ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 9, с.1238-1254
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.958:532+517.968.23
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ
ЖИДКОСТИ С ИСТОЧНИКАМИ НА ГРАНИЦАХ
© 2021 г. В. Ф. Пивень
Для трёхмерных фильтрационных течений в неоднородной среде ставятся и исследуются
первая и вторая краевые задачи и задача сопряжения с усложнёнными граничными усло-
виями, содержащими сингулярные функции. Источники течения являются произвольными
дискретными и располагаются как на границах, так и вне границ. Когда границы модели-
руются каноническими поверхностями (плоскость и сфера), решения задач представлены
в конечном виде. В случае произвольных замкнутых гладких граничных поверхностей с
расположенным на них точечными стоком (источником) использован обобщённый потен-
циал двойного слоя, что позволило редуцировать задачу сопряжения и вторую краевую
задачу к сингулярному и гиперсингулярному интегральным уравнениям соответственно.
Исследованные задачи - математические модели трёхмерных фильтрационных процессов в
неоднородных средах, представляющие интерес, например, для практики разработки при-
родных нефтеносных (водоносных) пластов грунта.
DOI: 10.31857/S0374064121090107
Введение. В аэродинамике и теории фильтрации исследуются возникающие на практике
задачи, которые характеризуются сингулярными (негладкими) граничными условиями. Трёх-
и двумерные задачи обтекания непроницаемых поверхностей летательных аппаратов при на-
личии отсоса внешнего потока и протекания воздуха через щели обтекаемых поверхностей
исследуются в работах [1, с. 164; 2, 3]. Поставленная в них задача Неймана для уравнения Ла-
пласа с обобщённым краевым условием редуцируется к сингулярному (гиперсингулярному)
интегральному уравнению, которое решается численным методом дискретных особенностей.
Ряд двумерных задач фильтрации в однородной среде (грунте) с источниками на непрони-
цаемых границах, являющихся отрезком прямой или окружностью, изучен в работах [4, c. 87;
5, 6]. В статье [7] исследованы двумерные первая и вторая краевые задачи и задача сопряжения
с источниками течения, которые характеризуются сингулярностями (изолированными особы-
ми точками логарифмического типа и полюсами), расположенными на границах и вне границ.
Задачи решены в конечном виде в случае канонических границ (прямая и окружность), а
в общем случае произвольных гладких границ редуцированы к сингулярным интегральным
уравнениям. В настоящей работе аналогичный подход используется для исследования трёх-
мерных граничных задач фильтрации в неоднородной, вообще говоря, среде с обобщёнными
(усложнёнными) граничными условиями, которые характеризуют источники течения, распо-
ложенные на произвольных гладких граничных поверхностях, а также вне этих поверхностей.
1. Постановка задач. Рассмотрим трёхмерное стационарное течение несжимаемой жид-
кости в неоднородной пористой среде. Течение характеризуем скоростью фильтрации
v и
обобщённым потенциалом ϕ, которые как функции точки M пространства удовлетворяют
записанным в безразмерных величинах [8, с. 10] обобщённому закону Дарси
(
)
p + ρΠ
v = K∇ϕ ϕ = -
(1.1)
μ
и уравнению неразрывности
∇ ·v = 0.
(1.2)
Здесь K = K(M) > 0 - коэффициент проницаемости (проницаемость) среды, он моделиру-
ется непрерывно дифференцируемой функцией, p - давление, μ и ρ - вязкость и плотность
жидкости соответственно, Π - потенциал массовых сил, ∇ - оператор Гамильтона.
1238
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ
1239
Из уравнений (1.1) и (1.2) следует, что обобщённый потенциал ϕ(M) удовлетворяет всюду
в области D течения, за исключением его сингулярностей (изолированных особых точек),
уравнению эллиптического типа
∇ · [K(M)∇ϕ(M)] = 0, M ∈ D.
(1.3)
В частности, если среда однородная (K = const), то уравнение (1.3) представляет собой
уравнение Лапласа
△ϕ(M) = 0, M ∈ D;
(1.3′)
его решение ϕ(M) - потенциал - гармоническая в области D функция координат.
Запишем условия для обобщённого потенциала ϕ(M) на границах, которые моделируются
гладкими поверхностями. Пусть на границе σ1 области D задан обобщённый потенциал ϕ(M)
(давление p(M) и потенциал Π(M)). Тогда выполняется условие
ϕ+(M) = α1(M), M ∈ σ1,
(1.4)
где α1(M) - непрерывная функция. Здесь и далее знаком “ + ” (знаком “- ”) обозначается пре-
дельное значение функции при подходе со стороны (противоположной стороны) орта нормали
к границе. Считаем, что орт нормали nM , M ∈ σ1, направлен внутрь области D. В случае
напорной фильтрации, когда массовые силы пренебрежимо малы (ρ|∇Π| ≪ |∇p|), а давление
p на границе σ1 можно принять постоянным, ϕ+(M) = const, M ∈ σ1, и, следовательно,
условие (1.4) принимает вид
ϕ+(M) = 0, M ∈ σ1.
(1.4′)
Если область D имеет непроницаемую для жидкости границу σ2, то, согласно закону
(1.1), нормальная составляющая скорости vn = K(M)∂ϕ(M)/∂nM равна нулю, M ∈ σ2.
Тогда, учитывая, что K(M) = 0, M ∈ σ2, имеем условие непротекания
(∂ϕ(M))+ = 0, M ∈ σ2.
(1.5)
∂nM
Течение в области D среды проницаемости K(M) может быть ограничено сингулярной
поверхностью σ0 = σ01
⋃σ02, на которой K(M) = ∞, M ∈ σ01, и/или K(M) = 0, M ∈ σ02.
Тогда, согласно закону (1.1), должны выполняться условия
(
)+
∂ϕ(M)
ϕ+(M) = 0, M ∈ σ01; K(M)
= 0, M ∈ σ02.
(1.6)
∂nM
Пусть поверхность Γ - граница сопряжения областей D1 и D2 (D = D1
⋃D2), прони-
цаемости сред которых равны K1(M) и K2(M) соответственно, причём Kν (M) = kν K(M)
(kν = const, ν = 1, 2). Течение в областях D1 и D2 характеризуют обобщённые потенциалы
ϕ1(M) и ϕ2(M). На границе Γ имеем вытекающие из закона (1.1) условия непрерывности
давления и расхода жидкости (условия сопряжения)
)+
)-
(∂ϕ1(M)
(∂ϕ2(M)
ϕ+1(M) = ϕ-(M), k1
=k2
,
M ∈ Γ,
(1.7)
2
∂nM
∂nM
в которых считаем, что орт нормали nM , M ∈ Γ, направлен в область D1.
Пусть течение вызвано произвольно заданными источниками в среде проницаемости K(M)
и характеризуется сингулярностями (изолированными особыми точками) обобщённого потен-
циала ϕ0(M). Потенциал удовлетворяет уравнению (1.3) всюду в области D течения, за ис-
ключением его особых точек, и является гладкой функцией вне них. Представим ϕ0(M) в виде
ϕ0(M) = f0(M) + f(M),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
1240
ПИВЕНЬ
где сингулярности функции f0(M) расположены только на некоторых заданных гладких по-
верхностях, а функции f(M) - вне этих поверхностей. Учтём источники течения. Обобщённый
потенциал ϕ(M) в случае, когда заданная поверхность - это граница σ1 или σ2 области D
течения, имеет вид
ϕ(M) = ϕ0(M) + ϕ∗(M) = f0(M) + f(M) + ϕ∗(M), M ∈ D,
(1.8)
а в случае, когда заданная поверхность - это граница Γ сопряжения областей D1 и D2
(D = D1
⋃D2) среды с проницаемостями K1(M) и K2(M) соответственно (Kν = kνK(M),
kν = const), - вид
1
1
ϕν (M) =
(ϕ0(M) + ϕ∗(M)) =
(f0(M) + f(M) + ϕ∗(M)), M ∈ Dν , ν = 1, 2.
