ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 9, с.1255-1272

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.72

О СВОЙСТВАХ ПОЛУГРУПП, ПОРОЖДАЕМЫХ

ВОЛЬТЕРРОВЫМИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ

УРАВНЕНИЯМИ С ЯДРАМИ, ПРЕДСТАВИМЫМИ

ИНТЕГРАЛАМИ СТИЛТЬЕСА

Исследуются абстрактные вольтерровы интегро-дифференциальные уравнения с ядрами

интегральных операторов, представимыми интегралами Стилтьеса от экспоненты. При-

меняется подход, основывающийся на изучении однопараметрических полугрупп для ли-

нейных эволюционных уравнений. Приводится метод сведения исходной начальной задачи

для модельного интегро-дифференциального уравнения с операторными коэффициентами

в гильбертовом пространстве к задаче Коши для дифференциального уравнения первого

порядка в расширенном функциональном пространстве. Доказывается существование сжи-

мающей C₀-полугруппы. В качестве следствия для полученной задачи Коши для диффе-

ренциального уравнения первого порядка в расширенном функциональном пространстве

и начальной задачи для исходного абстрактного интегро-дифференциального уравнения

установлена их корректная разрешимость и указана связь между решениями этих задач.

DOI: 10.31857/S0374064121090119

Введение. В работе проводится исследование абстрактного вольтеррова интегро-диф-

ференциального уравнения с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве.

Указанное уравнение является операторной моделью линейного интегро-дифференциального

уравнения в частных производных, возникающего в теории вязкоупругости:

u_tt(x,t) = ρ-1(μΔu(x,t) + 3-1(μ + λ)grad (div u(x,t))) -

∫^t

- K₁(t - τ)ρ-1μ(Δu(x,τ) + 3-1grad (div u(x,τ)))dτ -

∫t

- K₂(t - τ)(3ρ)-1λgrad (div u(x,τ))dτ + f(x,t),

где x = (x₁, x₂, x₃) ∈ R³, t > 0, u = u(x, t) ∈ R³ - вектор малых перемещений вязкоупругой

изотропной среды, заполняющей ограниченную область Ω ⊂ R³ с гладкой границей, ρ > 0 -

постоянная плотность, λ, μ - положительные параметры (коэффициенты Ламе), Δ - опе-

ратор Лапласа по переменным x₁, x₂, x₃ (см. [1-3]). Будем предполагать, что на границе

∂Ω области Ω выполнено нулевое условие Дирихле: u|∂Ω = 0. Функции K₁(t) и K₂(t) ядер

интегральных операторов - положительные невозрастающие суммируемые функции, харак-

теризующие наследственные свойства среды. Предполагается, что функции K_i(t), i = 1, 2,

представимы интегралами Стилтьеса от экспоненты (см. равенство (3)).

В настоящее время имеется обширная литература, посвящённая исследованию вольтерро-

вых интегро-дифференциальных уравнений и связанных с ними задач, возникающих в много-

численных приложениях (см., например, работы [1-19] и библиографию в них).

Представленные в данной работе результаты являются продолжением и развитием исследо-

ваний, опубликованных в работах [12-16], в которых проведён спектральный анализ оператор-

функций, являющихся символами вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений.

Подход к исследованию вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений, основыва-

ющийся на применении теории полугрупп, развивался в работах [9, 15, 17-19].

1255

1256

РАУТИАН

1. Определения. Обозначения. Постановка задачи. Пусть H - сепарабельное гиль-

бертово пространство, A - самосопряжённый положительный, A^∗ = A ≥ κ₀I (κ₀ = const >

> 0), оператор, действующий в пространстве H и имеющий ограниченный обратный. Пусть

B - самосопряжённый неотрицательный оператор, действующий в пространстве H, с обла-

стью определения D(B) такой, что D(A) ⊆ D(B), удовлетворяющий при некотором κ > 0

неравенству ∥Bx∥ ≤ κ∥Ax∥ для любого x ∈ Dom (A), I - тождественный оператор в прост-

ранстве H.

Рассмотрим следующую задачу для интегро-дифференциального уравнения второго по-

рядка на положительной полуоси R₊ = (0, ∞):

∫

d²u(t)

+ (A + B)u(t) - K₁(t - s)Au(s) ds - K₂(t - s)Bu(s) ds = f(t), t ∈ R₊,

(1)

dt²

u(+0) = ϕ₀, u⁽¹⁾(+0) = ϕ₁.

(2)

Предположим, что функция K_i(t), i = 1, 2, имеет следующее представление:

+∞

K_i(t) =

e^-tτ dμ_i(τ), i = 1,2,

(3)

где dμ_i (i = 1, 2) - положительная мера, порождаемая неубывающей непрерывной справа на

R₊ функцией μ_i. Интеграл понимается в смысле Стилтьеса. Кроме того, будем считать, что

выполнены условия

∫

dμ_i(τ)

< 1, i = 1, 2.

(4)

Введём обозначение

+∞

e^-tτ dμ_i(τ)

M_i(t) :=

t ≥ 0, i = 1,2.

(5)

Положим

(

∫

)

(

∫

)

dμ₁(τ)

dμ₂(τ)

A₀ :=

A+ 1-

(6)

Из самосопряжённости положительного оператора A и неотрицательного оператора B, а

также из условий (4) следует, что оператор A₀ является самосопряжённым и положительным.

Отметим, что задачи вида (1), (2) представляют собой операторные модели задач, возни-

кающих в теории вязкоупругости (см. [1, 2]) и теплофизике (см. [7-10]). Результаты о спек-

тральном анализе уравнения (1) в случае, когда ядра K_i(t) представляют собой убывающие

экспоненты, изложены в монографии [12].

Замечание 1. Из свойств операторов A и B и неравенства Гайнца (см. [20, с. 177-178])

следует, что оператор A₀ является обратимым, A-10 - ограниченный оператор, а операторы

Q₁ := A1/2A-1/20 и Q₂ := B1/2A-1/20 допускают ограниченное замыкание в H.

Определение 1. Назовём вектор-функцию u(t) классическим решением задачи (1), (2),

если u(t) ∈ C²(R₊, H), Au(t), Bu(t) ∈ C(R₊, H) и u(t) удовлетворяет уравнению (1) для

каждого значения t ∈ R₊ и начальным условиям (2).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О СВОЙСТВАХ ПОЛУГРУПП

1257

Через Ω_k, k = 1, 2, обозначим пространства L²(R₊, H) вектор-функций на полуоси R₊

со значениями в H, снабжённые нормами

∫

)1/2

∥u∥Ωk =

∥u(s)∥2H dμ_k(s)

2. Сведение исходной задачи к дифференциальному уравнению первого поряд-

ка. Применяя формулу интегрирования по частям к интегралам в левой части уравнения (1),

получаем следующее уравнение:

∫

)

∫

)

d²u(t)

e-(t-s)τ

du(s)

e-(t-s)τ

du(s)

+ A₀u(t) +

dμ₁(τ) A

ds +

dμ₂(τ) B

ds =

dt²

∫

)

e^-tτ

= f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ₀.

