ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.93-104

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.4+515.124.2:517.988.63

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,

ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ МНОЖЕСТВО НАКРЫВАНИЯ

ОПЕРАТОРА НЕМЫЦКОГО В ПРОСТРАНСТВАХ

ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ

Найдены достаточные условия существования в пространстве измеримых функций реше-

ний x скалярных интегральных уравнений

(

∫

)

( ∫ t

)

f t, K(t, s)x(s) ds, x(t)

= z(t) и f t, K(t, s)x(s)ds, x(t)

= z(t), t ∈ [0, 1],

где функции K, z и f заданы; ядро K: [0, 1]×[0, 1] → R измеримо и интеграл по второму

аргументу от его модуля существенно ограничен, свободный член z: [0, 1] → R измерим, а

функция f : [0, 1] × R × R → R измерима по первому аргументу и непрерывна по совокуп-

ности второго и третьего аргументов (R = R

^⋃{∞} - вещественная прямая, дополненная

одной бесконечно удалённой точкой, с “обычной” метрикой: ρ_R(u, v) = |u - v| и ρ_R(∞, v) =

= ρ_R(u, ∞) = +∞, ρ_R(∞, ∞) = 0, где u, v ∈ R). Условия получены на основании обоб-

щения понятий и результатов теории накрывающих отображений на пространства более

общие, чем метрические.

DOI: 10.31857/S0374064122010101

Введение. Исследование нелинейных интегральных уравнений вида

(

∫

)

f t, K(t,s)x(s)ds,x(t)

= 0, t ∈ [0, 1],

(1)

(называемых не разрешёнными относительно неизвестной функции x : [0, 1] → Rⁿ) методами

теории накрывающих отображений метрических пространств начато в работе [1]. В этой ра-

боте рассматривалось вольтеррово интегральное уравнение (т.е. уравнение вида (1) в случае

K(t, s) = 0 при 0 ≤ s ≤ t ≤ 1), доказаны утверждения о его разрешимости в пространстве

измеримых существенно ограниченных функций, об оценках решений и устойчивости решений

по отношению к изменениям функций f и K. Близкими методами в [2] рассмотрены вопросы

продолжаемости решений вольтерровых уравнений.

Результаты о накрывающих отображениях метрических пространств оказались удобным

инструментом исследования некоторых других классов функциональных уравнений, к кото-

рым не удавалось применить классические теоремы о неподвижной точке. В [3] этот подход

был применён к обыкновенным дифференциальным уравнениям, не разрешённым относитель-

но производной. В дальнейших исследованиях (см. работы [4, 5] и другие работы тех же ав-

торов) рассмотрены вопросы существования, получены оценки и установлена зависимость от

параметров решений задачи Коши, краевых задач и задач управления для таких уравнений.

Результаты о накрывающих отображениях имеют также перспективы в применении их к ис-

следованию задач оптимизации для анормальных процессов управления (см. [6]).

В работах [7-10] результаты о накрывающих отображениях метрических пространств бы-

ли уточнены и распространены на пространства с обобщёнными метриками. Данная статья

продолжает эти исследования. Здесь рассматривается абстрактное уравнение (1), которое по-

рождается отображением f, действующим из метрического пространства в пространство с

ЖУКОВСКИЙ, МЕРЧЕЛА

обобщённым расстоянием, удовлетворяющим только аксиоме тождества (остальные аксиомы

метрики: симметричность и неравенство треугольника не предполагаются выполненными).

В терминах множества накрывания этого отображения доказывается теорема о существовании

и оценках решений. Полученное утверждение позволяет исследовать различные функциональ-

ные уравнения в широких классах не обязательно метрических функциональных пространств,

например, возникающих при изучении некоторых сингулярных уравнений с несуммируемыми

особенностями. В данной работе это утверждение применяется к скалярному интегральному

уравнению вида (1) в пространстве измеримых функций, суммируемость которых не предпола-

гается. Отметим, что для интегральных уравнений наиболее известные результаты получены

в банаховых пространствах непрерывных функций или суммируемых функций (см. моногра-

фию [11], обзоры [12, 13], статью [14] и библиографию в них). Несмотря на то, что здесь

интегральное уравнение рассматривается в пространстве измеримых функций (наделённом не

нормой, а обобщённым расстоянием), полученные оценки решений позволяют, в том числе,

проверять, является ли решение функцией, суммируемой с некоторой степенью.

1. Основные понятия. Обозначим R := R

^⋃ {∞} и определим разность двух элементов,

среди которых есть ∞, соотношениями

∞ - ∞ = 0 и x - ∞ = ∞ - x = ∞ для любого x ∈ R.

Также обозначим R₊ := R₊

^⋃ {+∞} = [0, +∞] и определим операцию вычисления модуля

|·| : R → R+, причём будем полагать, что |∞| = +∞. Будем считать, что в R задана

“обычная” метрика ρ_R(u₁, u₂) = |u₁ - u₂|, u₁, u₂ ∈ R, и такая же “обычная” метрика ρR+

задана в R₊ (т.е. для v₁, v₂ ∈ R₊ имеем: ρR+ (v₁, v₂) = ρ_R(u₁, u₂), где u_i := v_i, если v_i = +∞,

и u_i = ∞, если v_i = +∞, i = 1,2).

Пусть X = (X, ρ) - метрическое пространство с метрикой ρ : X × X → R₊. Обозначим

B_X(x₀,r) = {x ∈ X : ρ(x,x₀) ≤ r} - замкнутый шар в X с центром в точке x₀ ∈ X радиуса

r ∈ R₊ (при r = +∞ и любом x₀ полагаем B_X(x₀,+∞) = X).

