ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1071-1080

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.6

НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТРЁХМЕРНОГО

УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольном параллеле-

пипеде изучается начально-граничная задача. Установлен критерий единственности. Реше-

ние построено в виде ряда по ортогональной системе функций. При обосновании сходимо-

сти этого ряда возникает проблема малых знаменателей, зависящих от двух натуральных

аргументов. Найдены достаточные условия равномерной отделённости от нуля знаменате-

лей, что позволило доказать сходимость ряда в классе регулярных решений и устойчивость

решения относительно возмущений граничных функций.

DOI: 10.31857/S0374064121080082

Введение. Рассмотрим оператор смешанного параболо-гиперболического типа

{

u_t - u_xx - u_yy + bu, t > 0,

Lu :=

(1)

u_tt - u_xx - u_yy + bu, t < 0,

и область Q = {(x, y, t) : (x, y) ∈ D, t ∈ (-α, β)}, где D = {(x, y) : 0 < x < p,

0 < y < q}, а

α, β, p, q - заданные положительные действительные числа, b - заданное действительное

число. Обозначим Q₊ = {(x, y, t) ∈ Q : t > 0} и Q_- = {(x, y, t) ∈ Q : t < 0}.

Начально-граничная задача. Найти функцию u(x, y, t), удовлетворяющую следующим

условиям:

u(x, y, t) ∈ C¹(Q)

^⋂C²(Q₊ ⋃ Q_-);

(2)

Lu(x, y, t) ≡ 0, (x, y, t) ∈ Q₊

^⋃Q_-;

(3)

u(x, y, t)|x=0 = u(x, y, t)|x=p = 0,

-α ≤ t ≤ β;

(4)

u(x, y, t)|y=0 = u(x, y, t)|y=q = 0,

-α ≤ t ≤ β;

(5)

u(x, y, t)|t=-α = ψ(x, y), (x, y) ∈ D,

(6)

где ψ(x, y) - заданная достаточно гладкая функция, для которой выполнены условия согла-

сования с граничными данными (4) и (5).

Отметим, что задача Трикоми и её аналоги для уравнений смешанного параболо-гипер-

болического типа изучались многими авторами [1-6] (см. также библиографию в указанных

работах) в двумерных областях, гиперболическая часть которых представляет собой треуголь-

ник, ограниченный характеристиками уравнения и линией t = 0 изменения типа. В работах

[7; 8; 9, с. 56-94] изучены аналоги начально-граничных задач для уравнений параболо-гипер-

болического типа в прямоугольных областях.

Постановка задачи (2)-(6) впервые была приведена в докладе [10] и в нём же сформули-

рован критерий единственности её решения. Ранее в работе [11] в многомерном пространстве

изучались начально-граничные задачи для параболо-гиперболических уравнений, в которых

сопряжение производилось по пространственной координате.

В данной работе доказан критерий единственности решения, а само решение в случае,

когда D - квадрат, построено в виде ряда по собственным функциям двумерной спектраль-

ной задачи оператора Лапласа. При обосновании сходимости ряда возникает проблема малых

знаменателей, в связи с чем получены достаточные условия, обеспечивающие равномерную

отделённость от нуля знаменателей, и на основании этого доказана сходимость указанного ря-

да в классе функций C²(Q₊

^⋃Q_-) при некоторых условиях относительно функции ψ(x,y),

а также получены оценки решения, из которых вытекает его устойчивость по отношению к

возмущению граничных условий.

1071

1072

САБИТОВ, СИДОРОВ

1. Критерий единственности решения. Пусть u(x,y,t) - решение задачи (2)-(6). Рас-

смотрим функции

∫∫

u_mn(t) =

u(x, y, t)v_mn(x, y) dx dy, m, n ∈ N,

(7)

где

mπx

nπy

v_mn(x,y) =

sin

m,n ∈ N,

(8)

√pq^sin

– полная ортонормированная система собственных функций оператора Лапласа в прямоуголь-

нике D с нулевыми граничными условиями Дирихле. Отметим также, что система функций

(8) образует базис в пространстве L₂(D).

