ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1116-1141

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.8

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА

СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ: АЛЬТЕРНАТИВНАЯ

РАЗРЕШИМОСТЬ И ПОСТРОЕНИЕ РЕЛАКСАЦИЙ

Исследуется нелинейная дифференциальная игра (ДИ) сближения-уклонения. Для неё

Н.Н. Красовским и А.И. Субботиным установлена фундаментальная теорема об альтерна-

тиве. Параметрами игры являются целевое множество (ЦМ) и множество, определяющее

фазовые ограничения (ФО); в указанной теореме оба эти множества предполагались за-

мкнутыми в пространстве позиций. В настоящем исследовании замкнутости множества,

формирующего ФО, не предполагается, а постулируется только замкнутость всех его сече-

ний, отвечающих фиксации моментов времени; ЦМ предполагается замкнутым. При этих

условиях устанавливается вариант утверждения об альтернативной разрешимости и кон-

струируются релаксации исходной ДИ, определяемые ослаблением условий окончания иг-

ры сближения. Данное построение использует известный метод программных итераций

(МПИ), реализуемый на пространстве множеств, точками которых являются позиции иг-

ры. В результате формируется специальная последовательность функций, поточечно схо-

дящаяся к некоторой предельной функции позиции. Значения последней имеют смысл

наименьшего размера окрестностей множеств-параметров, при котором игрок, заинтере-

сованный в сближении с ЦМ, гарантированно решает свою задачу при ослабленных от-

меченным выше способом условиях; при этом, однако, допускается та или иная степень

приоритетности в части вопросов сближения с ЦМ и соблюдения ФО. Для построения

упомянутой предельной функции предлагается также “прямая” итерационная процедура

МПИ в функциональном пространстве, причём искомая предельная функция оказывается

неподвижной точкой оператора, порождающего данную процедуру. Кроме того, показано,

что каждое значение этой функции является ценой некоторой ДИ со специальным функ-

ционалом качества.

DOI: 10.31857/S0374064121080136

Введение. Теорема Красовского-Субботина об альтернативе (см. [1, 2]) является ключе-

вым положением современной теории дифференциальных игр (ДИ); с использованием данной

теоремы установлено [2] существование седловой точки для типичных функционалов каче-

ства, важных для теории и приложений. В самой этой теореме рассматривается вариант ДИ,

для которой функционал качества отсутствует; предполагаются заданными замкнутые целе-

вое множество (ЦМ) и множество, определяющее фазовые ограничения (ФО). Игрок I заин-

тересован в приведении траектории на ЦМ при соблюдении ФО; цель игрока II (уклониста)

противоположна. Из теоремы об альтернативе следует, что множество, формирующее ФО,

допускает разбиение в сумму множеств (успешной) разрешимости игроков. При этом игроки

могут использовать позиционные стратегии соответствующего типа, определяемого условиями

информационной согласованности [2] (используются процедуры управления по принципу об-

ратной связи); возможно (см. [3]) использование квазистратегий (неупреждающих стратегий).

Таким образом, множество разрешимости игрока I определяет конкретный вариант позицион-

ной стратегии (стратегия экстремального сдвига Н.Н. Красовского), гарантирующей наведение

на ЦМ при соблюдении ФО. В связи с процедурой, устойчивой к помехам в канале наблюде-

ния, отметим схему управления с поводырем (моделью) Н.Н. Красовского и А.И. Субботина

(см. [2]).

Исследованиям различных вопросов, связанных с теорией ДИ, посвящено очень много пуб-

ликаций. Напомним прежде всего монографию [4], где приведено большое число практических

задач, формализуемых в виде ДИ, и указаны некоторые методы их исследования. Имеются

монографии [2, 5-11], в которых изложены основные положения теории и указаны возмож-

ные приложения. В связи с задачами теории ДИ отметим особо основополагающие работы

1116

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1117

Л.С. Понтрягина и его учеников [12-15] и исследования Б.Н. Пшеничного [16-18]. В работах

А.И. Субботина [10, 11, 19, 20] и его учеников создано новое направление, связанное с изуче-

нием обобщённых решений уравнения Гамильтона-Якоби. Эти исследования позволили уста-

новить целый ряд важных свойств функции цены ДИ. Отметим принципиальный результат

А.В. Кряжимского [21], в котором утверждение об альтернативе в ДИ сближения-уклонения

распространено на случай управляемых систем, не удовлетворяющих условию Липшица по

фазовой переменной.

Одним из методов исследования ДИ является метод программных итераций (МПИ) - см.

[22-27]. Обзор ранних исследований по МПИ содержится в [10, гл. IV, V]. Конструкции на

основе МПИ используются и в настоящей работе (см. также [26, 27]; в частности, см. [27,

раздел 6]). Схема применения МПИ здесь подобна в значительной степени работам [28-31],

развитием которых является настоящее исследование, имеющее следующие основные этапы.

1) Обоснование положения об альтернативной разрешимости ДИ сближения-уклонения

при ослаблении требований к множеству, определяющему ФО в задаче игрока I.

2) Построение функции позиции, значения которой определяют аналог наименьшего раз-

мера окрестностей ЦМ и множества, формирующего ФО, для которого игрок I ещё в состоянии

гарантировать успех в задаче сближения при ослабленных должным образом условиях окон-

чания игры.

3) Построение нового варианта МПИ, реализующего функцию позиции из этапа 2) в виде

предела последовательности итераций в функциональном пространстве.

4) Доказательство свойства неподвижной точки для функции из этапов 2), 3), а также

свойства её экстремальности в порядковом смысле.

5) Обоснование положения о том, что упомянутая выше функция позиции есть функция

цены некоторой ДИ на минимакс-максимин в несимметричных классах стратегий (квазистра-

тегии игрока I и стратегии с управляемыми моментами коррекции игрока II).

Целый ряд положений настоящей работы допускает естественные аналогии с [28-31], но

имеются и существенные различия. В части, касающейся применения МПИ, отметим следую-

щее. Конструкции на основе МПИ здесь являются средствами теоретического исследования и

не претендуют на роль инструмента решения конкретных задач теории ДИ.

1. Общие сведения. Используется стандартная теоретико-множественная символика; ∅ -

△

пустое множество,

= - равенство по определению. Семейством называем множество, все

элементы которого - множества. Принимаем аксиому выбора. Двум произвольным объектам

x и y ставим в соответствие их неупорядоченную пару {x;y} [32, c. 60]. Если h - объект, то

= {h; h} есть синглетон, содержащий h. Следуя [32, c. 67], полагаем для любых объектов

= {{a}; {a; b}}, получая упорядоченную пару (УП) с первым элементом a и

вторым элементом b. Для всякой УП h через pr₁(h) и pr₂(h) обозначаем первый и второй

элементы h соответственно, т.е. h = (pr₁(h), pr₂(h)).

Если H - множество, то через P(H) обозначаем семейство всех подмножеств (п/м) мно-

= P(H) \ {∅} - семейство всех непустых п/м множества H. Множеству

= {M \ M: M ∈

∈ M} ∈ P(P(M)), двойственное к M. Обычным образом определяем след семейства: если

= {A

^⋂B: A ∈ A} ∈ P(P(B)). Для произвольных

множеств A и B через B^A обозначаем [32, c. 77] множество всех отображений из A в B.

= {g(x): x ∈ C} - образ множества

C при действии g, а (g | C) ∈ B^C - сужение отображения g на множество C, определяемое

= g(y) для любого y ∈ C.

△

= {0}

⊔ N. Если m ∈

= {k ∈ N₀ : m ≤ k}. Полагаем, что элементы

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

8^∗

1118

ЧЕНЦОВ

множества N не являются множествами. С учётом этого для всяких множества H и числа k ∈

∈ N для обозначения множества всех отображений из 1,k в H (т.е. множества всех кортежей

в H “длины” k) вместо H1,k используем более традиционное обозначение H^k; в качестве

H может использоваться семейство. В дальнейшем часто используется запись отображений в

индексной форме (семейство с индексом; см. [33, c. 11]); в частности, это относится к кортежам.

Согласно введённому обозначению H^N - множество всех последовательностей в H; если H -

семейство, (H_i)i∈N ∈ H^N и H - множество, то

⋂

⇐⇒ ((H = H_i) & (Hk+1 ⊂ H_k

∀k ∈ N)).

(1)

i∈N

= (R₊)^S всех неотри-

цательных вещественнозначных (в/з) функций на S; в качестве S может использоваться

семейство. В последнем случае элементы R₊[S] - суть функции множеств.

Измеримость, меры. Произвольному множеству E ставим в соответствие семейство

(σ-alg)[E] всех σ-алгебр п/м множества E; если E ∈ (σ-alg)[E], то пара (E, E) - стандартное

измеримое пространство (ИП), множества из E называются измеримыми. Если E ∈ P(P(E))

(т.е. E - семейство п/м множества E), то через σ0E (E) ∈ (σ-alg)[E] обозначаем σ-алгебру на

E, порождённую семейством E. Типичный вариант соответствует случаю, когда E - тополо-

гия на E; тогда σ0E (E) есть σ-алгебра борелевских п/м множества E. Для множеств X и

Y ∈ P(X), семейств X ∈ P(P(X)) и X|_Y ∈ P(P(Y )) всегда σ0Y (X|Y ) = σ0X(X)|Y ;

(Y ∈ σ0X (X )) ⇐⇒ (σ0Y (X |_Y ) = {Σ ∈ σ0X (X ) : Σ ⊂ Y }).

(2)

Если (E, E) - стандартное ИП, то через (σ-add)₊[E] обозначаем множество всех в/з неот-

рицательных счётно-аддитивных (с.-а.) мер на E, в частности, (σ-add)₊[E] ⊂ R₊[E]. При

E = σ0E(τ), где τ - топология на E, меры из (σ-add)₊[E] называют борелевскими; в слу-

чае метризуемости топологического пространства (E, τ) все такие меры регулярны (см. [34,

гл. 1]). Данный случай достаточен для последующих построений.

2. Игра сближения-уклонения (содержательное обсуждение). Рассматриваем Rⁿ,

где n ∈ N, в качестве фазового пространства системы

x = f(t,x,u,v), u ∈ P, v ∈ Q,

(3)

= [t₀, ϑ₀]

при t₀ ∈ R и ϑ₀ ∈ ]t₀, ∞[ (итак, ϑ₀ ∈ R и t₀ < ϑ₀). В (3) P и Q - непустые компакты в R^p

и R^q соответственно, где p ∈ N и q ∈ N,

f :T ×Rⁿ ×P ×Q→Rⁿ

(4)

– непрерывная (по совокупности переменных) функция. Предполагается, что в системе (3)

u ∈ P и v ∈ Q - управления игроков I и II соответственно. Для упрощения полагаем сейчас,

что при t ∈ T игроки I и II могут формировать кусочно-постоянные, непрерывные справа

на [t, ϑ₀) и непрерывные слева в точке ϑ₀ функции на [t, ϑ₀] со значениями в компактах P

и Q соответственно; через U_t и V_t обозначим множества всех таких управлений на [t,ϑ₀]

игроков I и II соответственно. Будем предполагать сейчас, что при (t, x) ∈ T × Rⁿ, u(·) ∈

∈ U_t и v(·) ∈ V_t реализуется единственная обычная траектория x(·,t,x,u(·),v(·)) систе-

мы (3), (4); x( · , t, x, u(·), v(·)) ∈ C_n([t, ϑ₀]), где (здесь и ниже) C_n([t, ϑ₀]) - множество всех

непрерывных отображений из [t, ϑ₀] в Rⁿ, C_n([t, ϑ₀]) ⊂ (Rⁿ)[t,ϑ0]. Управления u(·) ∈ U_t и

v(·) ∈ V_t, где t ∈ T, являются программными. Будем предполагать, что они формируются

некоторыми (допустимыми) способами; поэтому каждой позиции (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ ставятся

в соответствие непустые множества U〈t_∗, x_∗〉 и V〈t_∗, x_∗〉 возможных способов формирования

реализаций u(·) ∈ Ut∗ и v(·) ∈ Vt∗ соответственно; выбором U ∈ U〈t_∗, x_∗〉 распоряжается иг-

рок I, а выбором V ∈ V〈t_∗, x_∗〉 - игрок II. Каждому такому способу U ставится в соответствие

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1119

непустой пучок X_I (t_∗, x_∗, U) траекторий, возможных при использовании U и стартующих из

позиции (t_∗, x_∗); предполагается, что эти траектории представляют собой равномерные пре-

делы обычных траекторий. Аналогично способу V ставится в соответствие непустой пучок

X_II(t_∗,x_∗,V) траекторий, стартующих из позиции (t_∗,x_∗) и являющихся равномерными пре-

делами обычных траекторий.

Пусть M ∈ P(T × Rⁿ) и N ∈ P(T × Rⁿ); M есть ЦМ игрока I, а N формирует его ФО

в виде системы своих сечений. Возникают следующие две (M, N)-задачи.

I(M, N). Найти множество всех (t_∗, x_∗) ∈ N, для которых ∃U ∈ U〈t∗,x∗〉

∀x(·) ∈

∈ X_I(t_∗,x_∗,U) ∃ϑ ∈ [t∗,ϑ0]:

((ϑ, x(ϑ)) ∈ M) & ((t, x(t)) ∈ N

∀t ∈ [t_∗,ϑ[).

