ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 9, с.1210-1219

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.4

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ

С СУММАРНЫМ ЯДРОМ И НЕОДНОРОДНОСТЬЮ

В ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ

Получены точные априорные оценки решения интегрального уравнения с суммарным яд-

ром, степенной нелинейностью и неоднородностью в линейной части. Используя эти оцен-

ки, методом весовых метрик доказана глобальная теорема существования и единственно-

сти решения в конусе неотрицательных непрерывных на положительной полуоси функций.

Показано, что решение можно найти методом последовательных приближений, и найдена

оценка скорости сходимости этих приближений к точному решению. Приведены примеры,

иллюстрирующие полученные результаты.

DOI: 10.31857/S0374064121090077

Введение. Среди “именных” линейных интегральных уравнений хорошо известно урав-

нение Фокса. Это уравнение относится к классу уравнений с суммарным ядром, т.е. ядром,

зависящим от суммы независимой переменной и переменной интегрирования, и его решение

в замкнутой форме с помощью преобразования Фурье приведено в монографии [1, с. 421].

Уравнения с суммарным ядром приводят [2, с. 84] после применения преобразования Фурье к

так называемым краевым задачам со сдвигом, а в некоторых частных случаях заменой пере-

менных сводят к линейным интегральным уравнениям типа свёртки [3, с. 19]. Как отмечено в

работе [4], линейные интегральные уравнения с суммарным ядром, в отличие от соответству-

ющих уравнений с разностным ядром, изучены сравнительно мало.

Нелинейные интегральные уравнения с суммарным ядром тесно связаны с уравнениями

типа свёртки, и их теория в настоящее время находится в стадии становления. Опубликовано

не так много работ, в которых рассматриваются нелинейные интегральные уравнения с чисто

суммарными ядрами (см., например, справочник [3, пп. 5 и 6] и приведённый в нём список

литературы), при этом наиболее полно изучено уравнение Чандрасекхара с суммарным ядром

и отрицательной степенной нелинейностью, возникающее в теории лучистого равновесия и в

теории переноса тепла излучением (см., например, [5, 6]).

Отметим, что имеющиеся к настоящему времени теория линейных и теория нелинейных

интегральных уравнений с суммарным ядром отличаются друг от друга как по методам иссле-

дования, так и по характеру полученных результатов. В частности, нелинейные однородные

уравнения могут иметь нетривиальные решения, в то время как соответствующие линейные

уравнения имеют лишь нулевое (тривиальное) решение [7, с. 211]. Известно [7, с. 160] также,

что исследование возникающих при решении некоторых задач гидроаэродинамики, популя-

ционной генетики и других областей естествознания нелинейных интегральных уравнений

типа свёртки с симметричными переменными пределами интегрирования приводит к уравне-

ниям с суммарными ядрами и системам нелинейных вольтерровских уравнений типа свёртки

(подробнее см. [7-9]). При этом с теоретической и прикладной точек зрения особый интерес

представляют неотрицательные непрерывные решения таких уравнений.

В данной работе в классе

Q₊ = {u(x) : u ∈ C[0,∞) и u(x) > 0 при x > 0}

мы изучаем нелинейное интегральное уравнение

∫x

u^α(x) = k(x + t)u(t)dt + f(x), x > 0, α > 1,

(1)

1210

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ С СУММАРНЫМ ЯДРОМ

1211

где u(x) - искомое решение, α - параметр, а ядро k(x) и неоднородность f(x) удовлетворяют

условиям:

∫δ

k ∈ C[0,∞), k(x) не убывает на [0,∞) и k(t)dt > 0 для любого δ > 0,

(2)

f ∈ C[0,∞), f(x) не убывает на [0,∞) и f(0) ≥ 0.

(3)

Отметим, что класс Q₊ представляет собой конус в линейном пространстве C[0, ∞), поэтому

в дальнейшем иногда будем называть его конусом Q₊.

