ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 9, с.1220-1229

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.72

ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА РЕАКЦИИ

В ДРОБНОМ УРАВНЕНИИ ДИФФУЗИИ

Для дробного уравнения диффузии с коэффициентом реакции, зависящим только от пер-

вых двух компонент пространственного переменного x = (x₁, x₂, x₃) ∈ R³ и от време-

ни t ≥ 0, рассматривается обратная задача по определению этого коэффициента в предпо-

ложении, что для решения уравнения известно начальное значение при t = 0 и в качестве

дополнительного условия - граничное значение при x₃ = 0. Так поставленная обратная

задача сводится к эквивалентным ей интегральным уравнениям, для доказательства су-

ществования решения которых применяется принцип сжимающих отображений. Доказаны

теоремы локального существования и глобальной единственности. Получена также оценка

устойчивости решения обратной задачи.

DOI: 10.31857/S0374064121090089

Введение. В настоящее время дробно-дифференциальные уравнения вызывают значи-

тельный интерес как в самой математике, так и в прикладных областях. Эти уравнения ис-

пользуются при моделировании многих физических и химических процессов, в частности,

процессов массопереноса в средах с фрактальными свойствами (см., например, [1-6]). В рабо-

тах [7-9] приведён ряд интересных особенностей уравнений дробной субдиффузии, свидетель-

ствующих об определённом сходстве этих уравнений с параболическими дифференциальными

уравнениями второго порядка.

Прямые задачи для уравнений дробной диффузии, такие как начальные и начально-крае-

вые задачи, подробно изучались в [1-4] (см. также ссылки в них). В отличие от прямых задач,

результатов по обратным задачам для уравнений дробного порядка сравнительно мало. Об-

ратные задачи по определению коэффициента, который зависел только от пространственных

переменных, для дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка

исследовались в работах [10, 11]. В настоящей работе искомая функция зависит не только от

пространственных, но и от временной переменной. Отметим также, что обратные задачи по

определению функции источника для уравнений с операторами дробного интегро-дифферен-

цирования изучались в [12-14].

Обратные задачи для классических дифференциальных уравнений теплопроводности изу-

чены достаточно широко. В литературе чаще всего встречаются линейные задачи по определе-

нию источника и нелинейные коэффициентные обратные задачи с различными типами усло-

вий переопределения (см., например, [15-19] и литературу в них). В этих работах исследуются

однозначная разрешимость задач и устойчивость решения, а также построение численного

решения таких задач. В работах [20-23] рассматривались задачи по восстановлению памяти

для параболических интегро-дифференциальных уравнений второго порядка с интегральным

членом типа свёртки. В [24] доказано, что если в этих уравнениях свёрточное ядро выбрано в

виде специальной функции Миттаг-Лёффлера, то рассматриваемые уравнения эквивалентны

уравнениям аномальной диффузии.

Основными результатами данной работы являются теоремы локального существования,

глобальной единственности, а также оценка устойчивости решения задачи об определении

коэффициента реакции в диффузионном уравнении дробного порядка по времени.

Постановка задачи. Рассмотрим следующее диффузионное уравнение дробного порядка:

(^CD^αtu)(x,t) - Δ_xu(x,t) + q(x^′,t)u(x,t) = f(x,t),

(1)

x = (x₁,x₂,x₃) = (x^′,x₃), (x,t) ∈ R³ × R₊,

1220

ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА РЕАКЦИИ

1221

при условии

u|t=0 = ϕ(x), x ∈ R³,

(2)

где Δ_x - оператор Лапласа по переменным x₁, x₂, x₃, R₊ = {t : t > 0}, а^C D^αt - регуляри-

зованная дробная производная по t (производная Герасимова-Капуто), 0 < α < 1, т.е.

∫t

u_τ (x,τ)dτ

(^CD^αtu)(x,t) :=

Γ(1 - α)

(t - τ)^α

а f(x,t) и ϕ(x) - заданные достаточно гладкие функции. Функцию q в уравнении (1) назы-

ваем коэффициентом реакции; предполагаем, что она является также достаточно гладкой.

Обратная задача. Требуется определить функцию q(x^′, t), x^′ ∈ R², t ∈ R₊, - коэффи-

циент реакции в уравнении (1), если решение задачи Коши (1), (2) удовлетворяет условию

u|x3=0 = g(x^′, t), x^′ ∈ R², t ∈ R+,

(3)

где g(x^′, t) - заданная достаточно гладкая функция.