(7)

Заметим, что A = A1/20Q∗1Q₁A1/20 и B = A1/20Q∗1Q₁A1/20, поэтому уравнение (7) формально

можно записать в виде

[

∫

)

]

∑

d²u(t)

(∫^t e-(t-s)τ

+A1/2

A1/20u(t) +

ds dμ_k(τ)

= f₁(t),

dt²

√τQk

√τQkA0/2 dds

k=1 0

где

∫

)

e^-tτ

f₁(t) = f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ₀.

(8)

Введём новые переменные

v(t) := u^′(t), ξ₀(t) := A1/20u(t),

∫t

e-(t-s)τ

ξ_k(t,τ) =

ds, t > 0, k = 1, 2, τ ∈ R₊.

√τQkA0/2 dds

В этих переменных задача (1), (2) формально приводится к следующей начальной задаче для

системы дифференциальных уравнений первого порядка:

[

∫

]

∑

dv(t)

dξ₀(t)

+A1/2

ξ₀(t) +

= f₁(t),

= A1/20v(t),

√τQkξ^k(t,τ)dμk(τ)

k=1 0

dξ₁(t, τ)

ξ₂(t,τ)

(9)

√τQ1A0/2v(t)-τξ1(t,τ),d

√τQ2A0/2v(t)-τξ2(t,τ),

где t ∈ R₊, функция f₁(t) определена равенством (8),

v(t)|t=0 = ϕ₁, ξ₀(t)|t=0 = A1/20ϕ₀, ξ_k(t, τ)|t=0 = 0, k = 1, 2.

(10)

Теперь, во-первых, мы должны превратить задачу (9), (10) в начальную задачу в некото-

ром расширенном функциональном пространстве, в котором эта задача будет корректной, во-

вторых, мы должны установить соответствие (не только формальное) между решением задачи

(9), (10) и решением исходной задачи (1), (2).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1258

РАУТИАН

3. Задача Коши в расширенном функциональном пространстве. Формулировка

результатов. Сначала определим оператор τξ(τ), входящий в третье и четвёртое уравнения

системы (9).

Рассмотрим сильно непрерывную мультипликативную полугруппу L_k(t) в пространстве

Ω_k (см. [18, с. 65]): L_k(t)ξ(τ) = e^tτ ξ(τ), ξ(τ) ∈ Ω_k, t ≥ 0, τ ∈ R₊. Известно, что линейный

оператор T_kξ(τ) = τξ(τ) в пространстве Ω_k с областью определения

D(T_k) = {ξ ∈ Ω_k : τξ(τ) ∈ Ω_k}

является генератором полугруппы L_k(t) (см. [18, с. 65]).

Замечание 2. 1) Для любого ξ(τ) ∈ Ω_k при t ≥ 0 справедливо неравенство

∫



(∫∞

)1/2

e-tτ



e-2tτ dμ_k(τ)



dμ_k(τ) ≤

∥ξ(τ)||Ωk .

(11)



√τξ(τ)

2) Для любого ξ ∈ D(T_k) имеет место оценка

|〈τξ(τ), ξ(τ)〉Ωk | ≤ ∥τξ(τ)||Ωk ∥ξ(τ)||Ωk .

(12)

Действительно, достаточно применить неравенство Гёльдера к интегралам в левой части нера-

венств (11), (12).

Введём операторы B_k : H → Ω_k (k = 1, 2), действующие следующим образом:

B_kv =

√τQkv,k=1,2,τ∈R+.

Тогда сопряжённые операторы B^∗k : Ω_k → H (k = 1, 2) запишутся в виде

∞

∫

B^∗kξ(τ) = Q^∗k

√τξ(τ)dμk(τ),k=1,2.

Действительно, для любых v ∈ D(B_k), ξ(τ) ∈ Ω_k справедлива цепочка равенств

+^∞

〈B_kv, ξ(τ)〉Ωk =

√τQkv,ξ(τ)

√τQkv,ξ(τ)dμk(τ)=H

Ω_k

∫

= v,Q^∗k

= 〈v, B^∗kξ(τ)〉_H .

√τξ(τ)dμk(τ)

Введём гильбертово пространство H = H

^⊕H^⊕(⊕2k=1Ω_k) с естественным скалярным

умножением; в частности, снабжённое нормой

∑

∥(v, ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ))∥2H = ∥v∥2H + ∥ξ₀∥2H +

∥ξ_k(τ)∥^2Ω

τ ∈R₊,

k=1

которое будем называть расширенным функциональным пространством.

В пространстве H зададим линейный оператор A с областью определения

{

∫

D(A) = (v, ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ)) ∈ H : v ∈ H1/2, ξ₀ + Q^∗

√τξk(τ)dμk(τ)∈H1/2,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О СВОЙСТВАХ ПОЛУГРУПП

1259

}

ξ_k(τ) ∈ D(T_k), k = 1,2

= {(v, ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ)) ∈ H : v ∈ H1/2, ξ₀ + B^∗kξ_k(τ) ∈ H1/2, ξ_k(τ) ∈ D(T_k), k = 1, 2},

действующий следующим образом:

A(v, ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ))^т =

(

[

∫

]

∑

)т

-A1/2

ξ₀ +

Q^∗

√τξk(τ)dμk(τ),A0/2v,QkA0/2√τv-τξk(τ),k=1,2

k=1

(

[

]

)т

∑

1/2

-A1/2

ξ₀ +

B^∗kξ_k(τ) , A

v, B_kA1/20v - T_kξ_k(τ), k = 1,2

k=1

Таким образом, оператор A можно представить в виде следующей операторной матрицы:

⎛

⎞

-A1/20

-A1/20B∗1

-A¹

B∗2

⎜

1/2

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝B1A1/20

-T₁

⎠

B₂A1/2

-T₂

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

A1/20

-I

-B∗1

-B∗2

A1/20

⎜₀

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝₀

⎠

B₁

-T₁

⎝₀

⎠,

B₂

-T₂

где I - тождественный оператор в соответствующем пространстве.

Введём четырёхкомпонентные векторы вида

Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), ξ₂(t, τ)) ∈ H, z = (v₀, ξ₀₀, ξ₁₀(τ), ξ₂₀(τ)) ∈ H.

Теперь мы можем записать систему (9), (10) в виде дифференциального уравнения первого

порядка в расширенном функциональном пространстве. Рассмотрим следующую задачу Коши

в пространстве H:

Z(t) = AZ(t),

(13)

Z(0) = z.

