ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 9, с.1191-1202

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956+517.958:532.5

РАВНОМЕРНЫЕ АТТРАКТОРЫ

ДЛЯ МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ

КЕЛЬВИНА-ФОЙГТА

Доказывается существование равномерных минимального траекторного и глобального

аттракторов для слабых решений неавтономной модифицированной модели Кельвина-

Фойгта.

DOI: 10.31857/S0374064121090053

Введение. При изучении динамики систем особое значение имеют свойства, сохраняющи-

еся при длительной эволюции системы. При этом естественно возникает понятие аттрактора

как множества в фазовом пространстве системы, к которому в том или ином смысле стремятся

с течением времени все её траектории, начинающиеся в некоторой окрестности этого множе-

ства. Все основные свойства динамики изучаемой системы определяются её аттрактором.

М.И. Вишиком и В.В. Чепыжовым в работе [1] построена теория равномерных аттракто-

ров семейства трансляционно инвариантных пространств траекторий. С помощью этой теории

установлено существование аттракторов у неавтономной трёхмерной системы Навье-Стокса.

При этом требование инвариантности пространства траекторий существенно сужает область

применимости теории трансляционно инвариантных траекторных пространств к моделям гид-

родинамики. От этого требования удалось освободиться в работе [2], в которой построена тео-

рия равномерных аттракторов для неинвариантных пространств траекторий. Попутно в [2]

удалось освободиться также и от некоторых дополнительных ограничений работы [1]: снято

требование полноты метрического пространства для пространства символов системы и тре-

бование замкнутости пространства траекторий. Изложение теории равномерных аттракторов

для неинвариантных пространств траекторий и примеры приложения этой теории к конкрет-

ным моделям гидродинамики можно найти в работах [3, 4].

Опишем модель, для которой в данной работе будут исследованы вопросы существования

минимального равномерного траекторного и равномерного глобального аттракторов.

Пусть Ω ⊂ Rⁿ (n = 2, 3) - ограниченная область с достаточно гладкой границей (напри-

мер, границей класса C³). Рассмотрим следующую систему уравнений:

∑

∂v

∂Δv

- νΔv +

-κ

v_k

+ ∇p = f;

(1)

∂t

v_i ∂x_i

∂t

∂x_k

i=1

k=1

div v = 0.

(2)

В этой системе v(x, t) - вектор скорости частиц жидкости в точке x в момент t; p(x, t) -

давление жидкости в точке x в момент t; f(x, t) - плотность внешних сил. Константы ν > 0

и κ > 0 характеризуют вязкость жидкости и время релаксации соответственно. Искомыми

являются функции v и p.

Система уравнений (1), (2) впервые получена в работе [5] и нашла экспериментальное

подтверждение в исследованиях [6, 7] течений слабоконцентрированных водных полимерных

растворов.

Рассмотрим для системы (1), (2) начально-краевую задачу с начальным

v|t=0 = a

(3)

и с граничным

v|∂Ω = 0

(4)

условиями.

1191

1192

УСТЮЖАНИНОВА

Исследование разрешимости начально-краевой задачи (1)-(4) начато А.П. Осколковым в

работах [8, 9]. Однако в своей статье [10] он отметил, что доказательства его результатов со-

держат ошибки и ему не удалось методом Фаедо-Галёркина доказать существование решений

задачи (1)-(4).

Существование слабого решения задачи (1)-(4) на конечном отрезке [0, T ] доказано в ра-

боте [11] (также отметим статьи [12, 13], посвящённые задачам оптимизации для рассматрива-

емой модели). После этого для автономной модифицированной модели Кельвина-Фойгта в ра-

боте [14], основываясь на теории аттракторов неинвариантных пространств траекторий, было

установлено существование траекторного и глобального аттракторов. Использование данно-

го подхода обусловлено отсутствием теоремы единственности для слабых решений начально-

краевой задачи (1)-(4). Отметим, что для сильных решений рассматриваемой задачи имеет

место теорема единственности [9], но их существование не доказано до сих пор.

Следующим важным вопросом является изучение предельного поведения решений систе-

мы (1)-(4) при правой части, зависящей от времени. Такие системы называют неавтономны-

ми, и именно такие системы зачастую возникают в приложениях, где важен вопрос описания

их предельного поведения. В данной работе для неавтономной системы (1)-(4) доказывает-

ся существование равномерного минимального траекторного и равномерного глобального ат-

тракторов.

1. Основные определения и необходимые обозначения. Через E и E₀ обозначаем

банаховы пространства, причём будем считать, что пространство E рефлексивно и непрерыв-

но вложено в пространство E₀. Обозначим через C(R₊; E₀) линейное пространство непрерыв-

ных функций, определённых на R₊ и принимающих значения в E₀. В дальнейшем C(R₊; E₀)

рассматриваем как метрическое пространство с метрикой равномерной сходимости на конеч-

ных отрезках, а именно, последовательность (u_m) ⊂ C(R₊; E₀) сходится к функции u ∈

∈ C(R₊;E₀) тогда и только тогда, когда эта последовательность сходится к u равномерно

на каждом отрезке, содержащемся в R₊. Очевидно, что метрическое пространство C(R₊; E₀)

полно.

Пусть Π_M (M ≥ 0) - оператор сужения на отрезок [0, M] функций, заданных на R₊.

Из определения сходимости в C(R₊; E₀) следует, что оператор Π_M непрерывно отображает

C(R₊; E₀) в C([0, M], E₀).

Лемма 1. Для того чтобы множество P ⊂ C(R₊; E₀) являлось относительно компакт-

ным в C(R₊;E₀), необходимо и достаточно, чтобы при любом M > 0 множество Π_M P

было относительно компактно в C([0,M],E₀).