(1.9)
kν
kν
Здесь ϕ∗(M) - обобщённый потенциал возмущений, обусловленных каждой границей σ1,
σ2 и Γ.
Учитывая представления (1.8) и (1.9), запишем для обобщённого потенциала ϕ∗(M) гра-
ничные условия (1.4)-(1.7), а также условия в бесконечности в случае неограниченной области
D. Условия (1.4) и (1.4′) принимают соответственно вид
ϕ+∗(M) = α1(M) - f0(M) - f(M), M ∈ σ1,
(1.10)
ϕ+∗(M) = -f0(M) - f(M), M ∈ σ1,
(1.10′)
а условия (1.5) - вид
)+
(∂ϕ∗(M)
∂f0(M)
∂f(M)
=-
-
,
M ∈σ2.
(1.11)
∂nM
∂nM
∂nM
Пусть функции f0(M) и f(M) удовлетворяют условиям (1.6). Тогда имеем
(
)+
∂ϕ∗(M)
ϕ+∗(M) = 0, M ∈ σ01; K(M)
= 0, M ∈ σ02.
(1.12)
∂nM
Полагая, что на границе Γ выполняются равенства
f+0(M) = f-0(M) = f0(M), f+(M) = f-(M) = f(M),
)+
)-
)+
(∂f0(M)
(∂f0(M)
(∂f(M)
=
,
=
(∂f(M))-, M ∈ Γ,
∂nM
∂nM
∂nM
∂nM
получаем условия сопряжения
(1 - λ)ϕ+∗(M) - (1 + λ)ϕ-∗(M) = 2λ[f0(M) + f(M)],
)+
(∂ϕ∗(M)
=
(∂ϕ∗(M))-, M ∈ Γ,
(1.13)
∂nM
∂nM
где λ = (k1 - k2)/(k1 + k2), λ ∈ (-1, 1), а орт nM , M ∈ Γ, как и выше, направлен внутрь
области D1.
В условиях (1.10), (1.11) и (1.13) функция f0(M) и её производная ∂f0(M)/∂nM имеют
сингулярности на границах. Поэтому обобщённый потенциал возмущений ϕ∗(M) будет иметь
такие же сингулярности на границах, что и функция f0(M), и должен удовлетворять ука-
занным условиям всюду на границах, за исключением изолированных особых точек функции
f0(M).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ
1241
Потребуем для обобщённого потенциала ϕ∗(M) выполнения в бесконечности условий ре-
гулярности [8, с. 20]
ϕ∗(M) = O(1/r), K(M)|∇ϕ∗(M)| = O(1/r2) при r → ∞,
(1.14)
где r - расстояние от точки M до некоторой фиксированной точки M0 области D. Условия
(1.14) выражают затухание обобщённого потенциала и скорости возмущений на бесконечности
и обеспечивают единственность решения поставленных задач.
Постановка задач состоит в следующем. Заданы источники течения (задан обобщённый
потенциал ϕ0(M)) и проницаемость среды K(M) (проницаемости Kν (M) = kν K(M), kν =
= const, ν = 1, 2). Найти обобщённый потенциал ϕ∗(M), удовлетворяющий уравнению (1.3)
и одному из следующих условий: условию (1.10) (первая краевая задача), условию (1.11) (вто-
рая краевая задача), условию (1.13) (задача сопряжения). Если область D ограничена син-
гулярной поверхностью σ0 или/и содержит бесконечно удалённую точку, то ϕ∗(M) должен
также удовлетворять условию (1.12) или/и (1.14). По найденному обобщённому потенциалу
ϕ∗(M) согласно представлениям (1.8) и (1.9) находим искомые обобщённые потенциалы ϕ(M)
и ϕν(M), ν = 1,2.
Замечание. В случае второй внутренней краевой задачи для ϕ∗(M), когда область D
течения ограничена непроницаемой поверхностью σ2, алгебраическая сумма мощностей ис-
точников и стоков, расположенных внутри и на поверхности σ2, должна быть равна нулю в
силу уравнения (1.2) неразрывности. Это означает, что характеризующий заданные источники
обобщённый потенциал ϕ0(M) = f0(M) + f(M) должен удовлетворять условию
∫
∫
)
∂ϕ0(M)
(∂f0(M)
∂f(M)
K(M)
dσM =
K(M)
+
dσM = 0,
(1.15)
∂n
M
∂nM
∂nM
σ2
σ2
которое выражает отсутствие потока жидкости через поверхность σ2. Равенство (1.15) - усло-
вие разрешимости второй внутренней краевой задачи [8, с. 39].
Решение поставленных задач представим в конечном виде в случае однородной и кусочно-
однородной среды с каноническими границами (плоскость и сфера), а в случае неоднородной
среды и произвольных замкнутых гладких границ редуцируем задачи к граничным сингуляр-
ным интегральным уравнениям.
2. Задачи с каноническими границами. Рассмотрим трёхмерное течение в однородной
среде. Каждую границу Γ, σ1 и σ2 будем моделировать поверхностью в виде плоскости,
уравнение которой x = 0 (y, z ∈ (-∞, ∞)).
Теорема 1 (сопряжения на плоскости). Пусть течение в однородной безграничной среде
проницаемости K = 1 описывает потенциал
ϕ0(M) = f0(M) + f1(M) + f2(M),
(2.1)
в котором сингулярности (изолированные особые точки) функции f0(M) расположены толь-
ко на плоскости x = 0, а функций f1(M) и f2(M) - только вне её в полупространствах x > 0
и x < 0 соответственно. Причём имеют место соотношения
fj(M) = O(1/r) при r → ∞, j = 0,1,2,
(2.2)
если эти функции не имеют сингулярностей в бесконечности. Тогда течение в областях
D1(x > 0) и D2(x < 0) среды с проницаемостями k1 и k2 соответственно, сопрягающихся
по граничной плоскости Γ = {x = 0, y,z ∈ (-∞,∞)}, характеризуют потенциалы ϕ1(M)
и ϕ2(M):
k1ϕ1(M) = ϕ0(M) + λ(f0(M∗) + f1(M∗) + f2(M)), M ∈ D1,
k2ϕ2(M) = ϕ0(M) - λ(f0(M) + f1(M) + f2(M∗)), M ∈ D2,
(2.3)
где λ = (k1 -k2)/(k1 +k2), λ ∈ (-1, 1), а точки M = (x, y, z) и M∗ = (-x, y, z) симметричны
относительно плоскости x = 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
1242
ПИВЕНЬ
Доказательство. Учитывая представления (1.9) и (2.3), потенциал возмущений ϕ∗(M)
ищем в виде
{
A1(f0(M∗) + f1(M∗) + f2(M)), M ∈ D1,
ϕ∗(M) =
A2(f0(M) + f1(M) + f2(M∗)), M ∈ D2,
в которых A1 и A2 - константы. Функция f0(M∗) так же, как и заданная функция f0(M),
имеет сингулярности только на границе Γ. Поэтому f0(M∗) - гармоническая функция всюду
в области D = D1
⋃D2. Функции f1(M) и f2(M) имеют заданные сингулярности в областях
D1(x > 0) и D2(x < 0). Функции f1(M∗), M∗ ∈ D2, и f2(M∗), M∗ ∈ D1, имеют сингулярно-
сти в областях D2 и D1, так как они являются аналитическими продолжениями в эти области
функций f1(M), M ∈ D1, и f2(M), M ∈ D2, соответственно. Поэтому f1(M∗) и f2(M∗) -
гармонические функции соответственно в областях D1 и D2. Тогда потенциал возмущений
ϕ∗(M) - гармоническая функция, удовлетворяющая в области D = D1
⋃D2 уравнению (1.3′).
