ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1049-1062

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ-НЕЙМАНА

ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ВО ВНЕШНИХ ОБЛАСТЯХ

Изучаются вопросы единственности и асимптотического разложения решения смешанной

задачи Дирихле-Неймана для бигармонического уравнения во внешности компактного

множества в предположении, что обобщённое решение этой задачи обладает конечным

интегралом Дирихле со степенным весом с показателем a ∈ R. В зависимости от значе-

ния параметра a доказаны теоремы единственности (неединственности) и найдены точные

формулы для вычисления размерности линейного пространства решений смешанной зада-

чи Дирихле-Неймана.

DOI: 10.31857/S0374064121080069

Введение. Пусть Ω ⊂ Rⁿ - неограниченная область с границей ∂Ω ∈ C², Ω = Rⁿ \ G, где

G - ограниченная односвязная область (или объединение конечного числа таких областей) в

√

Rⁿ, n ≥ 2, Ω

^⋃∂Ω = Ω - замыкание области Ω, x = (x₁,... ,x_n), |x| =

x²¹ + ... + x2n.

В Ω рассматривается задача для бигармонического уравнения

Δ²u = 0

(1)

с граничными условиями Дирихле-Неймана



∂u

∂Δu



u|Γ1 =

= 0, Δu|Γ2 =

= 0,

(2)



∂ν

Γ₁

Γ₂

где Γ₁

^⋃Γ₂ = ∂Ω, Γ1 ⋂Γ₂ = ∅, mesn-1Γ₁ = 0, ν = (ν₁,...,ν_n)^т - единичный вектор внешней

нормали к ∂Ω.

Как известно, в случае, когда Ω - неограниченная область, следует дополнительно оха-

рактеризовать поведение решения на бесконечности. Как правило, для этой цели служит либо

условие конечности интеграла Дирихле (энергии), либо условие на характер убывания модуля

решения при |x| → ∞. Подобного рода условия на бесконечности являются естественными и

изучались рядом авторов (см., например, [1-3]).

Вопросы о поведении при |x| → ∞ решений задачи Дирихле для бигармонического урав-

нения (1) рассматривались в [4, 5], в которых при определённых условиях геометрического

характера на границу области получены также оценки, характеризующие поведение |u(x)| и

|grad u(x)| при |x| → ∞.

В данной статье таким условием является ограниченность интеграла Дирихле с весом

∫

∑

D_a(u, Ω) ≡

|x|^a

|∂^αu|² dx < ∞, a ∈ R.

|α|=2

В [6] изучается слабое решение смешанной краевой задачи для бигармонического уравнения

на плоскости. При решении, используя формулу Грина, задачу сводят к системе интегральных

уравнений Фредгольма для неизвестных данных на другой части границы. В соответствую-

щих пространствах Соболева установлены существование и единственность решений системы

граничных интегральных уравнений.

1049

1050

МАТЕВОСЯН

Отметим также работу [7], в которой методом отражения исследована единственность ре-

шений основных краевых задач для бигармонического уравнения и системы уравнений Стокса

в весовых L^p-пространствах в полупространстве.

В разных классах неограниченных областей с конечным весовым интегралом энергии (Ди-

рихле) автором в работах [8-20] изучены вопросы единственности, а также найдены размер-

ности пространств решений краевых задач для системы теории упругости и бигармонического

(полигармонического) уравнения. Развивая подход, основанный на использовании неравенств

типа Харди [1, 2, 21], в данной работе удалось получить критерий единственности решения

смешанной задачи Дирихле-Неймана для бигармонического уравнения. Для построения ре-

шения используется вариационный метод, т.е. минимизируется соответствующий функционал

в классе допустимых функций.

Данная работа содержит полные доказательства результатов, анонсированных в [22].

Введём обозначения: C∞0(Ω) - пространство бесконечно дифференцируемых функций в

области Ω, имеющих компактный носитель в Ω; H²(Ω, Γ), Γ ⊂ Ω, - пространство, полученное

пополнением множества функций из C^∞(Ω), равных нулю в окрестности Γ, по норме

(∫

)1/2

∑

∥u; H²(Ω, Γ)∥ =

|∂^αu|² dx

Ω |α|≤2

где

|α| =

∂^α ≡ ∂^|α|/∂xα11 ··· ∂xnn , α = (α1,... ,αn) - мультииндекс, αj ≥ 0 - целые числа,

◦

= α₁ + ... + α_n; если Γ = ∅, то пространство H²(Ω,Γ) будем обозначать H²(Ω);

H²(Ω) -

пространство функций в Ω, полученное пополнением множества функций из C∞0(Ω) по норме

◦

пространства Соболева H²(Ω);

H^2loc(Ω) - пространство функций в Ω, полученное пополне-

нием множества функций из C∞0(Ω) в системе полунорм ∥u; H²(G₀)∥, где G₀ ⊂ Ω - произ-

вольный компакт.

Обозначим

∫

∑

D(u, Ω) =

|∂^αu|² dx, D_a(u, Ω) =

|x|^a

|∂^αu|² dx,

|α|=2

Ω |α|=2

Ω_R = Ω

^⋂ {x : |x| < R}, ∂ΩR = ∂Ω

^⋃ {x : |x| = R}.

