ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.45-53
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.4+519.213
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ЛОКАЛЬНОГО ВЛИЯНИЯ ДВИЖУЩИХСЯ ОБЪЕКТОВ
© 2022 г. В. А. Литовченко
Для псевдодифференциального уравнения супердиффузии выяснена его общая стохасти-
ческая природа. Развивая идею Хольцмарка, показано, что функция Грина задачи Коши
для этого уравнения является распределением вероятностей силы локального влияния дви-
жущихся объектов в системе с взаимодействием, происходящим по степенному закону.
DOI: 10.31857/S037406412201006X
Введение. Рассмотрим классическое уравнение диффузии
∂tu(t;x) - b△xu(t;x) = 0,
0<t≤T, x∈Rn,
(1)
в котором △x - n-мерный оператор Лапласа, действующий по пространственной переменной
x, а b > 0 - фиксированный числовой параметр. Фундаментальным решением задачи Коши
для уравнения (1) является функция
√
G(t; x) = F[e-bt|ξ|2 ](t; x) ≡ (
4πbt)-ne-|x|2/(4bt),
(2)
где F - оператор преобразования Фурье, a | · | - евклидова норма в Rn. Уравнение (1) сыг-
рало важную роль в создании классической теории параболических уравнений с частными
производными, т.е. дифференциальных уравнений, фундаментальное решение задачи Коши
для которых имеет относительно переменной x типичные для G(t; ·) свойства поведения на
бесконечности. Известными представителями таких уравнений являются уравнения, парабо-
лические по Петровскому [1], по Шилову [2], по Житомирскому [3, 4] или по Сироте [5] и
т.д. Эти уравнения возникают при изучении различных естественных процессов, связанных с
диффузией и тепломассообменом.
Уравнение (1) имеет отношение и к теории случайных процессов. Функция G(t; ·) являет-
ся плотностью вероятностного перехода случайного процесса Винера [6] - источника многих
диффузионных процессов.
Обобщения классического уравнения диффузии (1) приводят к теории параболических
псевдодифференциальных уравнений (ПДУ) с однородными точечно-негладкими символами
псевдодифференцирования. Действительно, заменив в конструкции уравнения (1) оператор
Лапласа -△x на оператор Рисса [7] дробного дифференцирования Aα := (-△x)α/2, α > 0,
получим класс ПДУ
∂tu(t;x) + bAαu(t;x) = 0,
0<t≤T, x∈Rn,
(3)
с символом псевдодифференцирования | · |α, содержащий при α = 2 исходное уравнение (1).
В частности, поэтому (3) при соответствующих α унаследовало название “уравнение изотроп-
ной супердиффузии” [8, c. 251].
Функция
Gα(t; x) = F[e-bt|ξ|α ](t; x),
0<t≤T, x∈Rn,
(4)
является фундаментальным решением задачи Коши для уравнения (3). Изучением свойств
функции Gα(t; ·) занимались многие исследователи. При этом оказалось, что в отличии от
классического случая α = 2ν, ν ∈ N, эта функция при значениях α, не являющихся чётны-
ми, имеет уже не экспоненциальное убывание на бесконечности, а степенное. Первые оценки
45
46
ЛИТОВЧЕНКО
функции Gα(t; ·) и её производных методом преобразования Фурье получены С.Д. Эйдельма-
ном совместно с Я.М. Дринём в [9, 10] при условии, что α > 1:
|∂kxGα(t; x)| ≤ c1t(t1/α + |x|)-(n+|k|+[α]), k ∈ Zn+, t ∈ (0, T ], x ∈ Rn
(здесь [·] - целая часть числа, а |k| = k1 + ... + kn). Точное асимптотическое поведение
функции Gα(t; ·) в окрестности бесконечно удалённых точек установлено М.В. Федорюком
в [11]:
Gα(t; ·) ∼ | · |-n-α, t > 0, α ≥ 1.
