ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 9, с.1230-1237

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.958:535.42

СВОЙСТВА СИСТЕМЫ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ НА ПРОНИЦАЕМОМ ТЕЛЕ

Исследуется линейная система интегральных уравнений первого рода, возникающая в за-

даче о дифракции волн на локальном проницаемом теле. Установлена эквивалентность

системы и исходной граничной задачи дифракции. Доказаны существование и единствен-

ность решения системы и диссипативность её матричного оператора. Рассмотрены вопросы

существования неизлучающих токов и их связь со свойствами матричного оператора сис-

темы.

DOI: 10.31857/S0374064121090090

Введение. При построении вычислительных алгоритмов для решения задач рассеяния

акустических и электромагнитных волн на локальных проницаемых телах метод интеграль-

ных уравнений зарекомендовал себя как достаточно эффективный [1, 2]. До сих пор акту-

альной остаётся задача поиска таких подходов в методе интегральных уравнений, которые

приводили бы к построению численных схем с хорошими вычислительными свойствами и ха-

рактеристиками. При этом рассматриваются системы интегральных уравнений как первого

рода, так и второго [3, 4]. Использование систем уравнений второго рода формально представ-

ляется более предпочтительным, поскольку при реализации численной схемы они позволя-

ют обходиться относительно простыми вычислительными средствами. Однако такие системы

оказываются малоэффективными при рассмотрении, например, тонких пластин [5]: система

уравнений Фредгольма второго рода Мюллера-Купрадзе в случае тонких тел зачастую оказы-

вается вырожденной [3, 6]. В случае проницаемых тел применение систем уравнений первого

рода является более подходящим, особенно, если учесть, что такие системы позволяют описы-

вать наличие различных инородных включений внутри самих тел [4].

В настоящей работе для задачи дифракции плоской волны на прозрачном трёхмерном

рассеивателе с использованием техники метода нулевого поля [7, 8] получена система инте-

гральных уравнений первого рода. Доказана её однозначная разрешимость и эквивалентность

исходной граничной задаче дифракции. Подробно исследованы свойства матричного операто-

ра системы, установлена его диссипативность. При доказательстве, наряду с исходной задачей

дифракции, рассматривается также “сопряжённая” задача, т.е. задача, в которой характери-

стики внешней и внутренней среды меняются местами.

В последнее время наблюдается значительное возрастание интереса к поиску рассеива-

телей, обладающих минимальной рассеянной энергией. В этом случае в качестве объектов

предлагается использовать небольшие сферы с экстремально высокими значениями волнового

числа [9]. В рамках этой тематики рассматриваются так называемые ананополи - источни-

ки, излучение которых концентрируется вблизи них и не распространяется на бесконечность.

Все эти вопросы непосредственно примыкают к проблеме существования неизлучающих токов

и невидимого рассеивателя. Показано, что существование подобных токов связано с потерей

диссипативности матричного оператора линейной системы интегральных уравнений первого

рода. Установлены необходимые и достаточные условия их существования, а также их связь

с “невидимым” рассеивателем [10].

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о дифракции поля плоской волны u⁰ на ло-

кальном проницаемом препятствии D_i в R³, ограниченном гладкой замкнутой поверхностью

∂D_i ∈ C(2,ν). Обозначим D_e = R³ \ D_i. Пусть математическая постановка граничной задачи

имеет вид

△ue,i(M) + k2e,iue,i(M) = 0, M ∈ De,i,

1230

СВОЙСТВА СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1231

∂u_i(Q)

∂u_e(Q)

∂u⁰(Q)

u_i(Q) - u_e(Q) = u⁰(Q),

Q∈∂D_i,

∂n

∂u_e(M)

- ik_eu_e(M) = o(r-1) при r → ∞,

(1)

∂r

где ke,i - волновые числа в областях De,i соответственно, u_i - полное поле в D_i, u_e - рас-

сеянное поле в D_e, n - нормаль к ∂D_e, внешняя к области D_e, а r = |M|. Здесь и далее

для сокращения записи мы придерживаемся следующего соглашения. Наличие в некотором

выражении или соотношении пары нижних индексов “ i, e ” означает, что рассматриваются два

таких выражения или соотношения: одно с нижним индексом “ i ” вместо “ i, e ”, а другое - с

нижним индексом “ e ”. Не ограничивая общности, будем считать, что Im k_e = 0, Im k_i ≥ 0.

