ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.120-138

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

УДК 519.633

КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

Для многомерного уравнения Клейна-Гордона как с постоянными, так и с переменными ко-

эффициентами рассматриваются и изучаются на стандартных шаблонах устойчивые ком-

пактные разностные схемы 4+2 и 4+4 порядков аппроксимации. Полученные результаты

обобщаются на начально-краевые задачи для квазилинейных уравнений гиперболического

типа второго порядка. Доказывается, что компактные разностные схемы повышенного по-

рядка аппроксимации приводятся к трёхслойным схемам с постоянными или переменными

весами, что позволяет привлечь для их анализа разработанную ранее теорию устойчивости

операторно-разностных схем с операторами, действующими в конечномерных евклидовых

пространствах. Получены априорные оценки устойчивости и сходимости разностного реше-

ния в сеточных аналогах пространств Соболева. Приводятся результаты вычислительных

экспериментов.

DOI: 10.31857/S0374064122010125

Введение. Под компактными разностными схемами мы понимаем разностные схемы по-

вышенных порядков аппроксимации и/или точности, записывающиеся на стандартных для

данного уравнения шаблонах. Основополагающей работой в этом направлении для параболи-

ческих уравнений с переменными коэффициентами является работа А.А. Самарского [1], в

которой построены и изучены схемы с 4 + 2 порядком аппроксимации, т.е. схемы с погреш-

ностью аппроксимации Ψ = O(|h|⁴ + τ²), где |h|² = h²¹ + h²² + . . . + h2p, а p - размерность

задачи.

Экономичные компактные разностные схемы 4 + 2 и 4 + 4 порядков аппроксимации до-

статочно полно исследованы в работах В.Н. Валиулина и В.И. Паасонена [2, 3] ещё 50 лет

назад. При этом только в этих работах правильно решена проблема аппроксимации с соот-

ветствующим порядком второго начального условия. Например, в работе [4], чтобы избежать

возникающих осложнений, предполагалась однородность второго начального условия.

В настоящее время резко возрос интерес к построению компактных разностных схем для

гиперболических уравнений второго порядка. Так, в работах [5, 6] получены первые результа-

ты для квазилинейных уравнений, а в [7-10] построены компактные схемы для многомерного

волнового уравнения с несамосопряжённым эллиптическим оператором как на равномерных,

так и на неравномерных сетках. Отметим также работы [11-13], посвящённые построению точ-

ных разностных схем. Компактные разностные схемы на неравномерных сетках со странными

условиями устойчивости рассматривались в работах [14-16] более 20 лет назад.

Настоящая работа посвящена построению и исследованию компактных разностных схем

4 + 2 и 4 + 4 порядков точности для многомерного уравнения Клейна-Гордона. Работа орга-

низована следующим образом.

В п. 1 приводятся необходимые сведения из теории устойчивости трёхслойных операторно-

разностных схем. Вводится важное понятие аддитивной трёхслойной схемы с весами, которое

затем будет использовано при приведении к канонической форме компактных разностных

схем. Даются достаточные условия её устойчивости.

В п. 2 показывается, что компактные разностные схемы многих типов могут быть запи-

саны в виде обычных схем с постоянными и/или переменными весами, что позволяет ис-

пользовать для их анализа разработанную ранее теорию устойчивости операторно-разностных

схем [14, 17].

В пп. 3, 4 исследуются компактные разностные схемы 4 + 2 и 4 + 4 порядков аппрокси-

мации. Получены априорные оценки устойчивости и точности рассматриваемых разностных

120

КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

121

схем. Отмечается, что при повышении аппроксимации до 4-го порядка по всем переменным

устойчивость может быть доказана лишь при соотношениях типа Куранта на шаги сетки.

В пп. 5, 6 полученные результаты обобщаются на квазилинейные уравнения и приводятся

результаты тестовых расчётов, подтверждающих повышенный порядок точности разностных

схем на стандартных шаблонах.

1. Достаточные условия устойчивости трёхслойных операторно-разностных

схем. При исследовании устойчивости компактных разностных схем, аппроксимирующих мно-

гомерное уравнение Клейна-Гордона, естественно воспользоваться общей теорией Самарского

[17, гл. VI, § 3] операторно-разностных схем.

Пусть заданы вещественное конечномерное евклидово пространство H = H_h, скалярное

произведение и норму в котором обозначим через (·, ·) и ∥ · ∥ соответственно, а также сетка

по времени

ω_τ = {t_n = nτ, n = 0,N₀, τN₀ = T} = ω_τ

^⋃T.

(1)

Пусть, кроме того, в пространстве H задан самосопряжённый положительно определённый

оператор A = A_h. Через H_A обозначим евклидово пространство, состоящее из элементов

пространства H и снабжённое скалярным произведением (y, v)_A = (Ay, v) и нормой ∥y∥_A =

√

(y, y)_A. Далее используем следующие безындексные обозначения теории разностных схем

[17, гл. VI, § 3]:

y = yⁿ = y(t_n),

ŷ = yn+1 = y(tn+1),

y = yn-1 = y(tn-1), y(t_n) ∈ H,

ŷ-y

y-y

ŷ-y

y_t + y_t

ŷ- 2y + y

y_t - y_t

y_t =

y_tt =

y^◦t⁼

2τ

τ²

Будем рассматривать трёхслойные операторно-разностные схемы вида

Dy_tt + By◦

+ Ay = ϕ,

0<t∈ω_τ,

(2)

y(0) = y₀, y_t(0) = y₀,

(3)

с постоянными операторами A, B, D : H → H, где ϕ = ϕⁿ = ϕ(t_n) ∈ H - задано, y(t_n) -

искомая функция. Имеют место следующие результаты.

Лемма 1 [17, с. 358]. Пусть постоянные операторы в уравнении (2) удовлетворяют усло-

виям A^∗ = A > 0, D = D^∗ > 0, B ≥ 0 и

D≥

(4)

Тогда трёхслойная разностная схема (2), (3) устойчива по начальным данным и при любом

t_n ∈ ω_τ справедливо энергетическое неравенство

E(t_n) ≤ E(0), t_n ∈ ω_τ ,

где

E(t_n) = E_hτ (t_n) = (∥y_t(t_n)∥2D-(τ2/4)A+∥y(0.5)∥^A)1/2,y(0.5) =0.5(yn+1 +yn)^.

Лемма 2 [14, с. 261]. Если выполнены условия

(1 + ε)τ

A^∗ = A > 0, D^∗ = D ≥

A, B ≥ 0, ε > 0,

(5)

то для решения разностной схемы (2), (3) имеет место априорная оценка

√

1+ε

∥yn+1∥_A ≤

(∥y(0)∥_A + ∥y_t(0)∥_D + max

(∥ϕ^k∥_A-1 + ∥ϕ^kt∥_A-1 )).

