ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1098-1103
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.977.56:532.5
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО СТАРТОВОГО УПРАВЛЕНИЯ
ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ
© 2021 г. М. А. Артемов
Изучается задача оптимизации для линеаризованных эволюционных уравнений модели
Олдройда движения вязкоупругой среды. Уравнения заданы в трёхмерной ограниченной
области. В качестве управляющей функции используется распределение скоростей в на-
чальный момент времени. Функционал цели является финальным. Доказано существова-
ние единственного оптимального управления при заданном множестве допустимых управ-
лений. Выведено вариационное неравенство, характеризующее оптимальное управление.
DOI: 10.31857/S0374064121080112
Введение. В последние годы активно ведутся исследования систем уравнений, описываю-
щих нестационарные и установившиеся течения вязкоупругих сред олдройдовского типа (см.,
например, [1-4] и многочисленные ссылки, приведённые в этих работах). Модель Олдройда
относится к классу дифференциальных моделей неньютоновской гидродинамики и успешно
применяется при описании динамики растворов и расплавов полимеров, смазок, гелей, крови
и ряда других встречающихся на практике сред.
Как известно, во многих задачах гидродинамики особую роль играют оптимальные ре-
шения, т.е. решения, на которых достигается минимум/максимум целевого функционала при
заданных ограничениях на выбор управляющих параметров [5]. Большое внимание уделяется
поиску оптимальных решений в моделях неньютоновских сред, а также изучению управля-
емости соответствующих уравнений. В [6] установлено существование оптимального слабо-
го решения в модели граничного управления течением вязкоупругой жидкости при условии
малости норм функций, описывающих исходные данные. Статья [7] посвящена доказатель-
ству аппроксимационно-конечномерной управляемости для линеаризованных (т.е. без учёта
действия сил инерции) уравнений движения жидкости Олдройда в ограниченных двумерных
и трёхмерных областях с гладкой границей. В [8] изучается оптимальное граничное управление
в модели протекания дилатантной жидкости через сосуд с открытыми отверстиями. В рабо-
те [9] представлен качественный анализ задачи оптимизации для уравнений, моделирующих
установившееся ползущее неизотермическое течение.
Несмотря на значительное число работ в данном направлении, случай стартового управ-
ления течением до сих пор не изучен. В настоящей статье рассматривается экстремальная
задача стартового управления для линеаризованных уравнений движения несжимаемой вяз-
коупругой среды типа Олдройда в ограниченной трёхмерной пространственной области O на
промежутке времени [0, T ]:
Re∂tv - (1 - a)∇2xv - ∇x · E + ∇xp = f,
∇x · v = 0, x ∈ O, t ∈ (0, T ),
(1)
We ∂tE + E = 2aD(v), x ∈ O, t ∈ (0, T ),
(2)
v = 0, x ∈ ∂O, t ∈ (0,T),
(3)
v|t=0 = u ∈ Uad, E|t=0 = E0,
(4)
λ∥v|t=T - b∥2L
+ (1 - λ)∥u∥2
L2
→ min .
(5)
2
Здесь Re (число Рейнольдса), We (число Вайсенберга) и a - константы, причём Re > 0,
We > 0 и a ∈ (0, 1), t - время, ∂t - частная производная по t,
∂O - граница области O,
1098
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
1099
v: O×[0,T] → R3 - векторная функция скорости, O - замыкание области O, E: O×[0,T] →
→ M3×3sym - упругая часть тензора напряжений, M3×3sym - пространство симметрических 3 × 3-
матриц, p: O ×[0, T ] → R - функция давления, D(v) - тензор скоростей деформаций, D(v) :=
:= (∇xv +∇xvт)/2, где ∇x - градиент по пространственным переменным, f : O ×[0, T ] → R3 -
внешняя сила, b: O → R3 и E0 : O → M3×3sym - заданные векторные функции, u: O → R3 -
управляющая векторная функция, Uad - множество допустимых управлений, λ - скалярный
параметр, λ ∈ (0, 1).
Главной целью данной работы является обоснование однозначной разрешимости экстре-
мальной задачи (1)-(5) в классе непрерывных по t обобщённых (слабых) решений.
1. Строгая формулировка задачи. В этом пункте приводятся обозначения, исходные
предположения и строгая формулировка экстремальной задачи (1)-(5).