Как известно, поставленная задача сопряжения (1) имеет единственное классическое решение

[2, c. 112-115] ue,i ∈ C⁽²⁾(D_e

^⋃D_i)^⋂ C⁽¹⁾((De ⋃ ∂D_i)^⋃ D_i).

2. Система интегральных уравнений. К решению граничной задачи дифракции (1)

существуют различные подходы, такие как переход к системе интегральных уравнений второго

рода Мюллера-Купрадзе [5], метод нулевого поля [8, с. 35-38] и другие. Вместе с тем для

граничной задачи (1) можно получить систему интегральных уравнений первого рода, которая

обладает рядом особенностей. Для построения такой системы применим к решению u_e задачи

(1) формулу Грина [8, с. 32-34] в D_e, помещая точку наблюдения в D_i, и к решению u_i этой

задачи формулу Грина в D_i, помещая точку наблюдения в D_e. В результате приходим к

следующим соотношениям:

∫

{∂_P Ψ_e(M, P )u_e(P ) - Ψ_e(M, P )∂_P u_e(P )} dσ_P , M ∈ D_i,

(2)

∂D_i

∫

{Ψ_i(M, P )∂u_i(P ) - ∂_P Ψ_i(M, P )u_i(P )} dσ_P , M ∈ D_e,

(3)

∂D_i

здесь Ψe,i(M, P ) = i(4π)-1h⁽¹⁾⁰(ke,iR_MP ) - фундаментальные решения уравнений Гельмгольца,

h⁽¹⁾⁰ - сферическая функция Ханкеля, удовлетворяющая условию излучения, R_MP = |M -P|,

для краткости записи введено обозначение ∂P = ∂/∂nP . Полученные соотношения (2), (3)

известны как соотношения метода нулевого поля [7].

Так как плоская волна удовлетворяет уравнению Гельмгольца с волновым числом k_e всюду

в D_i и непрерывна вместе с производными в D_i, то, используя для её представления в D_i

третью формулу Грина [2, с. 113] и прибавляя полученное соотношение к (2), получаем

∫

{∂_P Ψ_e(M, P )u_i(P ) - Ψ_e(M, P )∂u_i(P )} dσ_P = u₀(M), M ∈ D_i.

(4)

∂D_i

В равенстве (4) учтены граничные условия (1) на ∂D_i.

Преобразуем соотношения (3) и (4), при этом будем существенно учитывать свойства по-

тенциалов простого и двойного слоёв [2, с. 57-68]. Устремляя в (3) точку M, расположенную

снаружи области D_i, к поверхности ∂D_i (D_e ∋ M → Q ∈ ∂D_i) и одновременно в (4) точ-

ку M, расположенную внутри области D_i, к поверхности ∂Di (Di ∋ M → Q ∈ ∂Di) и

вычитая затем полученные соотношения на поверхности ∂D_i, будем иметь

∫

{[∂_P Ψ_e(Q, P ) + ∂_P Ψ_i(Q, P )]u_i(P ) -

∂D_i

- [Ψ_e(Q, P ) + Ψ_i(Q, P )]∂u_i(P )} dσ_P = u₀(Q), Q ∈ ∂D_i.

(5)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1232

ЕРЕМИН, ЗАХАРОВ

Аналогично предыдущему, беря теперь производную по внешней нормали от правой части (3)

и левой части (4) и устремляя точки к поверхности ∂D_i, получаем, используя для потенциала

двойного слоя W (M), следующее свойство [2, с. 66]:

[

]

∂

lim

W (Q + hn_Q) -

W (Q - hn_Q) = 0.

h→+0

∂n

Вычитая полученные соотношения друг из друга, приходим к равенству

∫

∂_Q

{[∂_P Ψ_e(Q, P ) + ∂_P Ψ_i(Q, P )]u_i(P ) -

∂D_i

- [Ψ_e(Q, P ) + Ψ_i(Q, P )]∂u_i(P )} dσ_P = ∂_Qu₀(Q), Q ∈ ∂D_i.