Через L_∞(R₊; E) обозначим линейное пространство, состоящее из классов совпадающих

почти всюду функций u, определённых на R₊ и принимающих значения в E, для которых

найдётся число α_u такое, что ∥u(t)∥_E ≤ α_u при почти всех t (такие функции называются

существенно ограниченными). Норма в L_∞(R₊;E) задаётся формулой

∥u∥L∞(R₊;E) = vrai sup ∥u(t)∥E ,

t∈R₊

здесь vrai sup ∥u(t)∥_E - это нижняя грань множества {sup ∥u(t)∥_E : t ∈ R₊ \ M}, где M про-

t∈R₊

бегает все подмножества в R₊, имеющие нулевую меру. Для всякой функции u ∈ L_∞(R₊; E)

при почти всех t≥0 имеет место неравенство ∥u(t)∥_E ≤∥u∥L∞(R₊;E). Пространство L∞(R+; E),

снабжённое указанной нормой, является банаховым (см. [15, с. 309]).

Определение 1. Пусть J - конечный или бесконечный интервал вещественной оси, J - его

замыкание и Y - банахово пространство. Функция u : J → Y называется слабо непрерывной,

если из того, что t_n → t, t_n ∈ J, следует, что u(t_n) → u(t) слабо в Y.

Множество слабо непрерывных функций u : J → Y будем обозначать через C_w(J, Y ).

Также нам потребуется следующая теорема (см., например, [16, с. 211]).

Теорема 1. Пусть E и E₀ - два банаховых пространства таких, что E ⊂ E₀, причём

вложение непрерывно. Если функция v принадлежит пространству L_∞(0, T ; E) и непре-

рывна как функция со значениями в E₀, то v слабо непрерывна как функция со значениями

в E, т.е. v ∈ C_w([0,T],E).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

РАВНОМЕРНЫЕ АТТРАКТОРЫ

1193

Следовательно, функции, принадлежащие классу C(R₊; E₀)

^⋂L_∞(R₊;E), слабо непре-

рывны со значениями в E, а их значения принадлежат пространству E при всех t ∈ R₊.

Для каждого h ≥ 0 определим оператор сдвига T (h), который функции f(t), t ≥ 0,

ставит в соответствие функцию f(t + h), t ≥ 0, т.е. (T (h)f)(t) = f(t + h). Очевидно, что

имеет место тождество T (h₁)T (h₂) = T (h₁ + h₂) для всех h₁, h₂ ≥ 0, а также что T (0) -

тождественный оператор.

2. Основные определения теории равномерных аттракторов. Приведём основные

понятия теории равномерных аттракторов [3, 4].

Рассмотрим абстрактное неавтономное эволюционное дифференциальное уравнение

u^′(t) = Aσ(t)(u(t)), u(t) ∈ E,

(5)

где σ - некоторый функциональный параметр, который будем называть символом уравне-

ния (5). Далее предполагаем, что σ принадлежит некоторому множеству параметров Σ, ко-

торое будем называть пространством символов. Обычно Σ - это подмножество некоторого

пространства зависящих от времени функций. В приложениях функция σ обычно состоит

из всех зависящих от времени коэффициентов и правых частей рассматриваемого уравнения.

Предположим, что для каждого σ ∈Σ задано непустое множество H+σ ⊂C(R₊; E₀)⋂L∞(R+;E)

решений (в каком-либо смысле, например, сильных, слабых и т.п.) уравнения (5), определён-

ных на полуоси. Множества H+σ будем называть траекторными пространствами, а их эле-

менты - траекториями. Рассмотрим также объединённое траекторное пространство H^+Σ =

⋃

= σ∈ΣHσ.Отметим,чтопосколькукаждоеHσ⋂непусто,тоиHΣ непусто.

Определение 2. Множество P ⊂ C(R₊; E₀)

L_∞(R₊;E) называется равномерно (отно-

сительно σ ∈ Σ) притягивающим (для уравнения (5)), если для всякого множества B ⊂ H^+Σ,

ограниченного в L_∞(R₊; E), выполняется условие sup

inf

∥T (h)u-v∥C(R+ ;E₀) →0 при h→∞.

u∈B

v∈P

⋂

Определение 3. Множество P ⊂ C(R₊; E₀)

L_∞(R₊;E) называется равномерно погло-

щающим, если для всякого множества B ⊂ H^+Σ, ограниченного в L_∞(R₊; E), существует

h ≥ 0 такое, что при всех t ≥ h имеет место включение T(t)B ⊂ P.

Любое равномерно поглощающее множество является равномерно притягивающим.

Определение 4. Множество P ⊂ C(R₊; E₀)

^⋂L_∞(R₊;E) называется равномерным тра-

екторным полуаттрактором (для уравнения (5)), если оно удовлетворяет следующим ус-

ловиям:

(i) множество P компактно в C(R₊; E₀) и ограничено в L_∞(R₊; E);

(ii) имеет место включение T (h)P ⊂ P для всех h ≥ 0;

(iii) множество P является равномерно притягивающим.

Определение 5. Множество P ⊂ C(R₊; E₀)

^⋂L_∞(R₊;E) называется равномерным (от-

носительно σ ∈ Σ) траекторным аттрактором (для уравнения (5)), если оно удовлетворяет

условиям (i), (iii) определения 3, а также условию

(ii^′) имеет место равенство T (h)P = P для всех h ≥ 0.

Определение 6. Минимальным равномерным траекторным аттрактором пространства

траекторий H^+Σ называется наименьший по включению равномерный траекторный аттрактор.

Определение 7. Множество A ⊂ E называется равномерным (относительно σ ∈ Σ)

глобальным аттрактором (в E₀) для уравнения (5), если оно удовлетворяет следующим

условиям:

(a) множество A компактно в E₀ и ограничено в E;

(b) для всякого ограниченного в L_∞(R₊; E) множества B ⊂ H^+Σ выполняется условие

притягивания

sup

inf

∥u(t) - y∥E0 → 0 при t → ∞;

y∈A

u∈B

условиям (a) и (b).

Замечание 1. Если семейство траекторных пространств имеет минимальный равномер-

ный траекторный аттрактор или равномерный глобальный аттрактор, то он единственный.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1194

УСТЮЖАНИНОВА

Замечание 2. Пространство символов Σ, вообще говоря, может состоять даже из одного

элемента σ_∗, соответствующего рассматриваемому уравнению. Однако в приложениях теории

чтобы оправдать слово “равномерный” обычно предполагают, что Σ ⊃ Σ₀, где Σ₀ = {T (h)σ_∗ :

h ≥ 0}.