Пусть на непустом множестве Y определено обобщённое расстояние - отображение d :

Y × Y → R₊, удовлетворяющее условию:

d(y₁, y₂) = 0, если и только если y₁ = y₂

(2)

(важно, что другими свойствами метрик отображение d может не обладать). Для {y_i} ⊂ Y,

y ∈ Y имеет место сходимость y_i → y при i → +∞, если d(y_i,y) → 0 при i → +∞. Очевидно,

что из так определённой сходимости y_i → y не следуют ни единственность предела y, ни

сходимость к нулю последовательности d(y, y_i).

В работах [10, 15] на отображения (X, ρ) → (Y, d) перенесены “обычные” определения ана-

лиза: отображение f : X → Y называется непрерывным в точке x ∈ X, если для любой после-

довательности {x_i} ⊂ X такой, что ρ(x_i, x) → 0, имеет место сходимость d(f(x_i), f(x)) → 0,

и замкнутым в точке x ∈ X, если для любых последовательности {x_i} ⊂ X и элемента y ∈ Y

таких, что ρ(x_i, x) → 0 и d(f(x_i), y) → 0, справедливо равенство f(x) = y. Отображение, яв-

ляющееся непрерывным (замкнутым) во всех точках, называется непрерывным (замкнутым).

Отметим следующее свойство отображений, действующих в пространство с обобщённым

расстоянием: если для точки x существует такая сходящаяся к ней последовательность {x_i},

что предел последовательности {f(x_i)} не единственный, то отображение f не является за-

мкнутым в точке x (при этом f может быть непрерывным в этой точке). В [9, 15] предложено

понятие множества замкнутости отображения f относительно множества U ⊂ X, в ко-

тором единственность предела последовательности {f(x_i)} перестаёт быть необходимой. Это

множество определяется соотношением

Cl[f;U] := {(x,y) ∈ X × Y: для любой последовательности {x_i} ⊂ U такой, что

x_i → x и f(x_i) → y, верно равенство f(x) = y}.

Очевидно, что если для любой сходящейся к x последовательности {x_i} ⊂ U последователь-

ность {f(xi)} ⊂ Y либо расходится, либо сходится и в множестве её пределов содержится

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

элемент f(x), то (x, f(x)) ∈ Cl [f; U]. В то же время в рассматриваемой ситуации если предел

не единственный, то отображение f не будет замкнутым в точке x.

Пусть заданы α > 0, β ≥ 0. В полученных далее утверждениях существенно использу-

ются следующие множества, определённые в [9]: множество α-накрывания отображения f

относительно множества U ⊂ X :

Cov_α[f; U] := {(x, y) ∈ X × Y существует u ∈ U такой, что

f (u) = y, ρ(x, u) ≤ α-1d(f(x), y), ρ(x, u) < +∞};

и множество β-липшицевости отображения f относительно множества U ⊂ X

Lip_β[f; U] := {(x, y) ∈ X × Y : для любого u ∈ U такого, что

f (u) = y, верно неравенство d(f(x), y) ≤ βρ(x, u)}.

В частном случае, когда значения метрики ρ и обобщённого расстояния d конечны и U = X,

множества Cl [f; U], Cov_α[f; U], Lip_β[f; U] определены в работе [15].

Отметим, что равенство Cov_α[f; X] = X × Y равносильно свойству α-накрывания отобра-

жения f, а равенство Lip_β[f; X] = X × Y - свойству β-липшицевости этого отображения.

Определённые здесь множества замкнутости, накрывания и липшицевости отображения f

обладают следующим свойством монотонности относительно U ⊂ X :

если U ⊂U ⊂ X, то Cl [f; U]⊃Cl [f; U], Cov_α[f; U]⊂Cov_α[f; U], Lip_β[f; U]⊃Lip_β[f; U].

(3)

Теорема о точках совпадения накрывающего и липшицева отображений метрических про-

странств получена А.В. Арутюновым в [16]. На отображения пространств с обобщёнными мет-

риками эта теорема распространена в [7, 8], а на отображения, действующие из метрического

пространства в пространство с обобщённым расстоянием - в [10]. Здесь мы докажем утвержде-

ние об уравнении другого вида с отображением из метрического пространства в пространство

с обобщённым расстоянием, к которому сводится рассматриваемое далее интегральное урав-

нение (о связи этого операторного уравнения с уравнением для точки совпадения см. [15]).

Пусть задано отображение F : X × X → Y и элемент y ∈ Y. Рассмотрим уравнение

G(x) := F (x, x) = y

(4)

относительно неизвестного x ∈ X. Следующая теорема о разрешимости уравнения (4) сфор-

мулирована в работе [9, теорема 2] без доказательства. Аналогичное утверждение при несколь-

ко более ограничительных условиях (метрика ρ и расстояние d не могут принимать беско-

нечные значения и U = X) получено в [15].

Теорема 1. Пусть X - полное метрическое пространство и заданы элемент x₀ ∈ X

такой, что d(F (x₀, x₀), y) < +∞, и числа α > β ≥ 0. Пусть также для любого x ∈ U :=

:= B_X (x₀, R), где R := d(F (x₀, x₀), y)/(α - β), выполнены включения

(x, y) ∈ Cov_α[F ( · , x); X], (x, y) ∈ Lip_β[F (x, · ); U], (x, y) ∈ Cl [G; U].

Тогда в шаре U существует решение уравнения (4).

Доказательство. Без ограничения общности будем предполагать, что x₀ не является

решением уравнения (4). Покажем по индукции, что существует последовательность

{x_i},

члены которой удовлетворяют при всех i = 1, 2, . . . соотношениям

αⁱ - β

F (x_i, xi-1) = y, ρ(x_i, x₀) ≤

d(F (x₀, x₀), y), d(F (x_i, x_i), y) ≤ βρ(x_i, xi-1).

