ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.3-10

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.42

ИЗОХРОННЫЕ И СИЛЬНО ИЗОХРОННЫЕ ФОКУСЫ

ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЛЬЕНАРА

Рассматривается вещественная система Льенара

x = -y,

y = x + A(x) - B(x)y, где

полиномы A(x), B(x) и производная A^′(x) удовлетворяют условиям A(0) = B(0) =

= A^′(0) = 0 и deg A(x)-1 ≥ deg B(x). Используя введённую автором нормальную форму,

выводятся в терминах коэффициентов системы необходимые и достаточные условия, при

выполнении которых исследуемая во всей фазовой плоскости (т.е. глобально) система имеет

в начале координат изохронный фокус. Доказывается, что этот фокус оказывается и сильно

изохронным.

DOI: 10.31857/S0374064122010010

Рассмотрим вещественное полиномиальное уравнение Льенара

x + B(x)x + x + A(x) = 0

(1)

в предположении, что полиномы A(x) и B(x) задаются равенствами

∑

A(x) = A_kx^k, B(x) = B_jx^j , A_n = 0, B(x) ≡ 0,

k=2

j=1

где n ≥ 3 - нечётное число, r ≤ n - 1.

Уравнение (1) всесторонне изучалось и изучается с самых разных точек зрения. Обычный

метод его исследования - переход к эквивалентной двумерной автономной системе. Одной из

таких систем является система Льенара в так называемой первой форме

x = -y,

y = x + A(x) - B(x)y.

(2)

Другая система - это система Льенара во второй форме

x = -y - B(x),

y = x + A(x),

(3)

∫_x

где B(x) =

B(s) ds.

Ещё одна система - система [1, 2]

x = -y - xΦ(x),

y = x - yΦ(x) + A(x) - xΦ²(x),

(4)

∫_x

где Φ(x) = x-2

sB(s)ds.

Каждая из приведённых систем (2)-(4) переводится в другую соответствующей заменой

фазовых переменных. В частности, непосредственно проверяется, что система (2) переводится

в системы (3) и (4) соответственно заменами

u = x, v = y - B(x)

u = x, v = y - xΦ(x)

с сохранением обозначений исходных фазовых переменных. Система (3) переводится в систе-

му (4) посредством замены координат

u = x, v = y + B(x) - xΦ(x).

АМЕЛЬКИН

Напомним некоторые нужные в дальнейшем определения. Для этого рассмотрим систе-

му вида

x = λx - y - P(x,y),

y = x + λy + Q(x,y),

(5)

где λ ∈ R - некоторая постоянная, а P, Q : G → R - голоморфные в окрестности G =

= {(x, y) : |x| < r,

|y| < r}, r ∈ R, начала координат O(0, 0) фазовой плоскости функции,

которые не содержат в своих разложениях в степенные ряды по степеням x и y свободных и

линейных членов.

Пусть OA - луч (с началом в точке O(0, 0)), составляющий с положительной полуосью оси

абсцисс декартовой прямоугольной системы координат xOy угол ϕ ∈ [0, 2π). Тогда [3] центр

или фокус O(0, 0) системы (5) называют изохронным, если все изображающие точки, начиная

двигаться по траекториям центра или фокуса системы (5) с некоторого луча OA в момент

времени t = t₀, совершают полный оборот вокруг начала за одно и то же время T = 2π. Луч

OA из приведённого определения изохронности будем называть лучом-изохроной.

Далее, для системы (5) имеет место общая изохронность, если особая точка O(0, 0) систе-

мы (5) является изохронной при любом начальном положении луча-изохроны. Если же особая

точка O(0, 0) системы (5) оказывается изохронной лишь только при некоторых начальных

положениях луча-изохроны, то говорят, что для системы (5) имеет место частная изохрон-

ность. Очевидно, что в случае изохронного центра O(0,0) (при λ = 0) для системы (5) имеет

место общая изохронность.

