ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 9, с.1153-1163

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.955+517.956

О ПРОДОЛЖЕНИИ РЕШЕНИЯ

ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СТАЦИОНАРНОЙ

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

Методом функции Карлемана установлен критерий разрешимости задачи Коши для лине-

аризованной системы уравнений Навье-Стокса в многомерном пространстве и построено

её регуляризованное решение.

DOI: 10.31857/S0374064121090016

1. Введение. В данной работе рассматривается задача продолжения решения линеари-

зованной стационарной системы уравнений Навье-Стокса (л.с.с.у. Н-С) в пространственную

ограниченную область по значениям вектора скорости и вектора напряжений на части грани-

цы этой области, т.е. задача Коши для этой системы.

Доказательство приведённой в п. 3 работы формулы продолжения, представляющей со-

бой решение задачи Коши, основывается на методе, предложенном Т. Карлеманом [1] и обоб-

щённом в работах [2-5]. В качестве следствия этой формулы продолжения получен критерий

разрешимости задачи Коши, который является аналогом теоремы Фока-Куни [6] для л.с.с.у.

Н-С. В п. 4 строится регуляризация решения задачи Коши. В п. 2 дано построение матри-

цы Карлемана. Для л.с.с.у. Н-С регуляризация и разрешимость задачи Коши в трёхмерном

случае рассматривались в работах [7, 8], а задача Коши на плоскости - в работе [9].

Пусть x = (x₁, . . . , x_n), y = (y₁, . . . , y_n) - точки n-мерного евклидова пространства Rⁿ

(n ≥ 3); x^′ = (x₁, . . . , xn-1, 0), y^′ = (y₁, . . . , yn-1, 0) ∈ Rn-1; s = |x^′ - y^′|², r² = s + (x_n - y_n)²;

τ = tg(π/(2ρ)), ρ < 1; K_ρ = {y : |y^′| < τy_n, y_n > 0}, ∂Kρ = {y : |y′| = τyn}, Kρ = Kρ

^⋃∂K_ρ;

ω_n - площадь единичной сферы в Rⁿ; D_ρ - односвязная область с границей ∂D_ρ, состоящей

из части поверхности конуса ∂K_ρ и гладкого куска S поверхности, лежащего внутри конуса

K_ρ. В случае ρ = 1 получаем, что K₁ - полупространство y_n > 0 и ∂K₁ - плоскость y_n = 0,

тогда D₁ - односвязная ограниченная область в Rⁿ с границей, состоящей из части плоскости

y_n = 0 и гладкого куска S поверхности, лежащего в полупространстве y_n > 0.

Л.с.с.у. Н-С в пространстве Rⁿ имеет вид

νΔv(x) - grad p(x) = 0, div v(x) = 0.

(1.1)

Здесь v(x) = (v₁(x), . . . , v_n(x)) - вектор скорости, компоненты которого определены в области

D_ρ и принадлежат классу C²(D_ρ), функция p(x) - давление - принадлежит классу C¹(D_ρ),

постоянная ν - коэффициент вязкости, Δ - оператор Лапласа. Будем следовать обозначениям

из монографии [10]. Введём оператор напряжения

T (v(y), p(y)) = ∥T_kj (v(y), p(y))∥_n×n,

)

⁽∂v_k(y)

∂v_j(y)

T_kj(v(y),p(y)) = -δ_kjp(y) + ν

k,j = 1,n,

∂y_j

∂y_k

δ_kj - символ Кронекера.

Множество пар (v(x), p(x)), где v(x) ∈ C²(D_ρ)

^⋂C¹(D_ρ) и p(x) ∈ C¹(D_ρ)^⋂C(D_ρ), удо-

влетворяющих в области D_ρ системе (1.1), обозначим через N(D_ρ). Пару (v, p) ∈ N(Dρ)

назовём регулярным решением системы (1.1) в области D_ρ.

1153

1154

ИШАНКУЛОВ Т., ИШАНКУЛОВ Ф.Т.

Задача А. Известны данные Коши решения системы (1.1) на поверхности S:

v(y)

f (y), y ∈ S,

(1.2)

T (v(y), p(y))^N (y) =^h(y), y ∈ S,

(1.3)

где

^N (y) = (N₁(y), . . . , N_n(y)) - единичный вектор внешней нормали к поверхности S в точ-

ке y,

f = (f₁,...,f_n),

h= (h₁,... ,h_n) - заданные непрерывные вектор-функции. Требуется

восстановить вектор-функцию v(x) и функцию p(x) в области D_ρ, исходя из заданны

Задача Б. Указать условия, которым должны удовлетворять непрерывные вектор-функ-

ци

f (y) и^h(y), y ∈ S, чтобы существовало решение задачи Коши (1.1)-(1.3).

