ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1081-1090

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.958:[536.2+539.219.3]

ОБОБЩЁННАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ

МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА

В ОБЛАСТЯХ С ТОНКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Изучается система дифференциальных уравнений в частных производных первого поряд-

ка, коэффициенты которой являются обобщёнными функциями, описывающая процесс

тепло- и массопереноса в областях с тонкими включениями. Доказано, что оператор зада-

чи является непрерывным и инъективным, а также установлена теорема о существовании

и единственности обобщённого решения.

DOI: 10.31857/S0374064121080094

Введение. При построении математических моделей процессов тепло- и/или массоперено-

са в неоднородных средах зачастую возникает необходимость учитывать инородные включе-

ния, входящие в рассматриваемую область. Такие включения, расположенные внутри области

или на её границе, могут представлять собой тонкие слои краски, оксиды, огнеупорные по-

крытия, газовые зазоры, разнообразные плёнки и мембраны, разломы и трещины и т.п. При

моделировании указанных процессов размером включений, как правило, пренебрегают. Вместо

них накладывают так называемые условия сопряжения, учитывающие физические свойства

прослойки таким образом, чтобы полученная математическая модель адекватно описывала

физический процесс. В результате получают некоторую краевую задачу, обычно в некоторой

неодносвязной области. Именно в такой постановке традиционно изучается задача переноса в

неоднородных средах, и для неё получены достаточно обширные результаты (см., например,

работы [1-12] и представленную в них библиографию). Например, в работах [5-8] разработан

метод свёртывания разложений Фурье, позволяющий по известным решениям классических

краевых задач строить решения краевых задач с условиями сопряжения.

Для моделирования процессов тепло- и массопереноса в областях с инородными включени-

ями В.Ф. Демченко предложил альтернативный подход [13; 14, гл. II]. Вместо одного уравнения

второго порядка, описывающего динамику процесса, рассматривают систему дифференциаль-

ных уравнений первого порядка в естественных переменных. В роли “новых” переменных вы-

ступают компоненты вектора потока переносимой субстанции. При этом удалённую прослойку

(разрез) возвращают в область протекания процесса, а влияние включений, выраженных усло-

виями сопряжения, учитывают при помощи коэффициентов уравнений [13-18].

Такой подход имеет ряд преимуществ перед традиционным. Например, полученные урав-

нения системы имеют простую физическую интерпретацию: они отражают основные физиче-

ские законы, описывающие исследуемый процесс. Одно из уравнений (скалярное) выражает

закон движения субстанции, второе (векторное) - феноменологический закон её переноса по

тому или иному механизму. Наличие нескольких уравнений системы даёт больше свободы

для проверки необходимых свойств исследуемых операторов по сравнению с традиционной

постановкой. Этот подход, по своей сути, подобен так называемому смешанному методу ко-

нечных элементов [19]. Кроме того, при таком способе моделирования область протекания

процесса становится односвязной, что часто является существенным преимуществом на этапе

численного расчёта модели. Характерной негативной особенностью этого подхода является на-

личие обобщённых функций в коэффициентах уравнений. В статье [20], основываясь на идее

В.Ф. Демченко, построена математическая модель процессов переноса для параболических

систем с различными условиями сопряжения, в частности идеального контакта, неидеального

контакта, сосредоточенного собственного источника, а также исследована связь полученной

модели с классической и слабой постановками задачи.

1081

1082

ТЫМЧИШИН, НОМИРОВСКИЙ

Целью данной работы является исследование свойств (непрерывности и инъективности)

построенного в работе [20] оператора, а также доказательство теоремы о существовании и

единственности решения. Эти утверждения обобщают результаты статьи [16].

1. Основные множества, пространства и обозначения. Пусть Ω ⊂ R^m - ограничен-

ная односвязная область с регулярной границей ∂Ω, разбитая достаточно гладкой гиперпо-

верхностью Ω₀ на две односвязные области Ω₊ и Ω_- с регулярными границами. Таким обра-

зом, множество Ω можно представить в виде дизъюнктного объединения Ω = Ω₊

^⋃Ω₀⋃Ω_-,

где Ω₀ = Ω₊

^⋂Ω_-, а Ω₊, Ω_- и Ω₀ - замыкания в R^m соответственно множеств Ω₊, Ω_-

и Ω₀. Обозначим Q₊ = (0,T) × Ω₊, Q_- = (0,T) × Ω_-, Q₀ = (0,T) × Ω₀.

Через C^k(Q₊, Q_-), где k ∈ N

^⋃ {0}, будем обозначать множество функций u(t, ξ) ∈

∈ C^k(Q₊

^⋃Q_-), допускающих продолжение с сохранением гладкости из множеств Q₊ и Q_-

в Q₊ и Q_- соответственно. Аналогично определим множество функций C^k(Ω₊,Ω_-).

