ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.54-65

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.223

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КЕЛЬВИНА

ДЛЯ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ

Доказана обобщённая теорема Кельвина и с её помощью, основываясь на фундаменталь-

ных решениях эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами, построены

функции Грина первой краевой задачи для таких уравнений.

DOI: 10.31857/S0374064122010071

Введение. Как известно, при построении функции Грина задачи Дирихле для уравнения

Лапласа в круговых областях важную роль играет теорема (или преобразование) Кельвина [1],

с помощью которой строится эта функция. В связи с исследованиями Ф. Трикоми [2, с. 69-

95] возник интерес к построению функции Грина задачи Дирихле или задачи со смешанными

граничными условиями первого и второго рода для вырождающегося уравнения

y^mu_xx + u_yy = 0, m = const > 0,

(1)

в области D₀, ограниченной нормальной кривой Γ₀ (по терминологии Ф. Трикоми)

(

)₂

x² +

y(m+2)/2

= a², a > 0,

m+2

лежащей в полуплоскости y ≥ 0, и отрезком [-a, a] прямой y = 0.

Для уравнения (1) в области D₀ Е. Хольмгрен [3], не приводя необходимых обоснований,

впервые построил функцию Грина G(x, y; x₀, y₀) задачи с граничными данными



∂u



u(x, y)|Γ0 = ϕ(x),

-a ≤ x ≤ a,

= ν(x),

-a < x < a;

(2)



∂y

y=0

она имеет вид

G(x, y; x₀, y₀) = cos(2βπ)z(x, y; x₀, y₀) + z(x, y; x₀, y₀) -

(

)β

(cos(2βπ)z(x, y; x₀, y₀) + z(x, y; x₀, y₀)),

x²⁰ + 4(m + 2)-1ym+2

где

(m+2)/2

a²x₀

a²y₀

x₀ =

y(m+2)/20 =

;

x²⁰ + 4(m + 2)-1ym+20

x²⁰ + 4(m + 2)-1ym+2

(

)2β

(

)

(

))

r²

z(x, y; x₀, y₀) =

F β,β;1;

+ G β,β;1;

m+2

r²¹

r²

r2β1

(

)2β

(

)

(

))

r²¹

r²

r²¹

z(x, y; x₀, y₀) =

F β,β;1;

+ G β,β;1;

;

m+2

r2β

r²

{

(

)₂

r²

(y(m+2)/2 ∓ y(m+2)/20)

β=

;

r²¹ =(x-x0)² +

m+2

2(m + 2)

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КЕЛЬВИНА

F (β, β; 1; x) - гипергеометрическая функция, которая является решением уравнения

x(1 - x)y^′′ + (1 - (1 + 2β)x)y^′ - β²y(x) = 0;

[(

)

]

∂

G(β, β; 1; x) =

F (a, b; c; x)

∂a

∂b

∂c

c=1

a=b=β

F (a, b; c; x) - гипергеометрическая функция Гаусса.

С. Геллерстедт в своей знаменитой работе [4, с. 23], ссылаясь на работу [3], привёл в более

компактном виде формулу для функции Грина задачи (1), (2):

)2β

⁽a

G(x, y; x₀, y₀) = q₁(x, y; x₀, y₀) -

q₁(x,y;x₀,y₀),

(3)

где R² = x²⁰ +4(m+2)-2ym+20, а функция q₁(x, y; x₀, y₀) = k₁r-2β1F (β, β; 2β; 1-r²/r²¹) является

фундаментальным решением уравнения (1), также не обосновывая, почему второе слагаемое

из формулы (3) является решением уравнения (1). Эта формула воспроизведена в монографии

[5, с. 72, с. 80], в ней же приведена (также без соответствующих обоснований) формула для

функции Грина для уравнения (1) в области D₀ задачи Дирихле с данными

u(x, y)|Γ0 = ϕ(x), u(x, y)|y=0 = τ(x),

-a ≤ x ≤ a;

она имеет вид

2β

⁽a⁾

G(x, y; x₀, y₀) = q₂(x, y; x₀, y₀) -

q₂(x,y;x₀,y₀),

здесь

(

)4β-2

(

)

r²

q₂(x,y;x₀,y₀) = k₂

r-2β1F

1 - β,1 - β;2 - 2β;1 -

m+2

r²

- второе фундаментальное решение уравнения (1); значения постоянных k₁ и k₂ приведены

в [5, с. 44, 49].

В работе [6] в полукруге {(x, y) : x² + y² < 1, x > 0} для уравнения

u_xx + u_yy +

u_x = 0, p = const > 0,

(4)

изучены задачи Дирихле (0 < p < 1) и Келдыша [7] (p ≥ 1). В [6] для построения решения

этих задач функция Грина приводится в следующем виде:

G(x, y; x₀, y₀) = q₁(x, y; x₀, y₀) - g₁(x, y; x₀, y₀),

)

⁽x

⁽p

r²

где q₁(x, y; x₀, y₀) = k₁

;p;1 -

- фундаментальное решение уравнения (4),

r₁

r²

)

⁽x

⁽p

r²

g₁(x,y;x₀,y₀) = r^-p

;p;1 -

r²⁰ = x²⁰ + y²⁰,

r₁

r²

здесь

{

r²

x₀

y₀

= (x ∓ x₀)² + (y - y₀)²,r2

= (x ∓ x₀)² + (y - y₀)², x₀ =

y₀ =

(5)

r²¹

r²⁰

r²

В этой работе также отсутствует обоснование того, почему функция g₁(x, y; x₀, y₀) является

решением уравнения (4).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

САБИТОВ

Отметим, что в работах [8, 9] изучена задача Хольмгрена для уравнения

u_xx + u_yy +

u_y +

u_x = 0,

где 0 < p < 1, q = const, и методом потенциалов установлена её фредгольмость, а в работе [10]

в шаровой области для уравнения

∑

uxix_i + uzz +

u_z = 0,

0 < k < 1,

i=1

найден аналог формулы Пуассона для решения задачи Дирихле с использованием теоремы

Кельвина.

В работах [11, 12] для уравнения Келдыша

xⁿu_xx + u_yy = 0, n = const > 0,

(6)

√

в области, ограниченной координатными осями и “нормальной” кривой y = 2|2-n|-1

1-x2-n,

n = 2, построены по аналогии с работами [4-6] функции Грина задач Дирихле и Хольмгрена,

но без соответствующего обоснования.

В работах [13, 14] для уравнения

2α

2β

u_xx + u_yy +

u_x +

u_y - λ²u = 0,

0 < 2α < 1,

0 < 2β < 1, λ > 0,

(7)

по аналогии с работами [4, 5] построены функции Грина задачи Дирихле в четверти круга

x² + y² < 1, x > 0, y > 0, но без соответствующих обоснований.

Эту цепочку работ, посвящённых построению функции Грина краевых задач, можно про-

должить. В большом числе работ для эллиптических уравнений, имеющих сингулярные коэф-

фициенты или вырождающихся на границе области, по аналогии с работами [4, 5] построены

функции Грина без соответствующих обоснований. Чтобы указанные выше результаты счита-

лись обоснованными, необходимо перенести теорему Кельвина на вырождающиеся эллипти-

ческие уравнения или на эллиптические уравнения с сингулярными коэффициентами.

1. Рассмотрим в пространстве Rⁿ с заданной в нём декартовой системой координат

Ox₁,... ,x_n уравнение эллиптического типа с коэффициентами, сингулярными на осях коор-

динат,

(

)

∑

p_i

Su ≡

uxix_i(x) +

uxi

= Δu +

p_i uxi = 0,

(8)

x_i

i=1

где p_i - известные постоянные, u = u(x) - решение уравнения (8), x = (x₁, x₂, . . . , x_n), n ≥ 2.

Из курса уравнений математической физики (см., например, [15, с. 283; 16, с. 168; 17, с. 260;

18, с. 41; 19, с. 273] и др.) известно следующее утверждение, называемое теоремой Кельвина:

если функция u(x) является гармонической в области D ⊂ Rⁿ, то функция

)

⁽η₁

η₂

η_n

⁽η⁾

v(η) =

,...,

ρn-2

ρ²

ρn-2

ρ²

при ρ = 0 является гармонической в области D^′, сопряжённой с D (т.е. являющейся образом

области D) при преобразовании инверсии относительно сферы единичного радиуса с центром

√

в начале координат, где ρ = |η| =

η²¹ + η²² + ... + η2n.

Доказательство этого утверждения приведено в указанных выше учебниках при n = 2 и

n = 3, а в учебнике [20, с. 177] - при любом n ≥ 2.

В данной работе, следуя [20, с. 177], установлен аналог теоремы Кельвина для решений

уравнения (8) и показаны применения этой теоремы при построении функции Грина первой

граничной задачи для частных случаев уравнения (8).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КЕЛЬВИНА

Теорема. Если функция u(x) является в области D решением уравнения (8), то функция

(

)

∑

v(η) =

α= p_i,

(9)

ρn+α-2

ρ²

i=1

при ρ = 0 также является решением уравнения (8) в области D^′, сопряжённой с D при

преобразовании инверсии относительно сферы единичного радиуса с центром в начале коор-

динат.

Доказательство. Пусть x = (x₁, x₂, . . . , x_n) - произвольная точка области D, а η =

= (η₁, η₂, . . . , η_n), ηi = xi/r2, i = 1,n, - точка из области D′, соответствующая точке x

при преобразовании инверсии относительно сферы единичного радиуса с центром в начале

координат; r = |x|, ρ = |η|, при этом rρ = 1.

Предварительно докажем, что имеет место тождество

Sv(η) = rn+α+2Su(x),

(10)

из которого непосредственно вытекает справедливость теоремы. Предварительно вычислим

{

∂x_k

ρ-2 - 2ρ-4η2i, k = i,

(11)

∂η_i

-2ρ-4η_kη_i,

k = i.

Тогда вследствие определения (9) с учётом вычислений (11) имеем

∑

∂v(η)

∂u(x) ∂x_k

= (2 - n - α)ρ1-n-α

∂ρ u(x) + ρ2-n-α

∂η_i

∂x_k

∂η_i

k=1

∑

∂u(x)

= (2 - n - α)ρ^-n-αη_iu(x) - 2ρ-n-α-2η_i

η_k + ρ^-n-α

≡

∂x_k

∂x_i

k=1

≡ (2 - n - α)J₁ - 2J₂ + J₃.

(12)

Теперь, учитывая формулы (11), найдём производную по η_i от каждой функции J_k, k =

= 1, 2, 3, из правой части равенства (12):

∑

∂J₁

∂u(x)

= -(n + α)ρ-n-α-2η2i u(x) + ρ^-n-αu(x) - 2ρ-n-α-4η²

η_k + ρ-n-α-2

η_i

∂η_i

∂x_k

∂x_i

k=1

∑

∂J₂

∂u(x)

-n-α-2

= -(n + α + 2)ρ-n-α-4η²

η_k

+ρ

η_k -

∂η_i

∂x_k

k=1

)

∑

∂

⁽ ∂u)η

∂

⁽ ∂u

∂u

- 2ρ-n-α-6η2i

mηk + ρ-n-α-4ηi

η_k + ρ-n-α-2

η_i

∂x

∂x_k

∂x_i

∂x_k

∂x_i

k=1 m=1

k=1

)

∑

∂J₃

∂u

∂

⁽ ∂u

∂²x_k

= -(n + α)ρ-n-α-2ηi

- 2ρ-n-α-4ηi

η_k + ρ-n-α-2

∂η_i

∂x_i

∂x_k

∂x_i

∂x²

k=1

Тогда на основании вычисленных производных получаем, что

∑

∂J₁

∂J₂

∂J₃

Sv(η) = (2 - n - α)

-2

∂η_i

i=1

[

]

∑

p_i

∂u(x)

(2 - n - α)ρ^-n-αη_iu(x) - 2ρ-n-α-2ηi

η_k + ρ^-n-α

η_i

∂x_k

∂x_i

i=1

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

САБИТОВ

= -(2 - n - α)(n + α)ρ^-n-αu(x) + (2 - n - α)nρ^-n-αu(x) -

∑

∂u

- (2 - n - α)2ρ-n-α-2

η_k

+ (2 - n - α)ρ-n-α-2

∂u η_i +

∂x_k

∂x_i

k=1

i=1

∑

∂u

∂²u

+ 2(n + α + 2)ρ-n-α-2

η_k

- 2nρ-n-α-2

η_k

+ 4ρ-n-α-4

η_mη_k -

∂x_k

∂x_m∂x_k

k=1

k,m=1

∑

∂²u

- 2ρ-n-α-2

η_iη_k

- 2ρ-n-α-2

∂u η_i -

∂x_i∂x_k

∂x_i

k,i=1

i=1

∑

∂²u

- (n + α)ρ-n-α-2

∂u η_i

- 2ρ-n-α-4

η_kη_i

+ρ-n-α-2

∂x_i

∂x_k∂x

∂x²

i=1

k,i=1

i=1

∑

∂u(x)

p_i ∂u(x)

+ (2 - n - α)ρ^-n-αu(x) p_i- 2ρ-n-α-2

p_i

η_k

+ρ^-n-α

= rn+α+2Su(x).

∂x_k

η_i

∂x_i

i=1

k=1

i=1

Тем самым доказана справедливость тождества (10). Отсюда с очевидностью вытекает, что

функция (9), где ρ = 0, является решением уравнения (8) в области D^′. Теорема доказана.

Отметим, что в работе [21] дано обобщение теоремы Кельвина на случай уравнения (8) с

помощью перехода к сферической системе координат. Отметим также, что на стадии рецензи-

рования данной статьи выяснилось, что в монографии [22, с. 156] получено обобщение теоремы

Кельвина на случай уравнения

u_xx + u_yy +

u_y = 0, p = const.

Функция u(x) при преобразовании инверсии относительно сферы S_R радиуса R с цен-

тром в начале координат принимает вид

)n+α-2

⁽R

⁽R² )

v(η) =

;

ρ²

при этом функция v является решением уравнения (8).

2. Покажем применение доказанной выше теоремы при построении функции Грина первой

граничной задачи для частных случаев уравнения (8) с подробным обоснованием, так как у

разных авторов результаты отличаются друг от друга и при этом отсутствуют необходимые

выкладки.

Пример 1. Рассмотрим в полукруге D₁ = {(x, y) : x² + y² < 1, x > 0} изученное в

работе [6] уравнение

S₁u(x,y) ≡ u_xx + u_yy +

u_x = 0, p = const > 0,

(13)

и поставим для него задачи Дирихле и Келдыша, отмеченные в п. 1, с указанием пространства

функций, в котором ищется решение.

Задача 1 (задача Дирихле). Пусть 0 < p < 1. Найти функцию u(x, y), удовлетворя-

ющую следующим четырём условиям:

u(x, y) ∈ C(D₁)

^⋂C²(D₁);

(14)

S₁u(x,y) = 0, (x,y) ∈ D₁;

(15)

u(x, y)|_Γ = ϕ(y),

-1 ≤ y ≤ 1;

(16)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КЕЛЬВИНА

u(0, y) = ψ(y),

-1 ≤ y ≤ 1,

√

здесь кривая Γ - правая полуокружность x =

1 - y², непрерывные функции ϕ(y) и ψ(y)

заданы, ϕ(-1) = ψ(-1) = ϕ(1) = ψ(1).

Задача 2 (задача Келдыша). Пусть p ≥ 1. Найти функцию u(x, y), удовлетворяю-

щую условиям (14)-(16).

Решения уравнения (13), следуя [4; 5, с. 40], будем искать в виде произведения

u(x, y) = rα1v(1 - σ) = rα1v(ξ), α = const,

(17)

где σ = r²/r²¹ (величины r² и r²¹ определены в (5)). Подставляя функцию (17) в уравнение

(13), получаем

(

)

(ξ2x + ξ2y)v^′′(ξ) + ξ_xx + ξ_yy +

ξ_x +

2α(r1xξ_x + r1yξ_y) v^′(ξ) +

r₁

)

⁽ α(α - 1)

pα r1x

(r21x + r21y) +

(r1xx + r1yy) +

v(ξ) = 0.

(18)

r²¹

r₁

x r₁

Предварительно вычислим коэффициенты уравнения (18):

4x₀

ξ2x + ξ2y =

ξ(1 - ξ),

xr²

(

) )

2α

2ξ

4x₀

ξ_xx + ξ_yy +

ξ_x +

(r1xξ_x + r1yξ_y) = -

(α + p) +

r₁

r²¹

xr²¹

α(α - 1)

pα r1x

p² 4x₀

(r21x + r21y) +

(r1xx + r1yy) +

r²¹

r₁

x r₁

4 xr²

Подставим найденные значения коэффициентов в уравнение (18) и положим

α = -p. Тогда

получим гипергеометрическое уравнение

ξ(1 - ξ)v^′′(ξ) + (p - (1 + p)ξ)v^′(ξ) -

v(ξ) = 0.

Его линейно независимыми решениями являются функции

q₁(x,y;x₀,y₀) = r-p1F(p/2,p/2;p;1 - σ),

(19)

q₂(x,y;x₀,y₀) = r-p1ξ1-pF(1 - p/2,1 - p/2;2 - p;1 - σ) =

= (4xx₀)1-prp-21F (1 - p/2, 1 - p/2; 2 - p; 1 - σ),

(20)

когда p не является целым числом. Отметим, что функции (19) и (20) не удовлетворяют

сопряжённому уравнению

(

)

S∗1v ≡ v_xx + v_yy -

= 0.

(21)

В связи с этим обстоятельством в работе [6] предложено умножить функции (19) и (20) на x^p,

так как произведение x^pu(x, y) = v(x, y) является решением уравнения (21), когда u(x, y) -

решение исходного уравнения (13). Тогда получим два фундаментальных решения уравне-

ния (13):

q₁(x,y;x₀,y₀) = k₁(x/r₁)^pF(p/2,p/2;p;1 - σ),

(22)

q₂(x,y;x₀,y₀) = k₂xx1-p0rp-21F(1 - p/2,1 - p/2;2 - p;1 - σ),

(23)

где k₁ и k₂ - постоянные, подбирающиеся специальным образом, F (·) =₂F₁(·) - гипергеомет-

рическая функция Гаусса. Функции (22) и (23) являются решениями сопряжённого уравнения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

САБИТОВ

(21) по переменным (x, y) и решениями самого уравнения (13) по переменным (x₀, y₀) и при

r → 0 имеют логарифмическую особенность.

Функцией Грина задач 1 и 2 будем называть функцию

G(x, y; x₀, y₀) = q₁(x, y; x₀, y₀) - g₁(x, y; x₀, y₀),

(24)

здесь функция g₁(x, y; x₀, y₀) должна быть по паре (x, y) решением уравнения (21), а по паре

(x₀, y₀) решением уравнения (13) и

G(x, y; x₀, y₀)|_Γ = 0 и G(x, y; x₀, y₀)|x=0 = 0 при

0 < p < 1.

(25)

На основании доказанной выше теоремы построим функцию g₁(x, y; x₀, y₀). Используя сим-

метрию относительно окружности x² + y² = 1, из фундаментального решения (22) получаем

g₁(x,y;x₀,y₀) = r-p0q₁(x,y,x₀,y₀) = r-p0(x/r₁)^pF(p/2,p/2;p;1 - σ),

(26)

где r²⁰ = x²⁰ + y²⁰, σ = r²/r²¹, а остальные величины определены в (5). Тогда функция (24)

с учётом представления (26) является решением уравнения (13) по паре (x₀,y₀) и решением

уравнения (21) по паре (x, y), а также удовлетворяет граничным условиям (25), так как при

√

(x, y) ∈ Γ, т.е. когда x =

1 - y², справедливо равенство r₁ = r₀r₁. Действительно,

r²¹ = (x + x₀)² + (y - y₀)² = r²⁰((x + x₀)² + (y - y₀)²),

или

1 + 2xx₀ - 2yy₀ + r²⁰ = r²⁰(1 + 2xx₀ - 2yy₀ + x²⁰ + y²⁰) = r²⁰ + 2xx₀ - 2yy₀ + 1.

При x = 0 функция (24) обращается в нуль за счёт множителя x^p (p > 0), когда r₀ = 0.

Теперь, используя функцию Грина (24), решение задач 1 и 2 методом Грина можно по-

строить в явном виде, что сделано в работе [6], но без обоснования того, почему функция (26)

является решением уравнения (13) по паре (x₀, y₀).

Отметим, что в работе [23, с. 43] формула (23) приведена без вывода.

Пример 2. В четверти круга D₂ = {(x, y) : x² + y² < 1, x > 0, y > 0} рассмотрим

уравнение

S₂u(x,y) ≡ u_xx + u_yy +

u_x +

u_y = 0, p > 0.

(27)

Следуя [24], решение этого уравнения будем искать в виде

u(x, y) = (r₁r₂)^-pv(ξ),

(28)

здесь

)

⁽ rr₃

16xx₀yy₀

ξ=1-σ=1-

r₁r₂

(r₁r₂)²

где величины r² и r²¹ определены в (5), а величины r²² = (x - x₀)² + (y + y₀)² и r²³ = (x +

+ x₀)² + (y + y₀)². Подставляя функцию (28) в уравнение (27), получаем

{

S₂[(r₁r₂)^-pv(ξ)] = (r₁r₂)^-p v^′′(ξ)(ξ2x + ξ2y) +

(

)

⁽r1x

r2x

⁽r1y

r2y

+v^′(ξ) ξxx + ξyy - 2pξx

- 2pξ_y

ξ_x +

ξ_y

r₁

r₂

r₁

r₂

(

p(p + 1)

+ v(ξ)

(r1xx + r1yy) -

(r2xx + r2yy) +

(r21x + r21y) +

(r22x + r22y) +

r₁

r₂

r²¹

r²

)

))}

p²

⁽r1x

r2x

p²

⁽r1y

r2y

(r1xr2x + r1yr2y) -

= 0.

(29)

r₁r₂

x r₁

r₂

y r₁

r₂

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КЕЛЬВИНА

Предварительно вычислим следующие величины:

16x₀y₀(x² + y²)

ξ2x + ξ2y =

ξ(1 - ξ),

xy(r₁r₂)²

16x₀y₀(x² + y²)

ξ_xx + ξ_yy = -

ξ, r21x + r21y = 1, r22x + r22y = 1,

xy(r₁r₂)²

x² + y² - x²⁰ - y²⁰

r1xx + r1yy =

r2xx + r2yy =

r1xr2x + r1yr2y =

r₁

r₂

r₁r₂

r1x

r2x

r²²(x + x₀) + r²¹(x - x₀)

r1y

r2y

r²²(y - y₀) + r²¹(y + y₀)

r₁

r₂

(r₁r₂)²

r₁

r₂

(r₁r₂)²

ξ_xr1x

ξ_yr1y

16x₀y₀

((yx₀ - xy₀)r²² - 2xy(x² + y² - x²⁰ - y²⁰)),

r₁

(r₁r₂)⁴

ξ_xr2x

ξ_yr2y

16x₀y₀

((xy₀ - x₀y)r²¹ - 2xy(x² + y² - x²⁰ - y²⁰)).

r₂

(r₁r₂)²

Подставляя эти значения в уравнение (29), приходим к уравнению

(

)

16x₀y₀(x² + y²)

p²

S₂[(r₁r₂)^-pv] = (r₁r₂)^-p

ξ(1 - ξ)v^′′(ξ) + (p - (1 + p)ξ)v^′(ξ) -

v(ξ)

= 0.

xy(r₁r₂)²

Отсюда для функции v(ξ) получаем гипергеометрическое уравнение

ξ(1 - ξ)v^′′(ξ) + (p - (1 + p)ξ)v^′(ξ) -

v(ξ) = 0,

которое при нецелом p > 0 имеет два линейно независимых решения

v₁(ξ) = F(p/2,p/2;p;ξ),

(30)

v₂(ξ) = ξ1-pF(1 - p/2,1 - p/2;2 - p;ξ).

(31)

На основании решений (30) и (31) получаем два линейно независимых решения уравнения (27):

q₁(x,y;x₀,y₀) = k₁(r₁r₂)^-pF(p/2,p/2;p;1 - σ),

(32)

q₂(x,y;x₀,y₀) = k₂(r₁r₂)^-pξ1-pF(1 - p/2,1 - p/2;2 - p;1 - σ).

(33)

Функции (32) и (33) являются решениями уравнения (27) по переменным (x, y) и (x₀, y₀),

так как выражение для ξ симметрично относительно этих пар. Однако указанные функции

не являются по переменным (x, y) и (x₀, y₀) решениями сопряжённого уравнения

(

)

(

)

S∗2v ≡ v_xx + v_yy -

= 0.

(34)

Нетрудно заметить, что если функция u(x, y) является решением уравнения (27), то произ-

ведение (xy)^pu(x, y) = v(x, y) будет решением сопряжённого уравнения (34). Следовательно,

фундаментальными решениями уравнения (27) являются следующие функции:

(

q₁(x,y;x₀,y₀) = k₁

F (p/2, p/2; p; ξ),

(35)

r₁r₂

(

q₂(x,y;x₀,y₀) = k₂

ξ1-pF(1 - p/2,1 - p/2;2 - p;ξ).

(36)

r₁r₂

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

САБИТОВ

Теперь, используя фундаментальное решение (35), на основании установленной теоремы не-

трудно построить функцию Грина G(x, y; x₀, y₀) первой граничной задачи для уравнения (27)

в четверти круга D₂, именно:

G(x, y; x₀, y₀) = q₁(x, y; x₀, y₀) - r-2p0q₁(x, y; x₀, y₀) =

((

(

)

=k₁

F (p/2, p/2; p; 1 - σ) -

r-2p0F(p/2,p/2;p;1 - σ) ,

(37)

r₁r₂

где

⁽ rr₃ )

σ=

r²³ = (x + x₀)² + (y + y₀)², r²² = (x - x₀)² + (y + y₀)².

r₁r₂

Функция (37) обращается в нуль на осях координат x = 0 и y = 0, так как p > 0, и на дуге

x² + y² = 1 в силу того, что r = r₀r, r₁ = r₀r₁, r₂ = r₀r₂, r₃ = r₀r₃.

Пример 3. Рассмотрим в полушаре D₃ = {(x, y, z) : x² + y² + z² < 1, x > 0} уравнение

S₃u(x,y,z) ≡ u_xx + u_yy + u_zz +

u_x = 0, p = const > 0.

(38)

Отметим, что в работах [23, 25] построены фундаментальные решения уравнения (38), одна-

ко эти решения различаются между собой. В связи с этим найдём фундаментальные решения

независимо от указанных работ.

Как и в случае примера 1, решение уравнения (38) будем строить в виде произведения

u(x, y, z) = rα1v(ξ), α = const,

(39)

где

4xx₀

ξ=1-σ=1-

r²¹

r²

r² = (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)², r²¹ = (x + x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)².

Подставляя функцию (39) в уравнение (38), получаем

(

)

(ξ2x + ξ2y + ξ2z)v^′′(ξ) + ξ_xx + ξ_yy + ξ_zz +

ξ_x +

2α(r1xξ_x + r1yξ_y + r1zξ_z) v^′(ξ) +

r₁

)

⁽ α(α - 1)

pα r1x

(r21x + r21y + r21z) +

(r1xx + r1yy + r1zz) +

v(ξ) = 0.

(40)

r²¹

r₁

x r₁

Вычислим коэффициенты уравнения (40):

4x₀

2ξ

4x₀

ξ2x + ξ2y + ξ2z =

ξ(1 - ξ), ξ_xx + ξ_yy + ξ_zz = -

ξ;

xr²¹

r²¹

xr²

4x²⁰

(r1xξ_x + r1yξ_y + r1z ξ_z) =

;

r₁

r⁴¹

r²

( (

) )

2α

2ξ

4x₀

ξ_xx + ξ_yy + ξ_zz +

ξ_x +

(r1xξ_x + r1yξ_y + r1zξ_z) = -

(1 + p + α) +

r₁

r²¹

xr²¹

α(α - 1)

pα

α(α + 1 + p)

pα 4x₀

(r21x + r21y + r21z) +

(r1xx + r1yy + r1zz) +

r1x =

r²¹

r₁

xr₁

r²¹

4 xr²

Подставляя найденные значения коэффициентов в (40) и полагая α = -1 - p, приходим к

гипергеометрическому уравнению

( (

) )

p(p + 1)

ξ(1 - ξ)v^′′(ξ) + p - p +

ξ v^′(ξ) -

v(ξ) = 0,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КЕЛЬВИНА

линейно независимыми решениями которого при нецелом p > 0 являются функции

q₁(x,y,z;x₀,y₀,z₀) = r-p-11F(p/2 + 1/2,p/2;p;1 - σ) =

(41)

rr^p F(p/2-1/2,p/2;p;1-σ);

q₂(x,y,z;x₀,y₀,z₀) = r-p-11ξ1-pF(1/2 - p/2,1 - p/2;2 - p;1 - σ) =

= (4xx₀)1-prp-21r-1F (1/2 - p/2, 1 - p/2; 2 - p; 1 - σ).

(42)

Функции (41) и (42) по переменным (x, y, z) не удовлетворяют сопряжённому уравнению

)

⁽pu

S∗3u ≡ u_xx + u_yy + u_zz -

= 0,

(43)

x x

в связи с чем по той же причине, что и выше, функции (41) и (42) следует умножить на x^p.

Тогда получим два фундаментальных решения уравнения (38):

q₁(x,y,z;x₀,y₀,z₀) = k₁x^pr-p1r-1F(p/2 - 1/2,p/2;p;1 - σ),

(44)

q₂(x,y,z;x₀,y₀,z₀) = k₂xx1-p0rp-21r-1F(1/2 - p/2,1 - p/2;2 - p;1 - σ),

которые отличаются от решений из работы [25] на множитель x^p, а решения в [23] имеют

другой вид.

Используя доказанную выше теорему, нетрудно построить функцию Грина первой гранич-

ной задачи для уравнения (38) в полушаре D₃. Эта функция определяется формулой

G(x, y, z; x₀, y₀, z₀) = q₁(x, y, z; x₀, y₀, z₀) - g₁(x, y, z; x₀, y₀, z₀),

(45)

здесь функция q₁ задаётся равенством (44), а функция g₁ на основании теоремы имеет вид

(

)_p

g₁(x,y,z;x₀,y₀,z₀) = r-p-1q1(x,y,z,x0,y0,z0) = k1

F ((p - 1)/2, p/2; p; 1 - r²/r²¹),

r₀r r₀r₁

здесь

x₀

y₀

z₀

r²⁰ = x²⁰ + y²⁰ + z²⁰, x₀ =

y₀ =

z₀ =

r²

r² = (x + x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)², r²¹ = (x + x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)².

Построенная функция (45) является по переменным x₀, y₀, z₀ решением уравнения (38),

по переменным x, y, z - решением сопряжённого уравнения (43) и удовлетворяет нулевому

граничному условию на границе ∂D₃ полушара D₃. На сфере x² + y² + z² = 1 функция G

равна нулю, так как в этом случае r₁ = r₀r₁ и r = r₀r.

Отметим, что, используя построенные функции Грина первой граничной задачи решения

этой задачи для уравнений (27) и (38) можно построить в явном виде в указанных соответству-

ющих областях D₂ и D₃. Построенные вторые фундаментальные решения уравнений (13),

(27) и (38) можно использовать для построения решения задачи Хольмгрена в областях D_i,

i = 1,3, где в отличии от задачи Дирихле на линии или плоскости сингулярности задаётся

производная по нормали с весом.

3. Рассмотрим теперь эллиптические уравнения, вырождающиеся на части границы облас-

ти, в которой они заданы, например уравнения (1), (6) из п. 1 и другие:

y^mu_xx + xⁿu_yy = 0, n ≥ 0, m ≥ 0, m + n > 0, x > 0, y > 0,

(46)

u_xx + xⁿ(u_yy + u_zz) = 0, n > 0, x > 0.

(47)

Уравнение (1) заменой переменных

x₁ = x, y₁ =

y(2+m)/2

(48)

2+m

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

САБИТОВ

с последующим переобозначением x₁ через y, а y₁ через x сводится к уравнению (13), где

p = m/(2 + m) ∈ (0,1) при всех m > 0, для которого построены фундаментальные решения

(22) и (23). Они с учётом замены (48) являются фундаментальными решениями уравнения (1),

так как уравнение (1) является самосопряжённым.

Заменой

x₁ =

y(2-n)/2, y₁ = y

(49)

|2 - n|

уравнение (6) преобразуется в уравнение вида (13), где p = -n/(2 - n) < 0, если n < 2, и

p = n/(n-2), если n > 2. Согласно примеру 1 фундаментальными решениями уравнения (6)

являются функции (22) и (23) с учётом замены (49). С их помощью можно построить функцию

Грина задач Дирихле и Хольмгрена, что и сделано в работах [11, 12].

Замена

x₁ =

x(2+n)/2, y₁ =

y(2+m)/2

2+n

2+m

сводит уравнение (46) к виду

ux1x₁ + uy₁y₁ +

ux1 +

uy1 = 0,

(50)

x₁

y₁

здесь p = n/(2 + n), q = m/(2 + m). Для уравнения (50) при p = q в примере 3 построены

фундаментальные решения (35) и (36), которые можно использовать для уравнения (46) при

m = n для решения задач Дирихле и Хольмгрена методом Грина.

Уравнение (47) заменой

z₁ =

z(2+m)/2, x₁ = x, y₁ = y

2+m

преобразуется в уравнение (38), где p = m/(2 + m) ∈ (0, 1) при m > 0. Функции (41) и

(42) являются фундаментальными решениями уравнения (47), их можно использовать для

построения функции Грина указанных граничных задач.

В заключение отметим, что результаты работ [3-6, 11, 12] вследствие доказанной теоремы

можно считать обоснованными, а результаты работ [13, 14] для уравнения (7) верны только

тогда, когда λ = 0, так как при λ = 0 эта теорема для уравнения (7) неверна. В работах [25, 26]

для трёхмерных уравнений эллиптического типа с сингулярными коэффициентами найдены

фундаментальные решения, которые использованы для построения решения задачи Дирихле

и Хольмгрена в полупространстве. Используя теорему, решения этих задач можно построить

в шаровых областях.

Автор благодарит участников семинара, руководимого академиком Е.И. Моисеевым, в Мос-

ковском университете, на котором им докладывались результаты этой работы, за конструк-

тивное, полезное и доброжелательное её обсуждение, а также выражает признательность про-

фессору С.М. Ситнику за указание на работу [21] и присылку её оттиска.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Thomson W. (Lord Kelvin). Extrait d’une lettre de M. William Thomson à M. Liouville // J. de Math.

Pures et Appl. 1845. V. 10. P. 364-367.

2. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.; Л., 1947.

3. Holmgren E. Sur un problème aux limites pour l’équation y^mz_xx +z_yy = 0 // Arkiv for Matem., Astron.,

Fysik. 1926. V. 19B. № 14. P. 1-3.

4. Gellerstedt S. Sur un problème aux limites pour une équation linéaire aux dérivées partielles du second

order de type mixte: These pour le doctorat. Uppsala, 1935.

5. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М., 1966.

6. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравнений u_xx ± u_yy +^pxu_x = 0 // Учен. зап. Куй-

бышевского гос. пед. ин-та им. В.В. Куйбышева. 1968. Вып. 21. С. 3-55.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КЕЛЬВИНА

7. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа // Докл. АН

СССР. 1951. Т. 77. № 2. С. 181-183.

8. Евсин В.И. Задача Хольмгрена для одного уравнения с сингулярными коэффициентами // Диф-

ференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 1. С. 41-48.

9. Евсин В.И. О разрешимости задачи Хольмгрена для одного эллиптического вырождающегося урав-

нения // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11. № 1. С. 38-46.

10. Евсин В.И. Об одном аналоге формулы Пуассона // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 1.

С. 41-45.

11. Сабитов К.Б. О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго

рода на границе бесконечной области // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21. № 4. С. 146-150.

12. Сабитов К.Б. Задача типа Трикоми для уравнения смешанного типа с сильным характеристичес-

ким вырождением // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. № 2. С. 333-337.

13. Salakhitdinov M.S., Hasanov A. A solution of the Neumann-Dirichlet boundary value problem for

generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Complex Variables and Elliptic Equations. 2008.

V. 53. № 4. P. 355-364.

14. Salakhitdinov M.S., Hasanov A. The Dirichlet problem for the generalized bi-axially symmetric Helmholtz

equation // Euras. Math. J. 2012. V. 3. № 4. P. 99-110.

15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1968.

16. Соболев С.С. Уравнения математической физики. М., 1966.

17. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической

физики. М., 1970.

18. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М., 1976.

19. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М., 2000.

20. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. М., 2013.

21. Weinstein A. On a singular differential operator // Ann. Mat. Pura Appl. 1960. V. 49. P. 359-365.

22. Маричев О.И., Килбас А.А., Репин О.А. Краевые задачи для уравнений в частных производных с

разрывными коэффициентами. Самара, 2008.

23. Волкодавов В.Ф., Лернер М.Е., Николаев Н.Я., Носов В.А. Таблицы некоторых функций Римана,

интегралов и рядов. Куйбышев, 1982.

24. Ежов А.М. О решении пространственной задачи для уравнения смешанного типа с двумя плоско-

стями вырождения // Дифференц. уравнения. Тр. пединститутов РСФСР. 1973. Вып. 2. С. 84-102.

25. Rassias J.M., Hasanov A. Fundamental solutions of two degenerated elliptic equations and solutions of

boundary value problems in infinite area // Int. J of Appl. Math. & Stat. 2007. V. 8. № 7. P. 87-95.

26. Hasanov A., Karimov E.T. Fundamental solutions for a class of three-dimensional elliptic equations with

singular coefficients // Appl. Math. Lett. 2009. V. 22. P. 1828-1832.

Институт стратегических исследований

Поступила в редакцию 23.06.2020 г.

Республики Башкортостан,

После доработки 06.12.2021 г.

Стерлитамакский филиал

Принята к публикации 21.12.2021 г.

Башкирского государственного университета

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022