ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.17-22

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.926.4

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ, СОХРАНЯЮЩИЕ

СВОЙСТВО ПОСТОЯНСТВА ШИРИНЫ

Получено полное описание линейных дифференциальных уравнений с производной Хуку-

хары, сохраняющих свойство решений быть множествами постоянной ширины.

DOI: 10.31857/S0374064122010034

1. Введение. Постановка задачи. Решения обыкновенных дифференциальных урав-

нений с производной Хукухары [1; 2, с. 14] при каждом значении независимой переменной

являются компактными выпуклыми множествами. Поэтому исследование свойств решений

таких уравнений включает в себя изучение изменения и/или асимптотического поведения как

функций независимой переменной геометрических характеристик множеств, являющихся зна-

чениями решения. Так, например, в работе [3] вычислены показатели Ляпунова радиусов впи-

санных и описанных сфер решений линейных стационарных дифференциальных уравнений

с производной Хукухары, а в работе [4] дано полное описание линейных стационарных диф-

ференциальных уравнений с производной Хукухары, сохраняющих многогранники, т.е. таких

уравнений, что любое их решение, которое при начальном значении независимой переменной

является многогранником, остаётся многогранником и для всех последующих значений.

Изучению геометрических характеристик решений линейных дифференциальных уравне-

ний с производной Хукухары посвящена и настоящая работа, но прежде чем сформулировать

полученный результат приведём ряд необходимых определений.

Для произвольного множества X ⊂ R^d и любого вектора v ∈ R^d единичной длины через

w(X, v) обозначим длину ортогональной проекции множества X на прямую, параллельную

вектору v, т.е. w(X, v) = sup

v^тx - inf v^тx.

x∈X

Определение 1. Множество X ⊂ R^d называется множеством постоянной ширины, если

длина его ортогональной проекции на произвольную прямую равна одному и тому же числу

w(X), которое называется шириной множества X.

Определение 2. Суммой Минковского Z = X +Y двух множеств X,Y ⊂ R^d называется

= {x + y : x ∈ X, y ∈ Y }.

Для матрицы A, имеющей d столбцов, и X ⊂ R^d положим AX = {Ax : x ∈ X}. Отметим,

что для действительных матриц A и B, состоящих из d столбцов, и множества X ⊂ R^d,

вообще говоря, (A + B)X = AX + BX.

Определение 3 [1]. Множество Z ⊂ R^d такое, что X = Y +Z, где X,Y ⊂ R^d, называется

разностью Хукухары между множествами X и Y и обозначается как Z = X - Y.

= {x ∈ R^d : ∥x∥ ≤ 1} обозначим замкнутый шар единичного радиуса с центром

в начале координат. Через Ω(R^d) обозначим семейство всех непустых ограниченных подмно-

жеств пространства R^d.

Определение 4. Расстоянием Хаусдорфа h(·,·) на множестве Ω(R^d) называется ве-

личина

= inf{r ≥ 0 : X ⊂ Y + rB, Y ⊂ X + rB}, X, Y ∈ Ω(R^d).

Совокупность всех непустых выпуклых компактных подмножеств пространства R^d обо-

значим через K_c(R^d). Согласно теореме Хана пара (K_c(R^d), h) - полное метрическое прост-

ранство. Через I ⊂ R обозначим какой-либо интервал, вообще говоря, неограниченный.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ВОЙДЕЛЕВИЧ

Определение 5 [1]. Отображение X : I → K_c(R^d) называется дифференцируемым по Ху-

кухаре в точке t₀ ∈ I, если пределы

X(t₀ + Δt) - X(t₀)

X(t₀) - X(t₀ - Δt)

lim

Δt→+0

Δt

Δt→+0

Δt

существуют и равны между собой. В этом случае общее значение этих пределов, являющее-

ся, очевидно, выпуклым компактом, обозначается через D_H X(t₀) и называется производной

Хукухары отображения X в точке t₀.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

∑

D_HX = A_i(t)X, X(t) ∈ K_c(R^d), t ∈ R₊ ≡ [0,∞),

(1)

i=1

с непрерывными d×d-матрицами коэффициентов A_i(·), 1 ≤ i ≤ n. Будем говорить, что урав-

нение (1) сохраняет свойство постоянства ширины, если для произвольного её решения X(·)

такого, что X(0) - множество постоянной ширины, верно, что X(t) - множество постоянной

ширины при любом t ≥ 0. Естественно возникает задача получить необходимое и достаточ-

ное условие того, что уравнение (1) сохраняет свойство множества иметь постоянную ширину.