Цель данной работы доказать, что уравнение (1) имеет единственное решение в классе Q₊,

а также показать, что это решение можно найти методом последовательных приближений и

получить оценку скорости сходимости этих приближений к точному решению. Исследование

основано на методе весовых метрик (аналог метода Белицкого [10, c. 218]), позволяющем уста-

новить глобальную теорему существования и единственности решения уравнения (1) в классе

Q₊. При этом важную роль играют полученные в работе точные априорные оценки решения

уравнения (1), а также то, что при построении метрики, в отличие от случая соответствую-

щих уравнений с разностным ядром, в качестве весовой функции берётся не нижняя, а верхняя

априорная оценка решения уравнения (1) в классе Q₊.

1. Свойства неотрицательных решений. При доказательстве различных неравенств

далее будут использоваться следующие две простые леммы.

Лемма 1. Если a(x) и b(x) - неотрицательные неубывающие функции, определённые на

полуоси [0, ∞) , то при всех x ≥ 0 имеет место неравенство

∫

a(x + t)b(t) dt ≤

(2a(2t) - a(t))b(t) dt.

(4)

Доказательство. Имеем

∫

⁽t⁾

a(x + t)b(t) dt = a(t)b(t - x) dt ≤ a(t)b

в силу очевидного неравенства t - x ≤ t/2, если t ≤ 2x, и того, что функция b не убывает, а

функция a неотрицательна. Поэтому неравенство (4) является следствием неравенства

∫2x

∫

⁽t⁾

c(x) ≡ a(t)b

dt -

(2a(2t) - a(t))b(t) dt ≤ 0 для любого x ≥ 0.

Но последнее неравенство верно, поскольку для почти всех по мере Лебега x ∈ [0, ∞) получаем

оценку

)

⁽x

⁽x⁾

c′(x) = a(2x)b(x) - a(x)b

- (2a(2x) - a(x))b(x) = (a(x) - a(2x))b(x) - a(x)b

≤0

вследствие того, что функция a не убывает, а функции a и b неотрицательны. Следователь-

но, функция c не возрастает, а значит, c(x) ≤ c(0) = 0. Лемма доказана.

Заметим, что если a(x) = const или b(x) = const, то неравенство (4) обращается в равен-

ство. В частности, справедлива

Лемма 2. Если функция a(x) локально интегрируема на [0, ∞), то

∫

a(x + t) dt =

(2a(2t) - a(t)) dt при всех x ≥ 0.

(5)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1212

АСХАБОВ

Доказательство. Запишем доказываемое равенство в виде

∫

a(x + t) dt = 2 a(2t) dt - a(s) ds.

(6)

Чтобы убедиться в справедливости равенства (6), достаточно сделать замены x + t = s в

левой части и 2t = s в первом интеграле правой части этого равенства. В результате получим

очевидное равенство

∫

a(s) ds = a(s) ds - a(s) ds.

Лемма доказана.

Важные в дальнейшем оценки возможных решений уравнения (1) в конусе Q₊ даёт

Теорема 1. Если выполнены условия (2), (3) и u(x) ∈ Q₊ является решением уравне-

ния (1), то функция u(x) не убывает на [0,∞) и удовлетворяет неравенствам

(

∫

)1/(α-1)

α-1

F+(x) ≡

k(2t) dt + f(α-1)/α(0)

≤ u(x) ≤

(

∫

)1/(α-1)

α-1

≤

k(x + t) dt + f(α-1)/α(x)

≡ G₊(x).

(7)

Доказательство. Пусть u(x) ∈ Q₊ - решение уравнения (1). Тогда при любых x₁, x₂ ∈

∈ [0, ∞) таких, что x₁ < x₂, имеем оценку

∫x2

∫

x₁

u^α(x₂) - u^α(x₁) = k(x₂ + t)u(t)dt - k(x₁ + t)u(t)dt + f(x₂) - f(x₁) =

∫x1

∫x2

[k(x₂ + t) - k(x₁ + t)]u(t) dt + k(x₂ + t)u(t) dt + f(x₂) - f(x₁) ≥ 0,

x₁

поскольку функции k(x), f(x) и u(x) неотрицательны и в силу условий (2), (3) функции

k(x) и f(x) не убывают на [0, ∞). Значит, u^α(x₂) ≥ u^α(x₁), т.е. u(x) не убывает на [0, ∞).