Продифференцируем тождество (7) по t при t > 0 один раз, а при t < 0 два раза,

учитывая определение (1) оператора L, и вычислим затем интегралы по частям с учётом

граничных условий (4) и (5), в результате получим уравнения

u^′mn(t) + λ2mnu_mn(t) = 0, t > 0,

(9)

u^′′mn(t) + λ2mnu_mn(t) = 0, t < 0,

(10)

здесь

^[(m⁾

⁽n)2]

λ2mn = b + π²

(11)

Далее в равенстве (11) будем считать, что b = μ² ≥ 0 (μ ≥ 0), так как если b < 0,

то, начиная с некоторых номеров n > n₀ или m > m₀, правая часть (11) принимает толь-

ко положительные значения, т.е. знак коэффициента b не влияет на положительность при

всех достаточно больших n или m правой части в (11), а значит, как будет следовать из

дальнейшего, и на справедливость полученных результатов.

Интегрируя уравнения (9) и (10) с учётом условий задачи (2)-(6), найдём, что

⎧

ψ_mn

⎪

⎨

e-λmn^t,

t ≥ 0,

δ_mn(α)

u_mn(t) =

(12)

⎪

ψ_mn

⎩

(cos(λ_mnt) - λ_mn sin(λ_mnt)), t ≤ 0,

δ_mn(α)

где

∫∫

ψ_mn = ψ(x,y)v_mn(x,y)dxdy,

(13)

при условии, что при всех m, n ∈ N выполняетя соотношение

δ_mn(α) := cos(λ_mnα) + λ_mn sin(λ_mnα) = 0.

(14)

Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(6), то оно единственно только тогда,

когда при всех натуральных m и n выполнены условия (14).

Доказательство. Пусть ψ(x, y) ≡ 0 и условия (14) выполнены при всех m, n ∈ N. Тогда

из (13), (12) и (7) следует, что при всех m, n ∈ N и любом t ∈ [-α, β] справедливо равенство

∫∫

u(x, y, t)v_mn(x, y) dx dy = 0.

Отсюда в силу полноты системы функций (8) в пространстве L₂(D) следует, что u(x, y, t) = 0

почти всюду в D при любом t ∈ [-α, β]. Согласно условию (2) функция u(x, y, t) непрерывна

на D, поэтому u(x, y, t) ≡ 0 в D.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА

1073

Пусть при некоторых m = m₀ и n = n₀ справедливо равенство δm0n₀ (α) = 0. Тогда

однородная задача (2)-(6) (где ψ(x, y) ≡ 0) имеет ненулевое решение

{

Cm0n₀ e^-λ

0ⁿ0 tvm0n₀(x, y),

t ≥ 0,

um0n₀(x,y,t) =

Cm0n₀ (cos(λm₀n₀ t) - λm₀n₀ sin(λm₀n₀t))vm₀n₀(x,y), t ≤ 0,

где Cm0n₀ = 0 - произвольная постоянная.

Поэтому возникает вопрос о нулях выражения δ_mn(α). Для ответа на него представим это

выражение в виде

√

δ_mn(α) =

1 + λ2mn sin(λ_mnα + γ_mn),

(15)

√

где γ_mn = arcsin(1/

1 + λ2mn). Из представления (15) вытекает, что δ_mn(α) = 0 только в том

случае, когда α имеет вид

πk

γ_mn

α=

где k, m, n ∈ N.

(16)

λ_mn

Равенство (16) с учётом выражения (11) запишем в равносильном виде

⁽k - γ_mn/π)2

⁽m)2

⁽n)2

⁽μ)2

(17)

Таким образом, выражение δ_mn(α) обращается в нуль тогда и только тогда, когда число

α представляется в виде (16) или, равносильно, диофантово уравнение (17) имеет решение

(k, m, n) во множестве натуральных чисел. Придавая в равенстве (16) k, m и n всевозмож-

ные натуральные значения, получаем счётное множество нулей выражения δ_mn(α). Теорема

доказана.

2. Существование решения задачи. При соблюдении условий (14) решение u(x,y,t)

задачи (2)-(6) формально определяется рядом Фурье по системе функций (8), т.е.

