ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.23-36
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.4
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ, ЗАДАЮЩИХ
ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ, ПО ВЫХОДНЫМ ДАННЫМ
© 2022 г. Ш. А. Алимов, Н. М. Комилов
Рассматривается математическая модель процесса разогрева цилиндрической области с по-
мощью расположенных в ней источников тепла в предположении, что на боковой поверх-
ности теплообмен с окружающей средой происходит в соответствии с законом Ньютона.
Процесс разогрева управляется при помощи введения или выведения охлаждающих эле-
ментов. Доказывается, что характер изменения во времени объёма вводимых охлаждаю-
щих элементов однозначно восстанавливается по выходной мощности - функции временной
переменной, представляющей собой среднее взвешенное значение температуры в области.
DOI: 10.31857/S0374064122010046
1. Введение. Постановка задачи и формулировка результатов. В работе рассмат-
ривается математическая модель процесса разогрева некоторой области Ω ⊂ Rn с помощью
расположенных в ней источников тепла. Область Ω предполагается имеющей цилиндриче-
скую форму: Ω = D × (0, H). Основание D ⊂ Rn-1 представляет собой выпуклую область с
гладкой границей, а высота H является положительным числом.
В рассматриваемой области с некоторой плотностью g(x), x ∈ Ω, распределены постоян-
ные источники тепла. Управление процессом разогрева производится путём опускания сверху
или подъёма вверх охлаждающих элементов. При этом изменяется высота h “активной” зоны,
свободной от охлаждающих элементов, где 0 ≤ h ≤ H. Управление температурой носителя
тепла производится изменением высоты h(t) во времени.
Таким образом, управляющим параметром является непрерывная функция h(t), выбором
которой обеспечивается необходимый температурный режим.
Введём обозначение x = (x, xn), где x = (x1, x2, . . . , xn-1) ∈ D и 0 < xn < H.
Рассмотрим уравнение теплопроводности
∂u
= Δu(x,t) + f(x,t), x ∈ Ω, t > 0,
(1)
∂t
с граничными условиями Робена
∂u(x, t)
+ σ(x)u(x,t) = 0, x ∈ ∂D × [0,H], t > 0,
(2)
∂ν
∂u(x, 0, t)
∂u(x, H, t)
=
= 0,
x ∈ D, t > 0,
(3)
∂xn
∂xn
и начальным условием
u(x, 0) = 0, x ∈ Ω.
(4)
Мы предполагаем, что свободный член уравнения (1) имеет вид
f (x, t) = g(x)ω(xn, h(t)),
(5)
где h = h(t) - неизвестная непрерывная функция, удовлетворяющая при t ≥ 0 условию
0 ≤ h(t) ≤ H,
(6)
23
24
АЛИМОВ, КОМИЛОВ
а кусочно-постоянная функция ω определяется равенством
{
1
при
0 ≤ xn ≤ h,
ω(xn, h) =
(7)
0
при
xn > h.
Функция g в равенстве (5), представляющая собой плотность распределения источников теп-
ла, предполагается неотрицательной и принадлежащей классу L2(D). Далее будем предпола-
◦
гать, что функция g(x) принадлежит классу
W12(D), совпадающему с замыканием C∞0(D)
по норме пространства Соболева W12(D). Это означает, что плотность источников тепла ста-
новится пренебрежимо малой при приближении к цилиндрической границе области Ω.
Коэффициент теплообмена σ = σ(x) - заданная гладкая функция, не зависящая от коор-
динаты xn и не равная тождественно нулю. Условие (2) означает, что на поверхности ∂D ×
× [0, H] теплообмен с окружающей средой происходит в соответствии с законом Ньютона (см.
[1, гл. III, § 1, п. 4]).
Пусть ρ = ρ(x) - заданная весовая функция, не зависящая от xn. Это означает, что
∫
1
ρ(x) ≥ 0,
x∈D,
ρ(x) dx =
,
(8)
H
D
и, следовательно,
∫
∫
H
∫
ρ(x) dx = dxn ρ(x) dx = 1.
Ω
0
D
Всюду в дальнейшем предполагаем, что весовая функция ρ(x) принадлежит классу L2(D) и
не является ортогональной к плотности g(x).
Среднее взвешенное значение u(t) температуры по области Ω определяется равенством
∫
u(t) = u(x, t)ρ(x) dx.
Ω
Как правило, среднее взвешенное значение температуры однозначно определяет выходную
мощность рассматриваемого процесса.
В моделируемом процессе возможна критическая ситуация, когда, зная значение u(t), мы
должны для прояснения указанной ситуации получить информацию о h(t), прямой доступ к
которой невозможен. Иначе говоря, можно ли на основе информации о выходе u(t) опреде-
лить, каким образом менялось управление h(t) процессом нагревания, в частности, были ли
нарушены установленные требования и ограничения.