Замечание 3. Минимальный равномерный траекторный аттрактор и равномерный гло-

бальный аттрактор зависят от выбора множества Σ. Если для двух пространств символов

имеет место включение Σ₁ ⊂ Σ₂, то такое же включение имеет место и для соответствую-

щих им минимальных равномерных траекторных аттракторов UΣ1 ⊂ UΣ2 и для равномерных

глобальных аттракторов AΣ1 ⊂ AΣ2 . Более того, при расширении пространства символов

возможны случаи, когда равномерных аттракторов не существует. Подробный пример описан

в [3, замечание 4.3.3].

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2. Если равномерный траекторный полуаттрактор P для уравнения (5) су-

ществует, то существует и минимальный равномерный траекторный аттрактор U для

уравнения (5).

Теорема 3. Если существует минимальный равномерный траекторный аттрактор U

для уравнения (5), то существует и равномерный глобальный аттрактор A для уравне-

ния (5).

Приведём ещё одно утверждение (см. [3, с. 90]), которое нам понадобится при доказатель-

стве основного результата работы.

Лемма 2. Пусть P - относительно компактное в C(R₊; E₀), ограниченное в L_∞(R₊; E)

притягивающее (соответственно поглощающее) множество для уравнения (5). Тогда его за-

мыкание P в пространстве C(R₊;E₀) является компактным в C(R₊;E₀) и ограниченным

в L_∞(R₊;E) притягивающим (соответственно поглощающим) множеством для уравне-

ния (5). Если, кроме того, имеет место включение T(h)P ⊂ P при всех h ≥ 0, то P -

полуаттрактор.

3. Необходимые обозначения. Через C∞0(Ω)ⁿ обозначим линейное пространство функ-

ций Ω → Rⁿ класса C^∞ с компактным носителем. Пусть V = {v ∈ C∞0(Ω)ⁿ : div v = 0}.

Определим пространства V⁰ и V¹ как пополнения пространства V по нормам L₂(Ω)ⁿ и

H¹(Ω)ⁿ соответственно, V² = H²(Ω)ⁿ

^⋂V¹.

Пусть π : L₂(Ω)n → V0 - проектор Лере. Напомним, что в силу разложения Вейля

L₂(Ω)ⁿ = V⁰

^⊕∇H¹(Ω), где ∇H¹(Ω) = {∇v : v ∈ H¹(Ω)}. Рассмотрим в пространстве V

оператор A = -πΔ, который продолжается в пространство V⁰ до замкнутого оператора

и является самосопряжённым положительным оператором с вполне непрерывным обратным

(см., например, [17, 18]). Область определения оператора A совпадает с V². В силу теоремы

Гильберта о спектральном разложении вполне непрерывных операторов собственные функции

{e_j } оператора A образуют ортонормированный базис в V⁰.

Обозначим через E_∞ множество конечных линейных комбинаций, составленных из соб-

ственных функций e_j . Пусть 0 < λ₁ ≤ λ₂ ≤ λ₃ ≤ . . . ≤ λ_k ≤ . . . - собственные значения

оператора A (λ_k отвечает функции e_k). Определим пространство V^α, α ∈ R, как пополне-

∑_∞

ние пространства E_∞ по норме ∥v∥_V α = (

λ^αk|v_k|²)1/2.

k=1

В [19, 20] показано, что указанные нормы в пространствах V¹, V², V³ эквивалентны

следующим: ∥v∥_V 1 = ∥A1/2v∥_V 0 , ∥v∥V 2 = ∥Av∥V 0 ,

∥v∥_V 3 = ∥A3/2v∥_V 0 .

Для определения слабого решения на отрезке введём пространства

W₁[0,T] = {v: v ∈ L_∞(0,T;V²), v^′ ∈ L₂(0,T;V¹)}

W₂[0,T] = {v: v ∈ C([0,T],V³), v^′ ∈ L₂(0,T;V³)}

с соответствующими нормами

∥v∥W1[0,T ] = ∥v∥L∞ (0,T ;V²)+∥v′∥L2(0,T ;V¹)^и

∥v∥W2[0,T ] = ∥v∥C([0,T ],V 3) + ∥v^′∥L₂(0,T ;V 3).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

РАВНОМЕРНЫЕ АТТРАКТОРЫ

1195

Для определения слабого решения на полуоси R₊ задачи (1)-(4) нам понадобится прост-

ранство W^loc1(R₊), состоящее из функций, определённых на R₊ и принимающих значения

в V², таких, что их ограничение на любой отрезок [0,T] принадлежит пространству W₁[0,T].

Через W^loc2(R₊) обозначим пространство, состоящее из функций класса C(R₊; V³) таких, что

их ограничение на любой отрезок [0, T ] принадлежит пространству W₂[0, T ]. Введём также

пространство X , состоящее из всех тех элементов пространства L^loc2(R₊; V⁰), для которых

конечна норма ∥ϕ∥_X = sup

∥ϕ∥L2(t,t+1;V 0).

t≥0

4. Слабая постановка задачи и аппроксимация. Предполагаем, что a ∈ V², f ∈ X .

Дадим определение слабого решения задачи (1)-(4) на конечном отрезке и на полуоси.

Определение 8. Слабым решением задачи (1)-(4) на отрезке [0, T ] называется функция

v ∈ W₁[0,T], которая удовлетворяет при почти всех t ∈ [0,T] и для любого ϕ ∈ V ¹ тождеству

∫

∑

∂v

∂ϕ_j

ϕ dx + ν

∇v : ∇ϕdx -

v_iv_j

dx +

∂t

∂x_i

i,j=1Ω

∫

∑

⁽∂v⁾

∂ϕ_j

+κ

∇

: ∇ϕdx + κ

v_iΔv_j

dx =

fϕdx

(6)

∂t

∂x_i

i,j=1Ω

и начальному условию

v(0) = a.

(7)

Здесь и ниже символ “:” обозначает покомпонентное произведение матриц.

Определение 9. Слабым решением задачи (1)-(4) на полуоси R₊ будем называть функ-

цию v ∈ W^loc1(R₊) такую, что при каждом T > 0 её ограничение на отрезок [0, T ] является

слабым решением задачи (1)-(4) на отрезке [0, T ].

