ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.66-81
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.955
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОЛСТОГО СТЕРЖНЯ
С УЧЁТОМ ПОПЕРЕЧНОЙ ИНЕРЦИИ
© 2022 г. Х. Г. Умаров
Для нелинейного дифференциального уравнения соболевского типа, представляющего со-
бой уравнение продольных колебаний толстого стержня с учётом поперечной инерции,
в полуплоскости (x, t) ∈ R1 × [0, +∞) исследуется разрешимость задачи Коши в клас-
се функций, которые при каждом фиксированном значении временной переменной t ≥ 0
непрерывны на всей числовой оси и имеют конечные пределы на бесконечности. Найдены
как достаточные условия существования глобального решения задачи Коши, так и доста-
точные условия его разрушения на конечном временном отрезке.
DOI: 10.31857/S0374064122010083
Введение. Нелинейное уравнение соболевского типа [1, гл. 2; 2, часть II], не разрешённое
относительно временной производной второго порядка:
∂2u
∂2u
∂4u
∂3u
∂u ∂2u
-
=
+a
+b
,
∂t2
∂x2
∂x2∂t2
∂x∂t2
∂x ∂x2
(x, t) ∈ R1 × R1+, R1 = (-∞, +∞), R1+ = (0, +∞),
(1)
где a, b - заданные числовые параметры, возникает при математическом моделировании раз-
личных физических процессов. Например, при a = b = 0 получается уравнение Буссинеска,
описывающее течение несжимаемой экспоненциально стратифицированной жидкости [3]; при
a = 0, b = 0 - уравнение продольных колебаний толстого стержня с учётом поперечных инер-
ционных эффектов [4, § 4.2.2]; при a = 0, b = 0 - уравнение продольных волн в нелинейно-
упругом стержне [5, § 9.4.2], которое иногда называют модифицированным уравнением Бус-
синеска. Правая часть уравнения (1) при ненулевых a и b отражает совместное действие
соответственно дисперсионных, поперечных инерционных и нелинейных эффектов.
Предполагаем, что стержень является бесконечным. Указанная идеализация допустима [6],
если параметры граничного закрепления таковы, что падающие на него возмущения не отра-
жаются.
Для уравнения (1) поставим задачу Коши:
u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ∈ R1,
(2)
считая, что начальные функции ϕ(x) и ψ(x) принадлежат банахову пространству C[R1]
непрерывных функций g : R1 → R1, для которых существуют конечные пределы при x →
→ ±∞ и норма в котором задаётся равенством ∥g∥C = sup{|g(x)| : x ∈ R1} (см., например,
[7, гл. VIII, § 1]). Классическое решение u(x, t), (x, t) ∈ R1 × R1+, R1+ = [0, +∞), задачи
(1), (2) ищем в классе функций, которые при каждом фиксированном значении переменной
t ≥ 0 принадлежат по переменной x пространству C[R1]. Через C(k)[R1] обозначим линейное
многообразие пространства C[R1], состоящее из функций, первые k производных которых
принадлежат пространству C[R1], т.е.
C(k)[R1] = {g(x) ∈ C[R1] : g′(x),... ,g(k)(x) ∈ C[R1]}, k ∈ N.
66
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
67
Напомним, что если функция g(x) принадлежит пересечению пространства C[R1] с про-
странством Соболева W12(R1), то справедлива [8] оценка
∫
)1/2
∥g∥C = sup
|g(x)| ≤ ∥g∥W 1 =
((g(x))2 + (g′(x))2) dx
,
(3)
2
x∈R1
−∞
причём если g(x) ∈ C(2)[R1], то предел функций g(x), g′(x) при x → ±∞ равен нулю.
Для скалярного произведения и нормы в пространстве L2(R1) будем использовать соот-
ветственно обозначения (·, ·) и ∥ · ∥2, т.е.
+∞
∫
)1/2
(ϕ, ψ) =
ϕ(x)ψ(x) dx и
∥ϕ∥2 =
ϕ2(x)dx
−∞
-∞
1. Вспомогательные результаты из теории сильно непрерывных полугрупп.
В пространстве C[R1] [7; 9, § 1.3] дифференциальный оператор d/dx с областью определения
D(d/dx) = C(1)[R1] является производящим оператором сильно непрерывной группы класса
C0 левых сдвигов:
U (t; d/dx)g(x) = g(x + t), t ∈ R1,
а оператор d2/dx2, D(d2/dx2) = C(2)[R1], порождает сильно непрерывную полугруппу клас-
са C0 :
∫
1
U (t; d2/dx2)g(x) =
√
e-ξ2/(4t)g(x + ξ)dξ, t ∈ R1+.
2
πt
-∞
Обе эти операторнозначные функции являются сжимающими:
∥U(t; d/dx)∥ ≤ 1,
∥U(t; d2/dx2)∥ ≤ 1,
причём положительная полуось λ > 0 принадлежит резольвентным множествам операторов
d/dx и d2/dx2 и для соответствующих резольвент справедливы оценки норм
√
∥(λI - d/dx)-1∥ ≤ λ-1,
∥(λI - d2/dx2)-1∥ = ∥ - (
λI - d/dx)-1(-√λI - d/dx)-1∥ ≤ λ-1,
где I - тождественный оператор.