Математически задача может быть сформулирована следующим образом: можно ли для
заданной функции θ(t) найти однозначно характеристику процесса h(t) такую, что при этой
характеристике среднее взвешенное значение температуры совпадает с функцией θ(t).
Для того чтобы ввести определение решения задачи (1)-(4), обозначим символомW22(Ω)
класс функций из пространства Соболева W22(Ω) с нормой
∑
∥v∥2W2
= ∥v∥2 +
∥D2jv∥2,
(9)
(Ω)
2
j=1
удовлетворяющих условиям
∂v(x)
+ σv(x) = 0, x ∈ ∂D × [0,H], Dnv(x,0) = Dnv(x,H) = 0.
(10)
∂ν
В равенстве (9) Dj = ∂/∂xj , а норма без нижнего индекса означает норму в L2(Ω) (см.
[2, гл. III, § 9, формула (1)]).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ
25
Из полноты пространства Соболева и из теорем вложения о следах (см. [2, гл. V, § 24])
вытекает, что классW22(Ω) является замкнутым подпространством пространства W22(Ω).
Для любого банахового пространства B и произвольного T > 0 через C([0, T ] → B)
обозначим банахово пространство всех непрерывных отображений u : [0, T ] → B с нормой
∥u∥T = max ∥u(t)∥,
0≤t≤T
а через C((0, T ) → B) - линейное пространство всех отображений u : (0, T ) → B, непрерыв-
ных на интервале (0, T ).
Будем говорить, что функция u(x, t) является обобщённым решением задачи (1)-(4), если
u ∈ C([0,T] → W22(Ω)),
(11)
∂u
∈ C((0,T) → L2(Ω))
(12)
∂t
и выполняются уравнение (1) и начальное условие (4).
Заметим, что, согласно теоремам вложения (см. [2, гл. V, § 20]), градиент решения имеет
след на каждой гладкой (n - 1)-мерной поверхности. Таким образом, условия Робена (2) и
Неймана (3) корректно определены.
Далее через R+ обозначим полупрямую неотрицательных чисел, т.е. R+ = {t ∈ R : t ≥ 0}.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть функция θ : R+ → R+ дважды непрерывно дифференцируема на полу-
прямой R+ и удовлетворяет условиям
θ(0) = θ′(0) = 0, θ′′(0) > 0.
(13)
Тогда найдутся такие T > 0 и единственная непрерывно дифференцируемая функция
h : [0,T] → [0,H], что решение uh(x,t) задачи (1)-(4) существует и удовлетворяет условию
∫
uh(x,t)ρ(x)dx = θ(t),
0≤t≤T.
(14)
Ω
Отметим, что проблеме управления процессом теплообмена посвящена обширная лите-
ратура (подробную библиографию можно найти в монографиях [3, 4]). В работах последнего
времени большее внимание уделяется прикладным аспектам данной проблемы (см., например,
[5-7]).
Изложение настоящей работы построено следующим образом. В п. 2 для произвольной
функции h(t) находится решение задачи (1)-(4) в виде ряда по собственным функциям опе-
ратора Лапласа. Затем в п. 3 задача об отыскании функции h(t) сводится к основному инте-
гральному уравнению Вольтерры первого рода и изучаются свойства ядра соответствующего
интегрального оператора. В п. 4 приводится доказательство теоремы и в заключительном п. 5
проводится анализ полученного решения.
2. Решение прямой задачи. Построение решения начально-краевой задачи (1)-(4) опи-
рается на её спектральные свойства.
2.1. Рассмотрим полную ортонормированную в гильбертовом пространстве L2[0,H] сис-
тему, состоящую из функций
{
√
1/
H,
если k = 0,
zk(ξ) =
√
(15)
2/H cos(kπξ/H),
если k = 1, 2, . . .
Отметим, что функции (15) являются собственными функциями краевой задачи
d2zk(ξ)
-
= νkzk(ξ),
0 < ξ < H, z′k(0) = z′k(H) = 0.
(16)
dξ2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
26
АЛИМОВ, КОМИЛОВ
Её соответствующие собственные значения равны νk = (kπ/H)2, k = 0, 1, 2, . . .
Ряд Фурье по системе (15) функции ω(xn, h), определённой равенством (7), имеет вид
∑
ω(xn, h) =
ωk(h)zk(xn),
k=0
в котором коэффициенты Фурье задаются равенством
{
√
h/
H,
если k = 0,
ωk(h) =
√
(17)
k-1
2/H sin(kh), если k = 1, 2, . . .
Отсюда для функции ω(xn, h(t)) получаем следующее представление:
∑
1
2
sin(kh(t))
kπxn
ω(xn, h(t)) =
h(t) +
cos
H
H
k
H
k=1
Обозначим через {μm}∞m=1 собственные значения, а через {vm} собственные функции
следующей спектральной задачи:
∂vm(x)
-Δvm(x) = μmvm(x),
x∈D, и
+ σ(x)vm(x) = 0,
x∈∂D.