Единственность решения задачи А следует из общей теоремы Хольмгрена [11, с. 49]. Од-

нако задача А некорректна, так как её решение: 1) существует не для любых данных и 2) не

зависит непрерывно от данных Коши на поверхности S. Поэтому условие разрешимости не

может быть описано в терминах линейно непрерывных функционалов. Если поверхность S и

вектор-функции

h вещественно аналитические, то, согласно теореме Коши-Ковалевской

[11, с. 24], решение задачи Коши (1.1)-(1.3) существует в окрестности поверхности S. Однако

нас интересует глобальная разрешимость этой задачи.

Некорректность задачи Коши (1.1)-(1.3) показывает следующий пример, аналогичный при-

меру Адамара [12, с. 39].

Пример. Пусть S - кусок плоскости x₃ = 0 в R³ и

√

u(k)1(x) =

(kx₁ cos(kx₁) + sin(kx₁)) sin(kx₂) sh (

2kx₃),

νk³

√

2x₁

√

u(k)2(x) =x1

sin(kx₁)cos(kx₃)sh (

2kx₃), u(k)3(x) =

sin(kx₁) sin(kx₂) ch (

2kx₃),

νk²

√

p(k)(x) =

cos(kx₁) sin(kx₂) sh (

2kx₃), k = 1,2,...

k²

Несложно убедиться, что при каждом k пара (u(k), p(k)(x)), составленная из вектор-функ-

ции u(k)(x) = (u(k)1(x), u(k)2(x), u(k)3(x)) и скалярной функции p(k)(x), удовлетворяет л.с.с.у.

Н-С в R³. Кроме того, при x₃ = 0 справедливы оценки

const

|u(k)(x)| ≤

|T (u(k)(x), p(k)(x))^N (x)| ≤^const

νk²

Однако в каждой точке x ∈ D₁ с x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ > 0 имеем

lim

|u(k)(x)| = ∞, lim p(k)(x) = ∞.

k→∞

2. Конструкция фундаментального решения. При исследовании задач А и Б ис-

пользуем подходящее фундаментальное решение системы (1.1). Доказываемые ниже формулы

продолжения, представляющие собой решение задач А и Б, основаны на методе функции Кар-

лемана, разработанном М.М. Лаврентьевым [2]. При построении матрицы Карлемана исполь-

зуем функцию Карлемана для уравнения Лапласа, построенную Ш.Я. Ярмухамедовым [3].

Следуя [2], приводим определение матрицы Карлемана.

Определение. “Матрицей” Карлемана задачи (1.1)-(1.3) называется пара (G, r), состо-

ящая из (n × n)-матрицы G = (G^mk) и вектор-функции r = (r¹, . . . , rⁿ), зависящих от точек

x ∈ D_ρ, y ∈ D_ρ и числового параметра σ > 0 и удовлетворяющих следующим двум условиям:

1) для каждой точки x ∈ D_ρ справедливы представления

Gmk(x, y, σ) = u^mk(x - y) + g^mk(x, y, σ), k, m = 1, n,

r^m(x,y,σ) = q^m(x - y) + g^m(x,y,σ), m = 1,n,

(2.1)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О ПРОДОЛЖЕНИИ РЕШЕНИЯ

1155

где пара (u^m, q^m) - основное сингулярное решение системы (1.1), u^m = (um1, . . . , u^mn), а па-

ра (g^m, g^m), составленная из вектор-функции g^m = (gm1, . . . , g^mn) и функции g^m, является

решением по переменной y всюду в области D_ρ сопряжённой л.с.с.у. Н-С

νΔ_yg^m + grad_yg^m = 0, div_yg^m = 0;

2) для каждой точки x ∈ D_ρ имеют место неравенства

∫

(|G^mk(x, y, σ)| + |T^′ij (Gm(x, y, σ), r^m(x, y, σ))_y |) dS_y ≤ ε₁(σ, x),

∂Dρ\S

∫

(



)

_∂rm(x,y,σ)



|r^m(x, y, σ)| +

S_y ≤ ε₂(σ,x), i,j,k,m = 1,n,

(2.2)



 d

∂x_k

∂Dρ\S

где ε_l(σ, x) - некоторые функции, стремящиеся к нулю в каждой точке x ∈ D_ρ при σ → ∞,

l = 1,2,

)

⁽∂G^mi

∂G^mj

T^′ij(Gm,r^m)_y = δ_ijr^m + ν

∂y_j

∂y_i

Отметим, что если в приведённом определении вектор-функция g^m и функция g^m за-

висят от разности x - y, то требование, чтобы пара (g^m, g^m) удовлетворяла по y всюду в

области D_ρ сопряжённой л.с.с.у. Н-С, равносильно тому, что эти функции по переменной x

удовлетворяют уравнениям (1.1). “Матрица” Карлемана для задачи Коши (1.1)-(1.3) играет

такую же роль, какую играет матрица Грина в первой краевой задаче для системы (1.1).