Найдём константы A1 и A2, удовлетворив потенциал ϕ∗(M) условиям (1.13), в которых в
рассматриваемом случае орт нормали nM , M ∈ Γ, сонаправлен с осью Ox. Учтём потенциал
(2.1) и выполняющиеся на границе Γ равенства
∂fj(M)
∂fj(M∗)
fj(M) = fj(M∗),
=-
,
j = 0,1,2, M = M∗ = (0,y,z).
∂x
∂(-x)
Получим равенство ((1 - λ)A1 - (1 + λ)A2 - 2λ)ϕ0(M) = 0, т.е.
)
(∂f0(M)
∂f1(M)
∂f2(M)
(A1 + A2)
+
-
= 0, M = (0, y, z),
∂x
∂x
∂x
которое тождественно удовлетворяется всюду на границе Γ, исключая точки сингулярности
функции f0(M), M ∈ Γ, если A1 = λ и A2 = -λ. Тогда для потенциала ϕ∗(M) справедливо
представление
{
λ(f0(M∗) + f1(M∗) + f2(M)), M ∈ D1,
ϕ∗(M) =
(2.4)
-λ(f0(M) + f1(M) + f2(M∗)), M ∈ D2.
В силу условий (2.2) потенциал (2.4) удовлетворяет в бесконечности условиям (1.14) при
K = const. Согласно представлениям (1.9) и (2.4) имеем искомые потенциалы (2.3) течения.
Теорема доказана.
Рассмотрим частные случаи задания источников течения и запишем для них потенциалы
(2.3). Если источники течения на границе Γ отсутствуют (f0(M) = 0), то [8, с. 257]
k1ϕ1(M) = f1(M) + λf1(M∗) + (1 + λ)f2(M), M ∈ D1,
k2ϕ2(M) = (1 - λ)(f1(M) + f2(M)), M ∈ D2.
Когда источники располагаются только на границе Γ, а вне Γ источников нет (f1(M) = 0,
f2(M) = 0), то
k1ϕ1(M) = f0(M) + λf0(M∗), M ∈ D1, k2ϕ2(M) = (1 - λ)f0(M), M ∈ D2.
(2.5)
Рассмотрим теперь случай, когда плоскость x = 0 (y, z ∈ (-∞, ∞)) моделирует границу
σ1 или границу σ2.
Теорема 2. Пусть в безграничной среде проницаемости K = 1 источники течения рас-
полагаются в полупространстве x ≥ 0 и течение характеризует потенциал
ϕ0(M) = f0(M) + f(M),
в котором сингулярности функции f0(M) лежат только на плоскости x = 0, а функции
f (M) - только в полупространстве D(x > 0). Причём имеют место соотношения
f0(M) = O(1/r) и f(M) = O(1/r) при r → ∞,
(2.6)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ
1243
если функции не имеют сингулярностей в бесконечности. Тогда течение в области D(x > 0)
среды проницаемости K = 1, которая ограничена плоскостью x = 0, если эта плоскость
является границей σ1, характеризует потенциал
ϕ(M) = ϕ0(M) - ϕ0(M∗), M ∈ D,
(2.7)
а если плоскость x = 0 является границей σ2 - потенциал
ϕ(M) = ϕ0(M) + ϕ0(M∗), M ∈ D,
(2.8)
где ϕ0(M∗) = f0(M∗) + f(M∗), а точка M∗ = (-x, y, z) симметрична точке M = (x, y, z)
относительно плоскости x = 0.
Доказательство. Сингулярности функции ϕ0(M∗) расположены на границах σ1 или
σ2, а функции f(M∗) - при x < 0. Поэтому потенциалы возмущений ϕ∗(M) = -ϕ0(M∗) и
ϕ∗(M) = ϕ0(M∗) (ϕ0(M∗) = f0(M∗) + f(M∗)) - гармонические функции, удовлетворяющие
уравнению (1.3′) в области D(x > 0). Так как на границах σ1 и σ2 (орт nM ∈ σ2 направлен
вдоль оси Ox) справедливы равенства
∂ϕ0(M)
∂ϕ0(M∗)
ϕ0(M) = ϕ0(M∗),
=-
,
M = M∗ = (0,y,z),
∂x
∂(-x)
то потенциалы возмущений ϕ∗(M) удовлетворяют условиям (1.10′) и (1.11) на этих границах
всюду, за исключением особых точек функции f0(M). В силу условий (2.6) потенциалы возму-
щений ϕ∗(M) удовлетворяют в бесконечности условиям (1.14) при K = 1. Тогда выражения
(2.7) и (2.8) - действительно искомые потенциалы течений. Теорема доказана.
Отметим, что потенциалы (2.7) и (2.8) можно рассматривать как предельные случаи по-
тенциала ϕ1(M) представления (2.3) при λ → -1 и λ → 1, когда k1 = 1 и ϕ0(M) = f0(M) +
+ f(M) (f1(M) = f(M), f2(M) = 0).
Из представлений (2.7) и (2.8) вытекают частные случаи потенциалов в зависимости от
заданных источников течения: когда на границах σ1 и σ2 нет источников (f0(M) = 0), то
в представлениях (2.7) и (2.8) ϕ0(M) = f(M) [8, с. 260], и, если источники располагаются
только на этих границах, а вне них источников нет (f(M) = 0), то ϕ0(M) = f0(M).
Пусть сфера радиуса a с центром в начале координат - модель границ Γ, σ1 и σ2.
Рассмотрим сначала случай, когда эта сфера - граница сопряжения областей D1(r > a) и
D2(r < a) среды с проницаемостями k1 и k2 соответственно.
Теорема 3 (сопряжения на сфере). Пусть течение в безграничной среде проницаемости
K = 1 характеризует потенциал
ϕ0(M) = f0(M) + f1(M) + f2(M),
(2.9)
в котором сингулярности (изолированные особые точки) функции f0(M) располагаются
только на расстоянии r = a от начала координат, а функций f1(M) и f2(M) - только
при r > a и r < a соответственно. Причём имеют место соотношения
fj(M) = O(1) при r → 0, j = 0,1, f2(M) = O(1/r) при r → ∞, j = 0,1,2.
