ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 10, с. 1299-1315
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.926.4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ
ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С КОРРЕЛИРОВАННЫМИ ШУМАМИ
© 2022 г. Е. С. Паламарчук
Анализируется поведение решений линейных стохастических дифференциальных уравне-
ний с переменными коэффициентами, содержащих коррелированные аддитивные и муль-
типликативные возмущения, а также внешние воздействия в форме случайного процесса.
Находится вид функций с вероятностью, равной единице, и в среднем квадратичном, ма-
жорирующих решения при возрастании параметра времени. Полученные результаты при-
меняются при изучении проблемы моделирования субдиффузий, если решение линейного
стохастического дифференциального уравнения задаёт процесс скорости.
DOI: 10.31857/S0374064122100016, EDN: KPUCXV
Введение. Проведём анализ поведения решений линейных неоднородных стохастических
дифференциальных уравнений (СДУ) при коррелированных шумах в уравнении динамики и
стремлении параметра времени к бесконечности.
Пусть на полном вероятностном пространстве {Ω, F, P} с фильтрацией {Ft}t≥0 задан
скалярный процесс Xt, t ≥ 0, являющийся решением линейного СДУ вида
dXt = atXt dt + ft dt + Gt dWt + σtXt dwt
(1)
с неслучайным начальным условием X0 = x; at, Gt, σt - кусочно-непрерывные детермини-
рованные функции времени; ft, t ≥ 0, - измеримый Ft-согласованный случайный процесс со
∫t
свойством E
f2s ds < ∞, t ≥ 0; Wt, wt, t ≥ 0, - коррелированные одномерные Ft-согласо-
0
ванные винеровские процессы, т.е. dWt dwt = ρ dt, где ρ - константа, такая что -1 ≤ ρ ≤ 1.
При этом под решением уравнения (1) понимается Ft-согласованный случайный процесс Xt,
t ≥ 0, имеющий почти наверное (п.н.) непрерывные траектории, для которого при любом t ≥ 0
∫t
с вероятностью, равной единице, выполняются соотношения
(|asXs| + |fs| + σ2sX2s) ds < ∞
0
∫t
∫t
∫t
∫t
и Xt = x+
asXs ds +
fs ds +
Gs dWs +
σsXs dws (см. [1, определение 6.15, с. 48]),
0
0
0
0
|·| - знак модуля. Очевидно, что здесь идет речь о так называемом сильном решении СДУ,
существование и единственность которого в потраекторном смысле обсуждаются далее.
Уравнение (1) является уравнением с переменными коэффициентами, предположения о
которых формулируются ниже. Здесь отметим, что допускаются ситуации как неограничен-
ности, так и сингулярности параметров при t → ∞. Уравнения такого вида широко применя-
ются при моделировании в различных областях приложений (см. [2-4] и ссылки в работе [5]).
В частности, Xt может выступать в качестве процесса скорости, и тогда на его основе воз-
никают модели аномальных диффузий (см. [4, 6, 7]) для частных случаев уравнения (1), что
также будет обсуждаться в рамках данной статьи. Кроме того, важно отметить, что (1) может
получаться из ряда нелинейных уравнений при замене переменной, например, в области попу-
ляционной динамики [8] или экономических моделях [9]. Введённое предположение о наличии
корреляции между винеровскими процессами, задающими аддитивные и мультипликативные
возмущения, также мотивировано учётом различных факторов, влияющих на эволюцию ре-
альных процессов (в инженерии см. работу [10], в экономике - [11]). Внешние воздействия ft,
имеющие случайный характер, тоже могут играть существенную роль при описании динами-
ки, например, в теории стохастического управления (см. [12, раздел 1.2, с. 8]) с отдельным
выделением систем среднего поля [12, раздел 3.6, с. 106], а также в конкретных моделях (см.
1299
1300
ПАЛАМАРЧУК
[3] и [13]). Ниже формулируются основные предположения относительно коэффициентов урав-
нения (1).
Предположение A. Существует монотонная детерминированная функция δt > 0, t ≥ 0,
такая, что
t
∫
δv dv → ∞, t → ∞, limsup{(G2t + σ2t)/δt} < ∞,
(2)
t→∞
0
∫t
и при этом для функцииΦ(t, s) = exp (
av dv) выполняются неравенства
s
(
∫
t
)
( ∫ t
)
κ2 exp
-2κ δv dv
≤ Φ2(t,s) ≤ κ1 exp
-2
δv dv
,
s ≤ t,
(3)
s
s
(∫t
)
(
∫
t
)
Φ2(t,s)exp
σ2v dv
≤ κ3 exp
-2κ δv dv
,
s ≤ t,
(4)
s
s
при некоторых константах κi, κi > 0 (i = 1, 2, 3),
κ и κ таких, что κ ≥ 1, 0 < κ ≤ 1.
Условие (2) и правое неравенство в (3) дают асимптотическую сходимость к нулю с темпом
δt для решения детерминированной версии уравнения (1) (Gt = ft = σt ≡ 0). Если ft ≡ 0,
то в стохастическом случае наличие условий (4) и (2) обеспечивает ограниченность EX2t,
t ≥ 0. Также отметим, что левое неравенство в (3) является аналогом оценки Ляпунова (см.
