l+k+1)/2 exp{-c(x - ξ)²/(t - τ)},

2l + k ≤ 2; (x, t; ξ, τ) ∈ D × D, t > τ,

для некоторых положительных постоянных C и c, где ∂^lt = ∂^l/∂t^l. Здесь и далее для матрицы

B (вектора b) под нормой |B| (соответственно нормой |b|) понимаем максимум из модулей

её элементов (его компонент).

В полосе D выделяется область Ω = {(x, t) ∈ D : g₁(t) < x < g₂(t)} с негладкими,

вообще говоря, боковыми границами Σ_k = {(x, t) ∈ D : x = g_k(t)}, k = 1, 2, где функции g_k

удовлетворяют условиям

|g_k(t + Δt) - g_k(t)| ≤ M|Δt|(1+α)/2, t, t + Δt ∈ [0, T ], k = 1, 2, M = const,

(1)

g₁(t) < g₂(t),

0≤t≤T.

(2)

В Ω рассматривается задача отыскания классического решения системы

Lu = 0

в Ω,

(3)

удовлетворяющего начальному условию

u(x, 0) = 0, g₁(0) ≤ x ≤ g₂(0),

(4)

и одному из следующих граничных условий:

u(g_k(t), t) = ψ_k(t),

0 ≤ t ≤ T, k = 1,2,

(5)

или

∂_xu(g_k(t),t) = θ_k(t),

0 ≤ t ≤ T, k = 1,2.

(6)

Определим функциональные пространства, которые нам будут нужны в дальнейшем. Для

любого отрезка [τ, η],

0 ≤ τ < η ≤ T, через C[τ,η] обозначим пространство непрерывных

вектор-функций ψ : [τ, η] → R^m, для которых ψ(τ) = 0; при этом ∥ψ; [τ, η]∥⁰ = max |ψ(t)|.

t∈[τ,η]

Пусть

∫

∂1/2ψ(t) ≡

√π dt(t-τ)-1/2ψ(τ)dτ,t∈[0,T],

- оператор дробного дифференцирования порядка 1/2. Через C1/2[0, T ] обозначим (см. [14,

15]) пространство вектор-функций ψ ∈ C[0, T ], для которых существует ∂1/2ψ ∈ C[0, T ]; при

этом ∥ψ; [0, T ]∥1/2 = max

|ψ(t)| + max |∂1/2ψ(t)|.

t∈[0,T ]

Определим H^β[τ, η], 0 ≤ τ <η ≤ T,

0 < β < 1, как пространство непрерывных вектор-

функций ψ : [τ, η] → R^m, для которых конечна величина

∥ψ; [τ, η]∥^β = max |ψ(t)| +

sup

{|Δ_tψ(t)||Δt|^-β },

t∈[τ,η]

t,t+Δt∈(τ,η)

и H^β[τ,η] = {ψ ∈ H^β[τ,η] : ψ(τ) = 0}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ

1041

Для любой области G ⊂ Ω

^⋂ (R×(τ, η)), 0 ≤ τ < η ≤ T, для которой G

^⋂ {(x, τ) : x ∈ R} =

= ∅, через C(G) обозначим пространство непрерывных вектор-функций u : G → R^m таких,

что u(x, τ) = 0, при этом ∥u; G∥⁰ = sup

|u(x, t)|. Через C1,0(G) обозначим пространство

(x,t)∈G

вектор-функций u ∈ C(G), для которых ∂xu ∈ C(G); при этом ∥u; G∥1,0 = sup

|u(x, t)| +

(x,t)∈G

+ sup |∂_xu(x,t)|. Под значениями вектор-функций и их производных на границе области G

(x,t)∈G

понимаем их предельные значения “изнутри” G. Через H1+α,(1+α)/2(G), 0 < α < 1, обозначим

пространство Гёльдера (см., например, [6, с. 16]) вектор-функций u ∈ C(G), для которых

конечна величина

|Δ_tu|

|Δ_x,t∂_xu|

∥u; G∥1+α,(1+α)/2 = ∥u; G∥1,0 +

sup

(x,t),(x,t+Δt)∈G |Δt|(1+α)/2

(x,t),(x+Δx,t+Δt)∈G |Δx|^α + |Δt|α/2

где ∂_x = ∂/∂x, Δ_tu = u(x, t + Δt) - u(x, t), Δ_x,t∂_xu = ∂_xu(x + Δx, t + Δt) - ∂_xu(x, t).