(18)
∂ν
Данные собственные функции образуют в L2(D) полную ортонормированную систему (см.
[8, гл. IV, § 1, теорема 3]). Спектральное разложение произвольной функции g ∈ L2(D) име-
ет вид
∑
g(x) =
(g, vm)vm(x),
m=1
где (· , ·) - скалярное произведение в L2(D); причём ряд сходится в метрике пространст-
ва L2(D).
Положим
ψkm(x) = vm(x)zk(xn), x ∈ Ω.
(19)
Функции (19) являются, согласно постановке задач (16) и (18), собственными функциями
следующей спектральной задачи:
-Δψ(x) = λψ(x), x ∈ Ω,
с граничными условиями
∂ψ(x)
∂ψ(x)
∂ψ(x)
+ σψ(x) = 0, x ∈ ∂D × [0,H], и
=
= 0,
x∈D.
∂ν
∂xn
∂xn
xn=0
xn=H
Её соответствующие собственные значения λkm, k = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . . , задаются ра-
венством
λkm = νk + μm,
(20)
а ортонормированная система {ψkm} является полной в пространстве L2(Ω).
Мы ищем решение задачи (1)-(4) в виде следующего ряда:
∑
∑
∑
∑
u(x, t) =
ckm(t)ψkm(x) =
ckm(t)vm(x)zk(xn).
(21)
k=0 m=1
k=0 m=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ
27
Принимая во внимание сказанное выше и подставляя ряд (21) в уравнение (1), приходим
к уравнению
dckm(t)
= -(νk + μm)ckm(t) + (g,vm)ωk(h(t)),
(22)
dt
решение которого с учётом начального условия (4) имеет вид
∫t
ckm(t) = (g,vm) e-(νk+μm)(t-τ)ωk(h(τ))dτ.
(23)
0
Следовательно,
t
∫
∑
∑
u(x, t) =
(g, vm)vm(x)zk(xn) e-(νk+μm)(t-τ)ωk(h(τ)) dτ.
(24)
k=0 m=1
0
2.2. Нашей ближайшей целью является доказательство того, что функция (24) удовле-
творяет включениям (11) и (12), уравнению (1) и начальному условию (4). Предварительно
докажем несколько простых вспомогательных утверждений.
Утверждение 1. Коэффициенты (23) удовлетворяют оценке
C |(g, vm)|
|ckm(t)| ≤
,
k = 0,1,..., m = 1,2,...,
(25)
λkm k + 1
равномерно на полупрямой R+, где числа λkm определены равенством (20).
Здесь и далее C обозначает некоторую положительную постоянную (не обязательно одну
и ту же), которая не зависит от переменных и индексов.
Доказательство. 1. Пусть k ≥ 1. Тогда из (23) и (17) получаем
√
t
∫t
∫
2
|sin(kh(τ))|
|ckm| ≤ |(g, vm)| e-(t-τ)λkm |ωk(h(τ))| dτ = |(g, vm)|
e-(t-τ)λkm dτ ≤
H
k
0
0
√
∫
t
√
2 |(g, vm)|
2 |(g, vm)|
≤
e-(t-τ)λkm dτ ≤
H k
H kλkm
0
2. Предположим теперь, что k = 0. Тогда, учитывая условие 0 ≤ h(t) ≤ H, из (23) и (17)
получаем
∫
t
∫
t
√
√
1
|(g, vm)|
|c0m| = |(g, vm)|√
e-(t-τ)λ0m h(τ)dτ ≤
H|(g, vm)| e-(t-τ)λ0m dτ ≤
H
H
λ0m
0
0
Утверждение доказано.
Следствие 1. Для любой функции g ∈ L2(D) коэффициенты ckm(t), определённые ра-
венством (23), удовлетворяют оценке
∑
|ckm(t)|2λ2km ≤ C∥g∥2L
,
(26)
2(D)
k=0 m=1
причём ряд в левой части сходится равномерно относительно t ≥ 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
28
АЛИМОВ, КОМИЛОВ
Действительно, воспользовавшись оценкой (25), получаем
∑
∑
∑ |(g, vm)|2
π2
|ckm(t)|2λ2km ≤ C
=C
∥g∥2L
2(D)
(k + 1)2
6
k=0 m=1
k=0 m=1
Следствие доказано.
Утверждение 2. Пусть g ∈ L2(D). Тогда функция, получающаяся в результате при-
менения в смысле теории распределений оператора Лапласа к функции (24), принадлежит
пространству L2(Ω) и справедливо разложение
∑
∑
Δu(x, t) = -
λkmckm(t)ψkm(x),
(27)
k=0 m=1
причём ряд в правой части (27) сходится в метрике L2(Ω) равномерно относительно t ≥ 0.