Для функции g = g(x) ∈ C(2)[R1] справедливо неравенство [9, § 7.1] ∥g′∥2C ≤ 4∥g′′∥C ∥g∥C ,
из которого следует, что ∥ag′(x)∥C ≤ ∥g′′(x)∥C + a2∥g(x)∥C . Последняя оценка означает, что
оператор ad/dx подчинён оператору d2/dx2 с границей, не превышающей 1, но тогда [9, § 8.1]
возмущённый оператор
2
d
d
A=
+a
dx2
dx
является производящим оператором сжимающей сильно непрерывной полугруппы U(t, A)
класса C0
(∥U(t; A)∥ ≤ 1), причём положительная полуось λ > 0 принадлежит резоль-
вентному множеству оператора A.
Отметим, что для t > 0 и натурального числа n если g(x)∈C(n)[R1], то U(t; ad/dx)g(x) ∈
∈ C(n)[R1], и если g(x) ∈ C[R1], то U(t;d2/dx2)g(x) ∈ C(n)[R1], при этом на произвольном
элементе g(x) ∈ C[R1] справедливо представление
U (t; A)g(x) = U(t; ad/dx)U(t; d2/dx2)g(x) = U(t; d2/dx2)U(t; ad/dx)g(x) =
∫
∫
1
1
=
√
e-ξ2/(4t)g(x + at + ξ)dξ =
√
e-(η-x-at)2/(4t)g(η)dη,
2
πt
2
πt
-∞
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
5∗
68
УМАРОВ
для полугруппы, порождаемой оператором A, а для резольвенты этого оператора - пред-
ставление
+∞
(λI - A)-1g(x) = e-λU(s; A)g(x) ds =
0
∫
∫
1
=
√
ea(η-x)/2g(η)dη
e-(λ+a2/4)s-(η-x)2/(4s) √s
=
2
λ
s
−∞
0
(воспользуемся табличным интегралом [10, § 2.3.16])
∫
√
1
=
√
ea(η-x)/2-
λ+a2/4|η-x|g(η) dη.
2
λ + a2/4
−∞
Далее, оценим норму:
(
)
∫
d
d2
1
t;
g(x)
=
√
(η - x)e-(η-x)2/(4t)g(η) dη
≤
dxU
dx2
4t
πt
C
C
-∞
∫
∥g(x)∥C
≤
√
se-s2/(4t)ds ≤∥g√x)∥C для всех g(x) ∈ C[R1].
2t
πt
πt
0
Тогда, используя полученную мажоранту, имеем
(
∫
(
)
)-1
d
d2
d
d2
λI -
g(x)
≤ |a|
e-λs
s;
g(x)
s≤
a
d
dx
dx2
dxU
dx2
C
C
0
∫
∥g(x)∥C
ds
|a|
≤ |a|
e-λs
√
∥g(x)∥C , λ ∈ R1+.
√π
√s≤
λ
0
Следовательно, если λ = 1 и |a| < 1, то для нормы оператора
(
[(
(
)-1
)-1
)-1]
d
d2
d
d2
B=a
I-
=a I-
- I-
dx
dx2
dx
dx2
справедлива оценка ∥B∥ ≤ |a| < 1. Поэтому оператор I - B обратим и для обратного к нему
∑+∞
оператора справедливо разложение в степенной ряд (I - B)-1 =
Bn и оценка нормы
n=0
∥(I - B)-1∥ ≤ 1/(1 - |a|).
Таким образом, если выполнено неравенство |a| < 1, то для резольвенты (I - A)-1 имеет
место представление
(
(
(
)-1
)-1
)-1
d2
d2
(I - A)-1 = I - ad
-
= I-
(I - B)-1 = (I - B)-1 I -d2
dx
dx2
dx2
dx2
2. Задача Коши для линейного однородного уравнения. Рассмотрим линейное од-
нородное уравнение продольных колебаний толстого стержня, записанное в виде
(u - aux - uxx)tt = uxx.
(4)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
69
Пусть u = u(x, t) - решение задачи Коши (4), (2), для которого частные производные uxx,
uxxt непрерывны при t ≥ 0. Введём новую неизвестную функцию
w = u - aux - uxx.
(5)
Используя принадлежность положительной полуоси λ > 0 резольвентному множеству
дифференциального оператора A и замену (5), можно единственным образом определить
начальные значения функции w = w(x, t):
w0(x) ≡ w|t=0 = ϕ(x) - aϕ′(x) - ϕ′′(x) и w1(x) ≡ wt|t=0 = ψ(x) - aψ′(x) - ψ′′(x),
при условии, что начальные функции ϕ(x), ψ(x) принадлежат классу C(2)[R1], и выразить
через новую неизвестную функцию w(x, t) решение u(x, t) задачи Коши (4), (2):
∫
√
1
u(x, t) = (I - A)-1w(x, t) =
√
eaη/2-
1+a2/4|η|w(x + η, t) dη.
(6)
2
1 + a2/4
−∞
В результате подстановки (5) уравнение (4) можно записать в пространстве C[R1] в виде
абстрактного обыкновенного дифференциального уравнения
Wtt = KW, t ∈ R1+,
(7)
где W = W (t) : t → w(x, t) - искомая вектор-функция, определённая для t ∈ R1+, со значени-
ями в пространстве C[R1], а K - линейный ограниченный оператор
K = (I - A)-1 - (I - B)-1,
∥K∥ ≤ 2/(1 - |a|) = a20, a0 > 0,
который представляет собой продолжение на всё пространство C[R1] линейного оператора
2
d2
K0 = (I - A)-1 d
=
(I - A)-1,
dx2
dx2
определённого на функциях g(x) ∈ C(2)[R1].