[14, c. 132]).
Очевидно, что одним из важных вопросов при изучении уравнения (1) становится исследо-
вание его решений при возрастании параметра времени, в частности, интересует возможность
стремления Xt к нулю. В данной работе такой анализ проводится при помощи построения
верхних оценок в том или ином вероятностном смысле как функций от параметров в (1).
Точнее, ставится задача поиска неотрицательных функций ht иht, t ≥ 0, таких, что с веро-
ятностью, равной единице
EX2t
X2t
lim sup
< ∞ и limsup
< ∞.
ht
t→∞
t→∞ ht
Тогда, если известен вид ht иht, можно выявить условия на коэффициенты, при которых
EX2t → 0, т.е. возникает сходимость в среднем квадратичном, или же с вероятностью, равной
единице, справедливо соотношение X2t → 0, означающее стремление процесса к нулевому со-
стоянию п.н. при t → ∞. Ранее задача поиска функций ht иht исследовалась для частных
случаев уравнения (1). Так, в работе [15] рассматривались постоянные at, σt, коэффициент
Gt ≡ 0 и неотрицательная детерминированная функция ft с ограничением на рост. В [16] при
at ≡ a, σt ≡ σ, Wt = wt и неслучайной ft было найдено условие сходимости Xt → 0 п.н. при
t → ∞. При суперэкспоненциальном затухании коэффициента Gt, ft ≡ 0 и Wt = wt в [5]
были получены суперэкспоненциально убывающие функции ht иht. Случаи наличия только
одного из типов возмущений и без внешних воздействий в (1), т.е. если ft ≡ 0 и при этом Gt
или σt - тождественный нуль, изучались в статье [17] для аддитивного шума, в [18, раздел 4.2,
с. 117] - для мультипликативного шума.
Далее статья организована следующим образом: в п. 1 приводятся основные результаты о
виде функций ht иht в рамках предположения A, а также ряд вспомогательных результа-
тов и примеры; п. 2 посвящён вопросу моделирования при помощи уравнения (1) процессов
субдиффузий, являющихся одним из классов аномальных диффузий.
1. Основные результаты. Сначала приведём ряд вспомогательных результатов.
Лемма 1. Уравнение (1) имеет единственное сильное решение, при этом
∫t
Xt = Φ(t,0)x + Φ(t,0) Φ-1(s,0)fs ds +
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ
1301
∫t
∫t
+ Φ(t,0) Φ-1(s,0)Gs dWs - ρΦ(t,0) Φ-1(s,0)σsGs ds,
(5)
0
0
где
(∫t
∫
t
∫
t
)
1
Φ(t, s) = exp
av dv -
σ2
dv + σv dwv
(6)
v
2
s
s
s
и
( ∫s
∫
s
∫
s
)
1
Φ-1(s,0) = exp
- av dv +
σ2
v
dv - σv dwv
2
0
0
0
Доказательство. При сделанных предположениях существование единственного сильно-
го решения линейного СДУ вида (1) следует из известных результатов (см., например, [19,
лемма 7.1]), при этом интегралы Лебега в формуле (5) и стохастические интегралы Ито опреде-
∫t
лены в силу введённых условий на коэффициенты уравнения (1), в частности, при E
f2s ds <
0
< ∞, t ≥ 0. Также (см. [20]) почти все траектории Xt являются непрерывными функциями
времени и EX2t < ∞, t ≥ 0. Далее находится стохастический дифференциал для функции (5).
Здесь применяется формула d(ξtηt) = ηt dξt + ξt dηt + dξt dηt (см. [21, с. 168]) и учитываются
соотношения dΦ(t, 0) = atΦ(t, 0) dt + σtΦ(t, 0) dwt, dΦ(t, 0) dWt = ρσtΦ(t, 0) dt. Таким образом,
можно заметить, что dXt = atXt dt+ft dt+Gt dWt +σtXt dwt +ρσtGt dt-ρσtGt dt при X0 = x,
что совпадает с (1). Утверждение доказано.
Лемма 2. Пусть выполнено предположение A. Тогда справедлива оценка
lim sup{EX2t/ht} < ∞,
(7)
t→∞
где функцияht задаётся в виде
{
∫
t
}
∫
t
{
∫
t
}(
)
Ef2s
ht = exp
- 2κ(1 - λ) δv dv x2 + exp
- 2κ(1 - λ) δv dv G2s +
ds
(8)
δs
0
0
s
для любой константы λ,
0 < λ < 1, при этом постоянная κ,
0 < κ ≤ 1, берётся из усло-
вия (4).