Переходим к построению “матрицы” Карлемана. Матрицу (G^mk) и вектор r определим

равенствами

(

)

∂

Gmk(x - y, σ) = -

δ_kmΦ(x - y,σ) + (x_m - y_m)

Φ(x - y, σ)

2ν

∂y_k

∂

r^m(x - y,σ) = -

Φ(x - y, σ),

(2.3)

∂y_m

где Φ - функция Карлемана для уравнения Лапласа, которая определяется следующим обра-

зом:

если n = 2l + 1, l ≥ 1, то

∫

∞

)

l-1

√

∂

⁽E_ρ(σw)

a_mΦ(x - y,σ) =

√

w=i

u² + s + y_n - x_n;

(2.4)

∂sl-1

u² + s

если n = 2l, l ≥ 2, то

)

l-2

∂

⁽E_ρ(σw₁)

a_mΦ(x - y,σ) =

√

w₁ = i√s + yn - xn,

(2.5)

∂sl-2

sw₁

{

(-1)^l2-1(l - 2)!(n - 2)ω_n,

n = 2l, l ≥ 2,

a_n =

(2.5a)

(-1)^l2-1(2l - 3)!!(n - 2)πω_n,

n = 2l + 1, l ≥ 1,

i - мнимая единица, E_ρ(w) - целая функция Миттаг-Лёффлера.

В работе [3] доказаны следующие две леммы.

Лемма 2.1. Функция Φ, определённая формулами (2.4), (2.5), представима в виде

2-n

Φ(x - y, σ) =

+ γ(x - y,σ),

(2.6)

ω_n(n - 2)

где γ - гармоническая функция по переменной y, включая y = x.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1156

ИШАНКУЛОВ Т., ИШАНКУЛОВ Ф.Т.

Лемма 2.2. Пусть E - компакт в K_ρ, δ - расстояние от E до ∂K_ρ. Тогда для n ≥ 3,

σ ≥ 0 при x ∈ E, y ∈ Rⁿ\K_ρ справедливы неравенства



 ∂



 ∂

∂



C₁(ρ,δ,n)r



|Φ(x - y, σ)| +^

Φ(x - y, σ)

(x - y, σ)

k,j = 1,n,

(2.7)

⁺

≤

∂y_k

^∂x_j ∂y_kΦ

1+σδ



∂Φ(x-y,σ)



∂²



∂³



C₂(ρ,δ,n)r



(x - y, σ)

k,j = 1,n, (2.8)



⁺

≤

∂σ

^∂σ∂y_kΦ

^∂σ∂x_j∂y_kΦ

1+σ²δ²

где постоянные C_j не зависят от x, y и σ.

Воспользовавшись этими утверждениями, докажем, что справедлива

Лемма 2.3. Пара ((G^mk), r ), состоящая из матрицы (G^mk) и вектора r, определённых

равенствами (2.3)-(2.5), является “матрицей” Карлемана для задачи (1.1)-(1.3).

Доказательство. В силу равенств (2.3)-(2.6) имеем

(

)

(

))

r2-n

∂

r2-n

Gmk(x-y, σ) = -

δ_km

+γ(x-y,σ)

+(x_m -y_m)

+γ(x-y,σ)

8πν

ω_n(n - 2)

∂y_k ω_n(n - 2)

= umk (x - y) + gmk (x,y,σ),

(

)

2-n

∂

r^m(x - y,σ) = -

+ γ(x - y,σ)

= q^m(x - y) + g^m(x,y,σ).

∂y_m ω_n(n - 2)

Здесь мы воспользовались формулами Лоренца

u^mk(x - y) = -

(δ_kmr2-n + (n - 2)(x_k - y_k)(x_j - y_j)r^-n),

2νω_n(n - 2)

q^m(x - y) = -

(x_m - y_m)r^-n

ω_n

для основного сингулярного решения ((u^mk), q^m) в многомерном пространстве. В трёхмерном

пространстве формулы Лоренца приведены в [10, с. 70].

Докажем, что при каждом m = 1, n пара (g^m, g^m), состоящая из вектор-функции g^m с

компонентами

[

]

∂

g^mk(x - y,σ) = -

δ_kmγ(x - y,σ) + (x_m - y_m)

γ(x - y, σ) , k = 1, n,

2ν

∂y_k

∂

и функции g^m(x - y, σ) = -

γ(x - y, σ), удовлетворяет по переменной y в каждой огра-

∂y_m

ниченной области пространства Rⁿ, включая точку y = x, сопряжённой л.с.с.у. Н-С. В са-

мом деле,

(

)

∂g^mk

∂γ

∂²γ

x_m - y_m ∂²γ

δ_km

-δ_km

+ (x_m - y_m)

∂y_k

2ν

∂y_k

∂y2k

2ν

∂y²

(

)

∂g^mk

∂γ

∂²γ

δ_km

-δ_im

+ (x_m - y_m)

∂y_i

2ν

∂y_i

∂y_k

∂y_k∂y_i

(

)

∂²g^mk

∂²γ

∂

∂²γ

δ_km

- 2δ_im

+ (x_m - y_m)

∂y2i

2ν

∂y2i

∂y_k∂y_i

∂y_k ∂y²

∂g^m

∂²γ

∂y_k

∂y_m∂y_k

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О ПРОДОЛЖЕНИИ РЕШЕНИЯ

1157

Отсюда в силу гармоничности функции γ следует, что функции g^mk, k = 1, n, и g^m удовле-

творяют сопряжённой л.с.с.у. Н-С, т.е.