(5)

II(M,N). Найти множество всех (t^∗,x^∗) ∈ N, для которых ∃V ∈ V〈t∗,x∗〉

∀x(·) ∈

∈ X_II(t^∗,x^∗,V) ∀ϑ ∈ [t∗,ϑ0]:

((ϑ, x(ϑ)) ∈ M) ⇒ (∃t ∈ [t∗, ϑ[: (t, x(t)) ∈ N).

(6)

Ситуацию (5) рассматриваем как (M, N)-сближение, а ситуацию (6) - как (M, N)-укло-

нение. Если множества, определяющие решение задач I(M,N), II(M,N), образуют раз-

биение N, будем говорить, что имеет место (M, N)-альтернатива. В [1, 2] (M, N)-задачи

рассматривались в случае, когда U〈t, x〉 и V〈t, x〉 определялись как не зависящие от (t, x)

множества позиционных стратегий, а пучки траекторий конструировались в классе равно-

мерных пределов реализуемых пошаговых движений; важную роль играли при этом условия

информационной согласованности (см. [2, гл. XI]).

Подчеркнём, что в рассматриваемой постановке имеется существенная особенность в срав-

нении с [1, 2]. Так, обращаясь к задаче I(M, N), отметим, что в момент сближения с ЦМ до-

пускается нарушение ФО, т.е. (по сути) потеря дальнейшей работоспособности объекта управ-

ления, при фактическом осуществлении сближения, что может иметь место в некоторых тех-

нических системах “одноразового действия” (цель достигнута, а остальное несущественно).

Данное соглашение важно для последующих построений. Если же (как и в [1, 2]) множество,

определяющее ФО, замкнуто в обычном смысле, то, как легко видеть, наведение на ЦМ в смыс-

ле задачи I(M, N) будет осуществляться (для позиций из N) так же, как и в [1, 2], включая

соблюдение ФО в момент реального осуществления упомянутого наведения. Итак, отмеченная

особенность связана с более общим допущением в отношении множества N, определяющего

ФО задачи.

В [3] элементы множеств U〈t, x〉 и V〈t, x〉 отождествлялись с многозначными квазистра-

тегиями; сами эти множества зависели только от t. Представляет интерес вопрос о зави-

симости решений задач I(M, N), II(M, N) от множеств M и N. В частности, в услови-

ях (M, N)-альтернативы для позиции, не принадлежащей множеству разрешимости задачи

(M, N)-сближения, интересен вопрос о наименьшем значении ε, ε > 0, при котором эта по-

зиция содержится в множестве, являющемся решением задачи I(M_ε, N_χε), где M_b и N_b -

b-окрестности множеств M и N при b > 0, а χ, χ > 0, - некоторый коэффициент приори-

тетности в смысле вопросов, связанных с достижением ЦМ и соблюдением ФО.

3. Обобщённые управления. Ниже используются управления-меры, называемые также

обобщёнными управлениями (ОУ). Напомним, что T = [t₀,ϑ₀], где t₀ ∈ R, ϑ₀ ∈ R и t₀ < ϑ₀.

= [t, ϑ₀] × Q

= [t, ϑ₀] × P × Q, оснащаемые σ-алгебрами борелевских множеств:

T_t ∈ (σ-alg)[[t,ϑ₀]], K_t ∈ (σ-alg)[Y_t], D_t ∈ (σ-alg)[Z_t], C_t ∈ (σ-alg)[Ω_t].

Итак, ([t, ϑ₀], T_t), (Y_t, K_t), (Z_t, D_t), (Ω_t, C_t) - стандартные ИП. Среди борелевских множеств

выделяем цилиндры: при t ∈ T и I ∈ T_t имеем I × P ∈ K_t, I × Q ∈ D_t и I × P × Q ∈ C_t.

Кроме того, имеем [35, c. 17] Ω_t = ([t, ϑ₀] × P ) × Q = Y_t × Q, а потому S × Q ∈ C_t при S ∈

= {(ξ, u, v) ∈ Ω_t : (ξ, v) ∈ D} ∈ C_t.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1120

ЧЕНЦОВ

В связи с указанными свойствами цилиндров см. [34, добавление II; 36]. Отметим очевидные

следствия эквивалентности (2): при t₁ ∈ T и t₂ ∈ [t₁, ϑ₀] выполняются включения

= Ct1|[t1,t₂[×P×Q = {C ∈ Ct1 ^:C ⊂ [t1^,t2[×P × Q} ∈ (σ-alg)[[t1^,t2[×P × Q],

= Dt1|[t1,t₂[×Q = {D ∈ Dt1 ^:D ⊂ [t1^,t2[×Q} ∈ (σ-alg)[[t1^,t2[×Q].

Если t ∈ T, то через λ_t обозначаем след меры Лебега на T_t (см. [37, c. 155]);

= {η ∈ (σ-add)₊[C_t] : η(I × P × Q) = λ_t(I) ∀I ∈ Tt},

= {μ ∈ (σ-add)₊[K_t] : μ(I × P ) = λ_t(I) ∀I ∈ Tt},

= {ν ∈ (σ-add)₊[D_t] : ν(I × Q) = λ_t(I) ∀I ∈ Tt}.

Заметим, что (см. [10, гл. IV, § 2]) U_t × V_t допускает погружение в H_t, а U_t и V_t допускают

аналогичные погружения в R_t и E_t соответственно. Элементы H_t - “совокупные” (программ-

ные) ОУ, а элементы R_t и E_t - ОУ игроков I и II соответственно. Полагаем, что

= {η ∈ H_t : η(K × Q) = μ(K) ∀K ∈ K_t}

∀μ ∈ R_t,

= {η ∈ H_t : η(D×P ) = ν(D) ∀D ∈ D_t}

∀ν ∈ E_t.

(7)

В определении (7) введены специальные множества ОУ, отвечающие содержательно ситуации,

когда при реализации УП (u(·), v(·)) ∈ U_t × V_t одно из программных управлений u(·), v(·)

фиксировано, а другое может быть произвольным. Через B обозначаем σ-алгебру борелев-

ских п/м множества Q; при K ∈ K_t и B ∈ B имеем K × B ∈ C_t (см. [34, добавление II]).

Если v ∈ Q, то для меры Дирака, сосредоточенной в точке v, через δ_v обозначаем след на

σ-алгебре B; если t ∈ T и μ ∈ R_t, то μ

^⊗v ∈ π_t(μ) определяем условиями

(μ

= μ(K)δ_v(B)

∀K ∈ K_t

∀B ∈ B;

данная мера отвечает совместному действию на систему (3), (4) ОУ μ и константы v; см.

построения в [38, 39].

Через C(Ω_t), C(Y_t) и C(Z_t) обозначаем множества всех непрерывных в/з функций на

компактах Ω_t, Y_t и Z_t соответственно. Определяя на этих множествах линейные операции

поточечно и вводя норму равномерной сходимости, получаем сепарабельные банаховы прост-

ранства; топологически сопряжённые к ним обозначим C^∗(Ω_t), C^∗(Y_t) и C^∗(Z_t) (простран-

ства линейных ограниченных функционалов на C(Ω_t), C(Y_t) и C(Z_t) соответственно). Осна-

щаем C^∗(Ω_t), C^∗(Y_t) и C^∗(Z_t) *-слабыми топологиями. С учётом теоремы Рисса [37, гл. IV]

H_t, R_t и E_t отождествляются со *-слабо компактными п/м в C^∗(Ω_t), C^∗(Y_t) и C^∗(Z_t) соот-

ветственно (являются сильно ограниченными и *-слабо замкнутыми), а потому эти три мно-

жества сами могут рассматриваться как *-слабые метризуемые компакты (используем свой-

ство сепарабельности предсопряжённых пространств; см. [37, гл. V]). При этом замкнутость

и компактность отождествимы с секвенциальной замкнутостью и секвенциальной компактно-

стью соответственно (см. [40, § 2.7]). Итак, все нужные в дальнейшем топологические свойства

представимы в терминах *-слабой сходимости последовательностей, обозначаемой через ⇀ .

В частности, при t ∈ T получаем, что

= {F ∈ P(H_t) : ∀(η_j )j∈N ∈ FN ∀η ∈ Ht

((η_j )j∈N ⇀ η) ⇒ (η ∈ F)}

– семейство всех *-слабо замкнутых п/м множества H_t. Отметим также (см. [36]), что имеют

место включения

(π_t(μ) ∈ F^∗t

∀μ ∈ R_t) & (Π_t(ν) ∈ F^∗t

∀ν ∈ E_t).

(8)

Из сильной ограниченности H_t и включений (8) вытекает (секвенциальная) *-слабая ком-

пактность множеств (7); см. [36, c. 16].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1121

4. Стратегии игроков. В качестве стратегий игрока I используем многозначные квази-

стратегии [3], а в качестве стратегий игрока II - стратегии-тройки [38, 39]. Рассмотрим сначала

определения, относящиеся к квазистратегиям, фиксируя t_∗ ∈ T до тех пор, пока не будет ого-

ворено противное. Тогда (см. [27, разд. 10])

∏

= {α ∈

P^′(Πt∗ (ν)) : ∀ν₁ ∈ Et∗ ∀ν2 ∈ Et∗

∀θ ∈ [t_∗,ϑ₀]

ν∈Et∗

((ν₁|D^θt

) = (ν₂|D^θt

))

⇒ ({(η|C^θt

) : η ∈ α(ν₁)} = {(η|C^θt

) : η ∈ α(ν₂)})}

(9)

∗

– множество всех квазистратегий игрока I на [t_∗, ϑ₀]. Среди всевозможных квазистратегий

выделяем (см. [27]) квазипрограммы

{

}

⋃

△

AΠt

= α

At∗ :

α(ν) ∈ F^∗

;

(10)

∗

t∗

ν∈Et∗

= (Πt∗ (ν))ν∈Et∗

AΠt. Поэтому множества (9) и (10) непу-

∗

стые. Заметим, что использование в (9) и (10) многозначных отображений связано с конструк-

циями на основе МПИ: именно в классе таких отображений удаётся (см. [27, предложение 10.3])

конструктивно определить квазипрограмму, гарантирующую решение задачи игрока I.

Рассмотрим один специальный вариант стратегий игрока II. Полагая

= P^′(Q)T×Rn,

получаем непустое множество всех многозначных позиционных стратегий, подобных в идейном

отношении используемым в [1, 2]. При t ∈ T обозначим [38, 39]

= {g^∗ ∈ P^′([t, ϑ₀])Cn([t,ϑ0]) : ∀g₁ ∈ C_n([t, ϑ₀]) ∀g2 ∈ Cn([t,ϑ0]) ∀θ ∈ [t,ϑ0]

((g₁|[t, θ]) = (g₂|[t, θ])) ⇒ (g∗(g1)

^⋂ [t, θ] = g^∗(g₂)^⋂ [t, θ])};

= G^∗(t)Rn (множество всех отображений из Rⁿ в G^∗(t)). Наконец, при

θ ∈ T полагая

∏

G∗0(t),

t∈[θ,ϑ₀]

получаем (непустое) множество стратегий коррекции на промежутке [θ, ϑ₀]. Если (s_t)t∈[θ,ϑ0] ∈

∈ G^∗θ, τ ∈ [θ,ϑ₀] и x ∈ Rⁿ, то отображение C_n([τ,ϑ₀]) → P^′([τ,ϑ₀]), действующее по прави-

лу h → s_τ (x)(h), представляет собой неупреждающее правило выбора моментов коррекции

управления, формируемого позиционной стратегией. При t_∗ ∈ T назовём стратегией-тройкой

на отрезке [t_∗, ϑ₀] всякий триплет (V, β, m) ∈ V_pos×G∗t∗ ×N (число m определяет ограничение

на возможное число переключений формируемого управления из Vt∗ ).

5. Обобщённые траектории и пучки движений. Следуя идейно работе [21], введём

условия на систему. Полагаем, что при (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ и η ∈ Ht∗ интегральная воронка

∫

= {x(·) ∈ C_n([t_∗, ϑ₀]) : x(θ) = x_∗ +

f (t, x(t), u, v)η(d(t, u, v))

∀θ ∈ [t_∗,ϑ₀]}

[t∗,θ[×P ×Q

одноэлементна: Φ(t_∗, x_∗, η) = {ϕ( · , t_∗, x_∗, η)}, где

ϕ( · , t_∗, x_∗, η) = (ϕ(t, t_∗, x_∗, η))t∈[t∗ ,ϑ₀] ∈ Cn([t∗, ϑ0])

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1122

ЧЕНЦОВ

– траектория (скользящий режим), порождённая ОУ η из позиции (t_∗, x_∗). В дальнейшем

= {x ∈ Rⁿ : ∥x∥ ≤ c} при c ∈ R₊. Как и в [20],

предполагаем, что

∀a ∈ R₊

∃b ∈ R₊ : ϕ(τ,t,x,η) ∈ B_n(b)

∀t ∈ T

∀x ∈ B_n(a)

∀η ∈ H_t

∀τ ∈ [t,ϑ₀].