(14)

Определение 2. Вектор-функция Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), ξ₂(t, τ)), t ∈ [0, ∞), принима-

ющая значения в пространстве H, называется классическим решением задачи (13), (14), если

она принадлежит классу C¹(R₊, D(A))

^⋂C([0,∞),D(A)) при любом τ ∈ R₊ и удовлетворяет

уравнению (13) и начальному условию (14).

Определение 3 [20]. Линейный оператор A c областью определения, плотной в гильбер-

товом пространстве, называется диссипативным, если Re (Ax, x) ≤ 0 для любого x ∈ D(A)

и максимально диссипативным, если он диссипативен и не имеет нетривиальных диссипатив-

ных расширений.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4). Тогда оператор A в пространстве H с плот-

ной областью определения D(A) является максимально диссипативным.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4). Тогда линейный оператор A является генера-

тором сжимающей C₀-полугруппы S(t) = etA в пространстве H, при этом решение задачи

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1260

РАУТИАН

(13), (14) представимо в виде Z(t) = S(t)z, t > 0, и для любого z ∈ D(A) справедливо

энергетическое равенство

∫

)

∥S(t)z∥2H = -2

τ ∥ξ₁(t, τ)∥2H dμ₁(τ) +

τ ∥ξ₂(t, τ)∥2H dμ₂(τ)

(15)

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения

Z(t) = AZ(t) + F (t),

(16)

Z(0) = z.

(17)

Будем предполагать, что вектор-функция F (t) имеет вид F (t) := (f₁(t), 0, 0, 0), где f₁(t) =

= f(t) - (M₁(t)A + M₂(t)B)ϕ₀, а функции M_k(t), k = 1,2, определяются равенствами (5),

вектор z имеет вид z = (ϕ₁, A1/20ϕ₀, 0, 0).

Теорема 3. Пусть выполнены условия (4) и любое из следующих условий:

1) вектор-функция A1/20f(t) принадлежит пространству C([0, ∞), H), а векторы ϕ₀ и

ϕ₁ - пространствам H3/2 и H1/2 соответственно;

2) вектор-функция f(t) принадлежит пространству C¹([0, ∞), H), функции M_k(t) -

пространству C¹([0,+∞)), k = 1,2, а векторы ϕ₀ и ϕ₁ - пространствам H₁ и H1/2

соответственно.

Тогда задача (16), (17) имеет единственное классическое решение

Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), ξ₂(t, τ)),

где v(t) := u^′(t), ξ₀(t) := A1/20u(t), u(t) - классическое решение задачи (1), (2), и справедлива

оценка

E(t) :=

(∥u^′(t)∥2H + ∥A1/20u(t)∥2H ) ≤¹∥Z(t)∥2H ≤

[

(∫t

)₂]

≤ d (∥ϕ₁∥2H + ∥A1/20ϕ₀∥2H) +

∥f(s) - (M₁(s)A + M₂(s)B)ϕ₀∥_H ds

(18)

с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f, и векторов ϕ₀, ϕ₁.

Преобразование Лапласа сильного решения задачи (1), (2) с нулевыми начальными усло-

виями u(+0) = 0, u⁽¹⁾(+0) = 0 имеет представление

û(λ) = L-1(λ

f (λ). Здесь оператор-

функция L(λ) является символом уравнения (1) и имеет следующий вид:

L(λ) = λ²I + A + B

K₁(λ)A

K₂(λ)B,

(19)

в котором

K_i(λ), i = 1,2, - преобразования Лапласа функций K_i(t), i = 1,2, соответственно,

имеющие представления

+∞

dμ_i(τ)

K_i(λ) =

i = 1,2,

λ+τ

f (λ) - преобразование Лапласа вектор-функции f(t), I - тождественный оператор в прост-

ранстве H.

Определение 4. Множество значений λ ∈ C называется резольвентным множеством

ρ(L) оператор-функции L(λ), если для любого λ ∈ ρ(L) оператор-функция L-1(λ) суще-

ствует и ограничена. Множество σ(L) = C\ρ(L) называется спектром оператор-функции

L(λ).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О СВОЙСТВАХ ПОЛУГРУПП

1261

Обозначим через σ(A), σ(T) спектры операторов A и T соответственно.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (4). Тогда σ(A)\σ(T) ⊆ σ(L), невещественная

часть спектра оператора A совпадает с невещественной частью спектра оператор-функции

L и симметрична относительно вещественной оси.

Структура и локализация спектра оператор-функции L(λ) изучалась в работах [13, 14].

4. Доказательство теорем 1 и 2. Для доказательства теорем 1 и 2 будем использовать

следующие две хорошо известные теоремы из монографии [20, с. 109-110].

Теорема 4.3 [20]. Всякий диссипативный оператор допускает расширение до максималь-

но диссипативного оператора. Диссипативный оператор A является максимально диссипа-

тивным тогда и только тогда, когда для любого λ ∈ C с положительной вещественной

частью область значений R(A - λI) оператора A - λI совпадает со всем пространством.

Через B(H₁, H₂), где H_i - банаховы пространства, i = 1, 2, будем обозначать банахову

алгебру всех линейных ограниченных операторов из H₁ в H₂. В частности, если H₁ = H₂,

то алгебру B(H₁, H₂) обозначаем через B(H₁).

Теорема 4.5 [20]. Для того чтобы задаче Коши для уравнения x = Ax c замкнутым опе-

ратором A в гильбертовом пространстве отвечала сжимающая C₀-полугруппа, необходимо

и достаточно, чтобы оператор A был максимально диссипативным оператором.

Доказательство теоремы 1. Покажем, что для оператора A справедливы следующие

утверждения:

1) Неравенство Re 〈AZ, Z〉_H ≤ 0 справедливо для любого Z ∈ D(A).

2) Образ отображения (A - λI) : D(A) → H совпадает с пространством H для любого λ с

положительной вещественной частью. Здесь I - тождественный оператор в пространстве H.

Тогда, по теореме 4.3 [20], оператор A будет максимально диссипативным.

Докажем утверждение 1). Действительно, по определению оператора A имеем

[

]

∑

〈AZ, Z〉_H = - A1/20 ξ₀ + B^∗kξ_k(τ) , v

+ 〈A1/20v, ξ₀〉_H +

〈B_kA1/20v, ξ_k(τ)〉

Ω_k

k=1

[

]

∑

〈τξ(τ), ξ(τ)〉Ωk = - A1/2

ξ₀ +

B^∗kξ_k(τ) ,v

+ 〈ξ₀, A1/20v〉_H +

k=1

[

]

∑

〈B^∗kξ_k(τ), A1/20v〉_H -

〈τξ(τ), ξ(τ)〉Ωk = - A1/2

ξ₀ +

B^∗kξ_k(τ) ,v

k=1

[

]

∑

+ A1/20 ξ₀ + B^∗kξ_k(τ) ,v

〈τξ(τ), ξ(τ)〉

Ω_k

k=1

H k=1

∑

= -2iIm〈A1/20[ξ₀ + A1/20B^∗kξ_k(τ)],v〉_H -

〈τξ(τ), ξ(τ)〉

Ω_k

k=1

Отсюда следует, что

∫

∑

Re〈AZ,Z〉_H = -

〈τξ_k(τ), ξ_k(τ)〉

τ ∥ξ_k(τ)∥2H dμ_k(τ) ≤ 0.