Что же касается случая изохронного фокуса O(0, 0), то здесь как раз для системы (5)

имеет место, вообще говоря, частная изохронность.

Заметим, что в работе [4] доказано следующее утверждение: для того чтобы для систе-

мы (5) в случае грубого или негрубого фокуса имела место общая изохронность, необходимо

и достаточно, чтобы для системы (5) имела место совершенная изохронность [5].

В работе [5] под совершенной изохронностью понимается такая изохронность, когда все

изображающие точки, находящиеся на любом луче OA с началом в точке O(0, 0), двигаются

по траекториям центра или фокуса, оставаясь на одном и том же луче.

Отметим, что в работе [6] в случае центра совершенная изохронность названа равномерной

изохронностью.

Приведём теперь определение изохронного сечения [2], которое обобщает понятие луча-

изохроны. Это определение основывается на понятии дуги без контакта (или сечения) [7,

c. 71-72] и связанного с ним понятия функции последования (или отображения Пуанкаре) [7,

c. 90-91].

Именно, обозначим для каждого z ≡ (x, y) ∈ R² через ψ(t, z) траекторию системы (5)

такую, что ψ(0, z) = z.

Пусть O(0, 0) - центр или фокус системы (5), а η : [0, +∞) → R² - гладкая кривая такая,

что lim η(s) = O(0, 0). Кривую η называют изохронным сечением системы (5) в точке

s→+∞

O(0, 0), если существует T > 0 такое, что для любого z ∈ η имеет место включение ψ(T, z) ∈

∈ η и при этом ψ(t,z) ∈ η для всех t ∈ (0,T).

Тогда центр или фокус O(0, 0) системы (5) называют изохронным, если система (5) имеет

в особой точке O(0, 0) изохронное сечение.

Здесь уместно привести один из примеров работы [8], где показано, что существуют сис-

темы вида (5), которые как в случае центра, так и в случае негрубого фокуса не имеют изо-

хронных сечений.

Пример 1. Система

x = -y,

y = x - 4ωxy + 2y²,

где параметр ω ∈ R, в особой точке O(0, 0) не имеет изохронного сечения, а значит, центр

(при ω = 0) или фокус (при ω = 0) приведённой системы неизохронен.

Далее отметим, что введение понятия изохронного сечения полезно как с теоретической,

так и с практической точек зрения в связи с возможностью построения изохронных сечений,

среди которых находятся (или могут находиться) лучи-изохроны.

Не останавливаясь на методах построения изохронных сечений, заметим лишь, что, на-

пример, в работе [2] рассматриваются, в частности, изохронные сечения системы Льенара с

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ИЗОХРОННЫЕ И СИЛЬНО ИЗОХРОННЫЕ ФОКУСЫ

фокусом, которые строятся на основании преобразования, переводящего исходную систему в

ту или иную нормальную форму, и о которых идёт речь в настоящей статье в дальнейшем.

Обратимся теперь к понятию сильной изохронности фокуса O(0, 0) системы Льенара (2).

Именно, пусть y⁺ и y^- - соответственно положительная и отрицательная полуоси оси Oy

системы координат xOy. Фокус O(0, 0) системы (2) называется сильно изохронным, если

y⁺ - луч-изохрона и если изображающая точка, выходящая из точки полуоси y⁺, пересечёт

полуось y^- в первый раз через время π.

Ниже рассматривается полиномиальная система (2) в случае фокуса и решается задача,

аналогичная задаче, рассмотренной в работе [9] в случае центра O(0, 0). Эта задача заключа-

ется в выводе необходимых и достаточных условий, при выполнении которых полиномиальная

система (2) имеет в особой точке O(0, 0) изохронный фокус. Доказывается также, что изохрон-

ный фокус O(0, 0) системы (2) оказывается и сильно изохронным фокусом. Предварительно

отметим, что в работе [2], наряду с другими вопросами, для системы (2) с фокусом O(0, 0)

и функциями A и B класса C¹ такими, что они определены в окрестности точки O(0, 0) и

удовлетворяют условию

A(x) = xΦ²(x),

(6)

т.е. когда, в частности, система (4) принимает вид

x = -y - xΦ(x),

y = x - yΦ(x),

(7)

показано, что среди изохронных сечений системы (2) (как и систем (3) и (7)) находятся лучи-

изохроны y⁺ и y^-.