(11)

Условие (11) - это условие равномерной ограниченности обобщённых траекторий. При t ∈ T

отображение

Rⁿ × H_t → C_n([t,ϑ₀]), (x,η) → ϕ(·,t,x,η),

(12)

непрерывно; при этом H_t оснащается относительной *-слабой топологией, Rⁿ - топологи-

ей покоординатной сходимости, а C_n([t, ϑ₀]) - топологией равномерной сходимости (см. [27,

c. 309]). При (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ и ν ∈ Et∗ полагаем, что

= {ϕ( · , t_∗, x_∗, η) : η ∈ Πt∗ (ν)},

(13)

получая непустой компакт в пространстве C_n([t_∗, ϑ₀]) с топологией равномерной сходимости

(учитываем включения (8), непрерывность отображения (12) и *-слабую компактность Ht∗ ).

Если (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ и α

At∗ , то

{

}

⋃

= ϕ( · , t_∗, x_∗, η) : η ∈

α(ν)

∈ P^′(C_n([t_∗,ϑ₀]))

(14)

ν∈Et∗

- пучок траекторий, порождённых квазистратегией α из позиции (t_∗, x_∗). Если же α

AΠt,

∗

то множество (14) - компакт в C_n([t_∗, ϑ₀]).

Следуя [38, 39], при (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, V ∈ Vpos, β ∈ G∗t∗ и m ∈ N вводим пучок

X[t_∗; x_∗; V ; β; m] ∈ P^′(C_n([t_∗, ϑ₀])) траекторий, порождённых стратегией-тройкой (V, β, m) из

позиции (t_∗, x_∗); см. [38, разд. 7; 39, формулы (7.4)-(7.8)]. Введём, наконец, при (t_∗, x_∗) ∈ T ×

× Rⁿ и v ∈ Q непустой компакт

= {ϕ( · , t_∗, x_∗, μ

^⊗v) : μ ∈ Rt∗} ∈ P^′(C_n([t_∗,ϑ₀])).

(15)

В связи с определением (15) отметим свойство [38, формула (7.7)]: при (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ,

V ∈ V_pos и β ∈ G∗t∗ справедливо равенство

⋃

X[t_∗; x_∗; V ; β; 1] =

X_π(t_∗,x_∗,v).

(16)

v∈V (t∗,x∗)

6. Множества в пространстве позиций. Пространство позиций отождествляем с T ×

× Rⁿ; на T × Rⁿ задаём метрику ρ ∈ R₊[(T × Rⁿ) × (T × Rⁿ)] правилом

= sup({|t₁ - t₂|;∥x₁ - x₂∥})

для всех (t₁, x₁) ∈ T × Rⁿ и (t₂, x₂) ∈ T × Rⁿ (итак, ρ((t₁, x₁), (t₂, x₂)) - наибольшее из рассто-

яний |t₁ - t₂| и ∥x₁ - x₂∥). Метрическая топология t на T × Rⁿ, порождённая метрикой ρ, -

= CT×Rn[t], получая

семейство всех замкнутых в традиционном смысле п/м в T × Rⁿ; тогда

= F \ {∅}

(17)

– семейство всех непустых замкнутых п/м в T ×Rⁿ. Чтобы ввести другое оснащение на T ×Rⁿ,

= P(T) (дискретная топология на T) и τ(n)R - топология на Rⁿ, порождён-

ная нормой ∥ · ∥ (итак, τ(n)R - топология покоординатной сходимости в Rⁿ). Через τ_∂ ⊗ τ(n)R

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1123

обозначаем метризуемую топологию на T ×Rⁿ, соответствующую стандартному произведению

= CT×Rn[τ_∂

^⊗τ(n)R] и

= F \ {∅}

(18)

(семейство всех непустых замкнутых в (T × Rⁿ, τ_∂

^⊗τ(n)R) п/м T × Rⁿ). Если E ∈ P(T × Rⁿ)

= {x ∈ Rⁿ : (t, x) ∈ E} ∈ P(Rⁿ) - t-сечение множества E. Полагая, что

= C_Rn[τ(n)R], получаем по двойственности, что (см. [27, разд. 5])

F = {F ∈ P(T × Rⁿ) : F〈t〉 ∈ F ∀t ∈ T}.

(19)

Из определений легко следуют (см., в частности, (17), (18)) вложения F ⊂ F и F^′ ⊂ F^′.

7. Метод программных итераций. 1. Приведём краткую сводку положений, относя-

щихся к вариантам МПИ, реализуемым на пространстве п/м множества T × Rⁿ. С учётом

(13) и [27, формула (5.5)] при M ∈ P(T × Rⁿ) определим оператор A[M], действующий в

P(T × Rⁿ), следующим образом:

= {(t, x) ∈ S : ∀ν ∈ E_t

∃x(·) ∈ X_Π(t, x, ν) ∃ϑ ∈ [t,ϑ0] : ((ϑ,x(ϑ)) ∈ M) &

& ((τ, x(τ)) ∈ S

∀τ ∈ [t,ϑ[)}

∀S ∈ P(T × Rⁿ).

(20)

В общем случае для множеств M ∈ P(T × Rⁿ) и N ∈ P(T × Rⁿ) определена [27, разд. 6]

последовательность (W_k(M, N))k∈N0 ∈ P(T × Rⁿ)N0 по рекуррентному правилу

= N) & (Wk+1(M,N) = A[M](W_k(M,N))

∀k ∈ N₀),

(21)

а также предельное множество

⋂

= W_k(M,N).

(22)

k∈N₀

Будем использовать определения (21), (22) при различных множествах M и N. Из (20) и

(21) следует (см. [27, формула (6.3)]), что

∀M₁ ∈ P(T × Rⁿ)

∀N₁ ∈ P(T × Rⁿ)

∀M₂ ∈ P(T × Rⁿ)

∀N₂ ∈ P(T × Rⁿ)

((M₁ ⊂ M₂) & (N₁ ⊂ N₂)) ⇒ ((W_k(M₁, N₁) ⊂ W_k(M₂, N₂)

∀k ∈ N₀) &

& (W (M₁, N₁) ⊂ W (M₂, N₂))).

(23)

Если же M ∈ F и N ∈ F, то [27, разд. 6] имеем включения

(W_s(M, N) ∈ F

∀s ∈ N₀) & (W(M,N) = A[M](W(M,N)) ∈ F).

(24)

Для дальнейшего важны аналоги секвенциальной непрерывности: если (M_i)i∈N ∈ F^N,

(N_i)i∈N ∈ F^N, M ∈ P(T × Rⁿ), N ∈ P(T × Rⁿ) и при этом (M_i)i∈N ↓ M и (N_i)i∈N ↓ N,

то M ∈ F, N ∈ F и, самое главное,

((W_k(M_i, N_i))i∈N ↓ W_k(M, N)

∀k ∈ N₀) & ((W(M_i,N_i))i∈N ↓ W(M,N)).

(25)

Свойство (25) существенно для дальнейшего. Если N ∈ P^′(T × Rⁿ), то t|_N - топология на

N, индуцированная из (T × Rⁿ,t), а F|_N - семейство всех п/м множества N, замкнутых

в топологическом пространстве (N, t|_N ). Тогда (см. [27, разд. 7]) при M ∈ F^′ и N ∈ F^′

справедливы включения

(W_k(M, N) ∈ F|_N

∀k ∈ N₀) & (W(M,N) ∈ F|_N ).

(26)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1124

ЧЕНЦОВ

В (24) и (26) сформулированы важные топологические свойства. Из включений (26) следует,

что если M ∈ F^′ и N ∈ F^′, то

(W_k(M, N) ∈ F

∀k ∈ N₀) & (W(M,N) ∈ F).

Рассмотрим итерационную процедуру [36, § 11], определяя при M ∈ P(T × Rⁿ) оператор

стабильности A[M], действующий в P(T × Rⁿ), по правилу: если S ∈ P(T × Rⁿ), то

= {(t, x) ∈ S : ∀v ∈ Q ∃x(·) ∈ Xπ(t, x, v) ∃ϑ ∈ [t,ϑ0] :

((ϑ, x(ϑ)) ∈ M) & ((ξ, x(ξ)) ∈ S

∀ξ ∈ [t,ϑ[)}.

(27)

С помощью оператора (27) определяем новую итерационную процедуру: если M ∈ P(T × Rⁿ)

и N ∈ P(T ×Rⁿ), то [38, разд. 5] последовательность (W_k(M,N))k∈N0 ∈ P(T ×Rⁿ)N0 зададим

рекуррентно следующим образом:

= N) & (Wk+1(M,N) = A[M](W_k(M,N))

∀k ∈ N₀);

(28)

кроме того, положим

⋂

= W_k(M,N).

(29)

k∈N₀

Свойства процедуры (28), (29) во многом аналогичны свойствам (21), (22). Напомним их пре-

дельно кратко (подробнее см. в [38, 39]). Если M ∈ F и N ∈ F, то

(W_k(M, N) ∈ F

∀k ∈ N₀) & (W(M,N) = A[M](W(M,N)) ∈ F).

Отметим аналог свойства (26): при M ∈ F^′ и N ∈ F^′ справедливы включения

(W_k(M, N) ∈ F|_N

∀k ∈ N₀) & (W(M,N) ∈ F|_N ).

Заметим, наконец, что (см. [36, c. 61, 62]) при M ∈ F и N ∈ F выполняется равенство

W (M, N) = W(M, N)

(30)

(для несколько менее общего случая аналог соотношения (30) отмечен в [10, гл. V, форму-

ла (4.3)]).

8. Вопросы альтернативной разрешимости. Рассматривается некоторый аналог тео-

ремы Красовского-Субботина об альтернативе, относящийся к случаю, когда множество, опре-

деляющее ФО, не является замкнутым в топологии t. Ключевую роль в этих построениях

играет МПИ. Всюду в дальнейшем считаем, что

M∈F^′ и N∈F^′;

(31)

M есть ЦМ игрока I, а множество N формирует его ФО. С парой множеств (31) связываем

две последовательности

(W_k(M, N))k∈N0 ∈ FN0 и (W_k(M, N))k∈N0 ∈ FN0 ,

(32)

а также общее (см. (30)) предельное множество

⋂

W (M, N) = W_k(M, N) = W_k(M, N) = W(M, N).

(33)

k∈N₀

Согласно (31) и [27, теорема 10.1] имеем цепочку равенств

W (M, N) = {(t, x) ∈ N : ∃α

A_t

∀x(·) ∈ X[t; x; α] ∃ϑ ∈ [t,ϑ0] :

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1125

((ϑ, x(ϑ)) ∈ M) & ((ξ, x(ξ)) ∈ N

∀ξ ∈ [t,ϑ[)} = {(t,x) ∈ N :

∃α

AΠt ∀x(·) ∈ X[t; x; α] ∃ϑ ∈ [t,ϑ0] : ((ϑ,x(ϑ)) ∈ M) & ((ξ,x(ξ)) ∈ N ∀ξ ∈ [t,ϑ[)}.

(34)

Итак, множество (33) является решением задачи I(M, N) и в классе квазистратегий, и в

классе квазипрограмм; при (t_∗, x_∗) ∈ W (M, N) квазипрограмма, гарантирующая (M, N)-

сближение, определена в [27, формула (10.23), предложение 10.3, следствие 10.2]. С другой

стороны (см. [38, 39]), в силу (33) имеем

N \ W(M,N) = {(t,x) ∈ N : ∃V ∈ V_pos ∃β ∈ G∗t ∃m ∈ N ∀x(·) ∈ X[t;x;V ;β;m] ∀ϑ ∈ [t,ϑ0]

((ϑ, x(ϑ)) ∈ M) ⇒ (∃ξ ∈ [t, ϑ[: (ξ, x(ξ)) ∈ N)}.

(35)

Свойство (35) следует из [38, теорема 9.2] с учётом равенств (33). Из (34) и (35) вытекает

Теорема 8.1. Если (t_∗, x_∗) ∈ N, то справедливо одно и только одно из следующих двух

утверждений:

1) ∃α

At∗

∀x(·) ∈ X[t_∗;x_∗;α]

∃ϑ ∈ [t_∗,ϑ₀]:

((ϑ, x(ϑ)) ∈ M) & ((t, x(t)) ∈ N

∀t ∈ [t_∗,ϑ[);

2) ∃(V, β, m) ∈ V_pos×G∗t∗ ×N ∀x(·) ∈ X[t_∗; x_∗; V ; β; m] ∀ϑ ∈ [t∗,ϑ0] ((ϑ, x(ϑ)) ∈ M) ⇒ (∃t ∈

∈ [t_∗, ϑ[: (t, x(t)) ∈ N).

Согласно [38, следствие 9.1] при (t_∗, x_∗) ∈ N \ W (M, N) осуществимо гарантированное

решение задачи игрока II с некоторым “запасом” (осуществимо уклонение по отношению к

некоторым окрестностям множеств M и N); сама структура разрешающей стратегии-тройки

в значительной степени пояснена в [38, разд. 8].

9. Окрестности множеств и релаксация задачи сближения. Начинаем рассмотрение

вопросов, связанных с ослаблением условий окончания игры сближения. Полагаем в дальней-

шем, наряду с (31), что

N〈t〉 = ∅ для всех t ∈ T.