(20)

Ω_k

k=1

k=1 0

Для доказательства утверждения 2) покажем, что оператор (A - λI) непрерывно обратим

на пространстве H и (A-λI)-1 ∈ L(H) для любого λ с положительной вещественной частью.

Для этого нам понадобится следующее непосредственно проверяемое предложение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1262

РАУТИАН

Предложение 1. Пусть

H_k (k = 1,2) - гильбертовы пространства. Предположим,

что A-111 ∈ B(H1), A-122 ∈ B(H2), A₁₂ ∈ B(H2,H1), A₂₁ ∈ B(H1,H2), D₁ := A₁₁ - A₁₂A-122A₂₁,

H₁

D-11 ∈ B(H1), и рассмотрим определённый на пространстве

^⊕ H₂ линейный оператор

(

)

A₁₁

A₁₂

A₂₁

A₂₂

Тогда оператор

A-¹ принадлежит пространству B(H1 ⊕ H₂).

Доказательство. Если выполнены условия предложения 1, то несложно проверить, что

справедливо представление (факторизация типа Шура-Фробениуса, см. [21, § 1.6])

(

)-1

[(

)(

)]-1

A₁₁

A₁₂

I A₁₂A-122

D₁

A-1 =

A₂₁

A₂₂

A-122A₂₁

(

)

D-11

-D-11A₁₂A-122

∈ L( H1

^⊕ H₂).

(21)

−A-122A₂₁D-11 A-122[I + A₂₁D-11A₁₂A-122]

Это и доказывает предложение 1.

Введём гильбертово пространство H₀ = H

^⊕(⊕2k=1Ω_k) и следующие операторы:

B :=

= (I, B₁, B₂)^т : H → H₀, B^∗ := (I, B∗1, B∗2) : H₀ → H и T : H₀ → H₀, где

⎛

⎞

T = ^⎝0

T₁

⎠_.

(22)

T₂

Оператор A - λI представим в виде следующего произведения:

⎛

⎞

-λI

-A1/20

-A1/20B∗1

-A¹

B∗2

⎜

1/2

⎟

⎜

-λI

⎟

A - λI =

⎜

⎟

⎝B₁A1/20

-T₁ - λI

⎠

B₂A1/20

-T₂ - λI

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

A1/20

-λA-10

-I

-B∗1

-B∗2

A1/20

⎜₀

⎟

⎜

⎟

⎜

-λI

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝₀

0⎠

B₁

-T₁ - λI

⎝₀

0⎠=

B₂

-T₂ - λI

=: A₀A₁(λ)A₀.

(23)

Применяя обозначения предложения 1 к оператор-функции A₁(λ), будем иметь

H₁

= H,

H =H1 ⊕ H₂ = H ⊕H₀, где A₁₁ := -λA-10, A₁₂ := (-I,-B∗1,-B∗2), A₂₁ := (I,B₁,B₂)^т,

⎛

⎞

-λI

A₂₂ =^⎝ 0

-T₁ - λI

⎠_.

-T₂ - λI

Тогда для всех λ = 0, λ = -τ, τ ∈ R₊ справедливы следующие равенства:

⎞

^⎛-λ-1I

⎠₌ ⎝

A-122 = ⎝

-(T₁ + λI)-1

-(τ + λ)-1I

⎠,

-(T₂

+ λI)-1

-(τ + λ)-1I

A₁₂A-122 = (λ-1I,B∗1(T₁ + λI)-1,B∗2(T₂ + λI)-1),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О СВОЙСТВАХ ПОЛУГРУПП

1263

A-122A₂₁ = (-λ-1I,-(T₁ + λI)-1B₁,-(T₂ + λI)-1B₂)^т,

∑

D₁ = A₁₁ - A₁₂A-122A₂₁ = -λA-10 - λ-1I - B^∗k(T_k + λI)-1B_k =

k=1

∫

∑

dμ_k(τ)

= -λA-10 - λ-1I -

Q^∗kQ_k =

τ (λ + τ)

k=1 0

[

∫

)

∫

) ]

dμ₁(τ)

dμ₂(τ)

= -λ-1A-1/20 λ² + A₀ +

A+

B A-1/20 =

λ+τ

[

(

∫

∞

)

(

∫

∞

)

dμ₁(τ)

dμ₂(τ)

= -λ-1A-1/20 λ² +

A+

B+

∫

)

∫

) ]

dμ₁(τ)

dμ₂(τ)

A+

B A-1/20 =

λ+τ

[

∫

]

dμ₂(τ)

= -λ-1A-1/20 λ² + A + B -dμ1(τ)A-

B A-1/20 =

λ+τ

= -λ-1A-1/20L(λ)A-1/20 =: M(λ),

(24)

где L(λ) - оператор-функция (19).

Покажем, что для оператор-функции A₁(λ) при всех λ ∈ C таких, что Re λ > 0, выпол-

нены условия предложения 1.

Лемма 1. В принятых выше обозначениях справедливы следующие утверждения:

а) для всех λ ∈ C таких, что Re λ > 0, оператор-функция M-1(λ) принадлежит прост-

ранству B(H);

б) для всех λ = 0, λ = -τ, где τ ∈ R₊, выполняется включение

⎞

^⎛-λ-1I

−(T + λ)-1 := ⎝

-(T₁ + λI)-1

⎠∈B(H0);

-(T₂

+ λI)-1

в) имеют место включения B^∗ = (I, B∗1, B∗2) ∈ B(H₀, H) и B = (I, B₁, B₂)^т ∈ B(H, H₀).

Доказательство. Заметим, что для всех λ с положительной вещественной частью в силу

условия (4) справедлива следующая оценка:

+^∞

∫

dμ_k(τ)

(Re λ + τ) dμ_k(τ)

dμ_k(τ)

≤

k = 1,2.

(25)

τ (λ + τ)

τ |λ + τ|²

τ |λ + τ|

|λ|

Докажем утверждение а). Согласно определению оператор-функции в (24) имеем

∑

M (λ) := -λA-10 - λ-1I - B^∗k(T_k + λI)-1B_k.

