ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 9, с.1203-1209

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.6

ЗАДАЧА НЕЙМАНА-ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

СМЕШАННОГО ТИПА С СИЛЬНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

Для уравнения u_xx + yu_yy + αu = 0 с параметром α ≤ -1/2, заданного в смешанной

области, лежащей в правой полуплоскости и ограниченной полуосью y ≥ 0 и характе-

ристикой x = 2√-y, рассматривается задача Неймана-Трикоми, в которой на полуоси

задаются значения нормальной производной искомой функции, на характеристике - зна-

чения самой функции, а на особой линии - условия склеивания. Решение ищется в классе

функций, имеющих на бесконечности особенности порядка не выше заданного. Получены

достаточные условия на входные данные задачи, при выполнении которых она однозначно

разрешима. Доказательство проводится методом интегральных уравнений.

DOI: 10.31857/S0374064121090065

1. Постановка задачи. Начало исследованиям краевых задач для уравнений смешанно-

го типа положено работой Ф. Трикоми [1]. Позднее подобные задачи широко изучались для

разных уравнений, главным образом для уравнений со слабым вырождением. Для уравнений

же с сильным вырождением такие задачи исследованы гораздо хуже: для них имеются только

отдельные разрозненные результаты (см., например, [2-15]).

В работах автора [12; 15, с. 117] рассматривалась задача Трикоми для уравнения

u_xx + yu_yy + αu_y = 0, α ≤ -1/2,

(1)

в смешанной области D, эллиптическая часть которой D₁ совпадает с первым квадрантом,

а гиперболическая часть D₂ представляет собой криволинейный угол, ограниченный харак-

теристиками x - 2√-y = 0 и y = 0.

В данной статье для уравнения (1) в указанной области исследуется задача Неймана-

Трикоми.

Через n и m обозначим натуральные числа, удовлетворяющие неравенствам

-1/2 < α + n = α₀ ≤ 1/2 и

0 < 2α + m - 1 = δ ≤ 1.

Очевидно, что m = 2n + 2, δ = 2α₀ + 1, если -1/2 < α₀ ≤ 0, и m = 2n + 1, δ = 2α₀, если

0 < α₀ ≤ 1/2.

Задача NT_α. В области D найти функцию u(x, y) со свойствами:

1) функция u(x, y) принадлежит классу

C(D

^⋃ {(0, y) : y > 0}^⋃ {(x, y) : x - 2√-y = 0})^⋂ C¹(D₁ ⋃ {(0, y) : y > 0});

2) для (x, y) ∈ D₁ имеют место соотношения

u = o(R2-2α), u_x = o(R1-2α), u_y = o(R-2α) при R → +∞,

(2)

где R² = x² + 4y;

3) функция u(x, y) принадлежит классу C²(D₁

^⋃D₂) и удовлетворяет уравнению (1) в

D₁

^⋃D₂;

4) существуют пределы (i = 1, 2)

ν_i(x) = lim

|y|^α(u(x, y) - A_α(x, y, τ))_y , x > 0,

(3)

y→0

(x,y)∈D_i

1203

1204

ХАЙРУЛЛИН

и выполняется условие склеивания

ν₁(x) = (-1)ⁿν₂(x), x > 0,

(4)

здесь принято обозначение

u(x, 0) = τ(x), x ≥ 0,

(5)

а функция A_α(x, y, τ) определяется формулами

∑

τ(2s)(x)(-1)^sy^s

A_α(x,y,τ) =

α = -n,

(α)_ss!

s=1

(

)

∑

τ(2s)(x)(-1)^sy^s

τ(2n+2)(x)yn+1

A_α(x,y,τ) =

ln |y| -

α = -n,

(α)_ss!

n!(n + 1)!

s=1

[·] - целая часть числа, (α)s - символ Похгаммера;

5) функция u(x, y) удовлетворяет краевым условиям

u_x(0,y) = ϕ(y), y > 0,

(6)

u(x, y) |x-2√-y=0= ω(x), x ≥ 0,

(7)

где ϕ(y) и ω(x) - заданные функции.

На функции ϕ(y) и ω(x) наложим следующие условия.

Условие 1. Функция ϕ(y) принадлежит классу C[0, +∞) и имеет представления

[(n-1)/2]∑

ϕ{s}(0)

ϕ(y) =

y^s + ϕ₀(y)y^ϵ при y → 0,

s=0

ϕ(y) = ϕ_∞(y)y^χ при y → +∞,

где ϵ > (-1 - 2α)/4, если -1/2 < α₀ ≤ 0, и ϵ > (-2α - n)/2, если 0 < α₀ ≤ 1/2; χ < -α/2,

если n - чётное, и χ < (1 - δ + n)/2, если n - нечётное; ϕ₀(x) и ϕ_∞(x) - ограниченные

функции; ϕ^{s}(0) - разностные производные порядка s в точке 0.

