ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1091-1097

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.6

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЕЗИНА

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА

Для уравнения u_xx + yu_yy + αu_y = 0 с параметром α ≤ -1/2, заданного в смешанной

области - прямоугольнике [0, 1]×[-β, γ], где β > 0 и γ > 0, исследуется задача А.А. Дези-

на, в которой на вертикальных сторонах прямоугольника задано условие периодичности,

на верхней стороне - значения искомой функции, на особой линии определены условия

склеивания и задано нелокальное условие, связывающее значения искомой функции на

особой линии со значениями нормальной производной этой функции на нижней стороне.

Решение задачи построено в виде ряда. Найдены достаточные условия на заданные функ-

ции и параметры β и γ, обеспечивающие существование решения. Установлен критерий

единственности.

DOI: 10.31857/S0374064121080100

1. Постановка задачи. В настоящее время много внимания уделяется исследованию раз-

решимости различных краевых задач для уравнений смешанного типа в прямоугольных обла-

стях (см., например, [1-9]). Основным методом их решения является некоторый аналог метода

Фурье, приспособленный к уравнениям смешанного типа. Такой подход к изучению указанных

задач предложен К.Б. Сабитовым в работе [1]. Автором в работах [10-13] этот подход распро-

странён на уравнения с сильным вырождением, а именно, были изучены задача Дирихле и

задача с условием периодичности.

В данной статье рассматривается нелокальная задача А.А. Дезина для уравнения

u_xx + yu_yy + αu_y = 0, α ≤ -1/2,

(1)

в смешанной области Ω = {(x, y) : 0 < x < 1,

-β < y < γ}, где β > 0 и γ > 0, при

этом существенно применяются результаты предыдущих работ автора. В частности, здесь

используются общая схема этих работ, а также некоторые утверждения, полученные в них,

или методы их доказательства.

Пусть m и n - натуральные числа, удовлетворяющие неравенствам 1 < 2α + m ≤ 2,

−1/2 < α + n = α₀ ≤ 1/2. Очевидно, что m = 2n + 2, если -1/2 < α₀ ≤ 0, и m = 2n + 1,

если 0 < α₀ ≤ 1/2. Обозначим Ω₁ = Ω

^⋂ {y > 0}, Ω₂ = Ω^⋂ {y < 0}.

Задача Дезина. В области Ω найти функцию u(x, y) со свойствами:

1◦) функция u(x, y) принадлежит классу C²(Ω₁

^⋃Ω₂) и удовлетворяет уравнению (1)

в Ω₁

^⋃Ω₂;

2◦) существуют пределы из областей ((x, y) ∈ Ω_i, i = 1, 2)

τ_i(x) = lim

u(x, y), ν_i(x) = lim

|y|^α(u(x, y) - A_α(x, y, τ_i))_y ,

y→0

где

[m/2]∑

τ(2s)i(x)(-1)^s

A_α(x,y,τ_i) =

y^s при α = -n,

(α)_ss!

s=1

∑

τ(2s)i(x)(-1)^s

τ(2n+2)i(x)

A_α(x,y,τ_i) =

y^s -

yn+1 ln |y| при α = -n,

(α)_ss!

n!(n + 1)!

s=1

1091

1092

ХАЙРУЛЛИН

здесь [·] - целая часть числа, (α)0 = 1, (α)s = α(α + 1) · · · (α + s - 1), и на особой линии

выполняются условия склеивания

τ₁(x) = τ₂(x),

0 ≤ x ≤ 1,

(2)

ν₁(x) = (-1)ⁿν₂(x),

0 < x < 1;

(3)

3◦) имеют место равенства

τ(s)(0) = τ(s)(1), s = 0,2[m/2] - 1,

(4)

где через τ(x) обозначены обе части равенства (2);

4◦) выполняется условие периодичности

u(0, y) = u(1, y), u_x(0, y) = u_x(1, y),

-β ≤ y ≤ γ;

(5)

5◦) функция u(x, y) удовлетворяет краевому

u(x, γ) = ϕ₁(x),

0 ≤ x ≤ 1,

(6)

и нелокальному

u_y(x,-β) - μu(x,0) = ϕ₂(x),

0 < x < 1,

(7)

условиям, где ϕ_i(x), i = 1, 2, - заданные функции, μ - заданный вещественный параметр.

