ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.37-44

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.953+517.958:624.27

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ НЕИЗВЕСТНОГО КОЭФФИЦИЕНТА

В УРАВНЕНИИ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ

Для уравнения поперечных колебаний однородной балки, свободно опирающейся на кон-

цы, рассматривается прямая начально-краевая задача и для неё изучается обратная задача

по определению зависящего от времени коэффициента жёсткости балки. С помощью соб-

ственных чисел и собственных функций оператора колебания балки задачи сводятся к

интегральным уравнениям. К этим уравнениям применяется принцип сжатых отображе-

ний Шаудера и доказываются теоремы существования и единственности решений.

DOI: 10.31857/S0374064122010058

Введение. Балки широко используются при строительстве зданий, мостов, путепроводов,

эстакад и прочих сооружений. Большинство строящихся в настоящее время мостов являются

балочными. Этот тип сооружений является основным при строительстве переправ малой дли-

ны. Балки, применяемые в производственных зданиях, в основном работают на статический

изгиб, но при установке на них какого-либо оборудования (станков, компрессоров, поршне-

вых двигателей и т.д.) испытывают и динамические нагрузки, которые имеют периодический

характер. При таких нагрузках балки также совершают поперечные колебания [1, 2].

Обратные задачи математической физики изучены для многих классов дифференциаль-

ных уравнений. Обратные задачи, связанные с простейшим уравнением гиперболического ти-

па, изучались в монографии [3]. Методика доказательств для обратных динамических задач

локальных теорем существования и единственности решения, теорем единственности и услов-

ной устойчивости, а также численные подходы к нахождению их решения рассмотрены в ра-

ботах [4-13] и др.

За последние несколько лет к исследованию линейных и нелинейных начально-граничных

задач для уравнения колебаний балки наблюдается возрастающий интерес [14-17]. В рабо-

те [18] изучена начально-граничная задача для уравнения вынужденных колебаний консоль-

но закреплённой балки. Для неоднородного уравнения колебания балки некоторые начально-

краевые задачи и задача Коши изучались в работах [19-21], в которых строились их решения в

виде рядов и доказывались теоремы единственности, существования и устойчивости решений

этих задач. В [22] найдено аналитическое решение дифференциального уравнения поперечных

колебаний кусочно-однородной балки в частотной области для любого вида краевых условий.

Для уравнения колебаний балки обратные задачи по нахождению правой части (источника

колебаний) и начальных условий исследовались в работе [23]. В данной статье рассматривается

обратная задача по определению зависящего от времени коэффициента в уравнении попереч-

ных колебаний балки, который с физической точки зрения представляет собой её жёсткость.

1. Постановка задачи. Рассмотрим однородную имеющую постоянное поперечное сече-

ние балку длиной l, свободно опирающуюся на концы. Её вынужденные изгибные поперечные

колебания под действием внешней силы G(x, t) описываются уравнением четвёртого порядка

ρSu_tt + EJu_xxxx + Q(t)u = G(x, t),

в котором ρ - плотность балки, S - площадь её поперечного сечения, E - модуль упругости

материала балки, J - момент инерции поперечного сечения относительно горизонтальной оси,

по всей длине балка поддерживается упругим основанием с коэффициентом жёсткости Q(t).

ДУРДИЕВ

Разделив на ρS, запишем это уравнение в виде

u_tt + a²u_xxxx + q(t)u = f(x,t),

(1)

где a² = EJ/ρS, q(t) = Q(t)/ρS и f(x, t) = G(x, t)/ρS. Уравнение (1) рассмотрим в прямо-

угольной области D = {(x, t) : 0 < x < l,

0 < t < T}, где [0,T] - временной интервал, а l,

как сказано выше, - длина балки, с начальными

u|t=0 = ϕ(x), u_t|t=0 = ψ(x), x ∈ [0, l],

(2)

и граничными

u(0, t) = u_xx(0, t) = u(l, t) = u_xx(l, t) = 0,

0≤t≤T,

(3)

условиями.

В прямой задаче требуется при заданных числах a, l, T и достаточно гладких функциях

q(t), f(x, t) и ϕ(x), ψ(x) найти функцию u(x, t) ∈ C4,2(D), удовлетворяющую уравнению

(1) при (x, t) ∈ D и условиям (2), (3).

