ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 9, с.1280-1296

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.23

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО

ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ

С ИЗОТЕРМИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ

Рассматривается вопрос о разрешимости одного гиперсингулярного интегрального уравне-

ния на гладкой поверхности с краем в предположении, что на ней существуют глобальные

изотермические координаты. Интеграл понимается в смысле конечного значения по Ада-

мару, решение ищется в классе функций, непрерывных по Гёльдеру, обращающихся в нуль

на краю поверхности и имеющих в некоторой окрестности каждой точки, не лежащей

на краю поверхности, поверхностный градиент, непрерывный по Гёльдеру в этой окрест-

ности. Для этого уравнения доказано выполнение альтернативы Фредгольма. Показано

также, что полученные результаты применимы к граничному интегральному уравнению,

возникающему в краевой задаче для уравнения Гельмгольца в области вне указанной по-

верхности с условием Неймана на этой поверхности.

DOI: 10.31857/S0374064121090132

Введение. Уравнения с сильно сингулярными интегралами возникают в различных при-

ложениях. В частности к уравнениям такого типа сводятся краевые задачи Неймана для урав-

нений Лапласа и Гельмгольца на экране, если искать их решения в виде потенциала двойного

слоя. Известен подход, при котором сильно сингулярное интегральное уравнение рассматри-

вается как псевдодифференциальное [1; 2; 3, c. 125-161]. Этот подход позволяет исследовать

разрешимость указанных уравнений в пространствах обобщённых функций.

Однако представляет интерес и вопрос о существовании их решений в пространствах “глад-

ких” функций. В частности, это важно при построении численных методов решения таких

уравнений. Так, существует подход к численному решению сильно сингулярных уравнений,

основанный на кусочно-постоянной аппроксимации неизвестной функции и методе коллока-

ций. В вычислительной аэродинамике для решения задач о потенциальном обтекании тел

используется метод вихревых рамок [4; 5, с. 462-476]. Как показано в [5, с. 474], в основе этого

метода лежит решение некоторого граничного интегрального уравнения с сильной особенно-

стью, интеграл в котором понимается в смысле конечного значения по Адамару. В [3, с. 139,

148, 351] получены результаты по разрешимости этого уравнения, возникающего при решении

краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа, и сходимости численного метода вихревых

рамок, но основу рассуждений составлял в конечном счёте опять-таки переход к концепции

псевдо-дифференциального уравнения.

Другой подход развит автором в работах [6-8], в которых для гиперсингулярного инте-

грального уравнения, возникающего в краевой задаче Неймана для уравнения Лапласа вне

плоского экрана, доказана его разрешимость в классе гладких функций. Информация о свой-

ствах такого решения используется, в частности, при обосновании равномерной сходимости на

сетке численного метода кусочно-постоянных аппроксимаций и коллокаций [3, с. 386].

В работах [9, 10] рассмотрен вопрос о существовании гладких решений у двумерного гипер-

сингулярного интегрального уравнения на выпуклой ограниченной области с кусочно-гладкой

границей с интегралом, понимаемым в смысле конечного значения по Адамару, более общего

вида: рассмотрен случай как уравнения первого, так и второго рода (с неизвестной функцией

вне интеграла); кроме члена с главной особенностью это уравнение содержит также инте-

гральные операторы как с интегралами, понимаемыми в смысле главного значения, так и с

обычными интегралами. Решение рассматривалось в классе функций, непрерывных по Гёль-

деру на всей области и имеющих частные производные первого порядка, непрерывные по Гёль-

деру в окрестности каждой точки области. Для этого уравнения было доказано выполнение

1280

О РАЗРЕШИМОСТИ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

1281

альтернативы Фредгольма. В частности, полученные результаты применимы к интегрально-

му уравнению, которое возникает в краевой задаче Неймана для уравнения Гельмгольца на

плоском экране.

В настоящей статье рассматривается вопрос о разрешимости аналогичного гиперсингуляр-

ного интегрального уравнения на гладкой поверхности с краем. Основной результат работы

состоит в том, что для случая, когда на поверхности можно ввести изотермические коорди-

наты [11, c. 109], уравнение с сильной особенностью сводится к рассмотренному в статье [10]

двумерному гиперсингулярному уравнению по области параметризации. Благодаря этому уда-

лось построить класс функций, в котором для данного уравнения выполнена альтернатива

Фредгольма. В статье также показано, что полученные результаты применимы к гранично-

му интегральному уравнению, возникающему в краевой задаче для уравнения Гельмгольца в

области вне указанной поверхности с условием Неймана на этой поверхности.

1. Основные формулировки. Пусть Σ - гладкая разомкнутая поверхность c краем в R³,

заданная параметрически: поверхность Σ есть множество точек x = ϕ(u), x = (x₁, x₂, x₃) ∈

∈ R³, u = (u₁,u₂) ∈ D, где D - замыкание некоторой выпуклой ограниченной области на

плоскости R², границей которой является замкнутая кусочно-гладкая кривая класса C², ϕ -

диффеоморфизм, отображающий множество D на множество Σ ⊂ R³, класса C⁴. Тогда

первая квадратичная форма поверхности определяется метрическим тензором g_ij , i, j = 1, 2:

)

⁽ ∂ϕ

∂ϕ

ds² = g₁₁ du²¹ + 2g₁₂ du₁ du₂ + g₂₂ du²², g_ij =

∂u_i

∂u_j

Криволинейные координаты называются изотермическими, если первая квадратичная

форма имеет вид

ds² = ρ²(u)(du²¹ + du²²).

Это означает, что

)

⁽ ∂ϕ

∂ϕ

⁽ ∂ϕ

∂ϕ

⁽ ∂ϕ

∂ϕ

=ρ²,

= 0.

(1)

∂u₁

∂u₂

∂u₁

∂u₂

При этом функция ρ²(u) строго положительна. Будем считать, что ρ(u) > 0. Тогда, так как

множество D - компакт, найдутся положительные константы θ₁ и θ₂ такие, что

θ₁ < ρ(u) < θ₂.

(2)

Заметим, что изотемические координаты можно ввести в окрестности произвольной точки

любой гладкой поверхности [11, c. 109]. В статье рассматривается случай, когда изотермиче-

ские координаты заданы на всей поверхности.

