ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 9, с.1164-1169

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.22+517.983.54

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ

КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

В БЕСФАЗНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННО

НЕПЕРЕОПРЕДЕЛЁННОЙ ПОСТАНОВКЕ

Устанавливается единственность решения обратной задачи для уравнения Гельмгольца,

в которой разыскивается коэффициент рефракции, описывающий свойства ограниченной

неоднородности волновой среды. Исходными данными для определения искомого коэф-

фициента служат модули решений, соответствующих либо точечным источникам, сосре-

доточенным на отрезке, либо источникам, распределённым сферически симметрично с

центрами на отрезке. Измерения волнового поля производятся в плоской области, не пе-

ресекающей область локализации неоднородности.

DOI: 10.31857/S0374064121090028

1. Постановка задачи. Основным объектом изучения в работе является обратная задача

рассеяния для обобщённого уравнения Гельмгольца

Δu(x) + k²n(x)u(x) = -δ(x - q), x ∈ R³,

(1)

дополненного условием излучения на бесконечности

(

)

∂u

lim

- iku

= 0, r = |x|.

(2)

r→∞

∂r

Здесь δ - дельта-функция Дирака, k - волновое число, которое в постановке задачи прини-

мает положительные значения, q ∈ R³. Предполагается, что коэффициент рефракции n(x)

тождественно равен единице при x ∈ R³\Ω и принадлежит классу L_∞(Ω), где Ω - заданная

ограниченная область в R³. Решение задачи (1), (2) описывает скалярное гармоническое по

времени волновое поле U(x, t) = Re (e^-iktu(x)) в неоднородной среде, инициированное точеч-

ным гармоническим по времени источником и характеризуемое комплексной амплитудой u(x).

Классическая постановка обратной задачи рассеяния для системы (1), (2) состоит в восста-

новлении функции n(x), x ∈ Ω, по известным значениям решения u = u(x; q, k) задачи (1),

(2) при x ∈ D_q, q ∈ Q, k ∈ [k₁, k₂] для подходящих множеств {D_q}_q∈Q, Q ⊂ R³ и выбран-

ных значений 0 < k₁ ≤ k₂. Здесь D_q - множество детекторов рассеянного волнового поля,

инициированного источником в точке x = q, Q - множество точечных зондирующих источни-

⋃ ⋃

ков. Обычно предполагается, что (Q

( q∈QDq))

^⋂Ω = ∅, т.е. что зондируемая область Ω

недоступна для непосредственных измерений. Обратной задаче рассеяния в такой и близких

постановках при различных способах выбора множеств источников и детекторов посвящено

значительное число публикаций (см. монографии [1, 2] и приведённую в них библиографию).

Часто в качестве входных данных обратной задачи выступает амплитуда рассеяния в даль-

ней зоне, представляющая собой главный член асимптотики u(x; q, k) при |x| → ∞. При этом

источником волнового поля может быть также приходящая плоская волна. Неоднократно от-

мечалось, что для многих прикладных постановок экспериментальное измерение комплексной

величины u(x; q, k), подразумевающее получение как модуля (амплитуды) |u(x; q, k)|, так и

фазы arg u(x; q, k) волнового поля, является весьма ограничительным требованием. Во мно-

гих случаях экспериментально доступно измерение лишь амплитуды рассеянного неоднород-

ностью сигнала, т.е. значение |u(x; q, k)|. В связи с этим ниже, следуя [3-8], рассмотрим именно

1164

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

1165

задачу реконструкции функции n(x), x ∈ Ω, по известной амплитуде |u(x; q, k)| волнового

поля, где x ∈ D_q, q ∈ Q, k ∈ [k₁, k₂], 0 < k1 < k2. Нас интересует возможность однозначного

восстановления этой функции при наличии указанных данных.