Пусть K = (k_ij ) - симметричная m × m-матрица, элементами которой являются функции

k_ij ∈ C²(Ω₊,Ω_-) и для которой выполняется неравенство

∑

k_ij(^ξ)λ_iλ_j ≥ C_K

λ2i, λ_i ∈ R,

ξ∈Ω₊⋃Ω_-,

i,j=1

i=1

где C_K > 0 - постоянная, не зависящая отξ.

Будем изучать параболические операторы L и L⁺ следующего вида:

∑

Lu = u_t + hu -

(k_ij uξj )ξi +

(v_iu)ξi ,

i,j=1

i=1

∑

L⁺q = -q_t + hq -

(k_ij qξj )ξi -

v_iqξi,

i,j=1

i=1

где ξ = (ξ₁, . . . , ξ_m), (t,ξ ) ∈ Q₊ ⋃ Q_-, h ∈ C⁰(Ω₊, Ω_-), h ≥ 0, v_i ∈ C¹(Ω₊, Ω_-). Обозначим

i-ю координату вектора K-1v черезki.

Считаем, что операторы L и L⁺ определены на множествах D(L) и D(L⁺) функций

класса C²(Q₊, Q_-), удовлетворяющих соответственно краевым условиям

u|t=0 = 0, u|_⃗

= 0,

(1)

ξ∈∂Ω

q|t=T = 0, q|_⃗

= 0.

(2)

ξ∈∂Ω

Пусть^D(L) и

^D(L⁺) - множества функций из ортогональных дополнений множеств ker L

и ker L⁺ до C²(Q₊, Q_-) относительно скалярного произведения пространства L₂(Q₊

^⋃Q_-),

удовлетворяющих соответственно условиям (1) и (2).

Определим следующие пространства: W - пополнение множества D(L), а H - множества

D(L⁺) соответственно по нормам

∫

∑

∥u∥2W =

u2t +

u2ξ

dQ,

∥q∥2H =

q² +

q² dQ._ξ

i=1

⋃

i=1

Q₊

^⋃Q_-

Q₊

Q_-

Кроме того, пусть

W и

H - пополнения соответственно множеств

^D(L) и

^D(L⁺) по

норме

∫

∑

∥u∥2¯W =

u2t +

u²

ξ_iξ

dQ.

⋃

i,j=1

Q₊

Q_-

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ОБОБЩЁННАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

1083

Для функции ϕ ∈ C⁰(Q₊, Q_-) введём следующие обозначения:

ϕ+(t,ξ0) = lim

ϕ(t,ξ), ϕ^-(t,ξ0) = lim

ϕ(t,ξ),

ξ→ξ0

ξ∈Ω₊

ξ∈Ω_-

[ϕ](t,ξ0) = ϕ⁺(t,ξ0) - ϕ^-(t,ξ0), (t,ξ0) ∈ Q₀.

Такие же обозначения будем использовать и для других функций, имеющих корректно опре-

делённые следы на Q₀.

Через Lm2(Q, Q±0) будем обозначать пополнение множества (C⁰(Q₊, Q_-))^m по норме

∫

∑

∥ω∥²

ω2i dQ +

((ω, n)⁺)² + ((ω, n)^-)² dQ₀.

Lm2(Q,Q±0)

i=1

Q₊

^⋃Q_-

Q₀

Здесь и далее через n обозначается вектор нормали к Ω₀, внешний по отношению к облас-

ти Ω_-.

Для изучения задачи в постановке В.Ф. Демченко определим следующие произведения:

X = W × Lm2 (Q,Q±0 ), Y = H × Lm2 (Q,Q±0 ),

X= W×Lm

(Q, Q±0),

Y =H × Lm2 (Q,Q±0 ).

Заметим, что имеют место вложения

X⊂ X,

Y ⊂Y.

Через W^∗ и H^∗ обозначим соответственно негативные пространства к W и H относи-

тельно пространства L₂(Q₊

^⋃Q_-). Аналогичным образом введём негативное пространство

(Lm2(Q, Q±0))^∗ относительно Lm2(Q, Q±0). Это означает, что сопряжённые пространства X^∗ и

Y ∗ равны W^∗ × (Lm2 (Q,Q±0 ))^∗ и H^∗ × (Lm2 (Q,Q±0 ))^∗ соответственно.

Значение функционала l, принадлежащего некоторому негативному пространству, напри-

мер H^∗, на элементе v из соответствующего позитивного пространства H будем обозна-

чать 〈l, v〉_H .

