ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.139-141
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.954
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА
ДЛЯ p-ЛАПЛАСИАНА НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ
МНОГООБРАЗИЯХ С МОДЕЛЬНЫМ КОНЦОМ
© 2022 г. В. В. Бровкин
Получен критерий существования решений второй краевой задачи для p-лапласиана на
римановых гиперболических многообразиях с модельным концом.
DOI: 10.31857/S0374064122010137
Пусть M - связное n-мерное ориентированное полное риманово многообразие с краем
(возможно пустым). Рассмотрим задачу
Δpu = f на M,
(1)
∂u
|∇u|p-2
= h,
(2)
∂ν
∂M
где Δpu = ∇i(gij |∇u|p-2∇ju), p > 1, - оператор p-Лапласа, ν - вектор внешней нормали к
∂M, а f и h - обобщённые функции из D′(M) такие, что supph ⊂ ∂M.
Если ∂M = ∅, то условие Неймана (2) предполагается выполненным автоматически.
В этом случае, очевидно, h = 0, так как только у нулевой функции носитель supp h является
пустым множеством.
Через gij обозначаем метрический тензор, согласованный с римановой связностью, а через
gij - тензор, дуальный к метрическому, т.е. gij gjk = δki. При этом |∇u| = (gij ∇iu∇ju)1/2.
Через W1p,loc(ω), где ω - открытое подмножество в M, обозначается линейное пространство
функций, принадлежащих классу W1p(ω′
⋂ω) для любого открытого множества ω′ ⊂ M с
компактным замыканием. Пространство Lp,loc(ω) определяется аналогично.
Будем говорить, что функция u ∈ W1p,loc(M) является решением задачи (1), (2), если
равенство
∫
- gij|∇u|p-2∇ju∇iϕdV = (f - h,ϕ)
M
выполняется для любой функции ϕ ∈ C∞0(M), где dV - элемент объёма многообразия M.
В дальнейшем предполагаем, что решения задачи (1), (2) удовлетворяют следующему усло-
вию на бесконечности:
∫
|∇u|p dV < ∞.
(3)
M
Краевые задачи в неограниченных областях и на гладких многообразиях исследовались в
работах [1-10].
Определение 1. Ёмкость capp(B,Ω) компакта B ⊂ Ω относительно открытого множе-
ства Ω ⊂ M определяется соотношением
∫
capp(B, Ω) = inf
|∇ϕ|p dV,
ϕ
Ω
где inf берётся по всем функциям ϕ ∈ C∞0(Ω), тождественно равным единице в окрестности
этого компакта.
139
140
БРОВКИН
Если Ω = M, то вместо capp(B, M) пишем capp(B). Для произвольного замкнутого мно-
жества H ⊂ M полагаем
capp(H) = sup capp(B),
B
где sup берётся по всем компактам B ⊂ H. Ёмкость пустого множества считается равной
нулю.
Определение 2. Многообразие M называется p-гиперболическим, если его ёмкость по-
ложительна, т.е. capp(M) > 0. В противном случае многообразие M называется p-параболи-
ческим.
Через L1p(ω), где ω - открытое подмножество в M, обозначаем линейное пространство
обобщённых функций u ∈ D′(ω) таких, что ∇u ∈ Lp(ω) [11, c. 12]. Полунорма в L1p(ω)
определяется равенством
(∫
)
1/p
∥u∥L1
|∇u|p dV
p
(ω) =
ω
◦
◦
Через
Lp(ω) обозначим замыкание пространства C0(ω) в Lp(ω), а через
Lp(ω)∗ - простран-
◦
ство, дуальное к
Lp(ω) или, другими словами, пространство линейных непрерывных функци-
◦
◦
оналов на
Lp(ω). Норма функционала l ∈
Lp(ω)∗ определяется равенством
∥l∥
◦
= sup
|(l, ϕ)|.
Lp(ω)∗
ϕ∈C∞0(ω)
=1
∥ϕ∥L1
p(ω)
Теорема 1. Пусть M - p-гиперболическое многообразие, Ω ⊂ M - липшицева область с
компактным замыканием и 0 < E ≤ 1 - гладкая функция такая, что
∂E
ΔpE = 0
на M \ Ω, E|∂Ω = 1,
|∇E|p-2
= 0.
∂ν
∂M\Ω
Тогда для разрешимости задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы
∑
/(p-1)
∥f - h∥p
◦
< ∞,
Lp(Ωk)∗
k=1
где Ω1 = Ω
⋃ {x ∈ M \ Ω : E(x) > 1/4} и Ωk = {x ∈ M \ Ω : 2-1-k < E(x) < 21-k}, k = 2, 3, . . .
Предположим, что многообразие M представимо в виде
M =ω
⋃D × [r0,∞), ω ⋂D × [r0,∞) = ∅,
(4)
где ω - липшицева область с компактным замыканием, D - компактное риманово многообра-
зие с краем, а r0 > 0 - некоторое вещественное число. Пусть также на множестве D × [r0, ∞)
задана метрика
ds2 = a2(r) dr2 + b2(r)gij (θ) dθi dθj,
где a и b - положительные бесконечно гладкие функции на [r0, ∞), gij - метрический тензор
на D, θi - локальные координаты на D. Назовём множество D × [r0, ∞) модельным концом
многообразия M по отношению к области ω [2].
Тривиальным примером многообразия с модельным концом является пространство Rn.
В качестве другого примера можно привести поверхность, полученную вращением графика
√
функции v(r) вокруг луча Or в Rn. В этом случае, очевидно, a(r) =
1 + (v′(r))2, b(r) =
= v(r) и gij - метрический тензор на единичной сфере.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА
141
Многообразие M с модельным концом является p-гиперболическим в том и только в том
случае, когда
∞
∫
a(r)
dr < ∞.
b(n-1)/(p-1)(r)
r0
Обозначим
Mr0 = ω, Mr = ω
⋃D × [r0,r), r > r0.
Теорема 2. Пусть M - p-гиперболическое многообразие с модельным концом (4). Тогда
для разрешимости задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы
∑
∥f - h∥p/(p-1)◦
<∞ и
∥f - h∥p/(p-1)◦
< ∞,
Lp(Mr1)∗
Lp(Mrk+1\Mrk-2)∗
k=2
где числа rk > r0, k ∈ N, определяются из соотношений
∫
∞
∫
∞
a(s)
1
a(s)
ds =
ds.
b(n-1)/(p-1)(s)
2
b(n-1)/(p-1)(s)
rk+1
rk
Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.А. Конькову
за постановку задачи и внимание, проявленное к автору при её решении.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cheng S.Y., Yau S.T. Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications
// Comm. Pure Appl. Math. 1975. V. 28. № 3. P. 333-354.
2. Korolkov S.A., Losev A.G. Generalized harmonic functions of Riemannian manifolds with ends // Math.
Zeitschr. 2012. Bd. 272. Hf. 1-2. S. 459-472.
3. Losev A.G., Mazepa E.A. On solvability of the boundary value problems for harmonic function on
noncompact Riemannian manifolds // Пробл. анал. Issues Anal. 2019. V. 8 (26). № 3. P. 73-82.
4. Бровкин В.В., Коньков А.A. О существовании решений второй краевой задачи для p-лапласиана
на римановых многообразиях // Мат. заметки. 2021. Т. 109. Вып. 2. С. 180-195.
5. Гадыльшин Р.Р., Чечкин Г.А. Краевая задача для лапласиана с быстро меняющимся типом гра-
ничных условий в многомерной области // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40. № 2. С. 271-287.
6. Григорьян А.А. О размерности пространств гармонических функций // Мат. заметки. 1990. Т. 48.
Вып. 5. С. 55-61.
7. Кондратьев В.А., Олейник О.А. О параболических по времени решениях параболических уравне-
ний второго порядка во внешних областях // Вестн. Моск. гос. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 1985.
Т. 39. № 4. С. 38-47.
8. Коньков А.А. О размерности пространства решений эллиптических систем в неограниченных об-
ластях // Мат. сб. 1993. Т. 184. № 12. С. 23-52.
9. Коньков А.А. О пространстве решений эллиптических уравнений на римановых многообразиях
// Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 5. С. 805-813.
10. Кудрявцев Л.Д. Решение первой краевой задачи для самосопряжённых эллиптических уравнений
в случае неограниченных областей // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т. 31. № 5. С. 1179-1199.
11. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л., 1985.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 14.07.2021 г.
им. М.В. Ломоносова
После доработки 14.07.2021 г.
Принята к публикации 23.11.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№1
2022