При выполнении условий а), б) на коэффициенты системы и (1), (2) на боковые грани-

цы области существование классических решений задач (3)-(5) и (3), (4), (6) в пространстве

C1,0(Ω), если для граничных функций имеют место включения ψ_k ∈ C1/2[0,T], k = 1,2,

и θ_k ∈ C[0,T], k = 1,2, установлено в работах [14, 15] и [17] соответственно. В этих рабо-

тах получено интегральное представление решений в виде суммы векторных параболических

потенциалов простого слоя. Основное содержание настоящей работы составляют следующие

теоремы единственности.

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия а), б) и (1), (2). Пусть u - классическое решение

задачи

Lu = 0

в Ω, u|t=0 = 0,

∂_xu|Σk = 0, k = 1,2,

(7)

такое, что u ∈ C1,0(Ω). Тогда u ≡ 0 в Ω.

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия а), б) и (1), (2). Пусть u - классическое решение

задачи

Lu = 0

в Ω, u|t=0 = 0, u|Σk = 0, k = 1,2,

(8)

такое, что u ∈ C1,0(Ω). Тогда u ≡ 0 в Ω.

Замечание. Если существенно усилить требования к боковым границам области и к глад-

кости решения, а именно, если потребовать, чтобы g_k ∈ H1+α/2[0, T ], k = 1, 2, т.е. чтобы

функции g_k были дифференцируемы на [0, T ] и их производные принадлежали пространству

Hα/2[0,T], то из [5] (см. также [6], с. 706-707) вытекает единственность решения рассматри-

ваемых задач в существенно более узком классе Гёльдера H2+α,1+α/2(Ω). В [9] установлена

единственность решения задачи (3)-(5) в классе Гёльдера H1+α,(1+α)/2(Ω). В случае пара-

болического оператора с постоянными коэффициентами и полуполосы с негладкой боковой

границей теорема 1.2 получена в [7, 8] при дополнительных условиях на старшую производ-

ную ∂2xu решения и характер непрерывности решения по переменной t.

2. Вспомогательная лемма. В этом пункте докажем лемму о единственности решения

задачи (3), (4), (6) в пространстве Гёльдера, которая будет нужна для доказательства теоре-

мы 1.1.

Лемма 2.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Пусть u - классическое решение

задачи (7) такое, что u ∈ H1+α,(1+α)/2(Ω). Тогда u ≡ 0 в Ω.

Доказательство. Пусть вектор-функция u удовлетворяет условиям леммы 2.1. Тогда u

является решением первой начально-краевой задачи

Lv = 0

в Ω, v|t=0 = 0, v|Σk = ψ_k(t), k = 1,2,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1042

БАДЕРКО, ЧЕРЕПОВА

где ψ_k(t) = u(g_k(t), t),

0 ≤ t ≤ T, k = 1,2. При этом вектор-функции ψ_k, k = 1,2, при-

надлежат пространству H(1+α)/2[0, T ]. Из работ [9, 14, 15] о существовании и единственности

решения первой начально-краевой задачи в классе Гёльдера H1+α,(1+α)/2(Ω) для параболи-

ческих систем в областях с негладкими боковыми границами следует, что вектор-функция

u может быть представлена в виде суммы векторных параболических потенциалов простого

слоя

∫

∑

u(x, t) =

Γ(x, t; g_l(τ), τ)ϕ_l(τ) dτ, (x, t) ∈ Ω,

(9)

l=1 0

где ϕl = (ϕl1, . . . , ϕlm)т

∈ C[0, T ], l = 1, 2, и (ϕ1, ϕ2) - единственное в C[0, T ] × C[0, T ]

решение системы граничных интегральных уравнений Вольтерры первого рода

∫

Γ(g_k(t), t; g_l(τ), τ)ϕ_l(τ) dτ = ψ_k(t),

0 ≤ t ≤ T, k = 1,2.

l=1 0

Подставляя представление (9) для вектор-функции u в граничные условия (7) и пользуясь

формулой “скачка” для пространственной производной векторного параболического потенци-

ала простого слоя [16], получаем, что вектор-функции ϕ_l, l = 1, 2, одновременно являются

решением системы граничных интегральных уравнений Вольтерры второго рода

∫

∑

(-1)^k

A₂(g_k(t),t)ϕ_k(t) +

∂_xΓ(g_k(t),t;g_l(τ),τ)ϕ_l(τ)dτ = 0, k = 1,2;

0≤t≤T.