∑

∂²g^mk

∂g^m

= 0.

∂y2i

∂y_k

i=1

Следовательно, для функций G^mk и r^m имеют место представления (2.1), где функции

g^mk, k = 1,n, и g^m удовлетворяют по переменной y сопряжённой системе Навье-Стокса,

включая точку y = x. Из формул (2.3)-(2.5) и неравенства (2.8) получаем следующие оценки:

∫

(|G^mk| + |T^′ij (Gm, r^m)_y|) ds_y ≤A1(ρ,δ,n),

1+σδ

∂Dρ\S

∫

(



)

_∂rm



A₁(ρ,δ,n)



|r^m| +

s_y ≤

x∈E.

(2.9)

 d

∂x_k

1+σδ

∂Dρ\S

A₁(ρ,δ,n)

Таким образом, неравенства (2.2) выполняются с ε_l(x, σ) ≤

, x ∈ E, l = 1,2.

1+σδ

Лемма доказана.

3. Формула Карлемана. Из леммы 2.3 вытекает, что для регулярного решения (v,p) ∈

∈ N(D_ρ) системы (1.1) в области D_ρ, справедливы следующие интегральные формулы Гри-

на [10, с. 72]:

∫

∑

v_m(x) =

(T^′ij (Gm, r^m)_yv_i(y)N_j (y) -GmT_ij (v, p)N_j ) ds_y, m = 1, n,

i,j=1

∂Dρ

∫

(

)

∑

∂r^m

p(x) = -

r^mT_mj(v,p)N_j(y) + 2ν

v_mN_j(y) ds_y, x ∈ D_ρ,

(3.1)

∂x

m,j=1

∂Dρ

где в T^′ij (u^m, q)_y индекс y показывает, что дифференцирование в T^′ij ведётся по y , для

упрощения записи аргументы в подынтегральных функциях опущены.

Положим

∫

)

∑

v^σm(x) =

T^′ij(Gm,r^m)_yf_iN_j(y) - G^mih_j(y) ds_y, m = 1,n,

j=1

S i⁼¹

∫

)

∑(

∑

∂r^m

p^σ(x) = -

r^m

h_m(y) + 2νf_m

N_j(y) ds_y.

(3.2)

∂x

j=1

S m⁼¹

Теорема 3.1. Пусть (v, p) ∈ N(D_ρ) и v(y)

f (y), T (v(y), p(y)) =^h(y), y ∈ S, где

f (y) и

^h(y) - заданные вектор-функции классов C¹(S) и C(S) соответственно. Тогда справедливы

следующие эквивалентные формулы продолжения:

∫

)

∑

v_m(x) = lim

T^′ij(Gm,r^m)_yf_i(y)N_j(y) - G^mih_j(y) ds_y, m = 1,n,

σ→∞

j=1

S i⁼¹

∫

)

∑(

∑

∂rⁱ

p(x) = - lim

rⁱh_i(y) + 2νf_i(y)

N_j(y) ds_y, x ∈ D_ρ,

(3.3)

σ→∞

∂x

j=1

S i⁼¹

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1158

ИШАНКУЛОВ Т., ИШАНКУЛОВ Ф.Т.

∫

)

∫

∞

∑

v_m(x) =

T^′ij(u^m,q^m)_yf_i(y)N_j(y) - u^mih_j(y) ds_y + F^m(x,σ)dσ, m = 1,n,

j=1

S i⁼¹

∫

)

∫

∞

∑(

∑

∂qⁱ

p(x) = -

qⁱh_i(y) + 2νf_i(y)

N_j(y) ds_y -

P (x, σ)dσ, x ∈ D_ρ,

(3.4)

∂x_j

j=1

S i⁼¹

где

)

⁽∂u^mi

∂u^mj

T^′ij(u^m,q^m) = δ_ijq^m + ν

∂y_j

∂y_i

∫

)

∑

F^m(x,σ) =

T^′ij(Ωm,R^m)_yf_i(y)N_j(y) - Ω^mih_j(y) ds_y,

j=1

S i⁼¹

∫

)

∑(

∑

∂Rⁱ

P (x, σ) = -

Rⁱh_i(y) + 2νf_i(y)

N_j(y) ds_y,

(3.5)

∂x

j=1

S i⁼¹

∂

Ω^mi(x - y,σ) =

Gmi(x - y, σ), Rⁱ(x - y, σ) =

r^m(x - y,σ), m = 1,n.