Обратная задача: найти коэффициент q(t), если относительно решения прямой задачи

(1)-(3) известна следующая дополнительная информация:

∫l

g(t) = u(x, t)h(x) dx, t ∈ [0, T ],

(4)

где функции g(t) и h(x) заданы и функция h(x) удовлетворяет условиям

h(x) ∈ C⁴(0, l), h(0) = h(l) = h^′′(0) = h^′′(l) = 0.

(5)

2. Исследование прямой задачи. Перенесём в уравнении (1) слагаемое q(t)u в правую

часть и введём обозначение F (x, t) = f(x, t) - q(t)u. Тогда для решения этого уравнения с

начальными (2) и граничными (3) условиями имеет место следующее соотношение [20]:

√

(

)

∑

ψ_n

u(x, t) =

ϕn cos(ωnt) +

sin(ω_nt) sin(μ_nx) +

ω_n

n=1

√

∫

∑

Fn(s) sin(ωn(t - s)) ds sin(μnx),

(6)

ω_n

n=1

где ω_n = aμn2, μ_n = πn/l, λ_n = -μn4 = -(πn/l)⁴, а

√

∫

ϕn =

ϕ(x) sin(μ_nx) dx, ψ_n =

ψ(x) sin(μ_nx) dx,

(7)

√

∫

Fn(t) =

F (x, t) sin(μ_nx) dx.

Подставив вместо F (x, t) выражение f(x, t) - q(t)u(x, t), запишем представление (6) в виде

интегрального уравнения

√

(

)

∑

ψ_n

u(x, t) =

ϕn cos(ωnt) +

sin(ω_nt) sin(μ_nx) +

ω_n

n=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

∫t

∫

∑

f (ξ, s) sin(ω_n(t - s)) sin(μ_nξ) dξ ds sin(μ_nx) -

ω_n

n=1

∫

∫l

∑

q(s) u(ξ, s) sin(ω_n(t - s)) sin(μ_nξ) dξ ds sin(μ_nx).

(8)

ω_n

n=1

Изучим свойства решения уравнения (8). Для этого воспользуемся методом последователь-

ных приближений, представив его решение в виде

∑

u(x, t) =

u_k(x,t),

(9)

k=0

здесь

√

(

)

√

∫

∑

ψ_n

u₀(x,t)=

ϕn cos(ωnt)+

sin(ω_nt) sin(μ_nx)+

f_n sin(ω_n(t-s))ds sin(μ_nx),

ω_n

n=1

√

∫

f_n(t) =

f (ξ, t) sin(μ_nξ) dξ,

(10)

∫

∑

u_n(x,t) = -

q(s) un-1(ξ, s) sin(ω_n(t - s)) sin(μ_nξ) dξ ds sin(μ_nx), n = 1, 2, . . .

ω_n

n=1

Оценивая u_n в области D, получаем

√

[

√

∑

⁽l)2|ψ_n|^]

∑ 1⁽l)4|f_n|t

|ψ_n|

|f_n|t

|u₀|≤

|ϕ_n|+

≤C⁰

|ϕ_n|+C⁰

+C⁰

a π n²

a π n⁴

n²

n⁴

n=1

[

]

∑

q₀

|ψ_n|t

|f_n|

t²

|u₁| ≤ C¹¹

|ϕ_n|t + C⁰

+C⁰

n⁴

n²

n⁴ 2!

n=1

[

]

∑

qk0

t^k

|ψ_n| t^k

|f_n| t2k

|u_k| ≤ Ck1

C⁰

|ϕ_n|

+C⁰

n4k

n² k!

n⁴ 2k!

n=1

где max

|q(t)| = q₀. Тогда для ряда (9) имеет место оценка

0<t<T

(

)

∑

t^k

|ψ_n| t^k

|f_n| t2k

|u(x, t)| ≤

C^k

C⁰

|ϕ_n|

+C⁰

(11)

n4k

n² k!

n⁴ 2k!

k=1

n=1

здесь и далее C0i, Ck1 - положительные постоянные.