На поверхности Σ рассматривается интегральное уравнение относительно неизвестной

функции g:

∫

g(y)

a(x)g(x) +

dσ_y + B₁(x, y)g(y) dσ_y + B₂(x, y)g(y) dσ_y = f(x), x ∈ Σ\∂Σ,

(3)

|x - y|³

здесь ∂Σ - край поверхности Σ, первый интеграл понимается в смысле конечного значения

по Адамару, второй интеграл - в смысле главного значения, функция a(x) непрерывна по

Гёльдеру на поверхности Σ, функция B₁(x, y) имеет вид

∑

B₁(x,y) =

bi(u)^B1i(v - u) при x = ϕ(u), y = ϕ(v), u, v ∈ D,

(4)

i=1

где I - некоторое натуральное число и функции

B1i(u), i = 1,I, определены, непрерывно-

дифференцируемы при u ∈ R², u = 0, и удовлетворяют условиям

∫

|B1i(u)| ≤C1

|∇B1i(u)| ≤C2

B1i(u)du = 0 для всех

0<r₁ <r₂,

(5)

|u|²

|u|³

r₁≤|u|≤r₂

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

9^∗

1282

СЕТУХА

а функции bi, i = 1, I, непрерывны по Гёльдеру на множестве D, функция B₂(x, y) такова,

что функция

B₂(u,v) = B₂(ϕ(u),ϕ(v)) представляется в виде

B∗

(u, v)

B₂(u,v) =

β < 2, при u,v ∈ D,

(6)

|u - v|^β

B∗

где функция

(u, v) непрерывна по Гёльдеру по совокупности переменных на множест-

ве D × D.

Рассматривается случай, когда правая часть f(x) уравнения непрерывна по Гёльдеру на

поверхности Σ.

Все известные функции a(x), B₁(x, y), B₂(x, y), f(x) и искомая функция g(x) предпо-

лагаются, вообще говоря, комплекснозначными. Класс функций, в котором ищется решение,

зададим ниже.

Напомним определения интегралов в смысле конечного значения по Адамару и в смысле

главного значения. Пусть h(y) - функция на поверхности Σ, имеющая особенность в точ-

ке x ∈ Σ.

Интеграл от функции h по поверхности Σ существует в смысле конечного значения по

Адамару, если существуют константы A и α ≥ 0, с которыми существует предел, принимае-

мый за значение интеграла,

∫

{

∫

}

h(y) dσ_y = lim

h(y) dσ_y -

ε→+0

ε^α

Σ\U(x,ε)

где U(x, ε) = {y ∈ R³ : |x - y| < ε} - трёхмерный открытый шар с центром в точке x ра-

диуса ε.

При этом легко показать, что если указанный предел существует с некоторыми констан-

тами α > 0 и A, то константы α и A определены однозначно. Если предел существует при

α = 0, следует положить и A = 0 - тогда данное определение приводит к интегралу в смысле

главного значения: интеграл от функции h по поверхности Σ существует в смысле главного

значения, если существует предел, принимаемый за значение интеграла,

∫

h(y) dσ_y = lim

h(y) dσ_y

ε→+0

Σ\U(x,ε)

Отметим, что если интеграл от функции h существует как несобственный, то он существу-

ет и в смысле главного значения, а если интеграл существует в смысле главного значения, то

он существует и в смысле конечного значения по Адамару (с α = 0 и A = 0).

2. Основные определения и обозначения. Будем обозначать через H^μ[G], где μ ∈

∈ (0, 1] и G - некоторое множество в пространстве Rⁿ, линейное пространство действитель-

нозначных функций f(x), определённых на множестве G, для которых ограничено следую-

щее выражение, определяющее норму:

|f(x) - f(y)|

∥f∥_μ,G = sup |f(x)| + sup

x∈G

x,y∈G

|x - y|^μ

x=y

В случае, когда G является областью или замыканием области в пространстве Rⁿ, обозна-

чим через H1,μ[G], μ ∈ (0, 1], линейное пространство действительнозначных функций f(x),

определённых на множестве G, для которых ограничено следующее выражение, определяю-

щее норму:



∑∂f



∥f∥1,μ,G = sup |f(x)| +



x∈G

^∂x_i

i=1

μ,G

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

1283

Теперь рассмотрим действительнозначные функции, заданные на рассматриваемого вида

поверхности Σ. Пространство H^μ[Σ], μ ∈ (0, 1], определено выше. Пусть H1,μ[Σ], μ ∈ (0, 1], -

линейное пространство действительнозначных функций f(x), заданных на поверхности Σ,

для которых ограничено следующее выражение, определяющее норму:

|Grad f(x) - Grad f(y)|

∥f∥1,μ,Σ = sup |f(x)| + sup |Grad f(x)| + sup

x∈Σ

x,y∈Σ

|x - y|^μ

x=y

где Grad f(x) - поверхностный градиент функции f. Мы введём поверхностный градиент

Grad с помощью понятия дифференцируемости функции на поверхности. Функция f на

поверхности Σ дифференцируема в точке x ∈ Σ, если существует вектор

A такой, что в

окрестности этой точки значения f(y), y ∈ Σ, представляются в виде

f (y) = f(x) + (A, y - x) + α(x, y), где limα(x,y)

= 0.

y→x |x - y|

При этом вектор

A определён с точностью до слагаемого вида λn(x), где λ ∈ R, а n(x) -

единичный нормальный вектор к поверхности Σ в точке x, и если последнее представле-

ние существует, то вектор

A можно однозначно выбрать при условии (A, n(x)) = 0. Такой

вектор

A будем называть поверхностным градиентом функции f в точке x и обозначать

через Grad f(x).

Обозначим также через HμC[G], где G - множество в пространстве Rⁿ, через H1,μC[G],

здесь G - область или замыкание области в пространстве Rⁿ, и через H1,μC[Σ], где Σ -

поверхность рассматриваемого вида, μ ∈ (0, 1], линейные пространства заданных на соот-

ветствующих множествах комплекснозначных функций f(x) = f₁(x) + if₂(x), где f₁ и f₂ -

действительнозначные функции, принадлежащие пространствам H^μ[G], H1,μ[G] и H1,μ[Σ]

соответственно, а норма определяется равенством ∥f∥ = ∥f₁∥ + ∥f₂∥, нормы функций f₁ и

f2 берутся в соответствующих пространствах.

Через A(μ, Σ) обозначим линейное пространство действительнозначных функций f, удо-

влетворяющих включению f ∈ H^μ[Σ] и при x ∈ ∂Σ равенству f(x) = 0, таких, что на любом

участке Σ^′ поверхности Σ, состоящем из точек вида x = ϕ(u), u ∈ D^′, где D^′ - замыкание

некоторого открытого подмножества множества D, для которого D^′ ⊂ int D, выполняется

включение f ∈ H1,μ[Σ], где int - внутненность множества.

Множество комплекснозначных функций f(x) = f₁(x) + if₂(x), x ∈ Σ, f₁, f₂ ∈ A(μ, Σ)

обозначим через A_C(μ, Σ).

Решение уравнения (3) будем искать в классе функций g ∈ A_C(μ, Σ). При этом мы до-

кажем, что для любой функции g ∈ A_C(μ, Σ) левая часть уравнения (3) определена во всех

точках x ∈ Σ\∂Σ.