Коэффициентным обратным задачам в такой постановке в последнее время уделяется рас-

тущее внимание. Характерная их особенность заключается в том, что при наличии полной

информации о u(x; q, k) для x ∈ D_q, q ∈ Q, k ∈ [k₁, k₂] теоремы единственности, как прави-

ло, известны, см. [1, 2]. При этом часто можно обойтись данными рассеяния с единственным

значением волнового числа k = k₁ = k₂. Непосредственный способ доказательства единствен-

ности в бесфазных обратных задачах сводится к восстановлению фазы arg u(x; q, k) волнового

поля по заданной величине |u(x; q, k)| с последующим применением указанных теорем един-

ственности (см., например, [3, 4]). В перечисленных и других известных работах выполняются

равенства dim D_q = dim Q = 2. Таким образом, размерность пространственного носителя

данных {(x, q) : x ∈ D_q, q ∈ Q} равна четырём и превышает dim D = 3 размерность носи-

теля зондируемой неоднородности. В этом смысле исследуемая постановка обратной задачи

является пространственно переопределённой.

В настоящей заметке используется альтернативный подход, состоящий в аналитическом

продолжении функции |u(x; q, k)|² по комплексному параметру k в окрестность значения k =

= 0. Предельная функция u(x; q, 0) является вещественнозначной, что снимает необходимость

решения вспомогательной проблемы восстановления фазы. Одновременно показывается, что

размерность носителя пространственных данных обратной задачи может быть понижена до

трёх, что устраняет упомянутую выше пространственную переопределённость. Формулировке

и доказательству этого результата посвящён п. 2. В п. 3 аналогичный результат устанавлива-

ется для уравнения вида (1), правая часть которого описывает распределённый сферически

симметричный источник.

2. Сосредоточенный источник. Уточним постановку рассматриваемой в работе обрат-

ной задачи и сформулируем основной результат, относящийся к уравнению (1). Как известно

[2, § 8.2], задача (1), (2) эквивалентна интегральному уравнению

∫

u(x) = k² Φ(x - x^′; k)(n(x^′) - 1)u(x^′) dx^′ + Φ(x - q; k), x ∈ Ω,

(3)

где Φ(x; k) = e^ik|x|/(4π|x|).

При условии n ∈ L_∞(Ω) интегральный оператор в правой части уравнения (3) вполне

непрерывен в пространстве L₂(Ω) для любого k ∈ C [9, с. 158], при этом правая часть (3)

аналитически зависит от параметра k. Как и в [2, теоремы 8.4, 8.7], устанавливается, что

задача (3) (а значит, и (1), (2)) однозначно разрешима для всех вещественных k ≥ 0 и для

комплексных k, у которых |k| ≤ δ с достаточно малым δ > 0. При этом u(· ; q, k) ∈ H²(Ω^′)

для любой области Ω^′, не содержащей точки q [10, с. 177; 11, с. 229]. Из теоремы о голоморф-

ных семействах фредгольмовых операторов [2, § 8.5; 12, с. 141] следует, что функция u(x; q, k)

при x = q голоморфно продолжима по k в окрестность положительной вещественной полу-

оси. Поэтому при x = q функция

|u(x; q, k)|² = Re²u(x; q, k) + Im²u(x; q, k)

вещественно аналитична по k > -δ.

Обозначим Π = {(x₁, x₂, 0) : x₁, x₂ ∈ R}, L = {(0, 0, x₃) : x₃ ∈ R} и предположим, что

замыкание Ω не пересекает плоскость Π и прямую L. Пусть также D - замкнутая область

в Π, I - отрезок положительной длины, лежащий на L, D

^⋂I = ∅. Рассмотрим обратную

задачу, которую назовём задачей P1 и которая заключается в восстановлении функции n ∈

∈ L_∞(Ω) по набору данных

{|u(x; q, k)| : x ∈ D, q ∈ I, k ∈ [k₁, k₂]},

(4)

где 0 < k₁ < k₂. Для того чтобы подчеркнуть зависимость решения u(x; q, k) задачи (1), (2)

ещё и от функции n, для него будем использовать обозначение u_n(x; q, k).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1166

КОКУРИН

Нам понадобится следующее утверждение, доказанное в [13] и в более общем виде в [14].

