ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 9, с.1170-1176

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956

О ПОСТРОЕНИИ ФУНКЦИИ РИМАНА-АДАМАРА

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БИАНКИ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА

Для линейного уравнения четвёртого порядка с четырьмя независимыми переменными,

имеющего доминирующую производную, которая не содержит кратного дифференцирова-

ния ни по одной из независимых переменных - уравнения Бианки четвёртого порядка -

приводятся постановка задачи Дарбу и определение функции Римана-Адамара. Получе-

ны достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты этого уравнения,

чтобы его функция Римана-Адамара допускала построение в явном виде в терминах ги-

пергеометрических функций.

DOI: 10.31857/S037406412109003X

Задача Дарбу для гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимы-

ми переменными представляет значительный интерес и рассматривалась многими авторами

[1, с. 228-233; 2-4]. Естественным обобщением этого уравнения являются уравнения Бианки.

В статье [5] для уравнения Бианки третьего порядка доказаны существование и единствен-

ность решения задачи Дарбу, определена функция Римана-Адамара задачи Дарбу и построено

решение задачи Дарбу в терминах функции Римана-Адамара. В работе [6] для одного класса

уравнений Бианки третьего порядка функция Римана-Адамара построена в явном виде.

Уравнение Бианки четвёртого и высших порядков рассматривалось, в частности, в рабо-

тах [7-14]. В статье [14] для этого уравнения предложен вариант метода Римана-Адамара для

задачи Дарбу и определена соответствующая функция Римана-Адамара.

1. Определение функции Римана-Адамара. Уравнением Бианки четвёртого порядка

называют линейное уравнение с переменными коэффициентами

∑

L(u) ≡ D^αu + a_β(x, y, z, t)D^β u = f(x, y, z, t),

(1)

β<α

где мультииндекс α равен (1, 1, 1, 1), отношение β < α для мультииндексов означает, что

мультииндекс β получен из мультииндекса α уменьшением по крайней мере одной из ком-

понент.

Определим класс функций C(k,l,m,n) следующим образом: функция u принадлежит классу

C(k1,k2,k3,k4), если существуют непрерывные производные ∂r1+r2+r3+r4u/∂xr1 ∂yr2∂zr3 ∂tr4 (r_i =

= 0, k_i). Решение уравнения (1) класса C(1,1,1,1) назовём регулярным. Пусть D - область,

ограниченная плоскостями x = 0, y = 0, y = y₀ > 0, z = 0, z = z₀ > 0, t = x, t = t₀ >

> 0. Считаем, что коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям a_ijkl ∈ C(i,j,k,l)(D).

Обозначим через X, Y, Z, S грани многогранника D при x = 0, y = 0, z = 0, t = x

соответственно.

Задача Дарбу. В области D найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее

граничным условиям

u|_X = ϕ₁(y, z, t), u|_Y = ϕ₂(x, z, t), u|_Z = ϕ₃(x, y, t), u|_S = ψ(x, y, z),

где ϕ_j , j = 1, 3, и ψ - заданные функции, для которых выполнены включения

ϕ₁ ∈ C(1,1,1)(X), ϕ₂ ∈ C(1,1,1)(Y ), ϕ₃ ∈ C(1,1,1)(Z), ψ ∈ C(1,1,1)(S)

и условия согласования

ϕ₁(y,0,t) = ϕ₃(0,y,t), ϕ₁(0,z,t) = ϕ₂(0,z,t), ϕ₂(x,0,t) = ϕ₃(x,0,t),

ϕ₁(y,z,0) = ψ(0,y,z), ϕ₂(x,z,x) = ψ(x,0,z), ϕ₃(x,y,x) = ψ(x,y,0).

1170

О ПОСТРОЕНИИ ФУНКЦИИ РИМАНА-АДАМАРА

1171

Возьмём внутри области D произвольную точку P (ξ, η, ζ, τ). Она определяет область

D_P , ограниченную плоскостями x = 0, x = ξ, y = 0, y = η, z = 0, z = ζ, t = τ, t =

= x. Очевидно, многогранник D_P можно разбить на две части: многогранник D¹, который

ограничен плоскостями x = 0, x = ξ, y = 0, y = η, z = 0, z = ζ, t = τ, t = ξ, и

многогранник D², который ограничен плоскостями x = 0, x = ξ, y = 0, y = η, z = 0,

z = ζ, t = ξ, t = x.