Таким образом, справедлива

Лемма 1. Для любого (x, t) ∈ D верна оценка (11).

Формальное почленное дифференцирование интегрального уравнения (8) даёт равенства

√

∑

u_tt = -

(aμ4nϕ_n cos(ω_nt) + aμ2nψ_n sin(ω_nt)) sin(μ_nx) -

n=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ДУРДИЕВ

∫

∫l

∑

μ2n

f (ξ, s) sin(ω_n(t - s)) sin(μ_nξ) dξ ds sin(μ_nx) +

n=1

∫

∑

μ2n

q(s) u(ξ, s) sin(ω_n(t - s)) sin(μ_nξ) dξ ds sin(μ_nx),

(12)

n=1

√

(

)

∑

ψ_n

u_xxxx =

μ⁴

sin(ω_nt) sin(μ_nx) +

ϕn cos(ωnt) +

ω_n

n=1

∫

∑

μ2n

f (ξ, s) sin(ω_n(t - s)) sin(μ_nξ) dξ ds sin(μ_nx) -

n=1

∫

∫l

∑

μ2n

q(s) u(ξ, s) sin(ω_n(t - s)) sin(μ_nξ) dξ ds sin(μ_nx).

(13)

n=1

Лемма 2. Если выполнены условия

ϕ(x) ∈ C⁵[0, l], ϕ(0) = ϕ(l) = ϕ^′′(0) = ϕ^′′(l) = ϕ⁽⁴⁾(0) = ϕ⁽⁴⁾(l) = 0,

ψ(x) ∈ C³[0, l], ψ(0) = ψ(l) = ψ^′′(0) = ψ^′′(l) = 0,

f (x, t) ∈ C(D)

^⋂C3x(D), f(0,t) = f(l,t) = f^′′xx(0,t) = f^′′xx(l,t) = 0, 0≤t≤T,

то имеют место равенства

ϕn =

ϕ(5)n, ψ_n = -

ψ^′′′n,

f_n(t) = -

f^′′′n(t),

(14)

μ5n

μ3n

где

√

∫

ϕ(5)n =

ϕ(5)(x) cos(μ_nx) dx, ψ^′′′n =

ψ^′′′(x)cos(μ_nx)dx,

√

∫

f^′′′n(t) =

f_xxx(x,t)cos(μ_nx)dx,

со следующими оценками:

∑

|ϕ(5)n|² ≤ ∥ϕ⁽⁵⁾∥_L

|ψ^′′′n|² ≤ ∥ψ^′′′∥_L

(15)

2[0,l],

2[0,l].

n=1

Интегрируя по частям интегралы в ϕ_n пять раз, в ψ_n и f_n(t) три раза (см. определения (7)

и (10)), с учётом условий леммы 2 получаем равенства (14). Неравенство (15) представляет

собой неравенство Бесселя для коэффициентов разложений Фурье функций ϕn5) и ψ^′′′n по

√

системе косинусов {

2/l cos(μ_nx)} на интервале [0, l].

Если функции ϕ(x), ψ(x) и f(x, t) удовлетворяют условиям леммы 2, то в силу представ-

лений (14) и (15) ряды (12) и (13) оцениваются следующими сходящимися рядами:

(

)

∑

q₀

t^k

|ψ_n|

t^k

|f_n|

t2k

|u(x, t)| ≤

C^k

|ϕ_n|

+C⁰

(16)

n4k

n² k!

n⁴ 2k!

k=1

n=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

∑

|u_tt(x, t)| ≤ C₁

(|ϕ(5)n| + |ψ^′′′|) + C2

|f^′′′(t)| + C3

q₀|u|,

(17)

n=1

∑

|u_xxxx(x, t)|

C₁

(|ϕ(5)n| + |ψ^′′′|)

|f^′′′(t)|

C₃

q₀|u|,

(18)

n=1

где

C_i, i = 1,2,3, - положительные постоянные.

Тогда ряды (16), (17) и (18) сходятся равномерно в прямоугольнике D и, следовательно,

функция (8) удовлетворяет соотношениям (1)-(3).