2. Оператор задачи. Рассмотрим параболическое уравнение Lu = f(t,ξ), описывающее

процесс переноса в областях Ω₊ и Ω_-, где (t,ξ ) ∈ Q₊ ⋃ Q_-. Представим его в виде системы

дифференциальных уравнений первого порядка

∂u

+ hu + div ω = f,

(3)

∂t

ω = -K gradu +vu,

(4)

где неизвестными переменными являются функция u и вектор потока ω.

Функция u удовлетворяет краевым условиям (1) и следующим условиям сопряжения

на Q₀:

[u] + a₁(ξ)(ω, n)⁺ + a₂(ξ)(ω, n)^- = f_a(t, ξ),

(5)

[(ω, n)] + b₁(ξ)u⁺ + b₂(ξ)u^- = f_b(t, ξ),

(6)

где (t, ξ) ∈ Q₀, a_i, b_i ∈ C(Ω₀). Такие условия обобщают многие классические однородные и

неоднородные условия сопряжения, отвечающие различным механизмам переноса через од-

нослойное или многослойное включения, например, идеального контакта ([u] = 0, [(ω, n)] =

= 0), неидеального контакта ([u] + a(ω, n)^± = 0, [(ω, n)] = 0), неидеального контакта через

трёхслойное включение ([u] + a₁(ω, n)⁺ + a₂(ω, n)^- = 0, [(ω, n)] = fb), сосредоточенного соб-

ственного источника ([u] = 0, [(ω, n)] = αu^±), сосредоточенного внешнего источника ([u] =

= 0, [(ω, n)] = f_b) и т.п. Отметим, что условия сопряжения (5) и (6) описывают не все важные

случаи контактов сред. Например, в работе [5] рассматриваются условия сопряжения, содер-

жащие вторую производную по пространственной переменной.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1084

ТЫМЧИШИН, НОМИРОВСКИЙ

Следуя работе [20], рассмотрим задачу (3) и (4) с условиями (1), (5) и (6) в обобщённой

постановке

Lx = F, L : X → Y^∗,

где x = (u, ω) ∈ X, F = (F₁

F₂) ∈ Y^∗. Сам оператор L задаётся символической матрицей

[

]

N Div

(7)

Grad M

где N : W → H^∗, Div : Lm2(Q, Q±0) → H^∗, Grad : W → (Lm2(Q, Q±0))^∗, M : Lm2(Q, Q±0) →

→ (Lm2 (Q, Q±0 ))^∗ - линейные операторы, которые для функций u ∈ D(L), ω ∈ (C⁰(Q₊, Q_-))^m,

q ∈ D(L⁺),

η ∈ (C⁰(Q₊,Q_-))^m и некоторых p_i,s_i ∈ C(Q₀) действуют следующим образом:

∫

〈N u, q〉_H =

u_tq + huq dQ + (b₁u⁺ + b₂u^-)(p₁q⁺ + p₂q^-)dQ₀,

⋃

Q₊

Q_-

Q₀

∫

∑

〈Div ω, q〉_H = -

ω_iqξi dQ +

[(ω, n)](p₁q⁺ + p₂q^-) - (ω, n)⁺q⁺ + (ω, n)^-q^- dQ₀,

i=1

Q₊

^⋃Q_-

Q₀

∫

∑

〈Grad u, η〉_Lm

u_ξ

η_i -kiuη_i dQ +

[u](s₁(η, n)⁺ + s₂(η, n)^-) dQ₀,

(Q,Q±0) =

i=1

⋃

Q₊

Q_-

Q₀

∫

∑

−1

〈Mω, η〉_Lm

ω_jη_i dQ +

(Q,Q±0) =

i,j=1

⋃

Q₊

Q_-

∫

+ (a₁(ω, n)⁺ + a₂(ω, n)^-)(s₁(η, n)⁺ + s₂(η, n)^-) dQ₀.

Q₀

Из определений операторов матрицы (7) следует, что в рассматриваемой постановке ко-

эффициенты дифференциальных уравнений являются суммами регулярных функций, опре-

делённых в областях Q₊ и Q_-, и обобщённых дельта-функций Дирака, сосредоточенных

на одной или на другой стороне гиперповерхности Q₀. Регулярная часть коэффициентов по-

рождается коэффициентами уравнений (3) и (4), а сингулярная - коэффициентами условий

сопряжения (5) и (6).

Применяя неравенство Гёльдера, несложно показать непрерывность операторов матри-

цы (7).

Лемма 1. Линейные операторы N : W → H^∗ и Grad : W → (Lm2(Q, Q±0))^∗ непрерывны

на D(L).

Лемма 2. Линейные операторы Div : Lm2(Q, Q±0) → H^∗ и M : Lm2(Q, Q±0) → (Lm2(Q, Q±0))^∗

непрерывны на (C⁰(Q₊,Q_-))^m.