(5)
Затем В. Шнайдер [12] с помощью преобразования Меллина выразил функцию Gα(t; ·) че-
рез специальные H-функции Фокса и, как следствие, получил асимптотику (5). Используя
элементы теории обобщённых функций в сочетании с гармоническим анализом, А.Н. Кочубей
впервые получил точные оценки производных функции Gα(t; ·) при α ≥ 1 и n > 1 [13]:
|∂kxGα(t; x)| ≤ c1t(t1/α + |x|)-(n+|k|+α), k ∈ Zn+, t ∈ (0, T ], x ∈ Rn.
(6)
В работe [14] оценки (6) распространены на случай α > 0.
При некоторых α уравнение (3) находит важное приложение в теории случайных процес-
сов. Оператор Aα при α ≤ 2 является производящим оператором симметрично устойчивого
процесса Леви с переходной функцией Gα [15, 16]. Яркими представителями таких процес-
сов являются случайные процессы Коши (α = 1), Хольцмарка (α = 3/2), Гаусса-Винера
(α = 2) и др. В современной литературе приведено много примеров реальных применений
распределений Коши, Гаусса, Хольцмарка и Парето в астрономии, ядерной физике, экономи-
ке, социологии, в промышленной и военной отраслях [17-22]. Каждое из них характеризует
стохастические особенности ПДУ (3) при том или ином значении α ∈ (0, 2].
В настоящей работе установлена общая стохастическая природа уравнения (3) при α ∈
∈ (0, 2). Показано, что фундаментальное решение Gα задачи Коши для этого уравнения при
некоторых условиях на параметр b является распределением вероятностей силы F локаль-
ного влияния движущихся объектов в системе, в которой взаимодействие происходит согласно
некоторому степенному закону. Отметим, что случаю классической ньютоновской гравитации
соответствует уравнение (3) при α = 3/2 (нестационарная задача Хольцмарка [23, 24]).
1. Задача о локальном влиянии движущихся объектов. В вакуумной евклидовой
среде R3 рассматривается счётная система свободно движущихся изолированных объектов
Zj, в каждом из которых сосредоточен некоторый потенциал pj, при этом произвольный
объект системы с потенциалом P взаимодействует с другим объектом с потенциалом p со-
гласно закону
Pp
F =G
r◦, β > 0.
(7)
|r|β
Здесь F - сила взаимодействия, G - весовая константа, r - вектор расстояния между объек-
тами, a r◦ := r/|r| - орт вектора r.
Задача состоит в исследовании силы F (t) воздействия в момент времени t на единицу
потенциала произвольного объекта Z0 этой системы его ближайшим окружением.
Так как F (t) - величина с относительно быстрыми и резкими отклонениями, вызванными
мгновенным изменением локального распределения объектов из окружения объекта Z0, то
целесообразно рассматривать F (t) как случайную величину.
Найдём распределение Wtβ(F ) для силы F (t) при следующих предположениях. Будем
считать, что распределение объектов в окружении объекта Z0 подвергается флуктуациям
и что объекты с потенциалом p встречаются в системе с некоторым вполне определённым
эмпирически установленным законом. При этом в каждый момент времени t флуктуации
плотности объектов подчинены условию постоянства их средней плотности на единицу объёма:
n(t; r; p) ≡ n(t).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛОКАЛЬНОГО ВЛИЯНИЯ
47
Пусть рассматриваемый объект Z0 находится в начале координат координатной системы
пространства R3, а его сферическое окружение радиуса R в момент времени t содержит
N (t) объектов. Тогда, согласно сказанному,
N (t)∑
N (t)∑
pj
F (t) = G
rj ≡
Fj
|rj|β+1
j=1
j=1
и
4
N (t) =
πR3n(t).