3. Основной результат и его доказательство. Умножив обе части уравнения (1) на

h(x) и проинтегрировав от 0 до l по x, с учётом условий (4), (5) получим

∫l

∫

g^′′(t) + a² u(x,t)h⁽⁴⁾(x)dx + q(t)g(t) = f(x,t)h(x)dx.

Разрешая это уравнение относительно q(t), найдём, что

∫

g^′′(t)

a²

q(t) =

f (x, t)h(x) dx -

u(x, t)h⁽⁴⁾(x) dx.

(19)

g(t)

Теперь подставив выражение (19) для q(t) в уравнение (8), придём к следующему инте-

гральному уравнению относительно u(x, t):

√

(

)

∑

ψ_n

u(x, t) =

ϕn cos(ωnt) +

sin(ω_nt) sin(μ_nx) +

ω_n

n=1

∫

∑

f (x, s) sin(ω_n(t - s)) sin(μ_nx) dx ds -

ω_n

n=1

∫

∑

f (ξ, s)h(s)u(y, s)h⁽⁴⁾(y) sin(ω_n(t - s)) sin(μ_nx) dξ dy ds sin(μ_nx) -

ω_n

g(s)

n=1

∫

∑

u(ξ, s)h⁽⁴⁾(ξ)u(y, s)h⁽⁴⁾(y) sin(ω_n(t - s)) sin μ_n(y) dy dξ ds sin(μ_nx) -

ω_n

g(s)

n=1

∫

∑

g^′′(s)

u(y, s)h⁽⁴⁾(y) sin(ω_n(t - s)) sin μ_n(y) dy ds sin(μ_nx).

ω_n

g(s)

n=1

Для удобства введём некоторые обозначения:

√

(

)

∑

ψ_n

Ψ(x, t) =

ϕn cos(ωnt) +

sin(ω_nt) sin(μ_nx) +

ω_n

n=1

∫

∑

f (x, s) sin(ω_n(t - s)) sin(μ_nx) dx ds,

ω_n

n=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ДУРДИЕВ

∑

G₁(x,ξ,y,t,s) =

f (ξ, s)h(s)h⁽⁴⁾(y) sin(ω_n(t - s)) sin μ_n(y) sin(μ_nx),

ω_ng(s)

n=1

∑

g^′′(s)

G₂(x,y,t,s) =

h⁽⁴⁾(y)sin(ω_n(t - s))sin μ_n(y)sin(μ_nx),

ω_ng(s)

n=1

∑₁

G₃(x,ξ,y,t,s) =

h⁽⁴⁾(ξ)h⁽⁴⁾(y)sin(ω_n(t - s))sin μ_n(y)sin(μ_nx),

ω_ng(s)

n=1

и запишем уравнение (6) в более удобном виде:

∫t

∫

u(x, t) = Ψ(x, t) -

u(y, s)G₁(x, ξ, y, t, s) dξ dy ds -

∫^t

∫

u(y, s)G₂(x, y, t, s) dy ds -

u(ξ, s)u(y, s)G₃(x, ξ, y, t, s) dy dξ ds.

(20)

Обозначим через A оператор, который ставит в соответствие функции u(x, t) правую

часть уравнения (20). Тогда уравнение (20) запишется как операторное уравнение

u = Au.

(21)

Пусть

Ψ₀ = max |Ψ(x,t)|,

(x,t)∈D

λ₁ = max

|G₁(x, ξ, y, t, s)|, λ₂ = max

|G₂(x, y, t, s)|, λ₃ = max

|G₃(x, ξ, y, t, s)|,

(22)

(x,t)∈D

ξ,y∈[0,l]

y∈[0,l]

ξ,y∈[0,l]

s∈[0,T ]

S_d(0) = {u : ∥u∥ ≤ d}, d - некоторое положительное число.

Для доказательства существования решения операторного уравнения (21) воспользуемся

принципом Шаудера [24].

Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2 и |g| ≥ g₀ > 0, где g₀ - известное число.

Тогда для всех T и d > Ψ₀, удовлетворяющих оценке

0 < T ≤ (d - Ψ₀)/M_∗, где M_∗ = (λ₁ + dlλ₂ + λ₃)dl,

(23)

оператор A равномерно ограничен, где числа λ_i (i = 1,2,3) определены соотношениями (22).