Продолжим операторы N и Grad по непрерывности на всё пространство W, сохраняя

для них прежнее обозначение. Аналогично поступим и с операторами Div и M - продолжим

их по непрерывности на всё пространство Lm2(Q, Q±0). Таким образом, можно считать, что

оператор L : X → Y^∗ определён на всём пространстве X и является непрерывным на X.

Введём линейный и непрерывный оператор L⁺ : Y → X^∗ таким образом, чтобы для всех

x ∈ X и y ∈ Y выполнялось равенство 〈Lx,y〉_Y = 〈L⁺y,x〉_X. Определим также сужение

оператора L на множество

X и сужение

L⁺ оператора L⁺ на множеств

Y . Отметим, что

операторы

L:X →Y^∗ и

L⁺

Y → X^∗ непрерывны.

3. Инъективность оператора. Для произвольных векторов (вектор-функций) u и v

через 〈u, v〉 будем обозначать их скалярное произведение. Кроме того, будем использовать

обозначение ∇q = (qξi )i=1,m для вектора производных функции q.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ОБОБЩЁННАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

1085

Положим

∫

I_x(y) =

u_tq + huq - 〈ω,∇q〉 + 〈∇u,η〉 - 〈K-1vu,η〉 + 〈K-1ω,η〉dQ.

⋃

Q₊

Q_-

В зависимости от контекста линейный оператор I будем рассматривать как действующий

в парах пространств I : X → Y ^∗ или в парах пространств I :X → Y ^∗. Заметим, что в обоих

случаях он является ограниченным и всюду определённым.

Далее будем использовать следующее обозначение: ζ(u, ω) = ∇u - K-1vu + K-1ω.

Лемма 3. Для произвольной постоянной C > 0 и для всех x = (u, ω) ∈ X таких, что

ζ(x) - ненулевой элемент в Lm2(Q, Q±0), существует y = (q, η ) ∈ Y , при котором выполня-

ется неравенство

I_x(y) ≥ C∥u∥2L

2(Q+

^⋃Q_-)^.

Лемму 3 легко доказать, положив q ≡ 0,

η = C_xζ(x)ρ, где ρ : Q₊

^⋃Q_- → R - расстояние

до Q₀, а C_x > 0 - достаточно большая постоянная, зависящая от x ∈ X. Несложно убедиться,

что введённый таким образом элемент y = (q, η ) принадлежит пространству Y. Аналогичное

утверждение справедливо и для случая, когда x = (u, ω) ∈X, y = (q, η ) ∈ Y .

Лемма 4. Для произвольной постоянной C > 0 и для всех x = (u, ω) ∈X таких, что

ζ(x) - нулевой элемент в Lm2(Q, Q±0), существует y = (q, η ) ∈ Y , при котором выполняется

неравенство

I_x(y) ≥ C∥u∥2L

(8)

2(Q+

^⋃Q_-)^.

Доказательство. Имеет место равенство

∫

∑

I_x(y) =

u_tq + huq - v_iuqξi +

k_ijuξj qξi dQ.

(9)

⋃

i=1

i,j=1

Q₊

Q_-

∑_m

Обозначим

k_ijuξj через k_i, а вектор, элементами которого являются k_i, - черезk.

j=1

Тогда равенство (9) можно записать следующим образом:

∫

∑

I_x(y) =

u_tq + huq +

((v_iu)ξi - (k_i)ξi )q dQ +

[(vuq, n)] - [(kq, n)] dQ₀.

(10)

i=1

Q₊

^⋃Q_-

Q₀

Рассмотрим случай, когда Lu - ненулевой элемент в L₂(Q₊

^⋃Q_-). Положим q₀ = C_xLu ∈

∈ L₂(Q₊

^⋃Q_-), где C_x - некоторая положительная постоянная. Тогда существует такое

q_ε

∈ C⁰(Q₊,Q_-), что q+ε = q^-ε = 0 и ∥q₀ - q_ε∥L2(Q₊⋃ Q_-) < ε, где ε > 0. Выберем qεδ ∈

∈ C²(Q₊,Q_-) таким, чтобы выполнялось неравенство ∥q_εδ - q_ε∥_C < δ, где ∥·∥_C - равномер-

ная норма. Заменив в равенстве (10) y на (q_εδ,0 ) ∈ Y, получим

I_x(y) = C_x∥Lu∥2L

2(Q+

^⋃Q_-)+O(ε,δ),

где O(ε, δ) - такая функция, что O(ε, δ) → 0 при ε, δ → 0. Таким образом, выбирая доста-

точно большое C_x, а потом достаточно малые ε и δ, получим сколь угодно большое I_x(y).

Следовательно, существует такая функция q, что выполняется неравенство (8).