Покажем, что u(x) ≥ F₊(x). Так как функция k(x) не убывает, а функция u(x) неотри-

цательна, то из уравнения (1) следует, что

∫x

u^α(x) ≥ k(2t)u(t)dt + f(x) для любого x > 0,

откуда

(∫x

)1/α

u(x) ≥

k(2t)u(t) dt + f(x)

для любого x > 0.

∫_x

Так как (см., например, [7, теорема 17.8])

f^′(t)dt ≤ f(x) - f(0), то

(∫x

∫

)1/α (∫x

)1/α

u(x) ≥

k(2t)u(t) dt + f^′(t) dt + f(0)

= (k(2t)u(t) + f^′(t)) dt + f(0)

(8)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ С СУММАРНЫМ ЯДРОМ

1213

В силу теоремы Лебега (см. [7, теорема 17.7]) функция f(x) почти всюду на [0, ∞) диф-

ференцируема, поэтому из оценки (8) вытекает, что для почти всех t ∈ [0, ∞) выполняется

неравенство

(∫t

)1/α

k(2t)u(t) + f^′(t) ≥ k(2t)

(k(2s)u(s) + f^′(s)) ds + f(0)

+ f^′(t),

откуда

(∫t

)-1/α

(k(2s)u(s) + f^′(s)) ds + f(0)

(k(2t)u(t) + f^′(t)) ≥ k(2t).

Интегрируя последнее неравенство в пределах от 0 до x, с учётом, что

(∫t

)

d (k(2s)u(s) + f^′(s)) ds + f(0)

= (k(2t)u(t) + f^′(t)) dt,

получаем

((∫x

) ∫x

)(α-1)/α

(k(2s)u(s) + f^′(s)) ds + f(0)

- (f(0))(α-1)/α

≥ k(2t)dt,

α-1

или

(∫x

)1/α

∫

)1/(α-1)

(k(2t)u(t) + f^′(t)) dt + f(0)

≥

k(2t) dt + f(α-1)/α(0)

Из этой оценки и неравенства (8) непосредственно следует, что u(x) ≥ F₊(x).

Докажем, что u(x) ≤ G₊(x). Так как функции k(x) и u(x) не убывают на [0, ∞),

то из

уравнения (1), воспользовавшись леммой 1, получаем

(∫x

)1/α

u(x) ≤

(2k(2t) - k(t))u(t) dt + f(x)

для любого x > 0.

(9)

Обозначим h(x) = 2k(2x) - k(x), тогда из оценки (9) следует, что для почти всех t ∈ [0, ∞)

выполняется неравенство

(∫t

)1/α

h(t)u(t) + f^′(t) ≤ h(t)

h(s)u(s) ds + f(t)

+ f^′(t),

или

(∫t

)-1/α

h(s)u(s) ds + f(t)

(h(t)u(t) + f^′(t)) ≤

(∫t

)-1/α

≤ h(t) + f^′(t)

h(s)u(s) ds + f(t)

= h(t) + I(t), t > 0,

(10)

где

(∫t

)-1/α

I(t) ≡ f^′(t)

h(s)u(s) ds + f(t)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1214

АСХАБОВ

Докажем, что

∫

I(t) dt ≤

(f(α-1)/α(x) - f(α-1)/α(0)) для любого x > 0.

(11)

α-1

В силу условия (3) возможны только три случая: либо f(x) ≡ 0 при x ∈ [0, ∞), либо

существует x₀ > 0 такое, что f(x) ≡ 0 при x ∈ [0, x₀] и f(x) > 0 при x > x₀, либо f(x) > 0

при всех x > 0. Рассмотрим отдельно каждый из этих случаев.