(3.5a)

∂σ

Доказательство. В силу формул (3.1) и (3.2) получаем

∫

∑

v_m(x) - v^σm(x) =

(T^′ij (^⃗m, rm)yvi(y)Nj (y) - GmiTij (v, p)Nj (y)) dsy,

i,j=1

∂Dρ

∫

(

)

∑

∂r^m

p(x) - p^σ(x) = -

r^mT_mj(v,p)N_j(y) + 2ν

v_mN_j(y) ds_y.

(3.6)

∂x

m,j=1

∂Dρ\S

Из оценок (2.9) и представлений (3.6) следует, что для любого компактного множества

E ∈ D_ρ и x ∈ E выполняются оценки

A₁(ρ,δ,n)

|v^σm(x) - v_m(x)| ≤ c

|p^σ(x) - p(x)| ≤ c

1+σδ

где c = const, из которых и вытекает справедливость формул (3.3).

Покажем эквивалентность формул (3.3) и (3.4). Вследствие равенств (3.5a) запишем фор-

мулы (3.4) в виде

∫

)

∑

v_m(x) =

T^′ij(u^m,q^m)_yf_i(y)N_j(y) - u^mih_j(y) ds_y +

j=1

S i⁼¹

∫∞

{∫

)

}

∑

∂

T^′ij(Gm,r^m)_yf_i(y)N_j(y) - G^mhj(y) dsy dσ,

∂σ

j=1

S i⁼¹

∫

)

∑(

∑

∂qⁱ

p(x) = -

qⁱh_i(y) + 2νf_i(y)

N_j(y) ds_y -

∂x

j=1

S i⁼¹

∫∞

{∫

)

}

∑(

∑

∂

∂rⁱ

rⁱh_i(y) + 2νf_i(y)

N_j(y) ds_y dσ.

(3.7)

∂σ

∂x

j=1

S i⁼¹

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О ПРОДОЛЖЕНИИ РЕШЕНИЯ

1159

Так как на основании формулы Ньютона-Лейбница

∞

∫

dΦ(σ)

dσ = Φ(∞) - Φ(0),

dσ

то представления (3.7) приводят к формулам (3.3). Теорема доказана.

Формулы (3.3) и (3.4) представляют собой аналог формулы Карлемана для л.с.с.у. Н-С и

дают решение задачи А.

Переходя к рассмотрению задачи Б, обозначим через S₀ поверхность S, из которой уда-

лён край.

Теорема 3.2. Пусть S ∈ C²,

f (y) ∈ C¹(S₀)

^⋂L(S),

^h(y) ∈ C(S₀)^⋂ L(S). Для того

чтобы существовала пара (v, p), где

⋂

⋃

⋂

⋃

⋂

v ∈ C²(D_ρ)

C¹(D_ρ

S₀)

L(S), p ∈ C¹(D_ρ)

C(D_ρ

S₀)

L(S),

удовлетворяющая в области D_ρ л.с.с.у. Н-С, такая, что

v(y)

f (y), T (v(y), p(y))^N (y) =^h(y), y ∈ S₀,

необходимо и достаточно, чтобы для каждого x ∈ D_ρ сходились несобственные интегралы

(равномерно на компактах из K_ρ):

 ∫

∞



 ∫

∞



F^m(x,σ)dσ

∞,

P (x, σ)dσ

∞.

(3.8)



^<



^<

Если условия (3.8) выполнены, то продолжение осуществляется эквивалентными фор-

мулами (3.3) и (3.4).

Доказательство. Необходимость. Пусть вектор-функция v и функция p, указанные в

формулировке теоремы, существуют. Пусть компакт E и число ε > 0 таковы, что E ⊂ K2ερ ⊂

⊂ K^ερ ⊂ K_ρ, где K^ερ = {y : |y^′| ≤ τ(y_n-ε), y_n ≥ ε}. Из леммы 2.2 следует, что при y ∈ Rⁿ\K^ερ и

x ∈ E для функции Φ(x-y,σ) справедливы оценки (2.7), (2.8), в которых δ ≥ ετ. Обозначим

S_ε = K^ερ ⋂S, при этом часть S_ε ⊂ S в объединении с частью T_ε поверхности конуса ∂K^ερ

представляет собой замкнутую кусочно-гладкую поверхности S_ε

^⋃T_ε, являющуюся границей

односвязной ограниченной области. Интегралы в правой части формул (3.5) представимы в

виде суммы двух интегралов согласно разбиению S = S_ε

^⋃ (S\S_ε).

Так как функция ∂Φ(x - y, σ)/∂σ является регулярной гармонической, то из леммы 2.3

вытекает, что пара, состоящая из матрицы (Ω^mi) и вектора

R, определённых равенствами

(3.5a), является регулярным решением системы (1.1) во всём пространстве. В силу формулы

Грина для л.с.с.у. Н-С интегралы по части S_ε равны интегралам по T_ε. При y ∈ T_ε, x ∈ E

для элементов матрицы (Ω^mi) и функции R^m справедливы неравенства (2.8) и продолжен-

ные функции v(y), p(y) вместе со своими частными производными ограничены постоянным

числом, зависящим от ε.