(6)

Введём в рассмотрение следующие восемь интегральных операторов:

∫

Se,iα =

Ψe,i(Q,P)α(P)dσ_P , Ke,iα =

∂_P Ψe,i(Q,P)α(P)dσ_P ,

∂D_i

∫

K^′

α = ∂_Q Ψe,i(Q,P)α(P)dσ_P, Te,iα = ∂_Q

∂_P Ψe,i(Q,P)α(P)dσ_P ,

e,i

∂D_i

здесь K^′ представляет собой оператор, сопряжённый к оператору K по отношению к били-

нейной форме

∫

〈α, β〉 =

α(P )β(P ) dσ_P .

∂D_i

Систему уравнений (5), (6) запишем в операторно-матричном виде

[

][

]

[

]

(S_e + S_i)

-(K_e + K_i)

-u₀

(7)

−(K′e + K′i) (T_e + T_i)

∂u₀

где введены обозначения α = ∂u_i, β = u_i. Исследуем полученную систему (7).

Рассмотрим подробнее свойства операторов, составляющих матричный оператор в (7):

1) операторы Se,i, Ke,i и сопряжённые операторы K′e,i представляют собой псевдодиффе-

ренциальные операторы (ПДО) порядка -1 [11];

2) операторы Te,i являются ПДО порядка +1 [11];

3) для этих операторов имеют место следующие фундаментальные соотношения [2, с. 101-

102]:

S-1 = -T(E - 0.5K)-1(E + 0.5K)-1,

(8)

T-1 = -S(E - 0.5K^′)-1(E + 0.5K^′)-1.

(9)

Теорема 1. В классе H = C(1,ν)(∂D_i) × C(1,ν)(∂D_i) вектор-функций система интеграль-

ных уравнений (7) эквивалентна исходной граничной задаче (1).

Доказательство. 1. Покажем сначала, что однородная система уравнений (7) имеет толь-

ко тривиальное решение.

Пусть существует нетривиальное решение γ = {α, β} однородной системы (7). Покажем,

что оно принадлежит классу H. Для этого воспользуемся приёмом регуляризации [6]. Вы-

берем значения k_e = k₀ таким образом, чтобы ker T₀ = {0} и ker S₀ = {0}. Используем

[

]

T₀

в качестве эквивалентного регуляризатора [12] системы (7) матричный оператор

S₀

В результате получим матричную систему второго рода следующего вида:

[

]

N^′ B

γ - Aγ = 0, A =

(10)

L N

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

СВОЙСТВА СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1233

Используя базовые соотношения (8), (9), несложно установить следующее: операторы N, N^′

являются операторами порядка -1, оператор L имеет порядок -2, а оператор B - порядок 0.

Система (10) эквивалентна системе (7) и представляет собой систему с квазикомпактным мат-

ричным оператором [12] A, поскольку нетрудно непосредственно установить, что оператор A²

компактен. Используя свойство гладкости решений (10) для правой части из H, получаем,

что γ ∈ H [12].

Установим теперь, что γ = 0. Предположим противное: γ = 0. Тогда построим поля Ue,i,

задав их формулами

∫

U_e(M) =

{Ψ_e(M, P )β(P ) - ∂_P Ψ_e(M, P )α(P )} dσ_P , M ∈ D_e,

(11)

∂D_i

∫

U_i(M) =

{∂_P Ψ_i(M, P )α(P ) - Ψ_i(M, P )β(P )} dσ_P , M ∈ D_i.

(12)

∂D_i

Построенные поля Ue,i удовлетворяют уравнениям Гельмгольца и условию излучения гранич-

ной задачи (1). Покажем, что на поверхности ∂D_i выполняются условия сопряжения.

Устремляя в соотношении (11) точку M, расположенную снаружи области D_i, к поверхно-

сти ∂D_i (D_e ∋ M → Q ∈ ∂D_i) и одновременно в соотношении (12) точку M, расположенную

внутри области D_i, к поверхности ∂D_i (D_i ∋ M → Q ∈ ∂D_i) и учитывая свойства поверх-

ностных потенциалов, получаем

∫

U_e(Q) = -

α(Q) +

{Ψ_e(Q, P )β(P ) - ∂_P Ψ_e(Q, P )α(P )} dσ_P , Q ∈ ∂D_i,

∂D_i

∫

U_i(Q) = -

α(Q) +

{∂_P Ψ_i(Q, P )α(P ) - Ψ_i(Q, P )β(P )} dσ_P , Q ∈ ∂D_i.