Дальнейшие исследования полиномиальной системы (2) основываются на определении изо-

хронности с точки зрения наличия у особой точки O(0, 0) лучей-изохрон и на полиномиальном

варианте теоремы 3 [10] в голоморфном случае: существует вещественная замена пере-

менных

∑

u=x+ α_kx^k, v=y+ β_kx^k,

(8)

k=2

переводящая голоморфную в окрестности особой точки O(0,0) систему Льенара(2)в систему

(

)(

)-1

∑

u=- v+u γs-1us-1

1+ H_sus-1

s=2

(

)(

)-1

∑

v= u-v γs-1us-1

1+ H_sus-1

(9)

s=2

Покажем, к каким новым результатам приводит последнее утверждение, если вместо го-

ломорфной системы Льенара рассмотреть полиномиальную систему вида (2) с условием (6)

(а значит, имеющую единственную особую точку O(0, 0)) и вместо замены переменных (8)

использовать полиномиальную замену

∑

u=x+ α_kx^k, v=y+ β_kx^k,

(10)

k=2

которая должна быть диффеоморфизмом плоскости R² и которая, как будет показано далее,

не умаляет общности рассуждений (см. теорему 8).

Для этого продифференцируем каждое из выражений (10) по t в силу системы (2), а затем

полученные равенства приведём с учётом соотношений (9) и (10) к системе

∑

)s-1

∑

)s-1^}

kα_kxk-1

+ H_s x+ α_kxk

+ kα_kxk-1

H_s x + α_kxk

≡

k=2

s=2

k=2

s=2

k=2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

АМЕЛЬКИН

∑

≡ β_kx^k

+ γs-1 x+ α_kxk

k=2

s=2

k=2

∑

)s-1

(A_k - α_k)x^k + x + A_kxk

H_s x + α_kxk

k=2

s=2

k=2

∑

)s-1

∑

+ β_kxk

γs-1

x+ α_kxk

≡y

(Bk-1 + kβ_k)xk-1 +

k=2

s=2

k=2

)s-1

)s-1}

∑

+ (Bk-1 + kβ_k)xk-1

H_s x + α_kxk

− γs-1 x+ α_kxk

(11)

k=2

s=2

k=2

s=2

k=2

Далее, приравнивая к нулю в первом тождестве системы (11) коэффициенты при yx^p,

можно показать [9], что выполняются условия

α_k = 0, H_s = 0 для всех k,s ≥ 2.

(12)

Приравнивая к нулю в первом тождестве системы (11) коэффициенты при x^p, с учётом

условий (12) получаем соотношения

γ_s = 0

при всех s > n

(13)

γk-1 = -β_k, k = 2,n.

(14)

Если приравнять к нулю во втором тождестве системы (11) коэффициенты при yx^p, с

учётом равенств (12)-(14) придём к равенствам

Bk-1

β_k = -

k = 2,n.

(15)

k+1

Из соотношений (12)-(15) следует, что диффеоморфизм (10) и система (9) принимают со-

ответственно вид

∑

Bk-1

u = x, v = y - x

xk-1

(16)

k+1

k=2

∑

Bs-1

u = -v - u

us-1,

v=u-v

us-1.

(17)

s+1

s=2

Приравнивая к нулю во втором тождестве системы (11) коэффициенты при x^p, с учётом

равенств (12)-(15) приходим к тождеству

)₂

∑

Bs-1

A_kxk-1 ≡

xs-1

s+1

k=2

s=2

которое означает, что между коэффициентами полиномов A(x) и B(x) имеет место следую-

щая связь: зависимость

∑

B_r Bk-r-1

A₂ = 0, A_k =

k = 3,n.