(10)

l=1 0

В силу единственности в C[0, T ] × C[0, T ] решения системы (10) (см. [17]) получаем, что ϕ_l ≡

≡ 0, l = 1, 2. Подставляя найденное решение ϕ_l, l = 1, 2, в представление (9), приходим к

выводу, что u ≡ 0 в Ω. Лемма доказана.

3. Доказательство теорем 1.1 и 1.2. Для доказательства теорем введём следующие

обозначения.

Для любых числа h > 0, ограниченной вектор-функции ν : D → R и множества B ⊂ D

полагаем

ω(h; ν; B) = sup

|ν(z₁) - ν(z₂)|.

(11)

|z₁-z₂|≤h

z₁,z₂∈B

Для каждого числа R > 0 через B_R обозначим отрезок [-R, R] на пространственной

оси, т.е.

B_R = {x ∈ R : |x| < R}.

(12)

Доказательство теоремы 1.1. Пусть вектор-функция u удовлетворяет условиям теоре-

мы 1.1. Зафиксируем произвольную точку (x₀, t₀) ∈ Ω и докажем, что u(x₀, t₀) = 0.

Рассмотрим область Ω_d = {(x, t) ∈ Ω : g₁(t) + d < x < g₂(t) - d, d < t < T - d}, где число

d ∈ (0,T/2) достаточно мало - такое, чтобы (x₀,t₀) ∈ Ω_d (число d будет выбрано ниже). Не

ограничивая общности, считаем, что d ≤ 1. Обозначим через u продолжение вектор-функции

u с Ω на R² с сохранением класса [6, с. 344], причём такое, что

u(x, 0) = ∂_xu(x, 0) = 0 при x ∈ R, u(x, t) = 0 при t < 0, u(x, t) = u(x, T ) при t > T. (13)

Пусть ρ ∈ C^∞(R²) - функция, определённая равенствами

ρ(x, t) = C₁ exp{(x² + t² - 1)-1}, если x² + t² < 1, и ρ(x, t) = 0, если x² + t² ≥ 1,

(14)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ

1043

где постоянная C₁ выбирается из условия

∫

ρ(x, t) dx dt = 1.

(15)

R²

Для каждого числа s > 0 определим “сглаженную” вектор-функцию

∫

u_s(x,t) = u(x - sy,t - sτ)ρ(y,τ)dy dτ, (x,t) ∈ D.

R²

Зафиксируем произвольно выбранное число ε > 0. Обозначим ∥u∥1,0 = ∥u; Ω∥1,0. Посколь-

ку существует число s₀ > 0 такое, что для любого числа 0 < s < s₀ имеет место неравенство

|u_s(x₀, t₀) - u(x₀, t₀)| < ε,

то для доказательства теоремы достаточно показать, что существует число 0 < s₁ < s₀, при

котором имеет место неравенство

|us1 (x₀, t₀)| < ε.

(16)

Обозначим через Γ₁(x, t; ξ, τ) ф.м.р. системы

L₁ν ≡ ∂_tν - A₂(x,t)∂2xν - A₁(x,t)∂_xν = 0.

Для матрицы Γ₁ в силу условий а), б) справедлива оценка

|∂^kxΓ₁(x, t; ξ, τ)| ≤ C₀(t - τ)-(k+1)/2 exp{-c₀(x - ξ)²/(t - τ)},

(17)

(x, t), (ξ, τ) ∈ D, t > τ, k ≤ 2,

для некоторых положительных постоянных C₀, c₀.

Обозначим h_s(x) = u_s(x, d) и рассмотрим параболический потенциал Пуассона

+∞

P_s(x,t) =

Γ₁(x,t;ξ,d)h_s(ξ)dξ, (x,t) ∈ D_d = D

^⋂ (R × [d, T - d]).

−∞

В силу гладкости вектор-функций u_s имеет место включение

P_s ∈ C2,1x,t(D_d).