Имеют место неравенства

 ∫

)



∑



const



T^′ij(Ω^mi,R^m)_yf_i(y)N_j(y) - Ω^mih_i(y) ds_y

m = 1,n,



≤

1+δ²σ²

i=1

j=1

Sε

∫

)



∑(

∑



∂Rⁱ

const



Rⁱh_i(y) + 2νf_i(y)

N_j(y) ds_y



≤

∂x_j

1+δ²σ²

i=1

j=1

Sε

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1160

ИШАНКУЛОВ Т., ИШАНКУЛОВ Ф.Т.

с постоянной, зависящей от ρ, ε, δ и диаметра области D_ρ. Так как |y| ≤ τ(y_n - ε), y_n ≥ ε,

когда y ∈ S\S_ε и x ∈ E, и по условию

f (y),h(y) ∈ C(S₀)^⋂ L(S), то последние неравен-

ства сохраняются (с другими постоянными) и для модуля интегралов по части S\S_ε. Отсюда

следует условие (3.8).

Достаточность. Пусть для вектор-функций

f ∈ C¹(S₀)

^⋂ L(S), h ∈ C(S₀) ^⋂ L(S) вы-

полняется условие (3.8). Покажем, что существует пара (v, p), удовлетворяющая в области

D_ρ системе (1.1), v ∈ C²(D_ρ)

^⋂C¹(D_ρ ⋃S₀)^⋂ L(S), p ∈ C¹(D_ρ)^⋂ C(D_ρ ⋃ S₀)^⋂ L(S) такая,

что v(y)

f (y), T (v(y), p(y))N(y) =^h(y), y ∈ S₀.

Рассмотрим вектор-функцию v(x) = (v₁(x), . . . , v_n(x)) и функцию p(x), определяемые

двумя эквивалентными формулами (3.3) или (3.4). Интегралы в первых слагаемых в правой

части формул (3.4) являются интегралами типа Коши-Грина для л.с.с.у. Н-С. Эти интегралы

задают две пары функций (v^-(x), p^-(x)), (v+(x), p+(x)), из которых первая является реше-

нием системы (1.1) в области D_ρ, а вторая пара удовлетворяет уравнениям (1.1) в области

K_ρ\D_ρ. Из теории гидродинамических потенциалов [10, с. 78] следует, что при y ∈ S₀ имеют

место равенства

[v^-(y)]_int - [v⁺(y)]_ext

f (y),

[T (v^-(y), p^-(y))^N (y)]_int - [T (v⁺(y), p⁺(y))^N (y)]_ext =^h(y),

(3.9)

где через [v^-(y)]_int и [v+(y)]ext обозначены предельные значения вектор-функций v-(x) и

v⁺(x) соответственно при x → y (x ∈ D_ρ) и x → y (x ∈ G_ρ\D_ρ). Такой же смысл имеют

обозначения во втором из равенств в (3.9).

Функция ∂Φ(x - y, σ)/∂σ является по переменной x регулярной гармонической функцией

во всём пространстве Rⁿ. Повторяя доказательство леммы 2.3, нетрудно показать, что пара,

состоящая из матрицы (Ω^mi) и вектора

R, является регулярным решением системы (1.1) во

всём пространстве Rⁿ. В силу условий (3.8) отсюда следует, что вторые слагаемые в формулах

(3.4) удовлетворяют уравнениям (1.1) в области K_ρ.

Итак, правая часть формул (3.4) задаёт две пары функций (V-, P^-) и (V+, P⁺), которые

соответственно в областях D_ρ и K_ρ\D_ρ удовлетворяют уравнениям (1.1). При y ∈ S₀ имеют

место равенства

(V-(y))_int - (V+(y))_ext

f (y),

[T (V-(y), p^-(y))^N (y)]_int - [T (V+(y), p⁺(y))^N(y)]_ext =^h(y),

(3.9a)

причём если одна из этих пар непрерывна в соответствующей области вплоть до S₀ вместе с

напряжением, то другая также обладает этим свойством.

Если x_n > maxyn = x0n, x ∈ Kρ, то yn -xn < 0 и из свойств функции Миттаг-Лёффлера

y∈S

вытекает, что для функции Φ(x - y, σ) и её производных справедливы неравенства (2.7).

Отсюда следует, что “матрица” Карлемана, определяемая равенствами (2.3)-(2.5), при x_n >

> x0n, x ∈ K_ρ, удовлетворяет неравенствам:

∫

(|G^mk| + |T^′ij (Gm, r^m)_y|) ds_y ≤A2(ρ,δ,n),

1+σδ

∫ (



)

_∂rm



A₃(ρ,δ,n)



|r^m| +

s_y ≤

(3.10)

 d

∂x_k

1+σδ

В силу формул (3.3), которые эквивалентны формулам (3.4), и неравенств (3.10) заключа-

ем, что при x_n > maxyn, x ∈ Kρ, имеют место следующие равенства:

y∈S

V ⁺(x) = 0, P⁺(x) = 0, T(^V+(x),P⁺(x)) = 0.