3. О свойствах расстояний на поверхности. Функции на поверхности. Сначала

установим связь между расстоянием между точками на поверхности и расстоянием между

соответствующими точками на множестве параметров. Пусть x = ϕ(u), y = ϕ(v) - точки на

поверхности Σ, u, v ∈ D. Тогда

∫¹

dϕ(u + t(v - u))

y-x=

dt.

Значит, разность y - x можно представить в виде

∫1

y - x =H1(u,v)(u₁ - v₁) +H2(u,v)(u₂ - v₂),

H_i(u,v) = ϕ”_i(u + t(v - u))dt, i = 1,2,

где через ϕ”_i ≡ ϕ”_i(u), i = 1, 2, обозначена частная производная ∂ϕ/∂u_i в точке u = (u₁, u₂).

При этом

H_i(u,v) ∈ C³[D × D].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1284

СЕТУХА

Далее, каждую из функций

H_i(u,v) можно представить в виде

∑

H_i(u,v) = H_i(u) +

H_ij(u,v)(v_j - u_j),

j=1

где

∫1



∂ H_i(u,w)



H_i(u) =Hi(u,u) = ϕ”_i(u),

H_ij(u,v) =

dt,

H_ij(u,v) ∈ C²[D × D].



∂w_i

w=u+t(v-u)

Аналогичным образом, обозначив H_ij (u) =Hij(u, u), функции

H_ij(u,v) можно предста-

вить в виде

∑

H_ij(u,v) = H_ij(u) +

H_ijk(u,v)(v_k - u_k), H_ij ∈ C²[D],

H_ijk ∈ C¹[D × D].

k=1

Тогда

∑

y-x = ϕ”_i(u)(v_i-u_i)+ H_ij(u)(v_i - u_i)(v_j - u_j)+

H_ijk(u,v)(v_i - u_i)(v_j - u_j)(v_k - u_k).

k=1

i,j=1

i,j,k=1

Теперь в силу равенств (1) получаем

|y - x|² = ρ²(u)(u - v)² + W (u, v),

(7)

где

∑

W (u, v) = W₀(u, v) + W^∗(u, v), W₀(u, v) =

W_ijk(u)(v_i - u_i)(v_j - u_j)(v_k - u_k),

(8)

i,j,k=1

W_ijk(u) - некоторые функции класса C²[D], W^∗(u,v) - некоторая функция класса C¹[D×D],

удовлетворяющая условиям



_∂W∗(u,v)

|W^∗(u, v)| ≤ C_ϕ|u - v|⁴,



C_ϕ|u - v|³,



C_ϕ|u - v|³,

(9)



≤



≤

∂u_i

∂v_i

здесь и далее через C_ϕ обозначены константы, определяемые только функцией ϕ, причём в

разных оценках значение константы C_ϕ может быть различным. При этом функция W (u, v)

подчинена оценкам



∂W(u,v)



|W (u, v)| ≤ C_ϕ|u - v|³,

C_ϕ|u - v|²,

C_ϕ|u - v|².

(10)



≤



≤

∂u_i

∂v_i

Из равенства (7) и оценок (2) и (10) следует, что выполнены следующие неравенства с

некоторой константой C_ϕ:

|x - y| ≤ C_ϕ|u - v|,

|u - v| ≤ C_ϕ|x - y|.

(11)

Далее, получим более точную оценку для расстояния |x - y|. Справедливо представление

|y - x| = ρ(u)|u - v| + d(u, v),

(12)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

1285

где

W (u, v)

d(u, v) = |y - x| - ρ(u)|u - v| =

(13)

|y - x| + ρ(u)|u - v|

Заметим, что

∂|y - x|

∂(y - x)²

∂|y - x|

∂(y - x)²

∂u_i

2|y - x|

∂u_i

∂v_i

2|y - x|

∂v_i

откуда, используя равенство (7) и оценки (10), получаем

∂|y - x|

≤C_ϕ,

≤C_ϕ.

∂u_i

∂v_i

Тогда из равенства (13) и оценок (10) вытекает, что



∂d(u,v)

|d(u, v)| ≤ C_ϕ|u - v|²,



C_ϕ|u - v|,



C_ϕ|u - v|.

(14)



≤



≤

∂u_i

∂v_i

Функцию d(u, v) можно представить в виде

d(u, v) = d₀(u, v) + d^∗(u, v),

(15)

где

W₀(u,v)

d₀(u,v) =

(16)

2ρ(u)|u - v|

функция W₀(u, v) задана в (8),

{

}

W^∗

d^∗ = d - d₀ = W

|x - y| + ρ|u - v|

2ρ|u - v|

|x - y| + ρ|u - v|

Используя равенство (12) и оценки (9) и (10), получаем



_∂d∗(u,v)



|d^∗(u, v)| ≤ C_ϕ|u - v|³,

C_ϕ|u - v|²,

C_ϕ|u - v|².

(17)



≤



≤

∂u_i

∂v_i

Пусть f(x) - некоторая функция на поверхности Σ и пусть

f (u) = f(x) при x = ϕ(u).

Из оценок (11) следует, что условия f ∈ H^μ[Σ] и

f ∈ H^μ[D], μ ∈ (0,1], равносильны.

Пусть теперь функция f(x) дифференцируема. Тогда

df = (Grad f, dx) =

f =

du₁ +

du₂.

∂u₁

∂u₂

Векторы Grad f и dx как векторы, лежащие в касательной плоскости к поверхности, можно

представить в виде

∂ϕ

Grad f = f₁

+f₂

dx =

du₁ +

du₂,

∂u₁

∂u₂

∂u₁

∂u₂

где f₁ и f₂ - некоторые коэффициенты. Учитывая равенства (1), можем записать

(Grad f, dx) = ρ²(f₁ du₁ + f₂ du₂),

откуда следует, что f_i = (

f /∂u_i)/ρ. Таким образом,

)

⁽

∂ϕ

Grad f =

∂u₁ ∂u₁

∂u₂ ∂u₂

Тогда условия f ∈ H1,μ[Σ] и

f ∈ H1,μ[D], μ ∈ (0,1], также равносильны.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1286

СЕТУХА

4. Сингулярные и гиперсингулярные интегралы на поверхности. Сначала рассмот-

рим интегралы на плоскости. Пусть D - рассматриваемое множество на плоскости парамет-

ризации,

B₁(u) - функция, определённая при u ∈ R², u = 0, удовлетворяющая условиям (5),

g ∈ H^μ(D), μ ∈ (0,1]. Тогда в каждой точке u ∈ D\∂D интеграл

∫

B₁(v - u)g(y) dv = lim

B₁(v - u)g(y) dv

ε→0

D\U(u,ε)

существует в смысле главного значения [12, с. 52], здесь U(u, ε) - двумерный открытый шар

с центром в точке u радиуса ε.