Доказательство. Для процесса Xt, t ≥ 0, справедливо представление
t
t
∫t
∫
∫
Xt =Φ(t,0)x +
Φ(t,s)fs ds +
Φ(t, s)Gs dWs +
Φ(t,s)σsXs dws,
(9)
0
0
0
∫t
где
Φ(t, s) = exp (
av dv), а соответствующие интегралы в (9) определены в силу того, что
s
∫t
E
f2s ds < ∞ и EX2t < ∞, t ≥ 0. После возведения равенства (9) в квадрат, нахождения
0
математического ожидания от обеих частей по правилам стохастического исчисления, в част-
∫t
∫t
∫t
ности, с учётом формулы E(
Φ(t, s)Gs dWs
Φ(t, s)σsXs dws) =
Φ2(t,s)ρσsGsEXs ds, по-
0
0
0
лучим соотношение
(∫t
)2
∫
t
∫
t
EX2t =Φ2(t,0)x2 + E
Φ(t, s)fs ds
+
Φ2(t,s)G2s ds +
Φ2(t,s)σ2sEX2s ds + I0(t),
0
0
0
где
(∫t
)
(∫t
∫
t
)
I0(t) = 2Φ(t,0)xE
Φ(t, s)fs ds
+ 2E
Φ(t, s)fs ds
Φ(t, s)Gs dWs
+
0
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1302
ПАЛАМАРЧУК
∫t
(∫t
∫
t
)
Φ2
+2
(t, s)ρσsGsEXs ds + 2E
Φ(t, s)fs ds
Φ(t, s)σsXs dws
0
0
0
Далее, применив элементарное неравенство вида AB ≤ A2/c + cB2, справедливое для любых
действительных чисел A, B и c > 0, к слагаемым в формуле для I0(t), а также неравенство
∫t
Коши-Буняковского для выражения (
Φ(t, s)fs ds)2, после приведения подобных членов бу-
0
дем иметь оценку
∫
t
∫
t
Φ2-2ε(t,s)δ-1
EX2t ≤ cxΦ2(t,0)x2 + cf δsΦ2ε(t,s)ds
s
Ef2s ds +
0
0
∫t
∫
t
+cG
Φ2(t,s)G2
s
ds + cσ
Φ2(t,s)σ2sEX2s ds,
0
0
где cx = 1 + ε-1xf, cf = 1 + εxf + ε-1fG + ε-1fσ cG = 1 + εfG + ε-1fσ, cσ = 1 + εfσ + εGσ при некото-
рых сколь угодно малых положительных константах εxf , εfG, εfσ, εGσ и 0 < ε < 1. Заме-
тим, что I0(t) ≡ 0 при ft ≡ 0 и ρ = 0, и тогда можно положить cσ = 1. Введём переменную
yt =Φ2(0,t)EX2t и перейдём к неравенству
∫t
yt ≤ cxx2 + cfl(1)t + cGl(2)t + cσσ2sys ds,
0
∫t
∫t
∫t
где функции l(1)t =
δs Φ2ε(0,s)ds
Φ2-2ε(0,s)δ-1
Ef2s ds, l(2)t =
Φ2(0,s)G2s ds, откуда при
0
0
s
0
помощи неравенства Гронуолла-Беллмана в интегральной форме (см. [22, лемма 2.7, с. 42])
получим оценку
(∫t
)
∫
t
( ∫ t
)
∫
t
(∫t
)
yt ≤ cx exp
cσσ2v dv x2
+ cf exp cσ σ2v dv dl(1)
+ cG exp
cσσ2v dv dl(2)s.
s
0
0
s
0
s
Возвращаясь к исходным переменным, можно записать
(∫t
)
∫
t
(∫t
)
EX2t ≤ cxΦ2(t,0)x2 exp
ε0σ2
dv
+cG
Φ2(t,s)exp
ε0σ2v dv G2s ds + I1(t) + I2(t),
v
0
0
s
где ε0 > 0 - сколь угодно малое число,
(∫t
)
Φ2(t,s) =Φ2(t,s)exp
σ2v dv
,
s
∫t
(∫t
)
∫
s
I1(t) = cf
Φ2(t,s)exp
ε0σ2v dv
Φ2ε(s,0)δ-1sEf2s ds δτ Φ2ε(0,τ)dτ ds,
0
s
0
∫t
(∫t
)
∫
s
I2(t) = cf
Φ2(t,s)exp
ε0σ2v dv δs Φ2-2ε(s,0)
Φ2-2ε(0,τ)δ-1
Ef2τ dτ ds.
τ
0
s
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ
1303
Заметим, что следствием условия lim sup{σ2t/δt} < ∞ является неравенство вида
t→∞
(∫t
)
(∫t
)
exp
ε0σ2v dv
≤ κ exp
ε0δ2v dv
,
s
s
справедливое при сколь угодно малом числе ε0 > 0 и некоторой константе κ > 0. Тогда с учё-
том свойств (3) и (4) предположения A для слагаемых I1(t) и I2(t) при некоторой константе
cf > 0 справедливы неравенства
∫t
{
∫
t
}∫s
{
∫
s
}
I1(t) ≤ cf exp
- 2(1 - λ)κ δv dv
δτ exp
- 2ε δv dv dτ δ-1sEf2s ds,
0
s
0
τ
∫t
{
∫
t
} ∫s
{
∫
s
}
I2(t) ≤ cf exp
- 2(1 - λ)κ δv dv δs exp
- (2 - 2ε) δv dv δ-1τEf2τ dτ ds,
0
s
0
τ
где 0 < λ < 1. Далее, выбрав величину ε такой, что 2-2ε > 2(1-λ)κ, после интегрирования
по частям можно перейти к оценке
∫t
{
∫
t
}
I1(t) + I2(t) ≤ ĉf exp
- 2(1 - λ)κ δv dv δ-1sEf2s ds
0
s
с некоторой константой ĉf > 0. Объединяя полученные результаты, приходим к окончатель-
ному соотношению вида
{
}
∫
t
{
∫
t
}
∫
t
EX2t ≤ ĉx exp
-2(1 - λ)κ
δv dv x2
+ ĉG exp
- 2(1 - λ)κ δv dv G2s ds +
0
0
s
∫t
{
∫
t
}
+ ĉf exp
- 2(1 - λ)κ δv dv δ-1sEf2s ds,
0
s
где
ĉx,
ĉG - некоторые положительные константы, что и влечёт за собой справедливость
оценки (2). Лемма доказана.