Условие 2. Функция ω(x) принадлежит классу Cⁿ[0, +∞)

^⋂Cn+1,γ(0,+∞), γ > 1/2 -

− α₀; её производная ω(n+1)(x) может иметь особенность при x = 0 только порядка ниже

min (1/2 + α₀, δ), и при x → +∞ справедливо представление

ω(n+1)(x) = ω_∞(x)x^β,

где β < -α₀, если n - чётное, и β < 1-δ, если n - нечётное, ω_∞(x) - ограниченная функция.

Условие 3. Выполняются условия сопряжения

(-1)^sϕ^{s}(0)(α - 1/2)2s+1 = ω(2s+1)(0)(α - 1/2)s+1, s = 0, [(n - 1)/2].

Обозначим каждую из частей равенства (4) через ν(x) и потребуем, чтобы функции τ(x)

и ν(x) удовлетворяли следующим условиям.

Условие 4. Функция τ(x) принадлежит классу Cⁿ[0, +∞)

^⋂C^m,λ(0,+∞), λ>1-δ; её про-

изводная τ(n+1)(x) может иметь при x=0 особенность только порядка ниже min (1/2 + α₀, δ),

и при x → +∞ справедливо представление

τ(n+1)(x) = τ_∞(x)x^θ,

где θ < -α₀, если n - чётное, и θ < 1- δ, если n - нечётное, τ_∞(x) - ограниченная функция.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

ЗАДАЧА НЕЙМАНА-ТРИКОМИ

1205

Условие 5. Функция ν(x) принадлежит классу C(0, +∞) и может иметь особенность при

x = 0 только порядка ниже 3/2 - α.

Задачу NT_α исследуем методом интегральных уравнений. При этом важную роль игра-

ют основные соотношения между функциями τ и ν, полученные из эллиптической D₁ и

гиперболической D₂ подобластей.

2. Основное соотношение из гиперболической подобласти. В гиперболической под-

области D₂ задача совпадает с задачей Трикоми. Для вывода соотношения используется пред-

ставление решения задачи Коши с начальными условиями вида (5) и (3), из которого с учётом

краевого условия (7) вытекает справедливость следующих утверждений (см., например, [15,

с. 25, 26, 157]).

Теорема 1. Основное соотношение между τ и ν из гиперболической подобласти име-

ет вид

Γ(1 - α)ν(x) = (-1)ⁿΓ(α)τ(m)(x) - Ω_α(x, ω(n+1)) при α₀ = 1/2;

(8)

∫x

n+2

Γ(1 - α)ν(x) =

τ(n+1)(ξ)ln(x - ξ)dξ - Ω_α(x,ω(n+1)) при α₀ = 0;

(9)

n! dxn+2

∫

m-n

(-1)ⁿΓ(α) d

Γ(1 - α)ν(x) =

τ(n+1)(σ)(x - σ)δ-1 dσ - Ω_α(x,ω(n+1)) при δ < 1,

(10)

Γ(δ) dx^m-n

где

∫

(-1)ⁿ21-2α-n

√π

Ω_α(x,ω(n+1)) =

xα-1/2

ω(n+1)(σ/2)(x - σ)α0-1/2 dσ.

Γ(α₀ + 1/2)

Теорема 2. Имеют место равенства

τ(s)(0) = ω(s)(0)2^-s(2α - 1)_s/(α - 1/2)_s, s = 0,n.

Лемма 1. Пусть функция ω(x) удовлетворяет условию 2. Тогда функция Ω_α(x, ω(n+1))

может иметь при x = 0 особенность только порядка ниже min {3/2 - α,m - n}, а при

x → +∞ имеет нуль порядка выше 1-α, если n - чётное, и порядка выше m-n-1, если

n - нечётное.

3. Смешанная задача для первого квадранта. Для вывода основного соотношения

из эллиптической подобласти воспользуемся решением смешанной задачи для уравнения (1) в

первом квадранте с краевыми условиями (5), (6) в классе функций, удовлетворяющих на бес-

конечности условиям (2). Его построим методом функции Грина. Фундаментальное решение

уравнения (1) найдено в работе [4], оно имеет вид

)

⁽3

q(x, y; x₀, y₀) = ky1-α0(r²¹)α-3/2F

- α,

- α, 3 - 2α, 1 -

(11)

r²

где

r² = (x-x₀)² +4(√y-√y0)2, r21 = (x-x0)2 +4(√y+√y0)2, k = Γ2(3/2-α)42-2α/πΓ(3-2α).