(36)

= inf({ρ((t, x), (τ, y)) : (τ, y) ∈ M}). Соответственно

= (ρ(z; M))z∈T×Rn ∈ R₊[T × Rⁿ] представляет собой расстояние до множе-

ства M. При ε ∈ R₊ получаем, что

= {(t, x) ∈ T × Rⁿ : ρ((t, x); M) ≤ ε} = ρ(· ; M)-1([0, ε]) ∈ F^′;

(37)

M = S₀(M,0) ⊂ S₀(M,ε) (см. (31)). При ε > 0 множество (37) является замкнутой ε-

△

окрестностью множества M. При S ∈ P^′(Rⁿ) и x ∈ Rⁿ верно также

(∥ · ∥-inf)[x; S]

△

= inf{∥x - s∥ : s ∈ S} ∈ R₊. Если H ∈ P^′

(Rⁿ), то (∥ · ∥-inf)[· ; H] ∈ R+[Rn] определяет

функцию Rⁿ → R₊ по правилу x → (∥ · ∥-inf)[x; H]. В силу (36) для всех t ∈ T имеем

N〈t〉 ∈ P^′(Rⁿ). Если H ∈ P^′(Rⁿ) и ε ∈ R₊, то

= {x ∈ Rⁿ : (∥ · ∥-inf)[x; H] ≤ ε} = (∥ · ∥-inf)[· ; H]-1([0, ε]) ∈ F^′,

(38)

= F \ {∅}. При ε ∈ R₊ получаем, что

= {(t, x) ∈ T × Rⁿ : x ∈ B0n(N〈t〉, ε)} ∈ P^′(T × Rⁿ),

(39)

N ⊂ S(N,ε). Отметим очевидное

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1126

ЧЕНЦОВ

Предложение 9.1. Справедливо равенство S(N, 0) = N.

Отметим также легко проверяемое свойство S(N, ε)〈t〉 = B0n(N〈t〉, ε) для любого ε ∈ R₊

и всех t ∈ T. C учётом этого и (19) получаем, что

S(N, ε) ∈ F^′ для любого ε ∈ R₊.

(40)

Предложение 9.2. Если (ε_i)i∈N ∈ (R₊)^N, ε ∈ R₊ и при этом (ε_i)i∈N → ε и εk+1 ≤ ε_k

для всех k ∈ N, то (S₀(M, ε_i))i∈N ↓ S₀(M, ε) и (S(N, ε_i))i∈N ↓ S(N, ε).

Доказательство следует из определений.

Введём в рассмотрение и зафиксируем параметр κ ∈ R₊, κ = 0, в качестве специального

коэффициента приоритетности: будем рассматривать в качестве возможных замены

M → S₀(M,ε), N → S(N,κε),

(41)

где ε ∈ R₊. В связи с (41) отметим несложно проверяемое равенство

⋃

T ×Rⁿ =

W (S₀(M, ε), S(N, κε))

(42)

ε∈R₊

(для доказательства (42) используется тот очевидный факт, что M

^⋂N ⊂ W(M,N) для

любых M, N ∈ P(T × Rⁿ)). Из (22) и (42) вытекает следующее свойство:

⋃

T ×Rⁿ =

W_k(S₀(M,ε),S(N,κε))

∀k ∈ N₀.

(43)

ε∈R₊

В силу равенств (42) и (43) заключаем, что справедливо утверждение: если (t, x) ∈ T × Rⁿ, то

= {ε ∈ R₊ : (t, x) ∈ W_k(S₀(M, ε), S(N, κε))} ∈ P^′(R₊)

∀k ∈ N₀) &

= {ε ∈ R₊ : (t, x) ∈ W (S₀(M, ε), S(N, κε))} ∈ P^′(R₊)).

(44)

С учётом включений (44) при (t,x) ∈ T × Rⁿ получаем, что

= inf(Σ(k)0(t, x|κ)) ∈ R₊

= inf(Σ₀(t, x|κ)) ∈ R₊).

(45)

Вследствие определений (20), (21) имеем: Wk+1(M, N) ⊂ W_k(M, N) при M ∈ P(T × Rⁿ),

N ∈ P(T × Rⁿ) и k ∈ N₀. Поэтому если (t,x) ∈ T × Rⁿ и k ∈ N₀, то

Σ(k+1)0(t,x|κ) ⊂ Σ(k)0(t,x|κ).

(46)

Тогда из (45) и (46) вытекает следующее свойство:

ε(k)0(t,x|κ) ≤ ε(k+1)0(t,x|κ)

∀k ∈ N₀

∀(t, x) ∈ T × Rⁿ.

(47)

Стандартным образом, используя (45), получаем, что

= (ε(k)0(z|κ))z∈T×Rn ∈ R₊[T × Rⁿ]

∀k ∈ N₀) &

= (ε₀(z|κ))z∈T×Rn ∈ R₊[T × Rⁿ]).

(48)

= обозначаем поточечный порядок на R₊[T × Rⁿ], т.е.

⇐⇒ (g₁(t, x) ≤ g₂(t, x)

∀(t, x) ∈ T × Rⁿ)

(49)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1127

для g₁, g₂ ∈ R₊[T × Rⁿ]. Из (47)-(49) следует очевидное свойство

= ε(k+1)0(·|κ)

∀k ∈ N₀.

(50)

Предложение 9.3. Если (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, то справедливо равенство

⋂

Σ₀(t_∗,x_∗|κ) =

Σ(k)0(t_∗,x_∗|κ).

k∈N₀

Доказательство вытекает из определения (22).

Из предложения 9.3 несложно следует (см. (45), (49)) неравенство

= ε₀(·|κ)

∀k ∈ N₀.

(51)

Предложение 9.4. Если (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, то

(ε(k)0(t_∗, x_∗|κ) ∈ Σ(k)0(t_∗, x_∗|κ)

∀k ∈ N₀) & (ε₀(t_∗,x_∗|κ) ∈ Σ₀(t_∗,x_∗|κ)).

Доказательство. Ограничимся проверкой первого включения (проверка второго анало-

= ε(s)0(t_∗,x_∗|κ). С учётом включений (45) выберем по-

следовательность (a_j)j∈N ∈ Σ(s)0(t_∗, x_∗|κ)^N, для которой (a_j )j∈N → ε_∗ и ak+1 ≤ a_k для всех

k ∈ N. В силу предложения 9.2, а также сходимости (25) получаем, что

(W_s(S₀(M, a_j ), S(N, κa_j )))j∈N ↓ W_s(S₀(M, ε_∗), S(N, κε_∗)),

(52)

причём (t_∗, x_∗) ∈ W_s(S₀(M, a_k), S(N, κa_k)) при k ∈ N. Вследствие (1) и (52) заключаем, что

(t_∗, x_∗) ∈ W_s(S₀(M, ε_∗), S(N, κε_∗)). Осталось учесть включение (44). Предложение доказано.

Следствие 9.1. При (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ элемент ε₀(t_∗, x_∗|κ) является наименьшим во

множестве Σ₀(t_∗,x_∗|κ), и, кроме того, ε(k)0(t_∗,x_∗|κ) - наименьший элемент множества

Σ(k)0(t_∗,x_∗|κ) при k ∈ N₀.

С учётом неравенства (51) имеем при (t_∗,x_∗) ∈ T × Rⁿ включение

{ε(k)0(t_∗, x_∗|κ) : k ∈ N₀} ∈ P^′([0, ε₀(t_∗, x_∗|κ)]).

Предложение 9.5. Если (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, то справедливо равенство

ε₀(t_∗,x_∗|κ) = sup ε(k)0(t_∗,x_∗|κ).

k∈N₀

Доказательство подобно обоснованию аналогичного утверждения в [29-31] (отметим

только использование свойства (23)).

Следствие 9.2. Функция ε₀(·|κ) представляет собой точную верхнюю грань множества

=).

Доказательство очевидно.

=) таково, что

последовательность (ε(k)0(·|κ))k∈N0 и функция ε₀(·|κ) связаны свойством точной верхней гра-

ни. Ещё одно очевидное следствие состоит в том, что при (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ (см. (47)) имеют

место соотношения

((ε(k)0(t_∗, x_∗|κ))k∈N → ε₀(t_∗, x_∗|κ)) & (ε(s)0(t_∗, x_∗|κ) ≤ ε(s+1)0(t_∗, x_∗|κ)

∀s ∈ N).

(53)

В силу (53) функция ε₀(·|κ) является поточечным пределом последовательности (ε(k)0(·|κ))k∈N.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1128

ЧЕНЦОВ

10. Основная последовательность в пространстве функций. Функции ε(k)0(·|κ), k ∈

∈ N₀, и ε₀(·|κ) определены в терминах итерационных процедур (21), (22). Мы укажем далее

“прямую” итерационную процедуру, позволяющую строить упомянутую последовательность

и определять её предел в терминах преобразований в R₊[T × Rⁿ]. Однако предварительно

следует установить целый ряд свойств данных функций, привлекая лишь первоначальное (см.

(44), (45)) их определение.

Предложение 10.1. Если (t_∗, x_∗) ∈ T ×Rⁿ и k ∈ N₀, то Σ(k)0(t_∗, x_∗|κ) = [ε(k)0(t_∗, x_∗|κ), ∞[.

Доказательство легко следует из определений с учётом свойства (23) (см. также [30,

предложение 7]).

Аналогичным образом устанавливается

Предложение 10.2. Если (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, то Σ₀(t_∗, x_∗|κ) = [ε₀(t_∗, x_∗|κ), ∞[.

Предложение 10.3. Если b ∈ R₊, то

(ε(k)0(·|κ)-1([0, b]) = W_k(S₀(M, b), S(N, κb))

∀k ∈ N₀) &

& (ε₀(·|κ)-1([0, b]) = W (S₀(M, b), S(N, κb))).

Доказательство следует из предложений 10.1, 10.2 c учётом включений (44).

Предложение 10.4. Если b ∈ R₊, то

(ε(k)0(·|κ)-1([0, b]) ∈ F|S(N,κb)

∀k ∈ N₀) & (ε₀(·|κ)-1([0,b]) ∈ F|S(N,κb)).

Доказательство получается комбинацией включений (26) и предложения 10.3.

Из (24), (37) и предложения 10.3 вытекает, что при b ∈ R₊ справедливы включения

(ε(k)0(·|κ)-1([0, b]) ∈ F

∀k ∈ N₀) & (ε₀(·|κ)-1([0,b]) ∈ F).

(54)

Введём в рассмотрение следующее множество неотрицательных полунепрерывных снизу

функций на топологическом пространстве (T × Rⁿ, τ_∂

^⊗τ(n)R):

= {g ∈ R₊[T × Rⁿ] : g-1([0, b]) ∈ F ∀b ∈ R+}.

(55)

Из (54) и (55) вытекает важное свойство полунепрерывности снизу

(ε(k)0(·|κ) ∈ M

∀k ∈ N₀) & (ε₀(·|κ) ∈ M);

(56)

предложение 10.4 дополняет утверждение (56). Напомним, что ρ(· ; M) - непрерывная в/з

функция; в частности, ρ(· ; M) ∈ M. Введём в рассмотрение функцию

= (κ-1(∥ · ∥-inf)[x; N〈t〉])(t,x)∈T×Rn ∈ R₊[T × Rⁿ].

(57)

Предложение 10.5. Если b ∈ R₊, то (ζ_κ)-1([0, b]) = S(N, κb).

Доказательство следует из определений.

Из включения (40) и предложения 10.5 вытекает, что (ζ_κ)-1([0, b]) ∈ F^′ для всех b ∈ R₊.

Отметим, что функция

= (sup({ρ((t, x); M); ζ_κ(t, x)}))(t,x)∈T×Rn ∈ R₊[T × Rⁿ]

(58)

=) неупорядоченной пары {ρ(·;M);ζ_κ}.

Нетрудно видеть (см. (55)), что ψ_κ ∈ M.

Предложение 10.6. Справедливо равенство ε⁽⁰⁾⁰(·|κ) = ζ_κ.

Доказательство. В силу определения (21), включений (44) и предложения 10.1 имеем

Σ⁽⁰⁾⁰(t,x|κ) = {ε ∈ R₊ : (t,x) ∈ S(N,κε)} = [ε⁽⁰⁾⁰(t,x|κ),∞[

∀(t, x) ∈ T × Rⁿ.

(59)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1129

= ε⁽⁰⁾⁰(t_∗,x_∗|κ); ε_∗ ∈ R₊. В силу (59) (t_∗,x_∗) ∈ S(N,κε_∗), а тогда,

согласно (39), (∥·∥-inf)[x_∗; N〈t_∗〉] ≤ κε_∗. В силу (57) верно неравенство ζ_κ(t_∗, x_∗) ≤ ε_∗. С другой

= (∥·∥-inf)[x_∗; N〈t_∗〉] ∈ R₊ имеем (см. (38), (39)) включение (t_∗, x_∗) ∈ S(N, δ_∗).

Вследствие (59) получаем

δ_∗

∈ Σ⁽⁰⁾⁰(t_∗,x_∗|κ).

(60)

Из соотношений (59) и (60) вытекает неравенство ε_∗ ≤ δ_∗/κ = ζ_κ(t_∗, x_∗). В итоге ε∗ =

= ζ_κ(t_∗,x_∗). Так как выбор позиции (t_∗,x_∗) был произвольным, требуемое равенство уста-

новлено.

=ψ_κ.

= ρ((t_∗, x_∗); M); тогда

= (∥ · ∥-inf)[x_∗; N〈t_∗〉] = κζ_κ(t_∗, x_∗).