∑

u(x, y, t) =

u_mn(t)v_mn(x,y),

(18)

m,n=1

в котором коэффициенты u_mn(t) находятся по формуле (12). Так как выражения δ_mn(α) яв-

ляются знаменателями коэффициентов ряда (18) и, как показано выше, уравнение δ_mn(α) =

= 0 имеет счётное множество нулей (16), то возникает проблема малых знаменателей более

сложной природы, чем в плоском случае [7; 8; 9, с. 61-66]. В связи с этим для обоснова-

ния сходимости ряда (18) в классе функций (2) необходимо установить достаточные условия,

обеспечивающие равномерную отделённость от нуля выражения δ_mn(α) при всех достаточно

больших m и n.

Пусть n ≥ m. Представим выражение δ_mn(α) в виде

√

δ_mn(α) =

1 + λ2mn sin(πnαλmn + γ_mn),

(19)

где

√

⁽qm⁾

⁽ μq)2

α=

λ_mn =

πn

Лемма 1. Пусть n ≥ m, отношение q/p рационально и q/p ≤ 1. Если α - положи-

тельное рациональное число, т.е. α = r/s, где r, s ∈ N, (r, s) = 1, и выполнено неравенство

(2μrpq)² + (2p)²πqrs < 3π²,

(20)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1074

САБИТОВ, СИДОРОВ

то существуют положительные постоянные C₀ и n₀ (n₀ ∈ N) такие, что при всех n > n₀

и любом фиксированном m справедлива оценка

|δ_mn(α)| ≥ C₀.

(21)

Доказательство. Рассмотрим сначала случай n > m, где m - фиксированное натураль-

ное число. Представим выражениеλmn в следующем виде:

λ_mn = 1 + θ_mn,

(22)

при этом для θ_mn для всех достаточно больших n имеет место двусторонняя оценка

^[(qm)2

⁽ μq)2]

^[(qm)2

⁽ μq)2]

<θ_mn <

(23)

πn

так как существует номер n₁ такой, что при n > n₁ справедливо неравенство

⁽qm)2

⁽μq)2

< 1.

πn

Подставляя выражение (22) дляλmn в представление (19), будем иметь

√

δ_mn(α) =

1 + λ2mn sin(πnα + αθmn + γ_mn),

(24)

здесьθmn = πnθ_mn.

Пусть α = α/q = r/s, где r, s ∈ N, (r, s) = 1. Разделим nr на s с остатком: nr = ds + d₀,

где d, d₀ ∈ N

^⋃ {0}, 0 ≤ d0 < s; вообще говоря, d и d0 зависят от n. Тогда равенство (24)

можно записать в виде

)

√

⁽πd₀

δ_mn(α) = (-1)^d

1 + λ2mn sin

+αθmn +γ_mn

(25)

В силу известных неравенств |x| ≤ | arcsin x| ≤ π|x|/2, если

0 ≤ |x| ≤ 1, для выражения

γ_mn имеем оценки

√

≤γ_mn ≤

√

(26)

1+λ2mn

Если d₀ = 0, то вследствие представления (25) получаем

√

|δ_mn(α)| =

1 + λ2mn|sin(αθmn + γ_mn)|.

(27)

Из оценок (23) и (26) следует соответственно, что

θmn → 0 и γmn → 0 при n → ∞. Тогда

существует натуральное число n₂ такое, что при всех n > n₂ справедливы неравенства 0 <

< αθmn + γ_mn < π/2. Теперь в силу известного неравенства

sin x > 2x/π, если

0 < x < π/2,

(28)

и соотношений (27), (28), (26) и (23) приходим к оценке

2√

√

|δ_mn(α)| >

1+λ2mn(αθmn +γ_mn)≥²

1+λ2mnαθmn +2

= C₁ > 0.

(29)

Пусть d₀ > 0. Так как 1 ≤ d₀ ≤ s - 1, s ≥ 2, то π/s ≤ πd₀/s ≤ π - π/s, а значит, как

следует из равенства (25), существует число n₃ ∈ N такое, что при всех n > n₃ имеют место

оценки



1√



π

1

ππn



|δ_mn(α)| >

1+λ2mn

(1 +θmn) = C₂n ≥ C₂ > 0.

(30)

^s

^>

^s

s q

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА

1075

Отметим, что C₁ и C₂ здесь и в дальнейшем C_i - положительные постоянные, зависящие,

вообще говоря, от α, p и q.