Пусть N - натуральное число и q, r, s ≥ 1. Условимся использовать стандартные обозна-
чения для пространства Лебега Lq(Ω, RN ) и пространства Соболева Wrs(Ω, RN ) векторных
функций, заданных на области Ω и со значениями в RN . Ради упрощения скалярное произ-
ведение в L2(Ω, RN ) будем обозначать с помощью круглых скобок, т.е. (φ, ψ) := (φ, ψ)L2 .
Запись ∂Ω ∈ C0,1 означает, что граница области Ω удовлетворяет условию Липшица.
Следуя [10, гл. I], введём обозначения: V := {ϕ ∈ C∞(O, R3) : supp ϕ ⊂ O, ∇x · ϕ = 0},
H - замыкание множества V по норме пространства L2(O,R3) и V - замыкание множества
V по норме пространства W12(O, R3). Снабдим пространство V скалярным произведением
(φ, ψ)V
:= (∇xφ, ∇xψ) и соответствующей нормой ∥φ∥V
:= (∇xφ, ∇xφ)1/2. Всюду далее
будем предполагать, что выполняются условия:
(i) ∂O ∈ C0,1, b ∈ H, E0 ∈ L2(O,M3×3sym), f ∈ L2(0,T;L2(O,R3));
(ii) множество допустимых управлений Uad выпукло, замкнуто и ограничено в H.
Определение 1. Допустимой тройкой для задачи (1)-(5) назовём тройку (u,v,E) та-
кую, что
v ∈ L2(0,T;V )
⋂C([0,T];H), E ∈ C([0,T];L2(O,M3×3sym)),
u ∈ Uad, v(·,0) = u, E(·,0) = E0
и для любых векторных функций ϕ ∈ V и F ∈ L2(O, M3×3sym) выполнены следующие равенства:
d
d
Re
(v, ϕ) + (1 - a)(∇xv, ∇xϕ) + (E, D(ϕ)) = (f, ϕ), We
(E, F) + (E, F) = 2a(D(v), F), (6)
dt
dt
в которых оператор d/dt обозначает обобщённую производную по t.
Совокупность всех допустимых троек обозначим через Ξ(Uad).
В п. 2 будет показано, что для любого управления u ∈ Uad существует единственная
тройка (u, v, E), принадлежащая множеству Ξ(Uad). Это означает, что задача (1)-(4) задаёт
непрерывную динамическую систему и позволяет корректно определить семейство эволюци-
онных операторов {St}t∈[0,T], которое вводит
Определение 2. Эволюционный оператор St - это отображение из множества Uad в H,
−→ v( · , t), где векторная функция v - это вторая компонента тройки
(u, v, E) ∈ Ξ(Uad).
Определение 3. Будем говорить, что векторная функция u⋆ ∈ Uad является оптималь-
ным управлением в задаче (1)-(5), если
λ∥ST (u⋆) - b∥2L
+ (1 - λ)∥u⋆∥2L
= inf{λ∥ST (u) - b∥2L
+ (1 - λ)∥u∥2L
: u ∈ Uad}.
2
2
2
2
2. Свойства допустимых троек. Установим сначала некоторые свойства допустимых
троек, а именно докажем леммы 1 и 2.
Лемма 1. Если (u1, v1, E1) ∈ Ξ(Uad) и (u2, v2, E2) ∈ Ξ(Uad), то
}
{Re
We
Re
max
∥v1( · , t) - v2( · , t)∥2L
+
∥E1( · , t) - E2( · , t)∥2L
: t ∈ [0,T]
≤
∥u1 - u2∥2 .
(7)
2
2
L2
2
4a
2
7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№8
2021
1100
АРТЕМОВ
Доказательство. Будем считать, что гильбертово пространство H и сопряжённое к нему
пространство H∗ отождествлены в соответствии с теоремой представления Рисса. Тогда при-
ходим к цепочке вложений V
⊂ H ≃ H∗ ⊂ V∗. Аналогично отождествим пространства
L2(O,M3×3sym) и L∗2(O,M3×3sym).
Обратим внимание на то, что выполнены включения
dvi
dEi
∈ L2(0,T;V ∗),
∈ L2(0,T;L∗2(O,M3×3sym)),
dt
dt
где i = 1, 2, и применим лемму 1.2 из [10, гл. III, § 1] к векторным функциям vi и Ei.