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1264

РАУТИАН

Следовательно, для всех λ таких, что Re λ > 0, с учётом оценки (25) выполняется следующая

цепочка неравенств:



∑



|(M(λ)v, v)|_H

∥M(λ)v∥_H ≥



λ(A-10v, v)_H -

(v, v)_H -

(B^∗k(τ + λ)-1B_kv, v)_H

^-

≥

∥v∥_H

k=1

(

∫

)

∑

dμ_k(τ)

≥

Reλ(A-1/20v,A-1/20v)_H +Reλ(v, v)H +

(Q_kv, Q_kv)_H

∥v∥_H

|λ|²

τ (λ + τ)

k=1

(

∫

)

∑

∥A-1/20v∥2H

Reλ

dμ_k(τ) ∥Qkv∥2H

Re λ

= ∥v∥_H Re λ

+ Re

≥ ∥v∥_H

∥v∥2H

|λ|²

τ (λ + τ)

∥v∥2H

|λ|²

k=1

б) Покажем, что для всех λ таких, что λ = 0, λ = -τ, где τ ∈ R₊, оператор T(λ) принад-

лежит пространству B(H₀). Действительно, для любого вектора Z₀ = (ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ))^т ∈ H₀

справедлива оценка

∥T(λ)Z₀||H0

∥(λ-1ξ₀, (τ + λ)-1ξ₁(τ), (τ + λ)-1ξ₂(τ))||H0

∥Z₀||H0

∥(ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ))||H0

(

∫

)(

∫

∑

)-1

∥ξ_k(τ)∥2H dμ_k(τ)

|λ|-2∥ξ₀∥2H +

∥ξ₀∥2H +

∥ξ_k(τ)∥2H dμ_k(τ)

≤

|λ + τ|

|λ|²

k=1 0

в) Для любого вектора Z₀ = (ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ))^т ∈ H₀ получаем



∫



(

∫



∑

²

∑

)-1

∥(I, B∗1, B∗2)Z₀∥2H

ξ_k(τ)



0 +

Q^∗

∥ξ₀∥2H +

∥ξ_k(τ)∥2H dμ_k(τ)

≤

ξ



∥Z₀∥²

√τdμk(τ)

H₀

k=1

k=1 0

(

∫

)₂)(

∫

∑

)-1

∥Q^∗ξk(τ)∥H

≤ 2 ∥ξ₀∥2H +

dμ_k(τ)

∥ξ₀∥2H +

∥ξ_k(τ)∥2H dμ_k(τ)

≤

√τ

k=1

k=1 0

(

∫

))(

∫

∑

)-1

dμ_k(τ)

≤ 2 ∥ξ₀∥2H+

∥Q^∗kξ_k(τ)∥2H dμ_k(τ)

∥ξ₀∥2H +

∥ξ_k(τ)∥2H dμ_k(τ)

≤

k=1

k=1 0

(

∫

)(

∫

)-1

∑

≤ 2 ∥ξ₀∥2H +

∥Q^∗k∥²

∥ξ_k(τ)∥2H dμ_k(τ)

∥ξ₀∥2H +

∥ξ_k(τ)∥2H dμ_k(τ)

≤

k=1

k=1 0

≤ 2max{1,∥Q₁∥2H,∥Q₂∥2H}.

Для любого вектора v ∈ H, учитывая ограниченность операторов Q_k, k = 1, 2, имеем

(

∫

)

∥(I, B₁, B₂)^тv∥2H

∑

dμ_k(τ)

∥v∥2H +

∥Q_k∥2H ∥v∥²

≤1+

∥Q_k∥2H .

∥v∥2H

∥v∥²

k=1

k=1 0

Лемма 1 доказана.

Из леммы 1 следует, что для оператора A₁(λ) при Re λ > 0 выполнены условия пред-

ложения 1 и, следовательно, оператор (A - λI)-1 принадлежит пространству B(H). Таким

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О СВОЙСТВАХ ПОЛУГРУПП

1265

образом, при Re λ > 0 область значений R(A - λI) совпадает с пространством H и, следо-

вательно, оператор A является максимально диссипативным в этом пространстве. Теорема 1

доказана.

Доказательство теоремы 2. Утверждение теоремы 2 следует из [20, теорема 4.5] и тео-

ремы 1. Пусть z ∈ D(A). Тогда S(t)z ∈ D(A) для любого t > 0 и из (13) следует равенство

∥S(t)z∥2H = 2Re 〈AS(t)z, S(t)z〉_H.

С другой стороны, согласно (20) получаем

∑

Re〈AZ,Z〉_H = -

〈τξ_k(τ), ξ_k(τ)〉

Ω_k

k=1

откуда следует энергетическое равенство (15). Теорема 2 доказана.

5. Доказательство теоремы 3. В этом пункте работы будем использовать определения

и утверждения из монографии [20, гл. 1, § 1.2].

Определение 5. Пусть A - линейный оператор в банаховом пространстве H, имеющий

всюду плотную в этом пространстве область определения D(A). Задача Коши

Z(t) = AZ(t),

(26)

Z(0) = z

(27)

называется корректной (равномерно корректной), если

1) для любого z ∈ D(A) существует единственное решение задачи (26), (27);

2) это решение непрерывно зависит от начальных данных в следующем смысле: если по-

следовательность (Z_n(0))n∈N ⊂ D(A) сходится к нулю, то и последовательность (Z_n(t))n∈N

соответствующих решений сходится к нулю при каждом t ∈ [0, T ] (равномерно по t ∈ [0, T ])

на любом конечном отрезке [0, T ].

Замечание. Если задача Коши (26), (27) порождает сжимающую полугруппу в простран-

стве H, то эта задача равномерно корректна.

В дальнейшем будут использоваться следующие результаты из [20, гл. 1, §§ 1, 6].

Теорема 1.1 [20]. Если задача Коши (26), (27) корректна, то её решение даётся формулой

Z(t) = S(t)z (z ∈ D(A)), где S(t) - сильно непрерывная при t > 0 полугруппа операторов.

Теорема 6.5 [20]. Если задача Коши (26), (27) равномерно корректна, то формула

∫^t

Z(t) = S(t)z + S(t - p)F (p) dp

(28)

даёт решение задачи Коши для неоднородного уравнения

Z(t) = AZ(t) + F (t),

Z(0) = z,

где z ∈ D(A) и вектор-функция F (t) удовлетворяет одному из следующих двух условий:

1) множество значений функции F(t), t ≥ 0, содержится в множестве D(A), а функ-

ция AF (t) принадлежит классу C([0, ∞), H);

2) функция F (t) принадлежит классу C¹([0, +∞), H).

Доказательство теоремы 3. Задача Коши (16), (17), записанная покоординатно, имеет

вид (9), (10). Рассмотрим последние два уравнения системы (9). Применим к этим уравнениям

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

8^∗

1266

РАУТИАН

метод вариации произвольных постоянных. По определению операторов T_kξ(τ) = τξ(τ), k =

= 1, 2, где D(T_k) = {ξ ∈ Ω_k : τξ ∈ Ω_k}, соответствующие однородные уравнения имеют вид

dξ_k(t, τ)

= -T_kξ_k(t,τ).

