ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.105-119

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.55+517.929

ФИНИТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

С НЕСОИЗМЕРИМЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

Для спектрально управляемой линейной автономной системы с несоизмеримыми запаз-

дываниями строится динамическая обратная связь по состоянию в виде дифференциаль-

но-разностного регулятора, обеспечивающая замкнутой системе финитную стабилизацию

(полное успокоение исходной системы за конечное время). Результаты проиллюстрированы

примерами.

DOI: 10.31857/S0374064122010113

Введение. Пусть объект управления описывается линейной автономной дифференциаль-

но-разностной системой

∑

x(t) = A₀x(t) +

A_ix(t - d_i) + bu(t), t > 0, x(t) = η(t), t ∈ [-d_m,0].

(1)

i=1

Здесь x - n-вектор-столбец решения системы (1) (n ≥ 2);

0 < d₁ < ... < d_m - постоян-

ные запаздывания; A_i - постоянные n × n-матрицы (i = 0, m); b - постоянный n-столбец;

η - начальная кусочно-непрерывная функция; u - скалярное управление. Далее векторные

величины полагаем записанными в столбец, штрих^′ обозначает операцию транспонирования.

Не ограничивая общности, считаем, что b = e_n = [0; . . . ; 0; 1]^′. Этого всегда можно достичь

невырожденным линейным преобразованием переменных x = T x с постоянной матрицей T.

∑_m

Кроме того, выбрав управление u(t) = -e^′n(A₀x(t) +

A_ix(t - d_i)) + u(t)

(u(t) - новое

i=1

управление), получим, что последняя строка матриц A_i (i = 0, m) - нулевая. Тот же результат

будем иметь, введя вспомогательную переменную

u(t) = u₁(t). В этом случае вход системы

∑_m

(1) может содержать запаздывания:

b_iu(t - d_i), b_i - постоянные n-столбцы (i = 0,m).

i=1

Пусть E_n - единичная матрица n-го порядка; W (p)

= pE_n - (A₀ + A₁e-pd1 + ...

... + A_me-pdm) - характеристическая матрица, p ∈ C; w(p) = |W(p)| - характеристический

квазиполином однородной (b = 0) системы (1). Здесь и далее | · | - определитель квадратной

матрицы. Набор σ = {p ∈ C : w(p) = 0} корней характеристического квазиполинома (с учётом

их кратностей) называют спектром системы (1). Так как коэффициенты характеристического

квазиполинома w(p) действительны, то недействительные числа, входящие в σ, разбиваются

на пары взаимно сопряжённых.

Считаем, что в уравнении (1) запаздывания имеют вид

∑

d_i =

k_ijh_j, i = 1,m,

(2)

j=1

где μ ≤ m - натуральное, а k_ij - целые числа, h₁ < . . . < h_μ - положительные действительные

числа, которые могут быть произвольными, в частности, рационально независимыми. Обо-

значим

∏

θ_i = e-pdi =

λkijj, λj = e-phj , i = 1,m, p ∈ C.

j=1

105

106

МЕТЕЛЬСКИЙ, КАРПУК

В операторной записи уравнений полагаем: θ_i = e-pdi (λ_j = e-phj ) - оператор сдвига, p -

оператор дифференцирования:

p^sθ_if(t) = p^se-pdi f(t) = f(s)(t - d_i)

или

( μ_∑

)

∏

p^sθ_if(t) = p^s

f (t) = p^s

e-pkijh^j f(t) = f(s)

t- k_ijh_j

λkijj

j=1

f (t) - функция; s ≥ 0, i = 1, m, k_ij - целые числа.

Задача полного успокоения системы (1) заключается [1, с. 358] в обеспечении за счёт выбора

управления u(t), t ∈ [0, t₁], тождеств

x(t) ≡ 0, u(t) ≡ 0, t ≥ t₁,

(3)

где t₁ > 0 - некоторый фиксированный момент времени, не зависящий от начальной функ-

ции η. В работе [2] установлено, что для разрешимости задачи полного успокоения системы

(1) необходимо и достаточно, чтобы система (1) была спектрально управляема:

rank [pE_n - (A₀ + A₁e-pd1 + . . . + A_me-pdm ), b] = n для всех p ∈ C.

(4)

Следуя [3], обеспечение полного успокоения исходной системы (1) посредством обратной

связи будем называть финитной стабилизацией. В работах [4-7] задача финитной стабили-

зации решается посредством назначения замкнутой системе конечного спектра (спектральное

приведение [8]). В работе [8] обосновано необходимое условие спектральной приводимости сис-

темы (1) в классе динамических дифференциально-разностных регуляторов: равенство (4)

может нарушаться только в конечном числе точек

P₀ = {p_i ∈ C, i = 1,ν₀ : rank[W(p_i),b] < n}.

(5)

Там же установлено, что для системы (1) с соизмеримыми запаздываниями условие (5) обес-

печивает существование дифференциально-разностного регулятора, приводящего систему (1)

к системе с конечным спектром. В настоящей статье показано (пример 3), что для системы (1)

с несоизмеримыми запаздываниями условие (4) не является достаточным для спектральной

приводимости.

Достаточно полный обзор публикаций, посвящённых различным задачам стабилизации и

назначения спектра для линейных автономных систем с запаздыванием, представлен в [9].

Большая часть известных работ относится к системам с одним или с соизмеримыми запазды-

ваниями. Из последних исследований по данной тематике для объектов с несоизмеримыми за-

паздываниями отметим работу [10], в которой рассматривается задача модального управления

для линейной системы, заданной автономным дифференциальным уравнением n-го порядка

с несколькими несоизмеримыми сосредоточенными и распределёнными запаздываниями в со-

стоянии. Для такой системы получены необходимые и достаточные условия разрешимости

задачи произвольного назначения коэффициентов характеристической функции посредством

статической обратной связи по выходу.

В настоящей работе для системы (1) с несоизмеримыми запаздываниями решается задача

финитной стабилизации. Именно, предлагается схема построения динамического дифферен-

циально-разностного регулятора по типу обратной связи по состоянию, доставляющего полное

успокоение системы (1). Решение этой задачи, как и в названных выше работах [4-7], выпол-

няется в два этапа: внутренний контур регулятора обеспечивает приведение исходной системы

к системе с конечным спектром, а внешний контур обеспечивает точечную вырожденность [11,

12] замкнутой системы в направлениях, выделяющих её первые n фазовых переменных.

Развиваемый ниже подход к построению регулятора финитной стабилизации является по

своей сути алгебраическим, а для его реализации используются стандартные операции над

полиномами и полиномиальными матрицами.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ФИНИТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

107

1. Спектральное приведение системы с несоизмеримыми запаздываниями. По-

строим двухконтурный дифференциально-разностный регулятор, обеспечивающий замкнутой

системе (1) финитную стабилизацию (см. тождества (3)). Внутренний контур обеспечит при-

ведение исходной системы к системе с конечным спектром, а внешний - обнуление первых n

фазовых переменных.

Рассмотрим вопросы, связанные со спектральным приведением системы (1).

∑_m

∏_μ

Пусть Λ = (λ₁, . . . , λ_μ), A(Λ) = A₀ +

i=1

Aij=1 λkijj, λj ∈ C. Обозначим

M (p, Λ) = [M₁(p, Λ), . . . , M_n(p, Λ)]^′,

(6)

где M_i(p, Λ)- алгебраическое дополнение к i-му элементу (начиная с первого) последней стро-

ки матрицы

⎡

⎤

p - a₁₁(Λ) ...