С учётом включения (39) получаем

(t_∗, x_∗) ∈ S₀(M, b_∗)

⋂S(N,c_∗),

(61)

= sup({a_∗;b_∗}) ∈ R₊. Тогда a_∗ = ζ_κ(t_∗,x_∗), S₀(M,b_∗) ⊂ S₀(M,d_∗),

c_∗ = κa_∗ ≤ κd_∗ и S(N,c_∗) ⊂ S(N,κd_∗). Вследствие (61) имеем (t_∗,x_∗) ∈ S₀(M,d_∗)

⋂S(N,κd_∗),

а потому (см. (44)) d_∗ ∈ Σ₀(t_∗, x_∗|κ) и, согласно (45), ε₀(t_∗, x_∗|κ) ≤ d_∗ = ψ_κ(t_∗, x_∗). Так как

выбор позиции (t_∗, x_∗) был произвольным, предложение доказано.

=ψ_κ.

Доказательство получается комбинацией неравенства (51) и предложения 10.7.

Пусть

△

Mψ

= ψ_κ}.

(62)

Из включений (56), предложения 10.7 и следствия 10.1 вытекает, что

(ε(k)0(·|κ) ∈ M_ψ

∀k ∈ N₀) & (ε₀(·|κ) ∈ M_ψ).

(63)

Здесь же отметим, что

= ε(k)0(·|κ)

= ε₀(·|κ))

(64)

в силу неравенств (50), (51) и предложения 10.6.

11. Вспомогательные функционалы качества. Введём в рассмотрение некоторые спе-

циальные функционалы, для которых позднее будет установлено совпадение значений мини-

макса в классе квазистратегий с соответствующими значениями функции ε₀(·|κ). Всюду в

дальнейшем предполагается выполненным следующее

Условие (квазиограниченность N). Для некоторого c ∈ R₊ имеет место соотношение

B_n(c)

^⋂ N〈t〉 = ∅ для всех t ∈ T.

(65)

Число c со свойством (65) зафиксируем и будем использовать в последующих построениях.

При t_∗ ∈ T и x(·) ∈ C_n([t_∗, ϑ₀]) функция [t_∗, ϑ₀] → R₊, t → ∥x(t)∥, непрерывна и достигает

максимума; при этом

(∥ · ∥-inf)[x(τ); N〈τ〉] ≤ c + max

∥x(t)∥

∀τ ∈ [t_∗,ϑ₀].

t∈[t∗,ϑ0]

В силу непрерывности функции ρ(· ; M) при t_∗ ∈ T и x(·) ∈ C_n([t_∗, ϑ₀]) имеем непрерывность

функции [t_∗, ϑ₀] → R₊, t → ρ((t, x(t)); M); если при этом τ ∈ [t_∗, ϑ₀], то

ζ_κ(τ,x(τ)) ≤ κ-1( max ∥x(t)∥ + c).

(66)

t∈[t∗,ϑ0]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1130

ЧЕНЦОВ

Пусть при t ∈ T отображение I_t ∈ P^′([t, ϑ₀])[t,ϑ0] таково, что

= [t, ϑ[

∀ϑ ∈ ]t,ϑ₀]).

(67)

В силу (66), (67) имеем при t_∗ ∈ T, x(·) ∈ C_n([t_∗, ϑ₀]) и ϑ ∈ [t_∗, ϑ₀], что

ζ_κ(τ,x(τ)) ≤ κ-1( max

∥x(t)∥ + c)

∀τ ∈ It∗ (ϑ);

(68)

t∈[t∗,ϑ0]

с учётом оценки (68) получаем следующее (конечное) значение:

= sup({ρ((ϑ,x(ϑ));M); sup ζ_κ(t,x(t))}) ∈ R₊.

(69)

t∈It∗ (ϑ)

Из определений вытекает очевидное свойство

ω_κ(t_∗,x(·),t_∗) = ψ_κ(t_∗,x(t_∗))

∀t_∗ ∈ T

∀x(·) ∈ C_n([t_∗,ϑ₀]).

(70)

При t_∗ ∈ T функционал γ(κ)t

∈ R₊[C_n([t_∗,ϑ₀])] определяем условием

∗

γ(κ)t

= inf ω_κ(t_∗, x(·), ϑ)

∀x(·) ∈ C_n([t_∗,ϑ₀]).

(71)

∗

ϑ∈[t∗,ϑ0]

При t ∈ T через ∥ · ∥(C)t обозначаем норму равномерной сходимости на C_n([t, ϑ₀]). Тогда при

t_∗ ∈ T имеем легко проверяемое свойство:

∀ε ∈ ]0,∞[

∃δ ∈ ]0,∞[

∀x₁(·) ∈ C_n([t_∗,ϑ₀])

∀x₂(·) ∈ C_n([t_∗,ϑ₀])

(∥x₁(·) - x₂(·)∥(C)t

< δ) ⇒ (|ω_κ(t_∗,x₁(·),ϑ) - ω_κ(t_∗,x₂(·),ϑ)| < ε

∀ϑ ∈ [t_∗,ϑ₀]).

(72)

∗

Предложение 11.1. Если t_∗ ∈ T, то функционал γ(κ)t

на пространстве C_n([t_∗,ϑ₀]) с

∗

топологией равномерной сходимости непрерывен.

Доказательство получается комбинацией определения (71) и свойства (72).

Замечание. Несложно видеть, что на самом деле при t_∗ ∈ T функционал γ(κ) равномерно_t

∗

непрерывен на (C_n([t_∗, ϑ₀]), ∥ · ∥^(C)), что непосредственно следует из (72). Здесь же отметим,_t

∗

что, как нетрудно проверить, имеет место следующее представление для множества нулей

этого функционала:

(γ(κ)t)-1({0}) = {x(·) ∈ Cn([t∗,ϑ0]) : ∃ϑ ∈ [t∗,ϑ0] : ((ϑ,x(ϑ)) ∈ M) & ((t,x(t)) ∈ N ∀t ∈ It∗ (ϑ))}.

∗

12. Минимакс в классе квазистратегий. В данном пункте при фиксированной на-

чальной позиции исследуется задача на минимакс функционала (71) в классе квазистратегий.

В связи с этим полагаем

= {η ∈ H_t : ∃ϑ ∈ [t, ϑ₀] : ((ϑ, ϕ(ϑ, t, x, η)) ∈ M) &

& ((ξ, ϕ(ξ, t, x, η)) ∈ N

∀ξ ∈ [t,ϑ[)}

∀M ∈ F

∀N ∈ F

∀(t, x) ∈ N.

(73)

Тогда (см. [27, теорема 10.1]) при M ∈ F и N ∈ F получаем цепочку равенств

{

}

⋃

W (M, N) = (t, x) ∈ N : ∃α

A_t :

α(ν) ⊂ S_M,N (t, x)

ν∈Et

{

}

⋃

= (t, x) ∈ N : ∃α

AΠt :

α(ν) ⊂ S_M,N (t, x)

(74)

ν∈Et

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1131

Фиксируем до конца пункта позицию (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ. Следуя идейно [27, формула (10.22)],

полагаем

π(W)t

= {η ∈ Πt∗ (ν) : ∃ϑ ∈ [t_∗, ϑ₀] : ((ϑ, ϕ(ϑ, t_∗, x_∗, η)) ∈ M) &

∗,x∗

& ((ξ, ϕ(ξ, t_∗, x_∗, η)) ∈ W (M, N)

∀ξ ∈ [t_∗,ϑ[)}

∀M ∈ F

∀N ∈ F

∀ν ∈ Et∗ .

Согласно утверждению (44), предложению 9.4 и [27, предложение 10.3] получаем, что

=π(W)t

〈·|S₀(M, ε₀(t_∗, x_∗|κ)), S(N, κε₀(t_∗, x_∗|κ))〉

AΠt

(75)

∗,x∗

∗

Из включений (14) и (75) вытекает, что определено значение

max

γ(κ)t(x(·)) ∈ R+.

∗

x(·)∈X[t∗;x∗;aκW)(t∗,x∗)]

Предложение 12.1. Справедливо неравенство

max

γ(κ)t(x(·)) ≤ ε0(t∗, x∗|κ).

∗

x(·)∈X[t∗;x∗;aκW)(t∗,x∗)]

Доказательство легко следует из [27, следствие 10.2], (69) и (71).

Заметим, что в силу непрерывности отображения (12) и предложения 11.1 функционал

Ht∗ → R₊, действующий по правилу η → γ(κ)t(ϕ( · , , t∗, x∗, η)), также непрерывен и, в силу

∗

*-слабой компактности множества Ht∗ , ограничен. Поэтому (см. (14)) при α

At∗ ограничен

функционал X[t_∗; x_∗; α] → R₊, x(·) → γ(κ)(x(·)), и определено (конечное) значение_t

∗

sup

γ(κ)t(x(·)) ∈ R+.

(76)

∗

x(·)∈X[t∗;x∗;α]

Если α

AΠt, то в (76) sup можно заменить на max. С учётом этого получаем, поскольку

∗

AΠt

= ∅, что

∗

= inf

sup

γ(κ)t(x(·)) ∈ R+) &

∗

α∈At∗ x(·)∈X[t∗;x∗;α]

= inf

max

γ(κ)t(x(·)) ∈ R+).

(77)

∗

α∈AΠt

x(·)∈X[t∗;x∗;α]

∗

Отметим очевидные следствия (см. (75), (77), предложение 12.1)

v_κ(t_∗,x_∗) ≤ v(Π)κ(t_∗,x_∗) ≤

max

γ(κ)t(x(·)) ≤ ε0(t∗, x∗|κ).

(78)

∗

x(·)∈X[t∗;x∗;aκW)(t∗,x∗)]

Предложение 12.2. Если b ∈ [0, ε₀(t_∗, x_∗|κ)[ и α

At∗ , то

∃x(·) ∈ X[t_∗;x_∗;α] : b ≤ γ(κ)(x(·))._t

∗

Доказательство легко следует из (44) и (74) (см. (69), (71), (78)).

Из предложения 12.2 вытекает, что при b ∈ [0, ε₀(t_∗, x_∗|κ)[ имеют место неравенства

b ≤ v_κ(t_∗,x_∗) ≤ v(Π)κ(t_∗,x_∗) ≤

max

γ(κ)t(x(·)) ≤ ε0(t∗, x∗|κ).

(79)

∗

x(·)∈X[t∗;x∗;aκW)(t∗,x∗)]

Теорема 12.1. Справедлива цепочка равенств

v_κ(t_∗,x_∗) = v(Π)κ(t_∗,x_∗) =

max

γ(κ)t(x(·)) = ε0(t∗, x∗|κ).

∗

x(·)∈X[t∗;x∗;aκW)(t∗,x∗)]

Доказательство вытекает из неравенств (79).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1132

ЧЕНЦОВ

Согласно теореме 12.1 aκW)(t_∗, x_∗) представляют собой минимаксную квазипрограмму.

В частности, aκW)(t_∗, x_∗)

At∗ (см. (75)) и при этом

sup

γ(κ)(x(·)) =

max

γ(κ)t(x(·)) = ε0(t∗, x∗|κ) = vκ(t∗, x∗).

(80)

t∗

∗

x(·)∈X[t∗;x∗;aκW)(t∗,x∗)]

Получаем (см. (77)) следующее очевидное теперь равенство:

v_κ(t_∗,x_∗) = min

sup

γ(κ)(x(·))._t

∗

α∈At∗ x(·)∈X[t∗;x∗;α]

13. Программный оператор на пространстве функций. Рассмотрим вариант МПИ,

аналогичный [26] и реализуемый в функциональном пространстве. Наша ближайшая цель

состоит в представлении преобразования ε(k)0(·|κ) → ε(k+1)0(·|κ) в терминах действия данного

оператора. Сначала рассмотрим, однако, некоторые вспомогательные построения, подобные

[28-31]. В силу предположения (11) при t ∈ T и x(·) ∈ C_n([t, ϑ₀]) функция [t, ϑ0] → R+,

ξ → ψ_κ(ξ,x(ξ)), ограничена (см. также условие в п. 11) и определено (конечное) значение

sup ψ_κ(ξ,x(ξ)) ∈ R₊;

(81)

ξ∈[t,ϑ₀]

если, кроме того, g ∈ M_ψ, то в силу (62) при τ ∈ [t, ϑ₀] значения g(τ, x(τ)) не превосходят

величины (81). Поэтому при g ∈ M_ψ, t ∈ T, x(·) ∈ C_n([t, ϑ₀]) и ϑ ∈ [t, ϑ₀] определено

значение

sup({ sup g(τ,x(τ));ρ((ϑ,x(ϑ));M)}) ∈ R₊.

(82)

τ ∈It(ϑ)

С учётом этого при g ∈ M_ψ и t ∈ T определим функционал H[g;t] ∈ R₊[C_n([t,ϑ₀]) × [t,ϑ₀]]

правилом: каждой УП (x(·), ϑ) ∈ C_n([t, ϑ₀])× [t, ϑ₀] поставим в соответствие значение (82), т.е.

(x(·), ϑ) → H[g; t](x(·), ϑ); данное значение также не превосходит величины (81).

Предложение 13.1. Если g ∈ M_ψ, t_∗ ∈ T и ϑ ∈ [t_∗, ϑ₀], то для каждого b ∈ R₊

множества Лебега H[g;t_∗](·,ϑ)-1([0,b]) функционала

= (H[g; t_∗](x(·), ϑ))x(·)∈Cn ([t∗,ϑ0]) ∈ R+[Cn([t∗^,ϑ0^])]

замкнуты в топологии равномерной сходимости пространства C_n([t_∗, ϑ₀]).

Доказательство подобно в идейном отношении обоснованию предложения 13 работы [30]

и поэтому для уменьшения объёма статьи опущено.