В результате получим, что для п.в. t ∈ (0, T ) справедливы равенства
d
dw
d
dQ
∥w∥2L
=2
,w
и
∥Q∥2L
=2
,Q
,
(8)
2
2
dt
dt
dt
dt
V ∗×V
L∗2×L2
в которых w := v1 - v2 и Q := E1 - E2, а угловые скобки 〈 · , · 〉X∗×X обозначают отношение
двойственности между банаховым пространством X и его сопряжённым X∗.
Так как (ui, vi, Ei) ∈ Ξ(Uad), i = 1, 2, и оба уравнения в (6) линейны, то очевидно, что
dw
Re
,ϕ
+ (Q, D(ϕ)) + (1 - a)(∇xw, ∇xϕ) = 0,
dt
V ∗×V
dQ
We
,F
+ (Q, F) = 2a(D(w), F)
(9)
dt
L∗2×L2
для любых ϕ ∈ V и F ∈ L2(O, M3×3sym). Положим ϕ := w(t) в первом из равенств (9) и F :=
:= Q(t)/(2a) - во втором. Cложим полученные равенства. Учитывая соотношения (8), прихо-
дим к равенству
Re d
We d
1
∥w( · , t)∥2L
+ (1 - a)∥w( · , t)∥2V +
∥Q( · , t)∥2L
+
∥Q( · , t)∥2
= 0,
2
2
L2
2 dt
4a dt
2a
из которого, в частности, следует, что
)
d
(Re
We
∥w( · , t)∥2L
+
∥Q( · , t)∥2
≤ 0.
2
L2
dt
2
4a
Интегрируя последнее неравенство в пределах от 0 до t, получаем, что
Re
We
Re
We
Re
∥w( · , t)∥2L
+
∥Q( · , t)∥2L
≤
∥w( · , 0)∥2L
+
∥Q( · , 0)∥2L
=
∥u1 - u2∥2
(10)
2
2
2
2
L2
2
4a
2
4a
2
для любого t ∈ [0, T ]. Взяв максимум по t ∈ [0, T ] в левой части (10), приходим к требуемой
оценке (7). Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть u0 ∈ Uad. Тогда существует единственная пара (v, E) такая, что
(u0, v, E) ∈ Ξ(Uad).
Доказательство. Чтобы найти v и E сконструируем, следуя подходу [11], последователь-
ность приближённых решений ((vn, En))∞n=1 по методу Фаэдо-Галёркина и затем на основе
оценок норм функций vn и En осуществим предельный переход при n → ∞.
Приближённые решения, соответствующие выбору u = u0, будем искать в виде сумм:
∑
∑
vn(x,t) :=
ank(t)ϕk(x), En(x,t) :=
Bnk(t)Fk(x), x ∈ O, t ∈ (0,T),
k=1
k=1
где ank, Bnk : [0, T ] → R - неизвестные функции, (ϕk)∞k=1 - полная система в V , образующая
ортонормированный базис в H, и (Fk)∞k=1 - ортонормированный базис в L2(O, M3×3sym).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№8
2021
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
1101
Рассмотрим на отрезке [0, T ] линейную задачу Коши:
Re(∂tvn,ϕk) + (En,D(ϕk)) + (1 - a)(∇xvn,∇xϕk) = (f,ϕk), t ∈ (0,T), k = 1,n,
(11)
We (∂tEn, Fk) + (En, Fk) = 2a(D(vn), Fk), t ∈ (0, T ), k = 1, n,
(12)
∑
∑
vn(x,0) = (u0,ϕk)ϕk(x), En(x,0) =
(E0, Fk)Fk(x), x ∈ O.
(13)
k=1
k=1
Выведем не зависящие от параметра n оценки решений этой задачи. Предположим, что
пара (vn, En) удовлетворяет системе (11)-(13). Умножим обе части равенства (11) на ank(t).
Складывая полученные равенства при k = 1, n, находим, что
Re(∂tvn,vn) + (En,D(vn)) + (1 - a)(∇xvn,∇xvn) = (f,vn), t ∈ (0,T).
(14)
Затем умножим обе части равенства (12) на Bnk(t) и просуммируем полученные равенства
по k = 1, n:
We (∂tEn, En) + (En, En) = 2a(D(vn), En), t ∈ (0, T ).