Доказательство. Положим
∑
∑
F (x, t) = -
λkmckm(t)ψkm(x).
k=0 m=1
Вследствие оценки (26) функция F (x, t) принадлежит пространству L2(Ω), а её норма
в этом пространстве равномерно ограничена по t ≥ 0. Докажем, что Δu(x, t) = F (x, t) в
смысле теории распределений.
Для любой функции v ∈ C∞0(Ω) коэффициенты Фурье функции Δv(x) имеют вид
∫
∫
Δv(x)ψkm(x)dx = v(x)Δψkm(x)dx = -λkm(v,ψkm).
Ω
Ω
Следовательно, в силу представления (21) получаем
∫
∑
∑
u(x, t)Δv(x) dx = -
λkmckm(t)(v,ψkm).
(28)
k=0 m=1
Ω
С другой стороны, согласно равенству Парсеваля, имеем
∫
∑
∑
F (x, t)v(x) dx = -
λkmckm(t)(v,ψkm).
(29)
k=0 m=1
Ω
Из равенств (28) и (29), а также из определения распределения Δu(x, t) вытекает, что
∫
∫
∫
Δu(x, t)v(x) dx = u(x, t)Δv(x) dx = F (x, t)v(x) dx.
Ω
Ω
Ω
Отсюда, так как функция v ∈ C∞0(Ω) произвольна, следует требуемое равенство Δu(x, t) =
= F(x,t). Утверждение доказано.
Следствие 2. Для любой функции g ∈ L2(D) функция u(x, t), определённая равенст-
вом (24), удовлетворяет оценке
∫
|Δu(x, t)|2 dx ≤ C∥g∥2L
,
(30)
2(D)
Ω
равномерной относительно t ≥ 0.
Действительно, данная оценка вытекает непосредственно из представления (27) и оцен-
ки (26).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ
29
2.3. Перейдём к проверке выполнения условия (11).
Утверждение 3. Пусть g ∈ L2(D). Тогда для функции (24) справедливо включение (11).
Доказательство. Каждая из функций (19) принадлежит классуW22(Ω). Следовательно,
этому же классу принадлежит и конечная сумма
∑
∑
∑
∑
SN(x,t) =
ckm(t)ψkm(x) =
ckm(t)vm(x)zk(xn).
k=0 m=1
k=0 m=1
Далее воспользуемся тем, что задача Робена (18) для оператора Лапласа в произвольной
области D с гладкой границей является коэрцитивной (см. [9, гл. III, § 3, п. 1, теорема 3.3]).
Отсюда следует, что выполняется неравенство
∑∫
|D2jSN (x, xn, t)|2dx ≤ C(∥ΔSN ( · , xn, t)∥2L
+ ∥SN ( · , xn, t)∥2L
),
2(D)
2(D)
j=1D
где
Δ обозначает оператор Лапласа по переменным x.
Интегрирование этого неравенства по xn по отрезку [0, H] приводит к следующему соот-
ношению:
∑
∥D2jSN ( · , t)∥2L
≤ C(∥ΔSN(·,t)∥2L
+ ∥SN ( · , t)∥2L
).
2(Ω)
2 (Ω)
2(Ω)
j=1
Добавим к обеим частям этого неравенства величину ∥D2nSN ( · , t)∥2L2 (Ω).Врезультате,приняв
во внимание определение (9) и увеличив при необходимости постоянную C, получим
∥SN ( · , t)∥2W2
≤ C(∥ΔSN(·,t)∥2L
+ ∥D2nSN ( · , t)∥2L
+ C∥SN(·,t)∥2L
).
(31)
(Ω)
2(Ω)
2(Ω)
2 (Ω)
2
Для оценки правой части этого неравенства воспользуемся следующими соотношениями,
вытекающими из равенства (24):
∑
∑
∥ΔSN(·,t)∥2 + ∥D2nSN(·,t)∥2 =
(ν2k + μ2m)|ckm(t)|2 ≤
k=0 m=1
∑
∑
≤
(νk + μm)2|ckm(t)|2 = ∥ΔSN ( · , t)∥2.
k=0 m=1
Тогда из неравенства (31) следует, что
∥SN ( · , t)∥2W2
≤ C(∥ΔSN(·,t)∥2 + ∥SN(·,t)∥2).
(32)
2
(Ω)
Отсюда, принимая во внимание оценки (26) и (30), получаем
∥SN ( · , t)∥2W2
≤ C∥g∥2.