Если g ∈ M_ψ, t_∗ ∈ T, x_∗ ∈ Rⁿ и ν ∈ Et∗ , то (см. (13))

= (H[g; t_∗]|X_Π(t_∗, x_∗, ν) × [t_∗, ϑ₀]) = (sup({ sup g(τ, x(τ));

τ ∈It∗ (ϑ)

(83)

ρ((ϑ, x(ϑ)); M)}))(x(·),ϑ)∈XΠ (t∗,x∗,ν)×[t∗,ϑ0]^∈R+[XΠ(t∗^,x∗,ν)×[t∗^,ϑ0^]];

если θ ∈ [t_∗, ϑ₀], то для функционала (83) определено его сечение

= (h[g; t_∗; x_∗; ν](x(·), θ))x(·)∈XΠ (t∗,x∗,ν) ∈ R+[XΠ(t∗^,x∗,ν)],

для которого h[g; t_∗; x_∗; ν]( · , θ)-1([0, b]) = XΠ(t∗,x∗,ν)

^⋂ H[g; t_∗]( · , θ)-1([0, b]) при b ∈ R+.

С учётом предложения 13.1 получаем, что при g ∈ M_ψ, t_∗ ∈ T, x_∗ ∈ Rⁿ, ν ∈ Et∗ , θ ∈

∈ [t_∗, ϑ₀] и b ∈ R₊ множество h[g; t_∗; x_∗; ν]( · , θ)-1([0, b]) замкнуто в (относительной) тополо-

гии равномерной сходимости на X_Π(t_∗, x_∗, ν), а следовательно, и компактно в этой топологии

(учитываем компактность множества (13)); очевидно, что данное множество компактно и в

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1133

пространстве C_n([t_∗, ϑ₀]) с топологией равномерной сходимости. С учётом этого свойства и

предложения 13.1 несложно (подобно [28-31]) устанавливается

Предложение 13.2. Если g ∈ M_ψ, t_∗ ∈ T, x_∗ ∈ Rⁿ, ν ∈ Et∗ и ϑ ∈ [t_∗, ϑ₀], то суще-

ствует x(·) ∈ X_Π(t_∗,x_∗,ν) такой, что

h[g; t_∗; x_∗; ν](x(·), ϑ) =

inf

h[g; t_∗; x_∗; ν](x(·), ϑ).

x(·)∈X_Π(t∗,x∗,ν)

В силу предложения 13.2 определено значение

min

h[g; t_∗; x_∗; ν](x(·), ϑ) ∈ R₊,

x(·)∈X_Π(t∗,x∗,ν)

где g, t_∗, x_∗, ν и ϑ удовлетворяют условиям этого предложения. В качестве следствия

имеем включения

inf

min

h[g; t_∗; x_∗; ν](x(·), ϑ) ∈ R₊

∀g ∈ M_ψ

∀t_∗ ∈ T

∀x_∗ ∈ Rⁿ

∀ν ∈ Et∗ .

(84)

ϑ∈[t∗,ϑ0]

x(·)∈X_Π(t∗,x∗,ν)

Вместе с тем, как легко видеть, при g ∈ M_ψ, t_∗ ∈ T, x_∗ ∈ Rⁿ, ν ∈ Et∗ , x(·) ∈ X_Π(t_∗, x_∗, ν)

и ϑ ∈ [t_∗,ϑ₀] справедливо неравенство

h[g; t_∗; x_∗; ν](x(·), ϑ) ≤ sup ψ_κ(t, x(t)).

(85)

t∈[t∗,ϑ0]

C учётом (85) при t_∗ ∈ T и x_∗ ∈ Rⁿ получаем, что

∃b ∈ R₊ : h[g;t_∗;x_∗;ν](x(·),ϑ) ≤ b

∀g ∈ M_ψ

∀ν ∈ Et∗

∀x(·) ∈ X_Π(t_∗,x_∗,ν)

∀ϑ ∈ [t_∗,ϑ₀].

С учётом этого (см. (84), (85)) при g ∈ M_ψ и (t_∗,x_∗) ∈ T ×Rⁿ определено (конечное) значение

sup

inf

min

h[g; t_∗; x_∗; ν](x(·), ϑ) ∈ R₊.

ϑ∈[t∗,ϑ0]

x(·)∈X_Π(t∗,x∗,ν)

ν∈Et∗

Используя последнее свойство, задаём оператор Γ : M_ψ → R₊[T × Rⁿ] посредством следую-

щего правила: при g ∈ M_ψ функция Γ(g) ∈ R₊[T × Rⁿ] такова, что

= sup

inf

min h[g; t; x; ν](x(·), ϑ)

∀(t, x) ∈ T × Rⁿ.

(86)

ν∈Et

ϑ∈[t,ϑ₀]

x(·)∈X_Π(t,x,ν)

Итак, определён оператор Γ ∈ R₊[T × Rⁿ]Mψ . С учётом включений (63) имеем

(Γ(ε(k)0(·|κ)) ∈ R₊[T × Rⁿ]

∀k ∈ N₀) & (Γ(ε₀(·|κ)) ∈ R₊[T × Rⁿ]).

14. Метод программных итераций. 2. Покажем, что последовательность (ε(k)0(·|κ))k∈N0

может быть реализована при помощи итерационной процедуры с использованием оператора

Γ. Сначала отметим два достаточно простых вспомогательных утверждения.

= Γ(g).

Предложение 14.2. Оператор Γ обладает свойством изотонности: если g₁ ∈ M_ψ, g₂ ∈

= Γ(g₂).

Доказательства обоих положений аналогичны [28-31] (см., в частности, [29, предложе-

ния 15, 16]).

Теорема 14.1. Если k ∈ N₀, то справедливо равенство ε(k+1)0(·|κ) = Γ(ε(k)0(·|κ)).

Доказательство. Фиксируем k ∈ N₀, получая функции ε(k)0(·|κ) ∈ M_ψ, ε(k+1)0(·|κ) ∈ M_ψ

и значение Γ(ε(k)0(·|κ)) ∈ R₊[T × Rⁿ]. Пусть (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ; тогда

= Γ(ε(k)0(·|κ))(t_∗,x_∗) ∈ R₊).

(87)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

9^∗

1134

ЧЕНЦОВ

В силу предложения 9.4 и включений (87) получаем, что a_∗ ∈ Σ(k+1)0(t_∗, x_∗|κ), и поэтому

(см. (44))

(t_∗, x_∗) ∈ Wk+1(S₀(M, a_∗), S(N, κa_∗)).

(88)

Тогда, в частности (см. (21), (88)), реализуется включение

(t_∗, x_∗) ∈ W_k(S₀(M, a_∗), S(N, κa_∗)).

(89)

Согласно (21) и (89) имеем (t_∗, x_∗) ∈ S(N, κa_∗). В силу предложения 10.5 ζ_κ(t_∗, x_∗) ≤ a_∗. Из

(21) и (88) вытекает, что (t_∗, x_∗) ∈ A[S₀(M, a_∗)](W_k(S₀(M, a_∗), S(N, κa_∗))). Поэтому (см. (20))

∀ν ∈ Et∗

∃x(·) ∈ X_Π(t_∗,x_∗,ν)

∃ϑ ∈ [t_∗,ϑ₀] : ((ϑ,x(ϑ)) ∈ S₀(M,a_∗))

&((τ, x(τ)) ∈ W_k(S₀(M, a_∗), S(N, κa_∗))

∀τ ∈ [t_∗,ϑ[).

(90)

Фиксируем ν ∈ Et∗ и подбираем (см. (90)) x(·) ∈ X_Π(t_∗, x_∗, ν) и

ϑ ∈ [t_∗,ϑ₀] так, что

(

ϑ, x

ϑ)) ∈ S₀(M, a_∗)) & ((τ, x(τ)) ∈ W_k(S₀(M, a_∗), S(N, κa_∗))

∀τ ∈ [t_∗

ϑ[).

(91)

Вследствие включений (37), (91) и предложения 10.3 верно неравенство

(ε(k)0(τ, x(τ)|κ) ≤ a_∗

∀τ ∈ [t_∗

ϑ[) & (ρ(

ϑ, x

ϑ)); M) ≤ a_∗).

(92)

При этом в силу (67) имеем импликацию

ϑ = t_∗) ⇒ (ε(k)0(τ, x(τ)|κ) = ε(k)0(t_∗,x_∗|κ)

∀τ ∈ It∗

ϑ)).

В итоге

ϑ = t_∗) ⇒ ( sup ε(k)0(τ, x(τ)|κ) = ε(k)0(t_∗,x_∗|κ)).

(93)

τ ∈It∗

ϑ)

В силу включений (44), (45) и (89) выполняется неравенство ε(k)0(t_∗, x_∗|κ) ≤ a_∗. Поэтому из

(83), (92) и (93) вытекает импликация

ϑ=t_∗) ⇒ (h[ε(k)0(·|κ);t_∗;x_∗;ν](x(·)

ϑ) ≤ a_∗).

(94)

Пусть теперь

ϑ∈]t_∗,ϑ₀]. С учётом (67) It∗

ϑ) = [t_∗

ϑ[, и согласно (92) имеем следующие

неравенства: sup ε(k)0(τ, x(τ)|κ)

≤ a_∗ и ρ(

ϑ, x

ϑ)); M) ≤ a_∗. Используя (83), получаем

τ ∈It∗

ϑ)

импликацию

ϑ ∈ ]t_∗,ϑ₀])

⇒ (h[ε(k)0(·|κ); t_∗; x_∗; ν](x(·)

ϑ) ≤ a_∗).

(95)

Из (94) и (95) следует, что h[ε(k)0(·|κ); t_∗; x_∗; ν](x(·)

ϑ) ≤ a_∗ во всех возможных случаях. Таким

образом, справедливо неравенство

inf

min

h[ε(k)0(·|κ); t_∗; x_∗; ν](x(·), ϑ) ≤ a_∗.

ϑ∈[t∗,ϑ0]

x(·)∈X_Π(t∗,x∗,ν)

Так как выбор меры ν был произвольным, установлено, что (см. (86), (87))

b_∗ = Γ(ε(k)0(·|κ))(t_∗,x_∗) ≤ a_∗.

(96)

В силу предложения 14.1 верно неравенство ε(k)0(·|κ)

= Γ(ε⁽

(·|κ)), а поэтому b∗ ∈

∈ [ε(k)0(t_∗, x_∗|κ), ∞[. Согласно утверждению (44) и предложению 10.1 имеем

(t_∗, x_∗) ∈ W_k(S₀(M, b_∗), S(N, κb_∗)).

(97)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1135

Далее, из (86) и (87) следует, что

inf

min

h[ε(k)0(·|κ); t_∗; x_∗; ν](x(·), ϑ) ≤ b_∗

∀ν ∈ Et∗.

(98)

ϑ∈[t∗,ϑ0]

x(·)∈X_Π(t∗,x∗,ν)

Выберем произвольно b^∗ ∈ ]b_∗, ∞[, т.е. b^∗ ∈ R₊ и b_∗ < b^∗. Пусть ν^∗ ∈ Et∗ . Тогда в силу

(98) для некоторых ϑ^∗ ∈ [t_∗, ϑ₀] и x^∗(·) ∈ X_Π(t_∗, x_∗, ν^∗) справедливо неравенство

h[ε(k)0(·|κ); t_∗; x_∗; ν^∗](x^∗(·), ϑ^∗) < b^∗,

из которого вытекает следующее свойство:

(ρ((ϑ^∗, x^∗(ϑ^∗)); M) < b^∗) & (ε(k)0(τ, x^∗(τ)|κ) < b^∗

∀τ ∈ It∗ (ϑ^∗)).

(99)

С учётом (23) в силу выбора числа b^∗ имеем

W_k(S₀(M,b_∗),S(N,κb_∗)) ⊂ W_k(S₀(M,b^∗),S(N,κb^∗)),

а тогда (см. (97))

(t_∗, x_∗) ∈ W_k(S₀(M, b^∗), S(N, κb^∗)).

(100)

Рассмотрим отдельно случаи ϑ^∗ = t_∗ и ϑ^∗ ∈ ]t_∗, ϑ₀].

1) Пусть ϑ^∗ = t_∗. Тогда [t_∗, ϑ^∗[ = ∅ и, очевидно, (t, x^∗(t)) ∈ W_k(S₀(M, b^∗), S(N, κb^∗)) для

любого t ∈ [t_∗, ϑ^∗[. С учётом неравенств (99) получаем импликацию

(ϑ^∗ = t_∗) ⇒ (((ϑ∗, x∗(ϑ∗)) ∈ S0(M, b∗)) &

& ((t, x^∗(t)) ∈ W_k(S₀(M, b^∗), S(N, κb^∗))

∀t ∈ [t_∗,ϑ^∗[)).

(101)

2) Пусть ϑ^∗ ∈ ]t_∗, ϑ₀]. Тогда It∗ (ϑ^∗) = [t_∗, ϑ^∗[. Поэтому в силу (44), (99) и предложения 10.1

(t, x^∗(t)) ∈ W_k(S₀(M, b^∗), S(N, κb^∗)) для любого t ∈ [t_∗, ϑ^∗[. С учётом неравенств (99) получаем

импликацию

(ϑ^∗ ∈ ]t_∗, ϑ₀]) ⇒ (((ϑ∗, x∗(ϑ∗)) ∈ S0(M, b∗)) &

& ((t, x^∗(t)) ∈ W_k(S₀(M, b^∗), S(N, κb^∗))

∀t ∈ [t_∗,ϑ^∗[)).