∂D_i

Сравнивая последние соотношения и учитывая первую строку в (7), убеждаемся, что

U_e(Q) = U_i(Q), Q ∈ ∂D_i. Аналогично показывается, что ∂U_e(Q) = ∂U_i(Q), Q ∈ ∂D_i. Та-

ким образом, построенные на основе решения γ = {α, β} системы поля (11), (12) являются

решением однородной граничной задачи (1). Так как однородная задача (1) имеет только три-

виальное решение, то тем самым установлено, что γ = 0.

2. Покажем теперь, что система (7) эквивалентна граничной задаче (1).

Пусть существует классическое решение граничной задачи (1). Покажем, что его гранич-

ные значения {u_i, ∂u_i} принадлежат пространству H и удовлетворяют системе (7). Для дока-

зательства последнего утверждения достаточно воспользоваться представлением для решения

задачи (1) вида (11), (12) и перейти к системе интегральных уравнений второго рода на поверх-

ности ∂D_i, эквивалентной граничной задаче (1) [2, с. 114]. В силу гладкости поверхности и

аналитичности правых частей u₀, ∂u₀ можно использовать свойство резольвенты Фредгольма

для матричного оператора [12]. Отсюда и следует нужный результат: {u_i, ∂u_i} ∈ H.

Таким образом, установлено, что решение задачи (1) обладает нужной гладкостью на гра-

нице ∂D_i. Из способа получения системы (7) очевидно, что любое решение (1) также является

решением системы (7), так как эта система получена непосредственным применением формул

Грина к решению задачи (1). Теорема доказана.

3. Диссипативность матричного оператора. Введём в рассмотрение билинейную фор-

му в пространстве комплексных функций

∫

(α, β) =

α(P )β^∗(P ) dσ_P ,

∂D_i

где индекс звездочка обозначает комплексное сопряжение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

6^∗

1234

ЕРЕМИН, ЗАХАРОВ

Теорема 2. Матричный оператор B системы (7) является диссипативным [11], т.е.

Im (Bγ,γ) > 0 для всех γ ∈ H, γ = 0.

Запишем подробно выражение (Bγ, γ), используя систему (7); получаем

(Bγ, γ) = ((S_e + S_i)α, α) - ((K_e + K_i)β, α) - ((K′e + K′i)α, β) + ((T_e + T_i)β, β).

(13)

Как и выше, докажем некоторые вспомогательные утверждения.

1. Для любых γ = {α, β} ∈ H справедливо энергетическое соотношение

⎧∫

∫

⎨

Im k²ⁱ|U_i|² dτ + Im k²ⁱ|U_i|² dτ + k_e∥F_e∥2L

Imk_i ≥ 0,

2(Θ)

Im(Bγ,γ) =

(14)

⎩Di

Imk_i = 0.

k_e∥F_e∥2L2(Θ)+ke^∥Fi∥L2

(Θ)

Здесь введены следующие обозначения:

∫

Ue,i(M) = ±

{Ψe,i(M, P )β(P ) - ∂_P Ψe,i(M, P )α(P )} dσ_P ,

△Ue,i + k2e,iUe,i = 0, M ∈De,i, (15)

∂D_i

∫

U_i,e(M) = ±

{Ψ_i,e(M, P )β(P )-∂_P Ψ_i,e(M, P )α(P )} dσ_P ,

△Ue,i +k2e,iUe,i =0, M ∈D_i,e, (16)

∂D_i

а Fe,i - диаграммы направленности рассеянного поля, определяемые следующим образом:

iker

U_e =

Fe(θ, ϕ) + o(r-1), если r → ∞,

ik_ir

U_i =

Fi(θ, ϕ) + o(r-1), если Im kⁱ = 0,

Θ = {0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π}. Подчеркнём, что поле U_i,e(M) является решением уравнения

Гельмгольца, соответствующего “сопряжённой” задаче, т.е. задаче, в которой внешняя среда

описывается волновым числом k_i, а внутренняя - числом k_e.