Теорема 1. Пусть Ω - ограниченная область в R³, замыкание которой не пересекает

прямую L. Тогда линейные комбинации функций семейства

{u(x)/|x - z| : z ∈ L; u ∈ C²(Ω), Δu = 0 в Ω}

плотны в пространстве L₂(Ω).

Единственность решения обратной задачи P1 устанавливает

Теорема 2. Если для некоторых функций n₁, n₂ ∈ L_∞(Ω) выполняется равенство

|un1 (x; q, k)| = |un2 (x; q, k)| для всех x ∈ D, q ∈ I и k ∈ [k₁, k₂],

(5)

то n₁ = n₂ п.в. на Ω.

Доказательство. Введём обозначение ξ_n(x) = n(x)-1, x ∈ R³. Тогда, согласно принятым

предположениям, ξ_n(x) ≡ 0 для x ∈ R³\Ω. Запишем уравнение (1) в виде

Δu(x) + k²u(x) = -k²ξ_n(x)u(x) - δ(x - q).

(6)

Решение u(x) = u_n(x; q, k) задачи (6), (2) удовлетворяет интегральному уравнению

∫

u_n(x;q,k) = k² Φ(x - x^′;k)ξ_n(x^′)u_n(x^′;q,k)dx^′ + Φ(x - q;k), x ∈ R³,

(7)

из которого следуют равенства

∫

u_n(x;q,k) = k² Φ(x - x^′;k)ξ_n(x^′) ×

(

∫

)

× k²

Φ(x^′ - x^′′; k)ξ_n(x^′′)u_n(x^′′; q, k) dx^′′ + Φ(x^′ - q; k) dx^′ + Φ(x - q; k) =

∫

=k²

Φ(x - x^′; k)Φ(x^′ - q; k)ξ_n(x^′) dx^′ +

∫

+k⁴

Φ(x - x^′; k)ξ_n(x^′) Φ(x^′ - x^′′; k)ξ_n(x^′′)u_n(x^′′; q, k) dx^′′ dx^′ + Φ(x - q; k).

Отсюда, пользуясь тождеством |z₁ + z₂|² = |z₁|² + 2 Re (z₁z₂) + |z₂|², z₁, z₂ ∈ C, получаем, что

для всех x ∈ D, q ∈ I и k ≥ 0 справедливо асимптотическое при k → 0 соотношение

|u_n(x; q, k)|² = |Φ(x - q; k)|² +

(

∫

)

+ 2k² Re Φ(x - q; k) Φ(x - x^′; k)Φ(x^′ - q; k)ξ_n(x′) dx′

+ O(k⁴).

(8)

Из (8) следует, что при x ∈ D, q ∈ I справедливо равенство

(

∫

)

Re Φ(x - q;0) Φ(x - x^′;0)Φ(x^′ - q;0)ξ_n(x′) dx′

= h_n(x,q),

где

h_n(x,q) = lim(2k2)-1(|un(x; q, k)|2 - |Φ(x - q; k)|2).

(9)

k→0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

1167

Заметим, что функция Φ(x - y; 0) = (4π|x - y|)-1 вещественнозначная. Поэтому веще-

ственнозначная функция ξ_n удовлетворяет линейному интегральному уравнению

∫

ξ_n(x^′)

dx^′ = 64π³|x - q|h_n(x, q), x ∈ D, q ∈ I.

|x - x^′||x^′ - q|

Таким образом, если выполняется равенство (5), то

∫

ξnj (x^′)

dx^′ = 64π³|x - q|hnj (x, q), x ∈ D, q ∈ I; j = 1, 2.

|x - x^′||x^′ - q|

Так как функция |u(x; q, k)|² вещественно аналитична по k > -δ, её задание при k ∈ [k₁, k₂]

однозначно определяет значение |u(x; q, k)|², x ∈ D, q ∈ I, при всех k > -δ. Поэтому из (5)

и (9) следует, что hn1 (x, q) = hn2 (x, q) при x ∈ D, q ∈ I. Следовательно,

∫

ξn1 (x^′) - ξn2(x^′)

dx^′ = 0, x ∈ D, q ∈ I.