Возникновение константы λ, уменьшающей показатель экспоненциальной функции в (8),
вызвано наличием ненулевой корреляции ρ = 0 между винеровскими процессами, задающими
аддитивные и мультипликативные возмущения в (1), а также включением внешних воздей-
ствий ft в динамику (1). Нетрудно заметить (см. доказательство леммы 2), что при ρ = 0 и
ft ≡ 0 оценка (2) остаётся справедливой и при λ = 0.
Как упоминалось ранее, при потраекторном анализе поведения Xt, t → ∞, актуальной
задачей становится получение условий на коэффициенты, гарантирующих сходимость Xt к
нулю с вероятностью, равной единице. Результат леммы 2 также может быть использован для
проблем такого рода. Заметим, что для процесса Xt, t ≥ 0, являющегося решением уравнения
(1), с вероятностью, равной единице, также справедливо представление
(∫t
) ∫ t (∫t
)
Xt = exp
av dv x + exp
av dv Gs dWs +
0
0
s
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1304
ПАЛАМАРЧУК
∫t
(∫t
)
∫
t
(∫t
)
+ exp av dv fs ds + exp av dv σsXs dws,
0
s
0
s
при этом интегралы Лебега и стохастические интегралы Ито определены в силу введённых
условий на коэффициенты уравнения (1) и того, что EX2t < ∞, t ≥ 0 (см. доказательство
∫t
∫t
∫t
∫t
леммы 1). Тогда, определяя Y(0)t =
exp (
av dv)σsXs dws, X(0)t =
exp (
av dv)Gs dWs и
0
s
0
s
∫t
∫t
ξt =
exp (
av dv)fs ds, приходим к представлению
0
s
(∫t
)
Xt = Y(0)t + X(0)t + ξt + exp
av dv x,
(10)
0
где процессы Y(0)t, X(0)t и ξt, t ≥ 0, допускают стохастические дифференциалы
dY (0)t = atY (0)tdt + σtXt dwt,
(11)
dX(0)t = atX(0)t dt + Gt dWt,
(12)
dξt = atξt dt + ft dt
(13)
при нулевых начальных условиях Y(0)0 = X(0)0 = ξ0 = 0. В следующем утверждении приводит-
ся условие, позволяющее перейти от анализа сходимости процесса Xt при t → ∞ к анализу
поведения процессов X(0)t и ξt, динамика которых не содержит мультипликативных возму-
щений.
∫∞
Лемма 3. Пусть выполнено предположение A и lim sup{|at|/δt} < ∞. Если
σ2tht dt <
0
t→∞
< ∞, где функцияht определена в (8), то в (10) процесс Y(0)t → 0 п.н. при t → ∞. Тогда
процесс Xt → 0, t → ∞, с вероятностью, равной единице, если процессы X(0)t → 0 и ξt → 0
п.н., t → ∞. При этом процессы Y(0)0, X(0)0 и ξt, t ≥ 0, заданы в формулах (11)-(13).
Доказательство. Соответствующее равенству (11) интегральное представление имеет вид
∫t
∫t
Y(0)t = It + Mt, где It =
as
s ds, Mt =
σsXs dws. Слагаемое Mt → M∞, t → ∞,
0
0
п.н. и в среднем квадратичном, здесь M∞ - случайная величина (с.в.), так как выполне-
∫t
∫t
ны условие lim sup{EM2t} < ∞, следующее из (2), оценки EM2t =
σ2sEX2s ds ≤ c
σ2tht и
0
0
t→∞
предположения в утверждении доказываемой леммы (здесь и далее c > 0 - некоторая кон-
станта, конкретное значение которой не играет роли). Для слагаемого It известно, что It →
→ I∞, t → ∞, в среднем квадратичном и п.н. (I∞ - с.в.), если EI2∞ < ∞ (см. [23, c. 97]),
∫t∫t
где EI2t =
asaτ E(
s
τ
) ds dτ. Ковариация E(
s
τ
) находится как E(
s
τ
)=
0
0
∫s
∫τ
= exp (
av dv)[E(
τ
)2], τ ≤ s, и E(
s
τ
) = exp(
av dv)[E(
s
)2], τ > s. Из уравне-
τ
s
ния
dE[Y(0)t]2 = 2atE[Y(0)t]2 dt + σ2tEX2t dt
∫t
∫t
с начальным условием E[Y (0)0]2 = 0 определяется функция E[Y (0)t]2 =
exp (
av dv)σ2sEX2s ds.