(2.10)
Тогда течения в областях D1(r > a) и D2(r < a) сред с проницаемостями k1 и k2
соответственно, сопрягающихся по граничной сфере Γ = {r = a}, определяют потенциалы
ϕ1(M) и ϕ2(M):
(
)
}
∑
{a
1+λ
1+λ
k1ϕ1(M) = ϕ0(M) + λ
fj(M∗) -
Φj(M∗)
+ f2(M) +
Φ2(M)
,
M ∈D1,
r
2
2
j=0
(
)
(
)}
{1∑
1-λ
a
1-λ
k2ϕ2(M)=ϕ0(M)-λ
fj(M)+
Φj(M) +
f2(M∗)-
Φ2(M∗)
,
M ∈D2. (2.11)
2
r
2
j=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
1244
ПИВЕНЬ
Здесь
∫1
∫
1
Φj(M) = τ-(1-λ)/2fj(Mτ)dτ, j = 0,1, Φ2(M) = τ-(1+λ)/2f2(Mτ)dτ,
0
∞
λ = (k1 - k2)/(k1 + k2), λ ∈ (-1,1), а точки M = (x,y,z) и M∗ = (x∗,y∗,z∗) сопряжены
относительно сферы радиуса a, т.е. их радиус-векторы ⃗r и ⃗r∗ (декартовы координаты)
связаны преобразованием инверсии:
(
)
2
√
a
a2
a2
a2
⃗
r∗ =
⃗r
x∗ =
x, y∗ =
y, z∗ =
z, r =
x2 + y2 + z2
r2
r2
r2
r2
Доказательство. Согласно представлениям (1.9) и (2.11) потенциал возмущения ϕ(M)
ищем в виде
⎧
}
⎪
∑
{a
⎪
A1
(fj(M∗) - α1Φj(M∗)) + f2(M) + α1Φ2(M)
,
M ∈D1,
⎨
r
j=0
ϕ∗(M) =⎪
}
{1∑
⎪
a
⎪A2
(fj(M) + α2Φj (M)) +
(f2(M∗) - α2Φ2(M∗))
,
M ∈D2,
⎩
r
j=0
где
∫1
∫
1
Φj(M) = τα1-1fj(Mτ)dτ, j = 0,1, Φ2(M) = τα2-1f2(Mτ)dτ,
0
∞
Ak, αk, k = 1,2, - константы.
По условию теоремы функция f0(M) имеет особые точки только на границе Γ = {r = a}
сопряжения областей, а функции f1(M) и f2(M) - только в областях D1(r > a) и D2(r < a)
соответственно. Поэтому функция f0(M) - гармоническая всюду в области D = D1
⋃D2,
а функции f1(M) и f2(M) - соответственно в областях D2 и D1. Функции Φj(M), j =
= 0, 1, и Φ2(M) - непрерывные гармонические функции, удовлетворяющие уравнению (1.3′)
в областях D2 и D1 соответственно, так как они определяются сходящимися в этих областях
интегралами. Действительно, полагая в указанных интегралах α1, α2 ∈ (0, 1) и учитывая
условия (2.10), согласно обобщённой теореме о среднем значении [9, c. 114], находим
1
∫1
∫
Φj(M) =
τα1-1fj(Mτ)dτ = lim
τα1-1fj(Mτ)dτ =
τ0→0
0
τ0
1
fj(M)
=
lim
,
j = 0,1, M ∈ D2,
[fj(M) - fj(Mτ0)τα10 ] =
α1
τ0→0
α1
∫1
1
∫
Φ2(M) = τα2-1f2(Mτ)dτ = lim
τα2-1f2
(Mτ) dτ =
τ0→∞
∞
τ0
1
f2(M)
=
lim
,
M ∈D1.
[f2(M) - f2(Mτ0)τα20 ] =
α2
τ0→∞
α2
Функции fj(M), j = 0, 1, M ∈ D2, и f2(M), M ∈ D1, - непрерывные гармонические
функции, а поэтому такими же являются и функции Φj (M), j = 0, 1, M ∈ D2, и Φ2(M),
M ∈ D1, и, кроме того, они будут удовлетворять тем же условиям (2.10).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ
1245
Точки M и M∗ - инверсные относительно сферы радиуса a, их радиус-векторы ⃗r и ⃗r∗
связаны преобразованием ⃗r∗ = a2⃗r/r2. Поэтому, согласно теореме Кельвина [10, с. 282], функ-
ции afj(M∗)/r, aΦj(M∗)/r, j = 0, 1, - гармонические в области D1, а функции af2(M∗)/r,
aΦ2(M∗)/r - гармонические в области D2. Следовательно, потенциал возмущений ϕ∗(M) -
гармоническая функция, удовлетворяющая уравнению (1.3′) в области D = D1
⋃D2.
Найдём теперь константы Ak, αk, k = 1, 2, используя условия (1.13) на сфере Γ =
= {r = a}. Заменяя переменные Mτ на rτ (rτ = R), имеем
r
∫
1
Φj(M) =
Rα1-1fj(R)dR, j = 0,1, M ∈ D2,
rα1
0
∫
r
1
Φ2(M) =
Rα2-1f2(R)dR, M ∈ D1.
rα2
∞
Находим
∫r
∂Φj(M)
fj(M)
α1
1
=
-
Rα1-1fj(R)dR =
[fj(M) - α1Φj(M)], j = 0, 1, M ∈ D2,
∂r
r
rα1-1
r
0
r
∫
∂Φ2(M)
f2(M)
α2
1
=
-
Rα2-1f2(R)dR =
[f2(M) - α2Φ2(M)], M ∈ D1,
∂r
r
rα2-1
r
∞
или
∂Φj(M)
r
+ α1Φj(M) = fj(M), j = 0,1, M ∈ D2,
∂r
∂Φ2(M)
r
+ α2Φ2(M) = f2(M), M ∈ D1.
(2.12)
∂r
Непрерывно продолжая эти равенства на границу Γ = {r = a}, получаем, что они будут
справедливы для функций f1(M) и f2(M) всюду на границе, а для функции f0(M) - во всех
точках границы за исключением особых точек этой функции.
Так как r∗ = a2/r, то ∂/∂r = -(a2/r2)∂/∂r∗. Поэтому на границе Γ справедливы ра-
венства
∂fj(M)
∂fj(M∗)
∂Φj(M)
∂Φj(M∗)
=-
,
=-
,
j = 0,1,2, M = M∗ (r = r∗ = a).
(2.13)
∂r
∂r∗
∂r
∂r∗
Подставим потенциал ϕ∗(M) в условия (1.13) на границе Γ = {r = a} и учтём пред-
ставление (2.9) и равенства (2.12) и (2.13) на границе. Тогда на границе, т.е. при M = M∗
(r = r∗ = a), имеем равенства
(
)
∑
((1 - λ)A1 - (1 + λ)A2 - 2λ)ϕ0(M) + ((1 - λ)α1A1 + (1 + λ)α2A2) Φ2(M) - Φj(M)
= 0,
j=0
)
(1∑
∂
((α1 - 1)A1 - α2A2)
fj(M) + Φj(M) - f2(M)
+
∂r
j=0
(
)
∑
∂
+ (α1A1 + (1 - α2)A2)
f2(M) + Φ2(M) - fj(M)
= 0.
∂r
j=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
1246
ПИВЕНЬ
Они тождественно удовлетворяются всюду на границе Γ, за исключением особых точек функ-
ции f0(M), если константы Ak, αk, k = 1, 2, удовлетворяют системе равенств
(1 - λ)A1 - (1 + λ)A2 - 2λ = 0,
(1 - λ)α1A1 + (1 + λ)A2 = 0,
(1 - α1)A1 + α2A2 = 0, α1A1 + (1 - α2)A2 = 0.
Отсюда находим A1 = λ, A2 = -λ, α1 = (1 + λ)/2, α2 = (1 - λ)/2, причём α1 + α2 = 1, и
поскольку λ ∈ (-1, 1), то α1 ∈ (0, 1), α2 ∈ (1, 0).