Доказательство. Применяя вторую формулу Грина к полю Ue,i и U∗e,i (см. (15)) после-

довательно в областях D_e и D_i, получаем

∫

{∂U_iU∗i - ∂U_eU∗e} dσ = Im k²ⁱ|U_i|² dτ + k_e∥F_e∥2L

(17)

2(Θ)

∂D_i

D_i

Действуя аналогичным образом для поля Ue,i (см. (16)), будем иметь

⎧∫

∫

⎨

Imk²ⁱ|U_i|² dτ, если Im k²ⁱ > 0,

{∂U_iU∗i - ∂U_eU∗e} dσ =

(18)

∂D_i

⎩^Dk

e∥Fi∥2L

если Im k²ⁱ = 0.

(Θ)

При выводе соотношения (17) было учтено, что в случае Im k²ⁱ > 0 выполняется соотно-

шение

∫

∗

lim

∂U_iU_i dσ = 0,

R→∞

Σ_R

где Σ_R - сфера радиуса R.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

СВОЙСТВА СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1235

Так как γ ∈ H, то вследствие представления для полей (15) получаем для предельных

значений полей Ue,i и их нормальных производных на поверхности ∂D_i соотношения

U_e = 0.5α + S_eβ - K_eα, U_i = 0.5α - S_iβ + K_iα,

∂U_e = 0.5β + K′eβ - T_eα,

∂U_i = 0.5β - K′iβ + T_iα.

(19)

Основываясь на соотношениях (19) на поверхности ∂D_i, запишем равенство (17) в виде

∫

{∂U_iU∗i - ∂U_eU∗e} dσ =

∂D_i

= (0.5β - K′iβ + T_iα, 0.5α - S_iβ + K_iα) - (0.5β + K′eβ - T_eα, 0.5α + S_eβ - K_eα) =

= 0.5[((T_e + T_i)α, α) - ((K′e + K′i)β, α) + (β, (K_e + K_i)α) - (β, (S_e + S_i)β)] +

+ (K′iβ - T_iα, S_iβ - K_iα) - (K′eβ - T_eα, S_eβ - K_eα).

(20)

Аналогично для предельных значений полей Ue,i и их нормальных производных на ∂D_i

имеем

U_i = 0.5α + S_iβ - K_iα, U_e = 0.5α - S_eβ + K_eα,

∂U_i = 0.5β + K′iβ - T_iα,

∂U_e = 0.5β - K′eβ + T_eα.

(21)

Воспользовавшись полученными соотношениями, преобразуем интеграл (18) следующим

образом:

∫

{∂U_eU∗e - ∂U_iU∗i} dσ =

∂D_i

= (0.5β - K′eβ + T_eα, 0.5α - S_eβ + K_eα) - (0.5β + K′iβ - T_iα, 0.5α + S_iβ - K_iα) =

= 0.5[((T_e + T_i)α, α) - ((K′e + K′i)β, α) + (β, (K_e + K_i)α) - (β, (S_e + S_i)α)] +

+ (K′eβ - T_eα, S_eβ - K_eα) - (K′iβ - T_iα, S_iβ - K_iα).

(22)

Видим, что в правых частях равенства (20) и равенства (22) первые четыре слагаемых

совпадают друг с другом соответственно. Два же последних слагаемых отличаются только

знаком, именно желание избавиться от этих “перекрёстных” членов и привело к необходимости

рассмотрения “сопряжённой” задачи. Складывая полученные соотношения (20) и (22), беря от

суммы мнимую часть и учитывая соотношения (17), (18), получаем окончательно

Im{((T_e + T_i)α,α) - ((K′e + K′i)β,α) - ((K_e + K_i)α,β) + ((S_e + S_i)β,β)} =

⎧∫

∫

⎨

Im k²ⁱ|U_i|² dτ + Im k²ⁱ|U_i|² dτ + k_e∥F_e∥2L

если Im k²ⁱ > 0,

2(Θ)

(23)

⎩Di

если Im k²ⁱ = 0.

k_e∥F_e∥2L2(Θ)+ke^∥Fi∥L2

(Θ)

Сравнивая левую часть соотношения (23) и правую часть соотношения (13), видим, что соот-

ношение (23) после замены в нём α на β и β на α совпадает с соотношением (14). Теорема

доказана.