Функция Римана-Адамара задачи Дарбу H(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ) [14] имеет вид

{

R(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ), (x, y, z, t) ∈ D¹,

H(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ) =

V (x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ), (x, y, z, t) ∈ D²,

где R - функция Римана для уравнения (1), а функция V определяется ниже.

В работе [14] определены конструкции (функции) A_ijkl, A^-ijkl, A+ijkl; выражения для тех

из них, которые встречаются далее, будут приведены. Конструкции A_ijkl записываются через

коэффициенты уравнения (1) и функцию H, в конструкции A^-ijkl функция H заменяется на

V, а в конструкции A+ijkl - на R.

Будем обозначать пересечение границы области D_P с гиперплоскостью x = ξ через

DP[x=ξ], с плоскостями x = ξ, y = η через DP[x=ξ,y=η] и т.п. Аналогичный смысл имеют

обозначения D2[y=η] и т.п.

Потребуем, чтобы функция V удовлетворяла следующими девяти условиям, которыми

она определяется однозначно [14].

1◦. В области DP[x=t] функция V равна тождественно нулю.

2◦. Скачок функции A₁₀₀₀(x, η, ζ, t, ξ, η, ζ, τ) при t = ξ равен тождественно нулю, т.е.

[A₁₀₀₀](x, η, ζ, ξ, ξ, η, ζ, τ) := A⁺¹⁰⁰⁰(x, η, ζ, ξ + 0, ξ, η, ζ, τ) - A-1000(x, η, ζ, ξ - 0, ξ, η, ζ, τ) ≡ 0,

где A⁺¹⁰⁰⁰ := R_x - a₀₁₁₁R, A-1000 := V_x - a₀₁₁₁V.

3◦. В области DP[y=η,z=ζ] функция V удовлетворяет уравнению

A-1001 := V_xt - (a₁₁₁₀V )_x - (a₀₁₁₁V )_t + a₀₁₁₀V = 0.

Тогда функция V в плоской области DP[y=η,z=ζ] определена как решение задачи Дарбу для

этого уравнения. Решение такой двумерной задачи Дарбу существует и единственно.

4◦. Скачок функции A₁₁₀₀(x, y, ζ, t, ξ, η, ζ, τ) на плоской области DP[z=ζ,t=ξ] равен тож-

дественно нулю, т.е.

[A₁₁₀₀](x, y, ζ, ξ, ξ, η, ζ, τ) := A⁺¹¹⁰⁰(x, y, ζ, ξ + 0, ξ, η, ζ, τ) - A-1100(x, y, ζ, ξ - 0, ξ, η, ζ, τ) ≡ 0,

где

A⁺¹¹⁰⁰ := R_xy - (a₁₀₁₁R)_x - (a₀₁₁₁R)_y + a₀₀₁₁R, A-1100 := V_xy - (a₁₀₁₁V )_x - (a₀₁₁₁V )_y + a₀₀₁₁V.

5◦. Скачок функции A₁₀₁₀(x, η, z, t, ξ, η, ζ, τ) на плоской области DP[y=η,t=ξ] равен тож-

дественно нулю, т.е.

[A₁₀₁₀](x, η, z, ξ, ξ, η, ζ, τ) := A⁺¹⁰¹⁰(x, η, z, ξ + 0, ξ, η, ζ, τ) - A-1010(x, η, z, ξ - 0, ξ, η, ζ, τ) ≡ 0,

где

A⁺¹⁰¹⁰ := R_xz - (a₁₁₀₁R)_x - (a₀₁₁₁R)_z + a₀₁₀₁R, A-1010 := V_xz - (a₁₁₀₁V )_x - (a₀₁₁₁V )_z + a₀₁₀₁V.

6◦. В области DP[y=η] функция V удовлетворяет уравнению

A-1011 := V_xzt-(a₁₁₁₀V )_xz -(a₁₁₀₁V )_xt-(a₀₁₁₁V )_zt+(a₁₁₁₀V )_x+(a₀₁₁₀V )_z +(a₀₁₀₁V )_t-a₀₁₀₀V = 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1172

МИРОНОВ, ЯКОВЛЕВА

Для нахождения функции V получаем задачу Дарбу в трёхмерном пространстве с уже из-

вестными граничными условиями. Решение задачи Дарбу существует и единственно.