Функция (11) по переменным (x, y) является решением уравнения

v_xx + yv_yy + (2 - α)v_y = 0,

(12)

а по переменным (x₀, y₀) - решением уравнения (1), при (x, y) = (x₀, y₀) она имеет логариф-

мическую особенность.

Определение. Функция G(x, y; x₀, y₀) называется функцией Грина смешанной задачи (2),

(5), (6) для уравнения (1), если она обладает следующими свойствами:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1206

ХАЙРУЛЛИН

1) для неё имеет место представление

G(x, y; x₀, y₀) = q(x, y; x₀, y₀) + u₀(x, y; x₀, y₀),

где u₀(x, y; x₀, y₀) - регулярное решение уравнения (1) по переменным (x₀, y₀) и уравнения

(12) по переменным (x, y) при (x, y) ∈ D₁, (x₀, y₀) ∈ D₁;

2) она удовлетворяет краевым условиям ((x₀, y₀) ∈ D₁)

|G(x, 0; x₀, y₀)| < +∞,

Gx(x, y; x0, y0) = O(x) при x → 0, y > 0;

3) для неё выполняются соотношения на бесконечности

G = O(R2α-3), G_x = O(R2α-4), G_y = O(R2α-5) при R → +∞,

где R² = x² + 4y, (x, y) ∈ D₁, (x₀, y₀) ∈ D₁.

Методом точечных источников доказывается

Лемма 2. Функция Грина имеет вид

G(x, y; x₀, y₀) = q(x, y; x₀, y₀) + q(-x, y; x₀, y₀).

Имеет место

Теорема 3. Смешанная задача (1), (2), (5), (6) имеет единственное решение

∫

(

)

1-α

Γ(3/2 - α)y

u(x, y) =

τ (ξ)

((ξ - x)² + 4y)α-3/2 + ((ξ + x)² + 4y)α-3/2 dξ -

√πΓ(1 - α)4α-1

∫

1-α

2Γ(3/2 - α)y

ϕ(η)

√πΓ(2 - α)4α-1

(x² + 4(

√η +√y)2)3/2-α^×

)

⁽3

16√ηy

×F

- α,

- α, 3 - 2α,

dη.

(13)

x² + 4(√η +√y)2

4. Основное соотношение из эллиптической подобласти. Воспользовавшись форму-

лой (13), получим основное соотношение между функциями τ и ν из эллиптической подоб-

ласти D₁. Зафиксируем какое-либо x > 0 и выберем a из условия a > x. Затем, подставив

функцию (13) в предельное соотношение (3), придём к следующему утверждению.

Теорема 4. Основное соотношение из эллиптической подобласти имеет вид

(

∫

m-n

Γ(3/2 - α)(1 - α)

Γ(1 - α)ν(x) =

√

τ(n+1)(ξ)(x - ξ)δ-1 dξ -

π4α-1(2α - 2)m+1 dx^m-n

∫

m-n

dm-n-1

- (-1)^m

τ(n+1)(ξ)(ξ - x)δ-1 dξ + (-1)^m(δ - 1)

τ(n+1)(ξ)(ξ - x)δ-2 dξ -

dx^m-n

dxm-n-1

∫

)

m-n-1

- (-1)ⁿ(δ - 1)

τ(n+1)(ξ)(ξ + x)δ-2 dξ

- Φ_α(x,ϕ) при δ < 1,

(14)

dxm-n-1

(

∫

Γ(3/2 - α)(1 - α)

d^m-n

Γ(1 - α)ν(x) =

(-1)^m

τ(n+1)(ξ)ln (x - ξ) dξ -

√π4α-1m!

dx^m-n

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

ЗАДАЧА НЕЙМАНА-ТРИКОМИ

1207

∫a

∫

m-n

dm-n-1

τ(n+1)(ξ)dξ

τ(n+1)(ξ)ln (ξ - x)dξ +

dx^m-n

dxm-n-1

ξ-x

∫

)

m-n-1

τ(n+1)(ξ)dξ

- (-1)^m-n

- Φ_α(x,ϕ) при δ = 1,

(15)

dxm-n-1

ξ+x

где

∫

[(n-1)/2]∑

2Γ(3/2 - α)

ϕ(η) dη

2Γ(1/2 - α - s)ϕ^{s}(0)x2α+2s-1

Φ_α(x,ϕ) =

√π4α-1

(x² + 4η)3/2-α

√π4α+s

s=0

Теорема 5. Имеют место равенства

τ(2s+1)(0) = (-1)^s(α)_sϕ^{s}(0), s = 0,[(n - 1)/2].