Под конусом K в Rⁿ с вершиной в начале координат понимаем такую область, что если

x ∈ K, то λx ∈ K при всех λ > 0. Будем считать, что начало координат x₀ = 0 находится

вне Ω.

1. Определения и вспомогательные утверждения.

Определение 1. Решением однородного бигармонического уравнения (1) в области Ω

будем называть функцию u ∈ H^2loc(Ω) такую, что для всякой функции ϕ ∈ C∞0(Ω) выполнено

интегральное тождество

∫

ΔuΔϕdx = 0.

Лемма. Пусть u - решение уравнения (1) в Ω, удовлетворяющее условию D_a(u, Ω) < ∞.

Тогда

∑

u(x) = P (x) +

∂^αΓ(x)C_α + u^β(x), x ∈ Ω,

(3)

β₀<|α|≤β

где P (x) - многочлен, ord P (x) < m₀ = max{2, 2 - n/2 - a/2}, β₀ = 2 - n/2 + a/2, Γ(x) -

фундаментальное решение уравнения (1), C_α = const, β ≥ 0 - целое число, а для функции

u^β(x) справедлива оценка

|∂^γ u^β(x)| ≤ C_γβ |x|3-n-β-|γ|, C_γβ = const,

при любом мультииндексе γ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ-НЕЙМАНА

1051

Замечание. Для фундаментального решения Γ(x) бигармонического уравнения извест-

но [23], что

{

C|x|4-n,

если 4 - n < 0 или n нечётно,

Γ(x) =

C|x|4-n ln |x|,

если 4 - n ≥ 0 и n чётно.

Доказательство леммы. Рассмотрим функцию v(x) = θ_N (x)u(x), где θ_N (x) = θ(|x|/N)

и для функции θ ∈ C^∞(Rⁿ) выполнены условия: 0 ≤ θ ≤ 1, θ(s) = 0 при s ≤ 1, θ(s) = 1 при

s ≥ 2. Считаем, что N ≫ 1 и G ⊂ {x : |x| < N}. Продолжим функцию v на Rⁿ, полагая

v = 0 на G = Rⁿ \ Ω.

Тогда функция v принадлежит пространству C^∞(Rⁿ) и удовлетворяет уравнению

Δ²v = f,

где f ∈ C∞0(Rⁿ) и supp f ⊂ {x : |x| < 2N}. Несложно видеть, что D_a(v, Rⁿ) < ∞.

Теперь мы можем использовать теорему 1 из [24], поскольку она основывается на лемме 2

из [24], в которой никаких ограничений на знак σ нет, где σ - степень весовой функции в

указанной лемме. Следовательно, разложение

∑

v(x) = P (x) +

∂^αΓ(x)C_α + v^β(x)

β₀<|α|≤β

справедливо для любого a, где P (x) - многочлен, ord P (x) < m₀ = max{2, 2 - n/2 - a/2},

β₀ = 2 - n/2 + a/2, C_α = const и

|∂^γ v^β (x)| ≤ C_γβ|x|3-n-β-|γ|, C_γβ = const.

Отсюда и из определения функции v следует равенство (3). Лемма доказана.

Определение 2. Решением однородной задачи Дирихле-Неймана (1), (2) будем называть

◦

функцию u ∈

H^2loc(Ω,Γ1) такую, что для всякой функции ϕ ∈ C⁰(Rⁿ), удовлетворяющей

условию ϕ = ∂ϕ/∂ν = 0 на Γ₁, выполнено интегральное тождество

∫

ΔuΔϕdx = 0.

(4)

Обозначим через Ker₀(Δ²) пространство обобщённых решений задачи Дирихле-Неймана

(1), (2), имеющих конечный интеграл Дирихле, т.е.

{



}

∂u

∂Δu



Ker₀(Δ²) = u : Δ²u = 0, u|Γ1 =

= 0, Δu|Γ2 =

= 0, D(u, Ω) < ∞



∂ν

Γ₁

Γ₂

Положим по определению

{



}

∂u

∂Δu



Ker_a(Δ²) = u : Δ²u = 0, u|Γ1 =

= 0, Δu|Γ2 =

= 0, D_a(u, Ω) < ∞



∂ν

Γ₁

Γ₂

Через dim Ker₀(Δ²) и dim Ker_a(Δ²) обозначим размерности линейных пространств соот-

ветственно Ker₀(Δ²) и Ker_a(Δ²). Найдём dim Ker_a(Δ²) в зависимости от значения пара-

метра a.

2. Основные результаты.

Теорема 1. Задача Дирихле-Неймана (1), (2) с условием D(u, Ω) < ∞ имеет n + 1

линейно независимых решений, т.е. dim Ker₀(Δ²) = n + 1.

Доказательство. Доказательство теоремы 1 приведено в [22].

Теорема 2. Если -n ≤ a < n - 4, n > 4, то dim Ker_a(Δ²) = n + 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1052

МАТЕВОСЯН

Доказательство. Сначала рассмотрим случай 0 ≤ a < n - 4, n > 4.

Очевидно, что Ker_a(Δ²) ⊂ Ker₀(Δ²), если a ≥ 0.

Докажем, что Ker₀(Δ²) ⊂ Ker_a(Δ²).