(8)
3
Вначале для фиксированного t рассмотрим распределение Wtβ,R(F ) в центре сфериче-
ской окрестности радиуса R, охватывающей N(t) объектов системы, и найдём вероятность
Wtβ,R(F◦)dF◦ того, что величина F(t) попадает в куб [F◦(t);F◦(t) + dF◦(t)] ⊂ R3. Применив
известный метод Маркова [22, c. 152], получим
∫
1
Wtβ,R(F◦(t)) =
e-i(ξ,F◦(t))AR(ξ)dξ,
(2π)3
R3
где
∫ ( ∫
)
N (t)∏
AR(ξ) :=
ei(ξ,Fj)τj(t;rj;pj)drj dpj.
j=1
0
KR(0)
Здесь (·,·) - скалярное произведение в R3, KR(0) - шар радиуса R с центром в начале
координат, а τj(t; rj ; pj ) - распределение вероятностей того, что j-й объект c потенциалом pj
в момент времени t находится в положении rj . Если теперь учесть, что имеют место лишь
флуктуации, совместимые с пространственным постоянством средней плотности, то тогда
3τ(t; p)
τj(t;rj;pj) =
,
4πR3
где τ(t; p) - частота, с которой встречаются объекты с потенциалом p в момент времени t.
Отсюда приходим к равенству
(
∫
( ∫
)
)N(t)
3
AR(ξ) =
ei(ξ,η)τ(t;p)dr dp
,
4πR3
0
KR(0)
в котором
η := Gpr/|r|β+1.
(9)
Устремив теперь R → +∞ и N(t) → +∞, согласно (8) получим
∫
1
Wtβ(F) =
e-i(ξ,F(t))A(t;ξ)dξ,
(10)
(2π)3
R3
где
[
∫
( ∫
)
]4πR3n(t)/3
3
A(t; ξ) := lim
ei(ξ,η)τ(t;p)dr dp
R→∞ 4πR3
0
KR(0)
Так как для каждого t имеет место равенство
∫
( ∫
)
3
τ (t; p) dr dp = 1,
4πR3
0
KR(0)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
48
ЛИТОВЧЕНКО
то
[
∫
( ∫
)
]4πR3n(t)/3
3
A(t; ξ) = lim
1-
(1 - ei(ξ,η))τ(t; p) dr dp
(11)
R→∞
4πR3
0
KR(0)
Далее, абсолютная сходимость в (11) интеграла с переменной интегрирования r на всём
пространстве R3 при β > 3/2 позволяет записать соотношение (11) в виде
[
∫
(∫
)
]4πR3n(t)/3
3
A(t; ξ) = lim
1-
(1 - ei(ξ,η))τ(t; p) dr dp
,
R→∞
4πR3
0
R3
а затем прийти к изображению
A(t; ξ) = e-n(t)Bβ (t;ξ),
(12)
в котором
+∞
(∫
)
Bβ(t;ξ) :=
(1 - ei(ξ,η))τ(t; p) dr dp.
0
R3
Найдём значение интегрального выражения в предыдущем равенстве. Для этого в его внут-
реннем интеграле перейдём от переменной r к переменной η согласно правилу (9). Учитывая
равенство
1
dr =
(Gp/|η|1+β )3/β dη,
β
получаем
∫
)∫
3/β
G
Bβ(t;ξ) =
p3/βτ(t;p)dp
(1 - ei(ξ,η))|η|-3(1+β)/β dη ≡
β
0
R3
∫
G3/β〈p3/β〉
≡
(1 - ei(ξ,η))|η|-3(1+β)/β dη.
β
R3
Отсюда с помощью несложных преобразований приходим к равенству
∫
G3/β〈p3/β〉
Bβ(t;ξ) =
(1 - cos(ξ, η))|η|-3(1+β)/β dη.
β
R3
Если теперь перейти к сферической системе координат с осью аппликат, направленной по
вектору ξ, то последнее равенство примет вид
∫
∫
)
)
G3/β〈p3/β〉
Bβ(t;ξ) =
(1 - cos(|ξ||η|l))|η|2-3(1+β)/β dϕ dl d|η|
β
0
-1
0
или, что то же самое,
∫
∫
)
)
(G|ξ|)3/β 〈p3/β 〉
Bβ(t;ξ) =
(1 - cos(ρl))ρ-1-3/β dϕ dl dρ =
β
0
-1
0
∫
(∫1
)
2π(G|ξ|)3/β 〈p3/β 〉
=
(1 - cos(ρl)) dl ρ-1-3/β dρ.