Назовём функцию u(x, t) классическим решением задачи Коши (1), (2), если она:

(a) дважды непрерывно дифференцируема по x для каждого t > 0;

(b) при каждом x ∈ R³ непрерывна по t на [0, T ], а её дробный интеграл

∫

u(x, τ) dτ

(Iα0+u)(x, t) :=

Γ(α)

(t - τ)1-α

непрерывно дифференцируем по t ∈ R₊;

Пусть u(x, t) - классическое решение задачи Коши (1), (2) и, как отмечено выше, f(x, t),

ϕ(x), g(x^′, t) - достаточно гладкие функции. Преобразуем обратную задачу (1)-(3). Для этого

обозначим вторую производную функции u(x, t) по переменной x₃ через v(x, t), т.е. v(x, t) :=

= ux3x₃(x,t). Дифференцируя равенства (1) и (2) дважды по x3, приходим к следующей

задаче:

(^CD^αtv)(x,t) - Δ_xv(x,t) + q(x^′,t)v(x,t) = fx3x₃(x,t), x ∈ R³, t ∈ R+,

(4)

v|t=0 = ϕx3x₃(x), x ∈ R³,

(5)

т.е. к задаче вида (1), (2).

Чтобы найти дополнительное условие для функции v(x, t), заметим, что третий член ла-

пласиана в уравнении (1) равен v(x, t). Полагая x₃ = 0 в уравнении (1) и используя равен-

ство (3), получаем

v|x3=0 = (^CD^tg)(x^′,t) - Δx′g(x^′,t) + q(x^′,t)g(x^′,t) - f(x^′,0,t),

(6)

x^′ ∈ R², t ∈ R₊.

При выполнении условия согласования ϕ(x^′, 0) = g(x^′, 0) из (4)-(6) несложно вывести

равенства (1)-(3).

Для заданных функций q(x^′, t), f(x, t), ϕ(x) и числа α ∈ (0, 1) задачу определения

решения задачи Коши (4) и (5) назовём прямой задачей.

Через Φ_T := {(x, t) : x ∈ R³,

0 < t < T} обозначим слой толщиной T, где T > 0 -

фиксированное число, которое может быть любым.

Пусть C^α,m(Φ_T ) - класс m раз непрерывно дифференцируемых по переменной x ∈ R³

и непрерывных по t функций, для которых дробный интеграл Iα0+ порядка α непрерывно

дифференцируем по t на [0, T ]. Пусть l - нецелое положительное число, l ∈ R₊ \ N, а n ∈ N.

Через C([0, T ], H^l(Rⁿ)) обозначим класс непрерывных на отрезке [0, T ] функций со значе-

ниями в H^l(Rⁿ), где H^l(Rⁿ) - пространство функций ϕ : Rⁿ → R, имеющих непрерывные

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1222

ДУРДИЕВ

частные производные по порядка [l] включительно (здесь [·] - целая часть числа), таких, что

конечна величина [25, с. 15-16]

∑

∑∑

|Dxl]ϕ(x¹) - Dxl]ϕ(x²)|

|ϕ|^l =

sup

|D^jxϕ(x))|,

|x¹ - x²|^α

|x¹-x²|≤ρ₀

x∈R

([l])

j=0 (j)

x¹,x²∈Rⁿ

где ρ₀ - некоторое фиксированное положительное число (которое можно выбрать любым),_∑∑

α = l - [l], а(j) - сумма по всем мультииндексам длины j, в частности,

- сумма по

([l])

всем мультииндексам длины [l]. Норму в H^l(Rⁿ) значения функции φ(t, x) ∈ C([0, T ], H^l(Rⁿ))

при фиксированном t ∈ [0, T ] обозначим через |φ|^l(t). Такое же обозначение используем и

для функций, зависящих только от переменной x. Норма функции φ(t, x) ∈ C([0, T ], H^l(Rⁿ))

определяется равенством

∥φ∥^l := max |φ|^l(t).

t∈[0,T ]

В дальнейшем мы рассматриваем пространства C([0, T ], H^α(R³)), C([0, T ], H2+α(R³)) и

C([0, T ], H^α(R²)), где α ∈ (0, 1).

1. Исследование прямой задачи (4), (5). В работе [9] найдено представление решения

с помощью фундаментального решения следующей задачи Коши:

(^CD^αtu)(x,t) - Bu(x,t) = F(x,t), x ∈ Rⁿ, t ∈ (0,T],

u|t=0 = u₀(x), x ∈ Rⁿ,

где

∑

∂²

∂

B :=

a_ij(x)

b_j(x)

+ c(x)

∂x_i∂x_j

∂x_j

i,j=1

j=1

– равномерно эллиптический дифференциальный оператор второго порядка с ограниченны-

ми непрерывными вещественными коэффициентами. В случае B ≡ Δ, где Δ - n-мерный

лапласиан, для любой ограниченной непрерывной функции u₀(x) (локально непрерывной по

Гёльдеру, если n > 1) и любой ограниченной непрерывной по обеим переменным x, t и

