ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.82-92
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.957
О РАЗРЕШИМОСТИ СПЕЦИАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
© 2022 г. С. С. Харибегашвили, Б. Г. Мидодашвили
Для одного класса нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными произ-
водными рассматривается специальная краевая задача в цилиндрической области. Иссле-
дованы вопросы существования, единственности и отсутствия решений этой задачи.
DOI: 10.31857/S0374064122010095
1. Введение. В евклидовом пространстве Rn+1 переменных x = (x1, . . . , xn) и t рас-
смотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений с частными производными вида
∑
∂4ku
∂2u
Lf :=
-
Aij
+ f(u) = F(x,t),
(1.1)
∂t4k
∂xi∂xj
i,j=1
где вектор-функции f = (f1, . . . , fN )т, F = (F1, . . . , FN )т заданы (условия, которым они
удовлетворяют, приводятся ниже), а u = (u1, . . . , uN )т - искомая вектор-функция, N ≥ 2;
Aij - заданные постоянные квадратные матрицы порядка N, причём Aij = Aji, i,j = 1,n,
n ≥ 2, k - натуральное число.
Для системы (1.1) рассмотрим краевую задачу в следующей постановке: в цилиндрической
области DT := Ω × (0, T ), где Ω - открытая липшицева область в Rn, найти решение u =
= u(x, t) системы (1.1), удовлетворяющее краевым условиям
u|Γ = 0,
(1.2)
∂iu
= 0, i = 0, 2k - 1,
(1.3)
⋃
∂ti
Ω0
ΩT
где Γ := ∂Ω × (0, T ) - боковая часть границы цилиндрической области DT , а Ω0 = Ω × {0} и
ΩT = Ω × {T} - нижнее и верхнее основания этого цилиндра соответственно.
В скалярном случае, т.е. когда N = 1, эта задача изучена в работе [1]. Исследованию
начальных и смешанных задач для полулинейных дифференциальных уравнений с частными
производными высокого порядка, имеющих структуру, отличную от (1.1), посвящена много-
численная литература (см., например, работы [2-12] и приведённую в них библиографию).
Обозначим через C2,4k(DT ) линейное пространство непрерывных в DT вектор-функций
u = (u1,...,uN)т, имеющих непрерывные в DT частные производные ∂u/∂xi, ∂2u/∂xi∂xj,
∂lu/∂tl, i,j = 1,n; l = 1,4k. Положим
{
}
∂iu
C2,4k0(DT ,∂DT ) := u ∈ C2,4k(DT ) : u|Γ = 0,
= 0, i = 0, 2k - 1
⋃
∂ti
Ω0
ΩT
Введём гильбертово пространство W1,2k0(DT ), которое получается пополнением по норме
∫
[
]
∑∂iu2
∑∂u
2
∥u∥2
=
|u|2 +
+
x dt
(1.4)
W1,2k0(DT )
d
∂ti
∂xi
i=1
i=1
DT
∑N
классического пространства C2,4k0(DT , ∂DT ), здесь и в дальнейшем |u|2 =
u2i.
i=1
82
О РАЗРЕШИМОСТИ СПЕЦИАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
83
Замечание 1.1. Из определения (1.4) следует, что если u ∈ W1,2k0 (DT ), то тогда u ∈
◦
∈
W2(DT ) и ∂iu/∂ti ∈ L2(DT ), i = 1,2k. Здесь
(DT ) - хорошо известное пространство
2
Соболева, состоящее из элементов пространства L2(DT ), имеющих обобщённые частные про-
◦
изводные первого порядка из L2(DT ), и
(DT ) : u|
= 0}, где равенство
W2(DT ) = {u ∈
2
∂DT
u|∂DT = 0 понимается в смысле теории следа [13, с. 70].
Будем предполагать, что в системе (1.1) нелинейная вектор-функция f = (f1, . . . , fN )т
удовлетворяет следующим условиям:
f ∈ C(RN),
|f(u)| ≤ M1 + M2|u|α, u ∈ RN ,
(1.5)
где Mi = const ≥ 0, i = 1, 2, и
0 ≤ α = const < (n + 1)/(n - 1).
(1.6)
Замечание 1.2. Оператор вложения I : W12(DT ) → Lq(DT ) является линейным непре-
рывным компактным оператором, если 1 < q < 2(n + 1)/(n - 1), n > 1 [13, с. 81]. В то же
время оператор Немыцкого K : Lq(DT ) → L2(DT ), действующий по формуле Ku = f(u),
где u = (u1, . . . , uN )т ∈ Lq(DT ) и вектор-функция f = (f1, . . . , fN )т удовлетворяет условию
(1.5), является непрерывным и ограниченным при q ≥ 2α [14, с. 66, 67]. Поэтому если α <
< (n + 1)/(n - 1), то существует число q такое, что 1 < q < 2(n + 1)/(n - 1) и q ≥ 2α.
Следовательно, в этом случае оператор
K0 = KI : W12(DT ) → L2(DT )
(1.7)
является непрерывным и компактным. Поэтому из включения u ∈ W12(DT ) следует включение
f (u) ∈ L2(DT ), а из сходимости um → u при m → ∞ в пространстве W12(DT ) - сходимость
f (um) → f(u) при m → ∞ в пространстве L2(DT ).
Здесь и ниже принадлежность вектор-функции v = (v1, . . . , vN )т некоторому пространст-
ву X означает, что каждая её компонента vi, 1 ≤ i ≤ N, принадлежит пространству X.
Замечание 1.3. Пусть u ∈ C2,4k0(DT , ∂DT ) - классическое решение задачи (1.1)-(1.3).
Умножив скалярно на произвольную вектор-функцию ϕ ∈ C2,4k0(DT , ∂DT ) обе части системы
(1.1) и проинтегрировав полученное равенство по частям по области DT , получим
∫
]
∫
∫
∑
[∂2ku∂2k
ϕ
∂u
∂ϕ
+
Aij
dx dt +
f (u)ϕ dx dt = F ϕ dx dt.
(1.8)
∂t
2k ∂t2k
∂xi ∂xj
i,j=1
DT
DT
DT
Примем равенство (1.8) за основу определения слабого обобщённого решения задачи (1.1)-
(1.3).
Определение. Пусть вектор-функция f удовлетворяет условиям (1.5), (1.6), а вектор-
функция F принадлежит пространству L2(DT ). Вектор-функция u ∈ W1,2k0(DT ) называется
слабым обобщённым решением задачи (1.1)-(1.3), если интегральное равенство (1.8) справед-
ливо для любой вектор-функции ϕ ∈ W1,2k0(DT ), т.е.
∫
]
∫
∑
[∂2ku∂2k
ϕ
∂u
∂ϕ
+
Aij
dx dt +
f (u)ϕ dx dt =
∂t
2k ∂t2k
∂xi ∂xj
i,j=1
DT
DT
∫
= Fϕdxdt для любой ϕ ∈ W1,2k0(DT).
(1.9)
DT∫
Отметим, что интеграл
f (u)ϕ dx dt в равенстве (1.9) определён корректно, поскольку
DT
в силу замечания 1.2 из u ∈ W1,2k0(DT ) следует, что f(u) ∈ L2(DT ) и, значит, имеет место
включение f(u)ϕ ∈ L1(DT ).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
6∗
84
ХАРИБЕГАШВИЛИ, МИДОДАШВИЛИ
Нетрудно проверить, что если решение u задачи (1.1)-(1.3) в смысле определения принад-
лежит классу C2,4k0(DT , ∂DT ), то оно будет и классическим решением этой задачи.
2. Разрешимость задачи (1.1)-(1.3). Ниже предполагаем, что оператор
∑
∂2
Aij
(2.1)
∂x
i∂xj
i,j=1
∑n
является сильно эллиптическим, т.е. что матрица Q(ξ) =
Aijξiξj при каждом ненулевом
i,j=1
ξ = (ξ1,...,ξn)т ∈ Rn является положительно определённой [13, с. 243]:
(Q(ξ)η, η)RN > 0 для любого η ∈ RN \{(0, . . . , 0)т} при каждом ξ ∈ Rn\{(0, . . . , 0)т},
(2.2)
где ( · , · )RN - стандартное скалярное произведение в евклидовом пространстве RN . Как по-
казано в [13, с. 244] неравенство (2.2) накладывает ограничение только на симметрическую
часть матриц Aij.
Отметим, что в скалярном случае оператор (2.1) является обычным эллиптическим опе-
ратором и в этом случае линейная часть оператора Lf из (1.1), т.е. оператор L0, является
семиэллиптической [15, с. 142].
При выполнении условия (2.2) в пространстве C2,4k0(DT , ∂DT ) наряду со скалярным про-
изведением
∫
[
]
∑
∑
∂iu ∂iv
∂u ∂v
(u, v)0 =
(u, v)RN +
+
dx dt
(2.3)
∂ti ∂ti
∂xi ∂xi
i=1
i=1
DT
с нормой ∥ · ∥0 = ∥ · ∥W 1,2k
, определённой правой частью равенства (1.4), введём скалярное
(DT )
0
произведение
∫
]
∑
[∂2ku∂2k
v
∂u
∂v
(u, v)1 =
+
Aij
dx dt
(2.4)
∂t2k ∂t2k
∂xi ∂xj
i,j=1
DT
и соответствующую норму
∫
[
]
∂2ku
2
∑
∂u
∂u
∥u∥21 =
+
Aij
dx dt,
(2.5)
∂t2k
∂xi ∂xj
i,j=1
DT
где u, v ∈ C2,4k0(DT , ∂DT ).
Лемма 2.1. Имеет место двойная оценка
c1∥u∥0 ≤ ∥u∥1 ≤ c2∥u∥0 для всех u ∈ C2,4k0(DT ,∂DT )
(2.6)
с положительными постоянными c1 и c2, не зависящими от u.
Доказательство. Если u ∈ C2,4k0(DT , ∂DT ), то при фиксированном t ∈ [0, T ] вектор-
◦
функция u(· , t) ∈
W2(Ω) удовлетворяет неравенству [13, с. 62]
∫
∑∂u
2
∥u(· , t)∥2L
≤c0
x,t) dx
(2.7)
2(Ω)
∂xi(
Ω i=1
с положительной постоянной c0 = c0(Ω), не зависящей от u и t.
Как известно, из неравенства (2.2) следует, что [13, с. 244]
∫
∑
∑
2
∂v ∂v
∂v
◦
Aij
dx ≥ k0
x для любой v ∈
W2(Ω)
(2.8)
d
∂x
i ∂xj
∂xi
Ω i,j=1
Ω i=1
с положительной постоянной k0, не зависящей от v.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
О РАЗРЕШИМОСТИ СПЕЦИАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
85
В силу оценок (2.7) и (2.8) имеем
∫
∑
c0
∂u
∂u
∥u(· , t)∥2L
≤
Aij
(x, t) dx для всех u ∈ C2,4k0(DT , ∂DT ).
(2.9)
2 (Ω)
k0
∂xi ∂xj
Ω i,j=1
Так как матрицы Aij постоянны, то наряду с (2.8) выполняется неравенство
∫
∑
∑
2
◦
∂v ∂v
∂v
Aij
dx ≤ k1
x для любой v ∈
W2(Ω)
(2.10)
d
∂x
i ∂xj
∂xi
Ω i,j=1
Ω i=1
с положительной постоянной k1, не зависящей от v.
Интегрируя неравенства (2.7)-(2.10) по t ∈ [0, T ], получаем оценки
∫
∑
2
∂u
(x,t)dxdt,
∥u∥2L
≤c0
(2.11)
2(DT )
∂xi
i=1
DT
∫
∑
c0
∂u
∂u
∥u∥2L
≤
Aij
(x, t) dx dt,
(2.12)
2(DT )
k0
∂xi ∂xj
i,j=1
DT
∫
∫
∫
∑∂u
2
∑
∑∂u
2
∂u
∂u
k0
x dt ≤
Aij
dx dt ≤ k1
x dt
(2.13)
d
d
∂xi
∂xi ∂xj
∂xi
i=1
i,j=1
i=1
DT
DT
DT
для любой u ∈ C2,4k0(DT , ∂DT ).
Так как вектор-функция u = (u1, . . . , uN )т ∈ C2,4k0(DT , ∂DT ) удовлетворяет равенствам
(1.3), то несложно видеть, что справедливы соотношения
t
∫
∂iu(·,t)
1
=
(t - τ)2k-i-1 ∂2ku(·,τ)
dτ, i = 1, 2k - 1,
∂ti
(2k - i - 1)!
∂t2k
0
откуда, используя неравенство Коши, будем иметь
∫
t
∫
t
∂iu(·,t)2
1
∂2ku(·,t)
2
≤
(t - τ)2(2k-i-1) dτ
τ =
2
d
∂ti
((2k - i - 1)!)
∂t2k
0
0
∫
t
∫
T
4k-2i-1
t
∂2ku(·,t)2
∂2ku(·,τ)
2
=
dτ ≤ T4k-2i-1
v
τ.
(2.14)
d
((2k - i - 1)!)2(4k - 2i - 1)
∂t2k
∂t2k
0
0
Из неравенства (2.14) следует, что
∫
t
∫
T
∂iu(·,t)2
∂2ku(·,τ)2
τ ≤T4k-2i
τ, i = 1,2k - 1.
d
d
∂ti
∂t2k
0
0
Интегрируя полученное неравенство по Ω, получаем
∫
∫
∂iu
2
∂2ku
2
x dt ≤ T4k-2i
x dt, i = 1, 2k - 1.
(2.15)
d
d
∂ti
∂t2k
DT
DT
Наконец, из (1.4), (2.3), (2.5), (2.11)-(2.13) и (2.15) легко следует (2.6). Лемма доказана.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
86
ХАРИБЕГАШВИЛИ, МИДОДАШВИЛИ
Замечание 2.1. Согласно лемме 2.1 если пополнить пространство C2,4k0(DT , ∂DT ) по нор-
ме (2.5), то вследствие определения (2.3) получится то же самое гильбертово пространство
W1,2k0(DT ) с эквивалентными скалярными произведениями (2.3) и (2.4).
Введём следующее условие:
uf(u)
lim
inf
≥ 0.
(2.16)
|u|→∞
|u|2
Лемма 2.2. Пусть F ∈ L2(DT ) и выполнены условия (1.5), (1.6) и (2.16). Тогда для лю-
бого слабого обобщённого решения u ∈ W1,2k0(DT ) задачи (1.1)-(1.3) имеет место априорная
оценка
∥u∥0 = ∥u∥W 1,2k
(2.17)
(DT )
≤ c3∥F∥L2(DT) + c4
0
с постоянными c3 > 0 и c4 ≥ 0, не зависящими от u и F.
Доказательство. Так как f ∈ C(RN ), то из условия (2.16) следует, что для любого ε > 0
существует число Mε ≥ 0, при котором
uf(u) ≥ -Mε - ε|u|2 для всех u ∈ RN .
(2.18)
Полагая ϕ = u ∈ W1,2k0(DT ) в равенстве (1.9) и принимая во внимание неравенство (2.18)
и определение (2.5), для любого ε > 0 будем иметь
∫
∫
∫
∫
)
( 1
∥u∥21 = - uf(u) dx dt + F u dx dt ≤ Mε mes DT + ε u2 dx dt +
F2 + ε|u|2 dxdt =
4ε
DT
DT
DT
DT
1
1
=
∥F ∥2L
+ Mε mesDT + 2ε∥u∥2L
≤
∥F ∥2L
+ Mε mesDT + 2ε∥u∥20.
(2.19)
2(DT )
2 (DT )
2(DT )
4ε
4ε
Из (2.6) и (2.19) следует двойное неравенство
1
c21∥u∥20 ≤ ∥u∥21 ≤
∥F ∥2L
+ Mε mesDT + 2ε∥u∥20,
2(DT )
4ε
положив в котором ε = c21/4, получим
∥u∥20 ≤ 2c-41∥F ∥2L
+ 2c-21Mε mes DT .
2(DT )
Из последнего неравенства вытекает оценка (2.17), где c32 = 2c-41 и c42 = 2c-21Mε mes DT при
ε = c21/4. Лемма доказана.
Замечание 2.2. Прежде чем рассмотреть вопрос о разрешимости задачи (1.1)-(1.3) в нели-
нейном случае, рассмотрим соответствующую (1.1)-(1.3) линейную задачу, т.е. когда f = 0.
В этом случае при F ∈ L2(DT ) аналогичным образом вводится определение слабого обоб-
щённого решения u ∈ W1,2k0(DT ) этой задачи: для него должно выполняться интегральное
равенство
∫
]
∫
∑
[∂2ku∂2k
ϕ
∂u
∂ϕ
(u, ϕ)1 =
+
Aij
dx dt =
Fϕdxdt для любой ϕ ∈ W1,2k0(DT).
∂t2k ∂t2k
∂xi ∂xj
i,j=1
DT
DT
(2.20)
С учётом левой оценки в (2.6) имеем
∫
Fϕdxdt
∥F ∥L2(DT )∥ϕ∥L2(DT ) ≤ ∥F ∥L2(DT )∥ϕ∥0 ≤ c11∥F ∥L2(DT )∥ϕ∥1.
(2.21)
≤
DT
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
О РАЗРЕШИМОСТИ СПЕЦИАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
87
В силу замечания 2.1 и соотношений (2.20) и (2.21) из теоремы Рисса следует существование
единственной вектор-функции u ∈ W1,2k0(DT ), для которой выполняется равенство (2.20) и
для нормы которой справедлива оценка
∥u∥1 ≤ c-11∥F ∥L
(2.22)
2(DT ).
В силу левой оценки в (2.6) из (2.22) следует, что
∥u∥0 = ∥u∥W 1,2k
≤ c-21∥F∥L
(2.23)
(DT )
2(DT ).
0
Таким образом, вводя обозначение u = L-10F, находим, что линейной задаче, соответствующей
задаче (1.1)-(1.3), т.е. когда f = 0, отвечает линейный ограниченный оператор
L-10 : L2(DT ) → W1,2k0(DT ),
для нормы которого в силу (2.23) имеет место оценка
∥L-10∥L
≤c-21.
(2.24)
2(DT )→
(DT )
0
Принимая во внимание определение и замечание 2.2, запишем интегральное тождество
(1.9), эквивалентное задаче (1.1)-(1.3), в виде функционального уравнения
u = L-10[-f(u) + F]
(2.25)
в гильбертовом пространстве W1,2k0(DT ).
Замечание 2.3. Так как в силу определения (1.4) и замечания 1.1 пространство W1,2k0(DT )
◦
непрерывно вложено в пространство
W2(DT ), то при выполнении условий (1.5), (1.6) оператор
K1 = KII1 : W1,2k0(DT ) → L2(DT ),
W2(DT ) -
оператор вложения, также является непрерывным и компактным.
Запишем уравнение (2.25) в виде
u = Au := L-10(K1u + F).
(2.26)
Принимая во внимание уравнение (2.25) и замечание 2.3, заключаем, что оператор A :
W1,2k0(DT ) → W1,2k0(DT ) из (2.26) является непрерывным и компактным. В то же время вслед-
ствие схемы доказательства априорной оценки (2.17) из леммы 2.2, в которой c23 = 2c-41 и
c24 = 2c-21Mε mes DT , ε = c21/4, нетрудно видеть, что для любого значения параметра τ ∈
∈ [0, 1] и любого решения u ∈ W1,2k0(DT ) уравнения u = τAu справедлива та же априорная
оценка (2.17) с теми же постоянными c3 > 0 и c4 ≥ 0, не зависящими от u, F и τ. Поэтому,
согласно теореме Лере-Шаудера о неподвижной точке [16, с. 375], уравнение (2.26), а следова-
тельно, и задача (1.1)-(1.3) имеет хотя бы одно слабое обобщённое решение u в пространстве
W1,2k0(DT ). Таким образом, справедлива
Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (1.5), (1.6) и (2.16). Тогда для любой вектор-
функции F ∈ L2(DT ) задача (1.1)-(1.3) имеет хотя бы одно слабое обобщённое решение u в
пространстве W1,2k0(DT ).
3. Единственность решения задачи (1.1)-(1.3). Введём условие
(f(u) - f(v))(u - v) ≥ 0 для всех u, v ∈ RN .
(3.1)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
88
ХАРИБЕГАШВИЛИ, МИДОДАШВИЛИ
Замечание 3.1. Несложно проверить, что условие (3.1) будет выполнено, если вектор-
функция f = (f1, . . . , fN )т принадлежит пространству C1(RN ) и матрица (∂fi/∂uj )Ni,j=1 яв-
ляется неотрицательно определённой, т.е.
∑
∂fi
(u)ξiξj ≥ 0 для всех ξ = (ξ1, . . . , ξN )т ∈ RN при каждом u = (u1, . . . , uN )т ∈ RN .
∂u
j
i,j=1
Теорема 3.1. Пусть вектор-функция f удовлетворяет условиям (1.5), (1.6), (3.1). Тогда
для любой вектор-функции F ∈ L2(DT ) задача (1.1)-(1.3) не может иметь более одного
слабого обобщённого решения в пространстве W1,2k0(DT ).
Доказательство. Пусть F ∈ L2(DT ) и u1, u2 - два слабых обобщённых решения задачи
(1.1)-(1.3) в пространстве W1,2k0(DT ), т.е., согласно (1.9), имеют место равенства
∫
]
∫
∑
[∂2ku
l
∂2kϕ
∂ul
∂ϕ
+
Aij
dx dt + f(ul)ϕ dx dt =
∂t2k ∂t2k
∂xi ∂xj
i,j=1
DT
DT
∫
= Fϕdxdt для любой ϕ ∈ W1,2k0(DT), l = 1,2.
(3.2)
DT
Из (3.2) вытекает, что для разности v = u2 - u1 выполняется соотношение
∫
]
∑
[∂2kv∂2k
ϕ
∂v
∂ϕ
+
Aij
dx dt =
∂t2k ∂t2k
∂xi ∂xj
i,j=1
DT
∫
= - (f(u2) - f(u1))ϕdxdt для любой ϕ ∈ W1,2k0(DT),
(3.3)
DT
полагая в котором ϕ = v ∈ W1,2k0(DT ), в силу определения (2.5) получаем
∫
∥v∥1 = - (f(u2) - f(u1))(u2 - u1) dx dt.
(3.4)
DT
Из равенства (3.4) и условия (3.1) с учётом левой оценки (2.6) следует, что
c1∥v∥0 ≤ ∥v∥1 ≤ 0,
поэтому v = 0, т.е. u2 = u1. Теорема доказана.
Из теорем 2.1 и 3.1 вытекает
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (1.5), (1.6), (2.16) и (3.1). Тогда для любой век-
тор-функции F ∈ L2(DT ) задача (1.1)-(1.3) имеет единственное слабое обобщённое решение
u в пространстве W1,2k0(DT).
4. Случаи отсутствия решения задачи (1.1)-(1.3). Ниже рассмотрим частный случай
системы (1.1), когда она расщеплена в главной части, т.е. Aij = aijIN , где IN - единичная
∑n
матрица порядка N, а числа aij такие, что оператор
aij∂2/∂xi∂xj является скалярным
i,j=1
эллиптическим оператором.
Наложим на вектор-функцию f следующее условие: существуют числа l1, . . . , lN , не все
из которых нулевые, такие, что
∑
∑
β
n+1
lifi(u) ≤ -
liui
для любого u = (u1, . . . , uN )т ∈ RN ,
1 < β = const <
(4.1)
n-1
i=1
i=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
О РАЗРЕШИМОСТИ СПЕЦИАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
89
Для упрощения изложения рассмотрим случай, когда область Ω - единичный шар |x| < 1.
Теорема 4.1. Пусть вектор-функция f удовлетворяет условиям (1.5), (1.6) и (4.1).
∑N
Пусть F0 = (F01, . . . , F0N )т ∈ L2(DT ), G =
i=1
liF0i ≥ 0 и ∥G∥L2(DT ) = 0. Тогда существу-
ет число μ0 = μ0(G,β) > 0 такое, что при μ > μ0 задача (1.1)-(1.3) не имеет слабого
обобщённого решения в пространстве W1,2k0(DT ) для F = μF0.
Доказательство. Предположим, что условия теоремы выполнены и слабое обобщённое
решение u = (u1, . . . , uN )т ∈ W1,2k0(DT ) задачи (1.1)-(1.3) существует для любого фиксиро-
ванного μ > 0. Предположим также, что ϕ = (l1ϕ0, . . . , lN ϕ0)т в равенстве (1.9), где ϕ0 -
скалярная функция, удовлетворяющая условиям
ϕ0 ≥ 0, ϕ0 ∈ C2,4k0(DT ,∂DT ),
(4.2)
где пространство C2,4k0(DT , ∂DT ) ⊂ W1,2k0(DT ) введено во введении.
∑N
Тогда, обозначая v =
liui и принимая во внимание расщеплённость системы (1.1) в
i=1
главной части, а также условия (4.1) и (4.2), из равенства (1.9) получаем
∫
]
∫
)
∫
∑
∑
[∂2kv∂2k
ϕ
0
∂v
∂ϕ0
+
aij
dx dt =
− lifi(u) ϕ0 dxdt + μ
Gϕ0 dx dt ≥
∂t2k
∂t2k
∂xi ∂xj
i,j=1
i=1
DT
DT
DT
∫
∫
≥
|v|β ϕ0 dx dt + μ Gϕ0 dx dt.
(4.3)
DT
DT
Так как v ∈ W1,2k0(DT ) и ϕ0 ∈ C2,4k0(DT , ∂DT ), то интегрирование по частям даёт
∫
]
∫
∑
[∂2kv∂2k
ϕ
0
∂v
∂ϕ0
+
aij
dx dt = vL0ϕ0 dx dt,
(4.4)
∂t2k
∂t2k
∂xi ∂xj
i,j=1
DT
DT
где L0 - скалярный оператор, соответствующий оператору из (1.1) при f = 0. Из (4.3) и (4.4)
вытекает неравенство
∫
∫
∫
|v|β ϕ0 dx dt ≤
vL0ϕ0 dxdt - μ Gϕ0 dxdt.
(4.5)
DT
DT
DT
Ниже воспользуемся методом пробных функций [17, с. 10-12]. В качестве пробной функции
возьмём ϕ0 ∈ C2,4k0(DT , ∂DT ) такую, что ϕ0|D
> 0. Если в неравенстве Юнга с параметром
T
ε > 0, т.е. в неравенстве
ε
1
ab ≤
aβ +
bβ′, где a,b ≥ 0, β′ =β
,
β
β′εβ′-1
β-1
положим a = |u|ϕ1/β0 , b = |L0ϕ0|/ϕ1/β0 , то, учитывая равенство β′/β = β′ - 1, будем иметь
β′
ε
1
|L0ϕ0|
|vL0ϕ0| = |v|ϕ1/β |L0ϕ0|0
≤
|v|β ϕ0 +
(4.6)
β
β′εβ′-1
ϕβ′-1
ϕ1/β0
0
Из неравенств (4.5) и (4.6) следует, что
(
)∫
∫
∫
ε
1
|L0ϕ0|β′
1-
|v|β ϕ0 dx dt =
dx dt - μ
Gϕ0 dx dt,
β′-1
β
β′εβ′-1
ϕ
0
DT
DT
DT
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
90
ХАРИБЕГАШВИЛИ, МИДОДАШВИЛИ
откуда при ε < β получаем
∫
∫
∫
β
|L0ϕ0|β′
βμ
|v|β ϕ0 dx dt ≤
dx dt -
Gϕ0 dx dt.
(4.7)
β′-1
β-ε
(β - ε0)β′ε
ϕβ′-10
0
DT
DT
DT
Принимая во внимание, что β′ = β/(β - 1), β = β′/(β′ - 1) и равенство
β
min
= 1,
0<ε<β (β - ε)β′εβ′-1
которое достигается при ε = 1, в силу (4.7) приходим к неравенству
∫
∫
∫
|L0ϕ0|β′
|v|β ϕ0 dx dt ≤
dx dt - β′μ
Gϕ0 dx dt.
(4.8)
β′-1
ϕ
0
DT
DT
DT
Нетрудно проверить, что пробная функция
ϕ0(x,t) = ((1 - |x|2)t(T - t))m
(4.9)
при достаточно большом положительном m удовлетворяет условиям
∫
|L0ϕ0|β′
ϕ0 ∈ C2,4k0(DT ,∂DT ), ϕ0|D
> 0, κ0 =
dx dt < ∞.
(4.10)
T
ϕβ′-10
DT
Так как, согласно предположениям теоремы, G ∈ L2(DT ),
∥G∥L2(DT ) = 0, G ≥ 0 и
mes DT < +∞, то, поскольку ϕ0|DT > 0, имеем
∫
0 < κ1 = Gϕ0 dxdt < +∞.
(4.11)
DT
Обозначим через g(μ) правую часть неравенства (4.8), которая является линейной функ-
цией относительно μ. Тогда в силу (4.10) и (4.11) справедливы неравенства
g(μ) < 0
при μ > μ0 и g(μ) > 0 при μ < μ0,
(4.12)
где g(μ) = κ0 - β′μκ1, μ0 = κ0/(β′κ1) > 0.
Согласно (4.12) при μ > μ0 правая часть неравенства (4.8) отрицательна, в то время как
его левая часть неотрицательна. Полученное противоречие доказывает теорему.
Отметим, что если условие (4.1) выполнено, то условие (2.16) нарушается. Действительно,
чтобы убедиться в этом, достаточно взять u = λ(l1, . . . , lN )т при λ → +∞.
Замечание 4.1. Напомним, что в теореме 4.1 для упрощения доказательства мы пред-
положили, что область Ω является единичным шаром |x| < 1. Однако эта теорема остаётся
справедливой и в более общем случае - когда Ω представляет собой область с достаточно
гладкой границей. Указанное предположение было обусловлено конструкцией пробной функ-
ции ϕ0, удовлетворяющей условиям (4.10) и определяемой формулой (4.9) для достаточно
большого положительного m. Если граница ∂Ω области Ω задана уравнением ω(x) = 0,
где ∇xω|∂Ω = 0, ω|Ω > 0,
∇x = (∂/∂x1,... ,∂/∂xn) и ω ∈ C2(Rn), то тогда вместо пробной
функции (4.9) следует взять функцию
ϕ0(x,t) = (ω(x)t(T - t))m,
где m - достаточно большое положительное число, и в этом случае теорема 4.1 остаётся
справедливой.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
О РАЗРЕШИМОСТИ СПЕЦИАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
91
Замечание 4.2. Теорема 4.1 останется справедливой, если условие (4.1) заменить более
общим условием
∑
∑
β
n+1
lifi(u)≤-d0
liui
для любого u=(u1, . . . , uN )т ∈RN ,
1<β=const<
,
(4.13)
n-1
i=1
i=1
где d0 = const > 0. Действительно, неравенство (4.13) сводится к неравенству (4.1). Для
этого нужно в неравенстве (4.13) сделать замену li = λli, где λ = d1/(1-β)0, и разделить обе
части полученного неравенства на λ. В результате этого получим неравенство (4.1), в котором
вместо li будет написаноli.
Приведём один класс вектор-функций f, которые удовлетворяют условию (4.13):
∑
fi(u1,... ,uN) =
aij|uj|βij + bi, i = 1,N,
(4.14)
j=1
где для чисел aij , βij и bi выполняются неравенства
∑
n+1
aij > 0,
1<βij <
,
bi > 0, i,j = 1,N.
(4.15)
n-1
i=1
В этом случае в (4.13) следует взять l1 = . . . = lN = -1. Действительно, в силу (4.15) выберем
числа α0 и β такими, чтобы
∑
0 < a0 ≤ minaij,
bi - a0N2 ≥ 0,
1 < β < βij, i,j = 1,N.
(4.16)
i,j
i=1
Несложно проверить, что |s|βij ≥ |s|β - 1 для всех s ∈ R. Используя известное неравенство
[18, с. 302]
∑
∑
β
|yi|β > N1-β
yi
для любого y = (y1, . . . , yN )т ∈ RN , β = const > 1,
i=1
i=1
вследствие (4.14) и (4.15) будем иметь
∑
∑
∑
∑
∑
ij
fi(u1,... ,uN) ≥ a0
|uj |β
+ bi ≥a0
(|uj |β - 1) +
bi ≥
i=1
i,j=1
i=1
i,j=1
i=1
∑
∑
∑
β
∑
∑
β
≥a0N
|uj|β - a0N2 +
bi ≥ a0N2-β
uj
+ bi -a0N2 ≥a0N2-β
uj
(4.17)
j=1
i=1
j=1
i=1
j=1
В силу (4.17) заключаем, что если выполнены условия (4.14) и (4.15), то имеет место нера-
венство (4.13), в котором l1 = . . . = lN = -1 и d0 = a0N2-β .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kharibegashvili S., Midodashvili B. A boundary value problem for higher-order semilinear partial
differential equations // Complex Variables and Elliptic Equat. 2019. V. 64. № 5. P. 766-776.
2. Харибегашвили С.С., Мидодашвили Б.Г. О существовании, единственности и отсутствии решений
одной краевой задачи для квазилинейного гиперболического уравнения // Укр. мат. журн. 2019.
Т. 71. № 8. С. 1123-1132.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
92
ХАРИБЕГАШВИЛИ, МИДОДАШВИЛИ
3. Kharibegashvili S., Midodashvili B. Solvability of characteristic boundary-value problems for nonlinear
equations with iterated wave operator in the principal part // Electr. J. Differ. Equat. 2008. № 72.
P. 1-12.
4. Kharibegashvili S., Midodashvili B. On one boundary value problem for a nonlinear equation with iterated
wave operator in the principal part // Georgian Math. J. 2008. T. 15. № 3. P. 541-554.
5. Kharibegashvili S. Boundary value problems for some classes of nonlinear wave equations // Mem. Differ.
Equat. Math. Phys. 2009. V. 46. P. 1-114.
6. Xiangying C. Existence and nonexistence of global solutions for nonlinear evolution equation of fourth
order // Appl. Math. J. Chinese Univ. 2001. Ser. B. V. 16. № 3. P. 251-258.
7. Budd C.J., Galaktionov V.A., Williams J.F. Self-similar blow-up in higher-order semilinear parabolic
equations // Siam J. Appl. Math. 2004. V. 64. № 5. P. 1775-1809.
8. Aliev A.B., Lichaei B.H. Existence and nonexistence of global solutions of the Cauchy problem for higher
order semilinear pseudohyperbolic equations // J. Nonlin. Anal.: Theory, Methods & Appl. 2010. V. 72.
№ 7-8. P. 3275-3288.
9. Wang Y.Z., Wang Y.X. Existence and nonexistence of global solutions for a class of nonlinear wave
equations of higher order // J. Nonlin. Anal.: Theory, Methods & Appl. 2010. V. 72. № 12. P. 4500-4507.
10. Galaktionov V.A., Mitidieri E.L., Pohozhaev S.I. Blow-up for Higher-Order Parabolic, Hyperbolic,
Dispersion and Schrodinger Equations. New York, 2014.
11. Ma T., Gu J., Li L. Asymptotic behaviour of solutions to a class of fourth-order nonlinear evolution
equations with dispersive and dissipative terms // J. Inequal. Appl. 2016. V. 2016. Art. 318.
12. Lin G., Gao Y., Sun Y. On local existence and blow-up solutions for nonlinear wave equations of higher-
order Kirchhoff type with strong dissipation // Int. J. Modern Nonlinear Theory and Appl. 2017. V. 6.
№ 1. P. 11-25.
13. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М., 1973.
14. Куфнер Ф., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М., 1988.
15. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М., 1965.
16. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1993.
17. Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и
неравенств в частных производных// Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. 2001. Т. 134. С. 3-383.
18. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. I. М., 1969.
Грузинский технический университет,
Поступила в редакцию 20.10.2021 г.
г. Тбилиси,
После доработки 23.11.2021 г.
Тбилисский государственный университет
Принята к публикации 23.11.2021 г.
им. И.А. Джавахишвили, Грузия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