Если f(x) ≡ 0 при x ∈ [0, ∞), то неравенство (11) очевидно и обращается в тождество,

так как при x > 0 выполняются соотношения h(x) > 0, u(x) > 0 и f^′(x) ≡ 0.

Если же существует x₀ > 0 такое, что f(x) ≡ 0 при x ∈ [0, x₀] и f(x) > 0 при x > x₀, то

∫_x

I(t) dt = 0 при любом x ∈ [0, x₀] и, значит, неравенство (11) выполняется при x ∈ [0, x₀],

обращаясь в тождество, а при x > x₀ с учётом того, что f(x₀) = f(0) = 0 и что функция

f(α-1)/α(x) не убывает, имеем

∫

I(t) dt = I(t) dt ≤ f^′(t)f-1/α(t) dt =

[f(α-1)/α(t)]^′ dt ≤

α-1

x₀

≤

(f(α-1)/α(x) - f(α-1)/α(0)),

α-1

в силу [7, теорема 17.8], т.е. неравенство (11) выполняется и при любом x > x₀.

Если, наконец, f(x) > 0 при всех x > 0, то аналогично получаем

∫

I(t) dt ≤ f^′(t)f-1/α(t) dt ≤

(f(α-1)/α(x) - f(α-1)/α(0)).

α-1

Итак, неравенство (11) доказано во всех трёх случаях.

Интегрируя неравенство (10) в пределах от 0 до x, с учётом неравенства (11) будем иметь

[(∫x

]

)(α-1)/α

h(s)u(s) ds + f(x)

- f(α-1)/α(0)

≤

α-1

∫x

≤ h(t) dt +

(f(α-1)/α(x) - f(α-1)/α(0)),

α-1

т.е.

(∫x

∫

)(α-1)/α

α-1

h(t)u(t) dt + f(x)

≤

h(t) dt + f(α-1)/α(x).

Следовательно, для правой части неравенства (9) справедлива оценка

(∫x

)1/α

∫

)1/(α-1)

h(t)u(t) dt + f(x)

≤

h(t) dt + f(α-1)/α(x)

учитывая которую, получаем

(

∫

)1/(α-1)

α-1

u(x) ≤

(2k(2t) - k(t)) dt + f(α-1)/α(x)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ С СУММАРНЫМ ЯДРОМ

1215

или в силу леммы 2

(

∫

)1/(α-1)

α-1

u(x) ≤

k(x + t) dt + f(α-1)/α(x)

≡ G₊(x).

Теорема доказана.

Заметим, что если k(x) = C₁ = const > 0 и f(x) = C₂ = const ≥ 0, то нижняя и верхняя

априорные оценки (7) совпадают:

)1/(α-1)

⁽α-1

F+(x) ≡ G+(x) ≡

C₁x + C(α-1)/α2

и, как несложно проверить, являются решением интегрального уравнения (1) с k(x) = C₁ и

f (x) = C₂. Значит, в определённом смысле неравенства (7) неулучшаемы.

2. Теорема существования и единственности. Запишем уравнение (1) в оператор-

ном виде

(∫x

)1/α

u = T₊u, где (T₊u)(x) =

k(x + t)u(t) dt + f(x)

Из теоремы 1 следует, что решение уравнения u = T₊u естественно разыскивать в следующем

классе функций:

P⁺ = {u(x) : u ∈ C[0,∞) и F₊(x) ≤ u(x) ≤ G₊(x)},

где функции F₊(x) и G₊(x) определены в (7).

Далее будем предполагать, что неоднородность f(x) абсолютно непрерывна на [0, ∞), т.е.

представима в виде

∫x

f (x) = f^′(t) dt + f(0), x ∈ [0, ∞).

(12)

Лемма 3. Пусть выполнены условия (2), (3) и (12). Тогда оператор T₊ переводит класс

P⁺ в себя.