(18)

r+2k-r+1

r=1

Теорема 1. Для того чтобы особая точка O(0, 0) полиномиальной системы (2) была изо-

хронным фокусом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства (18), в которых

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ИЗОХРОННЫЕ И СИЛЬНО ИЗОХРОННЫЕ ФОКУСЫ

по крайней мере один из коэффициентов B2s, s = 1,(n - 1)/2, полинома B(x) при заданном

нечётном n ≥ 5 отличен от нуля.

Доказательство. Необходимость следует из работы [9, теорема 1], поскольку в данном

случае соотношения (6) и (18) эквивалентны.

Достаточность вытекает из эквивалентности соотношений (6) и (18) и отмеченного выше

факта, что y⁺ - луч-изохрона фокуса системы (2). Теорема доказана.

Замечая теперь, что на основании теоремы 1 и того, что диффеоморфизм вида (10) плос-

кости R² представляется в виде (16), а система (9) - в виде (17), приходим в силу работы [11]

к следующим утверждениям.

Теорема 2. Для того чтобы особая точка O(0, 0) полиномиальной системы (2) была

изохронным, а значит, и сильно изохронным фокусом, необходимо и достаточно выполне-

ния условий (18), в которых по крайней мере один из коэффициентов B2s, s = 1,(n - 1)/2,

отличен от нуля.

Теорема 3. Для того чтобы особая точка O(0, 0) полиномиальной системы (2) была

изохронным, а значит, и сильно изохронным фокусом, необходимо и достаточно, чтобы диф-

феоморфизм плоскости R²

(n-1)/2∑

B_k

u = x, v = y - x

x^k,

(19)

k+2

k=1

где по крайней мере один из коэффициентов B2s, s = 1,(n - 1)/2, при заданном нечётном

n ≥ 5 отличен от нуля, переводил систему (2) в систему

(n-1)/2∑

B_k

u = -v - u

u^k,

v=u-v

u^k.

(20)

k+2

k=1

Замечание 1. Как отмечено выше, диффеоморфизм (19) плоскости R² позволяет строить

изохронные сечения системы (2) в фокусе O(0, 0). Именно, изохронные сечения фокуса O(0, 0)

системы (2) задаются уравнением

(n-1)/2∑

B_k

y cos ϕ₀ = x sin ϕ₀ + cos ϕ₀

xk+1,

(21)

k+2

k=1

в котором ϕ₀ - полярный угол и по крайней мере один из коэффициентов B2s, s = 1, (n - 1)/2,

при заданном нечётном n ≥ 5 отличен от нуля. Из формулы (21) следует, что система (2) в

фокусе O(0, 0) имеет бесконечно много изохронных сечений. Среди этих сечений находятся,

в частности, лучи-изохроны y⁺ и y^-. Таким образом, изохронный фокус O(0, 0) полиноми-

альной системы Льенара (2) и с точки зрения наличия лучей-изохрон y⁺ и y^- оказывается

сильно изохронным фокусом [2].

Замечание 2. Хотя теоремы 2 и 3 эквивалентны, тем не менее области применения их раз-

личны. Так, теорема 2 наиболее эффективна при построении примеров, а также при проверке

наличия или отсутствия изохронного фокуса у полиномиальной системы Льенара (2). Теорему

же 3 удобнее использовать при рассмотрении теоретических вопросов, связанных с использо-

ванием как одной из простейших нормальных форм вида (20), так и изохронных сечений,

заданных уравнением (21).

Пример 2. Рассмотрим систему

x = -y,

y = x + x³ + 2x⁶ + x⁹ - (3x + 6x⁴)y.

Для неё выполняются равенства

)₂

⁽B₁

B₁ B₄

⁽B₄)²

A₃ =

A₆ = 2

A₉ =

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

АМЕЛЬКИН

а значит, согласно теореме 2, её особая точка O(0, 0) является сильно изохронным фокусом.

Поэтому по теореме 3 диффеоморфизм плоскости R²

u = x, v = y - x² - x⁵ (x = u, y = v + u² + u⁵)

переводит исходную систему в систему

u = -v - u(u + u⁴),

v = u - v(u + u⁴).

Пример 3. Система Льенара

x = -y,

y = x + x³ + 2x⁴ + x⁵ + 2x⁷ + 2x⁸ + x¹¹ - (3x + 4x² + 7x⁵)y

имеет в особой точке O(0, 0) сильно изохронный фокус, поскольку по теореме 2

)₂

⁽B₁

B₁ B₂

⁽B₂)²

A₃ =

A₄ = 2

A₅ =

)₂

B₁ B₅

B₂ B₅

⁽B₅

A₇ = 2

A₈ = 2

A₁₁ =

Тогда по теореме 3 диффеоморфизм плоскости R²

u = x, v = y - x² - x³ - x⁶ (x = u, y = v + u² + u³ + u⁶)

переводит рассматриваемую систему в систему (нормальную форму)

u = -v - u(u + u² + u⁵),

v = u - v(u + u² + u⁵).

Замечание 3. Обратим внимание на следующие обстоятельства. Во-первых, так как для

полиномиальной системы Льенара (2) оказывается, что как замена переменных, переводящая

изохронную систему (2) в полиномиальную нормальную форму Пуанкаре-Дюлака (7), имею-

щую единственную особую точку O(0, 0), так и обратная замена являются полиномиальными,

то этот факт приводит к естественному глобальному исследованию изохронности полиноми-

альных систем Льенара (2). Во-вторых, локальное, а не глобальное рассмотрение вопросов

изохронности с использованием, например, подхода из работы [12] даёт совершенно другие

условия изохронности фокуса системы (2), чем условия, полученные в настоящей работе.

Приведём далее результаты, которые следуют из настоящей работы и работы [9] и которые

представляют самостоятельный интерес для теории полиномиальных систем Льенара (2) с

единственной особой точкой O(0, 0).

Теорема 4. Для того чтобы особая точка O(0, 0) полиномиальной системы (2) была изо-

хронн∫й, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие A(x) = xΦ2(x), где Φ(x) =

=x-2

sB(s)ds.

Теорема 5. Для того чтобы особая точка O(0, 0) полиномиальной системы (2) была

изохронной, необходимо и достаточно, чтобы она была сильно изохронной.

Теорема 6. Для того чтобы особая точка O(0, 0) полиномиальной системы (2) была

изохронной, а значит, и сильно изохронной, необходимо и достаточно, чтобы имело место

тождество

)₂

∑

Bk-1

A_kxk-1 ≡

xk-1

k+1

k=2

Теорема 7. Для того чтобы особая точка O(0, 0) полиномиальной системы (2) была изо-

хронной, а значит, и сильно изохронной, необходимо и достаточно, чтобы диффеоморфизм

плоскости R²

(

)

∑

Bk-1

u = x, v = y - x

xk-1

x = u, y = v + u

uk-1

k+1

k=2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ИЗОХРОННЫЕ И СИЛЬНО ИЗОХРОННЫЕ ФОКУСЫ

переводил систему (2) в систему

∑

Bk-1

u = -v - u

uk-1,

v=u-v

uk-1.

k+1

k=2

В заключение докажем, что справедлива и

Теорема 8. Все возможные биголоморфизмы плоскости R² полиномиальной системы (2)

с единственной особой точкой O(0,0), определяемые соотношениями

∑

u=x+ α_kx^k, v=y+ β_kx^k,

(22)

k=2

имеют вид

∑

Bk-1

u = x, v = y + x

xk-1.

k+1

k=2

Доказательство. Первое из соотношений (22) определяет биголоморфизм u : R → R. По-

этому отображение u и обратное ему отображение u-1 являются голоморфными функциями,

определяемыми степенными рядами с радиусом сходимости r = +∞. На основании же того

факта, что радиусы сходимости вещественного степенного ряда и биективно ему соответствую-

щего комплексного степенного ряда с вещественными коэффициентами одинаковы (формула

Коши-Адамара [13, с. 39; 14, с. 114]), приходим к выводу, что голоморфные функции ком-

плексного переменного u_c и u-1c, соответствующие голоморфным функциям вещественного

переменного u и u-1, являются целыми. Но, как показано, например, в [14, с. 145], функ-

ция u_c является целой линейной функцией. Следовательно, первая из функций (22) имеет

представление u = x для любого x ∈ R.