Если Lu - нулевой элемент в L₂(Q₊

^⋃Q_-), то u ≡ 0. Это следует из определения про-

странств

W и

^D(L). В этом случае, разумеется, неравенство (8) также остаётся верным.

Из лемм 3 и 4 вытекает справедливость следующих двух утверждений.

Лемма 5. Существует такая постоянная C > 0, что для каждого x = (u, ω) ∈

найдётся y ∈ Y, при котором справедливо неравенство I_x(y) ≥ C∥u∥2L2(Q₊ ⋃ Q_-)^.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

6^∗

1086

ТЫМЧИШИН, НОМИРОВСКИЙ

Лемма 6. Если v ≡ 0, то для произвольной постоянной C > 0 и для всех x = (u, ω) ∈ X

таких, что ζ(x) ≡ 0, существует y = (q, η ) ∈ Y , при котором выполняется неравенство

I_x(y) ≥ C∥u∥2L

2(Q+

^⋃Q_-)^.

∫t

Последнюю лемму легко доказать, положив η = 0, q = -C

u(τ,ξ)dτ и оценив каждое

из слагаемых, входящих в I_x(y), по отдельности.

Из лемм 3 и 6 следует

Лемма 7. Если v ≡ 0, то существует постоянная C > 0 такая, что для каждого x =

= (u, ω)∈X найдётся y ∈Y, при котором имеет место неравенство I_x(y) ≥ C∥u∥2L2(Q₊ ⋃ Q_-)^.

Теорема 1. Пусть

A :

X → Y^∗ - такой оператор, что для всех x = (u,ω) ∈

X и

y = (q,η ) ∈ Y выполняется равенство

Ax,y〉_Y = I_x(y) + ϕ(x,y),

(11)

где ϕ :

X× Y → R - непрерывная функция, для которой при всех x = (u, ω) ∈

X и y =

= (q, η ) ∈ Y, q^- = q⁺ = 0,

η^- = η⁺ =0, верно равенство ϕ(x,y) = 0. Тогда существует

такая постоянная C > 0, что для любого x = (u, ω) ∈

X найдётся y = (q,η ) ∈ Y, при

котором имеет место неравенство

Ax, y〉_Y ≥ C∥u∥2L

(12)

2(Q+

^⋃Q_-)^.

Доказательство. Пусть ε > 0 - некоторое достаточно малое число. Определим множество

Qε0 = {(t,ξ) ∈ Q₊ ⋃ Q_- : ρ(ξ,Ω₀) < ε},

где ρ(ξ, Ω₀) - расстояние от точки^ξ до поверхности Ω₀ в R^m.

Зафиксируем x ∈X и выберем для него y₀ = (q₀, η₀) ∈ Y, чтобы выполнялось неравенство

I_x(y)|y=y0 ≥ C∥u∥2L

(13)

2(Q+

^⋃Q_-)^,

где C > 0 - некоторая постоянная, не зависящая от x и y. Согласно лемме 5 такая постоянная

существует. Из неравенства (13) следует, что

Ax,y₀〉_Y ≥ C∥u∥2L

2(Q+

^⋃Q_-)+ϕ(x,y0).

Возьмём функцию q₁ ∈D(L⁺) такую, чтобы для неё выполнялось неравенство

Ax, y₁〉_Y ≥ C∥u∥2L

2(Q+

^⋃Q_-)+ϕ(x,y0)+O(∥q0^-q1^∥ W),

где y₁ = (q₁, η₀). Заметим, что вследствие плотности множества

^D(L⁺) в

H значение вели-

чины O(∥q₀ - q₁∥ W ) можно сделать сколь угодно малым.

Положим

{

q_ε(t,ξ) =ε-1q¹(t,ξ)ρ(ξ,Ω0),если(t,ξ)∈Q0,

q₁(t,ξ),

если (t,ξ ) ∈ Qε0,

{

ηε(t,ξ ) =ε-1η⁰(t,ξ)ρ(ξ,Ω0),если(t,ξ)∈Q0,

(14)

η₀(t,ξ),

если (t,ξ) ∈ Qε0.

Функция q_ε является непрерывной, но не обязательно дважды непрерывно дифферен-

цируемой. Для корректности выкладок найдём такую функцию q_εδ ∈ C²(Q₊, Q_-), чтобы

выполнялось неравенство ∥q_ε - q_εδ∥_C < ε_δ, где ∥·∥_C - равномерная норма на C⁰(Q₊, Q_-).

Таким образом, y_ε = (q_εδ, η_ε), очевидно, принадлежит пространству Y.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ОБОБЩЁННАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

1087

Из условий теоремы следует, что функция ϕ является непрерывной на

X× Y, причём

ϕ ≡ 0, когда q^- = q⁺ = 0,

η^- = η⁺ = 0. Поэтому можно выбрать такое ε_δ > 0, что

ϕ(x, y_εδ) ≥ -

∥u∥2L

(15)

2(Q+

^⋃Q_-)^.

