ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1142-1145
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.927.25
О БАЗИСНОСТИ В Lp СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЙ ЗАДАЧИ С КВАДРАТОМ СПЕКТРАЛЬНОГО
ПАРАМЕТРА В ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ
© 2021 г. Н. Ю. Капустин
Изучается задача Штурма-Лиувилля с квадратом спектрального параметра в одном гра-
ничном условии и однородным другим граничным условием. При наличии кратного соб-
ственного значения устанавливается базисность системы собственных функций без любой
функции с простым собственным значением.
DOI: 10.31857/S0374064121080148
Рассматривается спектральная задача
X′′(x) + λX(x) = 0,
0 < x < 1,
(1)
X(0) = 0, X′(1) = dλ2X(1)
(2)
с ненулевым постоянным коэффициентом d. Эта задача в случае действительного физическо-
го параметра d изучалась в работах [1, 2]. Исследованы вопросы полноты, минимальности и
базисности системы собственных функций в пространствах Lp, C и C1.
Решением задачи (1), (2) является система собственных функций
√
Xn(x) = sin(
λnx), n = 1,2,3,... ,
отвечающих собственным значениям λn - корням характеристического уравнения
√
√
ctg
λ = d(
λ)3.
(3)
Отметим, что при действительных значениях коэффициента d все корни характеристического
уравнения (3) простые. В статье [3] рассматривался общий случай - когда физический пара-
метр d может принимать и комплексные значения. Для определённости будем предполагать,
что
√
-π/2 < arg
λn ≤ π/2,
а собственные числа занумеруем в порядке возрастания их абсолютных величин.
В упомянутой работе [3] получены следующие два результата. В случае простых корней,
т.е. когда d ∈ {ctg z/z3}, где {z} - множество (комплексных) корней уравнения
3sin z cos z
1+
= 0,
(4)
z
показано, что если из системы собственных функций задачи (1), (2) удалить любые две функ-
ции, то получившаяся система образует базис в пространстве Lp(0, 1), p > 1 (базис Рисса при
p = 2), а биортогонально сопряжённая к ней система {Ψn(x)} состоит из функций Ψn(x) та-
ких, что
[
]
(λn - λm)Xn(1)
(λn - λl)Xn(1)
Ψn(x) = A-1n Xn(x) -
Xl(x) -
Xm(x) , n = m,l,
(λl - λm)Xl(1)
(λm - λl)Xm(1)
где An = (1 + 3dλn sin2
√λn)/2, а m и l - номера удалённых функций.
1142
О БАЗИСНОСТИ В Lp СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1143
В случае появления кратного корня, т.е. если d = ctg z/z3, где комплексное число z -
некоторый корень уравнения (4), система {Xn(x)}, n ∈ N \ {l}, собственных функций задачи
(1), (2) без одной функции Xl(x), соответствующей кратному собственному значению λl = z2
(кратность в этом случае равна 2), образует базис в пространстве Lp(0, 1), p > 1 (базис Рисса
при p = 2), а биортогонально сопряжённая к ней система {Ψn(x)} состоит из функций Ψn(x)
таких, что
[
(
]
(λl - λn)Xn(1)
(λl - λn)Zl(1)
)Xn(1)
Ψn(x) = A-1n Xn(x) -
Zl(x) -
1-
Xl(x) , n = l,
Xl(1)
Xl(1)
Xl(1)
где Zl(x) = -(2√λl)-1xcos(√λlx).
В настоящей статье мы дополним второй результат, рассмотрев случай, когда из системы
собственных функций задачи (1), (2) удаляется произвольная функция с простым собственным
значением.
Теорема. Если d = ctg z/z3, где комплексное число z - какой-либо корень уравнения
(4), то система {Xn(x)}, n ∈ N \ {m}, собственных функций задачи (1), (2) без одной
собственной функции Xm(x), соответствующей простому собственному значению λm, при
наличии кратного корня λl = z2, m = l, образует базис в пространстве Lp(0, 1), p > 1
(базис Рисса при p = 2). Биортогонально сопряжённая к ней система {Ψn(x)} состоит из
функций Ψn(x) таких, что
[
]
Zαl(1)
Ψl(x) = A-1l Zαl(x) -
Xm(x) ,
Xm(1)
[
]
(λn - λm)Xn(1)
(λn - λl)Xn(1)
Ψn(x) = A-1n Xn(x) -
Xl(x) -
Xm(x) , n = l,
(λl - λm)Xl(1)
(λm - λl)Xm(1)
где
√
x cos(√λlx)
1
dλl
Zαl(x) = -
+ αsin(
λlx), α =
+
,
2√λl
λl - λm
2
∫1
dλ2l + 1
Al = Zαl(x)Xl(x)dx + d(λl + λm)Zαl(1)Xl(1) =
4λl
0
Доказательство. Если n = k, то справедливо равенство
1
∫
Xn(x)Xk(x)dx + d(λn + λk)Xn(1)Xk(1) = 0,
(5)
0
которое в случае, когда все корни простые, даёт алгоритм построения биортогонально сопря-
жённой системы.
Пусть z - какой-либо корень уравнения (4) и пусть d = ctg z/z3, λl = z2. Рассмотрим
спектральную задачу для присоединённой функции:
Z′′l(x) + λZl(x) = Xl(x),
0 < x < 1,
(6)
Zl(0) = 0, Z′l(1) = dλ2Zl(1) - 2dλXl(1).