(33)
2
(Ω)
Так как последовательность SN (x, t) сходится в метрике пространства L2(Ω) к функции
u(x, t), то из теоремы Банаха-Сакса вытекает, что функция (24) принадлежит классу W22(Ω)
(см. [10, часть II, гл. 4, § 4.4, лемма 7]). Более того, оценка (32) означает, что указанная после-
довательность сходится к функции (24) и в метрике пространства W22(Ω), причём равномерно
по t ≥ 0. Ввиду замкнутости классаW22(Ω) как подмножества пространства W22(Ω) отсюда
следует, что функция u(x, t) удовлетворяет включению (11). Утверждение доказано.
Замечание 1. Из оценки (33) вытекает оценка ∥u( · , t)∥2
≤ C∥g∥2.
W22(Ω)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
30
АЛИМОВ, КОМИЛОВ
2.4. Докажем теперь, что функция (24) удовлетворяет условию (12).
Утверждение 4. Пусть g ∈ L2(D). Тогда для функции (24) справедливо включение (12).
Доказательство. Достаточно убедиться в том, что формально продифференцированный
по t ряд (24) сходится в метрике пространства L2(Ω) равномерно относительно t > 0.
Непосредственно из уравнения (22) и формул (17) вытекает оценка
|(g, vm)|
|c′km(t)| ≤ λkm|ckm(t)| + C
k+1
Применяя эту оценку и используя неравенство (26), получаем
∂u2
∑
∑
=
|c′km(t)|2 ≤
∂t
L2(Ω) k=0 m=1
∑
∑
∑
∑ |(g, vm)|2
≤2
|ckm(t)|2λ2km
+ 2C2
≤ const ∥g∥2L
2 (D)
(k + 1)2
k=0 m=1
k=0 m=1
Из теоремы Вейерштрасса о мажорантной сходимости следует, что функция (24) удовле-
творяет включению (12). Утверждение доказано.
2.5. Проверим теперь, что функция (24) удовлетворяет уравнению (1). Для этого доста-
точно заметить, что коэффициенты Фурье функций, расположенных в левой и правой частях
этого уравнения, согласно (22) совпадают между собой.
Остаётся убедиться в том, что функция (24) удовлетворяет начальному условию (4), т.е.
что имеет место соотношение
lim∥u( · , t)∥ = 0.
t→0
Но это следует из того, что ряд (24) сходится в метрике пространства L2(Ω) равномерно
по t ≥ 0, и из явного вида (23) коэффициентов ckm(t).
Таким образом, доказано
Утверждение 5. Функция (24) является решением начально-краевой задачи (1)-(4).
Замечание 2. Если v(x, t) - другое решение начально-краевой задачи (1)-(4), то, разлагая
его в ряд Фурье по собственным функциям (19), получаем для коэффициентов Фурье пред-
ставление, совпадающее с (23). Так как система собственных функций (19) является полной,
то из совпадения коэффициентов Фурье функций v(x, t) и (24) следует совпадение самих раз-
лагаемых функций, т. е. тождество v(x, t) ≡ u(x, t). Следовательно, функция (24) является
единственным решением задачи (1)-(4).
3. Основное интегральное уравнение. Пусть функция θ(t) удовлетворяет условиям
теоремы и пусть функция (24) является решением начально-краевой задачи (1)-(4). В этом
случае условие (14) означает, что должно выполняться следующее равенство:
∫
∫
t
∑
∑
ρ(x) dx
(g, vm)vm(x)zk(xn) e-(νk +μm)(t-τ)ωk(h(τ)) dτ = θ(t).
(34)
k=0 m=1
Ω
0
Принимая во внимание соотношения (15), получаем, что
H
{√
∫
∫
∫
H(ρ, vm) при k = 0,
ρ(x)vm(x)zk(xn) dx = ρ(x)vm(x) dx zk(xn) dxn =
0
при k > 0.
Ω
D
0
Тогда, учитывая равенства (17), запишем равенство (34) следующим образом:
t
∫
∑
dτ
(ρ, vm)(g, vm)e-μm(t-τ)h(τ) = θ(t).
(35)
m=1
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ
31
Введём в рассмотрение функцию
∑
K(t) =
e-tμm (ρ,vm)(g,vm).
(36)
m=1
Тогда равенство (35) примет следующий вид:
t
∫
K(t - τ)h(τ) dτ = θ(t).
(37)
0
Полученное интегральное уравнение Вольтерры первого рода является основным уравне-
нием для определения функции h(t).
Утверждение 6. Если весовая функция ρ ∈ L2(D) не ортогональна плотности источ-
ников тепла g ∈ L2(D), то ядро K(t) представляет собой непрерывную на полупрямой R+
функцию, удовлетворяющую условию
K(0) > 0.
