ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 8, с.1146-1150

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.977.58

ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ

МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Приводится регуляризирующий алгоритм решения задачи динамического восстановления

неизвестного входа, действующего на нелинейное векторное дифференциальное уравнение.

Алгоритм устойчив к информационным помехам и погрешностям вычислений.

DOI: 10.31857/S037406412108015X

1. Введение. Постановка задачи. Рассматривается задача динамического восстановле-

ния неизвестных входных воздействий (управлений). Предполагается, что система описывает-

ся нелинейным векторным дифференциальным уравнением

x(t) = f(t, x(t), u(t)), t ∈ T = [t₀, ϑ], x(t₀) = x₀,

(1)

где x(t) ∈ Rⁿ - фазовый вектор системы, u(t) ∈ P ⊂ R^m - управление, P - компакт, f : T ×

× Rⁿ × P → Rⁿ - векторная функция, непрерывная по t, u и липшицева по x. Эволюция

фазового состояния x(t), t ∈ T, определяется некоторым входом u(·). Этот вход, а также

траектория x(·) системы неизвестны. В дискретные, достаточно частые моменты времени

τi ∈ T, τi < τi+1, измеряются с некоторой ошибкой координаты вектора x(τi). Требуется

восстановить управление u(·), порождающее решение x(·). Так как точное восстановление

управления u(·) невозможно, то необходимо построить алгоритм приближённого вычисле-

ния некоторого приближения к u(·). Это приближение должно быть тем лучше, чем меньше

величина погрешности измерения x(τ_i) и чем гуще сетка {τ_i}, взятая на промежутке T.

Обсуждаемая задача относится к классу обратных задач динамики управляемых систем.

Один из подходов к решению подобного типа задач развит в работах [1-5]. Здесь мы указываем

только монографии и обзорные статьи. В соответствии с этим подходом задача динамического

восстановления заменяется задачей позиционного управления некоторой специальным обра-

зом подобранной системы, называемой моделью. При этом приближение неизвестного входа

строится с помощью модели. В настоящей работе предложен отличный от известных алгоритм

решения задачи восстановления, основанный на тех же идеях, что и алгоритмы из указанных

выше работ.

2. Алгоритм решения. Рассмотрим разбиение отрезка T на m_h - 1 полуинтервалов

δ_h,i = [τ_h,i,τh,i+1) узлами τ_h,i = t₀ +iδ_h, 0 ≤ i ≤ mh, с шагом δh = (ϑ-t0)/mh. Через ξhi обо-

значим результаты измерений состояний x(τ_i), т.е. векторы, удовлетворяющие неравенствам

|x(τ_i) - ξ^hi| ≤ h, τ_i = τ_h,i, i ∈ [0 : m_h - 1],

(2)

где h ∈ (0, 1) - величина погрешности измерения фазового состояния системы (1), а | · | -

евклидова норма в Rⁿ.

В соответствии с подходом [1-5], прежде чем приступить к описанию алгоритма реше-

ния задачи, мы должны указать вспомогательную систему (модель). В данной статье модель

описывается уравнением вида

w_h(t) = v^h(t), t ∈ T, w_h(t₀) = ξh0.

(3)

Её решение - абсолютно непрерывная функция w_h(·) = w_h(· ; t₀, w_h(t₀), v^h(·)).

1146

ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

1147

Заметим, что модель является простейщей дифференциальной системой, в то время как

реальная система нелинейна по фазовым переменным. Обозначим

P (·) = {u(·) ∈ L₂(T ; Rⁿ) : u(t) ∈ P при п.в. t ∈ T }.

Пусть sel U(x(·)) - совокупность всех управлений u(·) из P (·), порождающих x(·), т.е.

sel U(x(·)) = {u(·) ∈ P (·) : x(t) = f(t, x(t), u(t)) при п.в. t ∈ T };

в дальнейшем через dist (u(·), sel U(x(·))) обозначаем расстояние между управлением u(·) и

непустым множеством sel U(x(·)) в метрике пространства L₂(T ; Rⁿ).