Начальные условия в C[R1] для уравнения (7) запишутся в виде
W|t=0 = Φ, Wt|t=0 = Ψ,
(8)
где Φ = w0(x), Ψ = w1(x) - элементы пространства C[R1].
С задачей Коши (7), (8) связана сильно непрерывная косинус оператор-функция C(t; K)
класса C0, для которой на произвольном элементе g(x) ∈ C[R1] справедливо представление [9,
§ 1.4, § 4.2]
∑
t2n
C(t; K)g(x) =
Kng(x), t ∈ R1,
(9)
(2n)!
n=0
причём ряд сходится равномерно по t на каждом конечном отрезке из R1. Отметим, что
операторнозначная функция C(t; K) непрерывна в равномерной операторной топологии и
для неё справедлива следующая оценка нормы:
∑
t2n
∥C(t; K)∥ ≤
∥K∥n ≤ ch(a0t), t ∈ R1+.
(10)
(2n)!
n=0
Для косинус оператор-функции C(t; K) можно записать в явном виде её представление [7,
с. 664] на элементах g(x) ∈ C[R1]. Для этого, используя интегральное представление степеней
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
70
УМАРОВ
резольвенты (λI
A)-1 производящего оператора
A полугруппы U(t
A) класса
C0, тип
которой ω :
∫
1
(λI
A)-ng(x) =
e-λsn-1U(s
A)g(x) ds, Re λ > ω,
(n - 1)!
0
запишем представления для следующих вспомогательных оператор-функций 1)-5).
1) Группа, порождаемая оператором a(I - d/dx)-1 :
∑
(at)n
U (t; a(I - d/dx)-1)g(x) =
(I - d/dx)-ng(x) =
n!
n=0
∫
√
√
ds
= g(x) +
|a|t
e-sY (2
|a|ts, sgn a)g(x + s)
√s,
0
где обозначено
{
√
I1(2√az),
если a > 0,
Y (2
|a|z, sgn a) =
√
−J1(2
|a|z), если a < 0,
здесь
{
∑
(±1)nzn+1/2
I1(2√z)}
=
n!(n + 1)!
J1(2√z)
n=0
– функции Бесселя [10, § 5.2.10].
2) Группа, порождаемая оператором -a(I - d2/dx2)-1 :
∑
(-1)n(at)n
U (t; -a(I - d2/dx2)-1)g(x) =
(I - d2/dx2)-ng(x) =
n!
n=0
√
∫
|a|t
= g(x) +
Z(t, ξ2)g(x + ξ) dξ,
4π
-∞
где обозначено
+∞
√
ds
Z(t, ξ2) =
e-s-ξ2/(4s)Y∗(2
|a|ts, sgn a)
s
0
и
{
√
-J1(2√az), если a > 0,
Y ∗(2
|a|z, sgn a) =
√
I1(2
|a|z), если a < 0.
3) Группа, порождаемая оператором B :
U (t; B)g(x) = U(at; (I - d/dx)-1)U(-at; (I - d2/dx2)-1)g(x) =
∫
√
√
ds
= g(x) +
|a|t
e-sY (2
|a|ts, sgn a)g(x + s)
√s+
0
√
∫
∫
∫
|a|t
|a|t
√
ds
+
Z(t, ξ2)g(x + ξ) dξ +
|a|ts, sgn a)
+ s + ξ)dξ.
4π
2√πe-sY(2
√sZ(t,ξ2)g(x
−∞
0
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
71
4) Косинус оператор-функция, порождаемая оператором -(I - B)-1 :
∑
t2n
C(t; -(I - B)-1)g(x) =
(I - B)-ng(x) =
(2n)!
n=0
∫
2
t
= g(x) +
e-s0F2(;3/2,2;st2/4)U(s;B)g(x)ds,
2
0
где
∑
zn
0F2(; 3/2, 2; z/4) = 2
n!(2n + 2)!
n=0
- обобщённая гипергеометрическая функция [11, § 7.2.3].
5) Косинус оператор-функция, порождаемая оператором (I - A)-1 :
∫
∑
t2n
C(t; (I - A)-1)g(x) =
(I - A)-ng(x) = g(x) +√
Q(t2, ξ2)g(x + at + ξ) dξ,
(2n)!
4
π
n=0
-∞
где обозначено
+∞
Q(t2, ξ2) =
e-s-ξ2/(4s)0F2(;3/2,2;st2/4
√s.
0
Производящий оператор K косинус оператор-функции C(t; K), t ∈ R1, можно рассмат-
ривать как результат возмущения производящего оператора (I - A)-1 косинус оператор-
функции C(t; (I - A)-1) линейным ограниченным оператором -(I - B)-1, который в свою
очередь порождает косинус оператор-функцию C(t; -(I - B)-1), а поэтому [9, § 8.2] для про-
извольного элемента g(x) из пространства C[R1] имеем
1
∫
2
√
C(t; K)g(x) = C(t; (I - A)-1)g(x) +t
j1(t
1 - s2,(I - A)-1)C(ts;(I - B)-1)g(x)ds,
2
0
где
1
∫
√
j1(t,(I - A)-1)g(x) =4
1 - s2C(ts;(I - A)-1)g(x)ds.
π
0
С косинус оператор-функцией (9) ассоциируют [9, § 1.4] синус оператор-функцию
∫t
S(t; K)g(x) = C(s; K)g(x) ds, g(x) ∈ C[R1],
(11)
0
и линейное многообразие
C1[R1] = {g(x) ∈ C[R1] : C(t;K)g(x) ∈ C(1)(R1,C[R1])},
т.е. подмножество C1[R1] ⊆ C[R1] состоит из тех функций из C[R1], для которых функция
C(t; K)g(x) : R1 → C[R1] является непрерывно дифференцируемой функцией переменной t.
Очевидно, что в рассматриваемом случае C1[R1] = C[R1].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
72
УМАРОВ
Вследствие оценки (10) из определения (11) вытекает, что
∥S(t; K)∥ ≤ a-10sh(a0t), t ∈ R1+.
(12)
Для того чтобы задача Коши (7), (8) была равномерно корректной на R1+, необходимо
и достаточно, чтобы оператор K являлся производящим оператором сильно непрерывной
косинус оператор-функции C(t; K) класса C0, при этом классическое решение абстрактной
задачи Коши (7), (8) даётся формулой [9, § 1.4]
W (t) = C(t; K)Φ + S(t; K)Ψ, t ∈ R1,
для любых Φ ∈ D(K) и Ψ ∈ C1[R1] (в рассматриваемом случае - для любых Φ и Ψ ∈ C[R1]).
Теперь, проводя обратную замену (6) и используя перестановочность между собой резоль-
венты (I -A)-1 и косинус оператор-функции, порождаемой оператором K, находим решение
задачи Коши для уравнения (4):
u(x, t) = (I - A)-1W (t) = C(t; K)ϕ(x) + S(t; K)ψ(x).
(13)
Таким образом, имеет место
Теорема 1. Пусть параметр a в уравнении (1) удовлетворяет условию |a| < 1 и на-
чальные функции ϕ(x) и ψ(x) принадлежат подклассу C(2)[R1] пространства C[R1]. Тогда
задача Коши (2) для линейного однородного уравнения (4) равномерно корректна, классическое
решение даётся формулой (13) и для него справедлива оценка
sup |u(x,t)| ≤ ch(a0t) sup
|ϕ(x)| + a-10sh(a0t) sup |ψ(x)|, t ∈ R1+.
x∈R1
x∈R1
x∈R1
Замечание 1. Классическое решение u(x, t) задачи Коши (4), (2) принадлежит классу
C(R1, R1+)
⋂C0,1(R1,R1+)⋂ C2,2(R1,R1+). Классическое решение абстрактной задачи Коши (7),
(8) - функция W (t) из класса C(2)(R1+, C[R1]), следовательно, w(x, t) ∈ C0,2(R1, R1+). В силу
формулы (13) найденное решение u(x, t) принадлежит классу C2,2(R1, R1+), поэтому, учиты-
вая ограниченность оператора K, заключаем, что это решение бесконечно дифференцируемо
по временной переменной t, т.е. u(x, t) ∈ C2,∞(R1, R1+).
3. Локальное решение задачи Коши для уравнения продольных колебаний тол-
стого стержня. Рассмотрим уравнение, получающееся дифференцированием по x обеих ча-
стей уравнения (1) и последующей подстановкой ux = v :
∂2v
∂3v
∂4v
∂2v
b∂2v2
-a
-
=
+
(14)
∂t2
∂x∂t2
∂x2∂t2
∂x2
2 ∂x2
Подействуем на обе части уравнения (14) линейным ограниченным оператором (I - A)-1,
тогда получим эквивалентное (14) уравнение, которое в пространстве C[R1] можно записать
в виде абстрактного полулинейного уравнения
Vtt = KV + F(V ),
(15)
где V = V (t) : t → v(x, t) - искомая вектор-функция, оператор K - тот же, что и в уравне-
нии (7), а F - заданный нелинейный оператор:
F (g) = [(I - A)-1 - (I - B)-1]f(g),
здесь f(g) - оператор суперпозиции:
f (g) = bg2(x)/2, g(x) ∈ C[R1].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
73
Из непрерывной дифференцируемости оператора суперпозиции f(·) в пространстве непре-
рывных функций и ограниченности операторов (I - A)-1 и (I - B)-1 следует непрерывная
дифференцируемость по Фреше оператора F (·) в пространстве C[R1], а значит, F (·) удо-
влетворяет локальному условию Липшица. Следовательно, существует промежуток [0, t0), в
котором абстрактная задача Коши (15), (8) для любых Φ ∈ D(K) и Ψ ∈ C1[R1] (в рассматри-
ваемом случае для любых Φ и Ψ ∈ C[R1]) имеет [12, § 3] единственное обобщённое решение
V = V (t), t ∈ [0,t0), т.е. единственное непрерывно дифференцируемое решение интегрального
уравнения
∫t
V (t) = C(t; K)Φ + S(t; K)Ψ + S(t - τ; K)F (V (τ)) dτ .
(16)
0
Из интегрального уравнения (16) в силу оценок (10), (12) вытекает интегральное нера-
венство
t
∫
a0|b|
∥V (t)∥C ≤ h(t) +
sh(a0(t - τ))∥V (τ)∥2C dτ,
(17)
2
0
в котором h(t) = ∥Φ∥C ch(a0t) + a-10∥Ψ∥C sh(a0t).
Используя элементарные соотношения sh(t - τ) ≤ ch(t - τ) ≤ ch(t) ch(τ), t, τ ∈ R1+,
запи-
шем интегральное неравенство (17) в виде
∫t
a0|b|
∥V (t)∥C ≤ h(t) +
ch(a0t) ch(a0τ)∥V (τ)∥2C dτ.
2
0
Отсюда выводим [13, § 1.3] оценку для нормы обобщённого решения
(
∫
t
)-1
a0|b|
∥V (t)∥C ≤ h(t)
1-
ch2(a0τ)h(τ) dτ
,
2
0
или в подробной записи
a0∥Φ∥C ch(a0t) + ∥Ψ∥C sh(a0t)
sup
|v(x, t)| ≤ 6
,
(18)
x∈R1
6a0 - |b|{a0∥Φ∥C sh(a0t)(sh2(a0t) + 3) + ∥Ψ∥C (ch3(a0t) - 1)}
в которой время t изменяется на отрезке [0, t1], где
{
}
t1 = sup
a0∥Φ∥C sh(a0τ)[sh2(a0τ) + 3] + ∥Ψ∥C ch3(a0τ) < 6a0/|b| + ∥Ψ∥C
τ
Обобщённое решение V (t), t ∈ [0, t1], интегрального уравнения (16) будет классическим
решением абстрактной задачи Коши (15), (8), если оно дважды непрерывно дифференциру-
емо, что является следствием [12] непрерывной дифференцируемости по Фреше нелинейного
оператора F, при условии принадлежности начальных данных Φ и Ψ соответственно мно-
жествам D(K) и C1[R1] и, значит, в рассматриваемом случае, для любых Φ и Ψ из C[R1].
Таким образом, имеет место
Теорема 2. Пусть параметр a в уравнении (1) удовлетворяет условию |a| < 1 и на-
чальные функции ϕ(x) и ψ(x) принадлежат пространству C[R1] вместе со своими произ-
водными до второго порядка включительно. Тогда на временном отрезке [0, t1] существует
единственное классическое решение v = v(x,t) задачи Коши (14), (2) в пространстве C[R1],
для которого справедлива оценка (18).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
74
УМАРОВ
Замечание 2. Из существования в пространстве C[R1] локального классического решения
уравнения (14)
v(x, t) = ux(x, t) ∈ C[R1]
⋂W12(R1)
(19)
следует существов∫ние на том же временном отрезке [0, t1] соответствующего классического
x
решения u(x, t) =
v(ξ, t) dξ, уравнения (1) при выполнении требования принадлежности
-∞
его пространству W12(R1).
4. Существование глобального решения и разрушение решения уравнения про-
дольных колебаний толстого стержня. Рассмотрим для уравнения (1) так называемый
интеграл энергии
+∞
y(t) ≡ (u, u) + (ux, ux) =
(u2 + u2x) dx, t ∈ [0, t1].
(20)
−∞
Применяя к значениям производной y′(t) интеграла энергии и её квадрата [y′(t)]2 нера-
венство Коши-Буняковского |(ϕ, ψ)| ≤ ∥ϕ∥2∥ψ∥2, выводим вспомогательные оценки
∫t
∫
t
y(t) ≤ y(0) + y(s) ds + z(s) ds,
(21)
0
0
где y(0) = (ϕ, ϕ) + (ϕ′, ϕ′) = ∥ϕ∥2W 1 , и
2
(y′(t))2 ≤ 4y(t)z(t),
(22)
в которых обозначено
+∞
z(t) =
(u2t + u2xt) dx ≡ ∥ut∥2W 1 .
2
-∞
Умножая обе части уравнения (1) на u, интегрируя полученное равенство по x ∈ R1,
применяя формулу интегрирования по частям и учитывая равенство нулю при x → ±∞ вне
интегральных слагаемых, приходим к равенству
∫
(u + aux - uxx, utt) + ∥ux∥22 +b
u3x dx = 0.
(23)
2
−∞
Аналогично, умножая обе части уравнения (1) на ut, получаем
[
∫
]
d
2
b
z(t) + ∥ux∥
+
u3x dx
= -2a(uxt,utt),
2
dt
3
−∞
откуда, интегрируя по отрезку [0, t], находим, что
∫
∫
t
z(t) + ∥ux∥22 +b
u3x dx = Z0 - 2a (uxτ ,uττ )dτ,
(24)
3
−∞
0
где
∫
Z0 = ∥ψ∥2W1
+ ∥ϕ′∥22 + b
(ϕ′(x))3 dx.
2
3
-∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
75
Далее, умножим обе части уравнения (1) на utt и проинтегрируем полученное равенство
по переменной x от -∞ до +∞, получим
∥utt∥22 + ∥uxtt∥22 = (utt, uxx) + b(utt, uxuxx).
(25)
Оценим квадрат нормы utt, записав уравнение (1) в виде
b
utt = Ku +
K1u2x,
(26)
2
где оператор
(
2
)-1 d
K1 = (I - A)-1 d
= (I - B)-1 I -d
=
dx
dx2
dx
[(
(
)-1
)-1]
d2
1
= (I - B)-1 I -d
- I-
=
[(I - B)-1 - I],
dx
dx2
a
(
)
1
1
∥K1∥ ≤
1+
|a|
1 - |a|
Обозначим
{
}
{
(
)}
|b|
2
|b|
1
k0 = max
∥K∥;
∥K1∥
= max
;
1+
2
1 - |a|
2|a|
1 - |a|
Тогда, используя уравнение (26), условие (19) и оценку (3), приходим к цепочке неравенств
(
)2
|b|
∥utt∥22 ≤
∥K∥∥u∥2 +
∥K1∥∥u2∥2
≤ 2k20(∥u∥22 + ∥u2x∥22) ≤
x
2
(
∫
)
(
)
≤ 2k20
y(t) + sup u2
x
u2x dx
≤ 2k2
0
y(t) + ( sup |ux|)2y(t)
≤
x∈R1
x∈R1
-∞
(
∫
∫
)
)
(
(
∫
)
)
≤ 2k20 y(t) +
u2x dx + u2xx dx y(t)
≤ 2k2
0
y(t) + y(t) +
u2xx dx y(t)
−∞
-∞
-∞
Таким образом,
∥utt∥22 ≤ 2k20((1 + ∥uxx∥22)y(t) + y2(t)).
(27)
Получим ещё одну оценку квадрата нормы utt, используя представление уравнения (1) в
виде
utt = Ku + b(I - A)-1uxuxx.
(28)
Обозначим
{
}
2
|b|
k1 = max{∥K∥;|b|∥(I - A)-1∥} = max
;
1 - |a|
1 - |a|
Используя уравнение (28), приходим к цепочке неравенств
∥utt∥22 ≤ (∥K∥∥u∥2 + |b|∥(I - A)-1∥∥uxuxx∥2)2 ≤ 2k21(∥u∥22 + ∥uxuxx∥22) ≤
(
∫
)
[
∫
∫
)
]
≤ 2k21
y(t) + sup u2
u2xx dx
≤ 2k2
y(t) +
u2x dx + u2xx dx
∥uxx∥2
≤
x
1
2
x∈R1
−∞
-∞
-∞
≤ 2k21(y(t) + (y(t) + ∥uxx∥22)∥uxx∥22).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
76
УМАРОВ
Итак,
∥utt∥22 ≤ 2k21((1 + ∥uxx∥22)y(t) + ∥uxx∥42).
(29)
Вернёмся к равенству (25), из него очевидно следует неравенство
∥utt∥22 ≤ (utt, uxx) + b(utt, uxuxx),
применяя к слагаемым правой части которого оценку Коши-Буняковского, получим следую-
щую цепочку неравенств:
∥utt∥22 ≤ ∥utt∥22 + ∥uxx∥22 + |b|(∥utt∥22 + ∥uxuxx∥22) ≤
∫
≤ (1 + |b|)∥utt∥22 + ∥uxx∥22 + |b| sup u2x
u2xx dx ≤
x∈R1
-∞
∫
∫
)
≤ (1 + |b|)∥utt∥22 + ∥uxx∥22 + |b|
u2x dx + u2xx dx
∥uxx∥22 ≤
−∞
-∞
≤ (1 + |b|)∥utt∥22 + ∥uxx∥22 + y2(t)) + |b|(y(t) + ∥uxx∥22)∥uxx∥22.
Отсюда, используя оценку (27) и обозначая для удобства записи ∥uxx∥22 = N, приходим к
неравенству
2|b|k20y2(t) + |b|(2k20 + (2k20 + 1)N)y(t) + (1 + |b|N)N ≥ 0,
(30)
которое справедливо для всех значений интеграла энергии y(t), но тогда дискриминант квад-
ратного относительно y(t) трёхчлена из левой части неравенства (30) должен быть неполо-
жителен, т.е.
b2(2k20 - 1)2N2 + 4k20|b|(|b|(2k20 + 1) - 2)N + 4b2k40 ≤ 0,
(31)
причём 2k20 - 1 > 0 по определению постоянной k0.
Для того чтобы дискриминант квадратного относительно N трёхчлена из левой части
неравенства (31) был неотрицателен, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из
условий:
1
|b| ≤
или
|b| ≥ 1.
(32)
2k2
0
При выполнении условий (32) оба корня квадратного трёхчлена в (31) положительны, если и
только если имеет место условие
|b|(2k20 + 1) - 2 < 0.
(33)
Из совместного рассмотрения условий (32) и (33) вытекает, что квадратный трёхчлен из
неравенства (31) имеет положительные корни N1,2 тогда и только тогда, когда
1
|b| ≤
,
(34)
2k2
0
при этом
√
2 - |b|(2k20 + 1) ± 2
(2|b|k20 - 1)(|b| - 1)
N1,2 = 2k2
,
0
|b|(2k20 - 1)2
причём неравенство (31) будет выполняться при N1 ≤ N ≤ N2, откуда следует оценка сверху
для квадрата нормы функции uxx :
∥uxx∥22 ≤ N2.
(35)
Теперь неравенство (29) можно записать в виде
∥utt∥22 ≤ 2k21((1 + N2)y(t) + N22).