Теперь рассмотрим случай, когда m = n. В этом случае выражение дляλmn примет вид

√

(

)₂

⁽q⁾

⁽μq)2

⁽q)2

μpq

⁽q)2

λ_nn =

√

A_n,

(31)

πn

p² + q²

где A_n = 1 + a_n и для остатка a_n при n > n₄, где n₄ - некоторое натуральное число,

справедлива оценка

(

)₂

(

)₂

μpq

√

<a_n <

√

(32)

πn

p² + q²

πn

p² + q²

Введём в рассмотрение число

√

⁽q⁾

⁽q)2

ν = α

Тогда выражение (19) с учётом представления (31) принимает вид

√

δ_nn(α) =

1 + λ2nn sin(πnαλnn + γ_nn) =

1 + λ2nn sin(πnν + πnνa_n + γ_nn).

(33)

Число ν, если отношение q/p рационально, может быть только рациональным или квад-

ратично иррациональным числом. Если оно является рациональным числом, то, рассуждая

аналогично предыдущему, получим оценки вида (29) и (30).

Пусть теперь число ν является квадратично иррациональным. Для него, согласно теореме

Лиувилля [12, с. 60], существует положительное число δ, зависящее от ν, такое, что при любых

целых n и l (n > 0) справедливо неравенство



−



(34)

^ν

^>

n²

Соотношение (33) представим в виде

[

(

)

]

√

δ_nn(α) = (-1)^k

1 + λ2nn sin πn ν -

+ πnνa_n + γ_nn .

(35)

Очевидно, что для всякого n ∈ N найдётся такое k ∈ N, чтобы имело место неравенство

[9, с. 63]



−

(36)

^ν

^<

В силу оценок (26) и (32) существует натуральное число n₅ такое, что

0 < νπna_n + γ_nn < π/4

(37)

при всех n > n₅. Тогда на основании оценок (36) и (37) заключаем, что для аргумента синуса

в соотношении (35) возможны только два случая: число πn(ν - k/n) + π/4 + νπna_n + γ_nn

принадлежит либо 1) полуинтервалу [π/2, 3π/4), либо 2) полуинтервалу (-π/4, π/2).

В случае 1) имеем



[

(

)

]



3π

C₃



in πn ν -

+ νπna_n + γ_nn



sin

=C₃ ≥

(38)

^s

^>

В случае 2), учитывая неравенство (28), получаем



[

(

)

]



(

)



2



in πn ν -

+ νπna_n + γ_nn

n ν-

+ νπna_n + γ_nn

(39)

^s

^>

^π

^.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1076

САБИТОВ, СИДОРОВ

Теперь на основании неравенств (26), (32) и (34) оценим правую часть неравенства (39):



(

)



2



k

2δ

ν(μpq)²



n ν-

+ νπna_n + γ_nn

−

2νna_n -

γ_nn >

√

^π

≥

^ν

^-

π²(p² + q²)n

1+λ2nn

(

)

2δ

ν(μpq)

ν(μpq)²

C₄

√

2δ -

√

(40)

π²(p² + q²)n

p² + q² n

π²(p² + q²)

p² + q²

Из оценки (40) следует, что нам достаточно показать положительность постоянной C₄. Для

этого из неравенства (34) выразим число δ через ν. Не теряя общности, будем предполагать,

что p, q ∈ N, (p, q) = 1. Так как ν является квадратично иррациональным числом, то оно

является корнем многочлена второй степени с целыми коэффициентами

(sp)²x² - r²(p² + q²) = (ps)²(x - ν)(x + ν).

(41)

На основании результатов из монографии [9, с. 65-66], где получена формула для вычисления

δ через коэффициенты многочлена (41), имеем

√

δ=

√

(

r²(p² + q²) + 1 - r

p² + q²) =

psr

p² + q² +

r²(p² + q²) + 1

(√

)

(√

)

√

p² + q²

-1

=ν

-1 ,

(42)

r²(p² + q²)

при этом из оценки (32) следует, что

√

-1<

(43)

8 r²(p² + q²)

r²(p² + q²)

2 r²(p² + q²)

Тогда с учётом соотношений (42) и (43) постоянная C₄ будет больше нуля, если имеет место

неравенство

3ν

ν(μpq)²

√

> 0,

8r²(p² + q²)

2π²(p² + q²)

2π

p² + q²

или, равносильно,

(μpq)²

√

> 0.