(3.11)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О ПРОДОЛЖЕНИИ РЕШЕНИЯ

1161

Так как пара (V+(x), P⁺(x)) удовлетворяет системе уравнений (1.1) в области K_ρ\D_ρ, то

вектор-функцияV+(x) и функция P⁺(x) являются вещественно-аналитическими в этой об-

ласти. В силу свойства единственности аналитического продолжения [13, с. 147] из равенств

(3.11) вытекают тождества

V ⁺(x) ≡ 0, P⁺(x) ≡ 0, T(^V+(x),P⁺(x)) ≡ 0, x ∈ K_ρ\D_ρ,

из которых следует, что

V ⁺(y) ≡ 0, P⁺(y) ≡ 0, T(^V+(y),P⁺(y)) ^N(y) ≡ 0, y ∈ S₀.

Отсюда в силу равенств (3.9a) получаем

V^-(y)

f (y), T (V-(y), P^-(y))^N (y) =^h(y), y ∈ S₀.

(3.12)

Теперь вследствие равенств (3.14) для завершения доказательства достаточности в каче-

стве искомой пары (v, p) нужно взять пару (V-, P^-). Теорема доказана.

4. Регуляризация. Проведём регуляризацию решения задачи Коши (задача А) для облас-

ти D₁ ⊂ Rⁿ. Матрица Карлемана для области D₁ определяется равенствами (2.3), в которых

функция Φ определяется следующим образом:

если n = 2l + 1, l ≥ 1, то

∫

∞

)

l-1

√

∂

⁽ exp(σw)

a_nΦ(x - y,σ) =

√

w=i

u² + s + y_n - x_n,

(4.1)

∂sl-1

u² + s

если n = 2l, l ≥ 2, то

)

l-2

∂

⁽ exp(σw₁)

a_nΦ(x - y,σ) =

√

w₁ = i√s + yn - xn,

(4.2)

∂sl-2

sw₁

постоянная a_n определяется формулой (2.5а). Функцию Φ(x - y, σ) после отделения мнимой

части можно записать в следующем виде:

если n = 2l + 1, l ≥ 1, то

a_nΦ(x - y,σ) = exp(σy_n - σx_n) ×

∫∞

(

)

√

∂l-1

y_n - x_n

cos σ

u² + α² +

√

sin σ

u² + α²

du,

(4.1a)

∂sl-1

u² + r²

u² + α²

если n = 2l, l ≥ 2, то

))

l-2

∂

⁽1⁽

y_n - x_n

a_nΦ(x - y,σ) = exp(σy_n - σx_n)

cos σα +

sin σα

(4.2a)

∂sl-2

r²

Как следует из леммы 2.3, для функций G^mk и r^m, определённых равенствами (2.3), (4.1),

(4.2), имеют место представления (2.1), в которых функции g^mk и g^m удовлетворяют по пе-

ременной y сопряжённой л.с.с.у. Н-С во всём пространстве, включая точку y = x. Поэтому

функции G^mk, r^m и их производные оцениваются через |x - y|^-k по порядку также, как и

компоненты основного сингулярного решения. Для матрицы Грина и её производных такие

оценки в трёхмерном пространстве приведены в [11, с. 88]. Из формул (2.3), (4.1), (4.2), (2.6)

получаем неравенства

∫

(|G^mk| + |T^′ij (Gm, r^m)_y|) ds_y ≤ cc₁(x)ψ_n(σ) exp(-σx_n),

∂D₁\S

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1162

ИШАНКУЛОВ Т., ИШАНКУЛОВ Ф.Т.

∫

(



)

_∂rm



|r^m| +

s_y ≤ cc₂(x)ψ_n(σ)exp(-σx_n), x ∈ D₁,

(4.3)



 d

∂x_k

∂D₁\S

∫

(|G^mk| + |T^′ij (Gm, r^m)_y|) ds_y ≤ cc₁(x)ψ_n(σ) exp(σx0n - σx_n),

∫ (



)

_∂rm



|r^m| +

s_y ≤ cc₂(x)ψ_n(σ)exp(σx0n - σx_n), x ∈ D₁,

(4.4)

 d

∂x_k

где

{

∫

σ^l,

n = 2l,

ds_y

ψ_n(σ) =

c = const, c_k(x) =

σl+1,

n = 2l + 1,

|x - y|k+n-2

∂D₁

Теорема 4.1. Пусть (v, p) ∈ N(D₁) и v(y)

f (y), T (v(y), p(y))^N (y) =^h(y), где

f (y)