7◦. Аналогично, в области DP[z=ζ] функция V удовлетворяет уравнению

A-1101 := V_xyt-(a₁₁₁₀V )_xy -(a₁₁₀₁V )_xt-(a₀₁₁₁V )_yt+(a₁₀₁₀V )_x+(a₀₁₁₀V )_y +(a₀₀₁₁V )_t-a₀₀₁₀V = 0.

8◦. Скачок функции A₁₁₁₀(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ) на трёхмерной области DP[t=ξ] равен тож-

дественно нулю, т.е.

[A₁₁₁₀](x, y, ζ, ξ, ξ, η, ζ, τ) := A⁺¹¹¹⁰(x, y, z, ξ + 0, ξ, η, ζ, τ) - A-1110(x, y, z, ξ - 0, ξ, η, ζ, τ) ≡ 0,

где

A⁺¹¹¹⁰ := R_xyz -(a₁₁₀₁R)_xy -(a₁₀₁₁R)_xz -(a₀₁₁₁R)_yz ++(a₁₀₀₁R)_x +(a₀₁₀₁R)_y +(a₀₀₁₁R)_z -a₀₀₀₁R,

A-1110 := V_xyz - (a₁₁₀₁V )_xy - (a₁₀₁₁V )_xz - (a₀₁₁₁V )_yz + (a₁₀₀₁V )_x + (a₀₁₀₁V )_y + (a₀₀₁₁V )_z - a₀₀₀₁V.

9◦. Функция V в области D² удовлетворяет сопряжённому к (1) уравнению

L^∗(u) ≡ V_xyzt - (a₁₁₁₀V )_xyz - (a₁₁₀₁V )_xyt - (a₀₁₁₁V )_yzt - (a₁₀₁₁V )_xzt +

+ (a₁₁₀₀V )_xy + (a₀₁₁₀V )_yz + (a₁₀₁₀V )_xz + (a₀₁₀₁V )_yt + (a₀₀₁₁V )_zt +

- (a₁₀₀₀V )_x - (a₀₁₀₀V )_y - (a₀₀₁₀V )_z - (a₀₀₀₁V )_t + a₀₀₀₀V = 0,

при этом условия на областях D2[y=η], D2[z=ζ], D2[t=ξ], D2[x=t] уже известны в силу выпол-

нения предыдущих условий 1^◦- 8^◦. Таким образом, функция Римана-Адамара определена,

существует и единственна в DP [14].

2. Построение функции Римана-Адамара в явном виде. Метод построения реше-

ния задачи Дарбу в терминах функции Римана-Адамара основывается на методе Римана и

свойствах функции Римана.

Рассмотрим соответствующее уравнению (1) однородное уравнение

∑

L(u) ≡ D^αu + a_β(x, y, z, t)D^β u = 0.

(2)

β<α

Далее нам потребуются конструкции (функции), введённые в работе [9]:

h1,2 = (a₀₁₁₁)_y + a₁₀₁₁a₀₁₁₁ - a₀₀₁₁, h1,3 = (a₀₁₁₁)_z + a₁₁₀₁a₀₁₁₁ - a₀₁₀₁,

h1,4 = (a₀₁₁₁)_t + a₁₁₁₀a₀₁₁₁ - a₀₁₁₀, h2,3 = (a₁₀₁₁)_z + a₁₁₀₁a₁₀₁₁ - a₁₀₀₁,

h2,4 = (a₁₀₁₁)_t + a₁₁₁₀a₁₀₁₁ - a₁₀₁₀, h3,4 = (a₁₁₀₁)_t + a₁₁₁₀a₁₁₀₁ - a₁₁₀₀,

h12,4 = (a₀₀₁₁)_t + a₁₁₁₀a₀₀₁₁ - a₀₀₁₀, h13,4 = (a₀₁₀₁)_t + a₁₁₁₀a₀₁₀₁ - a₀₁₀₀,

h23,4 = (a₁₀₀₁)_t + a₁₁₁₀a₁₀₀₁ - a₁₀₀₀, h12,3 = (a₀₀₁₁)_z + a₁₁₀₁a₀₀₁₁ - a₀₀₀₁,

h123,4 = (a₀₀₀₁)_t + a₁₁₁₀a₀₀₀₁ - a₀₀₀₀.

Эти конструкции используются в [9, 13] для записи условий факторизации уравнения (2)

и в формулировке достаточных условий, обеспечивающих возможность построения функции

Римана в явном виде.