Тогда потенциал ϕ∗(M) принимает следующий вид:
⎧
(
)
}
⎪
∑
{a
1+λ
1+λ
⎪
λ
fj(M∗) -
Φj(M∗)
+ f2(M) +
Φ2(M)
,
M ∈D1,
⎨
r
2
2
j=0
ϕ∗(M) =⎪
(
)
(
)}
{1∑
⎪
1-λ
a
1-λ
⎪-λ
fj(M) +
Φj(M)
+
f2(M∗) -
Φ2(M)
,
M ∈D2,
⎩
2
r
2
j=0
где
∫1
∫
1
Φj(M) = τ-(1-λ)/2fj(Mτ)dτ, Φ2(M) = τ-(1+λ)/2f2(Mτ)dτ.
0
∞
Потенциал ϕ∗(M), M ∈ D1, удовлетворяет в бесконечности условию (1.14), поскольку
заданные функции fj(M) и, следовательно, Φj(M), j = 0, 1, 2, удовлетворяют условиям
(2.10). Подставляя функцию ϕ∗(M) в представление (1.9), получаем искомые потенциалы
(2.11). Теорема доказана.
Запишем потенциалы (2.11) для частных случаев расположения источников течения. Если
на границе Γ нет источников (f0(M) = 0), то имеем [8, с. 378]
(
)
λa
1+λ
k1ϕ1(M) = f1(M) +
f1(M∗) -
Φ1(M∗)
+ (1 + λ)(f2(M) + λΦ2(M)), M ∈ D1,
r
2
(
)
(
)
λ
λa
1-λ
k2ϕ2(M) = (1-λ) f1(M)-
Φ1(M)
+f2(M)-
f2(M∗)-
Φ2(M∗)
,
M ∈ D2. (2.14)
2
r
2
Сюда включены случаи, когда источники располагаются только в области D1(r > a) при
f2(M) = 0 или только в области D2(r < a) при f1(M) = 0. Если источники лежат только на
границе, а вне её источников нет (f1(M) = 0 и f2(M) = 0), то находим, что
(
)
λa
1+λ
k1ϕ1(M) = f0(M) +
f0(M∗) -
Φ0(M∗)
,
M ∈D1,
r
2
(
)
λ
k2ϕ2(M) = (1 - λ) f0(M) -
Φ0(M)
,
M ∈D2.
(2.15)
2
В потенциалах (2.14) и (2.15) функции Φj(M), j = 0, 1, 2, такие же, как и в формулах (2.11).
Пусть теперь сфера радиуса a с центром в начале координат моделирует границу σ1 или
границу σ2.
Теорема 4. Пусть течение в безграничной среде проницаемости K = 1 описывает по-
тенциал
ϕ0(M) = f0(M) + f(M),
(2.16)
в котором сингулярности (изолированные особые точки) функции f0(M) располагаются на
расстоянии r = a от начала координат, а функции f(M) - только на расстоянии либо
r > a, либо r < a. Причём имеют место соотношения
f0(M) = O(1) и f(M) = O(1) при r → 0,
(2.17)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ
1247
если сингулярности функции f(M) лежат в области r > a, и
f (M) = O(1/r) при r → ∞,
(2.18)
если сингулярности функции f(M) лежат в области r < a. Тогда течение в области D с
границей σ1 характеризует потенциал
a
ϕ(M) = ϕ0(M) -
ϕ0(M∗), M ∈ D,
(2.19)
r
а с границей σ2 - потенциал
a
ϕ(M) = ϕ0(M) +
(ϕ0(M∗) - Φp(M∗)), M ∈ D.
(2.20)
r
Здесь
{
∫1
0,
если M ∈ D(r > a),
Φp(M∗) = ϕ0(M∗τ)dτ, p =
∞,
если M ∈ D(r < a),
p
ϕ0(M∗) = f0(M∗) + f(M∗). Точки M и M∗ - сопряжённые относительно сферы радиуса a,
их радиус-векторы ⃗r и ⃗r∗ связаны преобразованием ⃗r∗ = a2⃗r/r2.
Доказательство. Согласно представлениям (1.8), (2.17), (2.19) и (2.20) потенциалы воз-
мущений имеют вид
a
a
ϕ∗(M) = -
ϕ0(M∗) = -
(f0(M∗) + f(M∗)), M ∈ D,
(2.21)
r
r
a
a
ϕ∗(M) =
(ϕ0(M∗) - Φp(M∗)) =
(f0(M∗) + f(M∗) - Φp(M∗)), M ∈ D,
(2.22)
r
r
где
∫1
Φp(M∗) = (f0(M∗τ) + f(M∗τ))dτ.
p
Определяющий функцию Φp(M∗) интеграл существует (сходится) при p = 0 и p = ∞ в силу
условий (2.17) и (2.18).
Функция f0(M∗) имеет заданные сингулярности только на сфере (при r = a) и, следо-
вательно, является гармонической всюду в области D - вне и внутри сферы. Функция f(M)
имеет заданные сингулярности только либо вне (при r > a), либо внутри (при r < a) сферы.
Поэтому, согласно представлению (2.16), функции ϕ0(M) и Φ0(M) (ϕ0(M) и Φ∞(M)) - гар-
монические в области D(r > a) (в области D(r < a)). Тогда на основании теоремы Кельвина
функции aϕ0(M∗)/r и aΦ0(M∗)/r (функции aϕ0(M∗)/r и aΦ∞(M∗)/r) будут гармониче-
скими в области D(r > a) (в области D(r < a)). Следовательно, будут гармоническими, т.е.
будут удовлетворять в области D уравнению (1.3′), и потенциалы возмущений (2.21) и (2.22).
Подставляя потенциал (2.21) в условие (1.10′), убеждаемся, что на границе σ1, т.е. при
M = M∗ (r = a), оно удовлетворяется тождественно.
Покажем, что потенциал (2.22) удовлетворяет условию (1.11) на границе σ2, т.е. при M =
= M∗ (r = a). Аналогично доказанным представлениям (2.12) имеем
∂Φp(M)
r
+ Φp(M) = ϕ0(M), M ∈ D.
(2.23)
∂r
На сфере справедливы аналогичные (2.13) равенства
∂ϕ0(M)
∂ϕ0(M∗)
∂Φp(M)
∂Φp(M∗)
=-
,
=-
,
M = M∗ (r = a).
(2.24)
∂r
∂r∗
∂r
∂r∗
7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
1248
ПИВЕНЬ
Непрерывно продолжим равенство (2.23) из области D на сферу (r = a). Учитывая пред-
ставления (2.16) и (2.24), находим для потенциала (2.22) на границе σ2, т.е. при M = M∗
(r = a), предельное значение
(
)
(∂ϕ∗(M))+
1
∂Φp(M)
ϕ0(M)
∂ϕ
0
∂f0(M)
∂f(M)
=
a
+ Φp(M)
-
-
=-
-
,
M ∈σ2.
∂r
a
∂r
a
∂r
∂r
∂r
Подставим его в граничное условие (1.11) и убедимся, что это условие тождественно удовлетво-
ряется. Итак, потенциалы (2.21) и (2.22) удовлетворяют граничным условиям, причём всюду
на границах σ1 и σ2 за исключением изолированных особых точек функции f0(M).
Видим, что потенциалы (2.21) и (2.22) возмущений ϕ∗(M) удовлетворяют в бесконечности
условиям (1.14) при K = 1. Подставляя эти потенциалы в представление (1.8), получаем
искомые потенциалы (2.19) и (2.20) течений. Теорема доказана.