Нетрудно показать, что имеет место равенство I_x(y_ε) = I_x(y₀) + O(ε_δ + ε + ∥q₀ - q₁∥ W ).

Из неравенства (13) вытекает существование таких ε_δ > 0, ε > 0 и q₁ ∈D(L⁺), что

I_x(y_ε) ≥

∥u∥2L

(16)

2(Q+

^⋃Q_-),O(εδ+ε)≥-

2(Q+

^⋃Q_-)^.

В силу неравенств (15) и (16) и равенства (11) получаем

Ax,y〉_Y |y=yε ≥

∥u∥2L

2(Q+

^⋃Q_-)^.

Таким образом, найдётся такая постоянная C > 0, что для произвольного x ∈X суще-

ствует y ∈ Y , при котором верно неравенство (12). Теорема доказана.

Следствие 1. Существует такая постоянная C > 0, что для всех x = (u, ω) ∈

найдётся y = (q, η ) ∈ Y, при котором справедливо неравенство

Lx,y〉_Y ≥ C∥u∥2L

2(Q+

^⋃Q_-)^.

Аналогичное утверждение имеет место и для сопряжённого оператора

L⁺.

Доказательство следующей теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Теорема 2. Пусть A : X → Y^∗ - такой оператор, что для всех x = (u, ω) ∈ X и

y = (q,η ) ∈ Y выполняется равенство

∫

〈Ax, y〉_Y =

u_tq + huq - 〈ω,∇q〉 + 〈∇u,η〉 + 〈K-1ω,η〉dQ + ϕ(x,y),

(17)

⋃

Q₊

Q_-

где ϕ : X × Y → R - непрерывная функция, для которой при всех x = (u, ω) ∈ X и y =

= (q, η ) ∈ Y, q^- = q⁺ = 0,

η^- = η⁺ = 0, верно равенство ϕ(x,y) = 0. Тогда существует

такая постоянная C > 0, что для любого x = (u, ω) ∈ X найдётся y = (q, η ) ∈ Y, при

котором имеет место неравенство

〈Ax, y〉_Y ≥ C∥u∥2L

2(Q+

^⋃Q_-)^.

Следствие 2. Пусть v ≡ 0, тогда существует постоянная C > 0 такая, что для всех

x = (u,ω) ∈ X существует y = (q,η ) ∈ Y, при котором

〈Lx, y〉_Y ≥ C∥u∥2L

2(Q+

^⋃Q_-)^.

Аналогичное утверждение выполняется и для сопряжённого оператора L⁺.

Теорема 3. Оператор

A :X → Y ^∗, заданный равенством (11), инъективен.

Доказательство. Пусть x = (u, ω) ∈ ke

A. Из теоремы 1 следует существование такого

y ∈ Y , что

Ax,y〉_Y ≥ C∥u∥2L

2(Q+

^⋃Q_-)^.

Отсюда сразу получаем, что u = 0 в L₂(Q₊

^⋃Q_-), а следовательно, и в

W. Поэтому

x = (0,ω). Таким образом, имеет место равенство

∫



Ax, y〉_Y =

-〈ω, ∇q〉 + 〈K-1ω, η〉 dQ + ϕ(x, y)

(18)

u=0

⋃

Q₊

Q_-

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1088

ТЫМЧИШИН, НОМИРОВСКИЙ

Пусть η₀ = Kω. Рассмотрим функцию η^∗, определённую соотношением (14). Заменив в ра-

венстве (18) y на (0, η^∗), получим

∫



Ax,y〉_Y



〈ω, ω〉 dQ + O(ε).

y=(0,η^∗)

⋃

Q₊

Q_-

Поскольку

Ax,y〉_Y = 0, заключаем, что ω =0. Отсюда x = 0.

Таким образом, оператор

A :X → Y ^∗ является инъективным.

Следствие 3. Оператор

L :X → Y ^∗ инъективен.

Рассуждая аналогично, можно доказать инъективность оператора

L⁺

Y → X^∗, а также

справедливость следующей теоремы и следствия из неё.

Теорема 4. Оператор A : X → Y^∗, заданный равенством (17), инъективен.

Следствие 4. Пусть v ≡ 0, тогда операторы L : X → Y^∗ и L⁺ : Y → X^∗ инъективны.

4. Свойства параболической модели в областях с тонкими включениями. Рас-

смотрим следующие множества:

D1t = {u ∈ C¹(Q₊,Q_-) : u|t=0 = 0,

[u] = 0},

D1ξ = {u ∈ C¹(Q₊,Q_-) : u|_⃗

= 0,

[u] = 0}.