Непрерывные вложения V¹ ⊂ V⁰ и V² ⊂ V¹ соответствуют неравенствам

∥u∥_V 0 ≤ K₀∥u∥_V 1 , u ∈ V¹, и

∥u∥_V 1 ≤ K₁∥u∥_V 2 , u ∈ V².

(8)

Определим постоянную

νκ

α=

νκ,

(9)

K²⁰K²¹ + 2κK²¹ + κ²

K₂

где K₂ = K²⁰K²¹ + 2κK²¹ + κ².

Введём операторы при помощи следующих формул:

∫

A:V¹ →V-1,

〈Au, ϕ〉 =

∇u : ∇ϕdx для всех u,ϕ ∈ V¹;

∫

∑

∂ϕ_j

B₁ : L₄(Ω)ⁿ → V-1,

〈B₁(u), ϕ〉 =

u_iu_j

dx для всех u ∈ L₄(Ω)ⁿ и ϕ ∈ V¹;

∂x_i

i,j=1Ω

∫

∑

∂ϕ_j

B₂ : V² → V-1,

〈B₂(u), ϕ〉 =

u_iΔu_j

dx для всех u ∈ V² и ϕ ∈ V¹;

∂x_i

i,j=1Ω

∫

J :V¹ →V-1,

〈Ju, ϕ〉 = uϕ dx для всех u, ϕ ∈ V¹.

Тогда вопрос о существовании слабых решений начально-краевой задачи (1)-(4) эквивалентен

вопросу о существовании удовлетворяющего начальному условию (7) решения v ∈ W₁[0, T ]

операторного уравнения

(J + κA)v^′ - B₁(v) + κB₂(v) + νAv = f.

(10)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1196

УСТЮЖАНИНОВА

Рассмотрим также аппроксимационное операторное уравнение

(J + κA + εe^-αtA²)v^′ + νAv - B₁(v) + κB₂(v) = f

(11)

с начальным условием v(0) = a, a ∈ V³. Здесь ε ∈ (0, 1], а оператор A² : V³ → V-1

определяется следующим образом:

∫

〈A²u, ϕ〉 = -

∇(Δu) : ∇ϕ dx для всех u ∈ V³ и ϕ ∈ V¹.

Определение 10. Решением уравнения (11) на отрезке [0, T ] будем называть функцию

v ∈ W₂[0,T], для которой равенство (11) выполнено в L₂(0,T;V -1). Решением уравнения (11)

на полуоси R₊ назовём функцию v ∈ W^loc2(R₊) такую, что при каждом T > 0 её ограничение

на отрезок [0, T ] является решением уравнения (11) на этом отрезке.

Приведём нужную нам в дальнейшем теорему Обена-Дубинского-Симона [21].

Теорема 4. Пусть X ⊂ E ⊂ Y - банаховы пространства, причём вложение X ⊂ E

вполне непрерывно, а вложение E ⊂ Y непрерывно. Пусть F ⊂ L_p(0, T ; X),

1 ≤ p ≤ ∞,

и для любого f ∈ F его обобщённая производная в пространстве D^′(0,T;Y ) принадлежит

пространству L_r(0,T;Y ),

1 ≤ r ≤ ∞. Пусть, кроме того, множество F ограничено в

L_p(0,T;X), а множество {f^′ : f ∈ F} ограничено в L_r(0,T;Y ). Тогда при p < ∞ мно-

жество F относительно компактно в L_p(0, T ; E), а при p = ∞ и r > 1 множество F

относительно компактно в C([0,T],E).

Приведём необходимые нам свойства введённых выше операторов [11, 13].

Лемма 3. Справедливы следующие утверждения.

1. Оператор A : L₂(0, T ; V¹) → L₂(0, T ; V-1) непрерывен и имеет место оценка

∥Au(t)∥_V -1 ≤ ∥u(t)∥_V 1 при почти всех t ∈ [0, T ].

(12)

2. Оператор B₁ : L₂(0, T ; L₄(Ω)ⁿ) → L₂(0, T ; V-1) непрерывен и имеет место оценка

∥B₁(u)(t)∥_V -1 ≤ C₁∥u(t)∥2L

при почти всех t ∈ [0,T].

(13)

4 (Ω)ⁿ

3. Оператор B₂ : L₂(0, T ; V²) → L₂(0, T ; V-1) непрерывен и имеет место оценка

∥B₂(u)(t)∥_V -1 ≤ C₂∥u(t)∥2V 2 при почти всех t ∈ [0, T ].

(14)

4. Для любой функции u ∈ L₂(0, T ; V³) справедлива оценка

∥A²u(t)∥_V -1 ≤ ∥u(t)∥_V 3 при почти всех t ∈ [0, T ].

(15)

5. Для любой функции u ∈ L₂(0, T ; V¹) справедливо оценка

κ∥v(t)∥_V 1 ≤ ∥(κA + J)v(t)∥_V -1 при почти всех t ∈ [0, T ].

(16)

6. При каждом t ∈ [0, T ] оператор (J + κA + εe^-αtA²) : L₂(0, T ; V³) → L₂(0, T ; V-1)

является линейным и непрерывным, и для него имеет место оценка

εe^-αt∥u(t)∥_V 3 ≤ ∥(J + κA + εe^-αtA²)u(t)∥_V -1 при почти всех t ∈ [0, T ].

(17)

5. Оценки решений. Для доказательства существования равномерных аттракторов рас-

сматриваемой модели нам потребуются оценки специального вида.

Лемма 4. Пусть v - решение уравнения (11) на отрезке [0, T ], T > 0, при некотором

ε > 0. Тогда на любом отрезке [τ,τ + 1] ⊂ [0,T] выполняется оценка

C²³ + κ

e2α

κ∥v∥L∞(τ,τ+1;V 2) ≤ 1+e^-ατ (K2∥v(0)∥^V 2 +ε∥v(0)∥^V 2 +εκ∥v(0)∥^V 3 )+2

∥f∥2X . (18)

νκ e^α -1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

РАВНОМЕРНЫЕ АТТРАКТОРЫ

1197

Доказательство. Скалярно умножив левую и правую части уравнения (11) на функцию

ϕ = (J + κA)v, получим

〈(J + κA + εe^-αtA²)v^′, (J + κA)v〉 + 〈νAv, (J + κA)v〉 - 〈B₁(v), (J + κAu)〉 +

(19)

+ κ〈B₂(v),(J + κA)v〉 = 〈f,(J + κA)v〉.