Совокупность преобразований эквивалентности для уравнения (2) имеет вид

x_i = α_i(x_i), i = 1,4, u = λ(x,y,z,t)u.

(3)

Два уравнения вида (2) называются эквивалентными по функции [15, с. 117], если они пере-

ходят друг в друга при преобразованиях (3), в которых α_i(x_i) = x_i, i = 1, 4.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О ПОСТРОЕНИИ ФУНКЦИИ РИМАНА-АДАМАРА

1173

Все инварианты Лапласа для уравнения (2) найдены в работе [16] (см. также [17, форму-

лы (5)]). В [17] доказана следующая

Теорема 1. Два уравнения вида (2) эквивалентны по функции тогда и только тогда,

когда у них равны все соответствующие инварианты Лапласа.

В работе [13] доказана

Теорема 2. Если для уравнения (2) выполняются условия

h1,4 ≡ h2,4 ≡ h3,4 ≡ h1,3 ≡ h2,3 ≡ h1,2 ≡ h12,4 ≡ h13,4 ≡ h23,4 ≡ h12,3 ≡ 0,

h123,4 = ϕ(x)ψ(y)θ(z)χ(t)

(4)

и существует непрерывно дифференцируемая функция G(x,y,z,t) такая, что

a₁₁₁₀ = G^′t, a₁₁₀₁ = G^′z, a₁₀₁₁ = G^′y, a₀₁₁₁ = G^′x,

(5)

то функция Римана для этого уравнения строится в явном виде и даётся формулой

{∫x

∫

R(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ) =₀F₃(1, 1, 1; ω) exp

a₀₁₁₁(α,y,z,t)dα + a₁₀₁₁(ξ,β,z,t)dβ +

∫z

∫

}

+ a₁₁₀₁(ξ,η,γ,t)dγ + a₁₁₁₀(ξ,η,ζ,δ)dδ

в которой₀F₃(1, 1, 1; ω) - обобщённая гипергеометрическая функция [18, с. 183], а

∫x

∫

ω = ϕ(α)dα ψ(β)dβ θ(γ)dγ χ(δ)dδ.

Уравнение

∑

L₁(u) ≡ D^αu +

b_β(x,y,z,t)D^β u = 0

β<α

переходит в эквивалентное ему по функции уравнение (2) при преобразовании u = λu, здесь

{∫

}

λ = exp

(a₀₁₁₁ - b₀₁₁₁) dx + (a₁₀₁₁ - b₁₀₁₁) dy + (a₁₁₀₁ - b₁₁₀₁) dz + (a₁₁₁₀ - b₁₁₁₀) dt

где криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования.

Непосредственным вычислением убеждаемся, что инварианты Лапласа уравнения (2) при

условиях (4), (5) и уравнения

u1xyzt - ϕ(x)ψ(y)θ(z)χ(t)u₁ = 0

(6)

совпадают, т.е. эти уравнения эквивалентны по функции с множителем

{∫

}

λ = λ₁ = exp

a₀₁₁₁ dx + a₁₀₁₁ dy + a₁₁₀₁ dz + a₁₁₁₀ dt

Действительно, рассмотрим для иллюстрации этого факта два инварианта Лапласа H₁ и

H₂ для уравнения (2):

H₁ = (a₀₁₁₁)_yz + a₁₁₀₀a₀₁₁₁ + a₁₀₁₀a₁₀₁₁ + a₀₀₁₁a₁₁₀₁ - 2a₀₁₁₁a₁₀₁₁a₀₁₁₁ - a₀₀₀₁,

H₂ = (a₀₁₁₁)_yzt + a₁₀₀₀a₀₁₁₁ + a₀₁₀₀a₁₀₁₁ + a₀₀₁₀a₁₁₀₁ + a₀₀₀₁a₁₁₁₀ + a₁₁₀₀a₀₀₁₁ + a₁₀₁₀a₀₁₀₁ +

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1174

МИРОНОВ, ЯКОВЛЕВА

+ a₁₀₀₁a₀₁₁₀ - 2a₀₁₁₁a₁₀₁₁a₀₀₁₁ - 2a₀₁₁₁a₁₁₀₁a₀₁₀₁ - 2a₀₁₁₁a₁₁₁₀a₁₀₀₁ -

- 2a₁₀₁₁a₁₁₀₁a₀₁₁₀ - 2a₁₀₁₁a₁₁₁₀a₀₁₀₁ - 2a₁₁₀₁a₁₁₁₀a₀₀₁₁ + 6a₀₁₁₁a₁₀₁₁a₁₁₀₁a₁₁₁₀ - a₀₀₀₀.