(102)

Вследствие импликаций (101) и (102) и произвольного выбора числа ϑ^∗ заключаем, что ∀ν ∈

∈Et∗

∃x(·) ∈ X_Π(t_∗,x_∗,ν) ∃ϑ ∈ [t∗,ϑ0]:

((ϑ, x(ϑ)) ∈ S₀(M, b^∗)) & ((t, x(t)) ∈ W_k(S₀(M, b^∗), S(N, κb^∗))

∀t ∈ [t_∗,ϑ[).

Из (20) и (100) вытекает, что (t_∗, x_∗) ∈ A[S₀(M, b^∗)](W_k(S₀(M, b^∗), S(N, κb^∗))). C учётом

определения (21) имеем (t_∗, x_∗) ∈ Wk+1(S₀(M, b^∗), S(N, κb^∗)) и в силу (44) b^∗ ∈ Σ(k+1)0(t_∗, x_∗|κ).

Так как число b^∗ выбиралось произвольно, установлено, что ]b_∗, ∞[⊂ Σ(k+1)0(t_∗, x_∗|κ). С учё-

том включений (45) получаем неравенство a_∗ ≤ b_∗. В итоге a_∗ = b_∗ (см. (96)). Так как выбор

позиции (t_∗, x_∗) был произвольным, получили (см. (87)) требуемое утверждение. Теорема до-

казана.

Итак, последовательность (ε(k)0(·|κ))k∈N0 реализуется в виде итерационной процедуры

(ε⁽⁰⁾⁰(·|κ) = ζ_κ) & (ε(k+1)0(·|κ) = Γ(ε(k)0(·|κ))

∀k ∈ N₀).

(103)

Можно рассматривать процедуру (103) как новую реализацию МПИ; в связи с этим отметим

[26, 31].

15. Свойство неподвижной точки. Вследствие соотношений (53) и (103) возникает

вопрос об описании предельной функции ε₀(·|κ) в терминах оператора Γ. Ответ доставляет

Теорема 15.1. Функция ε₀(·|κ) является неподвижной точкой оператора Γ, т.е. спра-

ведливо равенство ε₀(·|κ) = Γ(ε₀(·|κ)).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1136

ЧЕНЦОВ

Доказательство. Выбирая произвольно позицию (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, получаем, что

= Γ(ε₀(·|κ))(t_∗,x_∗) ∈ R₊).

(104)

В силу предложения 14.1 a_∗ ≤ b_∗.

Докажем справедливость обратного неравенства. При этом a_∗ ∈ Σ₀(t_∗, x_∗|κ) согласно пред-

ложению 9.4, а тогда

(t_∗, x_∗) ∈ W (S₀(M, a_∗), S(N, κa_∗)).

(105)

Из (24) и (105) следует включение (t_∗, x_∗) ∈ A[S₀(M, a_∗)](W (S₀(M, a_∗), S(N, κa_∗))), а поэтому

∀ν ∈ Et∗

∃x(·) ∈ X_Π(t_∗,x_∗,ν) ∃ϑ ∈ [t∗,ϑ0]:

((ϑ, x(ϑ)) ∈ S₀(M, a_∗)) & ((t, x(t)) ∈ W (S₀(M, a_∗), S(N, κa_∗))

∀t ∈ [t_∗,ϑ[).

(106)

C учётом включений (44), (45) получаем, что ∀ν ∈ Et∗

∃x(·) ∈ X_Π(t_∗,x_∗,ν) ∃ϑ ∈ [t∗,ϑ0]:

(ρ((ϑ, x(ϑ)); M) ≤ a_∗) & (ε₀(t, x(t)|κ) ≤ a_∗

∀t ∈ [t_∗,ϑ[).

(107)

Пусть ν ∈ Et∗ . В силу неравенств (107) для некоторых

x(·) ∈ X_Π(t_∗, x_∗, ν) и

ϑ ∈ [t_∗,ϑ₀]

имеем

(ρ(

ϑ, x

ϑ)); M) ≤ a_∗) & (ε₀(t, x(t)|κ) ≤ a_∗

∀t ∈ [t_∗

ϑ[).

(108)

Случа

ϑ=t_∗

ϑ ∈ ]t_∗,ϑ₀] рассмотрим отдельно.

а) Пуст

ϑ=t_∗. Тогда(см.(67)) It∗

ϑ) = {t_∗} и ε₀(t,x(t)|κ) = ε₀(t_∗,x_∗|κ) = a_∗ для любого

t∈It∗

ϑ); см. (104). С учётом (83) и (108) получаем импликацию

ϑ=t_∗) ⇒ (h[ε₀(·|κ);t_∗;x_∗;ν](x(·)

ϑ) ≤ a_∗).

(109)

б) Пусть

ϑ ∈ ]t_∗,ϑ₀]. Тогда It∗

ϑ) = [t_∗

ϑ[. Поэтому из неравенств (108) следует, что

ρ(

ϑ, x

ϑ)); M) ≤ a_∗ и ε₀(t, x(t)|κ) ≤ a_∗ для любого t ∈ It∗

ϑ), а тогда в силу представления

(83) получаем импликацию

ϑ ∈ ]t_∗,ϑ₀])

⇒ (h[ε₀(·|κ); t_∗; x_∗; ν](x(·)

ϑ) ≤ a_∗).

(110)

Из импликаций (109) и (110) вытекает, что неравенство h[ε₀(·|κ); t_∗; x_∗; ν](x(·)

ϑ) ≤ a_∗ спра-

ведливо во всех возможных случаях. В качестве следствия (см. (84)) получаем

inf

min

h[ε₀(·|κ); t_∗; x_∗; ν](x(·), ϑ) ≤ a_∗.

ϑ∈[t∗,ϑ0]

x(·)∈X_Π(t∗,x∗,ν)

Так как выбор меры ν был произвольным, заключаем, что b_∗ = Γ(ε₀(·|κ))(t_∗, x_∗) ≤ a_∗. В

итоге a_∗ = b_∗, откуда (см. (104)) вытекает требуемое равенство функций (выбор позиции

(t_∗, x_∗) был произвольным). Теорема доказана.

△

M(Γ)

Обозначим

= g)}.

Теорема 15.2. Функция ε₀(·|κ) является

=-наименьшим элементом во множестве

M(Γ)

, т.е.

M(Γ)

(ε₀(·|κ) ∈

∀g ∈M(Γ)ψ).

Доказательство подобно обоснованию аналогичного положения в [28-31] (см., в частно-

сти, [29, теорема 3]).

= ψ_κ; см.

(64) и предложение 10.7. Поэтому при (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ имеем (см. (58)) импликацию

(ρ((t_∗, x_∗); M) ≤ ζ_κ(t_∗, x_∗)) ⇒ (ε0(t∗, x∗|κ) = ζκ(t∗, x∗)).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1137

16. Свойство функции цены. Дополним теорему 12.1, а именно: покажем, что при

(t, x) ∈ T × Rⁿ значение ε₀(t, x|κ) представляет собой цену ДИ с функционалом качества γ(κ)t

(см. (71)).

Для этого сначала рассмотрим связь функции ε₀(·|κ) с функцией максимина в классе

стратегий-троек игрока II. Учитываем при этом (см. (31)), что при ε ∈ R₊ имеют место

включения

(S₀(M, ε) ∈ F^′) & (S(N, κε) ∈ F^′).

(111)

Напомним построения пп. 4 и 5 в части стратегий-троек и порождаемых ими движений

(подробнее см. в [38, 39]). Упомянутые движения [38, разд. 7] порождаются ОУ. Однако са-

ми стратегии-тройки игрока II формируют управления из множеств V_t, t ∈ T (реализации

управления игрока I допускаются в [38, 39] обобщёнными). Итак, при (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ и

(V, β, m) ∈ V_pos × G∗t∗ × N имеем непустой пучок X[t_∗; x_∗; V ; β; m] траекторий, стартующих из

позиций (t_∗, x_∗) и порождаемых совместным воздействием ОУ игрока I и обычных управлений

из Vt∗ . Последние формируются пошагово посредством позиционой стратегии V, включае-

мой в моменты, вырабатываемые c помощью β в количестве, не превосходящем m; см. [38,

разд. 7].

Согласно [38, теорема 9.2] с учётом включений (111) получаем при ε ∈ R₊ и k ∈ N

равенство

S(N, κε) \ W_k(S₀(M, ε), S(N, κε)) = {(t, x) ∈ S(N, κε) : ∃V ∈ Vpos ∃β ∈ Gt ∃l ∈ 1,k

∀x(·) ∈ X[t; x; V ; β; l] ∀ϑ ∈ [t,ϑ0] ((ϑ, x(ϑ)) ∈ S0(M, ε)) ⇒

⇒ (∃ξ ∈ [t, ϑ[: (ξ, x(ξ)) ∈ S(N, κε))}.

(112)

Напомним свойство, отмеченное в [38, следствие 9.1] и касающееся совпадения множеств

успешной разрешимости задач “обычного” и строгого уклонения (уклонения “с запасом”). В си-

лу (29) и (30) при ε ∈ R₊ имеет место равенство

⋃

S(N, κε) \ W (S₀(M, ε), S(N, κε)) = (S(N, κε) \ W_k(S₀(M, ε), S(N, κε))).

(113)

k∈N

Из равенств (112), (113), в частности, следует, что справедлива импликация

∀ε ∈ R₊

∀(t, x) ∈ S(N, κε) \ W (S₀(M, ε), S(N, κε))

∃V ∈ V_pos

∃β ∈ G^∗t

∃k ∈ N

∀x(·) ∈ X[t; x; V ; β; k]

∀ϑ ∈ [t,ϑ₀]

((ϑ, x(ϑ)) ∈ S₀(M, ε)) ⇒ (∃ξ ∈ [t, ϑ[: (ξ, x(ξ)) ∈ S(N, κε)).

(114)

Отметим, что при (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, V ∈ Vpos, β ∈ G∗t∗ и k ∈ N определено (конечное)

значение

inf

γ(κ)t(x(·)) ∈ R+.

∗

x(·)∈X[t∗;x∗;V ;β;k]

Предложение 16.1. Если ε ∈ R₊, (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, V ∈ V_pos, β ∈ G∗t∗ , k ∈ N, x(·) ∈

∈ X[t_∗; x_∗; V ; β; k] и ϑ ∈ [t_∗, ϑ₀] таковы, что

((ϑ, x(ϑ)) ∈ S₀(M, ε)) ⇒ (∃t ∈ It∗(ϑ) : (t, x(t)) ∈ S(N, κε)),

то ε < ω_κ(t_∗,x(·),ϑ).

Доказательство следует непосредственно из определений.

Следствие 16.1. Если ε ∈ R₊, (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, V ∈ V_pos, β ∈ G∗t∗ , k ∈ N и x(·) ∈

∈ X[t_∗; x_∗; V ; β; k] таковы, что

∀ϑ ∈ [t_∗,ϑ₀]

((ϑ, x(ϑ)) ∈ S₀(M, ε)) ⇒ (∃t ∈ It∗(ϑ) : (t, x(t)) ∈ S(N, κε)),

то выполняется неравенство γ(κ)(x(·)) ≥ ε._t

∗

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1138

ЧЕНЦОВ

Доказательство очевидно (см. (71) и предложение 16.1).

Предложение 16.2. Если (t_∗, x_∗) ∈ T ×Rⁿ и ε_∗ ∈ [0, ε₀(t_∗, x_∗|κ)[, то ∃V ∈ Vpos ∃β ∈ G∗t∗

∃k ∈ N:

ε_∗ ≤

inf

γ(κ)(x(·))._t

∗

x(·)∈X[t∗;x∗;V ;β;k]

Доказательство. Пусть (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ и ε_∗ ∈ [0, ε₀(t_∗, x_∗|κ)[. Тогда ε_∗ ∈ R₊ и ε_∗ <

< ε₀(t_∗,x_∗|κ). В силу (44) и (45) имеем (t_∗,x_∗) ∈ W(S₀(M,ε_∗),S(N,κε_∗)). Поэтому

((t_∗, x_∗) ∈ S(N, κε_∗)) ∨ ((t_∗, x_∗) ∈ S(N, κε_∗) \ W (S₀(M, ε_∗), S(N, κε_∗))).

(115)

Рассмотрение первого (в (115)) случая опустим в силу его очевидности (см. (15), (16));

итогом его является импликация

((t_∗, x_∗) ∈ S(N, κε_∗)) ⇒

⇒ (∃V ∈ V_pos

∃β ∈ G^∗t

∃k ∈ N : ε_∗ ≤

inf

γ(κ)(x(·))).

(116)

∗

t∗

x(·)∈X[t∗;x∗;V ;β;k]

Рассмотрим второй случай. Пусть (t_∗, x_∗) ∈ S(N, κε_∗) \ W (S₀(M, ε_∗), S(N, κε_∗)). Тогда в

силу (114) для некоторых V^∗ ∈ V_pos, β^∗ ∈ G∗t∗ и r ∈ N имеет место импликация ∀x(·) ∈

∈ X[t_∗; x_∗; V ^∗; β^∗; r] ∀ϑ ∈ [t∗,ϑ0]

((ϑ, x(ϑ)) ∈ S₀(M, ε_∗)) ⇒ (∃t ∈ [t∗, ϑ[: (t, x(t)) ∈ S(N, κε∗)).