(38)
Доказательство. Согласно определению (36) справедлива оценка
∑
∑
|K(t)| ≤
e-tμm |(ρ,vm)(g,vm)| ≤
|(ρ, vm)(g, vm)| ≤ ∥ρ∥L2(D)∥g∥L2(D),
m=1
m=1
из которой, согласно теореме Вейерштрасса о мажорантной сходимости, следует непрерыв-
ность ядра K(t). Далее, вследствие определения (36) ввиду неотрицательности функций ρ
и g, получаем
∫
∑
K(0) = (ρ, vm)(g, vm) = ρ(x)g(x)dx > 0.
m=1
D
Утверждение доказано.
Замечание 3. Ядро K(t) бесконечно дифференцируемо на полупрямой t > 0, т.е. K ∈
∈ C∞(0,∞) .
Действительно, применив оценку μlme-tμm ≤ t-ll!, получим
∑
l!
|K(l)(t)| =
μlme-tμm (ρ,vm)(g,vm)
≤
∥ρ∥L2(D)∥g∥L2(D).
tl
m=1
◦
Утверждение 7. Для произвольной функции g ∈
W12(D) выполняется равенство
∑
μm|(g,vm)|2 = ∥∇g∥2L
(39)
2(D)
m=1
Доказательство. Положим
∑
SN(x) =
(g, vm)vm(x).
m=1
Согласно задаче (18) получаем
∑
-ΔSN(x) = μm(g,vm)vm(x).
m=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
32
АЛИМОВ, КОМИЛОВ
Применим формулу Грина:
∫
∫
∫
∂vm(x)
g(x)Δvm(x)dx = -
∇g(x)∇vm(x)dx + g(x)
ds(x).
∂ν
D
D
∂D
◦
Так как функция g принадлежит классу
W12(D), то поверхностный интеграл обращается в
нуль. В результате будем иметь
∑
(∇SN , ∇SN ) = -(ΔSN , SN ) =
μm(g,vm)(g,vm).
m=1
Следовательно,
∑
μm|(g,vm)|2 = ∥∇SN ∥2L
2(D)
m=1
Принимая во внимание полноту пространства W12(D), отсюда получаем требуемое равен-
ство (39). Утверждение доказано.
Утверждение 8. Производная K′(t) ядра K(t) удовлетворяет оценке
|K′(t)| ≤ Mt-1/2, t > 0,
(40)
где M = ∥ρ∥L2(D)∥∇g∥L2(D).
Доказательство. Согласно определению (36) справедливо равенство
∑
K′(t) = -
μme-tμm (ρ,vm)(g,vm).
m=1
Для оценки этого ряда воспользуемся утверждением 7 и неравенством e-tμm < 1/√tμm.
Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем
)1/2
∑
∑
)1/2(∞∑
1
1
|K′(t)| ≤
√
√μm|(ρ, vm)||(g, vm)| ≤
√
|(ρ, vm)|2
|μm(g, vm)|2
=
tm=1
t m=1
m=1
1
=
√
∥ρ∥L2(D)∥∇g∥L2(D).
t
Утверждение доказано.
Утверждение 9. Для любого T > 0 интегральный оператор A : C[0, T ] → C[0, T ],
определённый равенством
∫t
Av(t) = K′(t - τ)v(τ) dτ, t ∈ [0, T ],
0
является квазинильпотентным.
Доказательство. Покажем, что из утверждения 8 следует оценка
k/2
|Akv(t)| ≤ (M
√π)k t
∥v∥t,
(41)
Γ(1 + k/2)
где ∥v∥t = max |v(s)|, которая доказывается по индукции. Действительно, в предположении
0≤s≤t
справедливости оценки (41) в силу неравенства (40) получаем
t
1
∫
∫
k
(M
√π)
M
sk/2
|Ak+1v(t)| ≤
√π)k t(k+1)/2
M ∥v∥t
√
ds.
Γ(1 + k/2)
√t - ττk/2∥v∥τ dτ≤M(M
Γ(1 + k/2)
1-s
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ
33
Из этого неравенства следует индуктивный переход, поскольку
∫
1
)
sk/2
(k
1
Γ(1 + k/2)Γ(1/2)
+ 1,
=
=
√πΓ(1+k/2)
√1 - sds=B
2
2
Γ(k/2 + 3/2)
Γ(1 + (k + 1)/2)
0
Далее, из доказанного неравенства (41) получаем требуемую оценку
√
M
Tπ
∥Ak∥1/k ≤
→0
при k → ∞.
[Γ(k/2 + 1)]1/k
√
При этом мы воспользовались формулой Стирлинга Γ(k/2 + 1) ≃
πk(k/(2e))k/2, из ко-
√
торой вытекает соотношение [Γ(k/2 + 1)]1/k ≃
k/(2e) → ∞. Утверждение доказано.
Перейдём к исследованию основного интегрального уравнения (37).
Согласно изложенному выше мы можем продифференцировать уравнение (37), в резуль-
тате получим
∫t
K(0)h(t) + K′(t - τ)h(τ) dτ = θ′(t).