Преобразуем сначала инвариант H₁ с учётом условий (4), (5), имеем

H₁ = (a₀₁₁₁)_yz + a₀₁₁₁(a₁₀₀₁ - a₁₀₁₁a₁₁₀₁) + a₁₀₁₁(a₀₁₀₁ - a₀₁₁₁a₁₁₀₁) + a₀₀₁₁a₁₀₁₁ - a₀₀₀₁ =

= (a₀₁₁₁)_yz + a₀₁₁₁(a₁₀₁₁)_z + a₁₀₁₁(a₀₁₁₁)_z + a₀₀₁₁a₁₁₀₁ - a₀₀₀₁ =

= ((a₀₁₁₁)_y + a₀₁₁₁a₁₀₁₁)_z + a₀₀₁₁a₁₁₀₁ - a₀₀₀₁ = (a₀₀₁₁)_z + a₀₀₁₁a₁₁₀₁ - a₀₀₀₁ = h12,3 ≡ 0.

Используя доказанное тождество H₁ ≡ 0, преобразуем инвариант H₂:

H₂ = (a₀₁₁₁)_yzt + a₀₁₁₁(a₁₀₀₀ - a₁₁₁₀a₁₀₀₁) + a₁₀₀₁(a₀₁₁₀ - a₀₁₁₁a₁₁₁₀) +

+ a₁₀₁₁(a₀₁₀₀ - a₁₁₁₀a₀₁₀₁) + a₀₁₀₁(a₁₀₁₀ - a₁₀₁₁a₁₁₁₀) + a₁₁₀₁(a₀₀₁₀ - a₁₁₁₀a₀₀₁₁) +

+ a₀₀₁₁(a₁₁₀₀ - a₁₁₀₁a₁₁₁₀) - 2a₀₁₁₁a₁₀₁₁(a₁₁₀₀ - a₁₁₀₁a₁₁₁₀) -

- 2a₀₁₁₁a₁₁₀₁(a₁₀₁₀ - a₁₀₁₁a₁₁₁₀) - 2a₁₀₁₁a₁₁₀₁(a₀₁₁₀ - a₀₁₁₁a₁₁₁₀) + a₁₁₁₀a₀₀₀₁ - a₀₀₀₀ =

= (a₀₁₁₁)_yzt + ((a₀₁₁₁)_ta₁₀₀₁ + a₀₁₁₁(a₁₀₀₁)_t) + ((a₁₀₁₁)_ta₀₁₀₁ + a₁₀₁₁(a₀₁₀₁)_t) +

+ ((a₁₁₀₁)_ta₀₀₁₁ + a₁₁₀₁(a₀₀₁₁)_t) + -2a₀₁₁₁a₁₀₁₁(a₁₁₀₁)_t - 2a₀₁₁₁a₁₁₀₁(a₁₀₁₁)_t -

- 2a₁₀₁₁a₁₁₀₁(a₀₁₁₁)_t + a₁₁₁₀a₀₀₀₁ - a₀₀₀₀ =

= ((a₀₁₁₁)_yz + a₁₁₀₀a₀₁₁₁ + a₁₀₁₀a₁₀₁₁ + a₀₀₁₁a₁₁₀₁ - 2a₀₁₁₁a₁₀₁₁a₀₁₁₁)_t + a₁₁₁₀a₀₀₀₁ - a₀₀₀₀ =

= (a₀₀₀₁)_t + a₁₁₁₀a₀₀₀₁ - a₀₀₀₀ = h123,4 = ϕ(x)ψ(y)θ(z)χ(t).

Очевидно, что полученные значения инвариантов уравнения (2) совпадают с соответствующи-

ми инвариантами Лапласа уравнения (6).

Сопряжённое к (6) уравнение

v1xyzt - ϕ(x)ψ(y)θ(z)χ(t)v₁ = 0

(7)

эквивалентно сопряжённому к (2) уравнению с коэффициентами, удовлетворяющими услови-

ям (4), (5). Очевидно, что соответствующее преобразование имеет вид

{

∫

}

v = λ₂v₁, λ₂ = exp

- a0111 dx + a1011 dy + a1101 dz + a1110 dt

Таким образом, в теореме 2 фактически построена функция Римана для класса эквива-

лентных по функции уравнений, одним из представителей этого класса является уравнение (6).