0
s
С учётом вида E[Y (0)t]2, предположения lim sup{|at|/δt} < ∞ и неравенств (3) при оценивании
t→∞
приведённого выше выражения для EI2t получаем, что
∫t
∫
s
( ∫ t
)
∫
t
∫
t
EI2
≤ 2c δt δs exp
- δv dv E[Y (0)s]2 dsdt ≤ 2c δsE[Y (0)s]2 ds ≤ 2c σ2sEX2s ds
t
0
0
s
0
0
(здесь и далее
c> 0 - некоторая константа). Таким образом, EI2∞ < ∞ и It → I∞, t →
→ ∞, п.н. и в среднем квадратичном. Следовательно, Y(0)t →
∞ , t→∞,
∞ - некоторая
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ
1305
∫∞
с.в., с вероятностью, равной единице, При этом условие
σ2sEX2s ds < ∞ влечёт за собой
0
E[Y(0)t]2 → 0, t → ∞, т.е. Y(0)t → 0 в среднем квадратичном. Из работы [22, c. 49] известно,
что тогда предельные случайные величины п.н. совпадают, т.е.
∞ = 0. Соответственно, из
представления (10) следует, что для соотношения Xt → 0 п.н. достаточно потребовать, чтобы
с вероятностью, равной единице, выполнялось условие X(0)t → 0, а также ξt → 0, t → ∞.
Утверждение доказано.
Обращаясь к утверждению леммы 3, отметим, что (12) и (13) являются линейными уравне-
ниями, поэтому при исследовании асимптотического поведения их решений можно воспользо-
ваться известными результатами. В [17] приведён вид детерминированной функции h(0)t такой,
что lim sup{X(0)t/h(0)t} < ∞ и, очевидно, что ситуация h(0)t → 0 также влечёт за собой и схо-
t→∞
димость X(0)t → 0 п.н., t → ∞. Кроме того, если известна неслучайная функция h(f)t, для
которой с единичной вероятностью справедливо неравенство lim sup{|ft|/h(f)t} < ∞, то для
t→∞
проверки сходимости п.н. ξt → 0, t → ∞, переходят к исследованию при t → ∞ функции
∫t
∫t
dt =
exp (-
δv dv)hsf) ds.
0
s
Замечание 1. Из предположения ∫и оценки (2) след∫ет, что условие в утверждении лем-
∞
∞
мы 3 справедливо при неравенствах
σ2t dt < ∞ и
(Ef2t/δ2t) dt < ∞, для выполне-
∫∞
0
∫∞
0
ния которых достаточно условий
G2t dt < ∞ и
(Ef2t/δt) dt < ∞. Более того, условие
0
0
∫∞
G2t dt < ∞ влечёт за собой соотношение X(0)t → 0 п.н., t → ∞. Если дополнительно из-
0
∫∞
∫∞
√
вестно, что
(Ef2t/δt) dt < ∞ или
Ef2t dt < ∞, то ξt → 0 п.н., а значит, и Xt → 0,
0
0
t → ∞, с вероятностью, равной единице.
Полученные в лемме 3 условия позволяют выяснить, имеет ли место асимптотическая по-
траекторная сходимость процесса Xt к нулю, однако это не даёт ответа на вопрос о скорости
такой сходимости. Соответствующее утверждение является одним из основных результатов
работы и формулируется ниже.
Пусть ε > 0 - действительное число. Положим
∫t
{ ∫s
∫
s
}
Nt(ε) = exp
2κ δv dv + (1 + ε) σ2v dv G2s ds,
(14)
0
0
0
где κ ≥ 1 - константа из условия (3).
Также определим величину α > 0 следующим образом:
2
α=
+ β,
(15)
1 + (1 - κ/κ)-1
где β > 0 - сколь угодно малое число, константы κ и κ взяты из (3) и (4) предположения A.
Теорема 1. Пусть выполнено предположение A. Тогда lim sup{X2t/ht} < ∞ п.н. для
t→∞
функции ht, задаваемой в виде
∫t
{
∫
t
}(
) (∫t
)α
f2s
ht = h(0)t + exp
- 2(1 - λ2)
δv dv G2s +
ds
σ2v dv
,
(16)
δs
0
s
0
где функция h(0)t определяется по формуле
{
∫
t
∫
t
}
h(0)t = exp
-2
δv dv - 2(1 - λ0) σ2v dv x2 +
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1306
ПАЛАМАРЧУК
∫t
{
∫
t
} (∫t
∫
)
+ exp
- 2(1 - λ1) δv dv G2s ds
σ2v dv ln
δv dv
,
0
0
0
0
если при любом ε > 0 выполняется условие Nt(ε) → ∞, t → ∞, и
{
∫
t
∫
t
}
h(0)t = exp
-2
δv dv - 2(1 - λ0) σ2v dv
(1 + x2),
0
0
если для некоторого ε > 0 функция N∞(ε) < ∞.