локально непрерывной по Гёльдеру по x функции F (x, t) это решение имеет вид

∫

u(x, t) = Z(x - ξ, t)u₀(ξ) dξ +

Y (x - ξ, t - τ)F (ξ, τ) dξ dτ,

(7)

Rⁿ

0 Rⁿ

здесь



]

^[1

(1,α)



Z(x, t) = π-n/2|x|^-nH2,0

t^-α|x|²

1,2



(n/2,1),(1,1)



]

(α,α)

^[1



Y (x, t) = π-n/2|x|^-ntα-1H2,0

t^-α|x|²

1,2

(n/2,1),(1,1)

где через H обозначена H-функция Фокса [26, c. 2-6]. Фактически функция Y (x, t) является

производной Римана-Лиувилля от Z(x, t) относительно t порядка 1 - α (если x = 0, то

Z(x, t) → 0 при t → 0; производная Римана-Лиувилля в этом случае совпадает с производной

Герасимова-Капуто, т.е. Y (x, t) = (^C D^αtZ)(x, t)) [9].

Вводя в уравнении (4) обозначение fx3x₃ (x, t) - q(x^′, t)v(x, t) =: F (x, t), для прямой зада-

чи (4), (5) при n = 3 вследствие представления (7) получаем интегральное уравнение для

определения функции v(x, t):

∫t

∫

v(x, t) = v₀(x, t) -

Y (x - ξ, t - τ)q(ξ₁, ξ₂, τ)v(ξ, τ) dξ dτ,

(8)

R³

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА РЕАКЦИИ

1223

где

∫

v₀(x,t) := Z(x - ξ,t)ϕξ3ξ₃ (ξ)dξ +

Y (x - ξ, t - τ)fξ3ξ₃ (ξ, τ) dξ dτ,

(9)

R³

ξ = (ξ₁,ξ₂,ξ₃), dξ = dξ1 dξ2 dξ₃.

Справедлива

Лемма. Если q(x, t) ∈ C([0, T ], H^α(R)), f(x, t) ∈ C([0, T ], Hα+2(R³)), ϕ(x) ∈ Hα+2(R³),

то существует единственное решение интегрального уравнения (8) такое, что v(x,t) ∈

∈ C1-α,2(Φ_T ), где α ∈ (0,1).

Доказательство. Воспользуемся методом последовательных приближений и рассмотрим

последовательность (v_n(x, t)) функций, определив их рекуррентно формулами

∫t

∫

v_n(x,t) = -

Y (x - ξ, t - τ)q(x^′, τ)vn-1(ξ, τ) dξ dτ, n = 1, 2, . . . ,

(10)

R³

где функция v₀(x, t) задана равенством (9). Далее нам понадобятся оценки функций Z(t, x),

Y (t, x) и некоторых их производных. Пусть m = (m₁, m₂, . . . , m_n) - мультииндекс n-го по-

рядка, |m| = m₁ + m₂ + . . . + m_n - его длина и

∂^|m|u

D^mxu =

D0xu = u.

∂xm11 ∂x22 · · · ∂xn

Для функций Z(x, t) и Y (t, x) и их производных справедливы следующие оценки [9]:

a) если |x|² ≥ t^α, то

|D^mxZ(x, t)| ≤ Ct-α(3+m)/2e-μmt-α/(2-α)|x|2/(2-α)

при n = 3, |m| ≤ 3;

|^CDαt Z(x, t)| ≤ Ct-5α/2e-μnt-α/(2-α)|x|2/(2-α)

(11)

при n = 3;

b) если |x|² < t^α, x = 0, то

|D^mxZ(x, t)| ≤ Ct^-α|x|-1-m,

|m| ≤ 3,

при n = 3, m = 0;

|Z(x, t)| ≤ Ct^-α|x|-1,

|m| ≤ 3,

(12)

при n = 3;

c) если |x|² < t^α, x = 0, то

|^CD^αtZ(x,t)| ≤ Ct-2α|x|-1

при n = 3;

d) если |x|² ≥ t^α, то

|D^mxY (x, t)| ≤ Ct-1+α-α(3+m)/2e-μmt-α/(2-α)|x|2/(2-α) ,

|m| ≤ 3,

(13)

при n = 3;

e) если |x|² < t^α, x = 0, n = 3, то

|Y (x, t)| ≤ Ct-1-α/2,

|D_xY (x, t)| ≤ Ct-α-1,

|D^mxY (x, t)| ≤ Ct-α-1|x|-1,

|m| = 2,

(14)

|D^mxY (x, t)| ≤ Ct-α-1|x|-2,

|m| = 3;

(15)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1224

ДУРДИЕВ

в этих оценках μ₀ := (2-α)αα/(2-α), в качестве μ_m можно взять любое положительное число,

меньшее μ₀, через C обозначена положительная постоянная, значение которой в разных

оценках, вообще говоря, различно.