Через v[a,b](·) будем обозначать сужение функции v(t) на отрезок [a, b]. Введём два управ-

ления u^h(·) и v^h(·). При этом второе управление (управление в модели (3)) будет носить

вспомогательный характер. Оно необходимо для вычисления u^h(·). Пусть функции vh[τi,τi+1](·)

и u[τi,τi+1](·) вычисляются в моменты τi = τh,i по правилу

v^h(t) = 0, u^h(t) = 0 при t ∈ δ₀ = [t₀,τ₁),

v^h(t) = v^hi = v^h(τ_i,ξhi-1,ξ^hi,w_h(τ_i)), u^h(t) = u^hi = u^h(τ_i,ξ^hi,v^hi)

при t ∈ δ_i = [τ_i, τi+1), i ∈ [1 : m - 1], m = m_h,

где

{

если ρ^hi ≤ 0 или |πhi| ≤ ε,

v^hi =

(4)

−ρ^hi(a^hi)-2π_i

в противном случае,

u^hi = arg min{|f(τ_i,ξ^hi,v) - v^hi| : v ∈ P},

ρ^hi = -(π^hi,χ^hi), π^hi = w_h(τ_i) - ξhi-1, χ^hi = ξ^hi - ξhi-1, a^hi = |π^hi|δ1/2,

здесь через ( · , · ) обозначено скалярное произведение в Rⁿ.

В дальнейшем нам понадобится следующее

Утверждение [6, с. 69]. Если семейство управлений ũ^h(·) ∈ P (·) таково, что

∫

|f(t, x(t), ũ^h(t)) - x(t)|²dt → 0 при h → 0,

t₀

то имеет место сходимость

dist (ũ^h(·), sel U(x(·))) → 0 при h → 0.

Теорема. Пусть при некотором ε ∈ (0, 1) и всех h ∈ (0, 1) выполняется неравенство

h1-εδ-1(h) ≤ c₀ (c₀ = const ∈ (0,+∞)). Тогда

dist (u^h(·), sel U(x(·))) → 0 при h → 0.

Доказательство. Оценим изменение величины εi+1 = |ri+1|², ri+1 = w_h(τi+1) - x(τ_i),

i ∈ [0 : m - 1]. Имеем неравенство

εi+1 ≤ ε_i + J1,i + J2,i,

(5)

где

( ∫τi

)



∫

τ_i



²



J1,i = 2

r_i,

μ₁(τ;v^h, x)dτ

J2,i =

μ₁(τ;v^h, x)dτ

μ₁(τ;v^h, x) = v^h(τ + δ) - x(τ).



τi-1

10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

1148

МАКСИМОВ

Ввиду (2) верно неравенство



∫

τ_i



x(τ) dτ

2h,

(6)

^χ

≤

τi-1

воспользовавшись которым получим

( ∫τi

)

ρ^hi ≤ - π^hi,

x(τ) dτ

+ 2h|πhi |.

τi-1

Отсюда следует, что

ρ^hi ≤ a^hi| x(·)|_L

(7)

2(δi-1;Rⁿ) +2h|πi|.

Далее, в силу неравенств (6) верна оценка

J1,i ≤ J1,i + β_h,i.

(8)

Здесь

∫τi

β_h,i = 2h

|μ₁(τ; v^h, x)| dτ,

τi-1

( ∫τi

)

( ∫τi

)

J1,i = 2

π^hi,

μ₁(τ;v^h, x)dτ

≤ 2ρ^hi + 4h|πhi | + 2 πhi ,

v^h(τ + δ)dτ

τi-1

Заметим, что при выполнении условия

ρ^hi > 0

(9)

управление v^h(τ), τ ∈ [τ_i, τi+1), вида (4) обеспечивает выполнение неравенства

∫τi

ρ^hi +

(π^hi, v^h(τ + δ)) dτ ≤ 0.