Полное решение сформулированной задачи даёт теорема, доказанная в данной работе.

2. Основной результат. Докажем сначала ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Пусть X : [a, b] → K_c(R^d) - дифференцируемое отображение. Тогда для любого

ε > 0 найдётся такая последовательность чисел a = t₁ < t₂ < ... < tn+1 = b, что верны

неравенства

(

)

X(ti+1) - X(t_i)

,D_HX(t_i)

< ε,

1 ≤ i ≤ n.

ti+1 - t_i

Доказательство. Назовём число c ∈ (a, b] хорошим, если для любого ε > 0 существует

такая последовательность чисел a = τ₁ < τ₂ < . . . < τm+1 = c, что

(

)

X(τi+1) - X(τ_i)

,D_HX(τ_i)

< ε,

1 ≤ i ≤ m.

τi+1 - τ_i

Через S обозначим множество всех хороших чисел. Необходимо доказать, что b ∈ S. Так как

отображение X дифференцируемо в точке a, то, очевидно, множество S непустое. Обозна-

чим sup S через ξ. Покажем, что ξ - хорошее число. Из определения производной следует,

что для некоторого δ > 0 и любого t ∈ [ξ - δ, ξ) выполнено неравенство

(

)

X(ξ) - X(t)

,D_HX(ξ)

< ε.

ξ-t

Так как в полуинтервале [ξ - δ, ξ) найдётся хотя бы один элемент множества S, то ξ - хоро-

шее число. Аналогичным образом доказывается, что если ξ < b, то найдётся хорошее число

η > ξ. Последнее неравенство противоречит определению точной верхней грани числового

множества. Следовательно, b ∈ S. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть X : [a, b] → K_c(R^d) - непрерывно дифференцируемое отображение. Тогда

для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любых t₀ < t₁ ∈ [a, b], для которых

t₁ - t₀ ≤ δ, верно неравенство

(

)

X(t₁) - X(t₀)

,D_HX(t₀)

< ε.

(2)

t₁ - t₀

Доказательство. Выберем такое δ > 0, что для любых t₀, t₁ ∈ [a, b], для которых

|t₁ - t₀| ≤ δ, верно неравенство h(D_H X(t₀), D_H X(t₁)) < ε/2. Существование такого числа

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ

δ вытекает из непрерывности производной D_H X(·). Согласно лемме 1 найдётся такая после-

довательность t₀ = τ₁ < τ₂ < . . . < τm+1 = t₁, что

h(X(τi+1) - X(τ_i), Δτ_iD_H X(τ_i)) <

Δτ_i,

1 ≤ i ≤ m,

= τi+1 - τ_i. Следовательно,

(

)

∑

h X(t₁) - X(t₀),

Δτ_iD_HX(τ_i)

(t₁ - t₀).

i=1

С другой стороны, в силу выбора числа δ справедливо неравенство

(

)

∑

) (_m∑

∑

h (t₁ - t₀)D_H X(t₀),

Δτ_iD_HX(τ_i)

= h Δτ_iD_HX(t₀), Δτ_iD_HX(τ_i)

(t₁ - t₀).

i=1

Поэтому h(X(t₁) - X(t₀), (t₁ - t₀)D_H X(t₀)) < ε(t₁ - t₀). Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть X : [a, b] → K_c(R^d) - решение уравнения (1) и для каждого натураль-

ного числа m последовательность (X^mj)mj=0 выпуклых компактных множеств определена

равенствами

(

)

∑

b-a

Xm0 = X(a), Xmj+1 = X^mj +

A_i a +

j X^mj,

0 ≤ j ≤ m - 1.

i=1

Тогда X^mm → X(b) при m → +∞.