-a1,n-1(Λ)

-a1,n(Λ)

⎢

⎥

Fϕ(p, Λ) =

⎣

⎦.

-an-1,1(Λ) ...

-an-1,n-1(Λ)

-an-1,n(Λ)

∑_r

−ϕ₁(Λ) ...

-ϕn-1(Λ) p^r -

ϕi(Λ)p^r-i

i=1

Здесь a_ij (Λ) - элементы матрицы A(Λ); ϕ_i(Λ), i = 1, n - 1, и

ϕi(Λ), i = 1, r, - полиномы

с действительными коэффициентами, которые подбираем такими, чтобы выполнялось равен-

ство

|F_ϕ(p, Λ)| = d₀(p),

где d₀(p) - некоторый полином степени ν = deg d₀(p) ≥ n. Если такой выбор возможен, то

систему назовём спектрально приводимой.

Лемма 1. Система (1) спектрально приводима, если и только если редуцированный ба-

зис Грёбнера (в словарном порядке вида λi1 > . . . > λiμ > p) для системы полиномов (6)

содержит некоторый полино

d₀(p).

Доказательство. Достаточность. Пусть редуцированный базис Грёбнера (в словарном

порядке вида λi1 > . . . > λiμ > p) для системы полиномов (6) содержит некоторый полином

d₀(p), множество корней которого обозначим через

P₀. В частности, возможно, что

d₀(p) =

= 1, и тогда

P₀ = ∅. По свойству базиса Грёбнера найдётся векторный полином

ϕ′(p, Λ) =

ϕ₁(p,Λ),... ,ϕn(p, Λ)) такой, что справедливо разложение

ϕ′(p, Λ)M(p, Λ)

d₀(p).

(7)

Если степень полинома ν = de

d₀(p) меньше, чем n, то обе части равенства (7) домножим

на полином d₁(p) с действительными коэффициентами степени n - ν. Обозначим d₀(p) =

=d₁(p

d₀(p). Если de

d₀(p) ≥ n, то полагаем d₁(p) = 1. Таким образом, ν = deg d₀(p) ≥ n.

Согласно [13, следствие 1], равенство (7) можно преобразовать к виду

[

]

∑

- ϕ₁(Λ),... ,-ϕn-1(Λ),p^r -

ϕi

(Λ)p^r-i M(p, Λ) = d₀(p),

(8)

i=1

где ϕ_i(Λ), i = 1, n - 1, и ϕ_i(Λ), i = 1, r (r = ν -n+1 ≥ 1), - некоторые полиномы. Полиномы

ϕi(Λ), i = 1, n - 1, и

ϕi(Λ), i = 1, r, можно найти методом неопределённых коэффициентов,

используя (8). Равенство (8) означает, что замкнутая система с характеристической матрицей

F ϕ(p, Λ) имеет конечный спектр.

Необходимость. Если система (1) спектрально приводима, то имеет место равенство (8).

В таком случае по свойству базиса Грёбнера редуцированный базис для системы полиномов

(6), построенный в словарном порядке вида λi1 > . . . > λiμ > p для системы полиномов

(6), необходимо содержит некоторый полином

d₀(p) такой, что d₀(p) = d₁(p

d₀(p). Лемма

доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

108

МЕТЕЛЬСКИЙ, КАРПУК

Считаем, что старший коэффициент полинома d₀(p) равен 1. Множество различных кор-

ней полинома d₀(p) обозначим P₀ = {p_i ∈ C: i = 1, μ₀}.

Замечание 1. В силу равенства (8) значения p_k

P₀ войдут в состав корней полинома

d₀(p) при любом выборе полиномов ϕ_i(Λ), i = 1,n, и

ϕi(Λ), i = 1, r, обеспечивающих

выполнение этого равенства. Поэтому d₀(p) = d₁(p

d₀(p) и

P₀ ⊆ P₀. Значения p_k

P₀ будем

называть инвариантными спектральными значениями, а полином

d₀(p) - инвариантным

полиномом.

Если система

M (p, Λ) = 0

несовместна (редуцированный базис Грёбнера имеет вид {1}), т

P₀ = ∅, и множество корней

полинома d₀(p) = d₁(p) при спектральном приведении может быть произвольным при усло-

вии, что недействительные корни разбиваются на пары взаимно сопряжённых. Однако для

построения второго контура регулятора финитной стабилизации при выборе полинома d₁(p)

имеются некоторые ограничения, описанные ниже в шаге 2) п. 4.

Замечание 2. Набор величин h₁ < . . . < h_μ, порождающий переменные λ_i = e-phi , i =

= 1, μ, назовём базисным. Этот набор для заданных запаздываний 0 < d₁ < . . . < d_m (см.

представление (2)), очевидно, можно сформировать по-разному. Следующий пример показы-

вает, что для одного базисного набора спектрально управляемая система (1) с несоизмеримыми

запаздываниями будет спектрально приводимой, а для другого - нет. В этом для систем вида

(1) состоит принципиальное отличие запаздываний, среди которых имеются несоизмеримые,

от запаздываний, кратных одному и тому же числу. Для последних (т.е. попарно соизмери-

мых запаздываний) система (1) в случае спектральной управляемости спектрально приводи-

ма [8, 14].

Поясним замечание 2 следующими примерами, содержащими подходы к решению задачи

спектрального приведения.

Пример 1. Пусть система (1) задана своей характеристической матрицей (Θ = (θ₁, θ₂),

θ_i = e-pdi, i = 1,2)

[

]

[

]

p-θ₂

-θ₁

pE₂

A(Θ) =

d₁ = ln 2, d₂ = ln 3.

(9)

Система (1), (9) имеет характеристический квазиполином w(p) = p(p-3^-p) и бесконечный

спектр. Для алгебраических дополнений^M(p, Θ) = [M1(p, Θ),M2(p, Θ)]^′ к элементам (начиная

с первого) последней строки матрицы F_ϕ(p, Θ) очевидны равенстваM1(p, Θ) = θ₁,

M₂(p,Θ) =

=p-θ₂.

Очевидно также, что при любых запаздываниях d₁, d₂ данная система полностью управ-

ляема, поскольку θ₁ = e-pd1 = 0 для всех p ∈ C. В то же время система

^M(p, Θ) = 0

относительно p имеет бесконечно много решений, поэтому для набора d₁ = ln 2, d₂ = ln 3

спектральное приведение невозможно. Действительно, полагая θ₁ = 0, получаем



(

)



∑

 p-θ₂



∑_r



(p - θ₂) p^r -

ϕi

(Θ)pr-i ,

θ₂ = e-pd2 ,

(10)

-ϕ1(Θ) p^r -

⁼

i=1

ϕi(Θ)p^r-i

i=1

т.е. система (1), (9) не приводится к системе с конечным спектром.

Преобразуем запаздывания так, чтобы θ₁ = 0. Запишем d₂ в виде d₂ = (ln 3 - ln 2) + ln 2

и возьмём h₁ = ln 2, h₂ = ln 3 - ln 2. Тогда θ₂ = e-pd2 = e-ph1 e-ph2 = λ₁λ₂ (λ_i = e-phi ,

i = 1,2); λ₂ = θ₂/θ₁ и θ₁ = 0.