(18)

Кроме того,

lim

P_s(x,t) = h_s(x), x ∈ R.

t→d+0

Тогда для каждого числа 0 < s < d вектор-функция w_s = u_s - P_s ∈ C2,1x,t(D_d) является

решением задачи

Lν = f_s в Ω_d, ν(x,d) = 0, g₁(d) + d ≤ x ≤ g₂(d) - d,

(19)

∂_xν(g₁(t) + d,t) = θ1s(t),

∂_xν(g₂(t) - d,t) = θ2s(t), d ≤ t ≤ T - d,

(20)

где f_s(x, t) = Lu_s(x, t) + A₀(x, t)P_s(x, t), θ1s(t) = ∂_xu_s(g₁(t) + d, t) - ∂_xP_s(g₁(t) + d, t), θ2s(t) =

= ∂_xu_s(g₂(t) - d,t) - ∂_xP_s(g₂(t) - d,t). Из включения (18), гладкости вектор-функции u_s и

условия б) следует, что имеют место включения

f_s ∈ C(Ω_d), θ^ks ∈ C[d,T - d], k = 1,2.

Кроме того, вектор-функция f_s удовлетворяет условию Гёльдера по переменной x в Ω_d.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1044

БАДЕРКО, ЧЕРЕПОВА

Поскольку w_s ∈ H1+α,(1+α)/2(Ωd), то в силу единственности решения задачи (19), (20) (см.

лемму 2.1), а также из результатов работы [17] и гладкости соответствующих потенциалов (см.

[16, 18]) вытекает, что вектор-функция w_s для каждого 0 < s < d может быть представлена

в виде суммы векторных параболических потенциалов

∫t

∫

w_s(x,t) = dτ

Γ(x, t; ξ, τ)f_s(ξ, τ) dξ +

Γ(x, t; g₁(τ) + d, τ)ϕ1s(τ) dτ +

g₁(τ)+d

∫t

+ Γ(x,t;g₂(τ) - d,τ)ϕ2s(τ)dτ ≡ V_s(x,t) + U1s(x,t) + U2s(x,t).

(21)

Вектор плотности ϕ^ks ∈ C[d, T -d], k = 1, 2, в представлении (21) - компоненты единственного

в C[d,T - d] × C[d,T - d] решения (ϕ1s,ϕ2s) системы интегральных уравнений Вольтерры

∫t

A₂(g₁(t) + d,t)ϕ1s(t) +

∂_xΓ(g₁(t) + d,t;g₁(τ) + d,τ)ϕ1s(τ)dτ +

∫^t

∂_xΓ(g₁(t) + d,t;g₂(τ) - d,τ)ϕ2s(τ)dτ =θ1s(t),

∫

A₂(g₂(t) - d,t)ϕ2s(t) +

∂_xΓ(g₂(t) - d,t;g₁(τ) + d,τ)ϕ1s(τ)dτ +

∫t

∂_xΓ(g₂(t) - d,t;g₂(τ) - d,τ)ϕ2s(τ)dτ =θ2s(t), d ≤ t ≤ T - d,

(22)

θ1

где

(t) = θ1s(t) - ∂_xV_s(g₁(t) + d, t) ≡ ∂_xu_s(g₁(t) + d, t) - ∂_xP_s(g₁(t) + d, t) - ∂_xV_s(g₁(t) + d, t),

θ2

(t) = θ2s(t) - ∂_xV_s(g₂(t) - d, t) ≡ ∂_xu_s(g₂(t) - d, t) - ∂_xP_s(g₂(t) - d, t) - ∂_xV_s(g₂(t) - d, t).

Следовательно, для каждого числа 0 < s < d вектор-функция u_s может быть представ-

лена в виде

u_s(x,t) = V_s(x,t) + P_s(x,t) + U1s(x,t) + U2s(x,t), (x,t) ∈ Ω_d.

(23)

Оценим потенциалы в (23). Пусть (x, t) ∈ Ω_d. Рассмотрим сначала потенциал P_s. Суще-

ствует число R₀ > 0 такое, что Ω ⊂ BR0 × (0, T ) (см. обозначение (12)). Для любого числа

R ≥ R₀ справедливо равенство

∫

P_s(x,t) =

Γ₁(x,t;ξ,d)h_s(ξ)dξ +

Γ₁(x,t;ξ,d)h_s(ξ)dξ ≡ I1,s + I2,s.

|ξ|<2R

|ξ|>2R

Оценим сначала интеграл I2,s. В силу оценки (17) и неравенства |ξ -x| > R (при |ξ| > 2R)