(7)
Решением задачи (6), (7) в случае собственной функции Xl(x) = sin(√λlx) является корневая
функция
√
x cos(√λlx)
Zαl(x) = -
√
+ αsin(
λlx),
2
λl
где α - произвольное комплексное число. Для упрощения мы полагаем α = 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№8
2021
1144
КАПУСТИН
Если n = l, то справедливо аналогичное равенству (5) соотношение
1
∫
Xn(x)Zαl(x)dx + d(λn + λl)Xn(1)Zαl(1) - dXn(1)Xl(1) = 0.
0
Нам остаётся проверить следующие два равенства:
∫
1
∫
1
dλ2l + 1
Ψl(x)Xn(x)dx = 0, n = l, и Al Ψl(x)Xl(x)dx =
4λl
0
0
Воспользуемся для этого соотношениями
√
√
dλ2l
3dλl sin2
λl = -1, sin2
λl = 1 +
,
3
∫
1
∫
1
√
√
sin2
√λ
1
√
2
l
x sin(
λlx)cos(
λlx)dx =
-
√ , sin2(
λlx)dx =
,
2√λl
3
λl
3
0
0
справедливыми для кратного собственного значения.
Докажем первое из этих равенств:
∫1
[∫
1
∫
1
]
Zαl(1)
Al Ψl(x)Xn(x)dx =
Xn(x)Zαl(x)dx -
Xn(x)Xm(x)dx
=
Xm(1)
0
0
0
[
]
=
- d(λn + λl)Xn(1)Zαl (1) + d(λn + λm)Xn(1)Zαl (1) + dXn(1)Xl(1) dx
=
[
]
= dXn(1) Zαl (1)(λl - λm) + Xl(1)
= 0,
так как
cos
√λl
sin
√λl
dλl sin
√λl
Xl(1)
Zαl(1) = -
+
+
=
2√λl
λl - λm
2
λl - λm
Доказательство второго равенства содержат следующие преобразования:
∫1
[∫
1
∫
1
]
Zαl(1)
Al Ψl(x)Xl(x)dx =
Xl(x)Zαl(x)dx -
Xl(x)Xm(x)dx
=
Xm
(1)
0
0
0
[∫
1
]
= Xl(x)Zαl(x)dx + d(λl + λm)Xl(1)Zαl(1)
=
0
)
1
( sin2 √λl
1
2
sin2
=-
√
-
+
α + d(λl + λm)
√λl =
2
λl
2√λl
3√λl
3
λl - λm
)
sin2
√λl
d
√
√ (
1
dλl
=-
-
sin2
λl - 2dλl sin2
λl
+
+
4λl
2
λl - λm
2
√
√
sin2
√λl
1
dλl
3
+ d(λl + λm)
=-
-
-
d sin2
λl - dλ2l sin2
λl =
λl - λm
4λl
12
2
1
dλl
1
dλl
dλ2l + 1
=-
-
+
+
=
4λl
12
2λl
3
4λl
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№8
2021
О БАЗИСНОСТИ В Lp СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1145
Теперь, используя технику, разработанную для доказательства основной теоремы рабо-
ты [4], несложно получить сформулированные в теореме утверждения о базисности. Теорема
доказана.
Рассмотренная спектральная задача возникает при решении методом разделения перемен-
ных следующей смешанной задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольнике D =
= {(x, t) : 0 < x < 1,
0 < t < T} с граничным условием, также записанным с помощью
оператора теплопроводности, но в котором временная и пространственная переменные по-
менялись местами. Требуется найти функцию u(x, t) из класса C2,1(D)
⋂C2(D⋂{t > 0}),
удовлетворяющую уравнению
ut(x,t) = uxx(x,t), (x,t) ∈ D,
(8)
с начальным
u(x, 0) = f(x), x ∈ [0, 1],
(9)
и граничными
u(0, t) = 0, dutt(1, t) = ux(1, t), t ∈ (0, T ),
(10)
условиями, d < 0. В работе [3] подробно изучен вопрос о корректности этой смешанной за-
дачи. Получены следующие результаты: пусть функция f(x) принадлежит классу Гёльдера
C2+α[0,1], α > 0 и f(0) = f′′(0) = 0. Тогда существует единственное решение задачи (8)-
(10). Отметим, что задача (8)-(10) в классической постановке - о нахождении решения в классе
C1,0(D)
⋂C2(D⋂ {t > 0}) - имеет неединственное решение.
Автор благодарит академика Е.И. Моисеева за проявленный интерес к этой работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках реализации
программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению
№ 075-15-2019-1621 и при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундамен-
тальных исследований (проект 20-51-18006 Болг-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Капустин Н.Ю. О равномерной сходимости ряда Фурье для спектральной задачи с квадратом
спектрального параметра в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 10. С. 1504-
1507.
2. Капустин Н.Ю. О равномерной сходимости в классе С1 ряда Фурье для спектральной задачи с
квадратом спектрального параметра в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47.
№ 10. С. 1394-1399.
3. Капустин Н.Ю. К вопросу о базисности системы собственных функций одной задачи с квадратом
спектрального параметра в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 10. С. 1284-
1289.
4. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. О базисности в пространстве Lp систем собственных функций, от-
вечающих двум задачам со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. урав-
нения. 2000. Т. 36. № 10. С. 1357-1360.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 19.05.2021 г.
им. М.В. Ломоносова
После доработки 19.05.2021 г.
Принята к публикации 08.06.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№8
2021