Преобразуем первое слагаемое в (19) следующим образом:

∫

〈(J + κA + εe^-αtA²)v^′, (J + κA)v〉 = v^′v dx - κ v^′Δv dx + κ

∇v^′ : ∇v dx -

∫

−κ²

∇v^′ : ∇Δv dx - εe^-αt

∇Δv^′ : ∇v dx + εe^-αtκ

∇Δv^′ : ∇Δv dx =

1 d

εe^-αt + κ

εe^-αtκ d

∥v(t)∥2V0 + κ

∥v(t)∥2V1 +

∥v(t)∥2V2 +

∥v(t)∥2V3 .

2 dt

Для второго слагаемого имеем

∫

〈νAv, (J + κA)v〉 = ν

∇v : ∇v dx - νκ

∇v : ∇(Δv)dx =

∫

=ν

∇v : ∇v dx + νκ ΔvΔv dx = ν∥v(t)∥2V1 + νκ∥v(t)∥2V2 .

Для двух последних слагаемых в левой части равенства (19) получаем

∫

∑

∂(v - κΔv)_j

-〈B₁(v), (J + κA)v〉 + κ〈B₂(v), (J + κA)v〉 = -

v_iv_j

dx +

∂x_i

i,j=1Ω

∫

∑

∂(v - κΔv)

∂v_i

+κ

v_iΔv_j

dx =

(v - κΔv)_j(v - κΔv)_j dx = 0.

∂x_i

i,j=1Ω

Ω i,j=1

Оценим правую часть равенства (19) сверху:

〈f, (J + κA)v〉 ≤ ∥f(t)∥_V 0 ∥v(t)∥_V 0 + κ∥f(t)∥_V 0 ∥Av(t)∥_V 0 ≤

νκ

(C²³ + κ²)

≤ ∥v(t)∥_V 2 (C₃∥f(t)∥_V 0 + κ∥f(t)∥_V 0 ) ≤

∥v(t)∥2V2 +

∥f(t)∥2V0 .

νκ

Приводя подобные слагаемые и умножая получившееся неравенство на 2, будем иметь

∥v(t)∥2V0 + 2κ

∥v(t)∥2V1 + (εe^-αt + κ²)

∥v(t)∥2V2 + εe^-αtκ

∥v(t)∥2V3 + 2ν∥v(t)∥2V1

C²³ + κ

+ νκ∥v(t)∥2V2 ≤ 2

∥f(t)∥2V0 .

(20)

νκ

Рассмотрим на V² вспомогательную норму ∥u∥² = ∥u∥2V0 + 2κ∥u∥2V1 + κ²∥u∥2V2 , эквива-

лентную норме ∥ · ∥_V 2 . В самом деле, из неравенств (8) следует двойная оценка

κ²∥u∥2V2 ≤ ∥u∥² ≤ (K²⁰K²¹ + 2κK²¹ + κ²)∥u∥2V2.

(21)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1198

УСТЮЖАНИНОВА

В силу правой оценки в (21) и обозначения (9) получаем

νκ

νκ∥u(t)∥2V2 ≥

∥u(t)∥² = α∥u(t)∥².

(22)

(K²⁰K²¹ + 2κK²¹ + κ²)

Вследствие неравенства (20), определения вспомогательной нормы, оценки (22) и того, что

2ν∥v(t)∥2V1 ≥ 0, справедливо неравенство

C²³ + κ²

∥v(t)∥² + εe^-αt

∥v(t)∥2V2 + εe^-αtκ

∥v(t)∥2V3 + α∥v(t)∥² ≤ 2

∥f(t)∥2V0 .

νκ

Выполним подстановку v(t) = v(t)e-αt/2 в первом и последнем слагаемых левой части

последнего неравенства:

C²³ + κ²

∥v(t)e-αt/2∥² + εe^-αt

∥v(t)∥2V2 + εe^-αtκ

∥v(t)∥2V3 + α∥v(t)e-αt/2∥² ≤ 2

∥f(t)∥2V0 .

νκ

Приводя здесь подобные слагаемые, приходим к оценке

)

⁽d

C²³ + κ²

e^-αt

∥v(t)∥² + εe^-αt

∥v(t)∥2V2 + κ

∥v(t)∥2V3

≤2

∥f(t)∥2V0 ,

νκ

умножив на e^αt обе части которой, получаем

)

⁽d

C²³ + κ²

∥v(t)∥² + ε

∥v(t)∥2V2 + κ

∥v(t)∥²

≤ 2e^αt

∥f(t)∥2V0 .

V³

νκ

Проинтегрировав последнее неравенство по t от 0 до τ ∈ [0, T ], будем иметь

∥v(τ)∥² + ε∥v(τ)∥2V2 + εκ∥v(τ)∥2V3 ≤

∫

C²³ + κ

≤ ∥v(0)∥² + ε∥v(0)∥2V 2 + εκ∥v(0)∥2V 3 + 2

e^αs∥f(s)∥2V0 ds.

(23)

νκ

Так как (см. [3, с. 186]) для любой скалярной функции φ(s) и числа a > 1 верно неравенство

∫

at+2

a^sφ(s)ds ≤

sup

|φ(ξ)|dξ,

a-1s∈[0,t-1]

то вследствие (23) получаем

∥v(τ)∥² + ε∥v(τ)∥2V2 + εκ∥v(τ)∥2V3 ≤

∫

C²³ + κ

eα(τ+2)

≤ ∥v(0)∥² + ε∥v(0)∥2V 2 + εκ∥v(0)∥2V3 + 2

sup

∥f(ξ)∥2V0 dξ.