Доказательство. Пусть u ∈ P⁺ - произвольная функция. Нужно доказать, что тогда и

T₊u ∈ P⁺, т.е. T₊u ∈ C[0,∞) и F₊(x) ≤ (T₊u)(x) ≤ G₊(x).

То, что T₊u ∈ C[0, ∞), очевидно (см. [11, с. 288]).

Покажем, что (T₊u)(x) ≥ F₊(x). Так как u(x) ≥ F₊(x), а функции k(x) и f(x) не

убывают, то

∫x

∫

[(T₊u)(x)]^α = k(x + t)u(t) dt + f(x) ≥ k(2t)F₊(t) dt + f(0) =

∫x

∫

)1/(α-1)

⁽α-1

= k(2t)

k(2s) ds + f(α-1)/α(0)

dt + f(0) =

∫

)α/(α-1)^x

⁽α-1



k(2s) ds + f(α-1)/α(0)

+ f(0) =



(

∫

)α/(α-1)

α-1

k(2s) ds + f(α-1)/α(0)

≡ Fα+(x),

т.е. (T₊u)(x) ≥ F₊(x).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1216

АСХАБОВ

Покажем, что (T₊u)(x) ≤ G₊(x). Так как u(x) ≤ G₊(x) и функции k(x), G₊(x) не

убывают на [0, ∞), то в силу неравенства (4) и условия (12) имеем

∫x

∫

[(T₊u)(x)]^α ≤ k(x + t)G₊(t) dt + f(x) ≤

[2k(2t) - k(t)]G₊(t) dt + f(x) =

∫x

∫

(

)

f^′(t)

([2k(2t) - k(t)]G₊(t) + f^′(t)) dt + f(0) = G₊(t) 2k(2t) - k(t) +

dt + f(0) ≤

G+(t)

∫x

(

)

f^′(t)

≤ G₊(t) 2k(2t) - k(t) +

dt + f(0) =

f1/α(t)

∫

)1/(α-1)

⁽α-1

(2k(2s) - k(s)) ds + f(α-1)/α(t)

α-1

(

∫

)

α-1

×d

(2k(2s) - k(s)) ds + f(α-1)/α(t)

+ f(0) =

(∫x

)α/(α-1)

α-1

(2k(2s) - k(s)) ds + f(α-1)/α(x)

- (f(α-1)/α(0))α/(α-1) + f(0) =

(∫x

)α/(α-1)

α-1

(2k(2t) - k(t)) dt + f(α-1)/α(x)

≡ Gα+(x),

т.е. (T₊u)(x) ≤ G₊(x) - что и требовалось доказать. Лемма доказана.

Выберем произвольно и зафиксируем число b > 0. Рассмотрим класс функций

P+b = {u(x) : u ∈ C[0,b] и F₊(x) ≤ u(x) ≤ G₊(x)}.

Из леммы 3 непосредственно вытекает

Следствие. При выполнении условий (2), (3) и (12) оператор T₊ отображает класс P+b

в себя.

Введём в классе P+b метрику ϱ_b, положив

|u(x) - v(x)|

ϱ+b(u,v) = sup

0<x≤b

G+(x)

для любых u, v ∈ P+b.

Заметим, что в отличие от [7, §§ 17-19] и [12], где изучаются уравнения вида (1) с разност-

ным ядром, в данной метрике в качестве весовой функции используется не нижняя, а верхняя

априорная оценка решения уравнения (1).

Аналогично лемме 4 из [12] доказывается

Лемма 4. Множество P+b с метрикой ϱ+b образует полное метрическое пространство.

Для доказательства основной теоремы 2 нам понадобится дополнительное условие:

∫

)(

∫

)-1

⁽α-1

q ≡ sup

k(x + t) dt + f(α-1)/α(x) (α - 1) k(2t) dt + αf(α-1)/α(0)

< 1.