(5)

αⁱ(α - β)

В силу предположений доказываемой теоремы верно включение (x₀, y) ∈ Cov_α[F ( · , x₀); U].

Поэтому существует x₁ ∈ X, для которого справедливы соотношения

F (x₁, x₀) = y и ρ(x₁, x₀) ≤

d(F (x₀, x₀), y) < R.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ЖУКОВСКИЙ, МЕРЧЕЛА

Из последнего неравенства следует включение x₁ ∈ U, и согласно предположениям доказы-

ваемой теоремы (x₁, y) ∈ Lip_β[F (x₁, · ); U], поэтому d(F (x₁, x₁), y) ≤ βρ(x₁, x₀). Для i = 1

соотношения (5) установлены.

Пусть соотношения (5) выполнены при всех натуральных i ≤ k. Докажем их справедли-

вость при i = k + 1.

Для любого j ≤ k из неравенств

α^j - β

ρ(x_j , x₀) ≤

d(F (x₀, x₀), y) < R

α^j(α - β)

следуют включения

(x_j , y) ∈ Cov_α[F ( · , x_j ); X] и (x_j , y) ∈ Lip_β[F (x_j , · ); U].

Согласно первому из этих включений существует xj+1, для которого

F (xj+1, x_j) = y,

(6)

ρ(xj+1, x_j ) ≤

d(F (x_j , x_j ), y) =

d(F (x_j , x_j ), F (x_j , xj-1)),

а согласно второму включению имеем

d(F (x_j , x_j ), F (x_j , xj-1)) ≤ βρ(x_j , xj-1).

Таким образом,

ρ(xj+1, x_j ) ≤

ρ(x_j , xj-1) ≤ . . . ≤

ρ(x₁, x₀).

(7)

α^j

Для i = k + 1 первое соотношение в (5) непосредственно следует из (6), если положить

j = k. А из (7) при j = k вытекают неравенства

β^k

ρ(xk+1, x_k) ≤

ρ(x₁, x₀) ≤

d(F (x₀, x₀), y).

α^k

αk+1

Используя эту оценку расстояния ρ(xk+1, x_k), получаем

ρ(x₀, xk+1) ≤ ρ(x₀, x_k) + ρ(x_k, xk+1) ≤

α^k - β

β^k

αk+1 - βk+1

≤

d(F (x₀, x₀), y) +

d(F (x₀, x₀), y) =

d(F (x₀, x₀), y).

α^k(α - β)

αk+1

αk+1(α - β)

Итак, второе соотношение в (5) для i = k + 1 выполнено, откуда следует, что ρ(x₀, xk+1) ≤ R,

xk+1 ∈ U, и так как (xk+1, y) ∈ Lip_β[F(xk+1,·);U], имеем d(F(xk+1,xk+1), y) ≤ βρ(xk+1,x_k).

Поэтому третье соотношение в (5) для i = k + 1 также выполнено.

Покажем, что последовательность {x_i} является фундаментальной. При любых натураль-

ных n, m, m > n, в силу второго соотношения в (5) имеем неравенства

ρ(x_n, x_m) ≤ ρ(x_n, xn+1) + ρ(xn+1, xn+2) + · · · + ρ(xm-1, x_m) ≤

∑

βⁱ

βⁿ

≤

d(F (x₀, x₀), y) ≤

d(F (x₀, x₀), y).

αⁱ

αⁿ α - β

i=n

Таким образом, для любого ε > 0 при всех натуральных n, m таких, что m > n > N =

= log_β/α(ε(α - β)/d(F (x₀, x₀), y)), верно неравенство ρ(x_n, x_m) < ε.

Фундаментальная последовательность {x_i} ⊂ U сходится при i → ∞ в полном метриче-

ском пространстве X к некоторому x ∈ U. Из третьего соотношения в (5) следует сходимость

d(F (x_i, x_i), y) → 0, т.е. G(x_i) → y. А так как имеет место включение (x, y) ∈ Cl [G; U], окон-

чательно получаем G(x) = y. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. Множества накрывания и липшицевости отображений в пространствах из-

меримых функций. Пусть τ > 0 Напомним, что функция u : [0, τ] → R называется изме-

римой, если множества {t ∈ [0,τ] : u(t) ≤ z}, z ∈ R, и {t ∈ [0,τ] : u(t) = ∞} измеримы (по

Лебегу). Очевидно, для измеримости функции u : [0, τ] → R необходимо и достаточно, чтобы

измеримым было её эффективное множество {t ∈ [0, τ] : u(t) = ∞} и чтобы сужение функции

u на эффективное множество было измеримым (в “обычном” смысле). Обозначим через S_τ

линейное пространство (классов) измеримых по Лебегу функций u : [0, τ] → R, а через S_τ

его подпространство, состоящее из функций u : [0, τ] → R. В пространстве S_τ определим

обобщённое расстояние следующим образом.

Пусть задана функция θ : R × R → R₊ такая, что при любом фиксированном z ∈ R

функция θ( · , z) : R → R₊ непрерывна в точке z, выполняются равенство θ(z, z) = 0 и

условие:

для любого δ > 0 существует γ = γ(z, δ) > 0, для которого при всех z^′ ∈ R

(8)

таких, что |z^′ - z| ≥ δ, справедливо неравенство θ(z^′, z) ≥ γ.

Функция θ удовлетворяет условию (2), т.е. является обобщённым расстоянием в R; соответ-

ствующее пространство будем обозначать через R^θ := (R, θ). Будем также предполагать, что

функция θ суперпозиционно измерима, т.е. θ(z₁(·), z₂(·)) ∈ S_τ для любых функций z₁, z₂ ∈ S_τ .