Имеем (Λ = (λ₁, λ₂))

[

]

p-λ₁λ₂

-λ₁

pE₂ - A(Λ) =

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ФИНИТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

109

Отсюда M₁(p, Λ) = λ₁, M₂(p, Λ) = p-λ₁λ₂. Находим базис Грёбнера: {p, λ₁} для системы

полиномов M(p, Λ); значит, в разложении (7

d₀(p) = p. Возьмём d₁(p) = p+1, тогда d₀(p) =

= p(p + 1), P₀ = {0,-1}. Равенство (8) примет вид



p-λ1λ₂

-λ₁



[λ₂ + λ₁λ²², p + 1 + λ₁λ₂]M(p, Λ) = p(p + 1), или

p(p + 1).

λ2 + λ₁λ²² p + 1 + λ₁λ₂=

С учётом того, что λ₁ = θ₁, λ₂ = θ₂/θ₁, получаем



p-θ₂

-θ₁



p(p + 1).

θ2/θ₁ + θ²²/ϑ₁ p + 1 + θ₂=

Таким образом, второе уравнение замкнутой системы следующее:

x₂(t) = -x₁(t - (d₂ - d₁)) - x₁(t - (2d₂ - d₁)) - x₂(t) - x₂(t - d₂).

Заметим, что везде аргумент запаздывающего типа: d₂ - d₁ > 0, 2d2 - d1 > 0.

Следующий пример показывает, что при построении контура спектрального приведения

можно использовать только операторную запись системы управления, т.е. её характеристиче-

скую матрицу.

Пример 2. Пусть система (1) задана своей характеристической матрицей

[

]

[

]

p-θ₁

-θ₂

pE₂

A(Θ) =

d₁ = ln 2, d₂ = ln 3.

При любых запаздываниях d₁, d₂ данная система полностью управляема, так как θ₂ =

= e-pd2 = 0 для всех p ∈ C.

Как и в примере 1, положив θ₂ = 0, получим равенство, аналогичное (10), поэтому для

набора d₁ = ln 2, d₂ = ln 3 спектральное приведение невозможно. Преобразуем запаздывания

так, чтобы θ₂ = 0.

По предположению d₁ < d₂. Пусть 2d₁ > d₂, тогда первую строку характеристической

матрицы представим следующим образом: (p - (θ²¹/θ₂)(θ₂/θ₁), -(θ₂/θ₁)²(θ²¹/θ₂)). Это равно-

сильно преобразованию запаздываний

d₁ = (2d₁ - d₂) + (d₂ - d₁), d₂ = 2(d₂ - d₁) + (2d₁ - d₂).

Введя величины h₁ = 2d₁ - d₂ > 0, h₂ = d₂ - d₁ > 0, первую строку характеристической

матрицы получим в виде

(p - λ₁λ₂, -λ²²λ₁), где λ₁ = θ²¹/θ₂, λ₂ = θ₂/θ₁.

Теперь базис Грёбнера для полиномов {p - λ₁λ₂, -λ²²λ₁} содержит полином p² : {p2, pλ2, p -

− λ₁λ₂}. Решая полиномиальное уравнение (8), где d₀(p) = p², M(p,Λ) = (λ²²λ₁,p - λ₁λ₂),

находим вторую строку спектрально приведённой системы (λ₁, p + λ₁λ₂):



p-θ1

-θ₂



p², θ_i = e-pdi, i = 1,2.

_θ2

/θ₂

p+θ₁=

Если 2d₁ < d₂, а 3d₁ > d₂, то полагаем (p - (θ³¹/θ₂)(θ₂/θ²¹), -(θ₂/θ²¹)³(θ³¹/θ₂)²) и

h₁ = 3d₁ - d₂ > 0, h₂ = d₂ - 2d₁ > 0.

Тогда спектрально приведённая система имеет вид



p-θ1



-θ₂



p³,

_θ3

⁼

/θ₂

p² + pθ₁ + θ²¹

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

110

МЕТЕЛЬСКИЙ, КАРПУК

или в нормальной форме



p-θ₁

-θ₂



-1

=p3.



_θ3

/θ₂

θ²¹

p+θ₁

В случае спектральной управляемости система вида (1) с соизмеримыми запаздываниями

спектрально приводима [8, 14]. Для систем того же вида с несоизмеримыми запаздываниями

это не так. Приведём простой пример спектрально управляемой системы с несоизмеримыми

запаздываниями, которая не является спектрально приводимой ни при каком базисном наборе

запаздываний (см. (2)).

Пример 3. Рассмотрим систему (1) с характеристической матрицей

[

]

[

]

p-θ₂

1-θ₁

pE₂

A(Θ) =

d₁ = ln 2, d₂ = ln 3.

Несложно убедиться, что при любых несоизмеримых запаздываниях d₁, d₂ данная систе-

ма спектрально управляема, так как система уравнений p - e-pd2 = 0, 1 - e-pd1 = 0 относи-

тельно p несовместна.

При любом представлении запаздываний можно положить θ₁ = 1 (даже если переменная

θ₁ окажется в знаменателе), и тогда получаем равенство (10). Таким образом, данная система

дифференциально-разностным регулятором к конечному спектру не приводится.

2. Предварительные результаты. Покажем, что найдутся скалярный полином λ =

= λ(Λ) = λ(λ₁, . . . , λ_μ) и векторный полином Ψ^′(Λ) = (ψ₁(Λ), . . . , ψ_n(Λ)) такие, что

λ(Λ) = Ψ^′(Λ)M(p, Λ).

(11)

Лемма 2. Если система (1) спектрально управляема, то найдётся редуцированный ба-

зис Грёбнера (в словарном порядке вида p > λi1 > . . . > λiμ ) для системы полиномов (6),

содержащий полином вида λ = λ(Λ), отличный от тождественного нуля.

Доказательство. Пусть Λ_p = {(λ₁, . . . , λ_μ)_p : p

P₀} - множество наборов (λ₁,... ,λ_μ)_p

таких, что (p, Λ_p) - решение системы

M (p, Λ_p) = 0.

(12)

Напомним, что

P₀ - множество различных корней полинома

d₀(p). Равенство (12) означает,

что выполняется неравенство rank [pE_n - A(Λ_p), b] < n, p

P₀, а для этого необходимо [15,

с. 351], чтобы

rank [b, A(Λ_p)b, . . . , An-1(Λ_p)b] < n.

Таким образом, множество Λ_p образовано [5] нулями полинома

δ(Λ) = |b, A(Λ)b, . . . , An-1(Λ)b|,

отличного от тождественного нуля [2]. Зная Λ_p, из системы (12) для каждого (λ₁, . . . , λ_μ)_p ∈

∈Λ_p можно найти соответствующие значения p

P₀.

Так как все решения системы (12) являются нулями полинома δ(Λ), то согласно теореме

Гильберта о нулях найдётся векторный полином

Ψ^′(p,Λ) =

ψ₁(p,Λ),...

ψ_n(p,Λ)) и нату-

ральное число k такие, что

Ψ^′(p,Λ)M(p,Λ) = δ^k(Λ). Отсюда следует [13, 14] существование

векторного полинома Ψ^′(Λ) = (ψ₁(Λ), . . . , ψ_n(Λ)), для которого имеет место равенство (11),

или в подробной записи



 p - a11(Λ) ...

-a1,n-1(Λ)

-a1,n(Λ)



λ(Λ) =



.