Рассмотрим поведение функции Φ_α(x, ϕ) в концевых точках.

Справедлива

Лемма 3. Функция Φ_α(x, ϕ) может иметь при x = 0 особенность только порядка

ниже 3/2 - α, если -1/2 < α₀ ≤ 0, и порядка ниже n + 1, если 0 < α₀ ≤ 1/2, а при x → +

+∞ имеет нуль порядка выше 1 - α, если n - чётное, и порядка выше m - n - 1, если n -

нечётное.

5. Вывод интегрального уравнения и решение задачи. Перейдём к выводу инте-

грального уравнения и его исследованию. Из соотношений (8)-(10), (14), (15) получаем

)

∫

(

)

∑

⁽πα₀

(-1)^m-n

μ(x) -

μ(ξ) dξ = F^′α(x) +

c_sx^s,

(16)

ξ-x

ξ+x

s=0

где c_s - произвольные постоянные,

μ(x) = xδ-1τ(n+1)(x),

(17)

∫

(-1)m-n-1Γ(1 - α)

Fα(x) =

(Ω_α(σ, ω(n+1)) - Φ_α(σ, ϕ))(σ - x)m-n-2 dσ,

(18)

π(m - n - 2)!

∫

δ-1

F^′α(x) =

Fα(σ)(x - σ)^-δ dσ при δ < 1,

(19)

Γ(1 - δ)

F^′α(x) = F_α(x) при δ = 1.

(20)

Исследуем поведение функций μ(x) и F^′α(x) в концевых точках.

Лемма 4. Функция F^′α(x) может иметь при x = 0 особенность только порядка ниже

1/2 - α₀, если -1/2 < α₀ ≤ 0, и порядка ниже 1, если 0 < α₀ ≤ 1/2, а при x → +∞ имеет

нуль, если n - нечётное, и нуль порядка выше 1 - δ + α₀, если n - чётное.

Доказательство следует из лемм 1, 3 с учётом обозначений (18)-(20).

Из равенства (17) следует, что функция μ(x) должна иметь аналогичное условию 4 пове-

дение в соответствующих точках.

Приступим к решению интегрального уравнения (16). Пусть m - n нечётное. Тогда урав-

нение (16) принимает вид

)

∫

(

)

∑

⁽πα₀

μ(x) -

μ(ξ) dξ = F^′α(x) +

c_sx^s.

ξ-x

ξ+x

s=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1208

ХАЙРУЛЛИН

Выполним замену

η=x², σ=ξ²

(21)

и обозначим

ρ(η) = μ(x), g(η) = F^′α(x).

В результате уравнение запишется следующим образом:

)

∫

∑

⁽πα₀

ρ(σ) dσ

ρ(η) -

= g(η) +

c_sηs/2.

(22)

σ-η

s=0

Для разрешимости уравнения (22) его правая часть должна обращаться на бесконечности

в нуль [16, с. 491]. Поэтому все c_s должны равняться нулю.

Выполняя замену [16, с. 490]

η=

σ=

ρ(η) = v(t)(1 - t), g(η) = w(t)(1 - t),

(23)

1-t

1-ζ

приведём уравнение (22) к виду

)

∫

⁽πα₀

v(ζ) dζ

v(t) tg

= w(t).

(24)

ζ-t

Функция w(t) может иметь особенность при t = 0 только порядка ниже 1/4 - α₀/2, если

-1/2 < α₀ ≤ 0, и порядка ниже 1/2, если 0 < α₀ ≤ 1/2, а при t = 1 - ниже 1, если -1/2 <

< α₀ ≤ 0, и ниже 1/2 + α₀/2, если 0 < α₀ ≤ 1/2. Аналогичные особенности допускаются у

функции v(t).

Отметим, что решения уравнения (24), неограниченные при t = 0, имеют в этой точке

особенность порядка (1 - α₀)/2, а решения, неограниченные при t = 1, имеют в этой точке

особенность порядка (1 + α₀)/2. Следовательно, мы должны использовать формулу решения,

ограниченного при t = 0 в случае -1/2 < α₀ ≤ 0 и ограниченного при t = 1 в случае

0 < α₀ ≤ 1/2. Эти решения единственны [15, с. 16].