(10)

τi-1

В таком случае при условии (9) из определения (4) и оценки (7) вытекает неравенство

∫

)1/2

|v^h(·)|_L

(ρ^hi|π^hi|(a^hi)-2)² dt

2(δi;Rⁿ) ≤

τ_i

= ρhi /a^hi ≤ | x(·)|_L

(11)

2(δi-1;Rⁿ) +2h|πi|-1δ-1/2|πi|=|x(·)|L2(δi-1;Rⁿ)+2hδ-1/2.

Очевидно, неравенства (10) и (11) верны и при ρ^hi ≤ 0.

Рассмотрим величину β_h,i. Имеем

β_h,i ≤ 4h² + δ{| x(·)|2L

+ |v^h(·)|2L

(12)

2(δi-1;Rⁿ)

2(δi;Rⁿ)

Ввиду (11) справедливо неравенство

|v^h(·)|2L

≤ 2| x(·)|2L

+ 8h²δ-1,

(13)

2(δi;Rⁿ)

2(δi-1;Rⁿ)

учитывая которое в неравенстве (12), получаем

β_h,i ≤ 4h² + 3δ| x(·)|2L

+ 8h²δ-1 ≤ 12h²δ-1 + 3δ| x(·)|2L

(14)

2(δi-1;Rⁿ)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

1149

Кроме того, в силу (13) имеет место оценка

J2,i ≤ 2δ{| x(·)|2L

+ |v^h(·)|_L

(15)

2(δi-1;Rⁿ)

2(δi;Rⁿ)}≤4δ|x(·)|L2(δi-1;Rn)+16h2.

Воспользовавшись неравенством (10), устанавливаем оценку

J1,i ≤ 4h(h + ε1/2i) ≤ 4h² + 2h + 2hε_i ≤ 6h + 2hε_i.

(16)

Объединив (14) и (15), получим

β_h,i + J2,i ≤ 9δ| x(·)|2L

+ 28h²δ-1.

(17)

2(δi-1;Rⁿ)

Из неравенства (5) вследствие оценок (8), (16) и (17) выводим неравенство

εi+1 ≤ (1 + 2h)ε_i + 9δ| x(·)|2L

+ 6h + 28h²δ-1, i ∈ [0 : m - 1],

2(δi-1;Rⁿ)

учитывая которое, аналогично [7, с. 59-61] устанавливаем, что

εi+1 ≤ (|w^h(t₀ + δ) - x(t₀)|² + 6hδ-1 + 28h²δ-2 + 9δ| x(·)|2L

)×

2(T ;Rⁿ)

× exp{(1 + 2hδ-1)(τi+1 - t₀)}, i ∈ [0 : m - 1].

(18)

Далее, при всех t ∈ δ_i выполняется соотношение



∫



²



|w_h(t) - x(t)|² =^w_h(τi+1) -

v^h(s + δ)ds - x(τ_i) -

x(s)ds

≤εi+1 +e_i.

(19)



τ_i

Здесь

∫

e_i = 2|w_h(τi+1) - x(τ_i)|

{| x(τ)| + |v^h(τ + δ)|} dτ + 2δ{| x(·)|2L

+ |v^h(·)|2L

}≤

2(δi;Rⁿ)

2(δi+1;Rⁿ)

τ_i

≤ εi+1 + 4δ{|x(·)|2L

+ |v^h(·)|2L

2(δi;Rⁿ)

2(δi+1:Rⁿ)

В таком случае, воспользовавшись неравенством (11), несложно показать, что e_i ≤ εi+1 + c₁δ.

Отсюда и из (18), (19) вытекает оценка

|x(t) - w_h(t)|² ≤ c₂(hδ-1(1 + hδ-1) + δ), t ∈ T.

(20)

Здесь и ниже c_j , j = 1, 2, . . . , - положительные постоянные.

Далее, в силу (11), каково бы ни было λ ∈ (0, +∞), верно неравенство

|v^h(·)|2L

≤ (| x(·)|2L

+ 2hδ-1/2)² ≤ (1 + λ)| x(·)|2L

+ 4h²(λδ)-1.