(117)

Пусть y(·) ∈ X[t_∗; x_∗; V^∗; β^∗; r]. Тогда y(·) ∈ C_n([t_∗, ϑ₀]), y(t_∗) = x_∗ и, согласно (117), верна

импликация ∀ϑ ∈ [t_∗, ϑ₀]

((ϑ, y(ϑ)) ∈ S₀(M, ε_∗)) ⇒ (∃t ∈ [t∗, ϑ[: (t, y(t)) ∈ S(N, κε∗)).

(118)

Выберем произвольно ϑ^∗ ∈ [t_∗, ϑ₀] и рассмотрим отдельно случаи ϑ^∗ = t_∗ и ϑ^∗ ∈ ]t_∗, ϑ₀].

1′) Пусть ϑ∗ = t∗. Тогда согласно (70) ωκ(t∗,y(·),ϑ∗) = ψκ(t∗,x∗). В силу того, что

[t_∗, t_∗[ = [t∗, ϑ∗[ = ∅ согласно (118) имеем (ϑ∗, y(ϑ∗)) ∈ S0(M, ε∗), т.е. (t∗, x∗) ∈ S0(M, ε∗).

Поэтому согласно включению (37) ε_∗ < ρ((t_∗, x_∗); M) ≤ ψ_κ(t_∗, x_∗) (см. (58)). В итоге ε_∗ <

< ω_κ(t_∗,y(·),ϑ^∗). Таким образом, установлено, что если ϑ^∗ = t_∗, то ε_∗ < ω_κ(t_∗,y(·),ϑ^∗).

2′) Пусть ϑ^∗ ∈ ]t_∗, ϑ₀]. Тогда (см. (67)) It∗ (ϑ^∗) = [t_∗, ϑ^∗[. Из импликации (118) следует, что

((ϑ^∗, y(ϑ^∗)) ∈ S₀(M, ε_∗)) ⇒ (∃t ∈ It∗(ϑ∗) : (t, y(t)) ∈ S(N, κε∗)).

(119)

Напомним, что (t_∗, x_∗) ∈ T ×Rⁿ, ε_∗ ∈ R₊, V^∗ ∈ V_pos, β^∗ ∈ G∗t∗ , r ∈ N, y(·)∈X[t_∗; x_∗; V^∗; β^∗; r]

и ϑ^∗ ∈ [t_∗,ϑ₀]. В силу предложения 16.1 и импликации (119) неравенство ε_∗ < ω_κ(t_∗,y(·),ϑ^∗)

справедливо и в случае 2^′). Получили, что если ϑ^∗ ∈ ]t_∗, ϑ₀], то ε_∗ < ω_κ(t_∗, y(·), ϑ^∗).

Так как выбор числа ϑ^∗ был произвольным, получаем, что ε_∗ < ω_κ(t_∗, y(·), ϑ) для всех

ϑ ∈ [t_∗,ϑ₀]. Отсюда с учётом определения (71) вытекает неравенство ε_∗ ≤ γ(κ)(y(·)). Так как_t

∗

и выбор функции y(·) был произвольным, установлено, что ε_∗ ≤ γ(κ)(x(·)) для всех x(·) ∈_t

∗

∈ X [t_∗; x_∗; V ^∗; β^∗; r]. Поэтому

ε_∗ ≤

inf

γ(κ)(x(·))._t

∗

x(·)∈X[t∗;x∗;V^∗;β^∗;r]

Итак, доказана следующая импликация:

((t_∗, x_∗) ∈ S(N, κε_∗) \ W (S₀(M, ε_∗), S(N, κε_∗))) ⇒

⇒ (∃V ∈ V_pos

∃β ∈ Gt∗

∃k ∈ N : ε_∗ ≤

inf

γ(κ)(x(·))).

(120)

t∗

x(·)∈X[t∗;x∗;V ;β;k]

Из (116) и (120) вытекает требуемое утверждение. Предложение доказано.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1139

Предложение 16.3. Если (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, V ∈ V_pos, β ∈ G∗t∗ и k ∈ N, то

∃x(·) ∈ X[t_∗;x_∗;V ;β;k] : γ(κ)t(x(·)) ≤ ε0(t∗, x∗|κ).

∗

= ε₀(t_∗,x_∗|κ).

В силу предложения 9.4 (t_∗, x_∗) ∈ W (S₀(M, ε_∗), S(N, κε_∗)). Из (29) и (30) следует включение

(t_∗, x_∗) ∈ W_k(S₀(M, ε_∗), S(N, κε_∗)).

(121)

Тогда (см. [38, предложение 7.5]) для некоторых y(·) ∈ X[t_∗; x_∗; V ; β; k] и

ϑ ∈ [t_∗,ϑ₀] имеем

(

ϑ,y

ϑ)) ∈ S₀(M, ε_∗)) & ((t, y(t)) ∈ S(N, κε_∗)

∀t ∈ [t_∗

ϑ[).

(122)

При этом y(t_∗) = x_∗ (см. п. 3, а также [38, 39]). Рассмотрим отдельно случаи

ϑ = t_∗ и

ϑ ∈ ]t_∗,ϑ₀].

а^′) Пусть

ϑ=t_∗. Тогда

ϑ,y

ϑ)) = (t_∗, x_∗) и, согласно (67), It∗

ϑ) = {t_∗}. Из включения

(121) следует, что (t_∗, x_∗) ∈ S(N, κε_∗). Согласно предложению 10.5 (t_∗, y(t_∗)) ∈ (ζ_κ)-1([0, ε_∗]),

т.е. ζ_κ(t_∗, y(t_∗)) ≤ ε_∗. Итак, ζ_κ(t, y(t)) ≤ ε_∗ для всех t ∈ It∗

ϑ). Отсюда с учётом включений

(122) получаем, что

(ζ_κ(t, y(t)) ≤ ε_∗

∀t ∈ It∗

ϑ)) & (ρ

ϑ,y

ϑ); M) ≤ ε_∗).

(123)

Вследствие (69) и (123) в случае а^′) верно неравенство ω_κ(t_∗, y(·)

ϑ) ≤ ε_∗. Таким образом,

ϑ=t_∗) ⇒ (ω_κ(t_∗,y(·)

ϑ) ≤ ε_∗).

(124)

б^′) Пусть

ϑ∈]t_∗,ϑ₀]. Тогда (см. (67)) It∗

ϑ) = [t_∗

ϑ[ и в силу включений (122) получаем

(ρ(

ϑ,y

ϑ)); M) ≤ ε_∗) & ((t, y(t)) ∈ S(N, κε_∗)

∀t ∈ It∗

ϑ)).

(125)

Из (125) и предложения 10.5 вытекает, в частности, что (t, y(t)) ∈ (ζ_κ)-1([0, ε_∗]) для всех t ∈

∈It∗

ϑ). Получили (см. (125)) свойство (123). В силу (69) неравенство ω_κ(t_∗, y(·)

ϑ) ≤ ε_∗ верно

и в случае б^′). Следовательно, если

ϑ∈]t_∗,ϑ₀], то ω_κ(t_∗,y(·)

ϑ) ≤ ε_∗. Поэтому с учётом (124)

получаем, что ω_κ(t_∗, y(·)

ϑ) ≤ ε_∗ во всех возможных случаях. Тогда γ(κ)t(y(·)) ≤ ε∗ в силу

∗

(71). Учитывая выбор y(·), приходим к требуемому свойству. Предложение доказано.

Из предложения 16.3 вытекает следующее свойство: если (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, то определено

(конечное) значение

sup

inf

γ(κ)t(x(·)) ∈ [0, ε0(t∗, x∗|κ)].

∗

(V,β,k)∈Vpos×G^t∗ ×N

x(·)∈X[t∗;x∗;V ;β;k]

С учётом предложения 16.2 заключаем, что справедлива

Теорема 16.1. Если (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, то

ε₀(t_∗,x_∗|κ) =

sup

inf

γ(κ)(x(·))._t

∗

(V,β,k)∈Vpos×G^t∗ ×N

x(·)∈X[t∗;x∗;V ;β;k]

Из равенств (80) и теорем 12.1, 16.1 вытекает

Теорема 16.2. Если (t_∗, x_∗) ∈ T × Rⁿ, то ε₀(t_∗, x_∗|κ) есть цена игры на минимакс-

максимин γ(κ), при этом_t

∗

ε₀(t_∗,x_∗|κ) = min

sup

γ(κ)(x(·)) = min_t

max

γ(κ)(x(·)) =_t

∗

α∈At∗ x(·)∈X[t∗;x∗;α]

α∈AΠt

x(·)∈X[t∗;x∗;α]

∗

sup

inf

γ(κ)(x(·))._t

∗

(V,β,k)∈Vpos×G^t∗ ×N

x(·)∈X[t∗;x∗;V ;β;k]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1140

ЧЕНЦОВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Альтернатива для игровой задачи сближения // Прикл. матема-

тика и механика. 1970. Т. 34. № 6. C. 1005-1022.

2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М., 1974.

3. Ченцов А.Г. Об альтернативе в классе квазистратегий для дифференциальной игры сближения-

уклонения // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 10. C. 1801-1808.

4. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М., 1967.

5. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М., 1970.

6. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного ре-

зультата. М., 1985.

7. Krasovskii A.N. Control under Lack of Information. Berlin etc., 1995.

8. Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения Гамильтона-Якоби и задачи управления с наследствен-

ной информацией. Екатеринбург, 2011.

9. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев, 1992.

10. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М., 1977.

11. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М., 1991.

12. Понтрягин Л.С. К теории дифференциальных игр // Успехи мат. наук. 1996. Т. 21. № 4. C. 219-274.

13. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. I // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174. № 6.

C. 1278-1280.

14. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. II // Докл. АН СССР. 1967. Т. 175. № 4.

C. 764-766.

15. Мищенко Е.Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр

// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1971. № 5. C. 3-9.

16. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184. № 2. C. 185-

187.

17. Пшеничный Б.Н. О линейных дифференциальных играх // Кибернетика. 1968. № 1. C. 65-78.

18. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. Киев, 1992.

19. Subbotin A.I. Generalized Solutions of First-Order PDEs. The Dynamical Optimization Perspective.

Boston; Basel; Berlin, 1995.

20. Субботин А.И. Об одном свойстве субдифференциала // Мат. сб. 1991. Т. 182. № 9. C. 1315-1330.

21. Кряжимский А.В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Докл.

АН СССР. 1978. T. 239. № 4. C. 779-782.

22. Ченцов А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения // Докл. АН СССР. 1975. Т. 224. № 6.

С. 1272-1275.

23. Ченцов А.Г. К игровой задаче наведения // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226. № 1. С. 73-76.

24. Чистяков С.В. К решению игровых задач преследования // Прикл. математика и механика. 1977.

Т. 41. № 5. С. 825-832.

25. Ухоботов В.И. Построение стабильного моста для одного класса линейных игр // Прикл. матема-

тика и механика. 1977. Т. 41. № 2. С. 358-364.

26. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения к заданному моменту времени // Изв. АН СССР. Сер.

матем. 1978. Т. 42. № 2. C. 455-467.

27. Ченцов А.Г. Метод программных итераций в игровой задаче наведения // Тр. ИММ УрО РАН.

2016. Т. 22. № 2. C. 304-321.

28. Ченцов А.Г., Хачай Д.М. Релаксация дифференциальной игры сближения-уклонения и методы

итераций // Тр. ИММ УрО РАН. 2018. Т. 18. № 4. C. 246-269.

29. Chentsov A.G., Khachay D.M. Program iterations method and relaxation of a pursuit-evasion differential

game / Advanced Control Techniques in Complex Engineering Systems: Theory and Applications. 2019.

V. 203. P. 129-161.

30. Ченцов А.Г., Хачай Д.М. Оператор программного поглощения и релаксация дифференциальной

игры сближения-уклонения // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2020. Т. 30.

№ 1. C. 64-91.

31. Ченцов А.Г. Релаксации игровой задачи сближения, связанные с альтернативой в дифференци-

альной игре сближения-уклонения // Вестн. российск. ун-тов. Математика. 2020. Т. 25. № 130.

C.196-244.

32. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М., 1970.

33. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.,

1977.

34. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М., 1977.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА СБЛИЖЕНИЯ-УКЛОНЕНИЯ

1141

35. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М., 1964.

36. Ченцов A.Г. Метод программных итераций для дифференциальной игры сближения-уклонения.

Деп. в ВИНИТИ. № 1933-79 / Уральский политехн. ин-т им. С.М. Кирова. Свердловск, 1979.

37. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М., 1962.

38. Ченцов А.Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений

// Тр. ИММ УрО РАН. 2017. Т. 23. № 2. C. 285-302.

39. Ченцов А.Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений

формируемого управления // Изв. Ин-та математики и информатики Удмуртск. гос. ун-та. 2017.

Т. 49. C. 17-54.

40. Chentsov A.G., Morina S.I. Extensions and Relaxations. Dordrecht; Boston; London, 2002.

Институт математики и механики

Поступила в редакцию 28.09.2020 г.

им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург,

После доработки 28.04.2021 г.

Уральский федеральный университет

Принята к публикации 08.06.2021 г.

им. Первого Президента России Б.Н. Ельцина,

г. Екатеринбург

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021