(13)

-an-1,1(Λ) ... p - an-1,n-1(Λ)

-an-1,n(Λ)



ψ₁(Λ)

ψn-1(Λ)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ФИНИТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

111

Очевидно равенство ψ_n(Λ) = 0, поскольку в противном случае определитель (13) содержал

бы член с pn-1. Лемма доказана.

Предлагаемая конструкция регулятора финитной стабилизации основана на двух предпо-

ложениях. Первое: система спектрально приводима, т.е. при некотором полиноме d₀(p) и при

некоторых полиномах ϕ_i(Λ), i = 1, n - 1, и

ϕi(Λ), i = 1, r, имеет место равенство (8). Вто-

рое: полином λ = λ(Λ), существование которого обосновано предыдущей леммой 2, обладает

свойством

^λ(p) = λ(e-ph1 , . . . , e-phμ ) = 0 для всех p

P₀.

(14)

Замечание 3. Предположение (14) не является ”жёстким”, так как в равенстве (11) век-

торный полином M(p, e-ph1 , . . . , e-phμ ) отличен от нуля при любом p

P₀ ввиду условия (4)

спектральной управляемости.

Обозначим^λ(p) = χ(e-ph0 )^λ(p), где χ(λ₀) - некоторый полином с действительными коэф-

фициентами.

Лемма 3. Пусть выполнено свойство (14). Тогда за счёт выбора полинома χ(λ₀) и числа

h₀ > 0 можно обеспечить выполнение следующих соотношений:

^λ(p_i) =^λ(p_k), если p_i = p_k, p_i, p_k

P₀;

(15)

dλ(p)

(χ(e-ph0 )^λ(p)) = 0 для всех p

P₀.

(16)

Доказательство. Если соотношения (15), (16) для полинома^λ(p) нарушаются, то вместо

полинома λ(Λ) возьмём полином^λ(Λ) = χ(λ₀)λ(Λ),

Λ=(λ0,λ₁,... ,λ_μ). Для этого домно-

жим последнюю строку определителя (13) на некоторый полином χ(λ₀) с действительными

коэффициентами. Выберем число h₀ > 0, при котором значения e-pkh⁰ будут различными

для разных p_k

P₀. Чтобы не расширять список переменных λ_i, i = 1,μ, возьмём h₀ = h_i,

i ∈ {1,...,μ}, если это условие для некоторого h_i, i ∈ {1,...,μ}, выполняется; тогда

Λ= Λ.

Значения полинома χ(λ₀) при λ₀ = e-pkh⁰ , p_k

∈

P₀, зададим такими, чтобы числа

χ(e-pk h⁰ )^λ(p_k) были различными для разных p_k ∈

P₀. Это возможно, так как выполнено

свойство (14). В частности, можно положить χ(e-pkh⁰ )^λ(p_k) = p_k для p_k = 0, p_k

P₀. Тогда

(λ₀ = e-ph0 )

dλ(p)

dχ(λ₀)

λ₀(-h₀)^λ(p) + χ(λ₀)dλ(p)

dλ₀

Из свойства (14) вытекает, что значения производных dχ(λ₀)/dλ₀ при λ₀ = e-pkh⁰ , p_k ∈

∈

P₀, можно выбрать такими, чтобы обеспечить выполнение соотношений (16). Подходящий

полином χ(λ₀) получим как интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра.

Итак, для полинома^λ(Λ) = χ(λ₀)λ(Λ),

Λ= (λ₀,λ₁,... ,λ_μ) будут выполнены соотношения

(15), (16).

Если же соотношения (15), (16) для полинома^λ(p) выполняются, то полагаем χ(λ₀) = 1

и λ(Λ) = λ(Λ). Лемма доказана.

Регулятор финитной стабилизации будем строить в виде

∑

x(r)n(t) =

ϕi(Λ)xi(t) +

ϕi(Λ)xnr-i)(t) + f1(p, λ)xn+1(t) + q1(λ)a1(λ)xn+2(t),

i=1

∑

x(s)n+1(t) =

ψ_i(Λ)x_i(t) + f₂(p,λ)xn+1(t) + q₂(λ)a₁(λ)xn+2(t),

i=1

xn+2(t) = xn+1(t) + a₂(λ)xn+2(t), t > 0.

(17)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

112

МЕТЕЛЬСКИЙ, КАРПУК

∑r1

Здесь a_i(λ), i = 1, 2, q′(λ) = [q1(λ), q2(λ)]; f1(p, λ) =

f_i(λ)pr1-i,

f_i(λ), i = 0, r1,

∑_s

i=0

f₂(p,λ) =

f_i(λ)p^s-i,

f_i(λ), i = 0,s, - некоторые полиномы, r₁ ≥ 0, s ≥ 1.

i=0

Характеристическая матрица замкнутой системы (1), (17) имеет следующий вид (Λ =

= (e-ph1 , . . . , e-phμ ), λ = λ(e-ph1 , . . . , e-phμ )):

A(p, Λ) =

⎡

⎤

p - a₁₁(Λ) ...

-a1,n-1(Λ)

-a1,n(Λ)

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢-an-1,1(Λ) ... p - an-1,n-1(Λ)

-an-1,n(Λ)

⎥

⎢

∑_r

⎥.

(18)

⎢

-ϕ₁(Λ) ...

-ϕn-1(Λ)

p^r -

ϕi(Λ)p^r-i

-f₁(p,λ)

-q₁(λ)a₁(λ)⎥

i=1

⎣

⎦

−ψ₁(Λ) ...

-ψn-1(Λ)

p^s - f₂(p,λ)

-q₂(λ)a₁(λ)

-1

p - a₂(λ)

Замкнутую систему (1), (17) с характеристической матрицей (18) будем называть систе-

мой (18). Коэффициенты регулятора (17) подберём такими, чтобы имело место равенство

A(p, Λ)| = d(p),

где d(p) = d₂(p)d₀(p) - характеристический полином степени N = deg d(p) ≥ n + 2, d₂(p) -

некоторый полином с действительными коэффициентами.

3. Приведение замкнутой системы (18) к нормальной форме. Введём обозначение

G(p, λ) = (λ, d₀(p))^′ и положим

k(p, λ) = (a₁(λ)q^′(λ)G(p, λ) + d(p))/(a₂(λ) - p), K(p, λ) = k(p, λ) + p^sd₀(p).

(19)

Докажем, что справедлива

Теорема 1. Пусть выполнено условие (4) спектральной управляемости. Для того чтобы

система (18) имела характеристический полином d(p) степени N = n + r + s достаточно:

а) выбрать векторный полином q^′(λ) таким, чтобы функция k(p, λ) была полиномом;

б) векторный полином f^′(p,λ) = (f₁(p,λ),f₂(p,λ)) взять таким, чтобы выполнялись ра-

венства

f^′(p,λ)G(p,λ) = K(p,λ), G(p,λ) = (λ,d₀(p))^′,

(20)

где функция K(p, λ) определена в (19).

Доказательство. Пусть выполнены условия 1) и 2). Разлагая определитель матрицы (18)

по последней строке, получаем

A(p, λ)| = (p - a₂(λ))(p^s - f₂(p, λ))d₀(p) - f₁(p, λ)λ - a₁(λ)(q₁(λ)λ + q₂(λ)d₀(p)) =

= (p - a₂(λ))(p^sd₀(p) - f^′(p, λ)G(p, λ)) - a₁(λ)q^′(λ)G(p, λ).