∑_n

Доказательство. Обозначим max

∥A_j (t)∥ через M. Выберем произвольно ε > 0.

i=1

t∈[a,b]

Согласно лемме 2 существует такое натуральное число N_ε, что для любых t₀, t₁ ∈ [a, b], для

которых 0 < t₁ - t₀ < (b - a)/N_ε, верно неравенство (2). Пусть m ≥ N_ε. Обозначим Δt = (b -

- a)/m и t_j = a + j(b - a)/m, 0 ≤ j ≤ m. Индукцией по j докажем неравенство

∑

h(X(t_j ), X^mj) ≤ εΔt

(1 + MΔt)^k.

k=0

При j = 0 неравенство, очевидно, выполнено. Предположим, что неравенство верно для неко-

торого j от 0 до m - 1. Тогда

(

)

∑

h(X(tj+1), Xmj+1) ≤ h X(tj+1), X(t_j ) + Δt

A_i(t_j)X(t_j)

i=1

(

)

∑

+ h X(t_j) + Δt A_i(t_j)X(t_j),X^mj + Δt A_i(t_j)X^m

≤

i=1

∑

≤ εΔt + h(X(t_j ), X^mj) + Δt h(A_i(t_j)X(t_j ), A_i(t_j )X^mj) ≤

i=1

∑

≤ εΔt + (1 + MΔt)h(X(t_j ), X^mj) ≤ εΔt

(1 + MΔt)^k.

k=0

Следовательно,

∑

(1 + MΔt)m+1 - 1

h(X(b), X^mm) ≤ εΔt

(1 + MΔt)^k = εΔt

≤

eM(m+1)Δt.

MΔt

k=0

Так как (m + 1)Δt ≤ 2(b - a), то X^mm → X(b) при m → +∞. Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

2^∗

ВОЙДЕЛЕВИЧ

Через O_d обозначим множество всех действительных d × d-матриц A, для каждой из

которых найдётся такое действительное число α ∈ R, что выполнено равенство A^тA = α²I.

Другими словами, множество O_d состоит из всех d × d-матриц, вектор-столбцы которых по-

парно ортогональны и равны по длине. Очевидно, что если A ∈ O_d, то и A^т ∈ O_d.

Лемма 4. Семейство множеств постоянной ширины замкнуто относительно сложения

и умножения на матрицы из множества O_d.

Доказательство. Пусть X, Y

∈ K_c(R^d) - множества постоянной ширины и A ∈ O_d.

Покажем, что X +Y и AX - множества постоянной ширины. Выберем произвольные векторы

v1 и v2 ∈ Rd единичной длины. Так как A ∈ Od, то для некоторого α ≥ 0 верно равенство

AA^т = α²I. Поэтому ∥A^тv₁∥ = ∥A^тv₂∥ = α. Утверждение леммы следует из равенств

w(X + Y, v₁) = w(X, v₁) + w(Y, v₁) = w(X, v₂) + w(Y, v₂) = w(X + Y, v₂),

(

)

(

)

A^тv₁

A^тv₂

w(AX, v₁) = ∥A^тv₁∥w X,

= ∥A^тv₂∥w X,

= w(AX,v₂).

∥A^тv₁∥

∥A^тv₂∥

(Отметим, что последняя цепочка равенств имеет смысл, если α = 0. Если же α = 0, то,

очевидно, w(AX, v₁) = 0 и w(AX, v₂) = 0.)

Лемма 5. Если A_i(t) ∈ O_d,

1 ≤ i ≤ n, при всех t ≥ 0, то уравнение (1) сохраняет

свойство постоянства ширины.

Доказательство. Пусть X(·) - какое-либо решение уравнения (1) такое, что X(0) - мно-

жество постоянной ширины. Зафиксируем какой-либо момент времени t > 0 и докажем, что

X(t) - множество постоянной ширины. Для произвольного натурального m рассмотрим после-

довательность (X^mj)mj=1, определённую в лемме 3. Индукцией по j доказывается, что X^mj -

множество постоянной ширины. Действительно, база индукции выполнена, так как Xm0 =

= X(0), а справедливость шага индукции следует из леммы 4.

Так как X^mm → X(t) при m → +∞, то X(t) - множество постоянной ширины. Лемма

доказана.

Лемма 6. Пусть a и b - различные неотрицательные действительные числа. Тогда

найдётся такое ε > 0, что для всех действительных чисел x и y верно неравенство

√

ax² + by² +

bx² + ay² ≥ (√a +√b + ε)√x2 + y2.

