ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.11-16

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.51+519.216.73

АНАЛОГ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА

ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, УПРАВЛЯЕМЫХ

ДРОБНЫМ БРОУНОВСКИМ ДВИЖЕНИЕМ

С ИНДЕКСОМ ХЁРСТА H ∈ (0, 1)

Получены аналоги уравнений Колмогорова для математических ожиданий и плотностей

распределений решений одномерных стохастических дифференциальных уравнений, уп-

равляемых дробным броуновским движением с индексом Хёрста H ∈ (0, 1).

DOI: 10.31857/S0374064122010022

Введение. Рассмотрим одномерное стохастическое дифференциальное уравнение

dY_t = f(Y_t)dB^Ht, t ∈ R₊ ≡ [0,∞),

(1)

где B^Ht - одномерное дробное броуновское движение с индексом Хёрста H ∈ (0, 1), функция

f : R → R является детерминированной и имеет непрерывные и ограниченные производные

любого порядка m ∈ {0, . . . , [1/H] + 1}. Дифференциальные уравнения (1), вообще говоря, не

могут быть исследованы в рамках как классической теории стохастических дифференциаль-

ных уравнений Ито [1], так и теорий Лайонса и Губинелли потраекторного интегрирования по

грубым траекториям [2, 3]. В статьях [4, 5] разработан функциональный вариант теории ин-

тегрирования по грубым траекториям с произвольным положительным показателем Гёльдера

и с его помощью доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости решений

уравнений (1).

В настоящей работе получены аналоги уравнений Колмогорова для математических ожи-

даний и плотностей распределений решений одномерных стохастических дифференциальных

уравнений (1). Полученные результаты обобщают известные аналогичные результаты для од-

номерных стохастических дифференциальных уравнений Ито [6, гл. 4], а также для одно-

мерных стохастических дифференциальных уравнений, управляемых дробными броуновски-

ми движениями с показателями Хёрста H > 1/3 [7, 8].

Для определения решений уравнения (1) нам понадобится ряд определений и понятий,

введённых в статье [4].

Определение грубых траекторий. Зафиксируем какие-либо T > 0 и α ∈ (0,1]. Пусть

V - конечномерное евклидово пространство. Через C^α([0,T],V ) и Cα2 ([0,T],V ) обозначим

множества функций f : [0, T ] → V и g : [0, T ]² → V соответственно, для которых величины

|f_t - f_s|

|g_s,t|

∥f∥_α := sup

∥g∥α,2 := sup

s,t∈[0,T]

|t - s|^α

s,t∈[0,T]

|t - s|^α

s=t

конечны. Далее для функции двух переменных g_s,t будем писать ∥g∥_α вместо ∥g∥α,2. Для

функции одной переменной f_t через f_s,t будем обозначать приращение f_t - f_s.

Для k ∈ Z₊ обозначим через C^kb(R, R) нормированное пространство функций h : R → R,

норма в котором задаётся равенством

∑

∥h∥_Ck :=

∥Dⁱh∥_∞,

i=0

где ∥Dⁱh∥_∞ = sup |Dⁱh(x)|.

x∈R

ВАСЬКОВСКИЙ

Положим n = [1/α]. Обозначим через C^α([0, T ], V ) множество α-непрерывных по Гёль-

деру грубых траекторий, т.е. множество элементов X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) таких, что Xⁱ ∈

∈ Ciα2([0,T],V

^⊗i) для любого i = 1,n, и для всех s,u,t ∈ [0,T] выполняется тождество

∑_i

Чена X_s,t = X_s,u ⊞ X_u,t, в котором (X_s,u ⊞ X_u,t)ⁱ =

X^s,u

^⊗X^i-ju,t. Отметим, что опера-

j=0

⊕

ция ⊞ задаёт умножение на тензорной алгебре T(n)(V ) =

^⊗i, где V⊗0 = R. Таким

i=0

образом, элемент X : [0, T ]² → T(n)(V ) однозначно определяется значениями X0,t, t ∈ [0, T ],

поскольку X_s,t = (X0,s)-1 ⊞ X0,t. Далее будем писать X_t вместо X0,t.

Грубая траектория X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) называется геометрической, если

Sym(X^is,t) =

(X1s,t)

^⊗i для всех i = 1,n.

Множество геометрических грубых траекторий обозначим через C^αg([0, T ], V ).

Будем говорить, что элемент X ∈ C^α([0, T ], V ) является грубой траекторией над X ∈

∈ C^α([0,T],V ), если X10,t = X_t для любых t ∈ [0,T].