Из общих представлений (2.19) и (2.20) вытекают представления для потенциалов в част-
ных случаях расположения источников течения: когда источники имеются либо только вне
границ σ1 и σ2 (f0(M) = 0, ϕ0(M) = f(M)), либо только на границах (f(M) = 0, ϕ0(M) =
= f0(M)).
Применим теоремы 1-4 для исследования конкретных трёхмерных течений в среде с гра-
ницами Γ, σ1 и σ2, моделируемых плоскостью и сферой. Ряд течений с источниками вне
границ изучен в работе [8, с. 375]. Исследуем некоторые течения с источниками, заданными
на границах.
Течение к точечному стоку мощности Q в безграничной среде проницаемости K = 1
характеризует потенциал
Q
√
ϕ0(M) = f0(M) =
(r =
x2 + y2 + z2).
4πr
В случае задачи сопряжения на плоскости x = 0 (y, z ∈ (-∞, ∞)) потенциалы течения в
областях D1(x > 0) и D2(x < 0) среды с проницаемостями k1 и k2 соответственно в силу
представления (2.5), вытекающего из теоремы 1, принимают вид
Q
ϕν (M) =
,
M ∈ Dν, ν = 1,2.
2π(k1 + k2)r
Поле скоростей течения, согласно закону (1.1), имеет только радиальную составляющую
dϕν (M)
Qkν
vνr(M) = kν
=-
,
M ∈ Dν, ν = 1,2,
dr
2π(k1 + k2)r2
а поток жидкости через поверхность σ сферы радиуса r равен (как и должно быть) мощности
стока Q:
∫
∫
∫
∫
2π
Q
dσ
Q
v1 · dσ +
v2 · dσ =
=
dΩ = Q.
2π
r2
2π
σ/2
σ/2
σ/2
0
На основании представлений (2.7) и (2.8) теоремы 2 в области D(x > 0) потенциал ϕ(M)
равен нулю (течение не существует), если плоскость x = 0 - эквипотенциальная граница σ1,
и потенциал ϕ(M) течения к стоку мощности 2Q, когда плоскость x = 0 - непроницаемая
граница σ2, равен Q/(2πr).
Течение в безграничной среде проницаемости K = 1 от диполя, момент которого m ори-
ентирован вдоль оси Ox, характеризует потенциал
√
mx
ϕ0(M) = f0(M) = -
(r =
x2 + y2 + z2).
4πr3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ
1249
Используя представление (2.5), находим потенциалы течения в областях D1(x>0) и D2(x<0)
среды с проницаемостями k1 и k2 соответственно:
2mk2x
2mx
ϕ1(M) = -
,
M ∈ D1, ϕ2(M) = -
,
M ∈D2.
k1(k1 + k2)r3
(k1 + k2)r3
Согласно теореме 2 в области D(x > 0) потенциал течения ϕ(M) от диполя с моментом
2m равен -mx/(2πr3), если плоскость x = 0 - эквипотенциальная граница σ2, и равен
нулю (такого течения нет), когда плоскость x = 0 - непроницаемая граница σ2. В случае
границы σ2(x = 0) существует течение от диполя, момент которого 2m ортогонален оси Ox
(направлен, например, вдоль оси Oy), которое характеризует потенциал ϕ(M) = -my/(2πr3),
M ∈ D(x > 0).
Исследуем теперь течение от стока мощности Q, расположенного на сфере радиуса a с
центром в начале координат. Течение в безграничной среде проницаемости K = 1 описывает
потенциал
√
Q
ϕ0(M) = f0(M) =
(R =
r2 - 2ar cos γ + a2),
4πR
где γ - угол между радиус-векторами ⃗r и ⃗r0 произвольной точки M пространства и точки
M0 расположения стока, отстоящей на расстоянии a от начала координат. Согласно представ-
лению (2.15), вытекающему из теоремы 3, находим потенциалы течения в областях D1(r > a)
и D2(r < a) среды с проницаемостями k1 и k2 соответственно:
∫
1
)
Q
(2
τ(λ-1)/2 dτ
ϕ1(M) =
-λ
,
M ∈D1,
4π(k1 + k2) R
⃗r - τ⃗r0|
0
∫
1
)
Q
(2
τ(λ-1)/2 dτ
ϕ2(M) =
-λ
,
M ∈D2,
4π(k1 + k2) R
|τ⃗r -⃗r0|
0
√
√
где |⃗r - τ⃗r0| =
r2 - 2τracos γ + (τa)2,
|τ⃗r -⃗r0| =
(τr)2 - 2τra cos γ + a2.
На основании представлений (2.19) и (2.20) теоремы 4 находим, что потенциал ϕ(M) равен
нулю (течения нет), когда сфера - эквипотенциальная граница σ1, и что для потенциала
течения в области D(r > a) справедливо равенство
(
∫
1
)
√
)
Q
2
dτ
Q
(2
1
r2 - 2ar cos γ + a2 + a - r cosγ
ϕ(M) =
-
=
-
ln
,
4π
R
⃗r - τ⃗r0|
4π R
a
r(1 - cos γ)
0
когда сфера - непроницаемая граница σ2. Течение в области D(r < a) с границей σ2 невоз-
можно в силу уравнения неразрывности (1.2): условие (1.15) при f(M) = 0 не выполняется.
3. Задачи с произвольными замкнутыми гладкими границами. Рассмотрим общий
случай, когда границы моделируются произвольными замкнутыми гладкими поверхностями
и течение происходит в неоднородной среде. Пусть течение в безграничной среде проницае-
мости K(M) вызвано стоком мощности Q, расположенным в точке M0, и характеризуется
обобщённым потенциалом
f0(M) = QΦ(M,M0).
Здесь Φ(M, M0) - фундаментальное решение уравнения (1.3), являющееся функцией коорди-
нат точки M (M = M0), его можно представить в следующем виде [8, с. 361]:
H1(M,M0)
Φ(M, M0) =
√
+ H2(M,M0),
(3.1)
4π
K(M)K(M0)RMM0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
7∗
1250
ПИВЕНЬ
где RMM0 = |⃗rM -⃗rM0 | - расстояние между точками M и M0, радиус-векторы которых ⃗rM и
⃗
rM0 , а H1(M,M0) и H2(M,M0) - непрерывно дифференцируемые функции по координатам
точек M и M0, причём H1(M0, M0) = 1.
Если область D ограничена сингулярной поверхностью σ0 = σ01
⋃σ02, то согласно фор-
мулам (1.12) функция Φ(M, M0) удовлетворяет условиям
(
)+
∂Φ(M,M0)
Φ+(M,M0) = 0, M ∈ σ01; K(M)
= 0, M ∈ σ02,
(3.2)
∂nM
в которых M0 ∈ σ0. В бесконечности для функции Φ(M, M0) выполняются соотношения
Φ(M, M0) = O(1/RMM0), K(M)|∇Φ(M, M0)| = O(1/R2MM
) при RMM0 → ∞.
(3.3)
0
Фундаментальные решения Φ(M, M0), удовлетворяющие представлениям (3.1)-(3.3), из-
вестны для сред, проницаемости K(M) которых принадлежат достаточно широкому классу
функций [8, с. 354].
Пусть течение вызвано стоком мощности Q, расположенным в точке M0 заданной гладкой
поверхности, а также другими источниками вне поверхности. Течение в среде проницаемости
K(M) характеризует обобщённый потенциал
ϕ0(M) = QΦ(M,M0) + f(M),
(3.4)
в котором сингулярности (изолированные особые точки) функции f(M) лежат вне поверх-
ности. Рассмотрим случаи, когда заданная поверхность моделирует границу Γ раздела сред
разных проницаемостей или непроницаемую границу σ2.