Пусть u ∈ Ker₀(Δ²). Тогда, согласно лемме, решение u имеет вид (3), т.е.

u(x) = P (x) + R(x),

где P (x) - многочлен, ord P (x) ≤ 1,

∑

R(x) =

∂^αΓ(x)C_α + u^β(x).

|α|≤β

Нетрудно заметить, что D_a(P (x), Ω) = 0 и D_a(R(x), Ω) < ∞ при a < n - 4. Следовательно,

D_a(u,Ω) < ∞, т.е. u ∈ Ker_a(Δ²).

Итак, Ker_a(Δ²) = Ker₀(Δ²) и dim Ker_a(Δ²) = dim Ker₀(Δ²). Согласно теореме 1 справед-

ливо равенство

dim Ker_a(Δ²) = n + 1.

Теперь рассмотрим случай -n ≤ a < 0, n > 4. Пусть u ∈ Ker_a(Δ²), где -n ≤ a < 0.

Согласно лемме решение уравнения (1) в Ω имеет вид (3).

Так как ord P (x) ≤ 1, то D(P (x), Ω) < ∞. Несложно проверить, что D(R(x), Ω) < ∞ при

n > 4. Следовательно, D(u,Ω) < ∞, т.е. u ∈ Ker₀(Δ²).

С другой стороны, очевидно, что Ker₀(Δ²) ⊂ Ker_a(Δ²), если a < 0.

Таким образом, Ker_a(Δ²) = Ker₀(Δ²) и dim Ker_a(Δ²) = dim Ker₀(Δ²). В силу теоремы 1

имеем

dim Ker_a(Δ²) = n + 1.

Теорема доказана.

Теорема 3. Если n - 4 ≤ a < n - 2, n > 4, то dim Ker_a(Δ²) = n.

Доказательство. Для произвольного числа e = 0 построим обобщённое решение u = u_e

уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям



∂u_e

∂Δu_e



u_e|Γ1 = e,

= 0, Δu_e|Γ2 =

(5)



∂ν

Γ₁

Γ₂

и условию

∫

)

⁽ |u_e|²

|∇u_e|²

χ(u_e, Ω) ≡

+ |∇∇u_e|2

dx < ∞.

(6)

|x|⁴

|x|²

Такое решение можно построить вариационным методом, минимизируя функционал

∫

F (v) =

|Δv|² dx

в классе {v : v ∈ H²(Ω), v|Γ1 = e, ∂v/∂ν|Γ1 = 0, suppv - компакт} допустимых функций.

Выполнимость условия (6) как следствие неравенства Харди следует из результатов ра-

бот [1, 2, 21]. Согласно лемме решение u_e имеет вид u_e(x) = P_e(x) + R_e(x), где P_e(x) -

многочлен, ord P_e(x) ≤ 1,

∑

R_e(x) = C′0Γ(x) +

∂^αΓ(x)C^′α + u^βe(x).

0<|α|≤β

Из условия (6) вытекает, что P_e(x) ≡ 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ-НЕЙМАНА

1053

Покажем, что постоянная C′0 отлична от нуля. Предположим, что C′0 = 0. Умножив

уравнение (1) на 1 и затем проинтегрировав по Ω_R, получим

( ∫

∫

⁾∂Δu_e

ds = 0.

∂ν

⋃

Γ₁

Γ₂

|x|=R

Покажем сначала, что

∫

∂Δu_e

ds → 0

при R → ∞.

∂ν

|x|=R

Так как C′0 = 0, то



∂Δue



C|x|^-n,



≤

∂ν



∫



∫



∫



∂Δu_e



∂Δue



const

s ≤ const

|x|^-n ds =



≤



^d

∂ν

|x|=R

= const R-1 → 0 при R → ∞.

Следовательно,

∫

∂Δu

ds = 0.

(7)

∂ν

⋃

Γ₁

Γ₂

Теперь докажем, что

∫

∂Δu_e

(Δu_e)² dx = -e

ds.

(8)

∂ν

⋃

Γ₁

Γ₂

Умножив уравнение (1) на u_e и проинтегрировав по Ω_R с учётом граничных условий (5),

получим

∫

∂Δu_e

(Δu_e)² dx = -

u_e

ds + J₁(u_e) + J₂(u_e),

(9)

∂ν

⋃

Ω_R

Γ₁

Γ₂

где

∫

∂u_e

∂Δu_e

J₁(u_e) =

Δu_e

ds, J₂(u_e) = -

u_e

ds.

∂ν

|x|=R

Покажем, что J₁(u_e) → 0, J₂(u_e) → 0 при R → ∞. Так как



∂ue

∂Δue

|u_e| ≤ C|x|4-n,

|Δu_e| ≤ C|x|2-n,



C|x|3-n,



C|x|1-n,

≤



≤

 ∂ν

∂ν

то при n > 4 и R → ∞ имеем

∫

|J_i(u_e)| ≤ C

|x|5-2n ds = const R4-n → 0, i = 1, 2.

|x|=R

Переходя к пределу в равенстве (9) при R → ∞, получаем требуемое равенство (8), так как

u_e|Γ1 = e. Из равенств (7) и (8) вытекает, что

∫

(Δu_e)² dx = 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

4^∗

1054

МАТЕВОСЯН

и, значит, Δu_e = 0 в Ω. Отсюда и из граничных условий (5) следует [2, гл. 2.4], что u_e ≡ e = 0.