Доказательство. Вначале установим равномерную ограниченность оператора A. Для

этого покажем, что существует ρ ∈ (0, d] такая, что

∥Au∥ ≤ ρ, где ∥Au∥ = max |Au|.

(x,t)∈D

Для u ∈ S_d(0), (x, t) ∈ D, в силу (22) находим оценку ∥Au∥ ≤ Ψ0 + M∗T ≡ ρ. При T,

удовлетворяющих оценке (23), оператор A равномерно ограничен. Лемма доказана.

Лемма 4. Оператор A является равностепенно непрерывным.

Доказательство. Напомним определение равностепенно непрерывного оператора. Опе-

ратор A называется равностепенно непрерывным, если для любого ε > 0 существует δ =

= δ(ε) > 0 такое, что для всех u₁,u₂ ∈ S_d(0), для которых ∥u1 - u2∥ ≤ δ, выполняется

неравенство

∥Au₁ - Au₂∥ ≤ ε.

(24)

Составим разность

∫^t∫

Au₁ - Au₂ = -

(u₁(x, s) - u₂(x, s))G₁(x, ξ, t, s) ds dx -

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

∫t

∫

(u₁(ξ, s)u₁(x, s) - u₂(ξ, s)u₂(x, s))G₂ dx dξ ds -

(u₁(x, s) - u₂(x, s))G₃(x, t, s) dx ds

и введём обозначение u₁ - u₂ =: ũ. Проведя очевидные оценки, получаем

∥Au₁ - Au₂∥ ≤ (λ₁lT + 2λ₂l²T d + λ₃lT )∥ũ∥ ≡ M^∗∥ũ∥,

откуда имеем ∥Au₁ - Au₂∥ ≤ M^∗∥u₁ - u₂∥ ≤ M^∗δ. Следовательно, если взять δ₀ = ε/M^∗,

то при δ ∈ (0, δ₀] будет выполнено неравенство (24), т.е. оператор A является равностепенно

непрерывным. Тогда оператор A вполне непрерывен на S_d, и согласно принципу Шаудера он

имеет на S_d по крайней мере одну неподвижную точку [25]. Лемма доказана.

Таким образом, из лемм 3 и 4 следует следующее утверждение о существовании решения

операторного уравнения (21).

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 2, леммы 3 и соотношения (5). Тогда для T,

удовлетворяющих оценке (23), уравнение (21) имеет решение u(x,t) ∈ C4,2(D).

Докажем единственность этого решения.

Теорема 2. Для всех u ∈ S_d(0),

|g(t)| ≥ g₀ > 0 при

g₀

T <

(25)

2C₀d(g₀ + Ha²l)

операторное уравнение (21) имеет единственное решение в классе C4,2(D), где C₀ = l²/3aπ,

H = max ∥h(x)∥.

0<x<l

Доказательство. Пусть задача (1)-(4) имеет два решения: u₁, u₂, u₁ = u₂, и q₁, q₂,

q₁ = q₂. Их разности обозначим через ũ = u₁ - u₂ и q = q₁ - q₂. Для разности ũ получаем

следующую задачу:

ũ_tt + a²ũ_xxxx = -q₁ũ - qu₂,

ũ|t=0 = 0,

ũ_t|t=0 = 0,

ũ(0, t) = ũ_xx(0, t) = ũ(l, t) = ũ_xx(l, t) = 0.

Её решение записывается следующим образом:

∫

(

)

∑

πn

ũ(x, t) =

(-q₁ ũ - qu₂) sin(μ_nx) sin(ω(t - s)) dx ds sin

ω_n

n=1

Для q из представления (19) следует оценка ∥q∥ ≤ Ha²l∥ũ∥/g₀, в силу которой имеем

(

)

a²

∥ũ∥ ≤ 2C₀T d + H

∥ũ∥.

g₀

Отсюда для T, удовлетворяющих оценке (25), получаем u₁ = u₂, что доказывает теорему.

По найденной функции u(x, t) ∈ S_d(0) с помощью формулы (19) находится неизвестный

коэффициент q(t) - решение обратной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1966.

2. Крылов А.Н. Вибрация судов. М., 2012.

3. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М., 1984.

4. Дурдиев Д.К., Тотиева Ж.Д. Задача об определении одномерного ядра уравнения электровязко-

упругости // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58. № 3. С. 553-572.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ДУРДИЕВ

5. Дурдиев Д.К. Многомерная обратная задача для уравнения с памятью // Сиб. мат. журн. 1994.

Т. 35. № 3. С. 574-582.

6. Дурдиев Д.К., Рахмонов А.А. Задача об определении двумерного ядра в системе интегродиффе-

ренциальных уравнений вязкоупругой пористой среды // Сиб. журн. индустр. математики. 2020.

Т. 23. № 2. С. 63-80.

7. Дурдиев Д.К. Обратные задачи для сред с последействием. Ташкент, 2014.

8. Карчевский А.Л., Фатьянов А.Г. Численное решение обратной задачи для системы упругости с

последействием для вертикально неоднородной среды // Сиб. журн. вычислит. математики. 2001.

Т. 4. № 3. С. 259-268.

9. Карчевский А.Л. Определение возможности горного удара в угольном пласте // Сиб. журн. ин-

дустр. математики. 2017. Т. 20. № 4. С. 35-43.

10. Дурдиев У.Д. Численное определение зависимости диэлектрической проницаемости слоистой среды

от временной частоты // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. C. 179-189.

11. Durdiev U., Totieva Z. A problem of determining a special spatial part of 3D memory kernel in an

integro-differential hyperbolic equation // Math. Meth. Appl. Sci. 2019. P. 1-12.

12. Durdiev U.D. A problem of identification of a special 2d memory kernel in an integro-differential

hyperbolic equation // Euras. J. of Math. and Comput. Appl. 2019. V. 7. № 2. P. 4-19.

13. Дурдиев У.Д. Обратная задача для системы уравнений вязкоупругости в однородных анизотропных

средах // Сиб. журн. индустр. математики. 2019. Т. 22. № 4. С. 26-32.

14. Wang Y.-R., Fang Z.-W. Vibrations in an elastic beam with nonlinear supports at both ends // J. Appl.

Mech. Tech. Phys. 2015. V. 56. № 2. P. 337-346.

15. Li S., Reynders E., Maes K., De Roeck G. Vibration-based estimation of axial force for a beam member

with uncertain boundary conditions // J. Sound Vibrat. 2013. V. 332. № 4. P. 795-806.

16. Касимов Ш.Г., Мадрахимов У.С. Начально-граничная задача для уравнения колебаний балки в

многомерном случае // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 10. С. 1379-1391.

17. Сабитов К.Б., Акимов А.А. Начально-граничная задача для нелинейного уравнения колебаний

балки // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 5. С. 632-645.

18. Сабитов К.Б., Фадеева О.В. Начально-граничная задача для уравнения вынужденных колебаний

консольной балки // Вестн. Самарск. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2021. Т. 25. № 1. С. 51-

66.

19. Сабитов К.Б. Начально-краевая задача для уравнения колебаний балки // Математические методы

и модели в строительстве, архитектуре и дизайне. Самара, 2015. С. 34-42.

20. Сабитов К.Б. К теории начально-граничных задач для уравнения стержней и балок // Дифференц.

уравнения. 2017. Т. 53. № 1. С. 89-100.

21. Сабитов К.Б. Начальная задача для уравнения колебаний балки // Дифференц. уравнения. 2017.

Т. 53. № 5. С. 665-671.

22. Карчевский А.Л. Аналитические решения дифференциального уравнения поперечных колебаний

кусочно-однородной балки в частотной области для краевых условий любого вида // Сиб. журн.

индустр. математики. 2020. Т. 23. № 4. С. 48-68.

23. Сабитов К.Б. Обратные задачи для уравнения колебаний балки по определению правой части и

начальных условий // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 773-785.

24. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М., 1975.

25. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 2002.

Бухарский государственный университет,

Поступила в редакцию 07.05.2021 г.

Узбекистан,

После доработки 08.07.2021 г.

Бухарское отделение Института математики

Принята к публикации 23.11.2021 г.

им. В.И. Романовского, Узбекистан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022