(42)
0
Так как K(0) > 0 (см. утверждение 6), то уравнение (42) представляет собой интегральное
уравнение Вольтерры второго рода. Поэтому в силу утверждения 9 для любой непрерывно
дифференцируемой функции θ(t) уравнение (42) имеет, и притом единственное, решение h(t),
непрерывное на полупрямой t ≥ 0.
Интегрируя уравнение (42), нетрудно показать, что в случае непрерывно дифференцируе-
мой функции θ(t) оно эквивалентно основному уравнению (37). Отсюда вытекает
Утверждение 10. Если функция θ(t) непрерывно дифференцируема на полупрямой R+
и удовлетворяет условию θ(0) = 0, то интегральное уравнение (37) имеет, и притом един-
ственное, решение h(t), непрерывное на полупрямой R+.
Замечание 4. В условиях утверждения 10 для решения уравнения (42) выполняется ра-
венство
h(0) = θ′(0)/K(0).
(43)
Следующее утверждение даёт достаточные условия непрерывной дифференцируемости ре-
шений основного уравнения (37).
Утверждение 11. Если функция θ(t) имеет непрерывную вторую производную на от-
резке [0, T ] и удовлетворяет условию θ′(0) = 0, то решение уравнения (42) непрерывно
дифференцируемо на том же отрезке [0,T] .
Доказательство. Обозначим через w(t) решение следующего интегрального уравнения:
∫t
K(0)w(t) + K′(τ)w(t - τ) dτ = θ′′(t),
0≤t≤T.
0
Введём функцию
∫t
v(t) = w(s) ds.
0
Очевидно, что v ∈ C1[0, T ] и выполняется равенство
∫t
K(0)v′(t) + K′(τ)v′(t - τ) dτ = θ′′(t),
(44)
0
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
34
АЛИМОВ, КОМИЛОВ
проинтегрировав которое, получим
∫t
∫
s
K(0)v(t) + ds K′(τ)v′(s - τ) dτ = θ′(t).
0
0
Далее воспользуемся равенством
∫
t
∫
s
∫
t
ds K′(τ)v′(s - τ) dτ = K′(τ)v(t - τ) dτ,
0
0
0
справедливым при условии v(0) = 0.
Таким образом, непрерывно дифференцируемая функция v(t) удовлетворяет следующему
интегральному уравнению:
∫t
K(0)v(t) + K′(τ)v(t - τ) dτ = θ′(t).
0
Но этому же интегральному уравнению удовлетворяет и функция h(t). В таком случае в силу
единственности решения имеет место тождество
h(t) ≡ v(t).
(45)
Утверждение доказано.
Замечание 5. Из уравнения (44) и тождества (45) следует равенство
h′(0) = θ′′(0)/K(0).
(46)
4. Доказательство теоремы.
Утверждение 12. Пусть функция θ : R+ → R+ дважды непрерывно дифференцируема
на полупрямой R+ и удовлетворяет условиям (13). Тогда найдётся число T > 0 такое,
что решение h(t) основного уравнения (37), непрерывное на полупрямой R+, существует,
является единственным и удовлетворяет неравенствам (6) для всех t ∈ [0, T ].
Доказательство. Согласно утверждению 10 решение основного уравнения (37) существу-
ет и является единственным. Необходимо проверить лишь выполнение неравенств (6).
Из условий (13), неравенства (38) и равенств (43) и (46) следует, что
h(0) = 0, h′(0) > 0.
(47)
Это означает, что при малых t > 0 выполняется соотношение
h(t) = h(0) + th′(0) + o(t) = t(h′(0) + o(1)).
Отсюда и из (47) вытекает, что найдётся T > 0 такое, что 0 < h(t) < H,
0 < t < T.
Утверждение доказано.
Справедливость теоремы следует непосредственно из утверждений 12 и равенства (39).
5. Заключительные замечания.
1◦. Из основного интегрального уравнения (37) и неравенств (6) вытекает, что заданная
средняя температура θ(t) должна удовлетворять следующему условию:
∞
∫t
∫
0 ≤ θ(t) ≤ H K(t - s)ds ≤ H K(s)ds.
(48)
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ
35
Заметим, что, согласно определению (36), выполняется равенство
∫
∞
∫
∞
∑
∑
(ρ, vm)(g, vm)
K(t) dt =
(ρ, vm)(g, vm) e-tμm dt =
(49)
μ
m
m=1
m=1
0
0
Рассмотрим следующую вспомогательную краевую задачу:
-ΔV (x) = g(x),
x ∈ D, V (s) = 0,
s∈∂D.
(50)
Функция V (x) имеет физический смысл температуры при максимальном нагреве, когда охла-
ждающие элементы удалены из области Ω.