Из построения функции Z(x, t) следует равенство

∫

Z(ξ, t) dξ = 1;

(16)

R³

кроме того, как показано в [9],

∫

Y (ξ, t) dξ = C₀tα-1, t ∈ (0, T ],

(17)

R³

здесь постоянная C₀ зависит только от α.

Положим d₀ := ∥q∥^α, ϕ₀ := |ϕ|α+2 и f₀ := ∥f∥α+2. Используя определение (10) и равен-

ства (16), (17), оценим модуль функции v_n(x, t) в области Φ_T следующим образом:

T^α

|v₀(x, t)| ≤ ϕ₀ + C₀f₀

=: λ₀,

∫t

t^α

C₀d₀Γ(α)

|v₁(x, t)| ≤ C₀d₀λ₀ (t - τ)α-1

dτ = C₀d₀λ₀

=λ₀

t^α,

Γ(1 + α)

∫

τ^α dτ

(C₀d₀Γ(α))²

|v₂(x, t)| ≤ λ₀(C₀d₀Γ(α))²

=λ₀

Iα0+t^α,

Γ(1 + α) Γ(α)

(t - τ)1-α

Γ(1 + α)

где Iα0+t^α - дробный интеграл Римана-Лиувилля от степенной функции t^α и Γ(·) - гамма-

функция Эйлера. Нетрудно убедиться [27, c. 15], что справедливо равенство

Γ(1 + nα)

Iα0+t^nα =

t(1+n)α, n = 0,1,2,... ,

Γ(1 + (n + 1)α)

воспользовавшись которым, продолжим оценку функции v₂(x, t):

(C₀d₀Γ(α))²

|v₂(x, t)| ≤ λ₀

Iα0+t^α

=λ₀

t2α.

Γ(1 + α)

Γ(1 + 2α)

Аналогичным образом для произвольного n = 0, 1, 2, . . . получаем

(C₀d₀Γ(α))ⁿ

|v_n(x, t)| ≤ λ₀

t^nα.

Γ(1 + nα)

∑_∞

Из приведённых выше оценок следует, что ряд v(x, t) =

v_n(x,t) сходится равномерно

n=0

в области Φ_T , так как в этой области его можно мажорировать сходящимся числовым рядом

∑

(C₀d₀Γ(α)T^α)ⁿ

λ₀

Γ(1 + nα)

n=0

Это означает, что имеет место следующая оценка решения интегрального уравнения (8):

∑

(C₀d₀Γ(α)T^α)ⁿ

|v(x, t)| ≤ λ₀

= λ₀E_α(C₀d₀Γ(α)T^α), (x,t) ∈ Φ_T,

(18)

Γ(1 + nα)

n=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА РЕАКЦИИ

1225

где E_α(·) - функция Миттаг-Лёффлера неотрицательного вещественного аргумента [27,

c. 40-45].

Далее заметим, что при выполнении условий леммы функция v₀(x, t) принадлежит прост-

ранству C²(Rⁿ) при каждом фиксированном t > 0. Для доказательства этого факта, фик-

сируя x⁰ ∈ R³, разобьём область интегрирования R³ в представлении (9) на два множества:

Ω₁ = {ξ ∈ R³ : |ξ - x⁰| ≥ t^α} и Ω₂ = R³\Ω₁. Тогда функцию v₀(x,t) можно представить в

виде суммы двух слагаемых: v¹⁰(x, t) + v²⁰(x, t) (функция vi0(x, t) определяется правой частью

равенства (9) с заменой в нём R³ на Ω_i, i = 1, 2).

Если точка x лежит в малой окрестности точки x⁰, а ξ ∈ Ω₁, то величина |x - ξ| отде-

лена от нуля. Таким образом, чтобы вычислять ∂²v¹⁰(x, t)/∂x2j можно дифференцировать под

знаком интеграла, так что

∫

∂²Z(x - ξ, t)

∂²Y (x - ξ,t - τ)

v¹⁰(x,t) =

ϕξ₃ξ₃ (ξ) dξ +

fξ3ξ₃ (ξ,τ)dξ dτ,

∂x²

Ω₁

j = 1,2,3, т.е. v¹⁰(x,t) ∈ C²(Ω₁).

Для вычисления ∂²v²⁰(x, t)/∂x2j заметим, что оценки (11), (12), (14), (15) для функций

Z(x - ξ, t) и Y (x - ξ, t - τ) содержат особенности вида |x - ξ|-k с показателем k > 0.