(36)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
77
Из равенств (23) и (24), исключая слагаемое, содержащее параметр b, получаем
∫t
1
z(t) +
∥ux∥22 = Z0 +2(u + aux - uxx, utt) - 2a (uxτ , uττ ) dτ ,
3
3
0
откуда в силу соотношений
∫
t
∫
t
∫
t
∫
t
2 (uxτ , uττ ) dτ
(∥uxτ ∥22 + ∥uττ ∥22) dτ ≤ z(τ) dτ +
∥uττ ∥22 dτ
≤
0
0
0
0
с учётом неравенств |a| < 1 и
2
1
|(u + aux - uxx, utt)| ≤
(y(t) + ∥uxx∥22) + ∥utt∥22,
3
3
вытекает, что
∫t
∫
t
1
z(t) ≤ Z0 +
(y(t) + ∥uxx∥22) + ∥utt∥22 + |a|
∥uττ ∥22 dτ + |a| z(τ) dτ .
(37)
3
0
0
Используя неравенства (35) и (36), запишем оценку (37) в виде
∫t
z(t) ≤ q(t) + |a| z(τ) dτ ,
(38)
0
где
∫t
1 + 2k21N2
1 + 2k2(1 + N2)
1
q(t) = Z0 + N2
+ 2|a|k21N22t +
y(t) + 2|a|k21(1 + N2) y(τ) dτ .
3
3
0
Пусть Z0 ≥ 0, т.е.
+∞
b
(ϕ′(x))3 dx ≥ -3(∥ψ∥2W 1
+ ∥ϕ′∥22),
(39)
2
−∞
тогда q(t) ≥ 0, и, значит, применяя к неравенству (38) лемму Гронуолла, будем иметь
∫t
z(t) ≤ q(t) + |a| q(s)e|a|(t-s) ds.
(40)
0
Используя следующую оценку второго слагаемого в правой части неравенства (40):
t
∫t
∫
|a|
q(s)e|a|(t-s) ds ≤ M1e|a|t
+M2
y(τ)e|a|(t-τ) dτ,
0
0
где обозначено
1
8
1
8
M1 = Z0 +
N2 +
k21N22
и M2 =
|a| +
|a|k21(1 + N2),
3
3
3
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
78
УМАРОВ
запишем неравенство (40) в виде
∫
t
z(t) ≤ q(t) + M1e|a|t + M2 y(τ)e|a|(t-τ) dτ .
(41)
0
Учитывая неравенство (41), получаем оценку
∫
t
∫
t
z(s) ds ≤ q1(t) + q2(t) y(s) ds,
(42)
0
0
где обозначено
(
)
1 + 2k21N2
M1
q1(t) = Z0 + N2
t + |a|k21N22t2 +
e|a|t
3
|a|
и
)
(1 + 2k21(1 + N2)
q2(t) =
+ 2|a|k21(1 + N2)t + M2te|a|t
3
Воспользовавшись неравенством (42), запишем оценку (21) в виде интегрального нера-
венства
∫t
y(t) ≤ (y(0) + q1(t)) + (1 + q2(t)) y(s) ds,
0
откуда [13, § 1.2] для интеграла энергии (20) выводим оценку
∫t
(∫t
)
y(t) ≤ M(t) = (y(0) + q1(t)) + (1 + q2(t)) (y(0) + q1(s)) exp
(1 + q2(ξ)) dξ ds.
(43)
0
s
Из неравенств (43) и (3) вытекает следующая оценка нормы решения u = u(x, t) уравнения
(1) в пространстве C[R1]:
√
sup |u| ≤
M (t),
(44)
x∈R1
обеспечивающая существование глобального решения задачи Коши (1), (2).
Таким образом, имеет место
Теорема 3. Пусть в уравнении (1) продольных колебаний толстого стержня параметр a
удовлетворяет неравенству |a| < 1, а параметр b и начальные функции задачи Коши ϕ(x) ∈
∫+∞
∈ W12(R1),
(ϕ′(x))3 dx ≤ ∞, ψ(x) ∈ W12(R1) - условиям (34) и (39). Тогда существует
-∞
единственное глобальное классическое решение u = u(x,t) задачи Коши (1), (2) такое, что
u(x, t), ux(x, t) ∈ C[R1]
⋂W12(R1), и для него справедлива оценка (44).
Далее исследуем вопрос о разрушении решения уравнения (1) на некотором конечном вре-
менном отрезке [0, T ], т.е. получим достаточные условия возникновения разрыва второго рода
для интеграла энергии y(t). Отрезок [0, T ] выбираем таким, чтобы на нём выполнялось нера-
венство y(t) > 0, которое в силу гладкости интеграла энергии следует из начального условия
y(0) = ∥ϕ∥2W 1 > 0.
(45)
2
Вычисляя производную второго порядка интеграла энергии (20), используя уравнение (1)
и интегрируя по частям, выводим энергетическое равенство
+∞
y′′(t) - 2z(t) + 2∥ux∥22 = -b
u3x dx - 2a(ux,utt).
(46)
−∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
79
Исключая из равенств (46) и (24) слагаемое с параметром b, будем иметь
∫t
y′′(t) - 5z(t) + 3Z0 + 2a(ux,utt) + 6a (uxτ ,uττ )dτ = ∥ux∥22,
0
откуда следует неравенство
∫t
y′′(t) + 3Z0 + 2a(ux,utt) + 6a (uxτ ,uτ )dτ ≥ 5z(t).
0
Это неравенство сохранится, если мы, воспользовавшись оценками ∥ux∥22 ≤ y(t), ∥uxτ ∥22 ≤ z(τ)
и (36), (42), увеличим его левую часть:
2a(ux, utt) ≤ |a|(∥ux∥22 + ∥utt∥22) ≤ |a|(1 + 2k21(1 + N2))y(t) + 2|a|k21N22
и
∫t
∫
t
6a (uxτ , uττ ) dτ ≤ 3|a|
(∥uxτ ∥22 + ∥uττ ∥22) dτ ≤
0
0
∫t
≤ 3|a|(q1(t) + 2k21N22t) + 3|a|(q2(t) + 2k21(1 + N2)) y(τ) dτ ,
0
а также, применяя оценку (22), уменьшим правую часть:
2
5 (y′(t))
y′′(t) -
+ 3Z0 + 2|a|k21N22 + 3|a|(q1(t) + 2k21N22t) +
4
y(t)
∫t
+ |a|(1 + 2k21(1 + N2))y(t) + 3|a|(q2(t) + 2k21(1 + N2)) y(τ) dτ ≥ 0.
0
Обозначая
α(t) = 3Z0 + 2|a|k21N22 + 3|a|(q1(t) + 2k21N22t),
β = |a|(1 + 2k21(1 + N2)), γ(t) = 3|a|(q2(t) + 2k21(1 + N2)),
запишем последнее неравенство в виде
t
2
∫
5 (y′(t))
y′′(t) -
+ α(t) + βy(t) + γ(t) y(τ) dτ ≥ 0,
4
y(t)
0
откуда, учитывая равенства
max
α(t) = α(T ) и max γ(t) = γ(T ),
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
получаем, что
∫t
5
y(t)y′′(t) -
(y′(t))2 + α(T )y(t) + βy2(t) + γ(T ) y(τ) dτ y(t) ≥ 0.
(47)
4
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
80
УМАРОВ
Из непрерывной дифференцируемости интеграла энергии y(t) следует, что при выполне-
нии начального условия
+∞
y′(0) = 2
(ϕ(x)ψ(x) + ϕ′(x)ψ′(x)) dx > 0
(48)
−∞
найдётся такой временной отрезок [0, T1] ⊆ [0, T ], на котором производная интеграла энергии
будет неотрицательна: y′(t) ≥ 0, но тогда справедлива цепочка соотношений
∫
t
∫
t
t
y(τ) dτ = τy(τ)
- τy′(τ)dτ ≤ ty(t) ≤ T1y(t).
(49)
0
0
0
С учётом (49) из неравенства (47) следует, что на отрезке [0,T1] выполняется неравенство
5
y(t)y′′(t) -
(y′(t))2 + (β + T1γ(T ))y2(t) + α(T )y(t) ≥ 0,
(50)
4
сравнивая которое с одним из основных обыкновенных дифференциальных неравенств для
интеграла энергии [14, Приложение, § 5], заключаем, что имеет место
Теорема 4. Пусть параметры a (|a| < 1), b в уравнении (1) продольных колебаний тол-
стого стержня и начальные функции ϕ(x), ψ(x) задачи Коши обеспечивают, в дополнение
к условиям (45), (48), выполнение требования
(y′(0))2 > 4(β + T1γ(T ))y2(0) +4α(T )y(0).
3
Тогда временной отрезок [0, T1] ⊆ [0, T ] не может быть сколь угодно большим, а именно,
справедлива следующая оценка сверху времени существования классического решения задачи
Коши (1), (2):
1
T1 ≤ T∞ ≤
√
,
4
y(0)Ω
где постоянная Ω > 0 определяется равенством
1
α(T )
Ω2 =
y-5/2(0)(y′(0))2 -β+T1γ(T)y-1/2(0) -
y-3/2(0),
16
4
12
причём имеет место предельное соотношение
lim sup y(t) = +∞.
t↑T∞
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демиденко Г.В. Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешённые относительно старшей про-
изводной. Новосибирск, 1998.
2. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения
соболевского типа. М., 2007.
3. Габов С.А., Оразов Б.Б. Об уравнении ∂2/∂t2[uxx - u] + uxx = 0 и некоторых связанных с ним
задачах // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1986. Т. 26. № 1. С. 92-102.
4. Beards C.F. Structural Vibration: Analysis and Damping. Oxford, 2003.
5. Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М., 2003.
6. Ерофеев И.В. Изгибно-крутильные, продольно-изгибные и продольно-крутильные волны в стерж-
нях // Вестн. науч.-техн. развития. 2012. № 5 (57). С. 3-18.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
81
7. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М., 1962.
8. Benjamin T.B., Bona J.L., Mahony J.J. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems
// Philos. Trans. R. Soc. London. 1972. V. 272. P. 47-78.
9. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарев С.И. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и
линейные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. Т. 58. М.,
1990. С. 87-202.
10. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.,
1981.
11. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.,
1986.
12. Travis C.C., Webb G.F. Cosine families and abstract nonlinear second order differential equations // Acta
Math. Acad. Sci. Hungaricae. 1978. V. 32. P. 75-96.
13. Dragomir S.S. Some Gronwall Type Inequalities and Applications. Melbourne, 2002.
14. Корпусов М.О. Разрушение в нелинейных волновых уравнениях с положительной энергией. М.,
2012.
Отдел физико-математических и химических наук
Поступила в редакцию 14.12.2020 г.
Академия наук Чеченской Республики, г. Грозный,
После доработки 14.12.2020 г.
Чеченский государственный педагогический университет,
Принята к публикации 21.12.2021 г.
г. Грозный
6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