Полученное соотношение противоречит условию (6). Таким образом, C′0 = 0.

Положим s = e/C′0.

Рассмотрим теперь решение u = u_A уравнения (1) с граничными условиями



∂u_A(x)

∂(Ax)

∂Δu_A



u_A(x)|Γ1 = (Ax)|Γ1 ,

Δu_A|Γ2 =

= 0,

(10)



∂ν

Γ₁

Γ₂

где A - ненулевой вектор из Rⁿ, а Ax обозначает стандартное скалярное произведение век-

торов A и x.

Для любого ненулевого вектора A построим обобщённое решение u = u_A бигармониче-

ского уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (10) и условию

χ(u_A, Ω) < ∞.

(11)

Решение задачи (1), (10) строится вариационным методом, минимизируя соответствующий

функционал в классе допустимых функций

{



}

∂v(x)

∂(Ax)

v : v ∈ H²(Ω), v(x)|Γ1 = (Ax)|Γ1,



suppv - компакт в Ω



∂ν

Γ₁

Согласно лемме имеет место равенство u_A(x) = P_A(x) + R_A(x), где P_A(x) - многочлен,

ord P_A(x) ≤ 1,

∑

R_A(x) = C₀Γ(x) +

∂^αΓ(x)C_α + u^βA(x).

0<|α|≤β

Из условия (11) следует, что P_A(x) ≡ 0.

Рассмотрим функцию

v = (u_A(x) - Ax) - (u_e - e),

где e = sC₀, число s определено выше. Очевидно, что v - решение задачи (1), (2).

Докажем, что D_a(v, Ω) < ∞ при a < n - 2. Имеем

∑

u_A(x) = C₀Γ(x) +

∂^αΓ(x)C_α + u^βA(x),

(12)

0<|α|≤β

∑

u_e(x) = C′0Γ(x) +

∂^αΓ(x)C^′α + u^βe(x),

(13)

0<|α|≤β

причём C′0 = e/s = sC₀/s = C₀.

Следовательно,

∑

u_A(x) - u_e(x) =

∂^αΓ(x)C^′′α + u⁰(x),

0<|α|≤β

где C^′′α = Cα - C′α, u⁰(x) = u^A(x) - u^e(x).

Нетрудно проверить, что D_a(∂^αΓ(x)C^′′α, Ω) < ∞ и Da(u⁰ , Ω) < ∞ при a < n - 2. Отсюда

следует, что D_a(u_A - u_e, Ω) < ∞ и D_a(v, Ω) < ∞. Легко заметить, что v ≡ 0.

Таким образом, каждому ненулевому вектору A из Rⁿ отвечает ненулевое решение v_A

задачи (1), (2) с условием Da(vA, Ω) < ∞, причём

v_A = u_A(x) - u_e - Ax + e.

Пусть A₁, . . . , A_n - базис в Rⁿ. Докажем, что соответствующие решения vA1 , . . . , vAn

линейно независимы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ-НЕЙМАНА

1055

∑_n

Пусть

C_ivAi ≡ 0, где C_i = const. Положим W₁ ≡

C_iA_ix. Тогда

i=1

∫

∑

W₁ = C_i(uAi - u_e + e) и

|x|a-2|∇W₁|² dx < ∞.

i=1

∑_n

Покажем, что W₁ ≡

C_iA_ix ≡ 0. Пусть T =

C_iA_i = (t₁,... ,t_n). Тогда

i=1

∫

|x|a-2|∇W₁|² dx =

|x|a-2(t²¹ + . . . + t2n) dx = ∞,

∑_n

если T = 0. Следовательно, T =

C_iA_i = 0, откуда в силу линейной независимости

i=1

векторов A₁, . . . , A_n следует, что C_i = 0, i = 1, n.

Таким образом, задача (1), (2) с условием D_a(u, Ω) < ∞ имеет по крайней мере n линейно

независимых решений.

Докажем, что любое решение u задачи (1), (2) с условием D_a(u, Ω) < ∞ представляется

в виде линейной комбинации функций vA1 , . . . , vAn , т.е.

∑

u = C_ivAi, где C_i = const.

i=1

Согласно лемме решение уравнения (1) в Ω имеет вид

∑

u(x) = Ax + B +

∂^αΓ(x)C_α + u^β(x),

|α|≤β

где A - постоянный вектор, B - некоторое число.

Так как A₁, . . . , A_n - базис в Rⁿ, то существуют константы C₁, . . . , C_n такие, что

∑

A=- C_iA_i.

i=1

Положим

∑

u₁ ≡ u - C_ivAi.

i=1

Очевидно, что функция u₁ является решением задачи (1), (2) и D_a(u₁, Ω) < ∞.

Докажем, что u₁ ≡ 0 в Ω. Имеем

u₁ = b + z(x),

∑_n

где b = B -

C_ie_i,

i=1

∑

z(x) =

∂^αΓ(x)C_α + u^β(x) - C_i[uAi - uei],

|α|≤β

i=1

т.е. z = u₁ - b и



∂z

∂Δz



z|Γ1 = -b,

= 0, Δz|Γ2 =

= 0.