ξ∈∂Ω

Пусть W₁ и H₁ - пополнения множеств D1t

^⋂D1ξ и D1ξ по нормам ∥·∥_W и ∥·∥_H соот-

ветственно. Заметим, что W₁ ⊂ W и H₁ ⊂ H.

Кроме того, пусть X₁ = W₁ × Lm2(Q, Q±0) и Y₁ = H₁ × Lm2(Q, Q±0). Введём негативные

относительно L₂(Q₊

^⋃Q_-) пространства X∗1 и Y∗1.

При условии v ≡ 0 рассмотрим сужение L₁ : X₁ → Y∗1 оператора L на X₁, а также суже-

ние L⁺¹ : Y₁ → X∗1 оператора L⁺¹ на Y₁. Понятно, что доказанные свойства непрерывности и

инъективности операторов L и L⁺ переносятся и на операторы L₁ и L⁺¹.

Теорема 5. Если выполняются условия

p₁(t,ξ) + p₂(t,ξ) ≡ B_p(^ξ), B_p(b₁ + b₂) ≥ 0,

(19)

где B_p - не зависящая от t функция, то существует такая постоянная C > 0, что при

всех y ∈ Y₁ выполняется неравенство ∥L⁺¹y∥_X∗

≥ C∥q∥L2(Q+ ⋃Q_-).

Доказательство. Зафиксируем произвольный элемент y = (q, η ), где q ∈ D1ξ,

η ∈

∈ (C¹(Q₊, Q_-))^m.

Пусть ε > 0. Рассмотрим множество Qε0 = {(t,ξ ) ∈ Q₊ ⋃ Q_- : ρ(ξ, Ω₀) < ε}. Положим

x = (u,ω) ∈ X₁, где

{

∫t

-K∇uρ(ξ,Ω₀), если (t,ξ) ∈ Qε0,

q(τ,ξ)dτ,

ω=

-K∇u,

если (t,ξ ) ∈ Qε0.

В силу равенств v ≡ 0, [u] ≡ 0 и [q] ≡ 0 имеем

∫

〈L⁺¹y, x〉X1 =

u_tq + huq - 〈ω,∇q〉 + 〈∇u,η〉 + 〈K-1ω,η〉dQ +

⋃

Q₊

Q_-

∫

+ (b₁ + b₂)(p₁ + p₂)u₊q₊ dQ₀.

Q₀

Отсюда при достаточно малом ε вытекает оценка

〈L⁺¹y, x〉_X∗×X1 ≥ C∥y∥1,

(20)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ОБОБЩЁННАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

1089

в которой ∥y∥₁ - полунорма элемента y, заданная равенством

∫

(∫t

)₂

∑

∥y∥²¹ = ∥q∥2L

2(Q+

^⋃Q_-)⁺

ξ_i (τ,ξ)dτ dΩ.

i=1

⋃

Ω₊

Ω_-

Покажем, что существует такая постоянная C > 0, при которой верно неравенство ∥x∥²

≤

X₁

≤ C∥y∥²¹. Действительно,

∑

∥x∥2X

= ∥u_t∥2L

∥uξi ∥2L

≤

2(Q+

^⋃Q_-)⁺

2(Q+

^⋃Q_-)+∥ω∥Lm(Q,Q±0)

i=1

(

)

∑

⋃

≤ C ∥u_t∥2L

∥uξi ∥2L

≤

2(Q+

^⋃Q_-)

2(Q+

Q_-)

i=1

(

∫

(∫t

)₂

)

∑

≤ C ∥q∥2L

qξi(τ,ξ)dτ dΩ

= C∥y∥²¹.

2(Q+

^⋃Q_-)

i=1

⋃

Ω₊

Ω_-

Применяя неравенство Шварца к левой части оценки (20), получаем

∥L⁺¹y∥_X∗

∥x∥X1 ≥

≥ C∥y∥²¹, а значит,

∥L⁺¹y∥_X∗

≥ C∥y∥₁ ≥ C∥q∥L2(Q+ ⋃Q_-).

Теорема 6. Если выполняются условия (19), то для произвольной правой части F ∈

∈ S₁ = {(f,0 ) : f ∈ L₂(Q₊

^⋃Q_-)} существует единственный элемент x ∈ X₁, для которого

в пространстве Y∗1 выполняется равенство L₁x = F.

Доказательство. Опираясь на установленные выше свойства оператора L₁, теорему мож-

но доказать, используя общую связь между корректной разрешимостью сопряжённого опера-

тора и разрешимостью всюду прямого оператора [21, гл. III]. Таким методом доказаны теоремы

единственной разрешимости параболических уравнений с некоторыми условиями сопряжения,

например, в работах [3, 17].