Будем предполагать, что для заданных функций ϕ_i(x), i = 1, 2, справедливы следующие

условия.

Условие 1. Функция ϕ₁(x) принадлежит классу C²[0, 1]

^⋂C³(0,1) и выполняются равен-

ства

ϕ₁(0) = ϕ₁(1), ϕ′1(0) = ϕ′1(1), ϕ′′1(0) = ϕ′′1(1).

Условие 2. Функция ϕ₂(x) принадлежит классу C[m/2][0, 1]

⋂ C[m/2]+1(0,1) и выполня-

ются равенства

ϕ(s)2(0) = ϕ(s)2(1), s = 0, [m/2].

2. Построение частных решений. Сформулированная задача решается с помощью ана-

лога метода Фурье. Поэтому необходимы частные решения уравнения (1), имеющие вид

u(x, y) = X(x)Y(y)

и удовлетворяющие условиям (2)-(5).

Обозначим

√

X₀(x) = 1; X_k(x) = Xk,1(x) =

2sin(2πkx)

√

или X_k(x) = Xk,2(x) =

2 cos(2πkx) при k ∈ N.

Пусть λ_k = (2πk)², k ∈ N

^⋃ {0}. Тогда обозначим

∑

λ^skys+n+1

Yk,1(y) = |y|-α0

(8)

(2 - α)_ss!

s=0

∑

λ^sky^s

Yk,2(y) =

при α = -n,

(9)

(α)_ss!

s=0

∑

λ^sky^s

(-1)ⁿ

∑

λ^sky^s

Yk,2(y) =

(-n)_ss!

s!(s - n - 1)!

s=0

s=n+1

× [ln |y| - ψ(1 + s) - ψ(s - n)] при α = -n,

(10)

где ψ(z) - пси-функция.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЕЗИНА

1093

Имеет место доказанная в работе [13]

Теорема 1. Функции

u_k(x,y) = X_k(x)(c_kYk,1(y) + d_kYk,2(y)), k ∈ N

^⋃ {0},

где c_k и d_k - произвольные постоянные, представляют собой решения уравнения (1), удо-

влетворяющие условиям (2)-(5).

3. Теорема единственности. Пусть u(x,y) - решение задачи Дезина и y∈(-β,0)

^⋃ (0, γ).

Рассмотрим интегралы (k ∈ N)

∫1

∫

w₀(y) = u(x,y)dx, v_k(y) = u(x,y)Xk,1(x)dx, w_k(y) = u(x,y)Xk,2(x)dx.

(11)

По аналогии со статьёй [13] несложно показать, что функции (11) удовлетворяют урав-

нению

yY^′′ + αY^′ - λY = 0

при соответствующих значениях параметра λ, условиям склеивания

Y(0+) = Y(0-),

соотношению

(

)

(

)

∑

λ^sy^s

lim y^α Y(y) - Y(0)

= (-1)ⁿ lim (-y)^α Y(y) - Y(0)

y→0+

(α)_ss!_y

y→0-

(α)_ss!_y

s=1

при α = -n и соотношению

(

))

∑

λ^sy^s

(-1)ⁿλn+1

lim y^α Y(y) - Y(0)

yn+1 ln |y|

y→0+

(α)_ss!

n!(n + 1)!

s=1

(

))

∑

λ^sy^s

(-1)ⁿλn+1

= (-1)ⁿ lim (-y)^α Y(y) - Y(0)

yn+1 ln |y|

y→0-

(α)_ss!

n!(n + 1)!

s=1

при α = -n.

Поэтому эти функции можно представить следующим образом:

w₀(y) = c₀Y0,1(y) + d₀Y0,2(y),

(12)

v_k(y) = c1kYk,1(y) + d1kYk,2(y), w_k(y) = c2kYk,1(y) + d2kYk,2(y),

(13)

где c₀, d₀, c1k, d1k, c2k, d2k - некоторые числа.