(15)
Далее, умножим обе части равенства (14) на 2a и сложим результат с (15); в результате
получим равенство
2a Re (∂tvn, vn)+2a(1-a)(∇xvn, ∇xvn)+(En, En)+We (∂tEn, En) = 2a(f, vn), t ∈ (0, T ), (16)
из которого с помощью леммы Гронуолла-Беллмана выводим оценку
We
aRe ∥vn(·,t)∥2L
+
∥En( · , t)∥2
≤
2
L2
2
(
)
We
≤ aRe sup
∥u∥2L
+
∥E0∥2L
+ a∥f∥2
eT/Re .
(17)
2
2
L2(0,T;L2)
u∈Uad
2
Так как мы считаем, что функции f и множество Uad подчиняются условиям (i) и (ii)
соответственно, то из (17) следует, что совокупность норм {∥vn( · , t)∥L2 , ∥En( · , t)∥L2 } рав-
номерно ограничена относительно n ∈ N и t ∈ [0, T ]. В силу равенства (16) имеем так-
же равномерную (по параметру n) ограниченность норм {∥vn∥L2(0,T ;V )}. Поэтому, переходя
к подпоследовательности (если это необходимо), получаем следующие сходимости:
−--→ E в L2(0, T ; L2(O, M3×3sym)) при n → ∞
(18)
для некоторой пары (v, E) ∈ L2(0, T ; V ) × L2(0, T ; L2(O, M3×3sym)).
Умножим обе части равенства (11) на произвольную C∞-гладкую функцию ξ : [0, T ] → R
с носителем, содержащимся в интервале (0, T ), и проинтегрируем по t от 0 до T. Приме-
нив интегрирование по частям к первому слагаемому из левой части полученного равенства,
приходим к соотношению
∫T
∫
T
∫
T
∫
T
− Re (vn,ϕk)ξ′ dt + (En,D(ϕk))ξ dt + (1 - a)
(∇xvn, ∇xϕk)ξ dt = (f, ϕk)ξ dt,
(19)
0
0
0
0
где символ′ обозначает классическую производную по t. Умножим теперь обе части равен-
ства (12) на функцию ξ, проинтегрируем по t в пределах от
0
до T и затем применим
формулу интегрирования по частям к первому слагаемому из левой части; в результате будем
иметь
T
T
∫T
∫
∫
−We (En, Fk)ξ′ dt + (En, Fk)ξ dt = 2a (D(vn), Fk)ξ dt.
(20)
0
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№8
2021
7∗
1102
АРТЕМОВ
Используя сходимости (18), осуществим предельный переход при n → ∞ в равенствах (19)
и (20). В результате приходим к соотношениям (6) с ϕ = ϕk и F = Fk, где k - произвольное
натуральное число. Более того, так как система (ϕk)∞k=1 полна в V, а система (Fk)∞k=1 полна
в L2(O,M3×3sym), в полученных равенствах допустимо заменить ϕk и Fk на произвольные
векторные функции ϕ ∈ V и F ∈ L2(O, M3×3sym) соответственно. Отсюда, в частности, следует,
что dv/dt ∈ L2(0, T ; V∗) и dE/dt ∈ L2(0, T ; L∗2(O, M3×3sym)). Поэтому, снова применяя лемму 1.2
из [10, гл. III, § 1], получаем, что v ∈ C([0, T ]; H) и E ∈ C([0, T ]; L2(O, M3×3sym)). Принимая
во внимание равенства (13), нетрудно убедиться в том, что выполнены начальные условия:
v(·,0) = u0 и E(·,0) = E0. Итак, установлено, что (u0,v,E) ∈ Ξ(Uad).
Единственность допустимой тройки, удовлетворяющей условиям леммы 2, непосредственно
вытекает из леммы 1.
Следствие. Эволюционный оператор St определён корректно для любого t ∈ [0, T ].
3. Главный результат работы сформулирован в следующей теореме.
Теорема. При выполнении предположений (i) и (ii) в задаче (1)-(5) существует един-
ственное оптимальное управление. При этом векторная функция u⋆ ∈ Uad является опти-
мальным управлением тогда и только тогда, когда выполнено вариационное неравенство
(1 - λ)(u⋆, u - u⋆) + λ(ST (u⋆) - b, ST (u) - ST (u⋆)) ≥ 0 для всех u ∈ Uad.