(13)

0<x≤b

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ С СУММАРНЫМ ЯДРОМ

1217

Теорема 2. Если α > 1 и выполнены условия (2), (3), (12), (13), то уравнение (1) в

конусе Q₊ имеет единственное решение u^∗(x) (u^∗ ∈ P+b). Это решение можно найти в

метрическом пространстве P+b методом последовательных приближений по формуле u_n =

= T₊un-1, n ∈ N, со сходимостью по метрике ϱ+b . При этом справедлива оценка скорости

сходимости:

qⁿ

ϱ+b(u_n,u^∗) ≤

ϱ+b(Tu₀,u₀), n ∈ N,

1-q

где число q < 1 определено в условии (13), а u₀(x) ∈ P+b - начальное приближение (произ-

вольная функция).

Доказательство. Запишем уравнение (1) в операторном виде: u = T₊u. Покажем сна-

чала, что это уравнение имеет единственное решение в пространстве P+b. Для этого в силу

леммы 4 и следствия 1 достаточно доказать, что оператор T₊ является сжимающим. Восполь-

зуемся теоремой Лагранжа (формулой конечных приращений), согласно которой при любых

z₁ > 0 и z₂ > 0 справедливо равенство

z1/α1 - z1/α2 =1Θ(1-α)/α(z1 - z2),

где Θ > 0 - некоторое число, лежащее между z₁ и z₂. Поэтому, если z₁ ≥ z₀ и z₂ ≥ z₀, где

z₀ > 0, то Θ > z₀ и, значит,

|z1/α1 - z1/α2| ≤1|z1 -z2|

(14)

αz(α-1)/α

Пусть u, v ∈ P+b и x ∈ (0, b]. Тогда в силу неравенства (14), в котором роль z₀ играет

Fα+(x), для любых u,v ∈ P+b и любого x ∈ (0,b], последовательно получаем

∫

)-1

|(T₊u)(x) - (T₊v)(x)| ≤

k(x + t)|u(t) - v(t)| dt

k(2t) dt + f(α-1)/α(0)

(

∫

)-1

|u(t) - v(t)|

= (α - 1) k(2t) dt + αf(α-1)/α(0)

k(x + t)G₊(t)

dt ≤

G+(t)

(

∫

)-1

≤ ϱ+b (u,v) (α - 1) k(2t)dt + αf(α-1)/α(0)

k(x + t)G₊(t) dt.

Итак,

∫x

∫

)1/(α-1)

⁽α-1

|(T₊u)(x) - (T₊v)(x)| ≤ k(x + t)

k(t + s) ds + f(α-1)/α(t)

dt ×

(

∫

)-1

× (α - 1) k(2t) dt + αf(α-1)/α(0) ϱ+b(u, v).

(15)

Далее, в силу неравенства (4) и равенства (5) имеем

∫

)1/(α-1)

⁽α-1

k(x + t)

k(t + s) ds + f(α-1)/α(t)

dt ≤

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

5^∗

1218

АСХАБОВ

∫x

∫

)1/(α-1)

⁽α-1

≤

(2k(2t) - k(t))

k(t + s) ds + f(α-1)/α(t)

dt =

∫x

∫

)1/(α-1)

⁽α-1

(2k(2t) - k(t))

(2k(2s) - k(s)) ds + f(α-1)/α(t)

dt =

(

)1/(α-1) ∫ x

(∫t

)1/(α-1)

α-1

(2k(2t) - k(t))

(2k(2s) - k(s)) ds +

f(α-1)/α(t)

dt ≤

α-1

)1/(α-1) ∫ x

⁽α-1

≤

(2k(2t) - k(t) + f-1/α(t)f^′(t))×

(∫t

)1/(α-1)

(2k(2s) - k(s)) ds +

f(α-1)/α(t)

dt =

α-1

((∫x

)α/(α-1)

⁽α-1)1/(α-1)

α-1

(2k(2s) - k(s)) ds +

f(α-1)/α(x)

α-1

(

)α/(α-1))

f(α-1)/α(0)

= Gα+(x) - f(0) ≤ Gα+(x).