Теорема 5 (сопряжения на произвольной гладкой замкнутой поверхности). Пусть тече-
ние в среде проницаемости K(M) характеризует обобщённый потенциал (3.4). Тогда те-
чение в областях D1 и D2 среды с проницаемостями K1 и K2 соответственно (Kν =
= kνK(M), kν = const, ν = 1,2) характеризуют обобщённые потенциалы ϕ1(M) и ϕ2(M):
kνϕν(M) = QΦ(M,M0) + f(M) +
∫
+ K(M,N)(g(N) + λQΦ(N,M0))dσN , M ∈ Dν, ν = 1,2,
(3.5)
Γ
где функция g(M) - решение интегрального уравнения
∫
g(M) - 2λ K(M, N)g(N) dσN -
Γ
∫
- 2λ2Q K(M, N)Φ(N, M0) dσN = 2λf(M), M ∈ Γ, M = M0,
(3.6)
Γ
в котором λ = (k1 - k2)/(k1 + k2), λ ∈ (-1, 1), функции f(M) и K(M), M ∈ Γ, являются
гладкими, а ядро задаётся равенством K(M, N) = K(N)∂Φ(M, N)/∂nN .
Доказательство. Согласно представлениям (1.9), (3.4) и (3.5) обобщённые потенциалы
течения принимают вид
kνϕν(M) = QΦ(M,M0) + f(M) + ϕ0(M), M ∈ Dν, ν = 1,2,
где ϕ∗(M) - обобщённый потенциал возмущений, обусловленных различием проницаемостей
K1(M) и K2(M) среды в областях D1 и D2 соответственно (D = D1
⋃D2).
Будем искать функцию ϕ∗(M) в виде обобщённого потенциала двойного слоя [8, с. 366]
∫
∂Φ(M,N)
ϕ∗(M) = K(N)
(g(N) + CΦ(N, M0)) dσN , M ∈ D.
(3.7)
∂nN
Γ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ
1251
Здесь g(N) - непрерывная на поверхности Γ функция, а Φ(M, N) и Φ(N, M0) - фундамен-
тальные решения уравнения (1.3) по переменным M ∈ D и N ∈ Γ (N = M0) соответственно,
орт нормали nN ∈ Γ направлен внутрь области D1, C - константа.
Найдём константу C и уравнение для функции g(M), используя условия (1.13). Для этого
непрерывно продолжим обобщённый потенциал (3.7) на поверхность Γ, предполагая, что она
принадлежит классу Ляпунова. Получим предельные значения
∫
∂Φ(M,N)
ϕ±∗(M) = K(N)
(g(N) + CΦ(N, M0)) dσN ±
∂nN
Γ
g(M) + CΦ(M, M0)
±
,
M ∈ Γ, M = M0,
(3.8)
2
где функция Φ(M, M0) имеет при M = M0 ∈ Γ особенность (3.1), а интеграл существует при
M = M0 в смысле главного значения.
Учитывая представления (3.4), (3.8) и непрерывность производной двойного слоя по орту
нормали nM ∈ Γ, получаем равенство
∫
∂Φ(M,N)
g(M) - 2λ K(N)
(g(N) + CΦ(N, M0)) dσN +
∂nN
Γ
+ (C - λQ)Φ(M, M0) = 2λf(M), M ∈ Γ, M = M0.
Это равенство будет тождественно удовлетворяться на всей поверхности Γ, исключая точ-
ку M0 расположения стока, если C = λQ, а функция g(M) удовлетворяет интегральному
уравнению (3.6).
Так как C = λQ, то обобщённый потенциал (3.7) принимает вид
∫
ϕ∗(M) = K(M, N)(g(N) + λQΦ(N, M0)) dσN , M ∈ D,
(3.9)
Γ
где K(M, N) = K(N)∂Φ(M, N)/∂nN .
Слагаемое λQΦ(N, M0)K(M, N) подынтегрального выражения в (3.9) при N → M0 имеет
интегрируемую особенность в силу представления (3.1) для Φ(N, M0), и поэтому интеграл схо-
дится (существует). Следовательно, обобщённый потенциал (3.9) существует. Он удовлетворя-
ет уравнению (1.3), а также условиям (1.12), поскольку Φ(M, N) - фундаментальное решение
этого уравнения, отвечающее условиям (3.2). Так как K(M, N) = O(R-2MN ) при RMN → ∞
согласно условию (3.3), то ϕ∗(M) удовлетворяет в бесконечности условию (1.14).
Подставляя обобщённый потенциал (3.9) в представление (1.9), получаем искомые обобщён-
ные потенциалы (3.5) течения, если функция g(M) удовлетворяет интегральному уравнению
(3.6). Теорема доказана.
Исследуем интегральное уравнение (3.6). Так как поверхность Γ принадлежит классу Ля-
пунова, то для ядра K(M, N) в силу представления (3.1) имеем оценку |K(M, N)| ≤ O(R2-μMN )
при RMN → 0, где μ = (0, 1]. Поэтому первый интеграл в уравнении (3.6) имеет слабую син-
гулярность (типа Фредгольма). На основании представления (3.1) оценим во втором интеграле
в (3.6) подынтегральное выражение
∂Φ(M,N)
K(M, N)Φ(N, M0) = K(N)
Φ(N, M0).
∂nN
При N → M = M0 ∈ Γ имеем оценку |K(M, N)Φ(N, M0)| ≤ A/R3-μ , μ = (0, 1], A = const >MM
0
> 0. Следовательно, второй интеграл в уравнении (3.6) имеет при M = M0 неинтегрируемую
особенность, он определён при M = M0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
1252
ПИВЕНЬ
Таким образом, исследование задачи сопряжения редуцируется к неоднородному сингуляр-
ному интегральному уравнению второго рода, содержащему в качестве слагаемого интеграл с
заданным подынтегральным выражением, который определён при M = M0.
Представление (3.5) задачи сопряжения получено для произвольно заданных источников
течения. В частности, если сток на границе Γ отсутствует (Q = 0), то имеем потенциалы
[8, с. 395]
(
∫
)
1
ϕν (M) =
f (M) +
K(M, N)g(N) dσN
,
M ∈ Dν, ν = 1,2,
kν
Γ
где функция g(M) удовлетворяет интегральному уравнению
∫
g(M) - 2λ K(M, N)g(N) dσN = 2λf(M), M ∈ Γ, M = M0.
Γ
Если на границе Γ имеется только сток мощности Q, а источников вне границы нет (f(M) =
= 0), то
{
∫
}
1
ϕν (M) =
QΦ(M,M0) +
K(M, N)[g(N) + λQΦ(N, M0)] dσN
,
M ∈ Dν, ν = 1,2,
kν
Γ
где функция g(M) удовлетворяет интегральному уравнению
∫
∫
g(M) - 2λ K(M, N)g(N) dσN - 2λ2Q K(M, N)Φ(N, M0) dσN = 0, M ∈ Γ, M = M0.
Γ
Γ
Это уравнение неоднородное, поскольку последнее слагаемое в нём - заданная функция точки
M, определённая при M = M0.
Пусть произвольная гладкая поверхность σ2 моделирует непроницаемую границу области
D течения. В этом случае имеют место вторая внешняя и внутренняя краевые задачи для обоб-
щённого потенциала возмущений ϕ∗(M). Для разрешимости внутренней задачи обобщённый
потенциал (3.4) должен удовлетворять условию (1.15), которое принимает вид
∫
(
)
∂Φ(M,M0)
∂f(M)
K(M) Q
+
dσM = 0.