∂ν

Γ₁

Γ₂

Несложно видеть, что χ(z, Ω) < ∞. Таким образом, z является решением следующей

задачи, которую обозначим через (z_b):

Δ²z = 0, x ∈ Ω,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1056

МАТЕВОСЯН



∂z

∂Δz



z|Γ1 = -b,

= 0, Δz|Γ2 =

= 0, χ(z, Ω) < ∞.



∂ν

Γ₁

Γ₂

Кроме того, D_a(z, Ω) < ∞.

Докажем, что если e = 0, то D_a(u_e, Ω) = ∞, где u_e - построенное выше решение задачи

(5), (6) для уравнения Δ²u_e = 0, x ∈ Ω. Имеем u_e(x) = C′0Γ(x) + R₁(x), причём C′0 = 0,

если e = 0, и

∑

R₁(x) =

∂^αΓ(x)C^′α + u^βe(x).

0<|α|≤β

Легко проверить, что D_a(R₁(x), Ω) < ∞. Так как Γ(x) = C|x|4-n, то внутри некоторого

конуса K справедливо неравенство |∇∇Γ(x)| ≥ C|x|2-n. Поэтому

∫

D_a(C′0Γ(x),Ω) ≥ C(C′0)

|x|2(2-n)+adx = ∞,

^⋂ {|x|>H}

если C′0 = 0 и a ≥ n - 4. Отсюда следует, что D_a(u_e, Ω) = ∞ при e = 0.

Теперь докажем единственность решения u_e задачи (5), (6). Допустим, что существуют

два решения v₁ и v₂ такие, что



∂v_i

∂Δv_i



v_i|Γ1 = e,

= 0, Δv_i|Γ2 =

= 0, i = 1, 2.



∂ν

Γ₁

Γ₂

Тогда функция v_e = v₁ - v₂ удовлетворяет условиям



∂v_e

∂Δv_e



v_e|Γ1 =

= 0, Δv_e|Γ2 =

= 0, χ(v_e, Ω) < ∞.



∂ν

Γ₁

Γ₂

Покажем, что v_e ≡ 0, x ∈ Ω. Для этого в интегральное тождество (4) для функции u = v_e

подставим функцию ϕ = v_eθ_N (x), где функция θ_N (x) определена в начале доказательства

леммы, получим

∫

(Δv_e)²θ_N (x) dx = -J₁(v_e) - J₂(v_e),

(14)

где

∫

J₁(v_e) = 2 Δv_e∇v_e∇θ_N(x)dx, J₂(v_e) = Δv_e v_eΔθ_N(x)dx.

(15)

Применяя неравенство Коши-Буняковского с учётом условия χ(v_e, Ω) < ∞, несложно пока-

зать, что J₁(v_e) → 0 и J₂(v_e) → 0 при N → ∞. Следовательно, переходя в равенстве (14) к

пределу при N → ∞, будем иметь

∫

(Δv_e)² dx = 0.

Таким образом,

Δv_e = 0, x ∈ Ω,



∂v_e

∂Δv_e



v_e|Γ1 =

= 0, Δv_e|Γ2 =

= 0.



∂ν

Γ₁

Γ₂

Отсюда следует [25, гл. 2.4], что v_e ≡ 0 в Ω. Тем самым, решение u_e задачи (5), (6) един-

ственно. Следовательно, z = u_e при e = -b и D_a(z, Ω) = ∞ при b = 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ-НЕЙМАНА

1057

С другой стороны, D_a(z, Ω) < ∞, где z = u₁ - b, откуда b = 0. Таким образом, u₁ =

= z является решением задачи (z₀). В силу единственности решения задачи (5), (6) верно

тождество u₁ ≡ 0 в Ω. Теорема доказана.

Теорема 4. Если n - 2 ≤ a < ∞, n > 4, то dim Ker_a(Δ²) = 0.

Доказательство. Пусть a = n - 2, u ∈ Ker_a(Δ²) и u ≡ 0.

Так как Kern-2(Δ²) ⊂ Kern-4(Δ²), то в силу теоремы 3 решение u имеет вид

u = u_A - Ax - u_e + e,

(16)

где e = sC₀, а C₀ определяется из формулы (12).

Подставляя представления (12) и (13) для функций u_A и u_e в (16), получаем

∑

u(x) = P₀(x) + (C₀ - C′0)Γ(x) +

∂^αΓ(x

C_α + uβ0(x),

0<|α|≤β

где P₀(x) = -Ax + e,

C_α = C_α - C^′α, uβ0(x) = u^βA(x) - u^e(x).

Так как C′0 = C₀, то C₀ - C′0 = 0. Следовательно,

∑

u(x) = P₀(x) +

∂^αΓ(x

C_α + uβ0(x).

(17)

0<|α|≤β

Докажем, что

C₁ = 0 в представлении (17). Пусть

C₁ = 0, тогда

∑

u(x) = P₀(x) +

∂^αΓ(x

C_α + uβ0(x).

1<|α|≤β

Умножив уравнение (1) на u и проинтегрировав по Ω_R с учётом граничных условий (2),

получим

∫

∂u

∂Δu

(Δu)² dx =

Δu

ds -

ds.