α-1

Учитывая полученную оценку в неравенстве (15), приходим при всех x ∈ (0, b] к неравенству

(

∫

)-1

|(T₊u)(x) - (T₊v)(x)|

≤ Gα-1+(x) (α - 1) k(2t)dt + αf(α-1)/α(0) ϱ+b (u,v),

G+

(x)

которое в силу условия (13) означает, что

ϱ+b(T₊u,T₊v) ≤ qϱ+b(u,v)

для любых u, v ∈ P+b, т.е. оператор T₊ является сжимающим.

Утверждение теоремы о единственности решения u^∗(x) в конусе Q₊ доказывается точно

так же, как и в теореме 3 [12]. Теорема доказана.

Из теоремы 2 вытекает, что однородные уравнения, соответствующие нелинейному уравне-

нию (1), могут иметь нетривиальные решения. В этом состоит принципиальное отличие нели-

нейных уравнений от соответствующих линейных интегральных уравнений с суммарными и

разностными ядрами (подробнее см. [7, гл. IV]).

Замечание. Условие (13) может выполняться при любом α > 1. Например, при f(x) ≡ 0

для степенных ядер k(x) = Ax^r, где A > 0, r ≥ 0, оно заведомо выполняется при любом

α>2-2^-r.

В заключение отметим, что, следуя работам [13-15], аналогично можно исследовать дис-

кретные аналоги уравнения (1) в различных пространствах числовых последовательностей.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных иссле-

дований (проект 18-41-200001) и в рамках выполнения государственного задания по проекту

“Нелинейные сингулярные интегро-дифференциальные уравнения и краевые задачи” (Согла-

шение № 075-03-2021-071 от 29.12.2020).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ С СУММАРНЫМ ЯДРОМ

1219

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.; Л., 1948.

2. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М., 1978.

3. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. М., 2003.

4. Антипов В.Г. Особое интегральное уравнение с суммарным ядром // Изв. вузов. Математика. 1959.

№ 6. С. 9-13.

5. Какичев В.А., Рогожин В.С. Об одном обобщении уравнения Чандрасекхара // Дифференц. урав-

нения. 1966. Т. 2. № 9. С. 1264-1270.

6. Измаилов А.Ф. 2-регулярность и теоремы о разветвлении // Итоги науки и техн. Сер. Совр. мате-

матика и ее прил. Темат. обз. 1999. Т. 65. С. 90-117.

7. Асхабов С.Н. Нелинейные уравнения типа свертки. М., 2009.

8. Okrasinski W. On a non-linear convolution equation occurring in the theory of water percolation // Annal.

Polon. Math. 1980. V. 37. № 3. P. 223-229.

9. Okrasinski W. Nonlinear Volterra equations and physical applications // Extracta Math. 1989. V. 4. № 2.

P. 51-74.

10. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М., 1969.

11. Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М.; Л., 1951.

12. Асхабов С.Н. Интегро-дифференциальное уравнение типа свёртки со степенной нелинейностью и

неоднородностью в линейной части // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 786-795.

13. Асхабов С.Н., Карапетянц Н.К. Дискретные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью

// Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 10. С. 1777-1784.

14. Askhabov S.N., Karapetian N.K. Convolution type discrete equations with monotonous nonlinearity in

comples spaces // J. of Integral Equat. and Math. Phys. 1992. V. 1. № 1. P. 44-66.

15. Асхабов С.Н., Карапетянц Н.К. Дискретные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью

в комплексных пространствах // Докл. РАН. 1992. Т. 322. № 6. С. 1015-1018.

Чеченский государственный университет

Поступила в редакцию 12.04.2021 г.

им. А.А. Кадырова, г. Грозный,

После доработки 07.06.2021 г.

Чеченский государственный педагогический

Принята к публикации 08.06.2021 г.

университет, г. Грозный

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021