Замечание 1. Для суперпозиционной измеримости функции θ достаточно, чтобы по каж-

дому аргументу эта функция была непрерывной. Более общие условия суперпозиционной изме-

римости получены в [17] (см. также в [18]) для функций с аргументами из R. Эти результаты

остаются верными, если аргументы принимают значения из “расширенного” пространства R.

Например, функция θ суперпозиционно измерима, если по каждому аргументу она односто-

ронне непрерывна (т.е. каждая из функций θ(z, · ), θ( · , z) непрерывна справа на всём R или

непрерывна слева на всём R).

Свойство суперпозиционной измеримости функции θ позволяет определить отображение

d^θ : S_τ × S_τ → R₊ соотношением

d^θ(z₁,z₂) = vraisupθ(z₁(t),z₂(t)), z₁,z₂ ∈ S_τ .

t∈[0,τ]

Так как равенства θ(z₁, z₂) = 0 и z₁ = z₂ равносильны, то для отображения d^θ выполне-

но условие (2), т.е. d^θ - обобщённое расстояние в S_τ . Пространство измеримых функций с

таким расстоянием обозначим символом S^θτ := (S_τ , d^θ). Подпространство S_τ ⊂ S_τ с инду-

цированным расстоянием обозначим S^θτ := (S_τ , d^θ). Аналогичное определение обобщённого

расстояния в пространстве S_τ введено в работе [9]. В этом определении из [9] предполагалось,

что функция θ задана на R×R, непрерывна по каждому аргументу, а в условии (8) величина

положительного γ не зависит от точки z.

Простейшая функция, удовлетворяющая перечисленным выше условиям, - это функция

θ₀ : R × R → R₊, заданная равенством

θ₀(z₁,z₂) = |z₁ - z₂|, z₁,z₂ ∈ R,

определяющая “стандартную” метрику в R. Такое “обычное” метрическое пространство бу-

дем обозначать Rθ0 := (R, θ₀). Отметим, что сходимости в R относительно расстояния θ и

“стандартной” метрики θ₀ совпадают. Действительно, если для некоторых z ∈ R,

{z_i} ⊂ R,

выполнено θ(z_i, z) → 0, и тем не менее θ₀(z_i, z) := |z_i - z| → 0, то существуют δ > 0 и подпо-

следовательность {zij } такие, что |zij - z| ≥ δ. Из условия (8) следует, что найдётся γ > 0,

для которого θ(zij , z) ≥ γ, что противоречит соотношению θ(z_i, z) → 0. Обратно, в силу

непрерывности функции θ( · , z) в точке z получаем, что из сходимости |z_i - z| → 0 следует

θ(z_i, z) → θ(z, z) = 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ЖУКОВСКИЙ, МЕРЧЕЛА

Так как сходимости в R^θ и Rθ0 совпадают, то для действующих в R функций свойства

непрерывности не зависят от того, какое из расстояний θ или θ₀ задано в R. Также след-

ствием доказанной эквивалентности сходимостей относительно расстояния θ и метрики θ₀

является совпадение замкнутых множеств пространств R^θ и Rθ0 (соответственно, и совпа-

дение открытых множеств этих пространств). Поэтому мы будем говорить о непрерывности

функций, замкнутости (или открытости) множеств в R, не упоминая конкретное расстояние

в этом пространстве.

Используя функцию θ₀, определим отображение dθ0 : S_τ × S_τ → R₊ равенством

dθ0 (z₁,z₂) = vraisup|z₁(t) - z₂(t)|, z₁,z₂ ∈ S_τ .

t∈[0,τ]

Очевидно dθ0 - метрика в S_τ . Обозначим ρ := dθ0 , Sθ0τ := (Sτ , ρ). Подпространство Sτ ⊂ Sτ с

индуцированной метрикой обозначим Sθ0τ := (Sτ , ρ). Отметим, что метрическое пространство

Sθ0τ является полным, шар B_Sθ0 (z0,r) = {z ∈ Sτ : ρ(z,z0) ≤ r} в этом пространстве - это

множество измеримых функций z : [0, τ] → R со значениями, удовлетворяющими включению

z(t) ∈ [z₀(t) - r, z₀(t) + r] при п.в. t ∈ [0, τ].

Теперь рассмотрим отображения, действующие в определённых здесь пространствах изме-

римых функций, которые будут использованы в исследовании интегральных уравнений.

Пусть задана удовлетворяющая условиям Каратеодори функция g : [0, τ]×R → R (т.е. для

любых x ∈ R и п.в. t ∈ [0, τ] функция g( · , x) : [0, τ] → R измерима, а функция g(t, · ) : R →

→ R непрерывна). Отметим, что для такой функции при любом фиксированном t ∈ [0,τ]

выполнена импликация:

если существует x ∈ R, при котором g(t, x) = ∞, то g(t, x) = ∞ для любого x ∈ R.

Это непосредственно следует из замкнутости двух множеств: множества {x ∈ R : g(t, x) = ∞}

и его дополнения {x ∈ R : g(t, x) = ∞} (замкнутость этих множеств очевидна: если x_i →

→ x, то g(t,x_i) → g(t,x), при этом в случае g(t,x_i) ∈ R получаем g(t,x) ∈ R, а в случае

g(t, x_i) = ∞ получаем g(t, x) = ∞).

Определим оператор Немыцкого N_g : Sθ0τ → S^τ соотношением

(9)

(N_gu)(t) = g(t, u(t)) для всех u ∈ Sθ0τ, где t ∈ [0, τ].