4. Неизлучающие токи. Как отмечалось во введении, в последнее время возрос интерес

исследователей к формированию рассеивателей с минимальной энергией рассеяния. В частно-

сти, в качестве таких объектов рассматриваются небольшие сферы с очень высоким значени-

ем волнового числа k_i [9]. Это вопрос непосредственно примыкает к проблеме существования

неизлучающих токов внутри тела [13] и невидимого рассеивателя [10].

Необходимо предварительно сделать следующие пояснения. Предположим, что рассмат-

ривается граничная задача дифракции (1). Рассеянное поле u_e во внешнем пространстве D_e

может быть представлено как через его граничные значения на поверхности ∂D_i вида (15),

так и через объёмный “ток” внутри области D_i. Для этого применяют третью формулу Грина

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1236

ЕРЕМИН, ЗАХАРОВ

в D_i к u_i и Ψ_e, помещая при этом точку наблюдения в область D_e. Складывая полученные

соотношения, получаем представление для рассеянного поля, выражающееся через объёмный

ток J(P ) = (k²ⁱ - k^2e)u_i(P ), именно,

∫

u_e(M) = (k²ⁱ - k^2e)Ψ_e(M,P)u_i(P)dτ_P , M ∈ D_e.

(24)

∂D_i

Неизлучающим токо∫ J(P ) называют функцию, при которой объёмный потенциал (24)

обращается в нуль, т.е.

Ψ_e(M,P)J(P)dτ_P ≡ 0, M ∈ D_e, тем самым обнуляя рассеянное

∂D_i

поле во внешней области.

Само существование неизлучающих токов, распределённых в объёме D_i, не является чем-

то исключительным. Так, в работе [13] показано, что любую функцию из C⁽²⁾(D_i)

^⋂C(D_i)

можно превратить в неизлучающий ток D_e. В нашем же случае мы стремимся установить

существование неизлучающих токов в граничной задаче (1). Для этого дадим следующее

Определение. Назовём вектор-функцию γ = {α, β} ∈ H, γ = 0, неизлучающим током,

если для неё имеет место равенство

Im (Bγ,γ) = 0.

(25)

Отметим, что существование неизлучающего тока в данном случае не означает, что Bγ =

= 0, так как из последнего соотношения в силу полученных выше результатов сразу следует,

что γ = 0.

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием существования неизлучающих токов

является существование нетривиальных решений следующей внутренней задачи Дирихле:

(△ + k²ⁱ)(△ + k^2e)w(M) = 0, M ∈ D_i,

∂

w(P ) =

w(P ) = 0, P ∈ ∂D_i.

(26)

∂n_P

Доказательство. Необходимость. Пусть существует вектор-функция γ ∈ H, γ = 0,

такая, что выполняется равенство (25). Построим поля Ue,i и Ue,i согласно равенствам (15)

и (16) соответственно. Предположим, что Im k²ⁱ > 0, тогда в силу (14) получим

U_i(M) ≡ 0, M ∈ D_i,

U_i(M) ≡ 0, U_e(M) ≡ 0, M ∈ D_e.

Последнее тождество вытекает из условия ∥F_e∥2L2(Θ)=0.Таккакдиаграмманаправлен-

ности равна нулю, то и поле во внешней области равно нулю в силу леммы Реллиха [2, с. 86].

Тогда, используя соотношения (19) и (21), получаем, что на поверхности ∂D_i выполняются

равенства

0.5α - S_iβ + K_iα = 0,

0.5β - K_iβ + T_iα = 0,

0.5α + S_iβ - K_iα = 0,

0.5β + K_iβ - T_iα = 0,

из которых очевидно следует, что α = 0, β = 0, т.е. γ = 0. Таким образом, в случае существо-

вания неизлучающих токов необходимо, чтобы Im k²ⁱ = 0. Тогда соотношение (14) принимает

вид Im (Bγ, γ) = k_e∥F_e∥2L2(Θ)+ke^∥Fi∥L2(Θ).Откудавсилу(25)илеммыРеллихаполучаем

U_i(M) ≡ 0, U_e(M) ≡ 0, M ∈ D_e.