Непосредственно из уравнения (50) вытекают равенства
(g, vm) = -(ΔV, vm) = -(V, Δvm) = μm(V, vm),
из которых и равенств (49) следует, что
∫
∞
∫
∑
K(t) dt =
(V, vm)(ρ, vm) = V (x)ρ(x) dx.
m=1
0
D
Поэтому в силу правого неравенства в (48) и соотношения (8) получаем
∫
∫
θ(t) ≤ H V (x)ρ(x) dx = V (x)ρ(x) dx.
(51)
D
Ω
Условие (51) означает, что функция θ(t) не должна превышать среднюю температуру при
максимальном нагреве.
2◦. Отметим, что вследствие принципа максимума (см. [11, гл. 3, п. 3.2]) функция Грина
задачи (18) положительна внутри области D. Так как соответствующий интегральный опера-
тор положительно определён, то, согласно теореме Ентча, первая собственная функция внутри
области D положительна: v1(x) > 0,
x ∈ D (см. [12, гл. IV, § 20, п. 7]). Отсюда вытекает,
что первое собственное значение является простым и, значит, μ2 > μ1.
Поэтому ядро K(t), определённое равенством (36), может быть представлено в виде
∑
K(t) = e-tμ1 (ρ, v1)(g, v1) +
e-tμm (ρ,vm)(g,vm) = e-tμ1 ((ρ,v1)(g,v1) + O(1)e-t(μ2-μ1)).
m=2
Следовательно, K(t) ≃ Qe-tμ1 , где по условию Q = (ρ, v1)(g, v1) > 0.
В таком случае основное интегральное уравнение (37) можно заменить следующим его
приближением:
∫t
Q e-(t-τ)μ1h(τ)dτ = θ(t).
(52)
0
При условии θ(0) = 0 решение уравнения (52) равно
1
h(t) =
(θ′(t) + μ1θ(t)).
(53)
Q
Заметим, что в этом случае необходимым условием существования решения, удовлетворяюще-
го условию (6), является выполнение неравенства 0 ≤ θ(t) ≤ HQβ(t), где β(t) = (1-e-μ1t)/μ1.
Пример. Введём дополнительное ограничение
|h′(t)| ≤ M, где M - некоторая поло-
жительная постоянная. Обозначим через T = H/M минимальное время, необходимое для
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
3∗
36
АЛИМОВ, КОМИЛОВ
полного извлечения охлаждающих элементов. Рассмотрим процесс нагревания, при котором
выходная мощность обеспечивается средней температурой, определяемой равенством
{
HQ
t - β(t)
при
0≤t≤T,
θ(t) =
·
(54)
Tμ1
T - β(T)e(T-t)μ1 при t > T,
где функция β(t) введена для выполнения условий (13).
В этом случае, согласно (53), решением интегрального уравнения (52) будет функция
{
t/T, при
0≤t≤T,
h(t) = H
(55)
1,
при t > T.
Равенство (55) означает, что для обеспечения средней температуры (54) охлаждающие эле-
менты должны извлекаться с максимальной скоростью, причём после их полного извлечения
процесс должен идти с максимальным нагревом.
В рассматриваемом случае функция (54) описывает критический режим, обычно нежела-
тельный в реальном процессе.
Замечание 6. Многие характеристики рассмотренной математической модели определя-
ются значением ведущего собственного значения μ1(D), определяемого основанием D рас-
сматриваемой цилиндрической области. Форма областей, для которых μ1(D) достигает экс-
тремального значения, подробно рассмотрена в монографии [13, гл. 6, п. 6.5]. В соответствии
с изложенным выше выбор формы сечения определяется целями, которые требуется достичь
в рассмотренной математической модели.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1966.
2. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вло-
жения. М., 1996.
3. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными произ-
водными. М., 1972.
4. Fursikov A.V. Optimal Control of Distributed Systems. Theory and Applications, Translations of Math.
V. 187. Providence, 2000.
5. Albeverio S., Alimov Sh.A. On one time-optimal control problem associated with the heat exchange
process // Appl. Math. and Optimization. 2008. V. 47. № 1. P. 58-68.
6. Altmüller N., Grüne L. Distributed and boundary model predictive control for the heat equation.
Technical report. University of Bayreuth, 2012.
7. Gavrikov A., Kostin G. Heat transfer processes in a cylindrical body surrounded by air // Proc. of 59th
MIPT Sci. Conf. Moscow, 2016.
8. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1976.
9. Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев,
1965.
10. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М., 1966.
11. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными
второго порядка. М., 1989.
12. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1971.
13. Полиа Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М., 1962.
Национальный университет Узбекистана
Поступила в редакцию 20.04.2021 г.
им. Мирзо Улугбека, г. Ташкент, Узбекистан,
После доработки 26.06.2021 г.
Андижанский государственный университет,
Принята к публикации 23.11.2021 г.
Узбекистан
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