Пусть m - n - чётное. Тогда уравнение (16) примет вид

)

∫

(

)

∑

⁽πα₀

μ(x) -

μ(ξ) dξ = F^′α(x) +

c_sx^s.

ξ-x

ξ+x

s=0

Снова выполним замену. Для этого воспользуемся формулами (21) и обозначениями

μ(x)

F^′α(x)

ρ(η) =

g(η) =

В результате получим

)

∫

∑

⁽πα₀

ρ(σ) dσ

ρ(η) -

= g(η) +

c_sη(s-1)/2.

σ-η

s=0

В данном случае от суммы остаётся только одно слагаемое - при s = 0. После замены (23)

уравнение запишется следующим образом:

)

∫

⁽πα₀

v(ζ) dζ

c₀

v(t) tg

= w(t) +

√

(25)

ζ-t

t(1 - t)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

ЗАДАЧА НЕЙМАНА-ТРИКОМИ

1209

Функция w(t) может иметь при t = 0 особенность только порядка ниже 3/4 - α₀/2, если

-1/2 < α₀ ≤ 0, и порядка ниже 1, если 0 < α₀ ≤ 1/2, а при t = 1 - ниже 1/2 + α₀/2,

если -1/2 < α₀ ≤ 0, и ниже 1/2, если 0 < α₀ ≤ 1/2. Аналогичные особенности допускаются

у функции v(t). Следовательно, необходимо использовать формулу решения, ограниченного

при t = 1. Причём c₀ = 0, так как в противном случае у функции v(t) при t = 1 получается

особенность порядка 1/2, чего быть не может. Поэтому найденное решение уравнения (25)

единственно.

Далее решение исходной задачи строится стандартным образом.

Итак, доказана

Теорема 6. Задача NT_α при выполнении условий 1-3 имеет единственное решение в

классе функций, удовлетворяющих условиям 4, 5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Tricomi F. Sulle equazione lineari alle derivate di secondo ordine, di tipo misto // Rendiconti, Alti dell’

Accad. Nar. del Lincei. 1923. Ser. 5. V. 14. P. 134-247.

2. Кароль И.Л. К теории уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1953. Т. 88. № 3. С. 397-400.

3. Кароль И.Л. Краевые задачи для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Докл.

АН СССР. 1955. Т. 101. № 5. С. 793-796.

4. Кароль И.Л. О краевых задачах для уравнения смешанного типа // Вестн. Ленинград. гос. ун-та.

Сер. Математика, механика и астрономия. 1956. Т. 1. № 1. С. 177-181.

5. Кароль И.Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа

// Мат. сб. 1956. Т. 38 (80). № 3. С. 261-283.

6. Исамухамедов С.С. О краевой задаче типа Трикоми для одного уравнения смешанного типа второго

рода // Краевые задачи для дифференциальных уравнений. 1975. № 5. С. 28-37.

7. Хе Кан Чер. О задаче Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа // Динамика сплошной

среды. 1976. Вып. 26. С. 134-141.

8. Салахитдинов М.С., Исамухамедов С.С. Краевые задачи для уравнения смешанного типа второго

рода // Сердика Бълг. мат. списание. 1977 (1978). Т. 3. № 3. С. 181-188.

9. Крикунов Ю.М. Аналог задачи Трикоми для уравнения u_xx + yu_yy + (-n + 1/2)u_y = 0 // Изв.

вузов. Математика. 1982. № 1. С. 26-32.

10. Салтыкова Н.М., Смирнов М.М. Об одной краевой задаче типа задачи Бицадзе-Самарского для

уравнения смешанного типа второго рода в неограниченной области // Вестн. Ленинград. гос. ун-та.

1985. № 1. С. 43-49.

11. Хайруллин Р.С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода в случае нормальной

области // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 8. С. 1396-1407.

12. Хайруллин Р.С. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода // Сиб. мат. журн.

1994. Т. 35. № 4. C. 927-936.

13. Хайруллин Р.С. Аналог задачи Франкля для уравнения второго рода // Изв. вузов. Математика.

2002. № 4. С. 59-63.

14. Хайруллин Р.С. О задаче типа Геллерстедта для уравнения второго рода // Изв. вузов. Математика.

2005. № 10. С. 72-77.

15. Хайруллин Р.С. Задача Трикоми для уравнения второго рода в неограниченных областях. Казань,

2016.

16. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977.

Казанский государственный

Поступила в редакцию 11.02.2020 г.

архитектурно-строительный университет

После доработки 05.05.2021 г.

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021