2(δi+1;Rⁿ)

2(δi;Rⁿ)

Следовательно,

|v^h(·)|2L

≤ (1 + λ)| x(·)|2L

+ 4(ϑ - t₀)λ-1(hδ-1)².

(21)

2(T ;Rⁿ)

Если λ = h^ε, h1-εδ-1(h) ≤ c₀ при h ∈ (0, 1), то (ϑ - t₀)λ-1(hδ-1)² ≤ c₂h^ε и из (21) следует

неравенство

|v^h(·)|2L

≤ (1 + h^ε)| x(·)|2L

+c₄h^ε.

(22)

2(T ;Rⁿ)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021

10^∗

1150

МАКСИМОВ

Воспользовавшись неравенствами (20) и (22), стандартным образом (см., например, [3, с. 24-

26]) устанавливаем сходимость

v^h(·) → x(·) в L₂(T;Rⁿ) при h → 0.

(23)

Через X(·) обозначим пучок решений системы (1), т.е.

X(·) = {x(·) : x(t) = f(t, x(t), u(t)) при п.в. t ∈ T, u(·) ∈ P (·), x(t₀) = x₀}.

Пусть K = sup{|x| : x ∈ X(t), t ∈ T }, Q = {x ∈ Rⁿ : |x| ≤ K + 1}. Нетрудно видеть, что

при п.в. t ∈ T и всех x(·) ∈ X(·) справедливо неравенство | x(t)| ≤ c₅. Поэтому при п.в. t ∈ δ_i

и всех i ∈ [0 : m - 1], u ∈ P имеет место оценка

||f(t, x(t), u) - x(t)| - |f(τ_i, ξ^hi, u) - v^hi|| ≤ ω(δ) + L(|ξ^hi - x(t)| + | x(t) - v^hi|) ≤

≤ c₆(ω(δ) + h + δ + | x(t) - v^h(t)|).

(24)

Здесь ω(δ) = sup{|f(t₁, x, u) - f(t₂, x, u)| : t₁, t₂ ∈ T,

|t₁ - t₂| ≤ δ, x ∈ Q, u ∈ P }. Пусть

u(·) ∈ sel U(x(·)), L - постоянная Липшица функции x → f(t, ·, u). Положив в (24) u = u^h(t),

устанавливаем справедливую при п.в. t ∈ δ_i и всех i ∈ [0 : m - 1] оценку

Отсюда, учитывая правило определения u^hi (см. (4)), получаем

(25)

Пусть в (24) u = u(t), тогда, воспользовавшись равенством

|f(t, x(t), u(t)) - x(t)| = 0 (при п.в. t ∈ T ),

из (24) выводим справедливую при п.в. t ∈ δ_i оценку

|f(τ_i, ξ^hi, u(t)) - v^hi| ≤ c₆(ω(δ) + h + δ + | x(t) - v^hi|).

(26)

Учитывая неравенства (25), (26), получаем, что при п.в. t ∈ T верна оценка

|f(t, x(t), u^h(t)) - x(t)| ≤ 2c₆(ω(δ) + h + δ + | x(t) - v^h(t)|).

(27)

Справедливость теоремы следует из утверждения, сходимости (23) и неравенства (27). Тео-

рема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.,

1999.

2. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical

Solutions. London, 1995.

3. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Методы динамического восстановления входов

управляемых систем. Екатеринбург, 2011.

4. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Некоторые алгоритмы динамического восстанов-

ления входов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 1. С. 129-161.

5. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов И.И. Обратные задачи динамики для параболических

систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 5. С. 579-597.

6. Кряжимский А.В. О непрерывности лебеговских множеств в задаче оптимального управления

// Задачи оптимизации и устойчивости в управляемых системах. Свердловск, 1990. С. 54-73.

7. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М., 1974.

Институт математики и механики

Поступила в редакцию 07.11.2020 г.

им. Н.Н. Красовского УрО РАН,

После доработки 09.03.2021 г.

г. Екатеринбург

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№8

2021