(3.10)
∂nM
∂nM
σ2
Условие (3.10) означает, что должна быть равна нулю алгебраическая сумма мощностей сто-
ка Q, расположенного на поверхности σ2, и источников, заключённых внутри поверхности,
которые моделируются сингулярностями функции f(M).
Теорема 6. Пусть течение в безграничной среде проницаемости K(M) описывает обоб-
щённый потенциал (3.4), удовлетворяющий условию (3.10) в случае внутренней краевой за-
дачи. Тогда течение в области D с непроницаемой границей σ2 характеризует обобщённый
потенциал
∫
∂Φ(M,N)
ϕ(M) = QΦ(M, M0) + f(M) + K(N)
h(N) dσN ,
(3.11)
∂nN
σ2
где функция h(M) - решение интегрального уравнения
∫
∂Φ(M,M0)
∂f(M)
K(M, N)h(N) dσN = -Q
-
,
M ∈σ2, M =M0,
(3.12)
∂nM
∂nM
σ2
в котором ядро задаётся равенством K(M, N) = K(N)∂2Φ(M, N)/∂nM ∂nN , а орт нормали
n к поверхности σ2 направлен внутрь области D.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЁХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ
1253
Доказательство. Согласно представлениям (1.8) и (3.11) обобщённый потенциал возму-
щений ϕ∗(M) ищем в виде обобщённого потенциала двойного слоя
∫
∂Φ(M,N)
ϕ∗(M) = K(N)
h(N) dσN , M ∈ D,
(3.13)
∂nN
σ2
где h(M) и K(M) - непрерывные на поверхности σ2 функции, Φ(M, N), M = N, - фунда-
ментальное решение уравнения (1.3). Подставим это представление для ϕ∗(M) в условие (1.11)
и учтём заданный обобщённый потенциал (3.4). Учитывая, согласно монографии [11, с. 126,
139], непрерывность производной двойного слоя по орту нормали nM , M ∈ σ2, получаем для
функции h(M) интегральное уравнение
∫
∂2Φ(M,N)
∂Φ(M,M0)
∂f(M)
K(N)
h(N) dσN = -Q
-
,
M ∈σ2, M =M0,
∂nN∂nM
∂nM
∂nM
σ2
которое совпадает с уравнением (3.12).
Обобщённый потенциал (3.13) удовлетворяет уравнению (1.3) и условиям (1.12) и (1.14),
так как Φ(M, N) - фундаментальное решение уравнения (1.3), отвечающее условиям (3.2)
и (3.3). Подставляя обобщённый потенциал (3.13) в представление (1.8), получаем искомый
обобщённый потенциал (3.11). Теорема доказана.
Ядро K(M, N) интегрального уравнения (3.12) имеет согласно представлению (3.1) силь-
ную сингулярность: K(M, N) = O(R-3MN ) при RMN → 0. Поэтому интеграл в уравнении
понимается в смысле конечной части по Адамару [12, с. 143]. Правая часть уравнения содер-
жит непрерывную функцию ∂f(M)/∂nM и слагаемое Q ∂Φ(M, M0)/∂nM = O(R-2
) при
MM0
RMM0 → 0, имеющее особенность при M = M0.
Таким образом, исследование второй краевой задачи редуцируется к неоднородному ги-
персингулярному интегральному уравнению первого рода с сингулярностью в правой части.
Рассмотрим частные случаи расположения заданных источников течения и запишем его
обобщённые потенциалы (3.11). Если на границе σ2 нет стока (Q = 0), то
∫
∂Φ(M,N)
ϕ(M) = f(M) + K(N)
h(N) dσN , M ∈ D,
∂nN
σ2
где функция h(N) удовлетворяет интегральному уравнению
∫
∂f(M)
K(M, N)h(N) dσN = -
,
M ∈σ2, M =M0.
∂nM
σ2
Если на границе σ2 имеется только сток мощности Q, а источников вне границы σ2 нет
(f(M) = 0), то имеем обобщённый потенциал течения в случае внешней задачи
∫
∂Φ(M,N)
ϕ(M) = QΦ(M, M0) + K(N)
h(N) dσN , M ∈ D,
∂nN
σ2
где функция h(N) - решение интегрального уравнения
∫
∂Φ(M,M0)
K(M, N)h(N) dσN = -Q
,
M ∈σ2, M =M0.
∂nN
σ2
Внутренняя краевая задача не имеет решения, так как для неё не выполняется условие (3.10)
при f(M) = 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
1254
ПИВЕНЬ
Решение первой краевой задачи имеет место только в случае, когда на произвольной глад-
кой поверхности σ1 отсутствует сток (Q = 0), оно получено в монографии [8, с. 396].
Заключение. Подводя итоги, отметим, что решения основных задач фильтрации (первая
и вторая краевые задачи, задача сопряжения) представлены в конечном виде для случая ка-
нонических границ (плоскость и сфера) в однородной среде, а в общем случае произвольных
замкнутых гладких границ в неоднородной среде вторая краевая задача и задача сопряжения
редуцированы к гиперсингулярному и сингулярному интегральным уравнениям на границах.
Эти уравнения могут быть решены численным методом дискретных особенностей [1, с. 433].
Представленные теоремами 1-6 исследования - математические модели фильтрационных
процессов в граничных задачах, возникающих на практике, например, при добыче воды (неф-
ти) из природных пластов грунта. Они могут также представлять интерес при изучении про-
цессов иной физической природы (теплопроводность, электропроводность, электро- и магни-
тостатика), которые характеризуются законами, математически аналогичными законам (1.1)
и (1.2).
Автор выражает глубокую благодарность А.В. Сетухе за полезное обсуждение результатов
работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., 1995.
2. Dimitroglo M.G., Setukha A.V., Lifanov I.K. On numerical modelling of a three-dimensional flow past a
wing with external flow suction and on the effect of flow suction on trailing vortices // Rus. J. of Numer.
Anal. and Math. Model. 2004. V. 19. № 2. P. 109-129.
3. Лифанов И.К., Сетуха А.В. О сингулярных решениях некоторых краевых задач и сингулярных
интегральных уравнений // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 9. С. 1227-1241.
4. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М., 1977.
5. Пивень В.Ф., Костин О.В. Фильтрационные течения с источниками на непроницаемых канони-
ческих границах // Тр. Междунар. школ-семинаров “Методы дискретных особенностей в задачах
математической физики”. Вып. 8. Орёл, 2009. С. 92-98.
6. Деткова Ю.В., Никольский Д.Н. Исследование работы водозабора вблизи источника загрязнения,
расположенного на окружности // Тр. Междунар. школ-семинаров “Методы дискретных особенно-
стей в задачах математической физики”. Вып. 8. Орёл, 2009. С. 46-51.
7. Пивень В.Ф. Задачи о плоскопараллельных фильтрационных течениях с источниками на границах
// Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 9. С. 1214-1225.
8. Пивень В.Ф. Теория и приложения математических моделей фильтрационных течений жидкости.
Орёл, 2006.
9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М., 1970.
10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1966.
11. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных инте-
гральных уравнениях и их приложения. М., 2001.
12. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического
типа. М., 1978.
Орловский государственный университет
Поступила в редакцию 10.03.2021 г.
им. И.С. Тургенева
После доработки 12.05.2021 г.
Принята к публикации 08.06.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№9
2021