Пусть F ∈ S₁. В силу теоремы 5 имеем

|〈F, y〉Y1 | = |(f, q)L2(Q₊ ⋃ Q_-)| ≤ ∥f∥L₂(Q₊ ⋃ Q_-)∥q∥L₂(Q₊ ⋃ Q_-) ≤ C∥L¹y∥X^∗ .₁

Поскольку оператор L⁺¹ инъективен, то на Im L⁺¹ ⊂ X∗1 можно определить линейный ограни-

ченный функционал l(w) = 〈F, y〉Y1 , w = L⁺¹y. По теореме Хана-Банаха расширим функци-

онал l на X∗1 с сохранением линейности и непрерывности. Тогда из теоремы Рисса-Шварца

следует существование такого элемента x ∈ X₁, при котором l(w) = 〈w, x〉X1 . Таким образом,

для всех y ∈ Y выполняется равенство

〈F, y〉Y1 = l(L⁺¹y) = 〈L⁺¹y, x〉X1 = 〈L₁x, y〉Y1 ,

откуда L₁x = F в Y∗1. Единственность решения следует из инъективности оператора L₁.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sanchez-Palencia E. Non-Homogeneous Media and Vibration Theory. New York, 1980.

2. Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Модели и методы решения задач с условиями со-

пряжения. Киев, 1998.

3. Семенов В.В. Разрешимость параболической задачи сопряжения с условием обобщенного собствен-

ного сосредоточенного источника // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 6. С. 836-843.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1090

ТЫМЧИШИН, НОМИРОВСКИЙ

4. Номировский Д.А. Приближенный метод решения краевой задачи для параболического уравнения

с неоднородными условиями сопряжения типа неидеального контакта // Журн. вычислит. матема-

тики и мат. физики. 2006. Т. 46. № 6. С. 1045-1057.

5. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекаю-

щимися линиями сопряжения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2007. T. 47. № 9.

C. 1550-1556.

6. Холодовский С.Е. Метод рядов Фурье для решения задач в кусочно-неоднородных средах с пря-

молинейной трещиной (завесой) // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2008. T. 48. № 7.

C. 1209-1213.

7. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения

типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 6.

С. 855-859.

8. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай трещины (завесы) в неоднород-

ном пространстве // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 8. С. 1204-1208.

9. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных систем. Ки-

ев, 2009.

10. Холодовский С.Е. О решении краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости с трехслойным

пленочным включением // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 12. С. 1697-1702.

11. Холодовский С.Е. О решении краевых задач для уравнения Лапласа в шаре, ограниченном много-

слойной плёнкой // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 7. С. 919-926.

12. Kholodovskii S.E. Solution of boundary value problems in cylinders with two-layer film inclusions // J.

of Math. Sci. 2018. V. 230. № 1. P. 55-59.

13. Ляшко И.И., Демченко В.Ф. Обобщенные формулировки задач тепло- и массопереноса в слоистых

средах. Киев, 1987. - (Препринт / АН УССР, Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова; 87-14).

14. Ляшко И.И., Демченко В.Ф., Демченко Л.И. Численное моделирование процессов тепломассопере-

носа. Киев, 1988.

15. Ляшко С.И., Номировский Д.А. Обобщенная разрешимость и оптимизация параболических систем

в областях с тонкими слабопроницаемыми включениями // Кибернетика и системный анализ. 2003.

№ 5. С. 131-142.

16. Номировский Д.А. Обобщенная разрешимость параболических систем с неоднородными условиями

сопряжения типа неидеального контакта // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 10. С. 1390-1399.

17. Nomirovskii D. Generalized solvability and optimization of a parabolic system with a discontinuous

solution // J. of Differ. Equat. 2007. V. 233. № 1. P. 1-21.

18. Demchenko V.F., Pavlyk V.O., Dilthey U. et al. Problems of heat, mass and charge transfer with

discontinuous solutions // European J. of Appl. Math. 2011. V. 22. № 4. P. 365-380.

19. Mercier B., Osborn J., Rappaz J., Raviart P-A. Eigenvalue approximation by mixed and hybrid methods

// Math. of Comput. 1981. V. 36. № 154. P. 427-453.

20. Номировский Д.А., Востриков А.И. Обобщенные постановки и свойства моделей процессов пере-

носа в областях с разрезами // Кибернетика и системный анализ. 2016. T. 52. № 6. С. 114-126.

21. Функциональный анализ. / Под. общ. ред. С.Г. Крейна. М., 1972.

Киевский национальный университет

Поступила в редакцию 04.07.2019 г.

им. Тараса Шевченко

После доработки 26.03.2021 г.

Принята к публикации 27.04.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021