Далее, пусть g ∈ H1,μ[D]. Тогда в каждой точке u ∈ D\∂D существует интеграл, пони-

маемый в смысле конечного значения по Адамару:

∫

{

∫

}

g(v)

dv = lim

dv -

(18)

|u - v|³

ε→+0

|u - v|³

ε^α

D\U(u,ε)

Здесь так же, как и в случае поверхностного интеграла, мы считаем, что интеграл существует,

если существует указанный предел с некоторыми A и α ≥ 0, причём A = 0, если предел

существует при α = 0.

Действительно, представим данный интеграл в виде

∫

g(v)

dv = I₁ + I₂ + I₃,

|u - v|³

где

∫

∑

∂ g(u)

v_i - u_i

I₁ = g(u)

dv, I₂ =

dv,

|u - v|³

∂u_i

|u - v|³

i=1

∫

g(v) - g(u) - (grad g(u), v - u)

I₃ =

dv.

|u - v|³

При этом интеграл I₃ сходится как несобственный (подынтегральная функция не превосходит

по модулю величины O(|u - v|-1)), а интегралы, входящие в сумму I₂, сходятся в смысле

главного значения.

Рассмотрим интеграл I₁. Существует открытый круг U(u, R) с центром в точке u радиуса

R, содержащийся во множестве D. Тогда для любого ε ∈ (0,R) можем записать

∫

g(u)

dv = I₁₁(R) + I₁₂(R, ε),

|u - v|³

D\U(u,ε)

∫

g(u)

I₁₁(R) =

dv, I₁₂(R, ε) =

dv.

|u - v|³

D\U(u,R)

U (u,R)\U(u,ε)

Переходя к полярным координатам с центром в точке u, получаем

∫2π

∫

)

⁽1

I₁₂(R,ε) = g(u) dϕ

= 2πg(u)

r²

Но тогда интеграл I₁ существует как предел

(

∫

)

g(u)

2πg(u)

I₁ = lim

dv -

ε→+0

|u - v|³

D\U(u,ε)

Значит, интеграл, определяемый выражением (18), существует.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

1287

Теперь рассмотрим вопрос о существовании сингулярных и гиперсингулярных интегралов

на поверхности Σ и их преобразовании к интегралам по параметрам.

Сразу заметим, что если g - непрерывная функция на поверхности Σ, то

∫



 ∂ϕ

∂ϕ



g(x) dσ_x = g(ϕ(v))J(v) dv, J(v) =



ρ²(v).

⁼

^∂u₁ ×

∂u₂

Лемма 1. Пусть g ∈H^μ[Σ], функция B₁(x, y) представляется в виде B₁(x, y)=B1(v - u)

B₁

при u = ϕ(x), v = ϕ(y) и функция

удовлетворяет условиям (5). Тогда при x ∈ Σ\∂Σ

существует интеграл

∫

B₁(x,y)g(y) dσ_y =

B₁(u - v)g(v)ρ²(v) dv,

понимаемый в смысле главного значения, где g(v) = g(ϕ(v)).

Доказательство. Построим шар U(x, ε) с центром в рассматриваемой точке x ∈ Σ\∂Σ

радиуса ε > 0, и пусть x = ϕ(u), u ∈ D\∂D. Тогда

∫

B₁(x,y)g(y) dσ_y =

B₁(v - u)g(ϕ(v))ρ²(v)dv = I₁ + I₂ - I₃,

Σ\U(x,ε)

v∈D

ϕ(v)-ϕ(u)|≥ε

где

∫

I_i =

B₁(v - u)g(ϕ(v))ρ²(v)dv, i = 1,2,3,

D_i(ε)

D₁ = {v ∈ D : ρ(u)|v - u| ≥ ε}, D₂(ε) = {v ∈ D : ρ(u)|v - u| < ε,

|ϕ(v) - ϕ(u)| ≥ ε},

D₃(ε) = {v ∈ D : ρ(u)|v - u| ≥ ε,

|ϕ(v) - ϕ(u)| < ε}.

В силу представления (12) и оценки (14) получаем, что если v ∈ D₂

^⋃D₃, то

ε - C_ϕε² ≤ ρ(u)|v - u| ≤ ε + C_ϕε²

и при этом |x-y| ≥ ρ(u)|v-u|-C_ϕε². Если ε достаточно мало, то ε-C_ϕε² > 0 и |x-y| ≥ ε/2.

Пусть N = max |g(x)|. Тогда

x∈Σ

∫

|I₂ - I₃| ≤ C_ϕC₁N

≤C_ϕC₁Nε,

ε²

ε-Cϕε²≤|u-v|≤ε-Cϕε²

где C₁ - константа из условий (5), и, значит, I₂ - I₃ → 0 при ε → 0. Тогда

∫

B₁(x,y)g(y) dσ_y = lim

I₁ =

B₁(u - v)g(v)ρ²(v) dv.

ε→0

Σ\U(x,ε)

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть g ∈ H1,μ[Σ]. Тогда при x ∈ Σ\∂Σ существует интеграл

∫

g(y)

I(x) =

dσ_y,

(19)

|x - y|³

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1288

СЕТУХА

понимаемый в смысле конечного значения по Адамару. Именно,

{

∫

}

g(y)

2πg(x)

I(x) = lim

dσ_y -

(20)

ε→0

|x - y|³

Σ\U(x,ε)

и этот интеграл сводится к интегралу по параметрам, также понимаемому в смысле ко-

нечного значения по Адамару:

∫

{

∫

}

g(v)ρ²(v)

2πg(x)

I(x) =

dv = lim

dv -

(21)

|ϕ(v) - ϕ(u)|³

δ→0

|ϕ(v) - ϕ(u)|³

D\U(x,δ)

где

g(v) = g(ϕ(v)). Кроме того, интеграл I(x) можно представить в виде

∫

g(v)ρ²(v)

I(x) =

dv +

ρ³(u)

|v - u|³

∫

∑

α_ijk(u) A_ijk(v - u)g(v)ρ²(v)dv + A₂(u,v)g(v)ρ²(v)dv,

(22)

i,j,k=1

где α_ijk ∈ C¹[D], A_ijk(v - u) - функции вида (5), A₂(u, v) - ядро вида (6), первый интеграл

сходится в смысле конечного значения по Адамару, интегралы, стоящие под знаком суммы,

сходятся в смысле главного значения, последний интеграл сходится как несобственный.