(3)

Доказательство. Для произвольных действительных чисел α₁, β₁, α₂, β₂ справедливо

неравенство

√

α²¹ + β²¹ + α²² + β²² ≥

(α₁ + α₂)² + (β₁ + β₂)²,

(4)

которое следует из неравенства треугольника. При этом неравенство (4) обращается в равен-

ство тогда и только тогда, когда векторы (α₁, β₁)^т и (α₂, β₂)^т коллинеарны, т.е. α₁β₂ = α₂β₁.

√

ax² + by² +

bx² + ay² -(√a+√b), заданную на окруж-

= {(x, y): x² + y² = 1} единичного радиуса с центром в начале координат. Согласно

неравенству (4) имеем

√

ax² + by² +

bx² + ay² ≥

(√ax +√bx)2 + (√ay +√by)2 = (√a +√b)√x2 + y2.

Следовательно, f(x, y) ≥ 0. Более того, так как векторы (ax, by)^т и (bx, ay)^т не коллинеар-

ны при (x, y) ∈ S¹, то f(x, y) > 0. Непрерывная функция f(x, y) достигает минимального

= min f(x,y) > 0. Следовательно, при

(x,y)∈S¹

(x, y) ∈ S¹ справедливо неравенство

√

ax² + by² +

bx² + ay² ≥ (√a +√b + ε).

(5)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ

Пусть теперь x и y - произвольные действительные числа. Если x = y = 0, то неравен-

ство (3), очевидно, верно. Если x² + y² = 0, то неравенство (3) вытекает из неравенства (5),

√

в котором вместо x и y следует взять x/

x² + y² и y/

x² + y² соответственно, а затем

√

умножить левую и правую части на

x² + y². Лемма доказана.

Лемма 7. Пусть a_i, b_i, c_i

(1 ≤ i ≤ n) - действительные числа такие, что квадратич-

ные формы a_ix² + 2b_ixy + c_iy² неотрицательно определены и верно тождество

∑√

√

a_ix² + 2b_ixy + c_iy² ≡

x² + y².

(6)

i=1

Тогда a_i = c_i и b_i = 0, q ≤ i ≤ n.

Доказательство. Предположим противное. Без нарушения общности будем считать, что

либо a₁ = c₁, либо b₁ = 0. Существует ортогональная замена координат

(

)

(

)(

)

cos ϕ

- sin ϕ

x^′

sin ϕ cos ϕ

y^′

которая приводит квадратичную форму a₁x² + 2b₁xy + c₁y² к канонической форме. При этом

ортогональная замена координат не меняет коэффициенты у квадратичных форм со скаляр-

ной матрицей коэффициентов, т. е. с диагональной матрицей коэффициентов, элементы глав-

ной диагонали которой равны. Поэтому далее считаем, что b₁ = 0, но a₁ = c₁.

Подставляя в тождество (6) вместо x и y соответственно числа

и 0, находим, что

∑_n

√a_i = 1. Аналогично,∑ni=1 √c_i = 1. Меняя местами x и y в тождестве (6), получаем

i=1

равенство

∑√

√

c_ix² + 2b_ixy + a_iy² =

x² + y².

(7)

i=1

Сложив тождества (6) и (7), будем иметь

)

∑(√

√

a_ix² + 2b_ixy + c_iy² +

c_ix² + 2b_ixy + a_iy²

x² + y².

i=1

Согласно лемме 6 при некотором ε > 0 для всех действительных чисел x и y верно

неравенство

√

a₁x² + c₁y² +

c₁x² + a₁y² ≥ (√a1 +√c1 + ε)√x2 + y2.

Следовательно,

)

∑(√

√

a_ix² + 2b_ixy + c_iy² +

c_ix² + 2b_ixy + a_iy²

≤ (2 -

√a₁ -√c₁ - ε)^√x2 + y2.

(8)

i=2

Из неравенства (8) при x = 1 и y = 0 вытекает, что

∑

(√ai +√ci) ≤ 2 -√a1 -√c1 - ε =

(√ai +√ci) - ε.

i=2

Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Лемма 8. Пусть A₁, A₂, . . . , A_n - действительные d×d-матрицы и α ≥ 0. Равенство

∥A₁v∥ + ∥A₂v∥ + . . . + ∥A_nv∥ = α∥v∥

(9)

выполнено для произвольного вектора v ∈ R^d, если и только если найдутся такие неотри-

цательные действительные числа α₁, α₂, . . . , α_n ≥ 0, что

∑

AтiA_i = α2iI,

1 ≤ i ≤ n, и

α_i = α.