νκ e^α -1

s∈[0,τ-1]

Умножим это неравенство на e^-ατ и, вспоминая, что v(τ) = eατ/2v(τ) согласно использо-

ванной выше подстановке, найдём, что

∥v(τ)∥² + e^-ατ ε∥v(τ)∥2V2 + e^-ατ εκ∥v(τ)∥2V3 ≤

C²³ + κ

e2α

≤ e^-ατ(∥v(0)∥² + ε∥v(0)∥2V 2 + εκ∥v(0)∥2V 3) + 2

∥f∥2X .

νκ e^α -1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

РАВНОМЕРНЫЕ АТТРАКТОРЫ

1199

Оставляя в левой части полученного неравенства только первое слагаемое и учитывая опре-

деление вспомогательной нормы и оценку (21), будем иметь

C²³ + κ

e2α

κ²∥v(τ)∥2V2 ≤ e^-ατ (K₂∥v(0)∥2V2 + ε∥v(0)∥2V2 + εκ∥v(0)∥2V3 ) + 2

∥f∥2X .

νκ e^α -1

Отсюда, переходя к супремуму по отрезку [τ, τ + 1] ⊂ [0, T ], получаем

C²³ + κ

e2α

κ²∥v∥2L

≤ e^-ατ(K₂∥v(0)∥2V 2 + ε∥v(0)∥2V 2 + εκ∥v(0)∥2V 3) + 2

∥f∥2X ,

(24)

∞(τ,τ+1;V²)

νκ e^α -1

откуда, поскольку b ≤ 1 + b² для всех b ∈ R, следует неравенство (18). Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть v - решение уравнения (11) на отрезке [0, T ], T > 0, при некотором

ε > 0. Тогда для любого отрезка [τ,τ + 1] ⊂ [0,T] имеет место неравенство

κ∥v^′∥_L

(25)

2(τ,τ+1;V¹) ≤^C8(1+e-ατ (^K2∥v(0)∥V 2+ε∥v(0)∥V 2+εκ∥v(0)∥V 3)+∥f∥X )^.

Доказательство. Так как функция v удовлетворяет уравнению (11), то

∥(J + κA + εe^-αtA²)v^′(t)∥_V -1 = ∥ - νAv(t) + B₁(v)(t) - κB₂(v)(t) + f(t)∥_V -1 .

С учётом неравенств (12)-(14), а также непрерывности вложений V² ⊂ L₄(Ω)ⁿ, V² ⊂ V¹ и

V⁰ ⊂ V-1 получаем, что

∥ - νAv(t) + B₁(v)(t) - κB₂(v)(t) + f(t)∥_V-1 ≤

≤ C₅ν∥v(t)∥V 2 + C₁C²⁴∥v(t)∥2V 2 + κC2∥v(t)∥V 2 + C6∥f(t)∥V 0 ≤ C7(1 + ∥v(t)∥V 2 + ∥f(t)∥V 0).

Поэтому справедливо неравенство

∥(J + κA + εe^-αtA²)v^′(t)∥_V -1 ≤ C₇(1 + ∥v(t)∥2V 2 + ∥f(t)∥_V 0 ),

(26)

из которого в силу оценки (17) следует, что

εe^-αt∥v^′(t)∥_V 3 ≤ C₇(1 + ∥v(t)∥2V 2 + ∥f(t)∥_V 0 ) при почти всех t ∈ [0, T ].

(27)

Аналогично, используя неравенства (15), (26) и (27), имеем

∥(J + κA)v^′(t)∥_V -1 = ∥ - εe^-αtA²v^′(t) - νAv(t) + B₁(v)(t) - κB₂(v)(t) + f(t)∥_V -1 ≤

≤ εe^-αt∥v^′(t)∥_V 3 + C₇(1 + ∥v(t)∥2V 2 + ∥f(t)∥_V 0 ) ≤ 2C7(1 + ∥v(t)∥^V 2 + ∥f(t)∥V 0 ).

Отсюда в силу оценки (16) получаем

κ∥v^′(t)∥_V 1 ≤ 2C₇(1 + ∥v(t)∥2V2 + ∥f(t)∥_V 0 ) при почти всех t ∈ [0, T ].

(28)

Возведём обе части неравенства (28) в квадрат и проинтегрируем по t от τ до τ + 1:

τ+1

∫

κ²

∥v^′(s)∥2V1 ds ≤ 4C²

(1 + ∥v(s)∥2V2 + ∥f(s)∥_V 0 )² ds.

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратный корень, в силу неравенства Минков-

ского имеем

∫

)1/2

κ∥v^′∥_L

(1 + ∥v(s)∥2V2 + ∥f(s)∥_V 0 )² ds

≤

2(τ,τ+1;V¹) ≤2C7

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1200

УСТЮЖАНИНОВА

∫

)1/2

∫

)1/2

∫

)1/2)

≤ 2C₇

1 ds

∥v(s)∥4V2 ds

∥f(s)∥2V0 ds

≤

≤ 2C₇(1 + sup

∥v(s)∥2V2 + ∥f∥_L

2(τ,τ+1;V⁰))≤2C7(1+∥v∥L∞(τ,τ+1;V 2)+∥f∥X).

s∈[τ,τ+1]

Оценивая теперь ∥v∥2L∞(τ,τ+1;V 2)^{припомощинеравенства(24)иприводяподобныеслага-}

емые, приходим к требуемому неравенству (25). Лемма доказана.

Теорема 5. Пусть f ∈ X , a ∈ V³. Тогда уравнение (11) имеет решение v ∈ W₂[0, T ] на

отрезке [0,T] (T > 0) и на любом отрезке [τ,τ + 1] ⊂ [0,T] выполняется неравенство

∥v^′∥_L

2(τ,τ+1;V¹) +^∥v∥L∞ (τ,τ+1;V²)^≤

≤ C₉(1 + e^-ατ (K₂∥v(0)∥2V 2 + ε∥v(0)∥2V 2 + εκ∥v(0)∥2V 3) + ∥f∥2X ).

(29)

Доказательство. Существование решения уравнения (11) при f ∈ L₂(0, T ; V⁰), a ∈ V³

на отрезке [0, T ] (T > 0) доказано в работе [11]. Неравенство (29) непосредственно следует

из оценок (18) и (25). Теорема доказана.

Нам также понадобятся следующие теоремы о существовании решений на полуоси.