Определение слабо управляемых грубых траекторий. Пусть X ∈ C^α([0,T],V ),

а X = (1,X¹,...,Xⁿ) - грубая траектория над X. Пусть W - конечномерное евклидо-

во пространство. Будем говорить, что функция Y_t ∈ C^α([0, T ], W ) слабо управляется гру-

бой траекторией X ∈ C^α([0,T],V ), если существуют функции Y⁽¹⁾ : [0,T] → L(V,W),

^⊗ (n-1),W)такие,что

..., Y (n-1) : [0,T] → L(V

Y_s,t = Y(1)sX1s,t + ... + Y(n-1)sXn-1s,t + R^Y,ns,t, Y(1)s,t = Y(2)sX1s,t + ... + Y(n-1)sXn-2s,t + RY,n-1s,t,

...,

Y(n-2)s,t =Y(n-1)sX1s,t +RY,2s,t, Y(n-1)s,t =RY,1s,t;

а величина ∥R^Y,i∥_iα, i = 1, n, конечна для каждого из остаточных членов R^Y,i. Функцию

Y (i) будем называть грубой производной порядка i от Y.

Введём банахово пространство

{

}

∑

DαX([0,T],W) = (Y,Y⁽¹⁾,... ,Y(n-1)) : Y ∈ C^α([0,T],W),

∥R^Y,i∥_iα < ∞

i=1

задав сначала в нём полунорму

∑

∥(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1))∥_Dα :=

∥R^Y,i∥_iα,

i=1

а затем определив норму элемента Y = (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], W ) равенством

∑

∥Y∥_Dα :=

|Y(i)0| + ∥(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1))∥_Dα ,

i=0

где Y(0)t = Y_t.

Определение интеграла по грубым траекториям. Пусть V, W - некоторые конечно-

мерные евклидовы пространства, X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈ C^α([0, T ], V ), Y ∈ C^α([0, T ], L(V, W )),

(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], L(V, W )). Зафиксируем некоторые s, t ∈ [0, T ], s < t, через

P обозначим произвольное конечное разбиение отрезка [s, t], а через |P| его диаметр.

∫t

Грубым потраекторным интегралом

Y_r dX_r назовём следующий предел интегральных

сумм (если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [s, t]):

∫

∑

Y_r dX_r := lim

Y(i)uXi+1u,v.

|P|→0

[u,v]∈P i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

АНАЛОГ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА

Определение грубых траекторий на полуоси. Пусть β ∈ (1/(n + 1),1/n], X ∈

∈ C^β(R₊,R), т.е. при любом T > 0 сужение X|[0,T] принадлежит пространству C^β([0,T],R).

Для каждого i ∈ {1, . . . , n} определим X^is,t = (X_s,t)ⁱ/i!, s, t ∈ R₊.

Элемент X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) : R²⁺ → T(n)(R) будем называть геометрической грубой

траекторией над X. Множество геометрических грубых траекторий X над X по всем X ∈

∈C^β(R₊,R) обозначимчерез

g (R+, R). Если X ∈

g (R+, R), то X|[0,T ]2 ∈

g ([0, T ], R) для

любого T > 0.

Пусть α, β ∈ (1/(n + 1), 1/n], α < β. Будем говорить, что функция Y ∈ C^α(R₊, R) слабо

управляется геометрической грубой траекторией X ∈

g (R+, R), если существуют функции

Y(i) : R+ → R, i ∈ {1,...,n - 1}, такие, что величины

∥R^Y,i|[0,T]2 ∥_iα конечны при любом

T > 0 для каждого остаточного члена R^Y,i, i ∈ {1,...,n}, где

∑

R^Y,is,t = Y(n-i)s,t -

Y(n-i+j)sX^js,t.

j=1

Скажем, что вектор-функция Y = (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) принадлежит множеству DαX(R₊, R),

если при любом T > 0 её сужение Y|[0,T] принадлежит пространству DαX([0, T ], R).

Пусть Y ∈ C^α([0, T ], R), (Y, Y⁽¹⁾, Y⁽²⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], R); g ∈ C^nb(R, R). По ана-

логии с формулой Фаа-Ди-Бруно положим (см., например, [4])

∑

(g(Y ))(k) =

D^jf(Y )B_k,j(Y⁽¹⁾,... ,Y(k-j+1)), k = 1,n - 1,

(3)

j=1

где B_k,j(x₁, . . . , xk-j+1) - многочлены Белла [4].

Стохастические дифференциальные уравнения, управляемые грубыми траекто-

риями. Пусть на полном вероятностном пространстве (Ω,F,P) с потоком σ-алгебр (F_t)t≥0

задан F_t-согласованный случайный процесс X_t, t ∈ R₊, такой, что почти все траектории

процесса X_t принадлежат пространству C^β(R₊, R), β ∈ (1/(n + 1), 1/n]. Определим про-

цесс X_· = (1, X10,·, . . . , Xn0,·) как случайную величину, принимающую значения во множестве

g (R+, R) п.н., где Xs,t = (Xs,t)ⁱ/i!.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

dY_t = f(Y_t)dX_t, t ∈ R₊.

(4)

Определение. Пусть ξ : Ω → R - F₀-измеримая случайная величина. Решением урав-

нения (4) с начальным условием Y₀ = ξ назовём F-измеримую случайную величину Y =

= (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) со значениями в DαX(R₊, R) п.н., 1/(n + 1) < α < β, такую, что слу-

чайный процесс Y_t является F_t-согласованным и п.н. для всех t ∈ R₊ выполняется равенство

∫t

Y_t = ξ + f(Y_s)dX_s,

интеграл в котором является грубым потраекторным интегралом, а грубые производные от

f (Y ), участвующие в его определении, задаются формулами (3). Решение уравнения (4) с

начальным условием Y₀ = ξ будем называть единственным, если для любых двух решений

Y иY уравнения (4) с начальным условием Y₀ = ξ выполняется равенство P(Y =Y) = 1.

В дальнейшем решением уравнения (4) будем также называть и процесс Y_t.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

dZ_t = f(Z_t) dt, t ∈ R.

(2)

Пусть S_t, t ∈ R, - поток, соответствующий уравнению (2), т.е. Z_t = S_tZ₀.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ВАСЬКОВСКИЙ

Предложение [4, теорема 3]. Пусть α, β ∈ (1/(n + 1), 1/n], α < β, X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈

∈

g (R+, R) п.н. Если f ∈ Cn+1b(R, R), то для любой F0-измеримой случайной величины

ξ : Ω → R существует единственное решение Y = (Y,Y(1),...,Y(n-1)) уравнения (4) с

начальным условием Y₀ = ξ и п.н. выполняются равенства

Y_t = SX0,tξ, Y(i)t = Di-1ff(Y_t), i ∈ {1,... ,n - 1}, t ∈ R₊,

где (D_f h)(z) := f(z)Dh(z).

В дальнейшем полагаем, что X_t = B^Ht , где B^Ht - одномерное дробное броуновское дви-

жение с индексом Хёрста H ∈ (0, 1), а функция f принадлежит классу Cn+1b(R, R), где

(n + 1)H > 1.

Теорема 1. Пусть Y^xt - решение уравнения (1) с начальным условием Y₀ = x ∈ R, функ-

ция h : R → R вместе со своими частными производными до второго порядка включительно

непрерывна и имеет полиномиальный порядок роста. Тогда функция u(x,t) = E(h(Y^xt)) удо-

влетворяет уравнению

∂u(x, t)

= (A_tu(t, · ))(x), t > 0, x ∈ R,

∂t

и начальному условию u(x,0) = h(x), x ∈ R, где

(A_tψ)(x) = Ht2H-1f(x)(f(x)ψ^′′(x) + f^′(x)ψ^′(x)).

Доказательство. Определим функцию G : R² → R следующим образом:

G(x, τ) = h(S_τ x), x ∈ R, τ ∈ R.

Применяя формулу Ито [9] к процессу G(x, B^Ht ), t ∈ R₊, получаем соотношение

∫^t

∫

∂G(x, B^H

)

∂²G(x,B^Hs)

G(x, B^Ht ) = G(x, 0) +

⋄ dB^Hs + Hs2H-1

ds,

(5)

∂τ

∂τ²

стохастический интеграл в котором - это интеграл Вика-Ито-Скорохода [10, гл. 2].

Используя соотношение

∂Z(x,t)

= f(x)

∂t

∂x

где Z(x, t) - решение уравнения (2) с начальным условием Z₀ = x, выразим частную произ-

водную ∂²G(x, τ)/∂τ² через частные производные ∂²G(x, τ)/∂x² и ∂G(x, τ)/∂x. Получаем

∂G(x, τ)

∂Z(x,τ)

= h^′(Z(x,τ))

= h^′(Z(x,τ))f(x)

∂τ

∂x

(

)₂

∂²G(x, τ)

∂Z(x,τ)

∂²Z(x,τ)

= h^′′(Z(x,τ)) f(x)

+ h^′(Z(x,τ))f(x)

∂τ²

∂x

∂x∂τ

(

)₂

(

)

∂Z(x,τ)

∂²Z(x,τ)

= h^′′(Z(x,τ)) f(x)