(10)

|x - x^′||x^′ - q|

Далее, поскольку функция в левой части равенства (10) вещественно аналитична по x ∈ Π и

q ∈ L, то это равенство продолжается по аналитичности на все x ∈ Π, q ∈ L.

Заметим, что семейство {|x-x^′|-1 : x ∈ Π} полно в классе всех регулярных гармонических

в Ω функций (см., например, [15]). Поэтому из (10) вытекает, что

∫

u(x^′)(n₁(x^′) - n₂(x^′))

dx^′ = 0

(11)

|x^′ - q|

для всех точек q ∈ L и всех функций u ∈ C²(Ω), для которых Δu = 0 в Ω. Вследствие

равенства (11) и теоремы 1 получаем n₁ = n₂ п.в. в Ω. Теорема доказана.

Обратимся теперь к случаю, когда зондирующее волновое поле возбуждается распределён-

ным источником.

3. Распределённый источник. В этом пункте вместо уравнения (1) рассмотрим урав-

нение

Δu(x) + k²n(x)u(x) = -ϕ_ε(|x - q|), x ∈ R³,

(12)

правая часть которого описывает распределённый сферически симметричный источник с цен-

тром в точке q. Будем считать, что ϕ_ε = ϕ_ε(r), r ≥ 0, - непрерывная функция и что ϕ_ε(r) = 0

при r ≥ ε > 0. Обозначим O_ε(x) = {y ∈ R³ : |y - x| ≤ ε}. Как и выше, считаем, что детекто-

ры сосредоточены в замкнутой области D ⊂ Π, плоскость Π и прямая L не пересекают Ω.

Будем предполагать, что q ∈ I, где I - отрезок прямой L, и

(⋃

O_ε(q))⋂(Ω⋃D) = ∅.

(13)

q∈I

Условие (13) означает, что носители O_ε(q) зондирующих волновых полей лежат вне исследу-

емой области Ω и не пересекают область детекторов D.

Рассмотрим обратную задачу, которую назовём задачей P2 и которая заключается в вос-

становлении функции n ∈ L_∞(Ω) по набору данных (4), где теперь u(x; q, k) - решение урав-

нения (12) с условием излучения (2). Следующая теорема утверждает единственность решения

задачи P2.

Теорема 3. Пусть имеет место условие (13) и A(ϕ_ε) = 0, где

∫ε

A(ϕ_ε) = 4π r²ϕ_ε(r) dr.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1168

КОКУРИН

Если для некоторых функций n₁, n₂ ∈ L_∞(Ω) выполняется равенство

|un1 (x; q, k)| = |un2 (x; q, k)| для всех x ∈ D, q ∈ I и k ∈ [k₁, k₂],

то n₁ = n₂ п.в. на Ω.

Доказательство в основном повторяет приведённые выше рассуждения. В условиях тео-

ремы вместо равенства (7) имеем

∫

u_n(x;q,k) = k² Φ(x - x^′;k)ξ_n(x^′)u_n(x^′;q,k)dx^′+

∫

+ Φ(x - x^′;k)ϕ_ε(|x^′ - q|)dx^′, x ∈ R³.

(14)

Oε(q)

Воспользовавшись равенством (14), вместо (8) для x ∈ D, q ∈ I получаем соотношение



∫



( ∫



²



|u_n(x; q, k)|² =^

Φ(x - x^′; k)ϕ_ε(|x^′ - q|) dx^′

+ 2k² Re

Φ(x - x^′; k)ϕ_ε(|x^′ - q|) dx^′ ×



Oε(q)

∫

)

× Φ(x - x^′;k)ξ_n(x^′)

Φ(x^′ - x^′′; k)ϕ_ε(|x′′ - q|) dx′′ dx′

+ O(k⁴).