Теорема 6. При любом a ∈ V³ задача (11), (7) имеет решение v ∈ W^loc2(R₊).

Теорема 7. При любом a ∈ V² задача (10), (7) имеет решение v ∈ W^loc1(R₊), удовле-

творяющее при всех τ ≥ 0 оценке

∥v^′∥_L

(30)

2(τ,τ+1;V¹) +^∥v∥L∞ (τ,τ+1;V²)≤C10(1+e-ατ K2∥v(0)∥V 2),

где C₁₀ = C₉(1 + ∥f∥2X ).

Доказательство разрешимости задач (11), (7) и (10), (7) на полуоси R₊ можно найти в

работе [14]. Оценка (30) получается из неравенства (29) при предельном переходе в задаче

(11), (7) при ε → 0 с учётом того, что для любой последовательности x_n слабо (*-слабо)

сходящейся к x в банаховом пространстве X имеет место неравенство ∥x∥_X ≤ lim

∥x_n∥_X .

n→∞

6. Равномерные аттракторы. В качестве пространства символов Σ системы (1), (2)

для фиксированного f ∈ X выберем произвольное множество Σ ⊂ X , содержащее функцию

f, для элементов которого выполняется неравенство ∥σ∥X ≤ ∥f∥X , σ ∈ Σ. Отметим, что

множество Σ может быть выбрано и другим образом. Например, Σ = {f} или Σ = {T (t)f :

t ≥ 0}, или Σ является замыканием множества {T(t)f : t ≥ 0} в сильной (слабой) топологии

пространства X . Важно упомянуть, что в каждом из этих вариантов пространств символов

будут получаться различные равномерные аттракторы. При этом выбранный нами случай

носит наиболее общий характер.

Определим семейство траекторных пространств {H+σ : σ ∈ Σ}.

Определение 11. Пространство траекторий H+σ системы (1), (2), соответствующее сим-

волу σ ∈ Σ, - это множество функций v, для которых выполняются следующие условия:

(i) v ∈ L_∞(R₊; V²), v^′ ∈ L^loc2(R₊; V¹);

(ii) функция v удовлетворяет при почти всех t ∈ R₊ операторному равенству

(J + κA)v^′ - B₁(v) + κB₂(v) + νAv = σ;

(31)

(iii) при всех τ ≥ 0 для функции v справедлива оценка

∥v^′∥_L

(32)

2(τ,τ+1;V¹) +^∥v∥L∞ (τ,τ+1;V²)≤C10(1+e-ατ K2∥v∥L∞(R+;V 2)).

Чтобы данное определение пространства траекторий было корректным, нужно убедиться,

что множество H+σ непусто, и проверить включение H+σ ⊂ C(R₊; V¹)

^⋂L_∞(R₊;V²).

Включение H+σ ⊂ L_∞(R₊; V²) непосредственно вытекает из определения пространства

траекторий. Чтобы доказать непрерывность траекторий, воспользуемся теоремой 4 для тройки

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

РАВНОМЕРНЫЕ АТТРАКТОРЫ

1201

пространств V² ⊂ V¹ ⊂ V¹. Из оценки (32) следует, что если v - некоторая траектория, то

на произвольном отрезке [0, T ] имеем Π_T v ∈ L_∞(0, T ; V²), Π_T v^′ ∈ L₂(0, T ; V¹), поэтому из

теоремы 4 следует, что Π_T v принадлежит пространству C([0, T ], V¹). Это верно при любом T,

поэтому v ∈ C(R₊; V¹), что и требовалось.

Теорема 8. Пусть σ ∈ Σ - некоторый символ. Тогда для любого a ∈ V² существует

траектория v ∈ H+σ, для которой v(0) = a.

Доказательство. Теорема 7 утверждает, что для любых a ∈ V² и f ∈ X (в том числе и

для σ) существует решение v ∈ W^loc1(R₊) задачи (10), (7). Таким образом, по определению

пространства W^loc1(R₊) функция v принадлежит L_∞(R₊; V²), v^′ ∈ L^loc2(R₊; V¹) (следова-

тельно, v ∈ C(R₊; V¹)) и удовлетворяет (31).

Осталось проверить выполнимость оценки (32). Так как v ∈ C(R₊; V¹)

^⋂L_∞(R₊;V²), то

по теореме 1 функция v принадлежит пространству C_w(R₊; V²). Поэтому для любого t ∈ R₊

определено значение v(t) ∈ V² и, следовательно, ∥v(t)∥_V 2 ≤ ∥v∥_L

∞ (R+;V²).^{Отсюда,поскольку}

v удовлетворяет оценке (30), и следует оценка (32). Теорема доказана.

Из теоремы 8 вытекает, что пространство H+σ не только непусто, но и “достаточно богато”,

а именно, для любого a ∈ V² существует выходящая из него траектория v ∈ H+σ.

Перейдём к теоремам существования аттракторов.

Теорема 9. Существует минимальный равномерный траекторный аттрактор U семей-

ства траекторных пространств {H+σ : σ ∈ Σ} системы (1), (2).

Доказательство. В силу теоремы 2 для доказательства достаточно построить полуат-

трактор семейства пространств {H+σ : σ ∈ Σ}.

Рассмотрим множество P ⊂ C(R₊; V¹)

^⋂L_∞(R₊;V²), которое удовлетворяет следующим

условиям:

1) множество P состоит из функций v ∈ C(R₊; V¹)

^⋂L_∞(R₊;V²);

2) для функций v при всех τ ≥ 0 выполняется неравенство

∥v^′∥_L

(33)

2(τ,τ+1;V¹) +^∥v∥L∞(τ,τ+1;V²)≤(1+K2)C10^.

Так как при каждом h ≥ 0 оператор T (h) : C(R₊; V¹) → C(R₊; V¹) непрерывен, то

T (t)P ⊂ P при t ≥ 0. Следовательно, множество P трансляционно инвариантно.