Следовательно, такими особенностями будут обладать интегралы по Ω₂ в оценках функций

∂v²⁰(x,t)/∂x_j и ∂²v²⁰(x,t)/∂x2j. Из теории ньютоновского потенциала следует, что несобствен-

ные интегралы, имеющие такие особенности, сходятся равномерно по x и определяют непре-

рывную в Ω₂ функцию, если только k меньше, чем число измерений области Ω₂, т.е. k < 3

[28, c. 335]. В силу этого и локальной гёльдеровости функций ϕx3x₃ , fx₃x₃ по x производные

∂v²⁰(x,t)/∂x_j и ∂2v20(x,t)/∂x2j являются непрерывными в Ω2 функциями. Таким образом,

v₀(x,t) ∈ C²(Rⁿ).

Так как функции Z(x-ξ, t) и Y (x-ξ, t-τ) удовлетворяют однородному уравнению, соот-

ветствующему уравнению (4), то D^αv₀(x, t) ∈ C²(R³). Следовательно, v₀(x, t) ∈ C1-α,2(Φ_T ).

В силу определения (10) нетрудно видеть, что таким свойством обладают все v_j (x, t). Тогда из

общей теории интегральных уравнений следует включение v(x, t) ∈ C1-α,2(Φ_T ), т.е. функция

v(x, t) является классическим решением задачи Коши (4), (5).

Обозначим теперь через v(x, t) решение исходного интегрального уравнения (8), в котором

функции q, fx3x₃ и ϕx₃x₃ заменены на возмущённые функции q,

fx3x₃

ϕx₃x₃ соответствен-

но, т.е. уравнения

∫t

∫

v(x, t) = v₀(x, t) -

Y (x - ξ, t - τ)q(x^′, τ)v(ξ, τ) dξ dτ,

(19)

R³

где

∫

v₀(x,t) := Z(x - ξ,t

ϕξ₃ξ₃ (ξ) dξ +

Y (x - ξ, t - τ

fξ3ξ₃ (ξ,τ)dξ dτ.

(20)

R³

Найдём оценку нормы разности между решением v(x, t) уравнения (8) и решением v(x, t)

уравнения (19). Составляя разность v - v с помощью уравнений (8) и (19), для неё получим

интегральное уравнение

∫^t

∫

v(x, t) - v(x, t) = v₀(x, t) - v₀(x, t) -

Y (x - ξ, t - τ)(q(x^′, τ) - q(x^′, τ))v(ξ, τ) dξ dτ -

R³

∫t

∫

Y (x - ξ, t - τ)q(x^′, τ)(v(ξ, τ) - v(ξ, τ)) dξ dτ,

R³

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1226

ДУРДИЕВ

откуда выводится следующее линейное интегральное неравенство для |v(x, t) - v(x, t)|:

T^α

|v(x, t) - v(x, t)| ≤ |v₀(x, t) - v₀(x, t)| + λ₀C₀

E_α(C₀d₀Γ(α)T^α)∥q - q∥^α +

∫t

∫

+q₀

Y (x - ξ, t - τ)|v(ξ, τ) - v(ξ, τ)| dξ dτ,

(21)

R³

где q0 := ∥q∥α. Из равенств (9) и (20) вытекает оценка

T^α

|v₀(x, t) - v₀(x, t)| ≤ ∥ϕx3x₃ -

ϕx₃x₃ ∥ + C0

∥fx3x₃

fx3x₃∥^α.

Пусть σ = σ(α, T, d₀, q₀, ϕ₀, f₀) = max{1, q₀, C₀T^α/α, λ₀C₀T^α/αE_α(C₀d₀Γ(α)T^α)}. Приме-

нив метод последовательных приближений к неравенству (21):

|v(x, t) - v(x, t)|₀ ≤ σ(∥ϕx3x₃ -

ϕx₃x₃ ∥^α + ∥fx₃x₃

fx3x₃∥^α + ∥q - q∥^α),

∫t

∫

|v(x, t) - v(x, t)|_n ≤ q₀

Y (x - ξ, t - τ)|v(ξ, τ) - v(ξ, τ)|n-1 dξ dτ, n = 1, 2, . . . ,

R³

приходим к оценке

|v(x, t) - v(x, t)| ≤ σλ₀E_α(C₀d₀Γ(α)T^α)(∥ϕx3x₃ -

ϕx₃x₃ ∥^α + ∥fx₃x₃

fx3x₃∥^α + ∥q - q∥^α),

(22)

представляющей собой оценку устойчивости решения задачи Коши (4), (5). Единственность

решения этой задачи следует также из оценки (21).

Оценкой (21) мы воспользуемся и в следующем пункте работы.