имеем

∫

|I2,s| ≤ C∥u∥1,0 exp{-cR²}(t - d)-1/2

exp{-c|ξ - x|²/(t - d)} dξ ≤ C∥u∥1,0 exp{-cR²}. (24)

-∞

Здесь и далее через C, c обозначаем постоянные, зависящие от δ, α, m, T, M и коэффи-

циентов оператора L, конкретный вид которых для нас не важен.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ

1045

Рассмотрим интеграл I1,s. Воспользовавшись соотношениями (13)-(15) и непрерывностью

вектор-функции u, при s < d получаем (см. обозначение (11))

∫



|h_s(ξ)| =^

[u(ξ - sy, d - sτ) - u(ξ - sy, 0)]ρ(y, τ) dy dτ

≤

R²

∫

≤C

|u(ξ - sy, d - sτ) - u(ξ - sy, 0)| dy dτ ≤ Cω(2d; u; B2R+1 × [0, T ]), ξ ∈ B2R.

y²+τ²<1

Отсюда и из оценки (17) следует, что |I1,s| ≤ Cω(2d; u; B2R+1 × [0, T ]).

Таким образом,

|P_s(x, t)| ≤ C[∥u∥1,0 exp{-cR²} + ω₀(d; R)],

(25)

где ω₀(d, R) ≡ ω(2d; u; B2R+1 × [0, T ]).

Оценим ∂_xP_s(x, t). В силу единственности решения задачи Коши [12, с. 269] имеет место

равенство

∫

∂_xΓ₁(x,t;ξ,d)dξ = 0, x ∈ R, d < t ≤ T.

-∞

Поэтому

+∞

∂_xP_s(x,t) =

[∂_xΓ₁(x, t; ξ, d)][h_s(ξ) - h_s(x)] dξ.

-∞

Для любого числа R ≥ R₀ справедливо равенство

( ∫

∫

)

∂_xP_s(x,t) =

[∂_xΓ₁(x, t; ξ, d)][h_s(ξ) - h_s(x)] dξ ≡ J1,s + J2,s.

|ξ|<2R

|ξ|>2R

По теореме о среднем имеем

h_s(ξ) - h_s(x) ≡ u_s(ξ,d) - u_s(x,d) = (ξ - x)∂_ξu_s(ξ,d),

(26)

где точка ξ расположена между точками ξ и x. Поэтому, используя оценку (17) и гладкость

вектор-функции u, аналогично (24) получаем

|J2,s| ≤ C∥u∥1,0 exp{-cR²}.

Рассмотрим интеграл J1,s. В силу соотношений (13)-(15) при s < d имеем

∫

|∂_ξu_s(ξ, d)| ≤ C

|∂_ξu(ξ - sy, d - sτ) - ∂_ξu(ξ - sy, 0)| dy dτ ≤

y²+τ²<1

≤ Cω(2d;∂_xu;B2R+1 × [0,T]), ξ ∈ B2R.

Отсюда и из (17), (26) следует, что |J1,s| ≤ Cω(2d; ∂_xu; B2R+1 × [0, T ]). Поэтому

|∂_xP_s(x, t)| ≤ C[∥u∥1,0 exp{-cR²} + ω₁(d; R)],

где ω₁(d, R) ≡ ω(2d; ∂_xu; B2R+1 × [0, T ]).

Таким образом, справедлива оценка

∥P_s; Ω_d∥1,0 ≤ C[∥u∥1,0 exp{-cR²} + ω₀(d; R) + ω₁(d; R)].

(27)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1046

БАДЕРКО, ЧЕРЕПОВА

Рассмотрим теперь потенциал V_s. Оценим вектор-функцию f_s. В силу (25) и условия б)

для этого достаточно оценить вектор-функцию f1s(x, t) ≡ Lu_s(x, t). Справедливо равенство

∫

f1s(x,t) =

[L(x, t) - L(x - sy, t - sτ)]u(x - sy, t - sτ)ρ(y, τ) dy dτ, (x, t) ∈ Ω_d.

y²+τ²<1

Поэтому при s ≤ d/2, используя гладкость вектор-функции u и условие б), получаем

∫

|f1s(x, t)| ≤ C

[|sy|^α + (sτ)α/2]{|u(x - sy, t - sτ)| +

y²+τ²<1

+ |∂_xu(x - sy, t - sτ)| + |∂2xu(x - sy, t - sτ)|} dy dτ ≤ C(d)sα/2, (x, t) ∈ Ω_d.