При этом функция Nt(ε) задаётся в (14), λi - произвольные константы, 0 < λi < 1,
i = 0,1,2. Для случая limsup{σ2t /δt} > 0 величина α определена в (15), и α > 0 - сколь угод-
t→∞
∫∞
но малое число при limsup{σ2t/δt} = 0. Кроме того, в случае
σ2t dt < ∞ можно положить
0
t→∞
λ1 = 0.
Доказательство. Рассмотрим представление (5) и запишем оценку
X2t ≤ 2(It + J(1)t + J(2)t) + 2Φ2(t,0)x2,
(17)
где
∫t
It = Φ2(t,0)M2t при Mt = Φ-1(s,0)Gs dWs,
(18)
0
(∫t
)2
(∫t
)2
J(1)t = Φ2(t,0)
Φ-1(s,0)fs ds
,
J(2)t = ρ2Φ2(t,0)
Φ-1(s,0)σsGs ds
0
0
В силу неравенства Коши-Буняковского и условия lim sup{σ2t/δt} < ∞ слагаемые J(1)t и J(2)t
t→∞
оцениваются следующим образом:
∫
t
J(1)t + J(2)t ≤ cΦ2(t,0)(Φ(t,0))-2ε Φ-2(s,0)(Φ-1(s,0))2ε
(f2s + ρ2G2)sds,
(19)
δs
0
∫t
здесь
Φ(t, s) = exp (
av dv), ε > 0 - сколь угодно малое число. Далее анализируются две
0
∫t
ситуации в зависимости от поведения
σ2v dv, t → ∞.
0
I. Рассмотрим слагаемое It = Φ2(t,0)M2t из (17). Так как Mt - мартингал (см. (18)), то при
функции Nt(ε), определённой в (14), выполнения при некотором ε > 0 условия N∞(ε) < ∞
будет достаточно для существования M∞ в силу соотношения lim sup{〈Mt〉/Nt(ε)} < ∞,
t→∞
∫t
здесь 〈Mt〉 =
Φ-2(s,0)G2s ds - квадратическая характеристика Mt. При этом из закона
0
повторного логарифма и формулы (6) следует, что с единичной вероятностью справедлива
оценка
{
∫
t
∫
t
}
Φ2(t,0) ≤ cexp
-2
δv dv - (1 - ε) σ2v dv ,
t > t0(ω), ω ∈ Ω,
0
0
ε > 0 - сколь угодно малое число, t0(ω) - п.н. конечный момент.
∫t
Следовательно, lim sup{|It|/h(0)t} < ∞ п.н. для функции h(0)t = exp{-2
δv dv - (1 - ε) ×
0
t→∞
∫t
×
σ2v dv}. Пусть теперь при любом ε > 0 имеет место Nt(ε) → ∞, t → ∞. Применим к
0
процессу Mt в (18) закон повторного логарифма для мартингалов (см. [24]), получив оценку
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ
1307
M2t ≤ c〈Mt〉ln ln〈Mt〉 п.н. при t > t0(ω). Вследствие предположения A и формулы (6) имеем,
∫t
что lim sup{ln ln〈Mt〉/ ln(
δv dv)} < ∞. Тогда с вероятностью, равной единице, справедлива
0
t→∞
оценка
(∫t
)
I2t ≤
Jt ln
δv dv
,
t > t0(ω),
(20)
0
где
∫t
Jt = Φ2(t,0) Φ-2(s,0)G2s ds.
(21)
0
∫t
Далее, пусть
σ2v dv → ∞, t → ∞, и при фиксированном ω ∈ Ω для оценки Φ2(t,s) ис-
0
пользуются законы повторного логарифма для приращений винеровского процесса [25, 26].
∫t
∫t
Сделаем замену переменной времени t =
σ2v dv, получив процесс ŵ˜t =
σv dwv,
ŵ - неко-
0
0
торый винеровский процесс. Тогда для малого ε > 0 с единичной вероятностью выполняются
неравенства
√
√
√
t
| ŵ˜t - ŵs| ≤
2(1 + ε)
t-sln
+ ln ln{(t- s) ∨ e}
(22)
t-s
при t > t0(ω), 0 ≤ s ≤ t- (1/e - ε),
√
√
√
1
| ŵ˜t - ŵs| ≤
2N(ω)
t-slnln
,
0 ≤ t- s ≤ 1/e - ε,
(23)
(t- s)
где t0(ω) - п.н. конечный момент времени, N(ω) - п.н. конечная с.в., запись A ∨ B означает
max{A, B}. В результате для функции (21) имеем оценку
{ ∫s
}
Jt
J(1)t
J(2)t
J(3)t, t > t0 = max(t0,t1), t1 = inf s : σ2
dv > t0
v
0
∫t
∫t
При этом
J(1)t = cexp (-2
δv dv - (1 - ε)
σ2v dv)χˆt0 , где χ
t0
- п.н. конечная с.в.; остальные
0
0
интегралы
∫
∫
t
J(2)t = Φ2(t,0)
Φ-2(s,0)G2s ds,
J(3)t = Φ2(t,0)
Φ-2(s,0)G2s ds,
t0
t-t1
∫t
где момент времени t1 = t - inf{t :
σ2v dv > t- (1/e - ε)}.