(10)

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ВОЙДЕЛЕВИЧ

Доказательство. Если для неотрицательных чисел α₁, α₂, . . . , α_n выполнены равен-

ства (10), то для любого вектора v ∈ Rⁿ получаем, что

√

∥A_iv∥ =

v^тAтiA_iv = α_i

v^тv = α_i∥v∥,

1 ≤ i ≤ n,

∑_n

а значит,

∥A_iv∥ =

α_i∥v∥ = α∥v∥.

i=1

Предположим теперь, что равенство (9) верно для произвольного вектора v ∈ R^d. До-

кажем, что вектор-столбцы матриц A_i,

1 ≤ i ≤ n, попарно ортогональны и имеют равные

длины. Пусть e_j и e_k - векторы канонического базиса пространства R^d. Тогда A_ie_j и A_ie_k -

столбцы матрицы A_i с номерами j и k соответственно. Обозначим a_i = ∥A_ie_j∥², b_i =

= (A_ie_j , A_ie_k) и c_i = ∥A_ie_k∥². Для произвольных действительных чисел x и y положим

v = xe_j + ye_k. Так как

√

∥A_iv∥ =

a_ix² + 2b_ixy + c_iy² и

∥v∥ =

x² + y²,

то из леммы 7 следует, что a_i = c_i и b_i = 0.

Обозначим через α_i длину вектор-столбцов матрицы A_i. Тогда ∥AтiA_i∥ = α2iI, а значит,

∑_n

∥A_iv∥ = α_i∥v∥, v ∈ R. Следовательно,

α_i = α. Лемма доказана.

i=1

Лемма 9. Если уравнение (1) сохраняет свойство постоянства ширины, то A_i(t) ∈ O_d,

1 ≤ i ≤ n, при всех t ≥ 0.

Доказательство. Пусть X(·) - решение уравнения (1) такое, что X(0) = B (напомним,

что через B мы обозначили замкнутый шар единичного радиуса с центром в начале коорди-

нат). Пусть w(t) - ширина множества X(t) в момент времени t ≥ 0. Выберем произвольный

вектор v ∈ R^d единичной длины. Так как

w(X(t + Δt), v) - w(X(t), v)

w(X(t + Δt) - X(t), v)

w(t) = lim

= lim

Δt→+0

Δt

Δt→+0

Δt

(

)

∑

Aтi(t)v

= w

X (t), v) =

w(A_i(t)X(t), v) =

∥Aтi(t)v∥w X(t),

= w(t)

∥Aтi(t)v∥

i=1

∑_n

и w(t) > 0, то величина

∥Aтiv∥ не зависит от выбора вектора v. Из леммы 8 следует,

i=1

что A_i(t) ∈ O_d, 1 ≤ i ≤ n. Лемма доказана.

Из лемм 5 и 9 вытекает основной результат работы.

Теорема. Уравнение (1) сохраняет свойство постоянства ширины, если и только если

существуют такие непрерывные функции α₁(·), α₂(·), . . . , α_n(·): [0, ∞) → R₊, что при всех

t ≥ 0 верны равенства

A_i(t)^тA_i(t) = α_i(t)E,

1 ≤ i ≤ n.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hukuhara M. Integration des applications measurables dont la valeur est un compact convexe // Funk.

Ekv. 1967. V. 10. P. 205-223.

2. Lakshmikantham V., Gnana Bhaskar T., Vasundhara Devi J. Theory of Set Differential Equations in

Metric Spaces. London, 2006.

3. Войделевич А.С. Показатели Ляпунова радиусов вписанных и описанных сфер решений стационар-

ных линейных дифференциальных уравнений с производной Хукухары // Дифференц. уравнения.

2021. Т. 57. № 4. С. 572-576.

4. Войделевич А.С. Стационарные линейные дифференциальные уравнения с производной Хукухары,

сохраняющие многогранники // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 12. С. 1695-1698.

Институт математики НАН Беларуси,

Поступила в редакцию 17.08.2021 г.

г. Минск

После доработки 20.11.2021 г.

Принята к публикации 23.11.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022