(6)

0≤k≤n

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

122

МАТУС, ХОАНГ

Лемма 3 [14, с. 138]. Пусть справедливо неравенство D ≥ δ₀E, δ₀ > 0, и выполнены

условия (5). Тогда для решения разностной схемы (2), (3) имеет место априорная оценка

√

(

)

∑

1+ε

∥yn+1∥_A ≤

∥y(0)∥_A + ∥y_t(0)∥_D +

τ ∥ϕ^k∥

δ0

k=1

В классе трёхслойных операторно-разностных схем (2), (3) выделим важный для прило-

жений класс схем с весами

y_tt + Ay(σ,σ) = ϕ, y(0) = y₀, y_t(0) = y₀, σ = const ≥ 0,

(7)

здесь и далее принято обозначение

y(σ,σ) = σŷ + (1 - 2σ)y + σy.

Применяя лемму 1, получаем достаточное условие устойчивости по начальным данным

σ≥

τ²∥A∥

В работе будем рассматривать новый класс схем с весами, который вводит следующее

Определение. Если в схеме с весами (7) оператор A представим в виде

∑

A= A_α,

α=1

то такую операторно-разностную схему, т.е. схему

∑

y_tt +

A_αy(σα,σα) = ϕ, y(0) = y₀, y_t(0) = y₀,

(8)

α=1

назовём аддитивной схемой с весами.

Теорема 1. Пусть постоянные операторы A_α являются положительными и самосопря-

жёнными, т.е. A_α = A^∗α > 0, α = 1, p. Тогда при выполнении условий

1+ε

σ_α ≥

α = 1,p,

(9)

τ²∥A∥

для решения разностной схемы (8) справедлива априорная оценка (6).

Доказательство. Записывая разностную схему (8) в каноническом виде (2), находим, что

для неё

∑

D=I+τ²

σ_αA_α, B = 0.

α=1

В частности, D = D^∗. Так как для положительного самосопряжённого и ограниченного опе-

ратора имеет место соотношение

∑

I ≥

A_α,

∥A∥

α=1

то второе неравенство в (5)

(

)

[

(

)]

∑

(1 + ε)τ

1+ε

D-

A=I+τ²

σ_α -

A_α ≥

+τ2 σα -

A_α ≥ 0

∥A∥

α=1

выполнено в силу предположения (9). Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

123

2. Компактные схемы с весами для одномерного волнового уравнения. В пря-

моугольнике Q_T = {(x, t) : 0 ≤ x ≤ l,

0 ≤ t ≤ T} для однородного одномерного волнового

уравнения

∂²u

0<x<l,

0<t≤T,

(10)

∂t²

∂x²

рассмотрим начально-краевую задачу с однородными краевыми условиями

∂u

u(x, 0) = u₀(x),

0≤x≤l,

(x, 0) = ν₀(x),

0<x<l,

(11)

∂t

u(0, t) = u(l, t) = 0,

0<t≤T.

(12)

На равномерной сетке узлов ω = ω_h × ω_τ = {(x_i, t_n) ∈ Q_T }, где

ω_h = {x_i = ih, i = 0,N, h = l/N} = ω_h

^⋃γ_h,

а сетка ω_τ определена соотношением (1), дифференциальную задачу заменим разностной:

y_tt + Ay(σ1,σ2) = 0, (x,t) ∈ ω_h × ω_τ ,

(13)

y(x, 0) = u₀(x), x ∈ ω_h, y_t(x, 0) = u₁(x), x ∈ ω_h,

(14)

y(0, t) = y(l, t) = 0, t ∈ ω_τ ,

(15)

здесь и далее принято обозначение

y(σ1,σ2) = σ₁ŷ + (1 - σ₁ - σ₂)y + σ₂y.

В равенстве (13) сеточный оператор A определяется в соответствии с формулами

(Ay)_i = -y_xx,i, i = 1, N - 1, y₀ = y_N = 0.

Свойства оператора A хорошо изучены [11]. В частности, он постоянный, положительный и

самосопряжённый, A = A^∗ > 0, и

πh

∥A∥ =

cos²

h²

Говоря об аппроксимации начально-краевой задачи, необходимо помнить об аппроксимации

с соответствующим порядком второго начального условия в (11). Определим основные классы

используемых в вычислительной практике разностных схем и укажем некоторые их свойства.

2.1. Схема 2 + 2. Наиболее часто используется схема второго порядка точности по обеим

переменным

σ₁ = σ₂ = σ, σ ≥

u₁(x) = ν₀(x) +

u′′0(x), Ψ = O(h² + τ²),

(16)

4τ²

которая является абсолютно устойчивой при любом σ ≥ 1/4. Приведённая схема легко обоб-

щается на многомерные уравнения с переменными коэффициентами.

2.2. Схема 4 + 2. При заданных параметрах (16) необходимо положить

h²

σ=σ-

σ≥

Ψ = O(h⁴ + τ²).

12τ²

6τ²

Эта разностная схема также абсолютно устойчива при произвольном σ ≥ 1/4.

2.3. Схема 4 + 4. Для её задания необходимо положить

(

)

h²

τ²

τ³

σ=

u₁(x) = ν₀(x) +

u′′0(x) +

ν′′0(x) +

u⁽⁴⁾⁰(x), Ψ = O(h⁴ + τ⁴).

τ²

Как правило, при повышении порядка аппроксимации редко удаётся сохранить свойство

безусловной устойчивости. Для выполнения достаточного условия (4) устойчивости по началь-

ным данным необходимо потребовать выполнения критерия Куранта τ ≤ h.

Схемы четвёртого порядка, по-видимому, впервые рассматривались в работах [2-4].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

124

МАТУС, ХОАНГ

2.4. Точная разностная схема. Описание этой схемы для неоднородного волнового урав-

нения с неоднородными краевыми условиями второго и третьего рода можно найти в моно-

графии [12, с. 67]. Схема с весами (13)-(15) является точной (Ψ = 0) и устойчивой, если

∫

σ = 0, τ = h, u₁(x) =

ν₀(ξ)dξ +

u0xx, x ∈ ω_h.

x-h

К сожалению, она не обобщается на многомерные задачи. В [12, с. 80; 13] приводится её обоб-

щение на случай квазилинейного волнового уравнения.

Отметим ещё несколько интересных примеров компактных разностных схем, относящихся

уже к классу схем с переменными весовыми множителями [14].

2.5. Трёхточечная схема 2 + 2 на произвольной неравномерной сетке по прост-

ранству. Пусть задана произвольная неравномерная сетка по пространству

ω_h = {x_i = xi-1 + h_i, i = 1,N, x₀ = 0, x_N = l} = ω_h

^⋃ {x₀ = 0, x_N = l}.

Сеточный оператор A в этом случае определяется следующим образом:

)

⁽yi+1 -y_i

y_i - yi-1

(Ay)_i = -y_xx,i =

i = 1,N - 1, y₀ = y_N = 0,

ℏ_i

hi+1

h_i

где ℏ_i = 0.5(h_i + hi+1). Оператор A является [18, с. 39] положительным и самосопряжённым,

A = A^∗ > 0, и

∥A∥ < 4h-2, h = min

h_i.

1≤i≤N

Хорошо известно, что при переходе от равномерной сетки к неравномерной порядок локаль-

ной аппроксимации обычно понижается. Тем не менее существует такая нерасчётная точка

x_i = x_i +(hi+1 -h_i)/3, относительной которой сохраняется второй порядок локальной аппрок-

симации второй производной.