8r²(p² + q²)

2π²(p² + q²)

2πν

p² + q²

Последнее неравенство равносильно условию (20). Теперь из равенства (33) на основании оце-

нок (38)-(40) вытекает, что

√

C₄

πC₄

|δ_nn(α)| =

1+λ2nn

>λ_nn

λ_nn >πC4

= C₅ > 0.

(44)

Тогда из неравенств (29), (30) и (44) следует справедливость оценки (21) при всех n > n₀,

где n₀ = max{n_i : 1 ≤ i ≤ 5}, C₀ = min{C_i 1 ≤ i ≤ 5}. Лемма доказана.

Замечание 1. Отметим, что если m ≥ n, то для рационального p/q такого, что p/q ≤ 1,

аналогично получаем оценку

|δ_mn(α)| ≥ C₀

при всех m > m₀ и любом фиксированном n. В этом случае в качестве числа α берётся

отношение α/p.

Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1, то при всех n > n₀, n ≥ m справедливы

оценки

|u_mn(t)| ≤ C₆n|ψ_mn|,

|u^′mn(t)| ≤ C₇n²|ψ_mn|, где

-α≤t≤β;

(45)

|u^′′mn(t)| ≤ C₈n³|ψ_mn|, где

- α ≤ t ≤ 0.

(46)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА

1077

Справедливость оценок (45), (46) непосредственно следует из формулы (12) на основании

оценки (21).

В силу замечания 1 имеют место оценки, аналогичные оценкам (45), (46), где только n₀

надо заменить на m₀ и считать, что m ≥ n.

Для обоснования равномерной сходимости ряда (18) и его производных первого порядка в

замкнутой области D и производных второго порядка соответственно на замкнутых областях

D₊ и D_- воспользуемся следующим утверждением из теории двойных рядов [13, с. 368-

∑_∞

∑_∞ ∑_∞

369]. Рассмотрим двойной ряд

a_mn, где a_mn ≥ 0, и повторные ряды

a_mn,

m,n=1

m=1

n=1

∑_∞ ∑_∞

a_mn. Если один из этих рядов сходится, то остальные сходятся и имеют одну и ту

n=1

m=1

же сумму.

Теперь формально почленным дифференцированием ряда (18) составим ряды

∑

⁽π)2

u_xx(x,y,t) =

u_mn(t)v_mnxx(x,y) = -

m²u_mn(t)v_mn(x,y),

m,n=1

∑

⁽π)2

u_yy(x,y,t) =

u_mn(t)v_mnyy(x,y) = -

n²u_mn(t)v_mn(x,y),

m,n=1

∑

u_tt(x,y,t) =

u^′′mn(t)v_mn(x,y), t ≤ 0,

m,n=1

которые при p = q для точек (x, y, t) ∈ Q мажорируются числовым рядом

]

∑

∑∑

C₉

n³|ψ_mn| +

m³|ψ_mn| .

m=1 n>n0

n=1 m>m

n≥m

m>n

Для обоснования сходимости этой суммы нам достаточно исследовать на сходимость следую-

щие ряды:

∑

∑∑

C₁₀

n³|ψmn| и C11

m³|ψ_mn|.

(47)

m=1 n>n0

n=1 m>m

n≥m

m>n

Лемма 3. Пусть ψ(x, y) ∈ C⁵(D) и ψ(0, y) = ψ_xx(0, y) = ψ(p, y) = ψ^′′xx(p, y) = 0,

0 ≤ y ≤ q, ψ(x,0) = ψ_yy(x,0) = ψ(x,q) = ψ_yy(x,q) = 0,

0 ≤ x ≤ p. Тогда справедливы

представления

(

)

(

)₄

ψ_mn =

ψ(1,4)mn =

ψ(4,1)mn,

(48)

mπ nπ

nπ mπ

где

∫∫

mπx

nπy

mπx

nπy

ψ(1,4)mn =

ψ_xyyyy cos

sin

dx dy, ψ(4,1)mn =

ψ_xxxxy sin

cos

dx dy,

√pq

при этом следующий ряд сходится:

∫∫

∑

⁽∂⁵ψ(x,y))2

|ψ(i,j)mn|² ≤

dx dy,

(49)

∂xⁱ∂y^j

m,n=1

здесь i = 1 и j = 4 или i = 4 и j = 1.

Доказательство. Чтобы получить представления (48), достаточно проинтегрировать по

частям пять раз в формуле (13) с учётом условий данной леммы. Сходимость указанного

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1078

САБИТОВ, СИДОРОВ

ряда следует из неравенства Бесселя, которое имеет место для кратных рядов Фурье [14,

с. 333], т.е. неравенство (49) является неравенством Бесселя для производной пятого порядка

функции ψ(x, y). Лемма доказана.

На основании этой леммы ряды (47) соответственно мажорируются сходящимися рядами

∑

∑∑

(1,4)

C₁₂

|ψ

и C₁₃

|ψ(4,1)mn|.

m=1 n>n0

n=1 m>m

n≥m

m>n

Если для чисел α из леммы 1 при некоторых n = l = n₁, n₂, . . . , n_k, где 1 ≤ n₁ < n₂ <

... < n_k ≤ n₀, n_i, i = 1,k, и k - заданные натуральные числа, δ_ml(α) = 0, то для разреши-

мости задачи (2)-(6) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

ψ_ml = 0, l = n₁,n₂,... ,n_k.

(50)

В этом случае решение задачи (2)-(6) задаётся рядом

)

∑

u(x, y, t) =

+...+

u_mn(t)v_mn(x,y) +

u_ml(t)v_ml(x,y),

(51)

m=1

n=1

nk-1+1

n=n_k+1

m=1

где в последней сумме l принимает значения n₁, n₂, . . . , n_k,

{

C_mle-λml^t,

t ≥ 0,

u_ml(t) =

C_ml(cos(λ_mlt) - λ_ml sin(λ_mlt)),

t ≤ 0,

C_ml - произвольные постоянные, при этом если в конечных суммах в правой части (51) верхний

предел меньше нижнего, то эти постоянные следует считать нулями.

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 2. Пусть постоянные α, μ, p и q удовлетворяют условиям леммы 1 и p = q,

а функция ψ(x, y) удовлетворяет условиям леммы 3. Тогда если δ_mn(α) = 0 при n = 1, n₀ и

m = 1,m₀, то существует единственное решение задачи (2)-(6) и оно определяется рядом

(18); если δ_mn(α) = 0 при некоторых n = n₁, n₂, . . . , nk ≤ n0, то задача (2)-(6) разре-

шима только тогда, когда выполнены условия (50) и решение в этом случае определяется

рядом (51).

3. Устойчивость решения относительно граничных условий. Рассмотрим следую-

щие нормы:

(∫∫

)1/2

∥u(x, y, t)∥L2 (D) =

u²(x,y,t)dxdy

∥u(x, y, t)∥C(Q) = max

|u(x, y, t)|,

(x,y,t)∈Q

(∫∫

)1/2

∑∂(i+j)f(x,y)



∥f(x, y)∥_W l

(D)



∂xⁱ∂y^j

D i,j=0



∑

_∂(i+j)f(x,y)



max

l ≥ 1.

∥f(x, y)∥Cl(D)⁼



^,

(x,y)∈D

∂xⁱ∂y^j

i,j=0

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для решения (18) задачи (2)-(6)

справедливы оценки

(52)

∥u(x, y, t)∥L2 (D) ≤ C13∥ψ(x, y)∥W¹²(D)^и

∥u(x, y, t)∥C(Q) ≤ C₁₄∥ψ(x, y)∥C3 (D)^.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА

1079

Доказательство. Так как система функций (18) ортонормирована в пространстве L₂(D),

то из формулы (18) на основании первой оценки в (45) имеем

∑

∥u(x, y, t)∥2L

u2mn(t) =

u2mn(t) +

u2mn(t) ≤

(D)

m,n=1

n≥m

m>n

∑

≤ 2C²⁶

n²ψ2mn + 2C²

m²ψ2mn.

(53)

n≥m

m>n

Вследствие представлений

ψ_mn =

ψ(0,1)mn =

ψ(1,0)mn,

nπ

mπ

где

∫∫

mπx

nπy

ψ(0,1)mn =

ϕy(x, y) sin

cos

dx dy,

√pq

∫∫

mπx

nπy

ψ(1,0)mn =

ϕx(x, y) cos

sin

dx dy,

√pq

из неравенства (53) вытекает, что

)₂ ∑

⁽C₆q

⁽C₆q)2 ∑

∥u(x, y, t)∥2L

≤2

|ψ(0,1)mn|² + 2

|ψ(1,0)mn|² ≤

2 (D)

n≥m

m>n

[

]

∑

≤C²¹³

|ψ(0,1)mn|² +

|ψ(1,0)mn|2

≤ C²¹³∥ψ(x,y)∥2W1

(D)

m,n=1

Отсюда следует справедливость первой оценки в (52).

Пусть (x, y, t) - произвольная точка из Q. Тогда в силу формулы (18) на основании первой

оценки в (45) имеем

∑

|u(x, y, t)| ≤

|u_mn(t)| ≤ C₆

n|ψ_mn| + C₆

m|ψ_mn|.

(54)

m,n=1

n≥m

m>n

Далее воспользуемся равенствами

(

)₂

(

)₂

ψ_mn = -

ψ(2,1)mn = -

ψ(1,2)mn,

nπ mπ

mπ nπ

здесь

∫∫

mπx

nπy

ψ(2,1)mn =

ϕxxy(x, y) sin

cos

dx dy,

√pq

∫∫

mπx

nπy

ψ(1,2)mn =

ϕxyy(x, y) cos

sin

dx dy.

√pq

Тогда, продолжая оценку (54), имеем

⁽q)2p ∑

⁽p)2 ∑

|u(x, y, t)| ≤ C₆

|ψ(1,2)|+C6

|ψ(2,1)mn|.

π π

n≥m

m>n

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1080

САБИТОВ, СИДОРОВ

Отсюда в силу неравенства Буняковского получаем

∑

|u(x, y, t)|

C₆

(|ψ(1,2)mn| + |ψ(2,1)mn|) ≤

m,n=1

(

)₂)1/2[(

)1/2

)1/2]

∑

≤

C₆

|ψ(1,2)mn|2

|ψ(2,1)mn|2

≤

m,n=1

≤C6∥ψ(x,y)∥W3

(D)

≤ C₁₄∥ψ(x,y)∥C3(D)^,

где

C₆ и

C₆ - положительные постоянные, зависящие только от p, q и α. Из последнего

неравенства уже непосредственно следует вторая оценка в (52).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

следований (проект 19-31-60016.)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нахушев А.М., Бжихталов Х.Г. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа // Докл.

АН СССР. 1968. Т. 183. № 2. С. 261-264.

2. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамаджанов А. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболиче-

ского типа. Ташкент, 1986.

3. Капустин Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся

гиперболической частью I. // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 1. С. 72-78.

4. Капустин Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся

гиперболической частью. II. // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 8. С. 1379-1386.

5. Сабитов К.Б. К теории уравнений параболо-гиперболического типа со спектральным параметром

// Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 1. С. 117-126.

6. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. Об оценке решения одной задачи для параболо-гиперболического

уравнения с помощью рядов Фурье // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 5. С. 656-662.

7. Сабитов К.Б., Рахманова Л.Х. Начально-граничная задача для уравнения смешанного парабо-

ло-гиперболического типа в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 9.

С. 1175-1181.

8. Сабитов К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в пря-

моугольной области // Мат. заметки. 2009. Т. 86. Вып. 2. С. 273-279.

9. Сабитов К.Б. Прямые и обратные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического

типа. М., 2016.

10. Сабитов К.Б. Начально-краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямо-

угольном параллелепипеде // Всерос. науч. семинар “Неклассические уравнения математической

физики”, посвящ. 65-летию проф. В.Н. Врагова. Якутск, 2010. С. 79-81.

11. Ладыженская О.А., Ступялис Л. Об уравнениях смешанного типа // Вестн. Ленинградск. гос.

ун-та. Сер. Математика, механика и астрономия. 1965. Т. 19. № 4. С. 38-46.

12. Хинчин А.Я. Цепные дроби. М., 1978.

13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. М., 2003.

14. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т. 2. М., 1987.

Стерлитамакский филиал

Поступила в редакцию 31.12.2019 г.

Башкирского государственного университета,

После доработки 07.04.2021 г.

Стерлитамакский филиал Института стратегических

Принята к публикации 08.06.2021 г.

исследований Республики Башкортостан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021