2. Исследование обратной задачи (4)-(6). Положив в уравнении (8) и определении (9)

x₃ = 0 и использовав дополнительное условие (6), после несложных преобразований получим

следующее интегральное уравнение для определения коэффициента q(x^′, t):

q(x^′, t) =

∫

= q₀(x^′,t) -

Y (x₁ - ξ₁, x₂ - ξ₂, ξ₃, t - τ)q(ξ₁, ξ₂, τ)v(ξ₁, ξ₂, ξ₃, τ) dξ₁ dξ₂ dξ₃ dτ,

(23)

g(x^′, t)

R³

где

[

q₀(x^′,t) :=

f (x^′, 0, t) + Δ_x′ g(x^′, t) - (^C D^αtg)(x^′, t) +

g(x^′, t)

∫t

∫

Z(x₁ - ξ₁, x₂ - ξ₂, ξ₃, t)ϕξ3ξ₃ (ξ1, ξ2, 0) dξ1 dξ2 dξ3 dτ +

R³

∫t

∫

]

Y (x - ξ₁, x - ξ₂, ξ₃, t - τ)fξ3ξ₃ (ξ1, ξ2, ξ3, τ) dξ1 dξ2 dξ3 dτ

R³

Введём оператор A, определяя его действие правой частью уравнения (23), т.е.

A[q](x^′, t) =

∫

= q₀(x^′,t) -

Y (x₁ - ξ₁, x₂ - ξ₂, ξ₃, t - τ)q(ξ₁, ξ₂, τ)v(ξ₁, ξ₂, ξ₃, τ) dξ₁ dξ₂ dξ₃ dτ.

(24)

g(x^′, t)

R³

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА РЕАКЦИИ

1227

Тогда уравнение (23) запишется в более компактном виде

q(x^′, t) = A[q](x^′, t).

Пусть q₀₀ := ∥q₀∥^α. Зафиксируем число ρ > 0 и рассмотрим шар

B^αT(q₀,ρ) := {q(x^′,t) : q(x^′,t) ∈ C([0,T],H^α(R²)),

∥q - q₀∥^α ≤ ρ}, α ∈ (0, 1).

Теорема 1. Если f(x, t)∈C([0, T ], Hα+2(R³)), ϕ(x)∈Hα+2(R³), g(x^′, t)∈C([0, T ], H^α(R²)),

∥g(x^′, t)∥^α ≥ g₀ > 0, g(x^′, 0, 0) = ϕ(x^′, 0, 0), то существует такое число T^∗ ∈ (0, T ], что

обратная задача (1)-(3) имеет единственное решение q(x^′,t) ∈ C([0,T^∗],H^α(R²)).

Доказательство. Сначала докажем, что при достаточно малом T > 0 оператор A пе-

реводит шар B^αT(q₀, ρ) в себя; т.е. из условия q(x^′, t) ∈ B^αT(q₀, ρ) следует, что A[q](x^′, t) ∈

∈B^αT(q₀,ρ). Действительно, для любой функции q(x^′,t)∈C([0,T],H^α(R²)) функция A[q](x^′,t),

вычисленная по формуле (24), принадлежит классу C([0, T ], H^α(R²)). Более того, для нормы

разности функций A[q] и q₀, воспользовавшись оценкой (18), получаем

C₀d₀λ₀

∥A[q] - q₀∥^α ≤

T^αE_α(C₀d₀Γ(α)T^α).

(25)

αg₀

Заметим, что функция, стоящая в правой части оценки (25), монотонно возрастает с ростом T

и что из принадлежности функции q(x^′, t) шару B^αT(q₀, ρ) вытекает неравенство ∥q∥^α ≤ ρ +

+ q₀₀. Следовательно, оценка (25) останется верной, если в ней заменить ∥q∥^α выражением

ρ + q₀₀. Выполняя эти замены, приходим к оценке

C₀λ₀(ρ + q₀₀)

∥A[q] - q₀∥^α ≤

T^αE_α((ρ + q₀₀)C₀Γ(α)T^α).

αg₀

Пусть T₁ - положительный корень уравнения

C₀λ₀(ρ + q₀₀)

T^αE_α((ρ + q₀₀)C₀Γ(α)T^α) = ρ.

αg₀

Тогда при T ∈ [0, T₁] очевидно включение A[q](x^′, t) ∈ B^αT(q₀, ρ).

Теперь рассмотрим две функции q(x^′, t) и q(x^′, t), принадлежащие шару B^αT(q₀, ρ), и оце-

ним расстояние между их образами A[q](x^′, t) и A[q](x^′, t) в пространстве C([0, T ], H^α(R²)).

Функция v(x, t), соответствующая коэффициенту q(x^′, t), удовлетворяет интегральному урав-

нению (19) c функциями ϕx3x₃ =

ϕx₃x₃

и fx3x₃

= f˜x3x₃. Составив разность A[q](x^′,t) -

− A[q](x^′, t) с помощью уравнений (8), (19) и затем оценив её норму, получим

C₀T

∥A[q](x^′, t) - A[q](x^′, t)∥^α ≤

[∥v∥∥q - q∥^α + ∥q∥^α∥v - v∥].