Соответствующая разностная схема имеет вид

y_tt = (y(σ1,σ1)_x)_x,

h2i

σ₁ = σ1i = σ -

σ≥

i = 1,N - 1,

6τ²

u₁(x) = ν₀(x) +

u′′0(x), x ∈ ω_h, Ψ(x_i,t_n) = O(ℏ2i + τ²).

Так как вес σ обычно выбирается в пределах от 0 до 1, то при σ = 1 мы получаем странное

условие устойчивости схемы по начальным данным

√

2h_i

τ ≥

полученное в работе [14] более 20 лет назад.

2.6. Трёхслойная и трёхточечная схема 2 + 2 на произвольной неравномерной

сетке по времени. На сетке

ω = ωh × ωτ, ωh = {xi = ih, i = 0,N, h = l/N} =

ωτ = {tn = tn-1 + τn, t0 = 0, tN0 = T } = ωτ

= ω_h

^⋃γ_h,

^⋃ {T } для численного решения

задачи (10)-(12) будем использовать следующую трёхслойную разностную схему с перемен-

ными по времени весами:

ytˆt = y(σ1,σ2)_xx, (x,t) ∈ ω_h × ω_τ,

с начальными и граничными условиями (14), (15), где

ŷ-y

y_t - y_t

τ₊ + τ

y_t =

ytˆt =

τ^∗ =

τ₊

τ^∗

τ₁

τ = τ_n, τ₊ = τn+1, u₁(x) = ν₀(x) +

u′′0(x), x ∈ ω_h.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

125

В работах [15, 16] приводятся условия

τn+1 - τ_n

σ₁τn+1 - σ₂τ_n =

для второго порядка Ψ = O(h² + τ∗2) локальной аппроксимации этой схемы.

Достаточные условия устойчивости по начальным данным σ₁ ≥ σ₂, σ₁+σ₂ = 0.5 и условия

второго порядка локальной аппроксимации будут выполнены, если положить

2τn+1 + τ_n

τn+1 + 2τ_n

σ₁ =

σ₂ =

τn+1 ≥ τ_n.

6(τn+1 + τ_n)

В работе [16] строится и исследуется компактная консервативная трёхслойная схема вто-

рого порядка Ψ = O(ℏ2i + τ∗2) локальной аппроксимации на произвольных неравномерных

сетках по пространству и времени.

2.7. Компактная схема 4 + 2 для волнового уравнения с переменными коэф-

фициентами. В прямоугольнике Q_T рассмотрим начально-краевую задачу для волнового

уравнения с переменными коэффициентами

(

)

∂²u

∂

∂u

k(x, t)

0 < k₁ ≤ k(x,t) ≤ k₂.

(17)

∂t²

∂x

Для аппроксимации дифференциального уравнения (17) будем использовать схему с весами

(8), в которой

Ay = -(a(x, t_n)y_x)_x, a = 6[p(x - h, t) + 4p(x - h/2, t) + p(x, t)]-1,

p(x, t) =

σ=

k(x, t)

12τ²

Данная схема с переменными весами имеет 4+2 порядок аппроксимации, т.е. Ψ = O(h⁴ +τ²),

√

и устойчива при τ ≥ max{1,

2/(3k₁)h} [6, 19].

3. Разностные схемы для многомерного уравнения Клейна-Гордона с постоян-

ными коэффициентами. Пусть G = {x = (x₁,... ,x_p),

0 ≤ x_α ≤ l_α, α = 1,p} является

p-мерным прямоугольным параллелепипедом, Γ - его граница, так что G = G

^⋃ Γ. В цилин-

дре Q_T = G × [0 ≤ t ≤ T ] для многомерного уравнения Клейна-Гордона

∑

∂²u

= L_αu - mu + f(x,t), m > 0, (x,t) ∈ Q_T = G × [0 < t ≤ T],

(18)

∂t²

α=1

рассмотрим начально-краевую задачу

∂u

u(x, 0) = u₀(x), x ∈ G,

(x, 0) = ν₀(x), x ∈ G,

(19)

∂t

u(x, t) = μ(x, t), x ∈ Γ,

0<t≤T,

(20)

где L_αu = ∂²u/∂x2α, α = 1, p.

Здесь и далее относительно решения дифференциальной задачи будем предполагать, что

оно существует, единственно и обладает всеми непрерывными в Q_T производными, необходи-

мыми для справедливости проводимых рассуждений.

В параллелепипеде G построим разностную сетку ω_h = {x_i = (i₁h₁, . . . , i_ph_p), i_α = 0, N_α,

h_α = l_α/N_α, α = 1,p} = ω_h

^⋃γ_h и равномерную сетку ω_τ, определённую соотношением (1).

Сетка ω_h равномерна по каждой из пространственных переменных. Здесь γ_h = {x_i ∈ Γ} -

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

126

МАТУС, ХОАНГ

множество узлов сетки ω_h, которые принадлежат границе Γ. На построенной сетке узлов

ω = ω_h × ω_τ напишем для исходной задачи (18)-(20) следующую разностную схему:

∑

h²

∑

h2α

y_tt =

Λ_αy(σα,σα) +

Λ_αΛ_βy(σα,σα) - my(σp+1,σp+1) - m

Λ_αy(σp+1,σp+1) + ϕ,

α=1

α,β=1

α=1

α=β

(x, t) ∈ ω_h × ω_τ ,

(21)

y(x, 0) = u₀(x), x ∈ ω_h, y_t(x, 0) = u₁(x), x ∈ ω_h,

(22)

y(x, t) = μ(x, t), x ∈ γ_h, t ∈ ω_τ ,

(23)

где

h2α

α = 1,p, ϕ = f^∗,

Λ_αy = yxαxα, σα = σ -

12τ²

]

[^p∑

u₁(x) = ν₀(x) +

L_αu(x,0) - mu(x,0) + f(x,0) , x ∈ ω_h;

α=1

здесь и в дальнейшем для функции v через v^∗ обозначаем функцию, определяемую равен-

ством

∑

h2α

v^∗ := v +

Λ_αv.

α=1

3.1. Погрешность аппроксимации. Покажем, что разностная схема (21)-(23) аппрок-

симирует исходную задачу (18)-(20) с четвёртым порядком относительно пространственной

переменной и со вторым относительно временной. Так как

)

∑

h2α

⁽∂²u

Λ_αu = L_αu +

L_α

+ mu - f -

L_βu

+ O(|h|⁴),

∂t²

α=1

α=β=1

то разностное уравнение (21) доставляет невязку

∑

h²

∑

h2α

Ψ = -u_tt + Λ_αu(σα,σα) +

Λ_αΛ_βu(σα,σα) - mu(σp+1,σp+1) - m

Λ_αu(σp+1,σp+1) + ϕ,

α=1

α,β=1

α=1

α=β

которую запишем в виде

∑

h2β

h²

Ψ=-

L_αL_βu +

L_αL_βu + O(|h|⁴ + τ²).