∑_n

Поэтому, заменяя в тождествах (11) αk, k = 2, ∞, нулями, а суммы

β_kx^k и

∑_n

∑_∞

k=2

kβ_kxk-1 на суммы

β_kx^k и

kβ_kxk-1 соответственно, приходим к соотноше-

k=2

ниям

∑

H_sxs-1 ≡ β_kx^k + γs-1x^s,

s=2

k=2

s=2

∑

A_kx^k + x+ A_kxk

H_sxs-1 + β_kxk

γs-1xs-1 ≡ y

Bk-1xk-1 + kβ_kxk-1 +

k=2

s=2

k=2

s=2

k=2

}

∑

Bk-1xk-1 + kβ_kxk-1

H_sxs-1 - γs-1

xs-1

(23)

k=2

s=2

Тождества (23) означают, что справедливы равенства

H_s = 0, β_k = -γk-1, s,k = 2,∞,

и тождества

∑

A_kx^k - β_kxk

β_kxk-1 ≡ 0,

Bk-1xk-1 + (k + 1)β_kxk-1 ≡ 0,

k=2

т.е. имеют место равенства (12)-(15), что и доказывает теорему 8.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

АМЕЛЬКИН

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sabatini M. On the period function of Liénard systems // J. Differ. Equat. 1999. V. 152. P. 467-487.

2. Sabatini M. Non-periodic isochronous oscillations in plane differential systems // Ann. di Matem. 2003.

V. 182. № 4. P. 487-501.

3. Абдуллаев Н. Об изохронности при нелинейных колебаниях // Тр. Тадж. учительского ин-та

им. С.С. Айни. 1954. Вып. 2. С. 71-78.

4. Чемоданов В.И. Об изохронности в случае фокуса // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5. № 5.

С. 964-966.

5. Куклес И.С., Пискунов Н.С. Об изохронности колебаний для консервативных и неконсервативных

систем // Докл. АН СССР. 1937. Т. 17. № 9. С. 467-470.

6. Conti R. Uniform isochronous centers of polynomial systems in R2 // Lect. Notes Pure Appl. Math.

1994. V. 152. P. 21-31.

7. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических сис-

тем второго порядка. М., 1966.

8. Giné J., Grau M. Characterization of isochronous foci for planar analytic differential systems // Proc.

of the Royal Soc. of Edinburgh. 2005. V. 135A. P. 985-998.

9. Амелькин В.В. Положительное решение одной гипотезы в теории полиномиальных изохронных

центров систем Льенара // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 2. C. 147-152.

10. Амелькин В.В. Об одной гипотезе в теории изохронных систем Льенара // Дифференц. уравнения.

2017. Т. 53. № 10. C. 1283-1289.

11. Амелькин В.В. Сильная изохронность систем Льенара // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 5.

C. 579-582.

12. Algaba A., Reyes M. Characterizing isochronous points and computing isochronous sections // J. Math.

Anal. Appl. 2009. V. 355. P. 564-576.

13. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ. Кн. 3. Ч. 4. Функциональные последователь-

ности и ряды. Интегралы, зависящие от параметра. Ч. 5. Кратные интегралы. Интегралы по мно-

гообразиям. Минск, 2006.

14. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ. Кн. 4. Ч. 6. Теория аналитических функций

комплексного переменного. Минск, 2008.

Белорусский государственный университет,

Поступила в редакцию 10.01.2021 г.

г. Минск

После доработки 10.12.2021 г.

Принята к публикации 21.12.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022