0
При оценивании
J(2)t сверху при помощи (22) замечаем, что максимальное значение функ-
ции g(y) = -b0y +
√y√b - b1y + b1 ln ln(y ∨ e), где 1/e - ε ≤ y ≤ eb, b ≫ b0, b1
(≫ - знак
много больше), не превышает величины b/(4b0). С использованием (3) и (4) предположения A
записывается оценка
{ ∫ t
}
{
∫
t
}
exp
2λ1
av dv
≤ κ0 exp
-λ1(1 - κ/κ)-1 σ2v dv
0
0
при произвольной постоянной λ1,
0 < λ1 < 1, где κ0 > 0 - некоторая константа. Полагая
b = 8(1 + ε)lnt, b1 = 8(1 + ε) и b0 = 1 + λ1(1 - κ/κ)-1, получаем неравенство
{
∫
t
}(∫ t
)α
Φ2(t,s) ≤ cexp
2(1 - λ1) av dv
σ2v dv
s
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1308
ПАЛАМАРЧУК
для t0 ≤ s ≤ t - t1, показатель α>0 определён в (15). Отметим, что в случае lim sup{σ2t/δt}=
t→∞
= 0 отношение κ/κ можно заменить на число, близкое к единице, и тогда величина α ока-
жется сколь угодно малой.
Для определения асимптотической верхней границы интеграла
J(3)t учитывается (23) и
√
√
тот факт, что функция g1(y) = -y +
2N(ω)
y ln ln(1/y) при 0 ≤ y ≤ 1/e - ε п.н. ограниче-
∫t
на, точнее g1(y) ≤ cN(ω). Тогда Φ2(t, s) ≤ c exp {-2
δv dv + cN(ω)} и при интегрировании
s
соответствующее выражение будет мажорироваться верхней оценкой для
J(2)t в силу предпо-
∫t
ложения
σ2v dv → ∞, t → ∞.
0
Учитывая полученные выше оценки, можно записать вид верхней функции для
Jt из (21):
∫t
{
∫
t
} (∫t
)α
Jt ≤ c exp
- 2(1 - λ1) δv dv G2s ds
σ2v dv
,
0
s
0
где 0 < α < 2 и при этом α определяется в (15), если lim sup{σ2t/δt} > 0, в противном случае
t→∞
α - произвольное положительное число.
Проведённые выше рассуждения также используются при построении оценки для J(1)t+J(2)t
из (19) с заменой λ1 на λ2. Возвращаясь к (17) и (20), будем иметь неравенство
∫t
{
∫
t
}(
) (∫t
)α
f2s
X2t ≤ ch(0)t + c exp
- 2(1 - λ2)
δv dv ρ2G2s +
ds
σ2v dv
,
(24)
δs
0
s
0
где t > max {t0(ω), t0(ω)},
∫t
{
∫
t
} (∫t
∫
)
h(0)t = exp
- 2(1 - λ1) δv dv G2s ds
σ2v dv ln
δv dv
+
0
s
0
0
{
∫
t
∫
t
}
+ exp
-2
δv dv - 2(1 - λ0) σ2v dv x2
0
0
при выбранных константах λ0, λ1 и λ2 таких, что 0 < λ0 < 1, 0 < λ1 < 1, 0 < λ2 < 1.
∫∞
II. В случае
σ2v dv < ∞ нетрудно заметить, что с вероятностью, равной единице, имеет
0
∫∞
∫t
место сходимость
σv dwv → χ∞, где χ∞ =
σv dwv - п.н. конечная с.в. Следовательно,
∫∞
0
0
|
σv dwv| < ε п.н. при s ≥ t0(ω),
t0(ω) - п.н. конечный момент. Тогда для функции Φ(t,s)
s
при t ≥ s > t0(ω) справедлива оценка
{
∫
t
}
{
∫
t
}
Φ2(t,s) ≤ κ1 exp
-2
δv dv exp (2ε) ≤ κ1 exp
-2
δv dv
п.н.,
s
s
где κ1 = κ1 exp (2ε). Соответственно, переходя к оцениванию It в (20), получаем, что при
t > max{t0(ω),t0(ω)} с единичной вероятностью выполняется неравенство
∫t
{
∫
t
}
(∫t
)
It ≤ c exp
-2
δv dv G2s ds ln
δv dv
,
0
s
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ
1309
а при оценке сверху суммы J(1)t + J(2)t из (19) приходим к соотношению
∫t
{
∫
t
}(
)
f2s
J(1)t + J(2)t ≤ c exp
- 2(1 - λ2) δv dv G2s +
ds п.н.
δs
0
s
Объединяя все оценки, получаем аналог формулы (24) со значениями λ1 = 0 и α = 0. Да-
∫t
∫t
лее положив h(0)t = exp {-2
δv dv - 2(1 - λ0)
σ2v dv}(x2 + 1) для случая N∞(ε) < ∞, име-
0
0
ем утверждение теоремы. Теорема доказана.