Доказательство. Пусть x = ϕ(u) ∈ Σ\∂Σ. При каждом ε > 0 рассмотрим интеграл

∫

g(y)

g(v)ρ²(v)

I(x, ε) =

dσ_y =

dσ_y.

|x - y|³

|ϕ(u) - ϕ(v)|³

Σ\U(x,ε)

v∈D

|ϕ(u)-ϕ(v)|≥ε

Пусть v ∈ D, y = ϕ(v). Используя равенство (12) и обозначая a = ρ(u)|u - v|, d = d(u, v),

можем записать |x - y| = a + d. При этом в силу оценки (14) найдётся r₀ > 0, не зависящее

от u и v, такое, что при |u - v| < r₀ выполнено неравенство |d| ≤ a/2. Пусть f(a) = a-3.

Запишем для функции f формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

f (a + d) = f(a) + f^′(a)d + f^′′(a + θd)d², где θ ∈ (0, 1).

Представляя второе слагаемое в виде f^′(a)d = f^′(a)(d₀ + d^∗), получаем

= f(a) + f^′(a)d₀ + (f^′(a)d^∗ + f^′′(a + θd)d²) = A₀(u,v) + A₁(u,v) + A₂(u,v),

(23)

|x - y|³

A₀(u,v) =

ρ³(u)|u - v|³

d₀(u,v)

d^∗(u,v)

d(u, v)

A₁(u,v) = -3

A₂(u,v) = -3

+ 12

ρ⁴(u)|u - v|⁴

(ρ(u)|u - v| + θd(u, v))⁵

При этом в силу оценок (14) и (17) имеем

|A₂(u, v)| ≤ C_ϕ

(24)

|u - v|

а ядро A₁(x, y) вследствие определений (8) и (16) имеет вид

∑

A₁(u,v) =

α_ijk(u)A_ijk(v - u),

i,j,k=1,2

W_ijk(u)

(v_i - u_i)(v_j - u_j )(v_k - u_k)

α_ijk(u) =

A_ijk(v - u) =

ρ⁵(u)

|v - u|⁵

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

1289

Проведённые выкладки справедливы при |u - v| < r₀. Однако в представлении (23) левая

часть, а также слагаемые A₀(u, v) и A₁(u, v) определены при всех u, v ∈ D. Тогда с учётом

неравенств (11) функция A₂(u, v) определена и удовлетворяет оценке (24) при всех x, y ∈ Σ

с некоторой константой, если положить

A₂(u,v) =

- A₀(u,v) - A₁(u,v).

|x - y|³

Докажем, что ядро A₂(u, v) представляется в виде (6). Для этого сначала докажем, что

это ядро подчинено оценкам



∂A2(u,v)



u, v ∈ D, u = v.

(25)



≤



≤

∂u_i

|u - v|²

∂v_i

|u - v|²

Для этого заметим, что A₂(x, y) = F (a, d), где F (a, d) = f(a + d) - f(a) - f^′(a)d₀. Тогда

∂A₂(u,v)

∂F(a,d) ∂a

∂F(a,d) ∂d

∂u_i

∂a

∂u_i

∂d

∂u_i

Теперь оценки (25) вытекают из оценок (14) и (17).

Из оценок (24) и (25) следует, что функция A∗2(u, v) = A₂(u, v)|u - v|1+μ, μ ∈ (0, 1), непре-

рывна по Гёльдеру по совокупности аргументов (u, v) на множестве D × D.

Вернёмся к рассматриваемому интегралу. Его можно представить в виде

∫

I(x, ε) = I₀(x, ε) + I₁(x, ε) + I₂(x, ε), I_i(x, ε) =

A_i(u,v)g(y) dσ_y.

Σ\U(x,ε)

При этом интеграл I₂(x, ε) сходится как несобственный, а интеграл I₁(x, ε) сходится в смысле

главного значения согласно лемме 1. При этом

∫

∑

lim

I₁(x,ε) =

α_ijk(u) A_ijk(v - u)g(v)ρ²(v)dv,

(26)

ε→0

i,j,k=1,2

∫

lim

I₂(x,ε) = A₂(u,v)g(v)ρ²(v)dv.

(27)

ε→0

Рассмотрим интеграл

∫

g(v)ρ²(v)

I₀(x,ε) =

dσ_y.

ρ(u)³|u - v|³

v∈D

|ϕ(u)-ϕ(v)|≥ε

Представим этот интеграл в виде

I₀(x,ε) = I₀₁(x,ε) + I₀₂(x,ε) + I₀₃(x,ε),

где

∫

g(u)

grad (g(u)ρ²(u))(u - v)

I₀₁(x,ε) =

dv, I₀₂(x, ε) =

dv,

ρ(u)

|u - v|³

ρ(u)³|u - v|³

v∈D

|ϕ(u)-ϕ(v)|≥ε

∫

q(u, v)

I₀₃(x,ε) =

dv, q(u, v) = g(v)ρ²(v)-g(u)ρ²(u)-grad (g(u)ρ²(u))(u-v).

ρ(u)³|u - v|³

v∈D

|ϕ(u)-ϕ(v)|≥ε

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1290

СЕТУХА

Так как функция g(u)ρ²(u) принадлежит пространству H1,μ[D], справедлива оценка

|q(u, v)| ≤ C_ϕ|u - v|1+μ∥g∥1,μ,D.

Значит, интеграл I₀₃(x, ε) сходится как несобственный. Интеграл I₀₂(x, ε) сходится в смысле

главного значения в силу леммы 1.

Наконец, рассмотрим интеграл I₀₁(x, ε), перейдя на плоскости интегрирования (v₁, v₂) к

полярным координатам с центром в точке u.

Пусть ξ(θ) = (cos θ, sin θ), θ ∈ [0, 2π), v(θ, t) = u + tξ(θ), t ≥ 0.

Обозначим y_θ(t) = ϕ(v(θ, t)), r_θ(t) = |y_θ(t) - x|, где, как и выше, x = ϕ(u). При этом

t = |v(θ,ε) - u|.

Докажем, что производная функции r_θ(t) положительна при достаточно малых значени-

ях t. Действительно,

∑

y^′θ(t) =

ϕ”_i(v(θ, t))ξ_i(t)

i=1

и тогда

|y^′θ(0)| = ρ(u),

|y^′θ(t) - y^′θ(0)| ≤ C_ϕt.

Далее имеем

√

(y^′θ(t), y_θ(t) - y_θ(0))

r^′θ(t) =

(y_θ(t) - y_θ(0), y_θ (t) - y_θ(0)) =

(28)

r_θ(t)

∫₁

Так как y_θ(t) - y_θ(0) = t

y^′θ(τt)dτ, можем записать

(

∫1

)(∫1

)-1

r^′θ(t) = y^′θ(t), y^′θ(τt)dτ

r^′θ(τt)dτ

Заметим, что в силу неравенств (11) выполнено условие r_θ(t) > 0 при t > 0. Поэтому

вследствие представления (28) получаем, что r^′θ(0) = ρ(u), |r′θ(t) - r′θ(0)| ≤ Cϕt. Тогда най-

дётся r₁ ∈ (0, r₀] такое, что при t ≤ r₁ справедливо неравенство r^′θ(t) > ρ(u)/2. Значит, при

t ≤ r₁ справедливо также неравенство r_θ(t) > tρ(u)/2.

Будем считать, что ε < ε₀ ≡ ρ(u)r₁/2. Тогда для каждого θ существует единственное

t = t(θ,ε) ∈ [0,r1], являющееся решением уравнения rθ(t) = ε. Теперь интеграл I01(x,ε)

представим в виде

g(u)

I₀₁(x,ε) =

(J(x, ε)

J (x, ε)),

ρ(u)

где

∫

J (x, ε) =

dv,

J (x, ε) =

dv.

|u - v|³

v∈D

|u-v|<r₁

|u-v|≥r₁

|ϕ(u)-ϕ(ν)|≥ε

Интеграл

J (x, ε) существует и не зависит от ε. Интеграл J(x, ε) преобразуется к виду

∫2π

∫

r₁

∫

2π

τ dτ

2π

J (x, ε) = dθ

dθ.

τ³

r₁

t(θ, ε)

t(θ,ε)

Рассмотрим функцию t(θ, ε). Имеем |y - x| = ε при x = ϕ(u), y = ϕ(v), v = v(θ, t),

t = t(θ,ε), причём |u - v| = t. В силу равенства (12) получаем ρt - ε = d,

|ρt - ε| ≤ C_ϕε²,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

1291

где ρ = ρ(u). Тогда существует ε₁ ∈ (0, ε₀] такое, что при ε < ε₁ выполнено неравенство

|ρt - ε| ≤ ε/2. Теперь можем записать

ρd

ρd²

ε-d

ε²

(ε - d)ε²

Далее, в силу равенств (15) и (16) получаем

W₀

W₀d

d=d₀ +d^∗, d₀ =

ρt

ε-d

ε(ε - d)

Таким образом,

{

}

ρW₀

W₀d

d^∗

d²

+ β, β = ρ

|β| ≤ C_ϕε.

ε³

ε³(ε - d)

ε³

(ε - d)ε²

В силу определения (8) имеем

(

)

∑

W₀ =

W₀ + t³ -ε3

W₀,

W₀ =

W_ijk(u)ξ_i(θ)ξ_j(θ)ξ_k(θ).

ρ³

i,j,k=1,2

Тогда, учитывая оценку |t - ε/ρ| ≤ C_ϕε², будем иметь

∫

2π

{

}

ρW₀

2πρ

2π

dθ = 0, lim

J (x, ε) -

≡ J(x).

ε³

ε→0

r₁

Прямым вычислением несложно проверить, что

{

∫

}

∫

2π

J (x) = -

= lim

dv -

dv,

r₁

δ→0

|u - v|³

v∈D

δ≤|u-v|≤r₁

|u-v|≤r₁

где последний интеграл понимается как двойной интеграл в смысле конечного значения по

Адамару.

Собирая вместе полученные оценки, заключаем, что справедливо равенство

{ ∫

}

∫

g(ν)ρ²(v)

2πg(u)ρ²(u)

g(ν)ρ²(v)

lim

I₀(x,ε) = lim

dv -

dv,

ε→0

ε→0 ρ³(u)

|u - v|³

ρ³(u)

|u - v|³

v∈D

|u-v|≥ε

|u-v|≤r₁

из которого и соотношений (26) и (27) вытекает формула (22). Лемма доказана.

Нетрудно показать, что если функция g определена и непрерывна на поверхности Σ и

существует окрестность U = U(x,ε) точки x ∈ Σ\∂Σ такая, что на поверхности ΣU =

= Σ

^⋂U выполнено условие g ∈ H1,μ[Σ_U], то интеграл (19) существует и имеют место фор-

мулы (20)-(22). Для доказательства достаточно представить рассматриваемый интеграл в виде

∫

g(y)

I(x) =

dσ_y +

dσ_y

|x - y|³

Σ_U

Σ\Σ_U

и применить лемму 2 к первому интегралу.

Отсюда также следует, что интеграл (19) существует и справедливы формулы (20)-(22),

если функция g имеет комплексные значения и удовлетворяет условию g ∈ A_C(μ, Σ).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1292

СЕТУХА

5. О разрешимости уравнения (3). В силу лемм 1 и 2 уравнение (3) преобразуется к

равносильному уравнению для неизвестной функции g(u) = g(ϕ(u))ρ²(u):

∫

∑

g(v)

ã(u)g(u) +

dv +

bm(u)

B1m(u - v)g(v) dv +

|v - u|³

m=1

∫

B₂(u,v)g(v) dv

f (u), u ∈ D\∂D,

(29)

где

f (u) = ρ³(u)f(ϕ(u)),

ã(u) = ρ(u)a(ϕ(u)), причём выполнены включения

f ∈ Hμ[D],

ã ∈ H^μ[D],bm(u), m = 1,M, - функции, удовлетворяющие условию b_m ∈ H^μ[D],

B1m, m =

= 1, M, - функции вида (5),

B₂(u,v) - функция, представляющаяся в виде (6) c некоторым

β ∈ [0,2),

B∗

∈ H^μ(D × D); все записанные включения выполнены с некоторым μ ∈ (0,1].

Уравнение такого вида в случае M = 1 иb1(u) = 1 рассматривалось в работе [10]. Его ре-

шение искалось во введённом в [10] классе функций A_C(μ, D), аналогичном классу A_C(μ, Σ),

определённому в настоящей работе. Именно, класс A_C(μ, D) состоит из заданных на множе-

стве D комплекснозначных функций f(u) = f₁(u) + if₂(u), где f_i, i = 1, 2, - веществен-

нозначные функции, удовлетворяющие включению f_i ∈ H^μ[D] и при x ∈ ∂D равенству

f_i(x) = 0, такие, что для любого множества D^′ ⊂ int D, являющегося замыканием открытого

множества, выполняется включение f_i ∈ H1,μ[D^′]. Следующая теорема доказана в работе [10]

для частного случая уравнения (29) c M = 1 иb1(u) = 1.

Теорема 1. Пусть μ < 1/2, μ < 2 - β, μ ≤ β, где β - константа из условия (6). Тогда:

1) для уравнения (29) справедлива альтернатива Фредгольма: либо уравнение (29) имеет

решение g ∈ A_C(μ,D) для любой правой части

f ∈ HμC[D], либо однородное уравнение имеет

ненулевые решения в классе функций A_C(μ,D);

2) однородное уравнение, соответствующее уравнению (29), имеет не более конечного

числа линейно независимых решений;

3) если однородное уравнение (29) однозначно разрешимо в классе функций A_C(μ,D), то

при любой правой части

f ∈ HμC[D] решение уравнения (29) в классе A_C(μ,D) представля-

ется в виде

g = g₁ + g₂, где

g₁ ∈ H1,μC[D],

g₂ ∈ C^∞(int D),

при всех α = (α₁,α₂) ∈ Z²⁺,

|α| ≥ 1, функции D^αg₂(u)ρ(u, ∂D)|α|-1/2 ограничены,

(30)

здесь ρ(u, ∂D) - расстояние от точки u до множества ∂D, D^αg₂ = (∂^|α|g₂)/(∂uα11 ∂u22 ),

|α| = α₁ + α₂. При этом выполнены оценки

∥g₁∥1,μ,D ≤ C

f∥_μ,D,

|D^αg₂(u)| ≤ C(α)

f∥_μ,Dρ(u,∂D)1/2-|α|, α ∈ Z²⁺,

|α| ≥ 1,

(31)

∥g∥

≤C

f∥_μ,D,

(32)

H1/2

где C и C(α) - некоторые константы, зависящие от операторов в левой части уравнения,

множества D и параметра μ и не зависящие от функции

Выше мы отметили, что теорема 1 доказана только в частном случае уравнения (29). По-

кажем, что эта теорема остаётся в силе и для общего случая уравнения (29). Введём линейный

оператор B₁, ставящий функции g, определённой на множестве D, в соответствие функцию

f = B₁g, определённую на этом же множестве, по формуле

∫

∑

f (u) =

bm(u)

B1m(u - v)g(v)dv.

(33)

m=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

1293

ОбозначимHμC[D] - подпространство линейного пространства HμC[D], элементами которо-

го являются функции g ∈ HμC[D], удовлетворяющие условию g(x) = 0 при x ∈ ∂D. В работе

[10] для оператора B₁ вида (33) c M = 1 иb1(u) = 1 доказана

Лемма 3 (лемма 1 из [10]). Оператор B₁, определяемый формулой (33), действует из

пространстваHμC[D] в пространство HμC[D] и непрерывен.

Из анализа доказательства этой леммы, приведённого в [10], следует, что лемма справедли-

ва и для рассматриваемого общего случая оператора B₁ вида (33). Но тогда легко убедиться

в том, что всё доказательство теоремы 1 из работы [10] остаётся в силе для уравнения (29).

Тем самым теорема 1 верна и для рассматриваемого уравнения (29).

Из теоремы 1 следует

Теорема 2. Пусть μ ≤ β, μ < 1/2. Тогда:

1) для уравнения (3) справедлива альтернатива Фредгольма: либо уравнение (3) имеет

решение ϕ ∈ A_C(μ,Σ) для любой правой части f ∈ HμC[Σ], либо однородное уравнение имеет

ненулевые решения в классе функций A_C(μ,Σ);

2) однородное уравнение, соответствующее уравнению (3), имеет не более конечного чис-

ла линейно независимых решений;

3) если однородное уравнение однозначно разрешимо в классе функций A_C(μ,Σ), то при

любой правой части f ∈ HμC[Σ] функция g(u) = ρ²(u)g(ϕ(u)), где g - решение уравнения

(3), представляется в виде g(u) = g1(u) + g2(u) так, что g1 ∈ H1,μ[D],

g₂ ∈ C^∞[int D] и

выполнены условия (30)-(32) с

f (u) = f(ϕ(u))ρ³(u).

6. Краевая задача Неймана для уравнения Гельмгольца (Лапласа) на экране.

Пусть Σ - рассматриваемая поверхность, Ω = R³\Σ - область вне этой поверхности. Рассмот-

рим краевую задачу Неймана для уравнения Гельмгольца на экране Σ:

ΔU + k²U = 0 в области Ω,

⁽∂U)±

= f на поверхности Σ\∂Σ,

∂n

где f - некоторая функция, заданная на поверхности Σ, f ∈ HμC, μ ∈ (0, 1]. Не рассматри-

вая в данной статье вопрос о разрешимости поставленной задачи, отметим, что её решение в

области Ω можно искать в виде потенциала двойного слоя

∫

∂F(x - y)

1 e^ikr

U (x) ≡ U[Σ, g](x) = g(x)

dσ_y, F (x - y) =

r = |x - y|.

(34)

∂n_y

4π r

Отметим также, что потенциал двойного слоя (34) позволяет найти решение, удовлетворя-

ющее условию

U (x) → 0 при

|x| → ∞

и условию излучения на бесконечности в форме Зоммерфельда

(x, grad U(x)) - ikU(x) = o(1/|x|) при

|x| → ∞.

(35)

При k = 0 получается уравнение Лапласа. Для него рассматриваются действительные

решения U(x) и функция F имеет вид

F (x - y) = F₀(x - y) ≡ 1/(4πr), r = |x - y|,

условие (35) не ставится.

В работе [13, лемма 8] для потенциала двойного слоя в случае оператора Лапласа

F (x - y) = F₀(x - y) доказано, что если g ∈ H1,μ, то градиент потенциала двойного слоя

имеет в каждой точке Σ\∂Σ краевые значения, для которых справедлива формула

∫

∂F(x - y)

(grad U)^±(x) = g(x) gradx

dσ_y ±

Grad U(x),

(36)

∂n_y

интеграл понимается в смысле конечного значения по Адамару.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1294

СЕТУХА

Очевидно, что формула (36) верна и в случае, когда g ∈ A_C(μ, Σ). Для доказательства

этого достаточно рассмотреть функцию U(z) в окрестности рассматриваемой точки x, пред-

ставив её в виде

U [Σ, g](z) = U[Σ^′(x), g](z) + U[Σ\Σ^′(x), g](z),

где Σ”(x) - участок поверхности Σ, выбранный так, что x ∈ Σ^′\∂Σ” и выполнено включение

g ∈ H1,μ[Σ”]. Тогда для первого слагаемого формула (36) верна для рассматриваемой точки

x, а второе слагаемое представляет собой бесконечно дифференцируемую функцию в точке x.

Чтобы доказать справедливость формулы (36) для уравнения Гельмгольца, представим

функцию F (x - y) в виде

1 e^ikr -1

F (x) = F₀(x) + F₁(x), F₁(x) =

r = |x|,

4π r

и для упрощения, чтобы использовать известные результаты, предположим, что рассматрива-

емая поверхность Σ может быть достроена до некоторой замкнутой поверхности Σ₀ класса

C³ (на поверхности Σ₀ мы уже не требуем существования изотермических координат).

Потенциал U с плотностью g ∈ A_C(μ, Σ) представим в виде суммы

∫

∂F₀(x - y)

∂F₁(x - y)

U (x) = U₀(x) + U₁(x), U₀(x) =

g(x)

dσ_y, U₁(x) =

g(x)

dσ_y.

∂n_y

При этом для функции U₀ верна формула (36) и можно показать, что функция U₁ непрерывно

дифференцируема во всём пространстве. Чтобы доказать непрерывность градиента функции

U₁ в окрестности каждой точки x ∈ Σ, достроим поверхность Σ до замкнутой поверхности

Σ₀ и доопределим функцию g на поверхности Σ₀ \Σ равенством g = 0. При этом функция g

непрерывна на поверхности Σ₀. Градиент функции U₁ представляется в точках x ∈ Σ в виде

∫

∂F₁(x - y)

grad U₁(x) =

^K(x, y)g(y) dy,

^K(x, y) = grad_x

x ∈ R³\Σ₀, y ∈ Σ₀.

(37)

∂n_y

Σ₀

Далее, несложно показать, что выполняются оценки



∂K(x - y)

C_ϕ



|K(x,y)| ≤Cϕ



≤

|x - y|

∂x_i

|x - y|²

Тогда для любых y ∈ Σ₀ и x, z ∈ R³\Σ₀ таких, что 2|x - z| ≤ |x - y|, нетрудно доказать

оценку

|K(x,y) -K(z,y)| ≤Cϕ|x-z|,

|x - y|²

откуда в силу [14, теорема 2.7] заключаем, что интеграл в формуле (37) порождает непре-

рывную функцию в пространстве R³. Поэтому формула (36) справедлива и для уравнения

Гельмгольца.

Вследствие формулы (36) рассматриваемая краевая задача сводится к следующему инте-

гральному уравнению с интегралом, понимаемым в смысле конечного значения по Адамару:

∫

∂²F(x - y)

g(x)

dσ_y = f(x), x ∈ Σ\∂Σ,

(38)

∂n_x∂n_y

где

∂²F(x - y)

= (n(x), grad_x(n(y), grad_yF (x - y))).

∂n_x∂n_y

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

1295

При этом если g ∈ A_C(μ, Σ) - решение уравнения (38), то функция U = U[Σ, g] является

решением рассматриваемой краевой задачи.

Покажем, что уравнение (38) представляется в виде (3).

Получим выражение для ядра уравнения (38). Несложно убедиться, что

∂F(x - y)

⁽e^ikr)^′

e^ikr(1 - ikr)

= (n(y), grad_yF (x - y)) =

(n(y), x - y)Ψ(r), Ψ(r) =

∂n_y

4π

r³

Тогда

∂²F(x - y)

(n(y), n(x))Ψ(r) + B₂₁(x, y),

∂n_x∂n_y

4π

1 (n(y), x - y)(n(x), x - y)

B₂₁(x,y) =

Ψ”(r) =

4π

ikr

(n(y), x - y)(n(x), x - y)

(-3 + 3ikr + k²r²).

4π

r⁵

Далее,

∂²F(x - y)

1 (n(x), n(y) - n(x))

+ B₂₁(x,y) + B₂₂(x,y),

∂n_x∂n_y

4π |x - y|³

4π

|x - y|³

1 e^ikr(1 - ikr) - 1

B₂₂(x,y) =

Ψ(r) -

r = |x - y|.

4π

4π r³

4π

r³

Наконец, рассмотрим функцию η(u, v) = (n(x), n(y) - n(x)). Так как η(u, v) = 0 при u =

= v, можем записать

∑

η(u, v) =

η_i(u)(v_i - u_i) + η^∗(u,v),

i=1



_∂η∗(u,v)



|η^∗(u, v)| ≤ C_ϕ|u - v|²,

C_ϕ|u - v|,

C_ϕ|u - v|.



≤



≤

∂u_i

∂v_i

Тогда, используя равенство (23), получаем

∂²F(x - y)

+ B₁(x,y) + B₂₁(x,y) + B₂₂(x,y) + B₂₃(x,y),

∂n_x∂n_y

4π |x - y|³

∑

B₁(x,y) =

η_i(u)(v_i - u_i),

4πρ³(u)|u - v|³

i=1

1 η^∗(u,v)

B₂₃(x,y) = (A₁(u,v) + A₂(u,v))η(u,v) +

4π |x - y|³

Далее легко видеть, что ядро B₁(x, y) имеет вид (4), (5), а для ядра

B₂(x,y) = B₂₁(x,y) + B₂₂(x,y) + B₂₃(x,y)

несложно доказать оценки



C_ϕ

∂B2(x,y)

C_ϕ



|B₂(x, y)| ≤

i = 1,2.



≤

|u - v|

∂u_i

|u - v|²

Из последних оценок заключаем, что функция B₂ имеет вид (6).

Таким образом, уравнение (38) - уравнение рассматриваемого вида и для него справедлива

теорема 2.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках реализации

программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению

№ 075-15-2019-1624.

10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021

1296

СЕТУХА

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Stephan E.P. Boundary integral equations for screen problems in 3 // Integral Equations and Operator

Theory. 1987. V. 10. P. 236-257.

2. Крутицкий П.А. Задача Неймана для уравнения Гельмгольца вне разомкнутых поверхностей и

случай ее явного решения // Докл. РАН. 2012. Т. 447. № 4. С. 365-368.

3. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных инте-

гральных уравнениях и их приложения. М., 2001.

4. Апаринов В.А., Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Михайлов А.А. Расчет нестационарных аэро-

динамических характеристик тел при отрывном обтекании // Журн. вычислит. математики и мат.

физики. 1988. Т. 2. № 16. С. 1558-1566.

5. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., 1995.

6. Сетуха А.В. Краевая задача Неймана с граничным условием на разомкнутой плоской поверхности

// Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 10. С. 1311-1329.

7. Сетуха А.В. О построении фундаментальных решений краевой задачи Неймана в области вне

разомкнутой плоской поверхности // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 4. С. 505-515.

8. Сетуха А.В. Трехмерная краевая задача Неймана с обобщенными граничными условиями и урав-

нение Прандтля // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 9. С. 1188-1200.

9. Лебедева С.Г., Сетуха А.В. О численном решении полного двумерного гиперсингулярного уравне-

ния методом дискретных особенностей // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 2. С. 223-233.

10. Сетуха А.В. О разрешимости некоторого полного двумерного гиперсингулярного уравнения

// Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 9. С. 1141-1151.

11. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.,

1986.

12. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М., 1962.

13. Сетуха А.В. Об аппроксимации вторых производных потенциала объёмного заряда, размещённого

в слое малой толщины, поверхностным интегралом // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 9.

С. 1262-1281.

14. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М., 1987.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 20.03.2021 г.

им. М.В. Ломоносова,

После доработки 20.03.2021 г.

Институт вычислительной математики

Принята к публикации 08.06.2021 г.

им. Г.И. Марчука РАН, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№9

2021