(18)

∂ν

Ω_R

|x|=R

Из (17) следуют оценки



_∂u

∂Δu



|u| ≤ C|x|,

|Δu| ≤ C|x|^-n,

C|x|-n-1.

≤



≤

^∂ν

∂ν

Поэтому



∫

(

)



∫



∂u

∂Δu



Δu

-u

const

|x|^-n ds = const R-1 → 0 при R → ∞.



≤

∂ν

|x|=R

Переходя к пределу в равенстве (18) при R → ∞, будем иметь

∫

(Δu)² dx = 0.

Отсюда и из граничных условий (2) вытекает [25, гл. 2.4] тождество u ≡ 0 в Ω. Полученное

противоречие показывает, что

C₁ = 0 в (17).

Так как u ∈ Ker_a(Δ²), то, в частности, D_a(u, Ω)<∞. Легко проверить, что D_a(P₀(x), Ω) =

= 0 и D_a(R₂(x),Ω) < ∞, где

∑

R₂(x) =

∂^αΓ(x

C_α + uβ0(x).

1<|α|≤β

Тогда в силу (17) и неравенства треугольника получаем D_a(

C₁∇)Γ(x),Ω) < ∞.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1058

МАТЕВОСЯН

С другой стороны, Γ(x) = C|x|4-n. Тогда внутри некоторого конуса K имеет место нера-

венство |∇∇

C₁∇)Γ(x)| ≥ C|x|1-n. Следовательно,

∫

∞>D_a(

C₁∇)Γ(x),Ω) ≥ C

|x|2-2n+a dx = ∞ при a ≥ n - 2.

⋂

{|x|>H}

Полученное противоречие означает, что u ≡ 0. Теорема доказана.

Теорема 5. Смешанная задача Дирихле-Неймана (1), (2) с условием D_a(u, Ω) < ∞ имеет

k(r, n) линейно независимых решений при -2r + 2 - n ≤ a < -2r + 4 - n, n > 4, r > 1, где

(r + n)!

(r + n - 4)!

k(r, n) =

n!r!

n!(r - 4)!

Доказательство. Для доказательства теоремы нужно определить число линейно незави-

симых решений бигармонического уравнения (1), степени которых не превосходят заданного

числа.

Известно, что размерность линейного пространства всех многочленов в Rⁿ степени не

выше r равна (r +n)!/(r!n!) [26]. Тогда размерность линейного пространства всех бигармони-

ческих многочленов в Rⁿ степени не выше r равна определённому в формулировке теоремы

числу k(r, n), так как бигармоническое уравнение означает равенство нулю некоторого мно-

гочлена степени r - 4 в Rⁿ.

Если через l(r, n) обозначить число линейно независимых однородных многочленов степе-

ни r, являющихся решениями уравнения (1), то

∑

k(r, n) =

l(s, n),

s=0

где

(s + n - 1)!

(s + n - 5)!

l(s, n) =

s > 0.

(n - 1)!s!

(n - 1)!(s - 4)!

Докажем сначала, что задача (1), (2) с условием D_a(u, Ω) < ∞ при -2r + 2 - n ≤ a <

< -2r + 4 - n имеет k(r,n) линейно независимых решений.

Пусть w₁, . . . , w_k - базис в пространстве полиномиальных решений уравнения (1), степени

которых не превосходят r. Так как ord w_i ≤ r, то D_a(w_i, Ω) < ∞ при -2r + 2 - n ≤ a <

< -2r + 4 - n.

По каждому w_i, i = 1, k, построим решение v_i уравнения (1) такое, что



∂v_i

∂w_i

∂Δv_i

∂Δw_i



v_i|Γ1 = w_i|Γ1 ,

Δv_i|Γ2 = Δw_i|Γ2 ,



∂ν

Γ₁

Γ₂

∫

D(v_i, Ω) < ∞,

|∇v_i|²|x|-2 dx < ∞,

|v_i|²|x|-4 dx < ∞.

Такое решение можно построить вариационным методом, минимизируя функционал

∫

F (v) =

|Δv|² dx

в классе допустимых функций

{



}

∂v

∂w



v : v ∈ H²(Ω), v|Γ1 = w,

suppv - компакт в Ω



∂ν

Γ₁

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ-НЕЙМАНА

1059

Рассмотрим разность q_i = w_i - v_i. Имеем

Δ²q_i = 0, x ∈ Ω,



∂q_i

∂Δq_i

q_i|Γ1 =



= 0, Δq_i|Γ2 =



= 0, D(q_i, Ω) < ∞.



∂ν

Γ₁

Γ₂

Докажем, что q_i, i = 1, k, линейно независимы. Действительно, если

∑

c_iq_i = 0, т.е.

c_i(w_i - v_i) = 0, c_i = const,

i=1

то

∑

W ≡ c_iw_i = c_iv_i ≡V.

i=1

Cледовательно, |W |² = |V |², |∇W |2 = |∇V |2, |∇∇W |2 = |∇∇V |2 и

D(W, Ω) = D(V, Ω) < ∞,

∫

|∇W |²|x|-2 dx =

|∇V |²|x|-2 dx < ∞,

|W |²|x|-4 dx =

|V |²|x|-4 dx < ∞.

Согласно лемме решение V уравнения (1) в Ω имеет вид V (x) = P (x) + R(x), где P (x) -

многочлен,

∑

R(x) =

∂^αΓ(x)C_α + v^β(x).

|α|≤β

Нетрудно проверить, что D(R(x), Ω) < ∞,

∫

|∇R(x)|²|x|-2 dx < ∞,

|R(x)|²|x|-4dx < ∞ при n > 4.

В силу неравенства треугольника получаем D(P (x), Ω) < ∞,

∫

|∇P (x)|²|x|-2 dx < ∞,

|P (x)|²|x|-4 dx < ∞.

Докажем, что P (x) = 0. Пусть ord P (x) = r₁. Тогда внутри некоторого конуса K выпол-

няется неравенство |P (x)| ≥ C|x|r1 . Поэтому

∫

∞>

|P (x)|²|x|-4 dx ≥ C

|x|(r1-²⁾² dx = C

|x|2r1-4+n|x|-1 d|x|.

^⋂ {|x|>H}

|x|>H

Так как n > 4, то полученный интеграл сходится только при r₁ < 0.

Таким образом, P (x) ≡ 0 и V (x) = R(x), где R(x) → 0 при |x| → ∞. Отсюда следует, что

∑

c_iw_i ≡ W = V (x) → 0 при

|x| → ∞.

i=1

Так как W - многочлен, то

∑

c_iw_i = 0.

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1060

МАТЕВОСЯН

Отсюда следует, что c_i = 0, i = 1, k, поскольку w_i, i = 1, k, - базис в пространстве полино-

миальных решений.

Таким образом, смешанная задача Дирихле-Неймана (1), (2) с условием D_a(u, Ω) < ∞

имеет по крайней мере k(r, n) линейно независимых решений.

Докажем теперь, что всякое решение u смешанной задачи Дирихле-Неймана (1), (2) с

условием D_a(u, Ω) < ∞ можно представить в виде линейной комбинации построенных реше-

ний q_i, i = 1, k, q_i = w_i - v_i.

Согласно лемме решение уравнения (1) в Ω можно представить в виде

u(x) = P (x) + R(x),

где P (x) - многочлен, ord P (x) < m₀ = [2 - n/2 - a/2],

∑

R(x) =

∂^αΓ(x)C_α + u^β(x).

|α|≤β

Так как -2r + 2 - n ≤ a < -2r + 4 - n, то 1 - n/2 - a/2 ≤ r < 2 - n/2 - a/2, следовательно,

r = [2 - n/2 - a/2] = m₀. Таким образом, ordP(x) ≤ r.

Покажем, что P (x) - решение уравнения (1). Имеем 0 = Δ²u = Δ²P (x) + Δ²R(x), причём

Δ²R(x) → 0 при |x| → ∞. Так как Δ²P(x) - многочлен и Δ²P(x) = -Δ²R(x) → 0 при |x| →

→ ∞, то Δ²P(x) ≡ 0, т.е. P(x) - полиномиальное решение бигармонического уравнения (1).

Следовательно, оно представляется в виде линейной комбинации функций w_i, i = 1, k:

∑

P (x) =

c_iw_i.

i=1

∑_k

Докажем, что u =

c_iq_i. Положим

i=1

∑

u₂ = u - c_iq_i, т.е. u₂ = R(x) +

c_iv_i.

i=1

Тогда

Δ²u₂ = 0, x ∈ Ω,



∂u₂

∂Δu₂

u₂|Γ1 =



= 0, Δu₂|Γ2 =



= 0.



∂ν

Γ₁

Γ₂

По построению решения v_i имеем D(v_i, Ω) < ∞,

∫

|∇v_i|²|x|-2 dx < ∞,

|v_i|²|x|-4 dx < ∞, i = 1, k.

Кроме того, легко проверить, что D(R(x), Ω) < ∞,

∫

|∇R(x)|²|x|-2 dx < ∞,

|R(x)|²|x|-4 dx < ∞.

Отсюда следует, что D(u₂, Ω) < ∞,

∫

|∇u₂|²|x|-2 dx < ∞,

|u₂|²|x|-4 dx < ∞.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ-НЕЙМАНА

1061

Таким образом, u₂ является решением следующей задачи, которую обозначим через (u₂):

Δ²u₂ = 0, x ∈ Ω,



∂u₂

∂Δu₂

u₂|Γ1 =



= 0, Δu₂|Γ2 =



= 0,



∂ν

Γ₁

Γ₂

∫

D(u₂, Ω) < ∞,

|∇u₂|²|x|-2 dx < ∞,

|u₂|²|x|-4 dx < ∞.

Покажем, что u₂ ≡ 0, x ∈ Ω. Для любой функции ϕ ∈ H^2loc(Ω) такой, что



∂ϕ

∂Δϕ



ϕ|Γ1 =

= 0, Δϕ|Γ2 =

= 0,



∂ν

Γ₁

Γ₂

и функции u = u₂ справедливо интегральное тождество (4):

∫

Δu₂ Δϕdx = 0.

Подставим в это равенство ϕ = u₂θ_N (x), где функция θ_N (x) определена в начале доказатель-

ства леммы, получим равенство

∫

(Δu₂)²θ_N (x) dx = -J₁(u₂) - J₂(u₂),

(19)

функционалы J₁ и J₂ в котором заданы в (15). Применяя неравенство Коши-Буняковского и

учитывая условия задачи (u₂), несложно показать, что J₁(u₂) → 0 и J₂(u₂) → 0 при N → ∞.

Следовательно, переходя в равенстве (19) к пределу при N → ∞, будем иметь

∫

(Δu₂)² dx = 0.

Таким образом, Δu₂ = 0, x ∈ Ω, и u₂|Γ1 = ∂u₂/∂ν|Γ1 = 0, Δu₂|Γ2 = ∂Δu₂/∂ν|Γ2 = 0. Отсюда

следует [2, гл. 2.4], что u₂ ≡ 0 в Ω. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных

областях. Неравенства Корна // Успехи мат. наук. 1988. Т. 43. № 5. С. 55-98.

2. Коньков А.А. О размерности пространства решений эллиптических систем в неограниченных об-

ластях // Мат. сб. 1993. Т. 184. № 12. С. 23-52.

3. Кудрявцев Л.Д. Решение первой краевой задачи для самосопряженных и эллиптических уравнений

в случае неограниченных областей // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т. 31. № 5. С. 354-366.

4. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Estimates for solutions of the Dirichlet problem for biharmonic equation

in a neighbourhood of an irregular boundary point and in a neighbourhood of infinity Saint-Venant’s

principle // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1983. V. 93A. P. 327-343.

5. Олейник О.А., Кондратьев В.А., Копачек И. Об асимптотических свойствах решений бигармони-

ческого уравнения // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. № 10. С. 1886-1899.

6. Cakoni F., Hsiao G.C., Wendland W.L. On the boundary integral equation method for a mixed boundary

value problem of the biharmonic equation // Complex Variables. 2005. V. 50. № 1. P. 7-11.

7. Farwig R. A note on the reflection principle for the biharmonic equation and the Stokes system // Acta

Appl. Math. 1994. V. 37. P. 41-51.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1062

МАТЕВОСЯН

8. Матевосян О.А. О решениях краевых задач для системы теории упругости и бигармонического

уравнения в полупространстве // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 6. С. 806-811.

9. Матевосян О.А. О решениях внешней задачи Дирихле для бигармонического уравнения с конечным

весовым интегралом Дирихле // Мат. заметки. 2001. Т. 70. № 3. Р. 403-418.

10. Матевосян О.А. О решениях смешанных краевых задач для системы теории упругости в неогра-

ниченных областях // Изв. РАН. Сер. Математика. 2003. Т. 67. № 5. С. 49-82.

11. Matevosyan O.A. On solutions of a boundary value problem for the polyharmonic equation in unbounded

domains // Russ. J. Math. Phys. 2014. V. 21. № 1. P. 130-132.

12. Matevossian H.A. On solutions of the Dirichlet problem for the polyharmonic equation in unbounded

domains // p-Adic Numbers, Ultrametric Anal. Appl. 2015. V. 7. № 1. P. 74-78.

13. Матевосян О.А. Решение смешанной краевой задачи для бигармонического уравнения с конечным

весовым интегралом Дирихле // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 4. С. 481-494.

14. Матевосян О.А. О решениях задачи Неймана для бигармонического уравнения в неограниченных

областях // Мат. заметки. 2015. Т. 98. № 6. С. 944-947.

15. Matevosyan O.A. On solutions of the mixed Dirichlet-Navier problem for the polyharmonic equation in

exterior domains // Russ. J. Math. Phys. 2016. V. 23. № 1. P. 135-138.

16. Матевосян О.А. О решениях одной краевой задачи для бигармонического уравнения // Диффе-

ренц. уравнения. 2016. Т. 52. № 10. С. 1431-1435.

17. Matevossian H.A. On the biharmonic Steklov problem in weighted spaces // Russ. J. Math. Phys. 2017.

V. 24. № 1. P. 134-138.

18. Matevossian H.A. On solutions of the mixed Dirichlet-Steklov problem for the biharmonic equation in

exterior domains // p-Adic Numbers, Ultrametric Anal. Appl. 2017. V. 9. № 2. P. 151-157.

19. Matevossian H.A. On the Steklov-type biharmonic problem in unbounded domains // Russ. J. Math.

Phys. 2018. V. 25. № 2. P. 271-276.

20. Matevossian H.A. On the polyharmonic Neumann problem in weighted spaces // Complex Variables and

Elliptic Equations. 2019. V. 64. № 1. P. 1-7.

21. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Hardy’s and Korn’s inequality and their application // Rend. Mat. Appl.

1990. Serie VII. V. 10. P. 641-666.

22. Matevossian H. Mixed biharmonic Dirichlet-Neumann problem in exterior domains // Журн. СФУ.

Сер. Математика и физика. 2020. Т. 13. № 6. С. 755-762.

23. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., 1988.

24. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. On the behavior at infinity of solutions of elliptic systems with a finite

energy integral // Arch. Rational Mech. Anal. 1987. V. 99. № 1. P. 75-99.

25. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производным

и второго порядка. М., 1989.

26. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М., 1977.

Федеральный исследовательский центр

Поступила в редакцию 06.02.2019 г.

“Информатика и управление” РАН, г. Москва,

После доработки 12.03.2020 г.

Московский авиационный институт (НИУ “МАИ”)

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021