Приведём два утверждения об операторе N_g : Sθ0τ → S^τ , которые распространяют соответству-

ющие результаты [9, предложения 1, 2] на введённые здесь пространства измеримых функций.

Предложение 1. Определённый соотношением (9) оператор N_g : Sθ0τ → S^τ является

замкнутым.

Несмотря на то, что функция θ здесь удовлетворяет менее ограничительным условиям,

чем в [9], доказательство сформулированного предложения не отличается от доказательства

предложения 1 цитируемой работы, поэтому мы его опускаем.

Пусть задано измеримое многозначное отображение Φ : [0, τ] ⇒ R, значения которого

Φ(t) = ∅, t ∈ [0, τ], являются замкнутыми в R множествами. Определим множество измери-

мых сечений этого отображения

Sel (Φ) := {u ∈ S_τ : u(t) ∈ Φ(t) при п.в. t ∈ [0, τ]}.

Имеем Sel (Φ) = ∅ (используемые здесь и далее результаты многозначного анализа см. в [19,

п. 8.1.2; 20, § 2.5; 21, § 1.5]).

Следующее предложение устанавливает связь между множеством накрывания оператора

Немыцкого N_g : Sθ0τ → S^τ относительно Sel (Φ) ⊂ Sτ0 и множеством накрывания функции

g(t, · ) : Rθ0 → R^θ относительно Φ(t) ⊂ R^θ0 при п.в. t ∈ [0, τ].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Предложение 2. Пусть для заданных x ∈ S_τ , z ∈ S_τ и α > 0 при п.в. t ∈ [0, τ]

выполнено включение (x(t), z(t)) ∈ Cov_α[g(t, · ); Φ(t)], т.е. для некоторого u ∈ Φ(t) имеют

место соотношения

g(t, u) = z(t) и |x(t) - u| ≤ θ(g(t, x(t)), z(t))/α.

Тогда (x, z) ∈ Cov_α[N_g; Sel (Φ)]. В частности, если (x(t), z(t)) ∈ Cov_α[g(t, · ); Rθ0 ], то (x, z) ∈

∈ Cov_α[N_g;Sθ0τ ].

Сформулированное утверждение аналогично полученному в [9] при более ограничитель-

ных требованиях на функцию θ результату о множестве накрывания оператора Немыцкого,

действующего из Sθ0τ в S^τ . Тем не менее доказательство [9, предложение 2] сохраняется прак-

тически без изменений и поэтому здесь не приводится.

Теперь рассмотрим оператор следующего вида. Пусть задана удовлетворяющая услови-

ям Каратеодори функция g : [0, τ] × R → R и измеримая функция K : [0, τ] × [0, τ] → R.

Определим отображение Υ : Sθ0τ → S^τ отношением

( ∫τ

)

(Υu)(t) = g t, K(t, s)u(s) ds

для всех u ∈ Sθ0τ, где t ∈ [0, τ].

(10)

Если при некотором t интеграл не существует, то при этом t полагаем значение интеграла

равным ∞. Оператор (10) можно представить в виде композиции Υ = N_gK интегрального

оператора K : Sθ0τ → Sτ0 , заданного равенством

∫τ

(Ku)(t) = K(t, s)u(s) ds для всех u ∈ Sθ0τ, где t ∈ [0, τ],

и оператора Немыцкого N_g : Sθ0τ → S^τ , порождённого функцией g, т.е.

(N_gy)(t) = g(t, y(t)) для всех y ∈ Sθ0τ, где t ∈ [0, τ].

Исследование композиции Υ = N_gK начнём с рассмотрения множества липшицевости опе-

ратора N_g : Sθ0τ → S^τ . Установим связь между этим множеством и множеством липшицевости

функции g : [0, τ] × Rθ0 → R^θ.

Пусть задано многозначное отображение Ω : [0, τ] ⇒ R такое, что Ω(t) = ∅, t ∈ [0, τ].

Будем предполагать, что это отображение имеет измеримое сечение, т.е.

Sel (Ω) := {u ∈ S_τ : u(t) ∈ Ω(t) при п.в. t ∈ [0, τ]} = ∅.

Предложение 3. Пусть для заданных v, z ∈ S_τ и β ≥ 0 при п.в. t ∈ [0, τ] выполнено

включение (v(t), z(t)) ∈ Lip_β[g(t, · ); Ω(t)], т.е. имеет место соотношение:

для произвольного u ∈ Ω(t) такого, что g(t, u) = z(t),

(11)

справедливо неравенство θ(g(t,v(t)),z(t)) ≤ β|v(t) - u|.

Тогда (v, z) ∈ Lip_β[N_g; Sel (Ω)].

Доказательство этого предложения с очевидностью следует из определения множества

липшицевости. Аналогичное утверждение для оператора Немыцкого в пространстве S_τ , по-

рождённого функцией g : [0, τ]× R → R, в случае измеримого замкнутозначного отображения

Ω : [0,τ] ⇒ R и непрерывной по каждому аргументу вещественной функции θ : R × R → R

получено в [9].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

7^∗

100

ЖУКОВСКИЙ, МЕРЧЕЛА

Предложение 4. Пусть

∫

k₀ := vraisup

|K(t, s)| ds < +∞,

(12)

t∈[0,τ]

заданы x ∈ S_τ , z ∈ S_τ , β ≥ 0 и многозначное отображение Φ : [0, τ] ⇒ R со значениями

Φ(t) = ∅, t ∈ [0, τ], такое, что Sel (Φ) = ∅. Пусть также для пары функций v = Kx ∈ S_τ ,

z ∈ S_τ и многозначного отображения

{∫τ

}

Ω : [0,τ] ⇒ R, Ω(t) = (KΦ)(t) :=

K(t, s)u(s) ds, u ∈ Sel (Φ)

t ∈ [0,τ],

при п.в. t ∈ [0,τ] выполнено соотношение (11). Тогда (x,z) ∈ Lipk0β[Υ;Sel (Φ)].

Доказательство. Для любого u ∈ Sel (Φ) функция Ku ∈ S_τ является измеримым сече-

нием многозначного отображения Ω, поэтому множество Sel (Ω) ⊂ S_τ не пусто.

Пусть для некоторой функции u ∈ Sel (Φ) выполнено равенство N_gKu = z. Определим

функцию u := Ku. Очевидно, что u ∈ Sel(Ω) и N_gu = z. Так как справедливо соотношение

(11), то, согласно предложению 3, имеем (v, z) ∈ Lip_β[N_g; Sel (Ω)]. Поэтому в силу определения

множества Lip_β[N_g; Sel (Ω)] получаем d^θ(N_gKx, z) = d^θ(N_gv, z) ≤ βρ(v, u) = βρ(Kx, Ku).

Следовательно,

∫

d^θ(N_gKx,z) ≤ β vraisup |x(s) - u(s)| vraisup

|K(t, s)| ds = k₀βρ(x, u).

s∈[0,τ]

t∈[0,τ]

Итак, (x, z) ∈ Lipk0β[NgK; Sel (Φ)]. Предложение доказано.

Замечание 2. Условие (12) выполнено, например, в случае, когда ядро K(t, s) интеграль-

ного оператора K : Sθ0τ → Sτ0 мажорируется суммируемой функцией, т.е. выполнено соотно-

шение

существует M ∈ S_τ , для которой |K(t, s)| ≤ M(s)

∫

(13)

при п.в. (t, s) ∈ [0, τ] × [0, τ] и

M (s) ds < +∞.

3. Интегральное уравнение. Применим полученные утверждения к исследованию раз-

решимости интегрального уравнения. Как и выше предполагаем, что задана измеримая функ-

ция K : [0, τ] × [0, τ] → R, которая удовлетворяет условию (12). Пусть также заданы z ∈ S_τ и

функция f : [0, τ] × R × R → R, измеримая по первому аргументу и непрерывная по совокуп-

ности второго и третьего аргументов. Рассмотрим уравнение

( ∫τ

)

f t, K(t,s)x(s)ds,x(t)

= z(t), t ∈ [0, τ],

(14)

относительной неизвестной функции x ∈ S_τ .

Для произвольной функции x ∈ S_τ определим функцию g[x] : [0, τ]×Rθ0 → R^θ равенством

g[x](t,u) = f(t,u,x(t)) для всех (t,u) ∈ [0,τ] × R,

(15)

и функцию g[x] : [0, τ] × Rθ0 → R^θ соотношением

( ∫τ

)

g[x](t,u) = f t, K(t,s)x(s)ds,u для всех (t,u) ∈ [0,τ] × R.

Функции g[x], g[x], очевидно, удовлетворяют условиям Каратеодори.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

101

Теорема 2. Пусть задана функция x₀ ∈ S_τ такая, что

∫τ

R₀ := vraisup θ(f(t,v₀(t),x₀(t)), z(t)) < +∞, где v₀(t) := (Kx₀)(t) =

K(t, s)x₀(s) ds.

t∈[0,1]

Пусть α > 0, σ ∈ (0, α) и R := R₀/σ, а многозначное отображение Ω : [0, τ] ⇒ R определено

соотношением Ω(t) := [v₀(t)-k₀R,v₀(t)+k₀R] для любого t ∈ [0,τ]. Пусть, кроме того, при

любом x ∈ B

(x₀, R) при п.в. t ∈ [0, 1] имеют место включения

S^τ

(x(t), z(t)) ∈ Cov_α[g[x](t, · ); Rθ0 ],

((Kx)(t), z(t)) ∈ Lip_β[g[x](t, · ); Ω(t)],

где β := (α - σ)/k₀. Тогда в шаре B

(x₀, R) существует решение уравнения (14).

S^τ

Доказательство. Определим отображение F : Sθ0τ × Sτ0 → S^τ равенством

(F (x, u))(t) = f(t, (Ku)(t), x(t)) для всех x, u ∈ Sθ0τ, где t ∈ [0, τ],

и отображение G : Sθ0τ → S^τ , положив G(x) = F (x, x). Уравнение (14), таким образом,

записывается в виде (4). Проверим для такого уравнения выполнимость условий теоремы 1.

Прежде всего отметим, что пространство Sθ0τ является полным.

Покажем, что отображения F и G замкнуты. Пусть для произвольных последовательно-

стей {x_i}, {u_i} ⊂ Sθ0τ, элементов x, u ∈ Sτ0 и z ∈ S^τ при i → ∞ имеют место сходимости

ρ(x_i, x) → 0, ρ(u_i, u) → 0, d^θ(F (x_i, u_i), z) → 0.

Так как ρ(Ku_i, Ku) ≤ k₀ρ(u_i, u), то в силу второго из перечисленных соотношений получаем,

что ρ(Ku_i, Ku) → 0. Согласно определению расстояний ρ и d^θ при п.в. t ∈ [0, τ] имеют

место сходимости

θ₀(x_i(t),x(t)) → 0, θ₀((Ku_i)(t),(Ku)(t)) → 0, θ((F(x_i,u_i))(t),z(t)) → 0.

А так как сходимости в пространствах R^θ и Rθ0 совпадают, получаем, что

x_i(t) → x(t), (Ku_i)(t) → (Ku)(t), (F(x_i,u_i))(t) → z(t).

Отсюда в силу непрерывности при п.в. t ∈ [0, τ] функции f(t, · , · ) (по совокупности двух

аргументов) следует, что справедлива эквивалентность

f (t, (Ku_i)(t), x_i(t)) → f(t, (Ku)(t), x(t)) ⇔ (F (xi, ui))(t) → (F (x, u))(t).

В то же время (F (x_i, u_i))(t) → z(t), поэтому (F (x, u))(t) = z(t), t ∈ [0, τ]. Таким образом,

отображение F является замкнутым, а значит, отображение G также замкнуто.

Для каждого x ∈ B

Sτ0 (x0,R)операторF(x,·)-этооператорΥ:Sτ0 →Sτ,^{определяемый}

формулой (10), в которой g := g[x]. Определим многозначное отображение Φ : [0, τ] ⇒ R

соотношением

Φ(t) := [x₀(t) - R, x₀(t) + R] для любого t ∈ [0, τ].

Очевидно, что Ω(t) := (KΦ)(t) ⊂ Ω(t). Следовательно (см. (3)),

((Kx)(t), z(t)) ∈ Lip_β[g[x](t, · ); Ω(t)].

Согласно предложению 4 выполнено включение (x, z) ∈ Lipk0β[F (x, · ); Sel (Φ)]. Учитывая, что

Sel (Φ) = B

(x₀, R), получаем

S^τ

(x, z) ∈ Lipk0β[F (x, · ); B_Sθ0 (x0, R)].

Отметим, что здесь коэффициент липшицевости k₀β = α - σ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

102

ЖУКОВСКИЙ, МЕРЧЕЛА

Для произвольного x ∈ B

(x₀, R) оператор F ( · , x) является оператором Немыцкого

S^τ

N_g[x] : Sτ0 → S^θτ, порождённым функцией g[x] : [0,τ] × Rθ0 → R^θ. Согласно предложению 2

имеет место включение (x, z) ∈ Cov_α[F ( · , x); Sθ0τ ].

Итак, для уравнения (14) выполнены все условия теоремы 1, и, согласно этой теореме, в

шаре B

(x₀, R) существует решение уравнения (14). Теорема доказана.

S^τ

4. Интегральное уравнение Вольтерры. Теперь рассмотрим интегральное уравнение

Вольтерры

( ∫ t

)

f t, K(t,s)x(s)ds,x(t)

= z(t), t ∈ [0, 1].

(16)

Здесь функция K, заданная на множестве {(t, s) : 0 ≤ s ≤ t ≤ 1}, является измеримой,

z ∈ S₁, функция f : [0,1] × R × R → R измерима по первому аргументу и непрерывна по

совокупности второго и третьего аргументов.

Конечно, уравнение (16) является частным случаем рассмотренного выше уравнения (14) и

записывается в виде (14), если доопределить функцию K, положив K(t, s) = 0 при п.в. (t, s)

из треугольника 0 ≤ t < s ≤ 1. Таким образом, теорема 2 позволяет устанавливать суще-

ствование решения x(t), t ∈ [0, 1], уравнения (16). Но для уравнения Вольтерры естественно

рассматривать решения, определённые не только на всём “временном” отрезке [0, 1], но и на

его подотрезках.

Определение. Пусть τ ∈ (0,1]. Решением уравнения (16), определённым на [0,τ], назы-

вают функцию x ∈ S_τ , удовлетворяющую этому уравнению при п.в. t ∈ [0, τ].

Очевидно, сужение на [0, τ] решения x ∈ S_τ уравнение (16) при любом τ ∈ (0, τ) является

решением этого уравнения на отрезке [0, τ].

Теории интегральных и более общих операторных уравнений Вольтерры посвящены мно-

гочисленные исследования. Сведения о существовании и свойствах решений можно найти,

например, в [1; 12; 22] и в библиографии этих работ.

Введём необходимые обозначения, аналогичные обозначениям, использовавшимся в преды-

дущем параграфе.

Определим оператор K₀ : Sθ01 → S10 следующим соотношением:

∫t

(K₀u)(t) = K(t, s)u(s) ds для всех u ∈ Sθ01, где t ∈ [0, 1].

Положим

∫t

κ(t) :=

|K(t, s)| ds, t ∈ [0, 1].

Функция κ является измеримой. Будем предполагать, что для этой функции выполнено сле-

дующее условие:

для любого ε > 0 существует δ ∈ (0, 1] такое, что κ(t) ≤ ε при п.в. t ∈ [0, δ].

(17)

Это условие выполнено, если для некоторого τ ∈ (0, 1] функция K мажорируется на множе-

стве {(t, s) : 0 ≤ s ≤ t ≤ τ} суммируемой функцией, т.е. справедливо соотношение (13).

Для произвольных x ∈ S₁ и τ ∈ (0, 1] определим функции g[x] : [0, τ] × Rθ0 → R^θ соотно-

шением (15) и функцию g[x] : [0, τ] × Rθ0 → R^θ соотношением

∫t

g[x](t,u) = f(t, K(t,s)x(s)ds,u) для всех (t,u) ∈ [0,τ] × R.

Функции g[x], g[x] удовлетворяют условиям Каратеодори.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

103

Теорема 3. Пусть заданы функция x₀ ∈ S₁ такая, что

∫t

R₀ := vraisupθ(f(t,v₀(t),x₀(t)), y(t)) < +∞, где v₀(t) := (K₀x₀)(t) =

K(t, s)x₀(s) ds,

t∈[0,1]

и числа σ > 0, ς > 0. Пусть R = σ-1R₀, а многозначное отображение

Ω : [0,1] ⇒ R

определено соотношением

Ω(t) := [v₀(t) - ςR, v₀(t) + ςR] для любого t ∈ [0, 1].

Пусть, кроме того, выполнено условие (17) и существуют α > σ, β ≥ 0, для которых при

любом x ∈ B

Sθ0 (x0,R)прип.в.t∈[0,1]имеютместовключения1

(x(t), z(t)) ∈ Cov_α[g[x](t, · ); Rθ0 ],

((Kx)(t), z(t)) ∈ Lip_β[g[x](t, · );Ω(t)].

Тогда найдётся такое τ ∈ (0, 1], что в шаре B

(x₀, R) существует определённое на [0, τ]

S^τ

решение уравнения (16).

Доказательство. Достаточно показать, что при некотором τ ∈ (0, 1] для уравнения (16),

рассматриваемого при t ∈ [0, τ], выполнены все условия теоремы 2.

В силу условия (17) существует такое δ₁ ∈ (0, 1], что vrai sup κ(t) ≤ ς, и существует такое

t∈[0,δ₁]

δ₂ ∈ (0,1], что vraisupκ(t) ≤ β-1(α - σ). Положим

t∈[0,δ₂]

τ := min{δ₁, δ₂}

(18)

и рассмотрим уравнение (16) при t ∈ [0, τ]. Тогда k₀ := vrai sup κ(t) и справедливы соот-

t∈[0,τ]

ношения

Ω(t) = [v₀(t) - k₀R, v₀(t) + k₀R] ⊂Ω(t) при п.в. t ∈ [0, τ], β ≤ k0-1(α - σ).

Таким образом, при определении τ равенством (18) условия теоремы 2 выполнены. Теорема

доказана.

Замечание 3. В условиях теоремы 2 и теоремы 3 утверждается существование решения

x интегрального уравнения (14) и, соответственно, уравнения (16), принадлежащего шару

(x₀, R) в пространстве измеримых на [0, τ] функций. Это включение означает, что для

S^τ

решения при п.в. t ∈ [0, τ] выполнено неравенство x₀(t)-R ≤ x(t) ≤ x₀(t)+R. Из полученной

оценки следует, что если функция x₀ суммируема с некоторой p-й степенью на [0, τ], то

решение x также суммируемо с p-й степенью на [0, τ].

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований (проект 20-04-60524). Результаты п. 2 получены Жуковским Е.С. при фи-

нансовой поддержке Российского научного фонда (проект 20-11-20131).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear

Volterra equations // Nonlin. Anal.: Theory, Methods and Appl. 2012. V. 75. № 3. P. 1026-1044.

2. Жуковская Т.В. О продолжении решений нелинейного уравнения Volterra // Вестн. Тамбовского

ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2012. Т. 17. № 3. С. 857-866.

3. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к

дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференц. урав-

нения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

104

ЖУКОВСКИЙ, МЕРЧЕЛА

4. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений,

не разрешенных относительно производной // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-

1537.

5. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических про-

странств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно про-

изводной // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-455.

6. Arutyunov A., Jacimovic V., Pereira F. Second order necessary conditions for optimal impulsive control

problems // J. Dynam. and Contr. Systems. 2003. V. 9. № 1. P. 131-153

7. Арутюнов А.В., Грешнов А.В. Теория (q₁, q₂)-квазиметрических пространств и точки совпадения

// Докл. РАН. 2016. Т. 469. № 5. С. 527-531.

8. Арутюнов А.В., Грешнов А.В. (q₁, q₂)-квазиметрические пространства. Накрывающие отображе-

ния и точки совпадения // Изв. РАН. Сер. мат. 2018. Т. 82. № 2. С. 3-32.

9. Жуковский Е.С., Мерчела В. О накрывающих отображениях в обобщенных метрических простран-

ствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений // Уфимский мат. журн. 2020. Т. 12.

№ 4. С. 42-55.

10. Мерчела В. К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств

// Вестн. Тамбовского ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2018. Т. 23. № 121. С. 65-73.

11. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стецен-

ко В.Я. Интегральные уравнения. М., 1968.

12. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерры // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. М.,

1977. Т. 15. С. 131-198.

13. Прёсдорф З. Линейные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. Сер. Совр. проблемы

математики. Фундам. направления. М., 1988. Т. 27. С. 5-130.

14. Diogo T., Pedas A., Vainikko G. Integral equations of the third kind in L^p spaces // J. Integral Equat.

Appl. 2020. V. 32. № 4. P. 417-427.

15. Бенараб С., Жуковский Е.С., Мерчела В. Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в

пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением // Тр. Ин-та математики

и механики УрО РАН. 2019. Т. 25. № 4. С. 52-63.

16. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки

// Докл. РАН. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.

17. Шрагин И.В. Суперпозиционная измеримость при обобщенных условиях Каратеодори // Вестн.

Тамбовского ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2014. Т. 19. № 2. С. 476-478.

18. Жуковский Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и интегральных неравенствах типа

Чаплыгина // Алгебра и анализ. 2018. Т. 30. № 1. С. 96-127.

19. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., 1974.

20. Арутюнов А.В. Лекции по выпуклому и многозначному анализу. М., 2014.

21. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных

отображений и дифференциальных включений. М., 2011.

22. Жуковский Е.С. Неравенства Вольтерра в функциональных пространствах // Мат. сб. 2004. Т. 195.

№ 9. С. 3-18.

Тамбовский государственный университет

Поступила в редакцию 11.02.2021 г.

им. Г.Р. Державина,

После доработки 06.09.2021 г.

Институт проблем управления

Принята к публикации 23.11.2021 г.

им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022