и h(y) - заданные вектор-функции классов C¹(S) и C(S) соответственно. Пусть вместо

f (y) иh(y) заданы их приближения - вектор-функции

f δ(y) и

g^δ(y) класса C(S) соот-

ветственно, такие, что

max|fk(y) - fδk(y)| + max |hk(y) - hδi(y)| ≤ δ, k = 1, n,

где δ ∈ (0, 1), и определены функции

∫

∑

v^σδm(x) =

T^′ik(Gm,r)_yf^δi(y)N_k(y)ds_y -

Gmih^δi(y) ds_y, m = 1, n,

S i,j=1

S i⁼¹

∫

)

∑(

∑

∂r^m

p^σδ(x) = -

r^mh^δm + 2νf^δ

N_j(y) ds_y, x ∈ D₁,

(4.5)

∂x

j=1

S m⁼¹

где σ = (- ln δ)/x0n.

Если |v_i(y)|+|T_ij (v(y)p(y))| ≤ 1, y ∈ ∂D₁/S, i, j = 1, n, то при любом x ∈ D₁ справедливы

неравенства

|v^σδm(x) - v_m(x)| ≤ Ac₁(x)δxn/xn ψ_n(- ln δ),

|p^σδ(x) - p(x)| ≤ Ac₂(x)δxn/xn ψ_n(- ln δ).

Доказательство. Из формул (3.1) и определения (4.5) для любого x ∈ D₁ вытекают

равенства

∫

∑

v^σδm(x) - v_m(x) =

T^′ik(Gm,r^m)_y(f^δi(y) - f_i(y))N_j(y)ds_y -

S i,j=1

∫

∑

Gmi(h^δi(y) - h_i(y)) ds_y +

(G^miT^′ij (v, p)N_j (y) - T^′ij (^⃗m, rm)yvi(y)Nj (y)) dsy,

i,j=1

S i⁼¹

∂D₁

∫

∑

∂r^m

p^σδ(x) - p(x) = -

r^m(h^δm(y) - h_m(y))ds_y - 2ν

N_j(y)(f^δm(y) - f_m(y))ds_y +

∂x_j

S m⁼¹

S m,j=1

∫

(

)

∑

∂r^m

r^mT_mk(v,p)N_j(y) + 2ν

v_m(y)N_j(y) ds_y.

∂x

m,j=1

∂D₁\S

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О ПРОДОЛЖЕНИИ РЕШЕНИЯ

1163

Отсюда получаем, что

∫

)

∑(

∑

|v^σδm(x) - v_m(x)| ≤ δ

|G^mi| +

|T^′ij (Gm, r^m)_y| ds_y +

j=1

S i⁼¹

∫

(

)

∑

|G^mi| +

|T^′ij(Gm, r^m)_y| ds_y,

i=1

j=1

∂D₁\S

∫



)

∑(

∑

_∂rm



|p^σδ(x) - p(x)| ≤ δ

|r^m| + 2ν

s_y +

 d

∂x_k

j=1

S i⁼¹

∫

(



)

∑

_∂rm



|r^m| + 2ν



s_y, x ∈ D₁.

(4.6)



 d

∂x

i=1

j=1

∂D₁\S

В силу неравенств (4.3), (4.4) и (4.6) справедливы оценки

|v^σδm(x) - v_m(x)| ≤ c₁(x)ψ_n(σ)(1 + δ exp(σx0n)) exp(-σx_n),

|p^σδ(x) - p(x)| ≤ c₂(x)ψ_n(σ)(1 + exp(σx0n)) exp(-σx_n), x ∈ D₁,

из которых, так как σ = (- ln δ)/x0n, следует утверждение теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Carleman T. Les functions quasi analytiques. Paris, 1926.

2. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, 1962.

3. Ярмухамедов Ш. Функция Карлемана и задача Коши для уравнения Лапласа // Сиб. мат. журн.

2004. Т. 33. № 3. С. 702-719.

4. Шлапунов А.А. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33. № 3. 205-215.

5. Tarkhanov N.N. The Cauchy Problem for Solutions of Elliptic Equations. Berlin, 1995.

6. Фок В.А., Куни Ф.М. О введении “гасящей” функции в дисперсионные соотношения // Докл. АН

СССР. 1959. Т. 127. № 6. С. 1195-1198.

7. Ишанкулов Т. О задаче Коши для линейной стационарной системы Навье-Стокса // Сиб. мат.

журн. 1997. Т. 38. № 5. С. 1089-1097.

8. Ишанкулов Т. О продолжении решения линейной стационарной системы уравнений Навье-Стокса

// Докл. АН РУз. 2007. № 3. С. 4-8.

9. Арбузов Э.В. Задача Коши для эллиптических систем второго порядка на плоскости // Докл. РАН.

2003. Т. 388. № 6. С. 727-730.

10. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., 1970.

11. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., 1961.

12. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического

типа. М., 1978.

13. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М., 1966.

Самаркандский государственный университет,

Поступила в редакцию 16.03.2021 г.

Узбекистан

После доработки 16.03.2021 г.

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021