Перейдём в интегралах (11) к пределу при y → γ, тогда с учётом условия (6) получим

∫¹

w₀(γ) = ϕ₁(x)dx = ϕ1,0,

(14)

∫¹

∫

v_k(γ) = ϕ₁(x)Xk,1(x)dx = ϕ11,k, w_k(γ) = ϕ₁(x)Xk,2(x)dx = ϕ21,k.

(15)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1094

ХАЙРУЛЛИН

Затем воспользуемся условием (7), из которого следует, что

∫1

w′0(-β) - μw₀(0) = ϕ₂(x)dx = ϕ2,0,

(16)

∫¹

v^′k(-β) - μv_k(0) = ϕ₂(x)Xk,1(x)dx = ϕ12,k,

(17)

∫1

w^′k(-β) - μw_k(0) = ϕ₂(x)Xk,2(x)dx = ϕ22,k.

(18)

Вследствие представлений (12), (13) с учётом равенств (14)-(18) получаем линейные ал-

гебраические системы относительно неизвестных коэффициентов c₀, d₀ и c^pk, d^pk (p = 1, 2,

k ∈ N). В силу того, что

Yk,1(0) = 0, Yk,2(0) = 1,

эти системы можно записать в следующем виде:

c₀Y0,1(γ) + d₀Y0,2(γ) = ϕ1,0, c₀Y′0,1(-β) + d₀(Y′0,2(-β) - μ) = ϕ2,0;

(19)

c^pkYk,1(γ) + d^pkYk,2(γ) = ϕp1,k, c^pkY′k,1(-β) + d^pk(Y′k,2(-β) - μ) = ϕp2,k.

(20)

Обозначим (k ∈ N

^⋃ {0})

Δ^jk(y₁,y₂) = Y(j)k,1(y₁)(Y′k,2(y₂) - μ) - Y(j)k,2(y₁)Y′k,1(y₂).

Однозначная разрешимость систем (19) и (20) зависит от их определителей Δ0k(γ, -β).

Выясним, могут ли эти определители обращаться в нуль. Сначала рассмотрим случай k = 0.

Из соотношений (8)-(10) при λ₀ = 0 получим Y0,1(y) = |y|1-α, Y0,2(y) = 1. Поэтому

Δ0k(γ,-β) = -μγ1-α + (1 - α)β^-α.

Эта величина обращается в нуль только при μ = (1 - α)β^-αγα-1.

Пусть k > 0. Используя свойства функции Бесселя (см., например, формулы (9.1.10),

(9.1.11), (9.1.30), (9.2.1), (9.2.2), (9.6.2), (9.6.10), (9.6.11), (9.6.28), (9.7.1), (9.7.2) в [14]), по-

лучаем, что при k → +∞ нули функции Δ0k(γ, -β) стремятся в случае чётных значений

n - к нулям функции sin(4πk√β - π/4), а в случае нечётных значений n к нулям функции

cos(4πk√β-π/4), т.е. при определённых соотношениях между β и k определитель Δ0k(γ,-β)

может обратиться в нуль.

Лемма 1. Если все Δ0k(γ, -β), k ∈ N

^⋃{0}, отличны от нуля, то задача Дезина не

может иметь более одного решения.

Лемма 2. Если для некоторого l ∈ N

^⋃{0} выполняется равенство Δ0l(γ, -β) = 0, то

однородная задача Дезина имеет нетривиальные решения

u(x, y) = (Yl,1(y)(Y′l,2(-β) - μ) - Yl,2(y)Y′l,1(-β)) sin(2πlx)

u(x, y) = (Yl,1(y)(Y′l,2(-β) - μ) - Yl,2(y)Y′l,1(-β)) cos(2πlx) при l > 0;

u(x, y) = (Y0,1(y)(Y′0,2(-β) - μ) - Y0,2(y)Y′0,1(-β)) при l = 0.

Из лемм 1 и 2 вытекает необходимое и достаточное условие единственности решения задачи

Дезина.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЕЗИНА

1095

Теорема 2. Для того чтобы задача Дезина имела не более одного решения необходимо и

достаточно, чтобы все определители Δ0k(γ,-β), k ∈ N

^⋃{0}, были отличны от нуля.

4. Существование решения. Приступим к доказательству существования решения сфор-

мулированной задачи. Через E обозначим множество таких k ∈ N

^⋃{0}, при которых выпол-

няется равенство

Δ0k(γ,-β) = 0.

Если 0 = k ∈ E, то для разрешимости систем (20) (p = 1, 2) необходимо и достаточно,

чтобы выполнялись равенства

Yk,1(γ)ϕp2,k - Y′k,1(-β)ϕp1,k = 0;

(21)

в этом случае решения систем (20) задаются формулой

- d^pkYk,2(γ)

1,k

c^pk =

Yk,1(γ)

где d^pk - произвольные числа. Соответствующие решения уравнения (1) примут вид

(

)

Δ0k(γ,y)

u^pk(x,y) = X^pk(x) ϕ^p Yk,1(y)1,k

+d^p

(22)

Yk,1(γ)

^k Yk,1(γ)

здесь и ниже

Δ^jk(y₁,y₂) = Y(j)k,1(y₁)Yk,2(y₂) - Y(j)k,2(y₁)Yk,1(y₂).

В представлении (22) учтён тот факт, что Yk,1(γ) = 0, который следует из определения (8).

Пусть 0 = k ∈ E. В этом случае системы (20) имеют единственные решения. Найдём их и

запишем решения уравнения (1):

(

)

u^pk(x,y) = X^pk(x) ϕ^p Δ^k(y,-β)1,k

+ϕ^p Δ^k(γ,y)

(23)

Δ0k(γ,-β)

2,k Δ0k(γ, -β)

В случае 0 ∈ E необходимое и достаточное условие разрешимости системы (19) имеет вид

Y0,1(γ)ϕ2,0 - Y′0,1(-β)ϕ1,0 = 0,

(24)

а решения уравнения (1) задаются формулой

Y0,1(y)

Δ⁰⁰(γ,y)

u₀(x,y) = ϕ1,0

+d₀

(25)

Y0,1(γ)

где d₀ - произвольная постоянная.

Если же 0 ∈ E, то уравнение (1) имеет единственное решение

Δ⁰⁰(y,-β)

Δ⁰⁰(γ,y)

u₀(x,y) = ϕ1,0

+ϕ2,0

(26)

Δ⁰⁰(γ,-β)

Теперь с учётом равенств (22), (23) и (25), (26) запишем формальное решение исходной

задачи в виде

∑

u(x, y) =

u_k(x,y),

(27)

k=0

где

(

)

∑

Δ0k(γ,y)

u_k(x,y) =

X^pk(x) ϕ^p Yk,1(y)1,k

+d^p

при

0=k∈E,

(28)

Yk,1(γ)

^k Yk,1(γ)

p=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1096

ХАЙРУЛЛИН

(

)

∑

Δ0k(γ,y)

u_k(x,y) =

X^pk(x) ϕ^p Δ^k(y,-β)1,k

+ϕ^p

при

0=k ∈E,

(29)

Δ0k(γ,-β)

2,k Δ0k(γ, -β)

p=1

Y0,1(y)

Δ⁰⁰(γ,y)

u₀(x,y) = ϕ1,0

+d₀

при

0∈E,

(30)

Y0,1(γ)

Δ⁰⁰(y,-β)

Δ⁰⁰(γ,y)

u₀(x,y) = ϕ1,0

+ϕ2,0

при

0 ∈E,

(31)

Δ⁰⁰(γ,-β)

где d1k, d2k, d₀ - произвольные постоянные.

При обосновании существования решения используются следующие утверждения.

Лемма 3. Для любого ε > 0 существуют такие постоянные l₁ и k₁, зависящие от ε,

что для всех y₁, y₂ ∈ [-β, -ε]

^⋃ [ε, γ] и k ≥ k₁ справедлива оценка (j = 0, 1, 2)

|Δ^jk(y₁, y₂)| ≤ l₁kj-1e4πk√γ.