Покажем, что P относительно компактно в C(R₊; V¹). В силу леммы 1 достаточно по-

казать, что множество Π_T P относительно компактно в C([0, T ], V¹) для любого T > 0. Из

неравенства (33) вытекает, что множество Π_T P ограничено в L_∞(0, T ; V²) при любом T >

> 0, а множество {v^′ : v ∈ Π_T P } ограничено в L₂(0, T ; V ¹). Вследствие теоремы 4 получаем,

что Π_T P относительно компактно в C([0, T ], V¹). Так как T произвольно, то по лемме 1

множество P относительно компактно в C(R₊; V¹).

Покажем, что P является равномерно поглощающим множеством. Пусть множество B ⊂

⊂ H^+Σ ограничено в L_∞(R₊;V ²) и ∥v∥_L

∞(R+;V²) ≤Rдляv∈B.ПустьчислоtB≥0такое,

что R²e-αtB ≤ 1. Согласно оценке (32) для h ≥ t_B и τ ≥ 0 имеем

∥T (h)v^′∥_L

2(τ,τ+1;V¹) +∥T(h)v∥L∞ (τ,τ+1;V²)=∥v′∥L2(τ+h,τ+h+1;V¹)+∥v∥L∞(τ+h,τ+h+1;V²)^≤

≤ C₁₀(1 + e-α(τ+h)K₂∥v∥2L

) ≤ C₁₀(1 + K₂R²e^-αhe^-ατ) ≤ C₁₀(1 + K₂).

∞(R+;V²)

Таким образом, неравенство (33) выполняется для функции T (h)v при всех τ ≥ 0. Следова-

тельно, T (h)B ⊂ P при h ≥ t_B и P - поглощающее множество.

Согласно лемме 2 замыкание P множества P в пространстве C(R₊; V¹) является траек-

торным полуаттрактором объединённого пространства траекторий H^+Σ, т.е. семейства {H+σ :

σ ∈ Σ}. По теореме 2 отсюда следует существование минимального равномерного траектор-

ного аттрактора U. Теорема доказана.

Теорема 10. Существует равномерный глобальный аттрактор A семейства траектор-

ных пространств {H+σ : σ ∈ Σ} системы (1), (2).

Доказательство. По теореме 9 существует минимальный равномерный траекторный ат-

трактор U семейства траекторных пространств {H+σ : σ ∈ Σ} системы (1), (2). Тогда в силу

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

4^∗

1202

УСТЮЖАНИНОВА

теоремы 3 существует равномерный глобальный аттрактор A семейства траекторных про-

странств {H+σ : σ ∈ Σ} системы (1), (2). Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

следований (проект 20-01-00051) и Министерства науки и высшего образования РФ (проект

FZGU-2020-0035).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Evolution equations and their trajectory attractors // J. Math. Pures Appl.

1997. V. 9. № 76. P. 913-964.

2. Vorotnikov D.A., Zvyagin V.G. Uniform attractors for non-autonomous motion equations of viscoelastic

medium // J. Math. Anal. Appl. 2007. V. 325. P. 438-458.

3. Zvyagin V., Vorotnikov D. Topological Approximation Methods for Evolutionary Problems of Nonlinear

Hydrodynamics. Berlin, 2008.

4. Звягин В.Г., Кондратьев С.К. Аттракторы уравнений неньютоновской гидродинамики // Успехи

мат. наук. 2014. Т. 69. № 5 (419). С. 81-156.

5. Павловский В.А. К вопросу о теоретическом описании слабых водных растворов полимеров // Докл.

АН СССР. 1971. Т. 200. № 4. C. 809-812.

6. Амфилохиев В.Б., Войткунский Я.И., Мазаева Н.П., Ходорковский Я.С. Течения полимерных рас-

творов при наличии конвективных ускорений // Тр. Ленинград. ордена Ленина кораблестроитель-

ного ин-та. 1975. Т. 96. С. 3-9.

7. Амфилохиев В.Б., Павловский В.А. Экспериментальные данные о ламинарно-турбулентном пере-

ходе при течении полимерных растворов в трубах // Тр. Ленинград. ордена Ленина кораблестро-

ительного ин-та. 1976. Т. 104. С. 3-5.

8. Осколков А.П. О разрешимости в целом первой краевой задачи для одной квазилинейной системы

3-го порядка, встречающейся при изучении движения вязкой жидкости // Зап. науч. сем. ЛОМИ.

1972. Т. 27. C. 145-160.

9. Осколков А.П. О единственности и разрешимости в целом краевых задач для уравнений движения

водных растворов полимеров // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1973. Т. 38. С. 98-136.

10. Осколков А.П. О некоторых квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вяз-

ких жидкостей // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1975. Т. 52. С. 128-157.

11. Турбин М.В., Устюжанинова А.С. Теорема существования слабого решения начально-краевой за-

дачи для системы уравнений, описывающей движение слабых водных растворов полимеров // Изв.

вузов. Математика. 2019. № 8. С. 62-78.

12. Плотников П.И., Турбин М.В., Устюжанинова А.С. Теорема существования слабого решения

задачи оптимального управления с обратной связью для модифицированной модели Кельвина-

Фойгта слабо концентрированных водных растворов полимеров // Докл. РАН. 2019. Т. 488. № 2.

С. 133-136.

13. Ustiuzhaninova A., Turbin M. Feedback control problem for modified Kelvin-Voigt model // J. of Dynam.

and Contr. Systems. 2021. DOI: 10.1007/s10883-021-09539-0.

14. Устюжанинова А.С., Турбин М.В. Траекторные и глобальные аттракторы для модифицированной

модели Кельвина-Фойгта // Сиб. журн. индустр. математики. 2021. Т. 24. № 1. С. 126-138.

15. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М., 2004.

16. Tемам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М., 1981.

17. Солонников В.А. Оценки тензоров Грина для некоторых граничных задач // Докл. АН СССР. 1960.

Т. 130. № 5. С. 988-991.

18. Ворович И.И., Юдович В.И. Стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости // Мат. сб. 1961.

Т. 53. № 4. С. 393-428.

19. Звягин В.Г., Турбин М.В. Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред. М., 2012.

20. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Но-

восибирск, 1999.

21. Simon J. Compact sets in the space L^p(0, T; B) // Ann. Mat. Pura Appl. 1986. № 146. С. 65-96.

Воронежский государственный университет

Поступила в редакцию 16.03.2021 г.

После доработки 11.05.2021 г.

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021