Сформулируем теперь достаточные условия на коэффициенты уравнения (2), обеспечива-

ющие построение функции Римана-Адамара в явном виде.

Теорема 3. Если для уравнения (2) выполняются условия (4), (5), то функция Римана-

Адамара даётся формулой

{

R(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ), (x, y, z, t) ∈ D¹,

H(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ) =

V (x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ), (x, y, z, t) ∈ D²,

здесь

R(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ) = E(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ)₀F₃(1, 1, 1; ω),

V (x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ) = E(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ)(₀F₃(1, 1, 1; ω) - ₀F₃(1, 1, 1; ρ)),

{∫x

∫

E(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ) = exp

a₀₁₁₁(α,y,z,t)dα + a₁₀₁₁(ξ,β,z,t)dβ +

∫z

∫

}

+ a₁₁₀₁(ξ,η,γ,t)dγ + a₁₁₁₀(ξ,η,ζ,δ)dδ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О ПОСТРОЕНИИ ФУНКЦИИ РИМАНА-АДАМАРА

1175

где

∫x

∫

ω = ϕ(α)dα ψ(β)dβ θ(γ)dγ χ(δ)dδ, ρ = ϕ(α)dα ψ(β)dβ ϕ(γ)dγ χ(δ)dδ.

Доказательство. Обозначим

F₁(x,y,z,t,ξ,η,ζ,τ) =₀F₂(1,1,1;ω), F₂(x,y,z,t,ξ,η,ζ,τ) =₀F₂(1,1,1;ρ),

V (x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ) = E(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ)(F₁(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ) - F₂(x, y, z, t, ξ, η, ζ, τ)).

Отметим, что при y = η или при z = ζ выполняются тождества ω = ρ ≡ 0, следовательно,

F₁(x,η,z,t,ξ,η,ζ,τ) = F₂(x,η,z,t,ξ,η,ζ,τ) =

= F₁(x,y,ζ,t,ξ,η,ζ,τ) = F₂(x,y,ζ,t,ξ,η,ζ,τ) ≡ 1.

(8)

Перейдём к проверке условий 1^◦- 9^◦, определяющих функцию Римана-Адамара.

Выполнение условия 1^◦ очевидно.

Условие 2^◦ принимает вид

(V_x - a₀₁₁₁V )(x, η, ζ, ξ, ξ, η, ζ, τ) = (R_x - a₀₁₁₁R)(x, η, ζ, ξ, ξ, η, ζ, τ).

Проверяем его непосредственным вычислением с учётом тождеств (8).

Условие 3^◦

A-1001 = V_xt - (a₁₁₁₀V )_x - (a₀₁₁₁V )_t + a₀₁₁₀V = 0

при y = η, z = ζ выполняется, поскольку V = 0 при таких t и z в силу (8).

Условие 4^◦ (оно имеет место при z = ζ и t = ξ) принимает вид

(E(F₁ - F₂))_xy - (a₁₀₁₁(E(F₁ - F₂)))_x - (a₀₁₁₁(E(F₁ - F₂)))_y +

+ a₀₀₁₁(E(F₁ - F₂)) = (EF₁)_xy - (a₁₀₁₁EF₁)_x - (a₀₁₁₁EF₁)_y + a₀₀₁₁EF₁,

т.е. равносильно

(EF₂)_xy - (a₁₀₁₁EF₂)_x - (a₀₁₁₁EF₂)_y + a₀₀₁₁EF₂ = 0.

Так как F₂|t=ξ ≡ 1, получаем

(E)_xy - (a₁₀₁₁E)_x - (a₀₁₁₁E)_y + a₀₀₁₁E = 0,

(a₀₁₁₁E)_y - (a₀₁₁₁E)_y - (a₁₀₁₁)_xE - a₁₀₁₁a₀₁₁₁E + a₀₀₁₁E = 0.

Последнее соотношение является тождеством в силу (4), (5), поскольку (a₁₀₁₁)_x + a₁₀₁₁a₀₁₁₁ -

- a₀₀₁₁ ≡ 0.

Аналогично, в силу (4), (5) выполняется условие 5^◦, так как (a₁₁₀₁)_x+a₁₁₀₁a₀₁₁₁-a₀₁₀₁ ≡ 0.