Здесь и далее обозначено C(d) = C(∥u∥1,0 + sup |∂2xu|).

Ωd/2

Таким образом, при s ≤ d/2 выполнена оценка

|f_s(x, t)| ≤ C(d)sα/2 + C[∥u∥1,0 exp{-cR²} + ω₀(d; R)], (x, t) ∈ Ω_d.

Следовательно, в силу свойств объёмного потенциала (см. [18]) вектор-функция V_s обладает

свойствами:

V_s ∈ C1,0(Ωd),

(28)

∥V_s; Ω_d∥1,0 ≤ C(d)sα/2 + C[∥u∥1,0 exp{-cR²} + ω₀(d; R)], s ≤ d/2.

(29)

θk

Рассмотрим потенциалы U^ks, k = 1, 2. Оценим вектор-функции

, k = 1, 2. В силу

(27) и (29) для этого достаточно оценить вектор-функции θ1s(t) ≡ ∂_xu_s(g₁(t) + d, t) и θ2s(t) ≡

≡ ∂_xu_s(g₂(t) - d,t). Положим

θ1s(t) = [∂_xu_s(g₁(t) + d,t) - ∂_xu(g₁(t) + d,t)] + ∂_xu(g₁(t) + d,t) ≡ θ1s,1 + θ1s,2.

При s ≤ d²/[4(1 + M)²], где M - постоянная из условия (1), вследствие непрерывности

производной ∂_xu имеем

∫

|θ1s,1| ≤ C

|∂_xu(g₁(t) + d - sy, t - sτ) - ∂_xu(g₁(t) + d, t)| dy dτ ≤

y²+τ²<1

≤ Cω(2s;∂_xu;Ω) ≤ Cω(2d;∂_xu;Ω), d ≤ t ≤ T - d,

|θ1s,2(t)| = |∂_xu(g₁(t) + d, t)| = |∂_xu(g₁(t) + d, t) - ∂_xu(g₁(t), t)| ≤

≤ ω(d;∂_xu;Ω), d ≤ t ≤ T - d.

Следовательно,

∥θ1s; [d, T - d]∥⁰ ≤ Cω₂(d),

(30)

где ω₂(d) ≡ ω(2d; ∂_xu; Ω).

Аналогично получаем оценку

∥θ2s; [d, T - d]∥⁰ ≤ Cω₂(d).

(31)

Из соотношений (27)-(31) следует, чтоθks ∈ C[d, T - d], k = 1, 2, и выполнены неравенства

∥θks;[d,T - d]∥⁰ ≤ C[∥u∥1,0 exp{-cR²} + ω₀(d;R) + ω₁(d;R) + ω₂(d)] + C(d)sα/2, k = 1,2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ

1047

Отсюда и из результатов работы [17] заключаем, что существует решение (ϕ1s, ϕ2s), где ϕ^ks ∈

∈ C[d,T - d], k = 1,2, системы (22) и имеют место оценки

∥ϕ^ks; [d, T - d]∥⁰ ≤ C[∥u∥1,0 exp{-cR²} + ω₀(d; R) + ω₁(d; R) + ω₂(d)] + C(d)sα/2, k = 1, 2.

Поэтому в силу свойств потенциала простого слоя [16] получаем

|U^ks(x, t)| ≤ C[∥u∥1,0 exp{-cR²}+ ω₀(d; R)+ ω₁(d; R)+ ω₂(d)]+ C(d)sα/2, k = 1, 2, (x, t) ∈ Ω_d.

Отсюда и из оценок (25), (29) вытекает, что

|u_s(x, t)| ≤ C[∥u∥1,0 exp{-cR²} + ω₀(d; R) + ω₁(d; R) + ω₂(d)] + C(d)sα/2, (x, t) ∈ Ω_d,

где постоянная C не зависит от R, d и s, а C(d) не зависит от R и s. Выбирая сначала

достаточно большое R, затем достаточно малое d и, наконец, достаточно малое s₁ ≤ d²/[4(1+

+ M)²], получаем неравенство (16). Теорема 1.1 доказана.