(21)

Так как f^′(p, λ)G(p, λ) = K(p, λ), то из равенств (19), (21) вытекает, что

A(p, λ)| = d(p).

Теорема доказана.

Покажем, что если N ≥ 2n + r - 1, то система (18) приводится к нормальной форме и

имеет запаздывающий тип. Неравенство N ≥ 2n + r - 1 всегда можно обеспечить за счёт

степени полинома d₂(p), именно, при deg d₂(p) = s + 1.

В силу равенств (20) имеем

K(p, λ) = f₁(p, λ)λ + f₂(p, λ)d₀(p).

(22)

Докажем следующее утверждение.

Лемма 4. При N ≥ 2n + r - 1 для степеней полиномов f₁ и f₂ в равенстве (22) можно

обеспечить выполнение неравенств

r₁ = deg_p f₁(p,λ) ≤ n + r - 2, r₂ = deg_p f₂(p,λ) ≤ s - 1.

(23)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ФИНИТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

113

Доказательство. Если по переменной p степень deg_p f₁(p, λ) не меньше, чем n+r-1, то

представим полином f₁(p, λ) в виде f₁(p, λ) = ξ₀(p, λ)d₀(p) + ξ₁(p, λ), где ξ_i(p, λ), i = 0, 1, -

полиномы, причём deg_p ξ₁(p, λ) ≤ n + r - 2. Это возможно, так как полином d₀(p) имеет

старший член pn+r-1. В результате получим

K(p, λ) = ξ₁(p, λ)λ + (f₂(p, λ) + ξ₀(p, λ)λ)d₀(p).

(24)

Покажем, что deg_p(f₂(p, λ) + ξ₀(p, λ)λ) ≤ s - 1. Если допустить противоположное неравен-

ство, то

deg_p(f₂(p, λ) + ξ₀(p, λ)λ)d₀(p) ≥ n + r + s - 1.

(25)

Так как deg_p(ξ₁(p, λ)λ) ≤ n + r - 2, то deg_p K(p, λ) ≥ n + r + s - 1 в силу (24), (25), что

противоречит равенству (19), согласно которому deg_p K(p, λ) ≤ n + r + s - 2. Лемма доказана.

Покажем, что если N ≥ 2n + r - 1 и выполнены неравенства (23), то система (18) может

быть записана в нормальной форме. Для упрощения будем оперировать элементами характе-

ристической матрицы (18).

Шаг 1. Если r ≥ 2, то введя вспомогательные переменные

xn+1(t) = x₁(t),

x₁(t) = x₂(t), ... ,

xr-2(t) = xr-1(t),

из системы (18) получим систему с характеристической матрицей, в которой после n-й строки

и n-го столбца добавятся r - 1 строк и столбцов. Поскольку эта процедура общеизвестна,

то запишем только фрагмент полученной матрицы, начиная с элемента, расположенного в

позиции (n, n + 1):

⎡

⎤

-an-1,n(Λ)

⎢

-1

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥.

(26)

⎢

-1

⎥

⎣

⎦

ϕr(λ)

ϕr-1(λ) . . .

ϕ₂(λ) p -

ϕ₁(λ)

-f₁(p,λ)

∑_s

p^s -

f_i(λ)p^s-i

i=1

Если m₁ = r₁ - (r - 1) ≥ 0, то, выполняя элементарные преобразования над столбцами

этой матрицы (см. [16, п. 3.4]), её последний столбец приведём к виду

[

]_′

∑

f₁(p,λ),... ,

fr-1(λ),

f_r(λ),p^s -

f_i(λ)ps-i

i=1

Здесь

f₁(p,λ) - некоторый полином со старшим членом

f₁(λ)pr1-(r-1) относительно p;

f_i(λ),

i = 1,r - 1, - некоторые полиномы.

Так как N ≥ 2n + r - 1, то s = N - n - r ≥ n - 1. Если s ≥ 2, то в полученной харак-

теристической матрице после (n + r)-й строки и (n + r)-го столбца аналогично (26) добавим

s - 1 строку и s - 1 столбец, что опять-таки равносильно введению s - 1 вспомогательных

переменных.

Шаг 2. Согласно (23) получаем, что m₁ ≤ n - 1, а так как n - 1 ≤ s, то m₁ ≤ s. Если

m₁ > 0, то, используя строки с номерами с n + r по n + r + s - 1, посредством элементар-

ных преобразований элементы n-й строки [0, . . . , p, -1, 0, . . . , 0,

f₁(p,λ),0,... ,0], начиная с

(n + r)-го, последовательно заменим полиномами, зависящими только от λ. В результате по-

лучим регулятор финитной стабилизации в виде

u(t) = ψ₁(Λ)f(λ)x₁(t) + . . . + ψn-1(Λ)f(λ)xn-1(t) + xn+1(t) + . . .

f₁(λ)x_N-s(t) +

...

f_s(λ)xN-1(t) + f(λ)q₂(λ)a₁(λ)x_N (t),

xn+1(t) = xn+2(t)

f₂(λ)x_N-s(t), ... ,

xN-s-2(t) = xN-s-1(t)

fr-1(λ)x_N-s(t),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

114

МЕТЕЛЬСКИЙ, КАРПУК

xN-s-1(t) = ϕ₁(Λ)x₁(t) + ... + ϕn-1(Λ)xn-1(t) +

ϕr(Λ)xn(t) +

...+

ϕ₁(Λ)xN-s-1(t)

f_r(λ)x_N-s(t) + ... + q₁(λ)a₁(λ)x_N (t),

x_N-s(t) = xN-s+1(t), ... ,

xN-2(t) = xN-1(t),

xN-1(t) = ψ₁(Λ)x₁(t) + ... + ψn-1(Λ)xn-1(t) + ...

f_s(λ)x_N-s(t) + ...

...

f₁(λ)xN-1(t) + q₂(λ)a₁(λ)x_N (t),

x_N(t) = x_N-s(t) + a₂(λ)x_N (t), t > 0.

(27)

Здесь

f_i(λ), i = 1,s, - некоторые полиномы; f(λ)

f₀(λ) - коэффициент полинома f₁(p,λ)

при pr1 , если m₁ = s, и f(λ) = 0, если m₁ < s.

Если r = 1, то преобразования шага 1 отменяются и после шага 2 первое уравнение регу-

лятора (27) будет таким:

u(t) = (ϕ₁(Λ) + ψ₁(Λ)f(λ))x₁(t) + . . . + (ϕn-1(Λ) + ψn-1(Λ)f(λ))xn-1(t) +

ϕ₁(Λ)x_n(t) +

...

f₁(λ)x_N-s(t) + ...

f_s(λ)xN-1(t) + (q₁(λ) + f(λ)q₂(λ))a₁(λ)x_N (t).

Здесь, как и в (27),

f_i(λ), i = 1, s, - некоторые полиномы; f(λ) =

f₀(λ) - коэффициент

полинома f₁(p, λ) при pr1 , если m₁ = s, и f(λ) = 0, если m₁ < s.

Напомним, что^λ(p) = λ(e-ph1 , . . . , e-phμ ), полином λ = λ(λ₁, . . . , λ_μ) задан выше равен-

ством (13).

Теорема 2. Пусть выполнено условие спектральной управляемости (4). Для финитной

стабилизации системы (1) регулятором (27) достаточно:

a) обеспечить замкнутой системе (1), (27) конечный спектр с некоторым характерис-

тическим полиномом d(p) степени N ≥ 2n + r - 1;

b) выбрать полиномы a₁(λ) и a₂(λ) такими, чтобы функции

a₁(^λ(p))/d(p) и (a₂(^λ(p)) - p)/d(p)

были целыми.

Доказательство. Так как характеристическая матрица замкнутой системы (1), (27) (обо-

значим её

A(p,λ(p))) получена из матрицы (18) элементарными преобразованиями строк и

столбцов, то её определитель также равен d(p). Замкнутая система (1), (27) - линейная ав-

тономная система запаздывающего типа, поэтому к ней применимо преобразование Лапласа.

Согласно теореме Винера-Пэли для выполнения тождеств (3) достаточно [11], чтобы элементы

первых n строк матрицы

A(p,λ(p)))-1 были целыми функциями экспоненциального типа,

т.е., другими словами, достаточно, чтобы дополнительные миноры к элементам первых n

столбцов характеристической матрицы

A(p,λ(p)) были целыми функциями. Для того что-

бы убедиться в справедливости последнего свойства достаточно разложить указанные мино-

ры по последнему столбцу матрицы

A(p,λ(p)) и воспользоваться условием b) доказываемой

теоремы. Таким образом, регулятор (27) обеспечивает финитную стабилизацию системы (1).

Теорема доказана.

4. Вычисление коэффициентов регулятора (17). Построение регулятора (27) равно-

сильно построению регулятора (17), поскольку регулятор (27) получен элементарными преоб-

разованиями характеристической матрицы (18). Приведём схему вычисления коэффициентов

регулятора (17), гарантирующих выполнение условий теорем 1 и 2.

Далее считаем, что выполняются следующие предположения: i) система (1) спектрально

управляема; ii) система (1) спектрально приводима, т.е. при некотором полиноме d₀(p) и при

некоторых полиномах ϕ_i(Λ), i = 1, n - 1, и

ϕi(Λ), i = 1, r, имеет место равенство (8);

iii) существует векторный полином Ψ^′(Λ) = (ψ₁(Λ), . . . , ψ_n(Λ)) такой, что полином λ = λ(Λ)

(см. (13)) удовлетворяет условиям (14)-(16).

1) Полином λ = λ(Λ) находится с помощью вычисления базиса Грёбнера для системы по-

линомов (6) (см. лемму 2) с возможной заменой набора переменных Λ = (λ₁, . . . , λ_μ) набором

Λ = (λ₀,λ₁,...,λ_μ) и полинома λ = λ(Λ) полиномом

^λ(Λ) = χ(λ₀)λ(Λ) согласно лемме 3.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ФИНИТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

115

Чтобы не усложнять обозначения, далее считаем, что Λ = (λ₁, . . . , λ_μ) и что полином λ =

= λ(Λ) удовлетворяет условиям (14)-(16). Полиномы ψ_i(Λ), i = 1, n - 1, можно найти (см.

(13)) методом неопределённых коэффициентов.

2) Полином d₀(p) = d₁(p

d₀(p) (см. п. 1), где

d₀(p) также находится с помощью вычисления

базиса Грёбнера для системы полиномов (6). Полином d₁(p), если deg d₁(p) ≥ 1, выбираем

таким, чтобы^λ(p) = 0 на его корнях p. Таким образом, неравенства (14)-(16) считаем вы-

полненными для всех p ∈ P₀. Полиномы ϕ_i(Λ), i = 1, n;

ϕj (Λ), j = 0, r - 1, связанные

с полиномом d₀(p) равенством (8), можно найти или как указано в [13, следствие 1], или

методом неопределённых коэффициентов. Шаги 1 и 2 подробно описаны в п. 2.

Согласно 2) система уравнений

^λ(p) = 0, d₀(p) = 0

несовместна. Другими словами, полиномы λ и d₀(a₂(λ)), λ ∈ C, - взаимно просты, что су-

щественно для построения регулятора (17), а именно, - для построения векторных полиномов

q^′(λ) = (q₁(λ),q₂(λ)), f^′(p,λ) = (f₁(p,λ), f₂(p,λ)).

3) Выбор полинома d(p) и полиномов a₁(λ), a₂(λ). Согласно п. 1 получаем разложение (7)

и полином d₀(p), удовлетворяющий равенству (8). Характеристический полином d(p) замк-

нутой системы (18) возьмём в виде d(p) = d₂(p)d₀(p), где d₂(p) - полином с действительными

коэффициентами. Для приведения замкнутой системы (18) к нормальной форме понадобится

неравенство N = deg d(p) ≥ 2n + r - 1, которое всегда можно обеспечить за счёт степени

полинома d₂(p).

Замечание 4. При выборе полинома d₂(p) также учитываем следующее требование: раз-

личным корням p_i полинома d₂(p) должны соответствовать разные значения^λ(p_i).

Пусть характеристический полином d(p) замкнутой системы имеет вид

∏

d(p) = (p - p_i)ri , p_i

(28)

i=1

где

P = {p_i ∈ C : i = 1,s₁} - его различные действительные или комплексно сопряжённые

корни с алгебраическими кратностями r_i. ОбозначимΛ = {λ(p_i) : p_i

P, i = 1,s₁}.

Для обеспечения условия б) теоремы 1 необходимо и достаточно, чтобы корни полино-

ма d(p) (см. (28)) являлись нулями функций a₁(^λ(p)), a₂(^λ(p)) - p не меньшей кратности.

Поэтому возьмём [4]

∏

a₁(λ) = (λ -λ(p_i))ri ,

^λ(p_i) ∈^Λ.

(29)

i=1

Чтобы функция (a₂(^λ(p)) - p)/d(p) была целой необходимо и достаточно, чтобы для всех

p_i

P числитель дроби и его производные по переменной p обращались в нуль, т.е. чтобы



(a₂(^λ(p)) - p)(k)

= 0, i = 1, s₁, k = 0, r_i - 1.

p=p_i

Из этих равенств находим значения для a(k)2(^λ(p_i)), i = 1, s₁, k = 0, r_i - 1:

a₂(^λ(p_i)) = p_i, a⁽¹⁾²(^λ(p_i)) = 1/λ(1)(p_i), a⁽²⁾²(^λ(p_i)) = -λ(2)(p_i)/(λ(1)(p_i))³, ... ,

p_i

P, i = 1,s₁.

(30)

Система значений (30) полинома a₂(λi),

λ_i =^λ(p_i), p_i

P, корректна, поскольку, соглас-

но лемме 3, полином^λ(p) = λ(e-ph1 , . . . , e-phμ ) имеет разные значения для различных корней

p_i полинома d₀(p) иλ(1)(p_i) = 0, i = 1,s₁.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

8^∗

116

МЕТЕЛЬСКИЙ, КАРПУК

Напомним, что G(p, λ) = (λ, d₀(p))^′. Потребуем, чтобы одновременно с равенствами (30)

выполнялось соотношение G(a₂(λ), λ) = 0, т.е. соотношение

|λ| + |d₀(a₂(λ))| = 0, λ ∈ C,

(31)

которое очевидно равносильно тому, что a₂(0) ∈ P₀. Это соотношение понадобится при по-

строении векторного полинома q^′(λ).

Если для интерполяционного полинома a₂(λ), построенного согласно (30), при λ = 0

неравенство (31) не выполняется, то к интерполяционным условиям (30) добавим равенство

a₂(0) = p₀ (p₀ ∈ R такое, что p₀ ∈ P₀).

(32)

Напомним, что P₀ - множество различных корней полинома d₀(p). Полином a₂(λ) найдём как

решение известной в теории полиномов интерполяционной задачи (30), (32), т.е. как полином

Лагранжа-Сильвестра [17, с. 104].

4) Вычисление полинома q^′(λ) = (q₁(λ), q₂(λ)). Чтобы функция k(p, λ) была полиномом

должно, согласно теореме Безу, выполняться тождество

a₁(λ)q^′(λ)G(a₂(λ),λ) + d(a₂(λ)) = 0, λ ∈ C.

(33)

Укажем векторный полином q^′(λ), обеспечивающий выполнение этого тождества. Поли-

ном d₀(a₂(λ)) представим в виде d₀(a₂(λ)) = λδ(λ) + δ₀, где δ(λ) - подходящий полином,

δ₀ - число, отличное от нуля в силу условия (31). Векторный полином q^′(λ) = (-δ(λ)/δ₀,1/δ₀)

даёт тождество

q′(λ)G(a₂(λ), λ) = 1, λ ∈ C.

Согласно [16] полином d(a₂(λ)) делится на полином a₁(λ), а значит, рациональная функция

d(a₂(λ))/a₁(λ) является полиномом. Таким образом, при векторном полиноме

q^′(λ) = -q^′(λ)d(a₂(λ))/a₁(λ)

(34)

тождество (33) имеет место.

5) Нахождение векторного полинома f^′(p, λ). Полином k(p, λ) запишем следующим об-

разом:

k(p, λ) = ((d(p) - d(p)q^′(λ)G(p, λ)) + (d(p)q^′(λ)G(p, λ) + a₁(λ)q^′(λ)G(p, λ)))/(a₂(λ) - p).

Заменяя d(p) в первой скобке на d₂(p)d₀(p) = [0, d₂(p)]G(p, λ) и во второй скобке q^′(λ) со-

гласно (34), получаем

)

⁽1 - q^′(λ)G(p,λ)

d(p) - d(a₂(λ))

k(p, λ) =

[0, d₂(p)] +

q′(λ) G(p, λ).

(35)

a₂(λ) - p

Здесь в силу теоремы Безу (1 - q^′(λ)G(p, λ))/(a₂(λ) - p) и (d(p) - d(a₂(λ)))/(a₂(λ) - p) -

полиномы.

Взяв полином

1 - q^′(λ)G(p,λ)

d(p) - d(a₂(λ))

f^′(p,λ) =

[0, d₂(p)] +

q′(λ) + [0, 1]p^s,

a₂(λ) - p

вследствие (35) приходим к равенству (20), т.е. выполнено условие б) теоремы 1.

Замечание 5. Полиномы q^′(λ) и f^′(p, λ), существование которых обосновано в шагах 4),

5), можно находить методом неопределённых коэффициентов как решение полиномиального

уравнения

(a₁(λ)q^′(λ)G(p, λ) + d(p)) - (a₂(λ) - p)(f₁(p, λ), f₂(p, λ) - p^s)G(p, λ) = 0.

(36)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ФИНИТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

117

Итак, все условия теорем 1 и 2 реализованы, следовательно, регулятор (17) построен. Ре-

гулятор (27) получается элементарными преобразованиями характеристической матрицы (18)

замкнутой системы (1), (17).

Замечание 6. Если исходная система (1), где последняя строка матриц A_i (i = 0, m) не

обязательно нулевая, имеет конечный спектр, т.е. w(p) = |W (p)| - полином, то равенство (8)

реализовано. В таком случае полагаем r = 1, d₀(p) = w(p) и регулятор финитной стабилиза-

ции строим в виде

u(t) = f₁(p, λ)xn+1(t) + q₁(λ)a₁(λ)xn+2(t),

∑

x(s)n+1(t) =

ψ_i(Λ)x_i(t) + f₂(p,λ)xn+1(t) + q₂(λ)a₁(λ)xn+2(t),

i=1

xn+2(t) = xn+1(t) + a₂(λ)xn+2(t), t > 0.

(37)

Здесь, как и раньше, a_i(λ), i = 1, 2, q^′(λ) = (q₁(λ), q₂(λ)); ψ_i(Λ), i = 1, n - 1, - некоторые

∑r1

∑s

полиномы; f₁(p, λ) =

f_i(λ)pr1-i,

f_i(λ), i = 0,r₁, f₂(p,λ) =

f_i(λ)p^s-i,

f_i(λ), i =

i=0

= 0, s, - некоторые полиномы, r₁ ≥ 0, s ≥ 1.

При N ≥ 2n замкнутая система (1), (37) приводится к нормальному виду. Для этого

при s ≥ 2 в полученной характеристической матрице после (n + 1)-й строки и (n + 1)-го

столбца аналогично (26) добавим s - 1 строку и s - 1 столбец, что равносильно введению

s - 1 вспомогательных переменных. Если r₁ > 0, то, используя строки с номерами с n + 1

по n + s, посредством элементарных преобразований замкнутую систему (1), (37) приведём к

нормальному виду.

5. Примеры. Предложенную процедуру построения регулятора финитной стабилизации

вида (27) проиллюстрируем примером.

Пример 4. Пусть объект управления описывается системой (1), (9). В примере 1, введя

новые запаздывания h₁ = ln 2, h₂ = ln 3 - ln 2, мы привели данную систему к системе с

конечным спектром:



p-λ1λ₂

-λ₁



p(p + 1), λ_i = e-phi , i = 1, 2.

λ2 + λ₁λ²² p + 1 + λ₁λ₂=

При любых запаздываниях h₁, h₂ данная система полностью управляема, так как, оче-

видно, выполняется условие (4): λ₁ = e-ph1 = 0 для всех p ∈ C. Значит, регулятор финитной

стабилизации существует.

Базис Грёбнера для системы полиномов M(p, Λ), Λ = (λ₁, λ₂), имеет вид {p, λ₁}. Полином

λ = λ(Λ) = λ₁ (см. (13)) удовлетворяет условиям (14)-(16) на множестве p ∈ P₀ = {0,-1}.

Поэтому, согласно (13), полагаем (ψ₁(λ), ψ₂(λ)) = (1, 0). Итак,

λ = λ₁, d₀(p) = p² + p.

В данном случае r = 1, поэтому порядок замкнутой системы равен N = 2n + r - 1 = 4,

s = N -(n+r) = 1. Следовательно, регулятор финитной стабилизации ищем в виде (см. (17))

u(t) = -(λ₂ + λ₁λ²²)x₁(t) - (1 + λ₁λ₂)x₂(t) + f₁(p, λ)x₃(t) + q₁(λ)a₁(λ)x₄(t),

x₃ = x₁(t) + f₂(p,λ)x₃(t) + q₂(λ)a₁(λ)x₄(t),

x₄(t) = x₃(t) + a₂(λ)x₄(t), t > t₀ ≥ 0.

(38)

Замкнутая система имеет следующую характеристическую матрицу:

⎤

^⎡p-λ₁λ₂

-λ₁

⎢λ2 + λ1λ22 p + 1 + λ1λ2

-f₁(p,λ)

-q₁(λ)a₁(λ)⎥

pE₄

A(λ) =

⎣

⎦.

(39)

−1

p - f₂(p,λ)

-q₂(λ)a₁(λ)

-1

p - a₂(λ)

Полиномы a_i(λ), q_i(λ), f_i(p, λ), i = 1, 2, получим, выполнив рекомендации п. 4 (шаги 3)-5)).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

118

МЕТЕЛЬСКИЙ, КАРПУК

Полином d(p), учитывая замечание 4, возьмём в виде d(p) = p(p + 1)(p + 2)(p + 3). Сле-

довательно,

P = {-3,-2,-1,0},

Λ= {8,4,2,1}.

Согласно (29), (30) строим полиномы

a₁(λ) = (λ - 8)(λ - 4)(λ - 2)(λ - 1), a₂(λ) = (1 - λ)(248 - 46λ + 3λ²)/168

такие, чтобы функции a₁(^λ(p))/d(p), (a₂(^λ(p)) - p)/d(p)

(^λ(p) = e-ph1) были целыми. Про-

веряем условие (31), оно выполняется: a₂(0) ∈ P₀.

Методом неопределённых коэффициентов, как решение уравнения (36), находим компонен-

ты векторных полиномов q^′(λ) = (q₁(λ), q₂(λ)) и f^′(p, λ) = (f₁(p, λ), f₂(p, λ)), существование

которых обосновано в п. 4 (там же приведены и необходимые формулы):

(17λ - 41)(248 - 46λ + 3λ²)(208 - 43λ + 3λ²)

-6862 + 159λ - 9λ

q₁(λ) =

q₂(λ) =

2370816

28224

(λ - 8)(λ - 4)(17λ - 41)(416 + 168p - 294λ + 49λ² - 3λ³)

f₁(p,λ) =

14112

f₂(p,λ) =

(-1088 + 294λ - 49λ² + 3λ³).

168

Все параметры замкнутой системы (39) указаны, т.е. регулятор финитной стабилизации

вида (38) построен. Приведём замкнутую систему (39) к нормальной форме.

Умножая третью строку характеристической матрицы на (λ - 8)(λ - 4)(17λ - 41)/84 и

прибавляя ко второй строке, получаем

{

(λ - 8)(λ - 4)(17λ - 41)

λ₂ + λ₁λ²² -

,p+1+λ₁λ₂,

}

(λ - 8)(λ - 4)(17λ - 41)(λ - 2)(λ - 1)(500 - 200λ + 17λ²)

λ=λ₁.

7056

Окончательно система (1), (9), замкнутая регулятором финитной стабилизации, имеет вид

(λ_i = e-phi , i = 1, 2, h₁ = ln 2, h₂ = ln 3 - ln 2)

pE₄

A(Λ) =

⎡

⎤

p-λ₁λ₂

-λ₁

⎢-ϕ1(Λ)-ψ1(Λ)f(λ1) p -

ϕ₁(Λ)

f₁(λ₁)

f₁(λ₁

f₀(λ₁)

-(q₁(λ₁)

f₀(λ₁)q₂(λ₁))a₁(λ₁)⎥

=⎣

⎦.

−1

p - f₂(p,λ₁)

-q₂(λ₁)a₁(λ₁)

-1

p - a₂(λ₁)

(40)

В подробной записи вторая строка приведена выше.

Так как функции a₁(e-ph1 )/d(p) и (a₂(e-ph1 ) - p)/d(p) - целые, то первые три строки об-

ратной матрицы (pE₄

A(e-ph1 , e-ph2 ))-1 образованы целыми функциями экспоненциального

типа. Запишем старшие степени переменной e^-p в первых трёх строках матрицы, присоеди-

нённой к характеристической матрице pE₄

A(e-ph1 , e-ph2 ) замкнутой системы (40):

(11 ln 2, 10 ln 2 + ln 3, 10 ln 2), h₁ = ln 2, h₂ = ln 3.

Отсюда заключаем, что первые две строки обратной матрицы (pE₄

A(e-ph1 , e-ph2 ))-1 обра-

зованы целыми функциями экспоненциального типа, который не выше 10 ln 2 + ln 3. Согласно

теореме Винера-Пэли в замкнутой системе (39) переменные x_i(t), i = 1, 2, обратятся в нуль,

по крайней мере, начиная с момента t₀ + 10 ln 2+ ln 3 (u(t) = 0, t ≤ t₀, t₀ ≥ 0 - момент вклю-

чения регулятора), независимо от начальных кусочно-непрерывных функций системы (1), (9)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

ФИНИТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

119

и построенного регулятора. Переменная x₃(t) также обратится в нуль, начиная с момента

t₀ + 10ln 2.

Таким образом, построенный регулятор обеспечивает конечный спектр (с характеристичес-

ким полиномом d(p) = p(p + 1)(p + 2)(p + 3)) и точечную вырожденность замкнутой системы

(40) в направлениях, выделяющих переменные x_i(t), i = 1, 2, и тем самым - финитную ста-

билизацию (см. тождества (3), где t₁ = t₀ + 10 ln 2 + ln 3) системы (1), (9).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М., 1968.

2. Марченко В.М. К теории управляемости и наблюдаемости линейных систем с запаздывающим ар-

гументом // Проблемы оптимального управления. Минск, 1981. C. 124-147.

3. Фомичев В.В. Достаточные условия стабилизации линейных динамических систем // Дифференц.

уравнения. 2015. Т. 51. № 11. С. 1516-1521.

4. Карпук В.В., Метельский А.В. Полное успокоение и стабилизация линейных автономных систем с

запаздыванием // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. № 6. C. 19-28.

5. Метельский А.В. Полное успокоение линейной автономной дифференциально-разностной системы

регулятором того же типа // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. №9. С. 1240-1255.

6. Метельский А.В., Хартовский В.Е., Урбан О.И. Регуляторы успокоения решения линейных систем

нейтрального типа // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 3. С. 391-403.

7. Метельский А.В., Хартовский В.Е. Синтез регуляторов успокоения решения вполне регулярных

дифференциально-алгебраических систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53.

№ 4. C. 547-558.

8. Булатов В.И. Спектральная приводимость систем с запаздываниями // Вестн. Бел. гос. ун-та.

Сер. 1. 1979. № 3. С. 78-80.

9. Pekar L., Gao Q. Spectrum analysis of LTI continuous-time systems with constant delays: a literature

overview of some recent results // IEEE Access. 2018. № 6. P. 35457-35491.

10. Zaitsev V., Kim I. Arbitrary coefficient assignment by static output feedback for linear differential

equations with non-commensurate lumped and distributed delays // Mathematics. 2021. № 9. P. 2158.

11. Kappel F. On degeneracy of functional-differential equations // J. Differ. Equat. 1976. V. 22. № 2. P. 250-

267.

12. Метельский А.В. Проблема точечной полноты в теории управления дифференциально-разностны-

ми системами // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49. Вып. 2 (296). С. 103-141.

13. Метельский А.В. Построение наблюдателей для дифференциальной системы запаздывающего типа

с одномерным выходом // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 3. С. 396-408.

14. Метельский А.В. Алгебраический подход к стабилизации дифференциальной системы запаздыва-

ющего типа // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 8. C. 1119-1131.

15. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М., 1970.

16. Метельский А.В. Полная и финитная стабилизация дифференциальной системы с запаздыванием

обратной связью по неполному выходу // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 12. C. 1665-1682.

17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1988.

Белорусский национальный технический университет,

Поступила в редакцию 26.10.2021 г.

г. Минск

После доработки 26.10.2021 г.

Принята к публикации 21.12.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022