Условие 6^◦

V_xzt - (a₁₁₁₀V )_xz - (a₁₁₀₁V )_xt - (a₀₁₁₁V )_zt + (a₁₁₀₀V )_x + (a₀₁₁₀V )_z + (a₀₁₀₁V )_t - a₀₁₀₀V = 0

при y = η справедливо, поскольку V |y=η ≡ 0 в силу (8).

Аналогично, условие 7^◦

V_xyt - (a₁₁₁₀V )_xy - (a₁₁₀₁V )_xt - (a₀₁₁₁V )_yt + (a₁₀₁₀V )_x + (a₀₁₁₀V )_y + (a₀₀₁₁V )_t - a₀₀₁₀V = 0

при z = ζ выполняется, так как V |z=ζ ≡ 0 в силу (8).

Как и в случае 4^◦ условие 8^◦ на гиперплоскости t = ξ с учётом тождества F₂|t=ξ ≡ 1

принимает вид

(((a₁₀₁₁)_z + a₁₀₁₁a₁₁₀₁ - a₁₀₀₁)E)_x - (((a₀₁₁₁)_z + a₁₁₀₁a₀₁₁₁ - a₀₁₀₁)E)_y -

- ((a₀₀₁₁)_z + a₀₀₁₁a₁₁₀₁ - a₀₀₀₁)E = 0.

Очевидно, что данное равенство выполняется тождественно в силу (4).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1176

МИРОНОВ, ЯКОВЛЕВА

Далее, очевидно, что функции F₁ и F₂ удовлетворяют уравнению (7). Тогда их разность

также удовлетворяет этому уравнению. Следовательно, функция E(F₁ - F₂) является реше-

нием эквивалентного по функции уравнения с множителем λ = E, т.е. удовлетворяет уравне-

нию, сопряжённому к уравнению (2) с условиями (4), (5). Условие 9^◦ выполняется. Теорема

доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., 1981.

2. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М., 1988.

3. Сабитов К.Б., Шарафутдинова Г.Г. Задачи Коши-Гурса для вырождающегося гиперболического

уравнения // Изв. вузов. Математика. 2003. № 5. С. 21-29.

4. Джохадзе О.М., Харибегашвили С.С. Некоторые свойства функций Римана и Римана-Адамара для

линейных гиперболических уравнений второго порядка и их приложения // Дифференц. уравнения.

2011. Т. 47. № 4. C. 477-492.

5. Миронов А.Н. Задача Дарбу для уравнения Бианки третьего порядка // Мат. заметки. 2017. Т. 102.

№ 1. С. 63-70.

6. Миронов А.Н. О построении функции Римана-Адамара для трехмерного уравнения Бианки // Изв.

вузов. Математика. 2021. № 3. С. 76-82.

7. Жегалов В.И., Севастьянов В.А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве // Дифференц.

уравнения. 1996. Т. 32. № 10. С. 1429-1430.

8. Севастьянов В.А. Об одном случае задачи Коши // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 12.

С. 1706-1707.

9. Миронов А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения четвертого порядка // Диф-

ференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 12. С. 1698-1701.

10. Уткина Е.А. К общему случаю задачи Гурса // Изв. вузов. Математика. 2005. № 8. С. 57-62.

11. Миронов А.Н. Метод Римана для уравнений со старшей частной производной в Rⁿ // Сиб. мат.

журн. 2006. Т. 47. № 3. С. 584-594.

12. Миронов А.Н. К методу Римана решения одной смешанной задачи // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та.

Сер. Физ.-мат. науки. 2007. № 2. С. 27-32.

13. Кощеева О.А. О построении функции Римана для уравнения Бианки в n-мерном пространстве

// Изв. вузов. Математика. 2008. № 9. С. 40-46.

14. Миронов А.Н. Задача Дарбу для уравнения Бианки четвертого порядка // Дифференц. уравнения.

2021. Т. 57. № 3. С. 349-363.

15. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М., 1978.

16. Миронов А.Н. Об инвариантах Лапласа одного уравнения четвертого порядка // Дифференц. урав-

нения. 2009. Т. 45. № 8. С. 1144-1149.

17. Миронов А.Н. О некоторых классах уравнений Бианки четвертого порядка с постоянными отноше-

ниями инвариантов Лапласа // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 12. С. 1572-1581.

18. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М., 1973.

Елабужский институт (филиал)

Поступила в редакцию 31.03.2021 г.

Казанского (Приволжского) федерального университета,

После доработки 31.03.2021 г.

Самарский государственный технический университет

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021