Следовательно, общие решения однородных уравнений могут быть записаны в виде ξ^Ok(t, τ) =

= e-tTkC_k(τ), где C_k(τ) ∈ Ω_k - произвольные векторы. Применяя формулу (28) для решения

неоднородных уравнений при условии

ξ_k(t,τ)|t=0 = 0, τ ∈ R₊,

получаем

∫t

∫

ξ_k(t,τ) = e-(t-s)Tk

√τQkA0/2v(s)ds=e-(t-s)τ

√τQkA0/2v(s)ds.

Из первого уравнения системы в соответствии с областью определения оператора A имеем

∞

∫

∑

ξ₀(t) +

(29)

√τQkξ^k(t,τ)dμk(τ)∈D(A0/2)^.

k=1 0

Подставляя найденные выражения для ξ_k(t, τ) в (29), получаем

∫

∞

∫

∑

A1/20v(s) ds + A1/20ϕ₀ +

e-(t-s)τ

√τQk

√τQkA0/2v(s)dsdμk(τ)=

k=1 0

∫t

[

∫

)

]

∑

e-(t-s)τ

A1/20 +

dμ_k(τ) Q^∗kQ_kA1/2

v(s) ds + A1/20ϕ₀ ∈ D(A1/20).

k=1

Согласно условиям теоремы 3 либо ϕ₀ ∈ H3/2, ϕ₁ ∈ H1/2, либо ϕ₀ ∈ H₁, ϕ₁ ∈ H1/2. Таким

образом, z = (ϕ₁, A1/20ϕ₀, 0, 0) ∈ D(A), т.е. выполнено условие теоремы 6.1 из [20]. Следова-

тельно,

∫

[

∫

)

]

∑

e-(t-s)τ

A1/20 +

dμ_k(τ) Q^∗kQ_kA1/2

v(s) ds ∈ D(A1/20).

k=1

Итак, задача (16), (17), согласно теореме 6.1, является равномерно корректной и справедлива

оценка

(

∫

)

∥Z(t)∥_H ≤ d

∥z∥_H +

∥F (s)∥_H ds

(30)

с постоянной d, не зависящей от вектор-функции F и векторов ϕ₀, ϕ₁. Оценка (30) следует

из формулы (28), применённой к задаче (16), (17), в обозначениях теоремы 3, так как Z(t) =

= S(t)z, где полугруппа S(t) является сжимающей согласно теореме 1.

Покажем, что v(t) := u^′(t), ξ₀(t) := A1/20u(t), где u(t) - классическое решение задачи

(1), (2). Рассмотрим вектор-функцию

∫

[

∫

)

]

∑

e-(t-s)τ

-A1/20

A1/20 +

dμ_k(τ) Q^∗kQ_kA1/2

v(s) ds =

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О СВОЙСТВАХ ПОЛУГРУПП

1267

∫^t

[

∫

)

]

∑

e-(t-s)τ

= -A₀

A-1/2

I+

dμ_k(τ) Q^∗Qk A1/20v(s) ds, t > 0.

(31)

k=1

Из (31) следует включение

∫

[

∫

)

]

∑

e-(t-s)τ

A-1/2

I+

dμ_k(τ) Q^∗Qk A1/20v(s) ds ∈ D(A0).

k=1

Введём обозначение

∫

)

]

[₂∑

e^-tτ

R(t) := A-1/20

dμ_k(τ) Q^∗Qk A1/20, t > 0.

k=1

Тогда вектор-функцию в (31) можно записать в виде

∫

v(s) ds + R(t - s)v(s) ds =: y(t) ∈ D(A₀).

(32)

∫t

После интегрирования по частям в (32) и введения новой вектор-функции w(t) =

v(s) ds

получаем следующее интегральное уравнение Вольтерры второго рода:

∫t

(I + R(0))w(t) + R^′(t - s)w(s) ds = y(t), y(t) ∈ C(R₊; H₁),

(33)

где

∫

)

∑

R^′(t) = -A-1/20

e^-tτ dμ_k(τ) Q^∗kQ_kA1/20 =

k=1

∫

)

∫

)

= - e^-tτ dμ₁(τ) A-10A -

e^-tτ dμ₂(τ) A-10B,

∫

)

]

∫

)

∫

)

[₂∑

dμ_k(τ)

dμ₁(τ)

dμ₂(τ)

R(0) = A-1/20

Q^∗

Q_k A1/20 =

A-10A +

A-10B.

k=1

Покажем, что оператор-функция R^′(t) принадлежит пространству C(R₊; B(H₁)). Дейст-

вительно, для любого z ∈ H₁



∫

)

∫

) ]



∥R^′(t)z∥H1 =^

e^-tτ dμ₁(τ) A +

e^-tτ dμ₂(τ) B A-10(A₀z)

≤



∫

)

∫

)



≤

e^-tτ dμ₁(τ) AA-10 +

e^-tτ dμ₂(τ) BA-10

∥z∥H1 ≤



∫

)

∫

)

]

≤

e^-tτ dμ₁(τ) ∥AA-10∥H +

e^-tτ dμ₂(τ) ∥BA-1∥H ∥z∥H1 .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1268

РАУТИАН

Таким образом, R^′(t) ∈ B(H₁). Кроме того, для любых t₁, t₂ > 0 справедливо неравенство

∥R^′(t₁) - R^′(t₂)∥H1 ≤

∫

)

∫

)

≤

(e-t1τ - e-t2τ ) dμ₁(τ)

∥A-10A∥_H +

(e-t1τ - e-t2τ ) dμ₂(τ)

∥A-10B∥_H .

Следовательно, оператор-функция R^′(t) принадлежит пространству C(R₊; B(H₁)). Из урав-

нения (33) вытекает, что

(

∫

)

w(t) = (I + R(0))-1 y(t) - R^′(t - s)w(s) ds

=: Sw(t),

где оператор S : H₁ → H₁. Покажем, что ∥S∥C(R+;L(H₁)) < 1.

Утверждение. Для любых w₁(t), w₂(t) ∈ H₁ при t ∈ R₊ имеет место следующая оценка:

sup∥Sw1(t) - Sw2(t)∥H1 ≤ κ sup ∥w1(t) - w2(t)∥H1 ,

t≥0

где κ = ∥A₀R(0)A-10∥_H ∥I + A₀R(0)A-10∥-1H < 1.

Действительно, для любых w₁(t), w₂(t) ∈ H₁ при t > 0 справедлива оценка

∫



∥Sw₁(t) - Sw₂(t)∥H1 ≤ ∥(I + R(0))-1∥H1 

R^′(t - s)(w₁(s) - w₂(s))ds



H₁

Далее, для любого z ∈ H₁ получаем

∥(I + R(0))-1z∥H1 = ∥A₀(I + R(0))-1A-10(A₀z)∥_H ≤



∫

)

∫

)



dμ₁(τ)

dμ₂(τ)

-¹



≤ I +

AA-10 +

BA-10

∥z∥H1 = ∥(I + A₀R(0)A-10)∥-1∥z∥H1 .



Следовательно, ∥(I + R(0))-1∥H1 ≤ ∥(I + A₀R(0)A-10)∥-1H, так как операторы AA-10 и BA-10

принадлежат пространству B(H) и положительны. Аналогично для любых w₁(t), w₂(t) ∈ H₁

при t > 0 получаем

∫



∫



sup

R^′(t - s)(w₁(s) - w₂(s))ds

= sup

R^′(t - s)A-10A₀(w₁(s) - w₂(s))ds

≤



^A



t≥0

H₁

t≥0



∫



≤ sup

R^′(t - s)A-10 ds

up∥w1(s) - w2(s)∥H1 ≤ ∥A0R(0)A-10∥H sup ∥w1(s) - w2(s)∥H1 .

A

 s

t≥0

H t≥0

t≥0

Поэтому уравнение (33) имеет решение w(t) ∈ C([0, +∞), H₁) и v(t) ∈ D(A₀).

Вернёмся к первому уравнению системы (9) и воспользуемся тем, что v(t) ∈ D(A₀). Спра-

ведлива следующая цепочка равенств:

[

∫

]

(∫∞

∫

∞

)

∑

e^-tτ

-A1/20 ξ₀(t) +

Q^∗

+ f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ₀ =

√τξk(t,τ)dτ

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О СВОЙСТВАХ ПОЛУГРУПП

1269

[∫t

∫

]

∑

e-(t-s)τ

= -A1/20

A1/20v(s) ds + A1/20ϕ₀ +

Q^∗

Q_kA1/20v(s)ds dμ_k(τ) +

k=1

∫

∞

)

e^-tτ

+f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ₀ =

[∫t

∫

]

e-(t-s)τ

= - A₀v(s)ds + A₀ϕ₀ +

Av(s) ds dμ₁(τ) +

Bv(s)ds dμ₂(τ)

∫

∞

)

e^-tτ

+ f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ₀.

(34)

Производя замену переменной v(t) := u^′(t) в выражении (34) и применяя формулу интегри-

рования по частям, получаем

[∫t

∫

]

e-(t-s)τ

− A₀u^′(s)ds + A₀ϕ₀ +

Au^′(s) ds dμ₁(τ) +

Bu^′(s)ds dμ₂(τ)

(∫∞

∫

∞

)

e^-tτ

+ f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ₀ =

[

∫

]

e-(t-s)τ

= - A₀u(t) +

dμ₁(τ)Au^′(s) ds +

dμ₂(τ)Bu^′(s) ds

(∫∞

∫

∞

)

e^-tτ

+ f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ₀ =

∫

)



∫

e-(t-s)τ

^t



= -A₀u(t) -

dμ₁(τ) Au(s)

e-(t-s)τ dμ₁(τ)Au(s)ds -



∫

)



∫

e-(t-s)τ

^t



dμ₂(τ) Bu(s)

e-(t-s)τ dμ₂(τ)Bu(s)ds +



(∫∞

∫

∞

)

e^-tτ

+ f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ₀ =

∫

)

∫

)

∫

dμ₁(τ)

e^-tτ

= -A₀u(t) -

Au(t) +

dμ₁(τ) Au(0) +

e-(t-s)τ dμ₁(τ)Au(s)ds -

∫

)

∫

)

∫

dμ₂(τ)

e^-tτ

Bu(t) +

dμ₂(τ) Bu(0) +

e-(t-s)τ dμ₂(τ)Bu(s)ds -

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1270

РАУТИАН

∫

)

∫

)

∫

dμ₁(τ)

e^-tτ

Au(t) +

dμ₁(τ) Aϕ₀ +

e-(t-s)τ dμ₁(τ)Au(s)ds -

∫

)

∫

)

∫

dμ₂(τ)

e^-tτ

Bu(t) +

dμ₂(τ) Bϕ₀ +

e-(t-s)τ dμ₂(τ)Bu(s)ds +

(∫∞

∫

∞

)

e^-tτ

+ f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ₀ =

∫t

∫

= -(A + B)u(t) + K₁(t - s)Au(s)ds + K₂(t - s)Bu(s)ds + f(t).

Таким образом, первое уравнение системы (9) совпадает с интегро-дифференциальным

уравнением (1):

∫

d²u(t)

= -(A + B)u(t) + K₁(t - s)Au(s)ds + K₂(t - s)Bu(s)ds + f(t), t ∈ R₊,

dt²

с начальными условиями u(+0) = ϕ₀, u⁽¹⁾(+0) = ϕ₁. Следовательно, u(t) - классическое

решение задачи (1), (2). Более того, выполнение условий теоремы 3 обеспечивает выполнение

условий теоремы 6.5 [20], а тогда оценка (18) следует из оценки (30). Теорема 3 доказана.

6. Доказательство теоремы 4. Согласно представлению (23) имеет место равенство A-

- λI = A₀A₁(λ)A₀, где A₀ - обратимый оператор в пространстве H такой, что A-10 ∈ B(H),

а оператор-функция A₁(λ) имеет вид

⎛

⎞

-λA-10

-I

-B∗1

-B∗2

⎜

-λI

⎟

A₁(λ) =

⎝

⎠.

B₁

-T₁ - λI

B₂

-T₂ - λI

Применяя обозначения предложения 1 к оператор-функции A₁(λ), получаем

H₁ = H, H =

= H1 ⊕ H₂ = H ⊕H₀, где H₀ := H ^⊕(⊕2k=1Ω_k), A₁₁ = -λA-10, A₁₂ = (-I,-B∗1,-B∗2),

A₂₁ = (I,B₁,B₂)^т,

⎛

⎞

-λI

A₂₂ =^⎝ 0

-T₁ - λI

⎠_.