Доказательство теоремы 1.2. Пусть вектор-функция u удовлетворяет условиям теоре-

мы 1.2. Тогда u является решением второй начально-краевой задачи

Lν = 0

в Ω, ν|t=0 = 0,

∂_xν|Σk = θ_k(t), k = 1,2,

где θ_k(t) = ∂_xu(g_k(t), t), 0 ≤ t ≤ T, k = 1,2. Из работы [17] и теоремы 1.1 следует, что вектор-

функция u может быть представлена в виде суммы векторных параболических потенциалов

простого слоя (9), где ϕ_l = (ϕl1, . . . , ϕ_lm) ∈ C[0, T ], l = 1, 2, и (ϕ1, ϕ2) - единственное в

C[0, T ] × C[0, T ] решение системы граничных интегральных уравнений Вольтерры

∫

∑

(-1)^k

A₂(g_k(t),t)ϕ_k(t) +

∂_xΓ(g_k(t),t;g_l(τ),τ)ϕ_l(τ)dτ = θ_k(t), k = 1,2,

0≤t≤T.

l=1 0

Подставляя вектор-функцию (9) в граничные условия (8), получаем, что вектор-функции

ϕl, l = 1, 2, одновременно являются решением системы

∫

Γ(g_k(t), t; g_l(τ), τ)ϕ_l(τ) dτ = 0,

0 ≤ t ≤ T, k = 1,2.

(32)

l=1 0

В силу единственности в C[0, T ] × C[0, T ] решения системы (32) (см. [15]) получаем, что ϕ_l ≡

≡ 0, l = 1, 2. Подставляя найденное решение ϕ_l, l = 1, 2, в представление (9), приходим к

выводу, что u ≡ 0 в Ω. Теорема доказана.

Исследование Череповой М.Ф. проведено при финансовой поддержке Российского научного

фонда (проект 19-11-00033).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболиче-

ского типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3 (105). С. 3-146.

2. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. О приложениях принципа максимума к параболическим уравнени-

ям 2-го порядка // Докл. АН СССР. 1972. Т. 204. № 3. С. 529-532.

3. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Об аналогах теоремы Жиро для параболического уравнения 2-го

порядка // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14. № 1. С. 86-110.

4. Мазья В.Г., Кресин Г.И. О принципе максимума для сильно эллиптических и параболических сис-

тем второго порядка с постоянными коэффициентами // Мат. сб. 1984. Т. 125 (167). № 4 (12).

С. 458-480.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1048

БАДЕРКО, ЧЕРЕПОВА

5. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных

уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1965. Т. 83. С. 3-163.

6. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-

раболического типа. М., 1967.

7. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Единственность решения первой начально-краевой задачи для пара-

болических систем на плоскости в модельном случае // Докл. РАН. 2018. Т. 483. № 3. С. 241-243.

8. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решения первой начально-краевой задачи для па-

раболических систем с постоянными коэффициентами в полуограниченной области на плоскости

// Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 5. С. 673-682.

9. Baderko Е.А., Cherepova М.F. Uniqueness of a solution in a Holder class to the first initial boundary

value problem for a parabolic system in a bounded nonsmooth domain in the Plane // J. Math. Sci.

2020. V. 251. № 5. P. 557-572.

10. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Единственность решений начально-краевых задач для параболиче-

ских систем в плоских ограниченных областях с негладкими боковыми границами // Докл. РАН.

Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 494. № 1. С. 5-8.

11. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в

области неаналитических функций // Бюлл. Моск. гос. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. Вып. 7. С. 1-72.

12. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М., 1964.

13. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., 1968.

14. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Первая краевая задача для параболических систем в плоских областях

с негладкими боковыми границами // Докл. РАН. 2014. Т. 458. № 4. С. 379-381.

15. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Потенциал простого слоя и первая краевая задача для параболической

системы на плоскости // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 2. С. 198-208.

16. Тверитинов В.А. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго поряд-

ка: Деп. в ВИНИТИ АН СССР 02.09.88. № 6850-В88.

17. Тверитинов В.А. Решение второй краевой задачи для параболической системы с одной простран-

ственной переменной методом граничных интегральных уравнений: Деп. в ВИНИТИ АН СССР.

15.11.89. № 6906-В89.

18. Черепова М.Ф. О гладкости потенциала объёмных масс для параболических систем // Вестн. Моск.

энергетич. ин-та. 1999. № 6. С. 86-97.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 09.04.2021 г.

им. М.В. Ломоносова,

После доработки 09.04.2021 г.

Московский центр фундаментальной

Принята к публикации 08.06.2021 г.

и прикладной математики,

Национальный исследовательский университет

“Московский энергетический институт”

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021