Oε(q)

Следовательно, для функции

(



∫



)



²



h_ε,n(x,q) = lim

|u_n(x; q, k)|² -

Φ(x - x^′; k)ϕ_ε(|x^′ - q|) dx^′



k→0 2k²

Oε(q)

имеет место представление

( ∫

h_ε,n(x,q) = Re

Φ(x - x^′; 0)ϕ_ε(|x^′ - q|) dx^′ ×

Oε(q)

∫

)

× Φ(x - x^′;0)ξ_n(x^′)

Φ(x^′ - x^′′; 0)ϕ_ε(|x′′ - q|) dx′′ dx′

Oε(q)

∫

ϕε(|x^′

- q|)

ξ_n(x^′)

ϕε(|x^′′ - q|)

dx^′ ·

dx^′′ dx^′.

(16)

64π³

|x - x^′|

|x^′ - x^′′|

Oε(q)

Непосредственное интегрирование с использованием условия (13) даёт равенство

∫

ϕε(|x^′ - q|)

A(ϕ_ε)

dx^′ =

x∈D

^⋃Ω.

(17)

|x - x^′|

|x - q|

Oε(q)

Из представлений (16) и (17) вытекает равенство

∫

ξ_n(x^′)dx^′

64π³

|x - q|h_ε,n(x, q), x ∈ D, q ∈ I.

|x - x^′||x^′ - q|

A²(ϕ_ε)

Теперь доказательство завершается так же, как и в теореме 2. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

1169

В заключение отметим, что в (4) в качестве пространственного носителя данных исполь-

зуется трёхмерное многообразие D × I. В предшествующих работах [3-6] теоремы единствен-

ности устанавливались для обратных задач с пространственными носителями данных вида

{(x, q) : x ∈ O_ε(q), q ∈ S},

{(x, q) : x, q ∈ S}, размерность которых не менее четырёх (здесь

S - замкнутая поверхность, содержащая внутри Ω). Для линеаризованного варианта обрат-

ной задачи (1), (2) с n = n² ≥ 0 и пространственным носителем данных {(x, q) : x, q ∈ S}

аналогичный теореме 2 результат установлен в [5]. При этом налагается структурное условие

регулярности метрики dτ = n(x) |dx| и условие гладкости n ∈ C¹⁵(R³).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 20-11-

20085).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. New York, 2006.

2. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Berlin, 1998.

3. Klibanov M.V. Phaseless inverse scattering problems in three dimensions // SIAM J. Appl. Math. 2014.

V. 74. № 2. P. 392-410.

4. Klibanov M.V. Uniqueness of two phaseless non-overdetermined inverse acoustic problems in 3-d // Appl.

Anal. 2014. V. 93. № 6. P. 1135-1149.

5. Klibanov M.V., Romanov V.G. Reconstruction procedures for two inverse scattering problems without

the phase information // SIAM J. Appl. Math. 2016. V. 76. № 1. P. 178-196.

6. Романов В.Г. Задача об определении коэффициента диэлектрической проницаемости по модулю

рассеянного электромагнитного поля // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58. № 4. С. 916-924.

7. Романов В.Г. Обратные задачи без фазовой информации, использующие интерференцию волн

// Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59. № 3. С. 626-638.

8. Novikov R.G. Explicit formulas and global uniqueness for phaseless inverse scattering in multidimensions

// J. Geom. Anal. 2016. V. 26. № 1. P. 346-359.

9. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операто-

ры в пространствах суммируемых функций. М., 1966.

10. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными

второго порядка. М., 1989.

11. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.

М., 1973.

12. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М., 1982.

13. Кокурин М.Ю. О полноте произведений гармонических функций и единственности решения обрат-

ной задачи акустического зондирования // Мат. заметки. 2018. Т. 104. № 5. С. 708-716.

14. Кокурин М.Ю. Полнота асимметричных произведений решений эллиптического уравнения второ-

го порядка и единственность решения обратной задачи для волнового уравнения // Дифференц.

уравнения. 2021. Т. 57. № 2. С. 255-264.

15. Kokurin M.Yu. On a multidimensional integral equation with data supported by low-dimensional analytic

manifolds // J. Inverse and Ill-Posed Probl. 2013. V. 21. № 1. P. 125-140.

Марийский государственный университет,

Поступила в редакцию 13.04.2021 г.

г. Йошкар-Ола

После доработки 05.06.2021 г.

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

2^∗