β
0
-1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛОКАЛЬНОГО ВЛИЯНИЯ
49
Для внутреннего интеграла получаем
∫
4π(G|ξ|)3/β 〈p3/β 〉
Bβ(t;ξ) =
(ρ - sin ρ)ρ-2-3/β dρ.
β
0
Отметим, что интеграл в последнем равенстве сходится лишь при β > 3/2. Вычислив этот
интеграл по частям, придём к изображению
4βπI(β)
Bβ(t;ξ) =
(G|ξ|)3/β 〈p3/β 〉, t ≥ 0, ξ ∈ R3, β > 3/2,
(13)
3(β + 3)
в котором
⎧
β
(2 - 3/β)π
⎪
Γ(2 - 3/β) cos
,
3/2 < β < 3,
⎨
3-β
2
I(β) :=
π/2,
β = 3,
⎪
⎩Γ(1 - 3/β) sin(1-3/β)π,
β >3
2
(здесь Γ(·) - гамма-функция Эйлера).
Объединяя равенства (10), (12) и (13), окончательно находим, что
∫
1
Wtβ(F) =
e-i(ξ,F)e-aβ(t)|ξ|3/β dξ,
(2π)3
R3
где
4βπI(β)
aβ(t) :=
G3/βn(t)〈p3/β〉.
3(β + 3)
Таким образом, доказана
Теорема 1. При указанных выше предположениях для каждого β > 3/2 функция
Wtβ(F) = F-1[e-aβ(t)|ξ|3/β ](t;F)
(14)
является распределением вероятностей силы F (t) локального влияния движущихся объек-
тов в системе с взаимодействием, происходящим согласно степенному закону (7).
2. Связь с ПДУ. Сравнивая равенства (4) и (14), видим схожесть структуры распреде-
ления вероятностей Wtβ(·) и фундаментального решения Gα(·) задачи Коши для ПДУ (3),
которая приводит к предположению, что функция Wtβ(·) является решением уравнения (3)
при α = 3/β c соответствующим коэффициентом b. Убедимся в этом.
Предположим, что коэффициент aβ(·) на промежутке [0, T ] непрерывно дифференциру-
ем. Непосредственно из работы [14] следует, что для всех β > 3/2 функция Wtβ(x) на мно-
жестве (0, T ] × R3 дифференцируема по t и бесконечно дифференцируема по переменой x,
причём для её производных выполняются оценки
|∂kxWtβ(x)| ≤ c1t(tβ/3 + |x|)-(3+|k|+3/β) и
|∂t∂kxWtβ(x)| ≤ c2tβ-1(tβ/3 + |x|)-(3+|k|+3/β)
(15)
с некоторыми положительными постоянными c1 и c2.
Первая оценка в (15) обеспечивает принадлежность функции Wtβ(·) классу L1(R3) при
каждом фиксированном t ∈ (0, T ], что в свою очередь гарантирует существование преобразо-
вания Фурье функции Wtβ(·) и выполнение равенства
F[Wtβ(x)](t; ξ) = e-aβ (t)|ξ|3/β , t ∈ (0, T ], ξ ∈ R3.
(16)
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
50
ЛИТОВЧЕНКО
Зафиксируем произвольно t ∈ (0, T ] и для △t = 0 рассмотрим разность
∫
1
Wt+△tβ(x) - Wtβ(x) =
e-i(x,ξ)-aβ(t)|ξ|3/β (e-(aβ(t+△t)-aβ(t))|ξ|3/β - 1) dξ.
(17)
(2π)3
R3
Согласно теореме Лагранжа о конечных приращениях, имеем
aβ(t + △t) - aβ(t) = a′β(t + θ△t)△t, θ ∈ (0,1).
Отсюда, учитывая непрерывность функции a′β(·), получаем равномерную сходимость
ξ∈K0(R)
(e-(aβ (t+△t)-aβ (t))|ξ|3/β - 1)/△t
⇒
- a′β(t)|ξ|3/β (для любого R > 0).
(18)
△t→0
Кроме этого, воспользовавшись ещё раз теоремой Лагранжа, приходим к оценке
|(e-(aβ (t+θ△t)|ξ|3/β )△t - 1)/△t| = |a′β (t + θ△t)||ξ|3/β e-aβ (t+θ△t)|ξ|3/β (θ△t) ≤
≤ a|ξ|3/β ea|△t||ξ|3/β ,
θ∈ (0;1), a := sup
|a′β(t)|.
t∈[0,T ]
Тогда для всех 0 < |△t| ≤ aβ(t)/(2a) и ξ ∈ R3 выполняются оценки
e-aβ(t)|ξ|3/β |(e-(aβ(t+△t)-aβ (t))|ξ|3/β - 1)/△t| ≤ a|ξ|3/βe-(aβ(t)-a|△t|)|ξ|3/β ≤
≤ 4ae-aβ (t)|ξ|3/β /4 sup{ρe-ρ}.
(19)
ρ>0
Соотношения (18) и (19) обосновывают равенство
∫
lim
e-i(x,ξ)-aβ(t)|ξ|3/β e-(aβ(t+△t)-aβ (t))|ξ|3/β -1
dξ =
△t→0
△t
R3
∫
{e-(aβ(t+△t)-aβ(t))|ξ|3/β - 1}dξ,
= e-i(x,ξ)-aβ(t)|ξ|3/β lim
△t→0
△t
R3
согласно которому будем вследствие (17) иметь
∫
a′β(t)
∂tWtβ(x) = -
|ξ|3/β e-i(x,ξ)-aβ (t)|ξ|3/β dξ, t ∈ (0, T ], ξ ∈ R3.
(2π)3
R3
Учитывая равенство (16), окончательно находим
∂tWtβ(x) = -a′β(t)F-1[|ξ|3/βF[Wtβ](t;ξ)](t;x), t ∈ (0,T], x ∈ R3.
Таким образом, распределение Wtβ(·) при β > 3/2 является классическим решением урав-
нения
∂tu(t;x) + a′β(t)Aαu(t;x) = 0, t ∈ (0,T], x ∈ R3,
(20)
дробного порядка α = 3/β.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛОКАЛЬНОГО ВЛИЯНИЯ
51
Далее выясним вопрос о существовании предельного значения распределения Wtβ(·) в точ-
ке t = 0. Сначала рассмотрим случай aβ(0) = 0. Согласно равенству (16), а также известной
формуле преобразования Фурье свёртки элементов из класса Лебега L1(R3) получаем
∫t
F[Wtβ](t; ξ) = e- 0aβ (τ)dτ|ξ|α · e-aβ (0)|ξ|α = F[ Ĝα](t; ξ) · F[W0β](t; ξ) = F[ Ĝα ∗ W0β](t; ξ)
или, что то же самое,
Wtβ(x) = (Ĝα ∗ W0β)(t;x), t ∈ (0,T], x ∈ R3,
где
∫t
0
Ĝα(t; ·) := F-1[e-
a′β (τ) dτ|ξ|α ](t; ·).
Покажем теперь, что для каждой непрерывной ограниченной на R3 функции ϕ(·) выпол-
няется предельное соотношение
(Ĝα ∗ ϕ)(t;·) → ϕ(·).
(21)
t→+0
Для этого воспользуемся равенством
∫
Ĝα(t; x)dx = 1, t ∈ (0, T ],
R3
в силу которого
∫
|(Ĝα ∗ ϕ)(t; x) - ϕ(x)| ≤
|Ĝα(t;ξ)||ϕ(x - ξ) - ϕ(x)|dξ ≡ I(t;x).
R3
Так как ϕ(·) - непрерывная функция на R3, то для каждого x ∈ R3 и произвольного
ε > 0 существует t◦ такое, что t◦/(2α) < ε и |ϕ(x - ξ) - ϕ(x)| < ε, как только |ξ| < t◦/(2α).
Тогда
∫
∫
I(t; x) < ε
|Ĝα(t;ξ)|dξ +
|Ĝα(t;ξ)||ϕ(x - ξ) - ϕ(x)|dξ ≤ εI1(t) + I2(t;x),
|ξ|<t1/(2α)◦
|ξ|≥t1/(2α)◦
где
∫
∫
I1(t) :=
|Ĝα(t;ξ)|dξ, I2(t;x) :=
|Ĝα(t;ξ)||ϕ(x - ξ) - ϕ(x)|dξ.
R3
|ξ|≥t1/(2α)
◦
Далее, учитывая оценки [14]
|∂kx Ĝα(t; x)| ≤ c1t(t1/α + |x|)-(3+|k|+α), k ∈ Z3+, t ∈ (0, T ], x ∈ R3,
(22)
и ограниченность функции ϕ(·) на R3, для всех t ∈ (0, T ] и x ∈ R3 находим
∫
∫
dξ
dz
I1(t) ≤ c1t
=c1
≡c2;
(t1/α + |ξ|)3+α
(1 + |z|)3+α
R3
R3
∫
∫
I2(t;x) ≤ c3t
|ξ|-(3+α) dξ = c3t
ρ-(1+α) dρ = c4tt◦1/2.
|ξ|≥t1/(2α)◦
◦
t1/(2α)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
4∗
52
ЛИТОВЧЕНКО
Из последнего неравенства следует, что для всех x ∈ R3 и t ≤ t◦ справедлива оценка
I2(t;x) ≤ c4t◦/2 < c4εα.
Следовательно, для любого x ∈ R3 и каждого ε > 0 существует t◦ < ε2α такое, что
при всех t ≤ t◦ выполняется неравенство I(t; x) < c2ε + c4εα, т.е. имеет место предельное
соотношение (21).
Функция W0β(·) бесконечно дифференцируема и ограничена на R3, поэтому, согласно (21),
для Wtβ(·) выполняется соотношение
Wtβ(·)
→
W0β(·).
(23)
t→+0
Таким образом, распределение Wtβ(·) является классическим решением задачи Коши (20),
(23).
Пусть теперь aβ(0) = 0, тогда
∫t
aβ(t) = a′β(τ)dτ, t ∈ (0,T].
0
Отсюда, согласно (16), получаем равенство
Wtβ(·) =Ĝα(t;·), t ∈ (0,T].
(24)
Соотношение (21) характеризует свойство “δ-подобия” функции
Ĝα(t; ·) в пространстве S′
распределений Шварца [25]:
Ĝα(t; ·) → δ(·)
(25)
t→+0
(здесь δ(·) - дельта-функция Дирака). Поэтому при aβ(0) = 0 распределение Wtβ(·) является
решением задачи Коши (20), (25), которое в обычном понимании удовлетворяет уравнению
(20), а начальному условию (25) - в смысле слабой сходимости в пространстве S′.
Подытожим сказанное выше в виде следующего утверждения.
Теорема 2. Если β > 3/2 и aβ(·) - непрерывно дифференцируемая функция на проме-
жутке [0, T ], то распределение вероятностей Wtβ(·) на множестве (0, T ] × R3 является
классическим решением задачи Коши (20), (23) при aβ (0) = 0. В случае aβ(0) = 0 функция
Wtβ(·) - фундаментальное решение этой задачи для уравнения (20).
Замечание 1. Равенство (24) раскрывает следующий смысл фундаментального решения
задачи Коши для ПДУ (20):Ĝα - первичное распределение вероятностей локального влияния
на рассматриваемый объект со стороны его движущегося окружения, характеризующее этот
процесс с самого начала его возникновения, т.е. с того момента, когда в окружении объекта
впервые возникли элементы локального воздействия.
Замечание 2. ПДУ (20) превращается в классическое уравнение диффузии при β = 3/2.
Однако значение β = 3/2 хотя и является предельным для интервала (3/2, +∞) сходимости
случайных процессов локального влияния движущихся объектов, но к этому множеству оно
не относится. Это означает, что процесс классической диффузии происходит по законам, кото-
рые имеют несколько иную природу, чем законы случайных завихрений локального влияния
движущихся объектов, хотя они и являются предельно близкими.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Petrowsky I.
Über das Cauchyche Problem für Systeme von partiellen Differentialgleichungen // Math.
Sb. 1937. V. 2. № 5. P. 815-870.
2. Шилов Г.Е. Об условиях корректности задачи Коши для систем дифференциальных уравнений в
частных производных с постоянными коэффициентами // Успехи мат. наук. 1955. Т. 10. Вып. 4.
С. 89-100.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛОКАЛЬНОГО ВЛИЯНИЯ
53
3. Житомирский Я.И. Задача Коши для некоторых типов параболических по Г.Е. Шилову систем
линейных уравнений в частных производных с непрерывными коэффициентами // Изв. АН СССР.
Сер. мат. 1959. Т. 23. С. 925-932.
4. Литовченко В.А., Довжицкая И.М. Стабилизация решений параболических систем типа Шилова
с неотрицательным родом // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55. № 2. С. 341-349.
5. Shirota T. О Cauchy problem for linear partial differential equations with variable coefficients // Osaka
Math. J. 1957. V. 8. № 1. P. 43-59.
6. Wiener N. Differential space // J. Math. and Phys. 1923. V. 2. P. 131-174.
7. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. Минск, 1987.
8. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск, 2008.
9. Эйдельман С.Д., Дринь Я.М. Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи
Коши для параболических псевдодифференциальных уравнений // Приближённые методы мате-
матического анализа. Киев, 1974. С. 60-69.
10. Дрiнь Я.М. Вивчення одного класу параболiчних псевдодиференцiальних операторiв у просторах
гёльдерових функцiй // Доп. АН УРСР. Сер. А. 1974. № 1. С. 19-21.
11. Федорюк М.В. Асимптотика функции Грина псевдодифференциального параболического уравнения
// Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 7. С. 1296-1301.
12. Schneider W.R. Stable distributions: Fox function representation and generalization // Lect. Not. Phus.
1986. V. 262. P. 497-511.
13. Кочубей А.Н. Параболические псевдодифференциальные уравнения, гиперсингулярные интегралы
и марковские процессы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1988. Т. 52. № 5. С. 909-934.
14. Litovchenko V.A. Cauchy problem with Riesz operator of fractional differentiation // Ukr. Math. J. 2005.
V. 57. № 12. P. 1936-1957.
15. Levy P. Calcul des Probabilities. Paris, 1925.
16. Золотарeв В.М. Одномерные устойчивые распределения. М., 1983.
17. Mandelbrot B. The Pareto-Levy law and the distribution of income // Int. Econ. Rev. 1960. V. 1. P. 79-
106.
18. Собельман И.И. Введение в теорию атомных спектров. М., 1963.
19. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М., 1965.
20. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 2. М., 1984.
21. Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Уваров В.Б. Квантово-статистические модели высокотемператур-
ной плазмы и методы расчёта росселандовых пробегов и уравнений состояния. М., 2000.
22. Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков. М., 1974.
23. Holtsmark J.
Über die Verbreiterung von Spektrallinier // Ann. der Physik. 1919. Bd. 58. S. 577-630.
24. Chandrasekhar S. Stohastic problems in physics and astronomy // Rev. of Modern Phys. 1943. V. 15.
№ 1. Р. 1-89.
25. Schwartz L. Theorie des distributions. V. 1. Paris, 1951.
Черновицкий национальный университет
Поступила в редакцию 11.07.2020 г.
им. Ю. Федьковича, Украина
После доработки 11.07.2020 г.
Принята к публикации 23.11.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