(27)

Из тождеств (27) на основании соотношений (19), (21) для предельных значений функций

U_i и U_e и их нормальных производных на ∂D_i вытекают равенства

U_i(P) = U_e(P) = α(P),

∂U_i(P) = ∂U_e(P) = β(P), P ∈ ∂D_i.

(28)

Так как определённые формулами (15) и (16) функции U_i и U_e удовлетворяют соответству-

ющим уравнениям Гельмгольца в D_i, то легко видеть, что их разность w = U_i - U_e c учётом

граничных условий (28) является нетривиальным решением граничной задачи (26). Необхо-

димость установлена.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

СВОЙСТВА СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1237

Достаточность. Пусть существует нетривиальное решение задачи (26). Заметим, что оно

может существовать лишь при условии Im k²ⁱ = 0 [10]. Тогда, следуя [10] и используя решение

w этой задачи, зададим внутри области D_i функции U_e и U_i равенствами

△w + k²ⁱw

△w + k^2ew

U_e =

и U_i =

(29)

k^2e - k²ⁱ

k^2e - k²

Из равенств (29) следует, что w = U_e - U_i. Используя свойства гладкости решения и

граничные условия задачи (26), получаем

△U_e + k^2eU_e = 0,

△U_i + k²ⁱU_i = 0 в D_i,

U_i(P) = U_e(P) = ξ(P),

∂U_i(P) = ∂U_e(P) = ζ(P), P ∈ ∂D_i,

(30)

и η = {ξ,ζ} ∈ H. Теперь, воспользовавшись представлениями для полей (15) и (16), опре-

делим в D_e поля U_e и U_i. Далее, учитывая соотношения для предельных значений на ∂D_i

и граничные условия из (30), приходим к тождествам (27), которые служат эквивалентной

формулировкой существования неизлучающих токов в силу (24). Достаточность установлена.

Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках реализации про-

граммы Московского центра фундаментальной и прикладной математики МГУ по соглашению

№ 075-15-2019-1621.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике.

М., 2008.

2. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М., 1987.

3. Martin P.A., Ola P. Boundary integral equations for the scattering of electromagnetic waves by a

homogeneous dielectric obstacle // Proc. Roy. Soc. 1993. V. 123. P. 185-208.

4. Захаров Е.В., Сетуха А.В. Метод граничных интегральных уравнений в задаче дифракции моно-

хроматической электромагнитной волны на системе идеально проводящих и кусочно-однородных

диэлектрических объектов // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 9. С. 1187-1200.

5. Еремин Ю.А. Интегральные представления для полей в трёхмерных задачах дифракции на прони-

цаемых телах // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 9. С. 1182-1186.

6. Купрадзе В.Д. О приближенном решении задач математической физики // Успехи мат. наук. 1967.

Т. 22. Вып. 2. С. 59-107.

7. Еремин Ю.А., Свешников А.Г., Скобелев С.П. Метод нулевого поля в задачах дифракции волн

// Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2011. Т. 51. № 8. С. 1490-1494.

8. Doicu A., Eremin Yu., Wriedt T. Acoustic and Electromagnetic Scattering Analysis Using Discrete

Sources. San Diego, 2000. P. 18-38.

9. Tribelsky M.I., Miroshnichenko A.E. Giant in-particle field concentration and fano resonances at light

scattering by high-refractive index particles // Phys. Rev. A. 2016. V. 93. P. 053837.

10. Еремин Ю.А. К проблеме существования невидимого рассеивателя в теории дифракции // Диф-

ференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 4. С. 684-687.

11. Агранович М.С. Спектральные свойства задач дифракции // Войтович Н.Н., Каценеленбаум Б.З.,

Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М., 1977. C. 289-416.

12. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техн. Совр. проблемы матема-

тики. Фундам. направления. М., 1988. Т. 27. С. 131-228.

13. Алексеев В.Г., Чеботарев А.Ю. Обратные задачи акустического потенциала // Журн. вычислит.

математики и мат. физики. 1985. Т. 25. № 8. С. 1189-1199.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 28.03.2021 г.

им. М.В. Ломоносова

После доработки 28.03.2021 г.

Принята к публикации 08.06.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021