+ h^′(Z(x,τ))f(x) f^′(x)

+ f(x)

(6)

∂x

∂x²

∂G(x, τ)

∂Z(x,τ)

= h^′(Z(x,τ))

(7)

∂x

∂²G(x,τ)

⁽∂Z(x,τ))2

∂²Z(x,τ)

= h^′′(Z(x,τ))

+ h^′(Z(x,τ))

(8)

∂x²

∂x

∂x²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

АНАЛОГ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА

В силу равенств (6)-(8) находим, что

∂²G(x,τ)

∂G(x, τ)

= f²(x)

+ f(x)f^′(x)

(9)

∂τ²

∂x²

∂x

Согласно предложению имеем u(x, t) = EG(x, B^Ht ). Тогда из соотношений (5), (9), теоремы

Фубини и правила Лейбница вытекает равенство

∫t

u(x, t) = ψ(x, 0) + Hs2H-1(D2fu( · , s))(x) ds,

из которого следует, что

∂u

= Ht2H-1D2fu.

∂t

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть p(t, x, y) - плотность распределения решения Y^xt уравнения (1) с

начальным условием Y₀ = x ∈ R. Тогда функция p(t, x, y) удовлетворяет равенству

∂p(t,x,y)

= (A^∗tp(t, x, · ))(y), t > 0, x, y ∈ R,

∂t

где A^∗t - оператор, сопряжённый к оператору A_t.

Доказательство. Существование и гладкость функции p(t, x, y) вытекают из пред-

ложения.

Возьмём произвольную функцию h(y) с компактным носителем, имеющую ограниченные

и непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим через A_t

оператор, действующий по правилу

(

)

(A_th)(y) = Ht2H-1f(y) f(y)h^′′(y) + f^′(y)h^′(y) ,

t > 0, y ∈ R.

Пусть u(x, t) = Eh(Y^xt), тогда

∫

u(x, t) = h(y)p(t, x, y) dy.

Применяя теорему 1 и правило Лейбница, получаем равенство

∫ (

)

∂p(t,x,y)

h(y)

- p(t,x,y)(A_th)(y) dy = 0,

∂t

из которого вытекает, что

∫ (

)

∂p(t,x,y)

h(y)

- h(y)(A^∗tp(t, x, · ))(y) dy = 0.

(10)

∂t

Теперь из соотношения (10) и плотности в пространстве L₁(R, R) множества функций

с компактным носителем, имеющих непрерывные ограниченные производные всех порядков,

вытекает требуемое утверждение. Теорема доказана.

Замечание. Если H = 1/2, то результаты теорем 1 и 2 совпадают с уравнениями Колмо-

горова для математических ожиданий и плотностей распределений решений стохастических

дифференциальных уравнений Ито dY_t = f(Y_t) dW_t, где W_t - стандартное броуновское дви-

жение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ВАСЬКОВСКИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы.

М., 1986.

2. Lyons T. Differential equations driven by rough signals // Rev. Mat. Iberoamericana. 1998. V. 14. № 2.

P. 215-310.

3. Gubinelli M. Controlling rough paths // J. of Func. Anal. 2004. V. 216. № 1. P. 86-140.

4. Васьковский М.М. Существование и единственность решений дифференциальных уравнений, сла-

бо управляемых грубыми траекториями с произвольным положительным показателем Гёльдера

// Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 10. С. 1305-1317.

5. Васьковский М.М. Устойчивость решений стохастических дифференциальных уравнений, сла-

бо управляемых грубыми траекториями с произвольным положительным показателем Гёльдера

// Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 11. С. 1443-1449.

6. Леваков А.А., Васьковский М.М. Стохастические дифференциальные уравнения и включения.

Минс77 юк, 2019.

7. Baudoin F., Coutin L. Operators associated with a stochastic differential equation driven by fractional

Brownian motions // Stoch. Processes and their Appl. 2007. V. 117. P. 550-574.

8. Vaskouski M., Kachan I. Asymptotic expansions of solutions of stochastic differential equations driven

by multivariate fractional Brownian motions having Hurst indices greater than 1/3 // Stoch. Anal. and

Appl. 2018. V. 36. № 6. P. 909-931.

9. Cheridito P., Nualart D. Stochastic integral of divergence type with respect to fractional Brownian

motion with Hurst parameter h in (0,1/2) // Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat. 2005. V. 41. № 6.

P. 1049-1081.

10. Mishura Y. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes. Berlin, 2008.

Белорусский государственный университет,

Поступила в редакцию 23.08.2021 г.

г. Минск

После доработки 23.09.2021 г.

Принята к публикации 23.11.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022