Сравнивая полученный в теореме 1 результат с оценкой в работе [17] только для аддитив-
ных возмущений, можно заметить, что новые факторы, включённые в динамику уравнения
(1), нашли своё отражение в виде соответствующей оценки (16). Наличие мультипликатив-
∫t
ных шумов увеличивает верхнюю границу пропорционально значению (
σ2v dv)α, наряду
0
с предположением о корреляции ρ = 0 и случайных внешних воздействиях ft. При этом
уменьшить показатель α можно путём привлечения свойства (4) предположения A, а также
в случае σ2t/δt → 0, t → ∞. Более того, стоит отметить (см. доказательство теоремы 1), что
оценка вида (16) остаётся верной и при κ < 0 в (4), требуется лишь корректировка в вы-
ражении для α. В частности, при at ≡ a < 0, σt ≡ σ = 0, константа κ = 1 + σ2/(2a). Тогда
α = 2(1 - 2a/σ2)-1 + β, т.е. α < 1 при 2|a| > σ2, когда κ > 0 в (4), и 1 < α < 2 для 2|a| ≤ σ2,
κ ≤ 0 в (4). Таким образом, из (16) следует результат, ранее полученный в статье [15], где
предполагалось Gt ≡ 0, ft > 0 - детерминированная функция,
˙
f
t/ft → 0, t → ∞ (˙ - произ-
водная функции по времени). Вместе с тем неравенство (4) играло важную роль в работе [16],
где также рассматривались постоянные функции at ≡ a и σt ≡ σ при ρ = 1 и неслучайной
ft. Приведённое в [16] интегральное условие для сходимости п.н. к нулю процесса Xt, имев-
шее вид
∞
t
∫
∫
exp {-γ(t - s)m}[( sup
|Gv|)m + ( sup |fv - σ2Gv|)m] ds dt < ∞,
s≤v≤t
s≤v≤t
0
0
при некоторых констант∫х γ, m таких, что 0 < γ < κ,
0 < m < 1 + 2|a|σ-2, можно отнести
∞
к аналогам требования
(G2t + f2t) dt < ∞ в замечании 1.
0
В следующих примерах рассматривается применение утверждения теоремы 1, а также
лемм 2 и 3 при анализе сходимости к нулю решений конкретных линейных СДУ. Далее запись
gt ∼ gt для двух скалярных функций gt, gt ≥ 0 означает, что 0 < lim
(gt/gt) < ∞.
t→∞
Пример 1. Пусть в уравнении (1) отсутствуют внешние воздействия, т.е. ft ≡ 0, и рас-
сматривается степенное семейство коэффициентов в (1), т.е. δt ∼ ktp, Gt ∼ tμ, σt ∼ tγ, p, μ,
γ - действительные числа, константа k > 0. По предположению A 2μ ≤ p и 2γ ≤ p, при этом
p ≥ -1. Из утверждения леммы 2 следует, что еслиht → 0, t → ∞, то и EX2t → 0, функция
ht задаётся формулой (8). Замечаем, что при p > -1 функцияht ∼ t2μ-p. Для случая p = -1
имеемht ∼ t2μ+1 при 2k(1 - λ)κ + 2μ > -1,
ht ∼ t-2k(1-λ)κ ln t, если 2k(1 - λ)κ + 2μ = -1
и
ht ∼ t-2k(1-λ)κ при 2k(1 - λ)κ + 2μ < -1. Таким образом, условие 2μ < p обеспечивает
ht → 0, а значит, и сходимость к нулю в среднем квадратичном для процесса Xt при t → ∞.
При исследовании сходимости с единичной вероятностью используются оценки из теоремы 1
и леммы 3. При 2γ < p получаем из (16), что ht ≤ ct2μ-ptα ln t, здесь α > 0 - сколь угод-
но малое число,
c> 0 - некоторая константа. Следовательно, при 2μ < p также гаранти-
руется, что X2t → 0 п.н. при t → ∞. Пусть далее 2γ = p. В случае p = -1 множитель
∫t
(
σ2v dv)α ∼ lnα t и требование 2μ < p сохраняется, если нужно обеспечить X2t → 0 п.н.,
0
t → ∞. Если p > -1, то ht ∼ t(2μ-p)t(p+1)α lnt, где показатель α определяется в (15). Со-
ответственно, при 2μ < p - (p + 1)α и∫меем сходимость X2t → 0 с вероятностью, равной еди-
∞
нице, t → ∞. Вместе с тем условие
σ2tht dt < ∞ в лемме 3 выполнено при 2μ < -1 и
0
тогда X2t → 0 п.н. Таким образом, при p > -1 формулируется общее условие вида 2μ <
< max {-1,p - (p + 1)α}, дающее при t → ∞ сходимость X2t → 0 п.н. Это требование также
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1310
ПАЛАМАРЧУК
совпадает с условием из примера в статье [16], где рассмотрен случай p = γ = 0 и проведён
анализ сходимости Xt → 0 с единичной вероятностью.
Пример 2. В [13] рассматривалась фармакокинетическая модель концентрации химиче-
ского вещества в виде случайного процесса с двумя компонентами
Yt
Yt), t ≥ 0. При этом
процессы
Yt,
Yt, t ