ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 1, с.142-144

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.925.42

БАЗИС ГРЁБНЕРА ИДЕАЛА ФОКУСНЫХ ВЕЛИЧИН

КУБИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И.С. КУКЛЕСА

Для кубической системы И.С. Куклеса впервые найдены первые одиннадцать фокусных

величин. Для них выполнен тест принадлежности идеалу: каждая из них делится без остат-

ка на произвольный многочлен базиса Грёбнера идеала этих фокусных величин.

DOI: 10.31857/S0374064122010149

Из результатов работы [1] следует, что для классической аналитической системы

x = y + X(x,y),

y = -x + Y (x,y)

(1)

справедлива следующая

Теорема 1. Существует единственное формальное преобразование

∑∑

x=u+

f_j,i-ju^jv^i-j, y = v +

g_j,i-ju^jv^i-j,

i=2 j=1

приводящее систему (1) к системе

(

)(

)

(

)

∑

u= v+ c_kuk

1+ d_kuk ,

v = -u 1 + d_kuk

k=2

k=1

при этом точка O(0,0) является для системы (1) центром тогда и только тогда, когда

c2k-1 = 0, k = 1,2,...

Будем рассматривать множество R пар формальных степенных рядов над полем R вида

u = u(x,y) = x + xf(x,y), v = v(x,y) = y + xg(x,y),

(2)

где f и g - формальные степенные ряды без свободных членов. На множестве R рассматри-

вается операция “ ◦ ” композиции: для (u, v), (u₁, v₁) ∈ R по определению

(u, v) ◦ (u₁, v₁) = (u(u₁(x, y), v₁(x, y)), v(u₁(x, y), v₁(x, y))).

Несложно показывается, что множество R формальных степенных рядов c образует от-

носительно операции композиции ◦ группу.

Очевидно, что для аналитической системы

∑

x=y+ e2ix2i,

y = -x

i=1

начало координат O(0, 0) является центром. Если

(

)

(

)

∑

∂x

(v + X(u, v))

d_kuk

(-u + Y (u, v))

1+ d_kuk

=y+ e2ix2i,

∂u

∂v

k=1

i=1

(

)

(

)

∑

∂y

(v + X(u, v))

d_kuk

(-u + Y (u, v))

1+ d_kuk

= -x,

(3)

∂u

∂v

k=1

142

БАЗИС ГРЁБНЕРА ИДЕАЛА ФОКУСНЫХ ВЕЛИЧИН

143

где X, Y - аналитические функции из системы (1), а u, v - новые переменные при замене

(2), то точка O(0, 0) является для системы (1) центром. В случае произвольных X, Y из

тождеств (3) получаем необходимые и достаточные условия центра для системы (1).

В дальнейшем будем рассматривать кубическую систему нелинейных колебаний И.С. Кук-

леса, т.е. будем предполагать, что

X(u, v) = 0, Y (u, v) = Au² + 3Buv + Cv² + Ku³ + 3Lu²v + Muv² + Nv³.

Для системы И.С. Куклеса, применяя ранее разработанный автором статьи метод, удалось

получить первые 11 фокусных величин f_k, k = 1, 11, где f₁, f₂, f₃, f₄, f₅, f₆, f₇, f₈,

f₉, f10 и f11 содержат соответственно 4, 19, 60, 149, 321, 623, 1122, 1903, 3079, 4789 и 7209

слагаемых.

Таким образом, имеем идеал

J = 〈f₁,f₂,f₃,f₄,f₅,f₆,f₇,f₈,f₉,f₁₀,f₁₁〉.

Введём идеал

I = 〈i₁,i₂,i₃,i₄,i₅,i₆,i₇,i₈,i₉,i₁₀,i₁₁,i₁₂〉,

где

i₁ = -B²(41A³ + 78A²C + 51AC² + 11C³ + 6B²(5A + 4C))(C(A + C) - K) +

+ B(-41A⁴ - 148A³C - 22C⁴ + AC(88B² - 113C² - 22K) +

+ 4A²(10B² - 49C² - 3K) + 11C²K + 23K² + 4B²(13C² + 9K))N -

- (29A³ + 67A²C + 11C(-12B² + C² - K) + A(-120B² + 51C² + 11K))N² + 56BN³,

i₂ = -12A⁵(BC + N) + A⁴(B(-14C² + 12K + M) - 14CN) +

+ A³(2BC(4B² - C² - 12K + M) - (14B² + 2C² + 37K)N) + A²(8B³(2C² - K) +

+ 27BK(-C² + K) + 22B²CN - 27CKN + 6BN²) + 2A(-4B³C(C² + K) + 12B⁴N -

- 9K²N - B²(9C² + 35K)N - 12BCN² - 7N³) + 4(4B³C²(-C² + K) +

+ B²C(12B² - 9C² + 4K)N + 3B(4B² - 2C² + K)N² - CN³),

i₃ = 4B³(C³ - CK) + 6B²(C² - K)N - 2A⁴(BC + N) + A³(B(-10C² + 2K + M) - 10CN)+

+ A²(4BC(B² - 3C² + 2K + M) - (6B² + 12C² + K)N) - 2N(K² + N²) +

+ A(B(-4C⁴ + B²(8C² - 4K) + K² + C²(5K + 4M)) - C(6B² + 4C² + 3K)N - 6BN²),

i₄ = 6B³C(-C² + K) + 12B²(-2C² + K)N + 3A⁴(BC + N) + A³(B(10C² - 3K - M) +

+ 10CN) + A²(-BC(6B² - 3C² + 4K + 3M) + (6B² + 3C² + 5K)N) +

+ 4N(-C⁴ + K² + N²) - 2BC(2C⁴ + K² - 2C²(2K + M) + 3N²) +

+ A(6B³(-2C² + K) - 6B²CN - 8C³N + 9CKN + B(-8C⁴ + 9C²K - 4K² + 6N²)),

i₅ = -133A⁴B(BC + N) + A³(B²(-211C² + 133K + 23M) - 263BCN - 52N²) -

- A²(B²C(30B² + 60C² - 101K - 46M) + B(98B² + 104C² + 35K)N +

+ 44CN²) - 12(B²C(2B² - C²)(C² - K) + B(-2C⁴ + B²(11C² - 3K) + C²K)N +

+ C(12B² - C² + K)N² + 3BN³) - 6A(B⁴(9C² - 5K) + 16B³CN -

- 4BC(2C² + K)N - (3C² + 2K)N² + B²(-5C⁴ + 3C²K + 3N²)),

i₆ = -(A + C)(B²(5A²C + 3C³ + A(8C² - 5K - M) - 2C(2K + M)) +

+ B(5A² + 10AC + 4(B² + C²) + K)N + (2A + C)N²),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022

144

САДОВСКИЙ

i₇ = B³C(-17C² + 20K + 6M) - 12B⁴N + 3B²(-8C² + 3K)N - 3BCN² +

+ 2A⁴(BC + N) + 2A³(B(C² - K) + CN) + A²(-19B³C + 6BCK - 15B²N + 8KN) +

+ 4N(K² + N²) + A(6B(C² - K)K + B³(-36C² + 19K + 3M) - 42B²CN + 6CKN - 6BN²),

i₈ = 3BC³ + AB(8C² - 5K - M) - 2BC(2K + M) +

+ 6B²N + 8ACN + (3(C² + K) + M)N + 5A²(BC + N),

i₉ = 2A⁴(BC + N) + A³(B(2C² - 2K + M) + 2CN) + A²(-12B³C + 4BCK - 6B²N + 7KN) +

+ A(12B³(-2C² + K) + BK(5C² - 3K + 4M) - 30B²CN + 5CKN - 6BN²) +

+ 6(2B³C(-C² + K) + 3B²(-C² + K)N + N(K² + N²)),

i₁₀ = 6B³(C³ - CK) + 6B²(C² - 3K)N - 4C²KN - 3A⁴(BC + N) +

+ A³(-4BC² + 3BK - 4CN) + A(6B³(2C² - K) + BK(-14C² + 9K) + 12B²CN - 14CKN) +

+A²(BC(6B²-C²-8K+M)-(C²+12K)N)+BC(-4C²K+6K²+4KM -6N²)-6N(K²+N²),

i₁₁ = 118B³(C³ - CK) + 96B⁴N + 12B²(7C² + 12K)N + 113A⁴(BC + N) +

+ A³(B(218C² - 113K + 3M) + 218CN) +

+ A²(182B³C + 3BC(43C² + 20K + M) + 102B²N + (129C² + 281K)N) +

+ 6BC(16C²K - 17K² + 4M² + N²) + A(2B³(150C² - 91K) + 3B(8C⁴ + 79C²K - 54K² + 4M²) +

+ 3C(46B² + 8C² + 123K)N - 114BN²) + 40(K(3C² + K)N + N³),

i₁₂ = B(A + C) + L + N.

Знание базиса Грёбнера идеала I даёт решение проблемы центра и фокуса системы

И.С. Куклеса, которое представлено в работе [2].

Теорема 2. Для идеала I базис Грёбнера состоит из пятидесяти семи многочленов v_i,

i = 1,57; в частности, I = 〈v₁,v₂,...,v₅₇〉.

Вопрос о базисе Грёбнера идеала J фокусных величин кубической системы И.С. Куклеса

полностью решает

Теорема 3. Каждая из одиннадцати порождающих идеал J фокусных величин f_k, k =

= 1, 11, при делении на произвольный многочлен базиса Грёбнера идеала I даёт в остатке

нуль.

Определения понятий, использующихся в формулировках теорем 2 и 3, и их свойства мож-

но найти, например, в монографиях [3, 4].

Автор благодарит доцента Белорусского государственного университета Д.Н. Чергинца за

подготовку статьи к печати и Кирилла Атрохова за компьютерную поддержку при работе над

статьёй.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Садовский А.П. Проблема центра и фокуса для аналитической системы с ненулевой линейной ча-

стью // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 10. С. 1413-1417.

2. Садовский А.П. Семикратные фокусы кубических систем Куклеса // Весн. Гродзенск. дзярж. ун-та.

Сер. 2. Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне. 2011. Т. 11. С. 42-56.

3. Кокс Д., Литтл Дж., О’ Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные

аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М., 2000.

4. Садовский А.П. Полиномиальные идеалы и многообразия. Минск, 2008.

Белорусский государственный университет,

Поступила в редакцию 17.08.2021 г.

г. Минск

После доработки 17.08.2021 г.

Принята к публикации 23.11.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№1

2022