α,β=1

α=β

Очевидны равенства (см. [1, с. 817])

∑

h2α + h²

∑

h2α + h2β

L_αL_βu =

L_αL_βu.

α,β=1

α=β

α<β

α>β

Отсюда получаем, что

∑

h²

h2β

L_αL_βu =

L_αL_βu +

L_αL_βu,

α,β=1

α=β

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

127

и, следовательно,

∥Ψ∥ ≤ M₁(|h|⁴ + τ²), M₁ = const > 0.

(24)

◦

Для погрешности аппроксимации

Ψ = u₁-u0t второго начального условия (22) имеет место

оценка

◦

∥Ψ∥ ≤ M2τ2, M2 = const > 0.

(25)

3.2. Устойчивость. Для упрощения дальнейших исследований ограничимся рассмотрени-

ем двумерного случая p = 2. При получении априорных оценок устойчивости по начальным

данным и правой части предполагают, как правило, однородность краевых условий [14, с. 237;

17, с. 310]. Однако, как мы подчёркивали в наших работах [5, 6], в этом нет необходимости.

Действительно, возмущая в разностной схеме начальные условия и правую часть и вычитая

из возмущённой задачи соответствующие уравнения (21)-(23), получаем для возмущения y =

= y- y задачу уже с однородными граничными условиями:

∑

h²

∑

h2α

y_tt =

Λ_αy(σα,σα) +

Λ_αΛ_βy(σα,σα) - my(σ3,σ3) - m

Λ_αy(σ3,σ3) + ϕ,

α=1

α,β=1

α=1

α=β

(x, t) ∈ ω_h × ω_τ ,

(26)

y(x, 0) = u₀(x), x ∈ ω_h, y_t(x, 0) = u₁(x), x ∈ ω_h,

(27)

y(x, t) = 0, x ∈ γ_h, t ∈ ω_τ .

(28)

Покажем, что разностная схема (26)-(28) может быть записана как аддитивная схема с

весами. Пусть на равномерной сетке ω_h с постоянным шагом задана сеточная функция v(x),

x ∈ ω_h. Введём для неё весовые множители:

v(β1,β₂) = β1v(x + h) + (1 - β1 - β2)v(x) + β2v(x - h),

(29)

что соответствует интерполяции этой функции по трём узлам x - h, x, x + h. Заметим, что

при β₁ = β₂ = 1/12 из определения (29) следуют равенства

v(1/12,1/12) = v +

v_xx =

v(x - h) +

v(x) +

v(x - h),

где, как обычно, v_xx = (v(x + h) - 2v(x) + v(x - h))/h².

Введём весовые множители по пространству:

A₁y = A₁y(β2,β₂), A2y = A2y(β₁,β₁), A3y =

(y(κ1,κ₁) + y(κ₂,κ₂)).

(30)

Здесь A_αy = -yxαxα^,Aα^y(κα,κα)=y+καhαyxαxα,α=1,2,

y(β1,β₁) = β1y(x1 + h,x2) + (1 - 2β1)y(x1,x2) + β1y(x1 - h,x2) = y + β1h¹yx₁x₁,

y(β2,β₂) = β2y(x1,x2 - h) + (1 - 2β2)y(x1,x2) + β2y(x1,x2 + h) = y + β2h²yx₂x₂.

При β₁ = β₂ = 1/12, κ₁ = κ₂ = 1/6 из (30) вытекает, что

(

)

h²²

h²¹

h²²

A₁y = -yx1x₁ -

yx1x₁x₂x₂ , A2y = -yx₂x₂ -

yx1x₁x₂x₂ , A3y = m y +

yx1x₁ +

yx2x₂

и, следовательно, схему (26) можно записать в канонической форме (8):

∑

y_tt +

A_αy(σα,σα) = ϕ, y(0) = u₀, y_t(0) = u₁,

(31)

α=1

в которой σ_α = σ - h2α/(12τ²), α = 1, 2, 0 ≤ σ3 ≤ 1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

128

МАТУС, ХОАНГ

Так как имеют место неравенства

∥yx3-α ]|², α = 1, 2,

∥yx1x₂ ]|² <

h2α

h23-α

(A_αy, y) = ∥yxα ]|² -

∥yx1x₂ ]|² >

∥yxα ]|², α = 1, 2,

mh²¹

mh²²

(A₃y, y) = m∥y∥² -

∥yx1 ]|² -

∥yx2 ]|² >

∥y∥²,

то самосопряжённые операторы A_α положительны, т.е. A_α = A^∗α > 0, α = 1, 3.

Обозначим

∑

δ=

+ m, D = I + τ² σ_αA_α, A = A_α.

(32)

h²¹

h²

α=1

Имеет место

Теорема 2. Пусть выполнены условия

1+ε

δ|h|² - 12

1+ε

σ≥

σ₃ ≥

(33)

12δτ²

δτ²

Тогда разностная схема (31) устойчива и для её решения имеет место априорная оценка

√

1+ε

∥yn+1∥_A ≤

(∥y(0)∥_A + ∥y_t(0)∥_D + max

(∥ϕ^k∥_A-1 + ∥ϕ^kt∥_A-1 )),

0≤k≤n

справедливая для любого n = 0,N₀ - 1.

Доказательство. Для исследования устойчивости схемы (31) применим теорему 1. Заме-

тим, что

(

)

(

)

mh²¹

h²¹ + h²²

(Ay, y) =

∥yx1 ]|² +

∥yx2 ]|² -

∥yx1x₂ ]|² + m∥y∥² ≤

)

⁽ 4

≤ ∥yx1 ]|² + ∥y_x

]|² + m∥y∥² <

+ m ∥y∥².

h²¹

h²

Следовательно,

∥A∥ ≤ δ = 4(h-21 + h-22) + m.

Тогда условия (9) выполнены, если

1+ε

σ_α ≥

α = 1,3,

δτ²

т.е. если

1+ε

max{h²¹, h²²}

1+ε

σ≥

σ₃ ≥

δτ²

12τ²

δτ²

Отсюда следует, что при выполнении условий (33) имеет место требуемая оценка. Теорема

доказана.

Замечание 1. Имеют место неравенства

∥yxα ]|² < (A_αy, y) ≤ ∥y_x

∥² <

∥y∥², α = 1, 2, и

∥y∥² < (A₃y, y).

h2α

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

129

Тогда

h²¹

h²²

(Dy, y) = ∥y∥² + στ²(A₁y, y) + στ²(A₂y, y) + σ₃τ²(A₃y, y) -

(A₁y, y) -

(A₂y, y) >

)

⁽1

mσ₃τ

2στ²

∥y∥² +

(∥yx1 ]|² + ∥y_x

]|²) >

∥y∥²,

т.е. D > δ₀I, δ₀ = 1/3. Поэтому в силу леммы 3 для решения разностной схемы (31) имеет

место априорная оценка

√

(

)

∑

1+ε

∥yn+1∥_A ≤

∥y(0)∥_A + ∥y_t(0)∥_D +

τ ∥ϕ^k∥ ,

(34)

δ0

k=1

справедливая для любого n = 0, N₀ - 1.

3.3. Теорема о сходимости. Пусть z = y - u - погрешность метода, где u - решение

задачи (18)-(20) при p = 2. Подставляя z + u вместо y в разностные уравнения (26)-(28),

получаем для z следующую задачу:

∑

h²

∑

h2α

z_tt =

Λ_αz(σα,σα) +

Λ_αΛ_βz(σα,σα) - mz(σ3,σ3) - m

Λ_αz(σ3,σ3) + Ψ,

α=1

α,β=1

α=1

α=β

(x, t) ∈ ω_h × ω_τ ,

(35)

◦

z(x, 0) = 0, x ∈ ω_h, z_t(x, 0) =

Ψ, x ∈ ω_h,

(36)

z(x, t) = 0, x ∈ γ_h, t ∈ ω_τ .

(37)

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда решение разностной задачи

(26)-(28) сходится к точному решению дифференциальной задачи (18)-(20) и имеют место

оценки

max ∥yⁿ - uⁿ∥_A ≤ M(|h|⁴ + τ²), M = const > 0,

tn∈ωτ

max ∥yⁿ - uⁿ∥_C ≤ M₀| ln |h|-1|1/2(|h|⁴ + τ²), M₀ = const > 0,

tn∈ωτ

где n = 0, N₀.

Доказательство. Задачи (26)-(28) и (35)-(37) идентичны, поэтому для оценки погрешно-

сти метода применим теорему 2. Из априорных оценок (24) для невязки, второго начального

условия (25) и решения разностной схемы (34) вытекает оценка

√

(

)

◦

∑

1+ε

∥yⁿ - uⁿ∥_A ≤

∥Ψ∥D +

τ ∥Ψ(t_k)∥

≤ M(|h|⁴ + τ²).

k=1

В силу теоремы вложения [20, гл. II, § 2; 21, гл. II, § 2] имеем

∥z∥_C ≤ c₀| ln |h|-1|1/2∥z∥_A, c₀ = const > 0,

(38)

что приводит к требуемой оценке в сеточной норме C(ω_h). Теорема доказана.

3.4. Компактные разностные схемы 4-го порядка точности. Рассмотрим теперь

разностную схему (21)-(23) при

∑

σ=σ₃ =

ϕ=f(σ,σ) +

h2αΛ_αf(σ,σ),

α=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

130

МАТУС, ХОАНГ

]

∑

)[_p∑

⁽τ

τ³

u₁(x) = ν₀(x) +

L_α - m

L_αu₀(x) - mu₀(x) + f(x,0)

α=1

]

[^p∑

∂f

τ³ ∂²f

L_αν₀(x) - mν₀(x) +

(x, 0)

(x, 0).

∂t

24 ∂t²

α=1

Данная схема аппроксимирует исходную задачу (18)-(20) с четвёртым порядком. Действи-

тельно, в этом случае невязку разностного уравнения (31)

∑

Ψ = -u_tt +

Λ_αu(σα,σα) +

h2βΛ_αΛ_βu(σα,σα) - mu(σ,σ) -

α=1

α,β=1

α=β

∑

h2α

-m

Λ_αu(σ,σ) + f(σ,σ) +

h2αΛ_αf(σ,σ)

α=1

можно записать в виде

[

]

∑

∂²

∂²u

Ψ=

+ L_αu - mu + f + O(|h|⁴ + τ⁴).

12 ∂t²

∂t²

α=1

Следовательно,

∥Ψ∥ ≤ M₁(|h|⁴ + τ⁴), M₁ = const > 0.

◦

Для погрешности аппроксимации

Ψ = u₁ - u0t второго начального условия имеет место соот-

ношение

◦

∑

⁽τ

τ³

⁾∂²u

τ² ∂³u

τ³ ∂²f

Ψ = ν₀(x) +

L_α - m

(x, 0) +

(x, 0) - u0t,

∂t²

6 ∂t³

24 ∂t²

α=1

т.е.

]

◦

[^p∑

τ³ ∂²

∂²u

Ψ=

L_αu(x,0) - mu(x,0) + f(x,0) -

(x, 0)

+ O(τ⁴).

24 ∂t²

∂t²

α=1

Другими словами, выполняется оценка

◦

∥Ψ∥ ≤ M2τ4, M2 = const > 0.

Пусть p = 2, h₁ = h₂ = h ≤ h₀, h₀ ≤ 1/√m. Тогда для нормы определяемого последним

∑₃

равенством в (32) оператора A =

A_α (A = A^∗ > 0) справедливо неравенство

α=1

∥A∥ <

+m≤

h²

В этом случае условие

(

)

h²

≥

τ²

τ²∥A∥

устойчивости по начальным данным выполнено, если имеет место неравенство

τ ≤

√ .

(39)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

131

4. Разностные схемы для многомерного уравнения Клейна-Гордона с перемен-

ными коэффициентами. В цилиндре Q_T = G × [0 ≤ t ≤ T] для многомерного уравнения

Клейна-Гордона

∑

∂²u

= L_αu - mu + f(x,t), m > 0, (x,t) ∈ Q_T = G × [0 < t ≤ T],

(40)

∂t²

α=1

рассмотрим начально-краевую задачу

∂u

u(x, 0) = u₀(x), x ∈ G,

(x, 0) = ν₀(x), x ∈ G,

(41)

∂t

u(x, t) = μ(x, t), x ∈ Γ,

0<t≤T,

(42)

где

(

)

∂

∂u

L_αu =

k_α(x_α,t)

0 < k1α ≤ k_α(x_α,t) ≤ k2α, α = 1,p.

∂x_α

На равномерной сетке узлов ω = ω_h × ω_τ дифференциальную задачу (40)-(42) аппрокси-

мируем следующей разностной схемой:

∑

h2α

y_tt =

Λ_αy(σ,σ) -

Λ_α(q_αy_tt) +

Λ_α(q_αΛ_βy(σ,σ)) - my(σ,σ) -

α=1

α,β=1

α=β

∑

h2α

-m

Λ_α(q_αy) + ϕ, (x,t) ∈ ω_h × ω_τ ,

(43)

α=1

y(x, 0) = u₀(x), x ∈ ω_h, y_t(x, 0) = u₁(x), x ∈ ω_h,

(44)

y(x, t) = μ(x, t), x ∈ γ_h, t ∈ ω_τ ,

(45)

где

∑

h2α

Λ_αy = (a_αyxα)xα , q_α(x_α,t) =

ϕ=f+

Λ_α(q_αf),

k_α(x_α,t)

α=1

[

(

)

]-1

h_α

a_α = a_α(x_α,t) = 6 q_α(x_α - h_α,t) + 4q_α x_α -

+ q_α(x_α,t)

α = 1,p,

]

[^p∑

u₁(x) = ν₀(x) +

L_αu(x,0) - mu(x,0) + f(x,0) , x ∈ ω_h;

α=1

обозначение v^∗ для функции v определено в постановке задачи (21)-(23).

4.1. Погрешность аппроксимации. Несложно показать, что разностная схема (43)-(45)

аппроксимирует исходную задачу (40)-(42) с четвёртым порядком по пространству и вторым

по времени. Действительно, используя разложения

[

)]

∑

h2α

⁽∂²u

Λ_αu = L_αu +

L_α q_α

+ mu - f -

L_βu

+ O(|h|⁴),

∂t²

α=1

α=β=1

∂²u

∂⁴u

u_tt =

+ O(τ⁴),

∂t²

12 ∂t⁴

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

9^∗

132

МАТУС, ХОАНГ

запишем невязку разностного уравнения (43)

∑

h2α

h²

h2α

Ψ = -u_tt+ Λ_αu(σ,σ)-

Λ_α(q_αu_tt)+

Λ_α(q_αΛ_βu(σ,σ))-mu(σ,σ)-m

Λ_α(q_αu)+ϕ

α=1

α,β=1

α=1

α=β

в виде Ψ = O(|h|⁴ + τ²), т.е.

∥Ψ∥ ≤ M₁(|h|⁴ + τ²), M₁ = const > 0.

(46)

Для второго начального условия (44) имеет место априорная оценка

◦

∥Ψ∥ ≤ M2τ2, M2 = const > 0.

(47)

∑_p

Замечание 2. В частности, при σ = 1/12, ϕ = f(σ,σ) + 12-1

h2αΛ_αf,

α=1

]

∑

)[_p∑

⁽τ

τ³

u₁(x) = ν₀(x) +

L_α - m

L_αu₀(x) - mu₀(x) + f(x,0)

α=1

]

[^p∑

∂f

τ³ ∂²f

L_αν₀(x) - mν₀(x) +

(x, 0)

∂t

24 ∂t²

α=1

разностная схема (43)-(45) имеет четвёртый порядок аппроксимации на решении

◦

Ψ = O(|h⁴| + τ⁴),

Ψ = O(τ⁴).

4.2. Устойчивость. Чтобы избежать громоздких выкладок, ограничимся рассмотрением

двумерного случая и зависимостью коэффициентов k_α = k_α(x_α) только от x_α, α = 1, 2.

Предположим также, что σ = 0.5 и μ(x, t) = 0, x ∈ Γ. Тогда разностная задача при-

мет вид

∑

h2α

y_tt =

Λ_αy(σ,σ) -

Λ_α(q_αy_tt) +

Λ_α(q_αΛ_βy(σ,σ)) - my(σ,σ) -

α=1

α,β=1

α=β

∑

h2α

-m

Λ_α(q_αy) + ϕ, (x,t) ∈ ω_h × ω_τ ,

(48)

α=1

y(x, 0) = u₀(x), x ∈ ω_h, y_t(x, 0) = u₁(x), x ∈ ω_h,

(49)

y(x, t) = 0, x ∈ γ_h, t ∈ ω_τ ,

(50)

где

∑

h2α

Λ_αy = (a_αyxα)xα, ϕ = f +

Λ_α(q_αf).

α=1

Далее будем использовать следующие обозначения:

∑

(u, v) =

h₁h₂ui1i₂ vi₁i₂, (u,v] =

h₁h₂ui1i₂ vi₁i₂ ,

i₁=1 i2=1

i₁=1 i₂=1

∑

(u, v]_α =

h₁h₂uv, ω+h

=ω_h

^⋃ {xNα = l_α},

x∈ω⁺

hα

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

133

∥y∥2A

= (A_αy, y) = -((a_αyxα )xα , y) = (a_α, y2x

]_α, α = 1,2,

∑

h2α

A₁ = A1α, A1αy =

(a_αqα(-), yxα ]_α, vα(-) = v_α(x_α - h_α),

α=1

q1(-)h²¹ + q2(-)h²

∑

h2α

b₁ = a₁a₂

∥y_t∥²

(a_αqα(-), y2tx

]_α, α = 1,2.

A₁

α=1

Для исследования устойчивости построенных разностных схем нам понадобится

Лемма 4. При h_α ≤ h₀, α = 1, 2, h₀ - достаточно малое число, выражение

(

]

∑

∥y∥2Aα + ∥y∥2Aα

∥y∥² + ∥y∥²

y2x1x₂ +yx1x₂

Qⁿ = ∥y_t∥² +

- ∥y_t∥²

- b₁,

(51)

A₁

α=1

неотрицательно.

Доказательство. Здесь и далее через c > 0 обозначается константа, зависящая от m, ε,

k1α, - в каждом конкретном случае своя.

Очевидно, что

6qα(-)

a_αqα(-) =

= 1 + O(h_α), α = 1,p.

6qα(-) + O(h_α)

Тогда при достаточно малом |h| ≤ h₀, h₀ = 1/c, для двух последних членов в формуле (51)

имеют место неравенства

∑

h2α

∥y_t∥²

-∥y_t∥²

(a_αqα(-), y2tx

]_α ≥ -

(1 + ch_α) ≥ -

∥y_t∥²,

A₁

α=1

(

]

}

∑

^{(a_αh2β

⁽a_αh2β

y2x1x₂ +yx1x₂

- b₁,

≥-

(1 + ch_β )

,y²

≥

xαxβ

xαx^β αβ

αβ

α,β=1

α=β

∑

∥y∥2Aα + ∥y∥2Aα

≥-

{(a_α, y2x

]_α + (a_α, y2x

]_α} = -

β=1

α=1

Отсюда следует, что Qⁿ ≥ 0. Лемма доказана.

Умножая разностное уравнение (48) скалярно на 2τy◦ и применяя первую разностную

формулу Грина, получаем энергетическое соотношение

∑

h2β

Qn+1 = Qⁿ + h2α(d_α(ytxα + y_tx

), y_t - y_t]_α +

(a_αd_β(ŷxα + yxα ), ŷxαx_β - yx_αx_β ]αβ +

α=1

α,β=1

α=β

∑

h2α

a_αpαxα

(a_α(p_αy)xα , ŷxα - yxα ]_α + 2τ(y◦

, ϕ), d_α =

α=1

Нетрудно показать, что для слагаемых, отличных от Qⁿ и Qn+1, справедливы оценки

∑

h2α(d_α(ytxα + y_tx

), y_t - y_t]_α ≤ c|h|(∥y_t∥² + ∥y_t∥²),

α=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

134

МАТУС, ХОАНГ

∑

h²

∑

(∥ŷxα ]|2α + ∥yxα ]|2α),

(a_αd_β (ŷxα + yxα ), ŷxαx_β - yxαxβ^]αβ≤c|h|

α,β=1

α=1

α=β

∑

h2α

(a_α(p_αy)xα , ŷxα - yxα ]_α

≤ c|h|²

[(∥ŷxα ]|2α + ∥yxα ]|2α) + (∥yxα ]|2α + ∥yxα ]|2α)],

α=1

2τ(y◦, ϕ) ≤ ετ∥ϕ∥2 +

(∥y_t∥² + ∥y_t∥²).

2ε

Отсюда с учётом условия |h| ≤ τ получаем неравенство

(1 - cτ)Qn+1 ≤ (1 + cτ)Qⁿ + cτ∥ϕⁿ∥².

(52)

Итак, имеет место

Теорема 4. Пусть выполнены условия

|h| ≤ h₀, τ ≥ |h|, h₀ =

(53)

Тогда разностная схема (48)-(50) ρ-устойчива по начальным данным и правой части и име-

ет место оценка

(

)

∑

∥yn+1∥2A ≤ M₃ R₀

+ c τ∥ϕ^s∥2 ,

n = 0,N₀ - 1,

s=1

в которой

∑

R₀ =

m∥y⁰∥² + (1 + mτ²)∥y0t∥² +

k2α(3∥y0x

]|2α + 2τ²∥y0tx

]|2α),

α=1

Ay = -yx1x₁ - yx₂x₂ , M3 =

e^cT .

min{k₁₁, k₁₂}

Доказательство. Так как Qⁿ ≥ 0 при выполнении условий (53), то из неравенства (52)

легко приходим к рекуррентному соотношению

Qn+1 ≤ (1 + cτ)Qⁿ + cτ∥ϕⁿ∥² ≤ e^cτ Qⁿ + cτ∥ϕⁿ∥².

В силу леммы Гронуолла [18, с. 159] имеет место неравенство

(

)

∑

Qn+1 ≤ ectn Q¹ + c τ∥ϕ^s∥2 ,

n = 0,N₀ - 1.

s=1

Отсюда следует требуемая оценка. Теорема доказана.

4.3. Сходимость разностной схемы. Пусть u - решение задачи (40)-(42) при p = 2,

z = y - u - погрешность метода. Подставляя в разностную схему (48)-(50) z + u вместо y,

получаем для z следующую задачу:

∑

h2α

z_tt =

Λ_αz(σ,σ) -

Λ_α(q_αz_tt) +

Λ_α(q_αΛ_βz(σ,σ)) - mz(σ,σ) -

α=1

α,β=1

α=β

∑

h2α

-m

Λ_α(q_αz) + Ψ, (x,t) ∈ ω_h × ω_τ ,

(54)

α=1

◦

z(x, 0) = 0, x ∈ ω_h, z_t(x, 0) =

Ψ, x ∈ ω_h,

(55)

z(x, t) = 0, x ∈ γ_h, t ∈ ω_τ .

(56)

Имеет место

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

135

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда решение разностной схемы (48)-

(50) сходится к точному решению дифференциальной задачи (40)-(42) и имеют место оцен-

ки

max ∥yⁿ - uⁿ∥_A ≤ M(|h|⁴ + τ²),

tn∈ωτ

max ∥yⁿ - uⁿ∥_C ≤ M₀| ln |h|-1|1/2(|h|⁴ + τ²), n = 0, N₀,

tn∈ωτ

где M, M₀ - положительные константы.

Доказательство. При выполнении условий (53) теоремы 4 для решения z = y - u задачи

(54)-(56) справедлива оценка

∥yⁿ - uⁿ∥2A ≤ M₃(R₀ + cT max ∥Ψ(t)∥²),

t∈ωτ

где

(

)

◦

∑

◦

R₀ =

mτ²

∥Ψ∥2 + k2ατ2∥Ψxα]|2α.

α=1

Отсюда в силу априорных оценок (46), (47) приходим к следующему неравенству:

∥yⁿ - uⁿ∥_A ≤ M(|h|⁴ + τ²).

Вторая требуемая оценка теоремы следует из вложения (38). Теорема доказана.

5. Квазилинейное уравнение Клейна-Гордона. В цилиндре Q_T = G × [0 ≤ t ≤ T]

для многомерного квазилинейного уравнения Клейна-Гордона

∑

∂²u

= L_αφ_α(u) - mf₁(u) + f(x,t), m > 0, (x,t) ∈ Q_T = G × [0 < t ≤ T],

(57)

∂t²

α=1

рассмотрим начально-краевую задачу

∂u

u(x, 0) = u₀(x), x ∈ G,

(x, 0) = ν₀(x), x ∈ G,

(58)

∂t

u(x, t) = μ(x, t), x ∈ Γ,

0<t≤T,

(59)

с условиями (φ_α)^′u = k_α(u) ≥ k_α > 0, α = 1, p. Здесь, как в случае с постоянными коэффи-

циентами, оператор L_α определяется равенством L_αv = ∂²v/∂x2α, α = 1, p.

На стандартном шаблоне сетки ω = ω_h ×ω_τ исходную задачу (57)-(59) заменим разностной

задачей:

∑

h²

∑

y_tt =

Λ_α[φ(y)](σ,σ) +

Λ_αΛ_β[φ(y)](σ,σ) -

Λ_αy_tt - m[f∗1(y)](σ,σ) + f^∗,

α=1

α,β=1

α=1

α=β

(x, t) ∈ ω_h × ω_τ ,

(60)

y(x, 0) = u₀(x), x ∈ ω_h, y_t(x, 0) = u₁(x), x ∈ ω_h,

(61)

y(x, t) = μ(x, t), x ∈ γ_h, t ∈ ω_τ ,

(62)

где

]

[^p∑

L_αφ_α(u₀(x)) - mf₁(u₀(x)) + f(x,0) , x ∈ ω_h.

Λ_αy = yxαxα, u1(x) = ν0(x) +

α=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

136

МАТУС, ХОАНГ

Аналогично рассмотренным выше случаям легко показывается, что для погрешности аппрок-

симации разностной схемы (60)-(62) имеют место оценки

◦

∥Ψ∥ ≤ M₁(|h|⁴ + τ²), M₁ = const > 0,

∥Ψ∥ ≤ M2τ2, M2 = const > 0.

Для реализации построенной схемы необходимо использовать итерационный метод Нью-

◦

тона с выбором начальной итерации

y = 2yⁿ - yn-1.

6. Тестовые расчёты. В этом пункте приводятся результаты численных расчётов при

решении начально-краевой задачи (18)-(20) в двумерном случае p = 2. Её параметры выби-

раются следующими: m = 1, T = 1,

0 ≤ l₁ ≤ 1, 0 ≤ l2 ≤ 1. Начальные и краевые условия и

свободный член (неоднородность) определяются из точного решения

u(x₁, x₂, t) = e^t(cos x₁ + sin x₁)(cos(2x₂) + sin(2x₂)).

Сначала рассматриваются разностные схемы порядка O(|h|⁴ + τ²), т.е. при σ = 1/12. Для

нахождения порядка скорости сходимости по пространству phL∞ в норме L_∞ = C и p^h в_L

норме L₂ используются формулы

p^hL

= log₂(∥Δ_h∥L∞ /∥Δh/2∥L∞ ), p^hL

= log₂(∥Δ_h∥L2 /∥Δh/2∥L2 ),

∞

где Δh/2 = yh1/2,h₂/2,τ/4 - yh1,h2,τ^.

В таблицах приведены значения скорости сходимости приближённого решения (к точному

решению) при σ = σ₃ = 1/2.

Табл. 1 показывает, что при выполнении условий устойчивости построенная разностная

схема имеет четвёртый порядок точности по пространственной переменной.

Таблица 1. Порядок сходимости по пространству

h1 = 0.1 h2 = 0.1 τ = 0.5

∥Δh/2∥L∞

p^hL∞

∥Δh/2∥L₂

phL2

h1/2

h2/2

τ /4

1.39E-01

8.04E-02

h1/2²

h2/2²

τ /4²

8.59E-03

4.02067

4.74E-03

4.08629

h1/2³

h2/2³

τ /4³

4.50E-04

4.25287

2.57E-04

4.20524

h1/2⁴

h2/2⁴

τ /4⁴

2.75E-05

4.03137

1.56E-05

4.0379

h1/2⁵

h2/2⁵

τ /4⁵

1.71E-06

4.00895

9.72E-07

4.008

Аналогично для нахождения порядка скорости сходимости по временной переменной pτL∞

в норме L_∞ = C и pτL2 в норме L₂ используются формулы

p^τL

= log₂(∥Δ_τ ∥L∞ /∥Δτ/2∥L∞ ), p^τL

= log₂(∥Δ_τ ∥L2 /∥Δτ/2∥L2 ),

∞

где разность приближённых значений определяется равенством Δτ/2 = yh1,h₂,τ/2 - yh1,h2,τ^.

Из результатов, представленных в табл. 2, видно, что указанная разностная схема имеет

второй порядок погрешности аппроксимации по времени.

Таблица 2. Порядок сходимости по времени (h1 = 0.005, h2 = 0.005)

τ = 0.125

∥Δτ/2∥L∞

p^τL∞

∥Δτ/2∥L₂

pτL2

τ /2

7.21E-03

3.87E-03

τ /2²

1.42E-03

2.33982

8.65E-04

2.16162

τ /2³

3.62E-04

1.97618

2.06E-04

2.06904

τ /2⁴

8.90E-05

2.02392

5.05E-05

2.02945

τ /2⁵

2.21E-05

2.01296

1.25E-05

2.01312

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

137

Далее с учётом условий устойчивости (39) рассматриваются разностные схемы (21)-(23)

при σ = 1/12, т.е. схемы порядка O(|h|⁴ +τ⁴). Для определения порядка скорости сходимости

приближённого решения к точному используются формулы

pL∞ = log₂(∥Δ∥L∞ /∥Δ1/2∥L∞ ), pL2 = log₂(∥Δ∥L2 /∥Δ1/2∥L2 ),

Δ = yh1,h₂,τ - y2h₁,2h₂,2τ, Δ1/2 = yh₁/2,h₂/2,τ/2 - yh1,h2,τ^.

Полученные результаты расчётов представлены в табл. 3.

Таблица 3. Порядок сходимости по пространству и времени

∥Δ1/2∥L∞

pL∞

∥Δ1/2∥L₂

pL2

1/10

h1/2

h2/2

1/20

2.71E-05

1.52E-05

h1/2²

h2/2²

1/40

1.61E-06

4.06842

9.22E-07

4.04777

h1/2³

h2/2³

1/80

9.87E-08

4.03029

5.65E-08

4.02725

h1/2⁴

h2/2⁴

1/160

6.12E-09

4.01209

3.50E-09

4.01363

1/100

h1/2

h2/2

1/200

2.56E-05

1.46E-05

h1/2²

h2/2²

1/400

1.59E-06

4.00925

9.10E-07

3.9987

h1/2³

h2/2³

1/800

9.92E-08

4.0046

5.68E-08

4.00178

h1/2⁴

h2/2⁴

1/1600

6.03E-09

4.04138

3.46E-09

4.03966

Таким образом, проведённые тестовые расчёты согласуются с нашими теоретическими вы-

водами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самарский А.А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопровод-

ности // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1963. Т. 3. № 5. С. 812-840.

2. Валиулин В.Н., Паасонен В.И. Экономичные разностные схемы повышенного порядка точности

для многомерного уравнения колебаний // Числ. методы механики сплошной среды. 1970. Т. 1.

№ 1. С. 17-30.

3. Валиулин В.Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики. Новосибирск, 1973.

4. Москальков М.Н. Об одном свойстве схемы повышенного порядка точности для одномерного вол-

нового уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1975. Т. 15. № 1. С. 254-260.

5. Матус П.П., Хоанг Тхи Киеу Ань. Компактные разностные схемы для уравнения Клейна-Гордона

// Докл. НАН Беларуси. 2020. Т. 64. № 5. С. 526-533.

6. Матус П.П., Хоанг Тхи Киеу Ань. Компактные разностные схемы на трёхточечном шаблоне для

гиперболических уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 7. С. 963-975.

7. Zlotnik A., Kireeva O. On compact 4th order finite-difference schemes for the wave equation // Math.

Model. Anal. 2021. V. 26. № 3. P. 479-502.

8. Zlotnik A., Ciegis R. On higher-order compact ADI schemes for the variable coefficient wave equation

// Appl. Math. and Comp. 2022. V. 412. Art. 126565. https://doi.org/10.1016/j.amc.2021.126565.

9. Britt S., Turkel E., Tsynkov S. A high order compact time/space finite difference scheme for the wave

qquation with variable apeed of sound // J. Sci. Comput. 2018. V. 76. P. 777-811.

10. Hou B., Liang D., Zhu H. The conservative time high-order AVF compact finite difference schemes for

two-dimensional variable coefficient acoustic wave equations // J. Sci. Comput. 2019. V. 80. P. 1279-1309.

11. Матус П.П., Ирхин В.А., Лапиньска-Хшонович М., Лемешевский С.В. О точных разностных схе-

мах для гиперболических и параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 1.

С. 978-986.

12. Lemeshevsky S., Matus P., Poliakov D. Exact Finite-Difference Schemes. De Gruyter, 2016.

13. Matus P., Kolodynska A. Exact difference schemes for hyperbolic equations // Comp. Meth. Appl. Math.

2007. V. 7. № 4. P. 341-364.

14. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями.

Минск, 1998.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

138

МАТУС, ХОАНГ

15. Matus P.P., Zyuzina E.L. Three-level difference schemes on non-uniform in time grids // Comp. Meth.

Appl. Math. 2001. V. 1. № 3. P. 265-284.

16. Зюзина Е.Л., Матус П.П. Консервативные разностные схемы на неравномерных сетках для вол-

нового уравнения // Докл. НАН Беларуси. 2004. Т. 48. № 5. С. 25-30.

17. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1989.

18. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М., 1973.

19. Матус П.П., Хоанг Тхи Киеу Ань. Компактные разностные схемы для уравнения Клейна-Гордона

с переменными коэффициентами // Докл. НАН Беларуси. 2021. Т. 65. № 1. С. 25-32.

20. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики.

Казань, 1976.

21. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы для решения эллиптических урав-

нений. Ереван, 1979.

Институт математики НАН Беларуси,

Поступила в редакцию 21.10.2021 г.

г. Минск,

После доработки 21.10.2021 г.

Католический университет им. Иоанна-Павла II,

Принята к публикации 21.12.2021 г.

г. Люблин, Польша,

Белорусский государственный университет,

г. Минск,

Университет природных ресурсов и окружающей среды,

г. Хошимин, Вьетнам

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022