Лемма 4. Для любого ε > 0 существуют такие постоянные l₂ и k₂, зависящие от ε,

что для всех y ∈ [-β, -ε]

^⋃ [ε, γ] и k ≥ k₂ справедлива оценка (j = 0, 1, 2)

|Δ^jk(y, -β)| ≤ l₂k^j e4πk

√γ.

Лемма 5. Если число 8√β является рациональным и в его представлении 8√β = p/q

в виде несократимой дроби (p, q ∈ N, (p, q) = 1) число q нечётно, то существуют такие

значения l₃ и k₃, что для всех k ≥ k₃ справедлива оценка

|Δ0k(γ, -β)| ≥ l₃e4πk

√γ.

Следствие. При условиях леммы 5 множество E не может быть бесконечным.

Лемма 6. Для всех y ∈ [-β, γ] справедливы оценки

|Δ^jk(y, γ)| ≤ l₄kj-1/2e4πk√γ,

где l₄ - постоянная, не зависящая от значения y.

Лемма 7. Для всех y ∈ [-β, γ] справедлива оценка

|Δ^jk(y, -β)| ≤ l₅kj+1/2e4πk√γ ,

где l₅ - постоянная, не зависящая от значения y.

Отметим, что лемма 7 в отличие от леммы 4 позволяет исследовать сходимость соответ-

ствующих рядов в окрестности особой линии.

Справедлива

Теорема 3. Если число 8√β является рациональным и в его представлении 8√β = p/q

в виде несократимой дроби (p, q ∈ N, (p, q) = 1) число q нечётно, а функции ϕ₁(x) и ϕ₂(x)

удовлетворяют условиям 1 и 2, то задача Дезина имеет решение и его можно записать

в виде ряда (27), где функции u_k(x, y) определяются формулами (28)-(31), а d₀, d1k, d2k -

произвольные постоянные, причём если E = ∅, то для всех k ∈ E дополнительно должны

выполняться условия разрешимости (21) или (24) соответственно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Докл.

РАН. 2007. Т. 413. № 1. С. 23-26.

2. Рахманова Л.Х. Решение нелокальной задачи спектральным методом для уравнения смешанного

параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // Изв. вузов. Математика. 2007. № 11.

С. 36-40.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЕЗИНА

1097

3. Егорова И.П. Задача с условием периодичности для уравнения смешанного типа с характеристи-

ческим вырождением // Вестн. Самарск. гос. ун-та. Естественно-науч. сер. 2009. № 8 (74). С. 15-27.

4. Сабитов К.Б., Сулейманова А.Х. Задача Дирихле для уравнения с характеристическим вырожде-

нием в прямоугольной области // Изв. вузов. Математика. 2009. № 11. С. 43-52.

5. Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче А.А. Дезина для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

// Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 8. С. 1199-1203.

6. Сафина Р.М. Задача Келдыша для уравнения смешанного типа второго рода с оператором Бесселя

// Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 10. С. 1354-1366.

7. Сабитов К.Б., Новикова В.А. Нелокальная задача А.А. Дезина для уравнения Лаврентьева-

Бицадзе // Изв. вузов. Математика. 2016. № 6. С. 61-72.

8. Гущина В.А. Критерий единственности решения задачи Дезина для уравнения смешанного типа со

степенным вырождением // Вестн. Самарск. ун-та. Естественно-науч. сер. 2016. № 3-4. С. 24-31.

9. Сабитов К.Б., Гущина В.А. Задача А.А. Дезина для неоднородного уравнения Лаврентьева-

Бицадзе // Изв. вузов. Математика. 2017. № 3. С. 37-50.

10. Хайруллин Р.С. К задаче Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода с сильным вы-

рождением // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 528-534.

11. Хайруллин Р.С. О существовании решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа второго

рода // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 5. С. 684-692.

12. Хайруллин Р.С. К задаче Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в исключительных

случаях // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 4. С. 565-568.

13. Хайруллин Р.С. Задача с условием периодичности для уравнения смешанного типа с сильным вы-

рождением // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 8. С. 1139-1151.

14. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М., 1979.

Казанский государственный

Поступила в редакцию 28.04.2019 г.

архитектурно-строительный университет

После доработки 05.05.2021 г.

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021