αg₀

Используя неравенство (18) и оценку (22) c ϕx3x₃ =

ϕx₃x₃

и fx3x₃

fx3x₃, продолжим преды-

дущее неравенство в виде

C₀T

∥A[q](x^′, t) - A[q](x^′, t)∥^α ≤

λ₀E_α(C₀d₀Γ(α)T^α)(1 + σq₀)∥q - q∥^α.

(26)

αg₀

Функции q(x^′, t) и q(x′, t) принадлежат шару BαT(q0, ρ), поэтому норма ∥ · ∥α каждой из

них не превосходит ρ + q₀₀. Отметим, что функция в правой части неравенства (26) при

множителе ∥q - q∥^α монотонно возрастает с ростом ∥q∥^α, ∥q∥α и T.

Следовательно оценка (26), если заменить в ней (в том числе в σ) ∥q∥α и ∥q∥α на ρ + q00,

останется верной. Таким образом, имеем

C₀T

∥A[q](x^′, t) - A[q](x^′, t)∥^α ≤

λ₀E_α((ρ + q₀₀)C₀Γ(α)T^α)(1 + σ(ρ + q₀₀))∥q - q∥^α.

αg₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1228

ДУРДИЕВ

Пусть T₂ - положительный корень уравнения

C₀T

r(T ) :=

λ₀E_α((ρ + q₀₀)C₀Γ(α)T^α)(1 + σ(ρ + q₀₀)) = 1.

αg₀

Тогда при T ∈ [0, T₂] расстояние между функциями A[q](x^′, t) и A[q](x^′, t) в функциональном

пространстве C([0, T ], H^α(R²)) не превышает расстояния между функциями q(x^′, t) и q(x^′, t),

умноженного на r(T ) < 1. Следовательно, если мы выберем T^∗ = min(T₁, T₂), то A будет

оператором сжатия в шаре B^αT(q₀, ρ). Поэтому, согласно теореме Банаха, оператор A имеет

единственную неподвижную точку в шаре B^αT(q₀, ρ); т.е. существует единственное решение

уравнения (24). Теорема доказана.

Пусть T - какое-либо положительное число. Рассмотрим множество Ω(γ₀) (γ₀ > 0 -

некоторое фиксированное число) функций (f, ϕ, g), для которых выполнены все условия тео-

ремы 1 и max{∥f∥α+2, |ϕ|α+2, ∥g∥^α} ≤ γ₀. Через Q(γ₁) обозначим класс функций q(x^′, t) ∈

∈ C([0,T],H^α(R²)), удовлетворяющих неравенству ∥q∥^α ≤ γ₁ с некоторым фиксированным

положительным числом γ₀.

Теорема 2. Пусть (f, ϕ, g) ∈ Ω(γ₀),

ϕ, g) ∈ Ω(γ₀) и (q, q) ∈ Q(γ₁). Тогда для решения

обратной задачи справедлива следующая оценка устойчивости:

∥q - q∥^α ≤ c(∥f

f∥α+2 +∥ϕ-

ϕ∥α+2 + ∥g - g∥^α),

(27)

где постоянная c зависит только от T, α, γ₀, γ₁.

Доказательство. Используя уравнение (23), запишем уравнение для q(x^′, t) и составим

разность q(x^′, t) - q(x^′, t). Затем, оценивая это выражение и используя неравенства (18), (22),

получаем неравенство

∫

|q - q|^α(t) ≤ c₀(∥f

f∥α+2 +∥ϕ-

ϕ∥α+2 + ∥g - g∥^α) + c₁

|q - q|^α(τ) dτ, t ∈ [0, T ],

(28)

постоянные c₀ и c₁ в котором зависят от тех же констант, что и c. Отсюда в силу неравенства

Гронуолла получаем оценку

|q - q|^α(t) ≤ c₀ exp(c₁t)(∥f

f∥α+2 +∥ϕ-

ϕ∥α+2 + ∥g - g∥^α), t ∈ [0, T ],

из которой в свою очередь следует нужная оценка (27) с постоянной c = c₀ exp(c₁t).

Из теоремы 2 очевидно вытекает единственность решения обратной задачи.

Теорема 3. Пусть функции q(x^′, t), f(x, t), ϕ(x), g(x^′, t) и q(x^′, t),

f (x, t),

ϕ(x),

g(x^′, t)

удовлетворяют тем же условиям, что и в теореме 2. Тогда, если f

f, ϕ=

ϕ, g = g при

(x, t) ∈ Φ_T , имеет место равенство q(x^′, t) = q(x^′, t), x^′ ∈ R², t ∈ [0, T ].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Caputo M., Mainardi F. Linear models of dissipation in an elastic solids // La Rivista del Nuovo Cimento.

1971. V. 1. № 2. P. 161-198.

2. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Л., 1986.

3. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order

// Fractals Fractional Calculus in Continuum Mechanics / Eds. A. Carpinteri and F. Mainar. New

York, 1997. P. 223-276.

4. Gorenflo R., Rutman R. On ultraslow and intermediate processes // Transform Methods and Special

Functions / Eds. P. Rusev, I. Dimovski, V. Kiryakova. Sofia, 1994. Science Culture Technology. Singapore,

1995. P. 61-81.

5. Mainardi F. Fractional relaxation and fractional diffusion equations, mathematical aspects // Proc. of

the 12th IMACS World Congress / Ed. W.F. Ames. Georgia Tech Atlanta. 1994. V. 1. P. 329-332.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА РЕАКЦИИ

1229

6. Mainardi F. Fractional calculus: some basic problems in continuum and statistical mechanics // Fractals

and Fractional Calculus in Continuum Mechanics / Eds. A. Carpinteri and F. Mainar. New York, 1997.

P. 291-348.

7. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференц. урав-

нения. 1986. Т. 25. № 8. С. 1359-1368.

8. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 4. С. 485-492.

9. Eidelman S.D., Kochubei A.N. Cauchy problem for fractional diffusion equations // J. Differ. Equat.

2004. V. 199. P. 211-255.

10. Miller L., Yamamoto M. Coefficient inverse problem for a fractional diffusion equation // Inverse

Problems. 2013. V. 29. № 7. P. 075013.

11. Bondarenko A.N., Ivaschenko D.S. Numerical methods for solving inverse problems for time fractional

diffusion equation with variable coefficient // J. Inverse Ill-Posed Problems. 2009. V. 17. P. 419-440.

12. Xiong T.X., Zhou Q., Hon C.Y. An inverse problem for fractional diffusion equation in 2-dimensional

case: stability analysis and regularization // J. Math. Anal. and Appl. 2012. V. 393. P. 185-199.

13. Xiong X., Guo H., Liu X. An inverse problem for a fractional diffusion equation // J. Comput. and Appl.

Math. 2012. V. 236. P. 4474-4484.

14. Kirane M., Malik S.A., Al-Gwaiz M.A. An inverse source problem for a two dimensional time fractional

diffusion equation with nonlocal boundary conditions // Math. Meth. Appl. Sci. 2013. V. 36. P. 1056-

1069.

15. Romanov V.G. An inverse problem for a layered film on a substrate // Eurasian J. Math. and Comput.

Appl. 2016. V. 4. № 3. P. 29-38.

16. Karuppiah K., Kim J.K., Balachandran K. Parameter identification of an integro-differential equation

// Nonlin. Func. Anal. and Appl. 2015. V. 20. № 2. P. 169-185.

17. Ivanchov M., Vlasov V. Inverse problem for a two dimensional strongly degenerate heat equation

// Electronic J. Differ. Equat. 2018. V. 77. P. 1-17.

18. Huntul M.J., Lesnic D., Hussein M.S. Reconstruction of time-dependent coefficients from heat moments

// Appl. Math. and Comput. 2017. V. 301. P. 233-253.

19. Hazanee A., Lesnic D., Ismailov M.I., Kerimov N.B. Inverse time-dependent source problems for the

heat equation with nonlocal boundary conditions // Appl. Math. and Comput. 2019. V. 346. P. 800-815.

20. Дурдиев Д.К., Рашидов А.Ш. Обратная задача определения ядра в одном интегро-дифференци-

альном уравнении параболического типа // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 1. С. 110-116.

21. Durdiev D.K., Zhumaev Zh.Zh. Problem of determining a multidimensional thermal memory in a heat

conductivity equation // Methods of Func. Anal. and Topology. 2019. V. 25. № 3. P. 219-226.

22. Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Задача определения тепловой памяти проводящей среды // Диффе-

ренц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 796-807.

23. Durdiev D.K., Nuriddinov J.Z. On investigation of the inverse problem for a parabolic integrodifferential

equation with a variable coefficient of thermal conductivity // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех.

Компьют. науки. 2020. Т. 30. № 4. С. 572-584.

24. Durdiev D.K., Shishkina E.L., Sitnik S.M. The explicit formula for solution of anomalous diffusion

equation in the multi-dimensional space // arXiv:2009.10594v1 [math. CA]. 20 Sept. 2020.

25. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-

раболического типа. М., 1967. C. 736.

26. Mathai A.M., Saxena R.K., Haubold H.J. The H-function. Theory and Application. Berlin; Heidelberg,

2010.

27. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differetial equations

// North-Holland Mathematical Studies. Amsterdam, 2006.

28. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1977.

Бухарский государственный университет,

Поступила в редакцию 25.01.2021 г.

Узбекистан

После доработки 07.04.2021 г.

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021