-T₂ - λI

Согласно предложению 1 для всех λ таких, что λ = 0, λ ∈ σ(M(λ)), λ ∈ σ(T_k + λI),

k = 1,2, оператор-функция A₁(λ) допускает следующее представление (факторизация типа

Шура-Фробениуса, см. представление (21) и [21, предложение 1.6.2]):

⎛

⎞

I λ-1

B∗1(T₁ + λI)-1 B∗1(T₁ + λI)-1

⎜0

⎟

A₁(λ) =

⎝

⎠×

⎛

⎞

^⎛M(λ)

⎜

-λ

⎟

⎜

−λ-1

0⎟

⎝

⎠

⎜

⎟

(35)

-(T₁ + λI)

⎝-(T1 + λI)-1B₁

0⎠,

-(T₂ + λI)

-(T₂ + λI)-1B₁

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О СВОЙСТВАХ ПОЛУГРУПП

1271

где, согласно (24), оператор-функция M(λ) задаётся равенством

∑

M (λ) := -λA-10 - λ-1I - B^∗k(T_k + λI)-1B_k = -λ-1A-1/20L(λ)A-1/20,

k=1

в котором оператор-функция L(λ) определяется формулой (19) и является символом уравне-

ния (1). Таким образом, σ(M(λ)) = σ(L(λ)); кроме того, согласно п. a) леммы 1, σ(T_k) =

= (∞, 0]. Следовательно, в силу представления (35), предложения 1 и леммы 1 справед-

ливо равенство σ(A) = σ(L)

^⋃⋃(-∞,0]. Согласно п. б) леммы 1 σ(L(λ)) = σ(M(λ)) ∈

∈ {λ ∈ C : Re λ < 0}; кроме того, L^∗(λ) = L(^λ) для любого λ ∈ C\(-∞, 0]. Поэтому неве-

щественная часть спектра оператор-функции L(λ) симметрична относительно вещественной

оси и совпадает с невещественной частью спектра оператора A. Теорема 4 доказана.

∑j-1

7. Пример. Рассмотрим μ₁(τ)=(

a_k)χ[βj-1,β_j)(τ), μ₂(τ)=(

b_k)χ[βj-1,β_j)(τ) -

k=1

ступенчатые функции, где a₀ = 0, b₀ = 0, a_k > 0, b_k ≥ 0, j = 1, N , χ[βj-1, β_j )(τ) -

характеристические функции полуинтервалов [βj-1, β_j ),

0 ≤ βj-1 < β_j, j = 1,N, β₀ = 0.

Тогда ядра интегральных операторов имеют следующие представления:

∑

K₁(t) =

a_je-βjt, K₂(t) =

b_je-βjt,

j=1

и условия (4) примут вид

∑

a_j

b_j

< 1,

< 1.

β_j

j=1

Введём новые переменные v(t) := u^′(t), ξ₀(t) := A1/20u(t),

∫t

√a_je-(t-s)β

ξ1j(t) =

√

Q₁A1/2 du(s)0

ds,

β_j

∫^t

√

b_je-(t-s)βj

ξ2j(t) =

√

Q₂A1/2 du(s)0

ds, t > 0, j = 1, N .

β_j

В этих обозначениях задача (1), (2) приводится к следующей начальной задаче для системы

дифференциальных уравнений первого порядка:

⎧

[

√

]

⎪

∑

dv(t)

√a

⎪

+A1/2

ξ₀(t) +

√ Q^∗ξ1j(t) +

√ Q^∗ξ2j(t)

= f₁(t),

⎪

β_j

⎪

j=1

⎪dξ0(t)

⎨

= A1/20v(t),

⎪dξ1j (t)

√a_j

⎪

√ Q₁A1/20v(t) - β_jξ1j(t,τ), j = 1,N,

⎪

β_j

⎪

√

⎪

⎪dξ2j (t)

b_j

⎩

√ Q₂A1/20v(t) - β_jξ2j(t,τ), j = 1,N,

β_j

v(t)|t=0 = ϕ₁, ξ₀(t)|t=0 = A1/20ϕ₀, ξ_j(t)|t=0 = 0, j = 1, N ,

где

)

∑

a_j

b_j

f₁(t) = f(t) -

e-βjtA +

e-βjtB ϕ₀.

β_j

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1272

РАУТИАН

Несложно видеть, что оценка (18) принимает вид

[

E(t) :=

(∥u^′(t)∥2H + ∥A1/20u(t)∥2H ) ≤ d (∥ϕ₁∥2H + ∥A1/20ϕ₀∥2H ) +

(∫t



)



)₂]



∑



a_j

b_j



(s) -

e-βjsA +

e-βjsB ϕ₀

f

^d

β_j

j=1

Работа выполнена при финансовой поддержке Междисциплинарной научно-образователь-

ной школы Московского университета “Математические методы анализа сложных систем”

(теоремы 1 и 2) и финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-

ний (теоремы 3 и 4) (проект 20-01-00288 A).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М., 1970.

2. Christensen R.M. Theory of Viscoelasticity. An Introduction. New York; London, 1971.

3. Munoz Rivera J.E. Asymptotic behaviour in linear viscoelasticity // Quart. Appl. Math. 1994. V. 52.

P. 629-648.

4. Kopachevsky N.D., Krein S.G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. V. 2: Nonself-

adjoint Problems for Viscous Fluids // Operator Theory: Advances and Applications. Birkhauser; Basel,

2003. V. 146.

5. Локшин А.А., Суворова Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью.

М., 1982.

6. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977.

7. Gurtin M.E., Pipkin A.C. General theory of heat conduction with finite wave speed // Arch. Rat. Mech.

Anal. 1968. V. 31. P. 113-126.

8. Лыков А.В. Проблема тепло- и массообмена. Минск, 1976.

9. Amendola G., Fabrizio M., Golden J.M. Thermodynamics of Materials with Memory. Theory and

Applications. New York; Dordrecht; Heidelberg; London, 2012.

10. Miller R.K. An integrodifferential equation for rigid heat conductors with memory // J. Math. Anal.

Appl. 1978. V. 66. P. 313-332.

11. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М., 1984.

12. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений.

М., 2016.

13. Vlasov V.V., Rautian N.A. Spectral analysis of integrodifferential equations in Hilbert spaces // J. of

Math. Sci. 2019. V. 239. № 5. P. 771-787.

14. Власов В.В., Раутиан Н.А. О вольтерровых интегро-дифференциальных уравнениях с ядрами,

представимыми интегралами Стилтьеса // Дифференц. уравнения. 2021. T. 57. № 4. С. 536-551.

15. Раутиан Н.А. Полугруппы, порождаемые вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнени-

ями // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 9. P. 1226-1244.

16. Eremenko A., Ivanov S. Spectra of the Gurtin-Pipkin type equations // SIAM J. Math. Anal. 2011.

V. 43. № 5. P. 2296-2306.

17. Dafermos C.M. Asymptotic stability in viscoelasticity // Arch. Rational Mech. Anal. 1970. V. 37. P. 297-

308.

18. Engel K.J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. New York, 2000.

19. Pata V. Stability and exponential stability in linear viscoelasticity // Milan J. of Math. 2009. V. 77.

P. 333-360.

20. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М., 1967.

21. Tretter C. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. London, 2008.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 26.04.2021 г.

им. М.В. Ломоносова,

После доработки 30.05.2021 г.

Московский центр фундаментальной

Принята к публикации 08.06.2021 г.

и прикладной математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021