(21)
Доказательство. Введём функцию (целевой функционал)
J: Uad → R, J(u) := λ∥ST(u) - b∥2L
+ (1 - λ)∥u∥2L
2
2
Из леммы 1 следует, что эта функция является непрерывной. Более того, функция J строго
выпукла. В самом деле, пусть u1, u2 ∈ Uad и α ∈ (0, 1). Тогда, принимая во внимание
соотношение ST (αu1 + (1 - α)u2) = αST (u1) + (1 - α)ST (u2) и строгую выпуклость квадрата
нормы гильбертова пространства, выводим строгое неравенство Йенсена для J:
J(αu1 + (1 - α)u2) = λ∥ST (αu1 + (1 - α)u2) - b∥2L
+ (1 - λ)∥αu1 + (1 - α)u2∥2L
=
2
2
= λ∥α(ST (u1) - b) + (1 - α)(ST (u2) - b)∥2L
+ (1 - λ)∥αu1 + (1 - α)u2∥2L
<
2
2
< λα∥ST (u1) - b∥2L
+ λ(1 - α)∥ST (u2) - b∥2L
+ (1 - λ)α∥u1∥2L
+ (1 - λ)(1 - α)∥u2∥2L
=
2
2
2
2
= αJ(u1) + (1 - α)J(u2).
Поскольку функция J непрерывна и выпукла, то она слабо полунепрерывна снизу.
Пусть γ = inf{J(u): u ∈ Uad} и (uk)∞k=1 ⊂ Uad - минимизирующая последовательность,
т.е. J(uk) → γ при k → ∞. Так как множество Uad ограничено в H, то, не умаляя общности,
можно считать, что (uk)∞k=1 слабо сходится к некоторому элементу u⋆ в H при k → ∞.
Согласно условию (ii) множество Uad выпукло и замкнуто и, значит, слабо замкнуто в H.
Поэтому u⋆ ∈ Uad. Тогда
γ ≤ J(u⋆) ≤ lim J(uk) = γ.
k→∞
Таким образом, J(u⋆) = γ и, следовательно, u⋆ - оптимальное управление в системе
(1)-(5). Единственность оптимального управления вытекает из строгой выпуклости функ-
ции J.
Наконец, заметим, что u⋆ ∈ Uad является оптимальным управлением тогда и только тогда,
когда пара (u⋆, ST (u⋆)) совпадает с метрической проекцией пары (0, b) на график эволюци-
онного оператора ST в декартовом произведении H × H со скалярным произведением
(h, g)H×H := (1 - λ)(h1, g1)H + λ(h2, g2)H ,
где h = (h1, h2) и g = (g1, g2). Применяя соответствующим образом теорему 2.3 из [12, гл. I],
выводим вариационное неравенство (21), завершая тем самым доказательство теоремы.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№8
2021
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
1103
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Saut J.-C. Lectures on the mathematical theory of viscoelastic fluids // Lectures on the analysis of
nonlinear partial differential equations. Part 3. Somerville, 2013. P. 325-393.
2. Fang D., Zi R. Global solutions to the Oldroyd-B model with a class of large initial data // SIAM J.
Math. Anal. 2016. V. 48. P. 1054-1084.
3. Baranovskii E.S. Steady flows of an Oldroyd fluid with threshold slip // Commun. Pure Appl. Anal.
2019. V. 18. P. 735-750.
4. Wan R. Some new global results to the incompressible Oldroyd-B model // Zeitschr. Angew. Math. Phys.
2019. Bd. 70. Art. 28.
5. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Но-
восибирск, 1999.
6. Кузнецов А.В. Граничное оптимальное управление в начально-краевой задаче для модели вязко-
упругой среды с полной производной // Вестн. Воронежск. гос. ун-та. Сер.: Физика. Математика.
2008. № 1. С. 232-248.
7. Doubova A., Fernandez-Cara E. On the control of viscoelastic Jeffreys fluids // Systems Control Lett.
2012. V. 61. P. 573-579.
8. Барановский Е.С. Оптимальное граничное управление течением нелинейно-вязкой жидкости
// Мат. сб. 2020. Т. 211. № 4. С. 27-43.
9. Baranovskii E.S., Domnich A.A., Artemov M.A. Optimal boundary control of non-isothermal viscous
fluid flow // Fluids. 2019. V. 4. № 3. Art. ID 133.
10. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М., 1981.
11. Baranovskii E.S., Artemov M.A. Global existence results for Oldroyd fluids with wall slip // Acta Appl.
Math. 2017. V. 147. P. 197-210.
12. Киндерлерер Д., Стампакья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М., 1982.
Воронежский государственный университет
Поступила в редакцию 01.02.2021 г.
После доработки 13.04.2021 г.
Принята к публикации 08.06.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№8
2021
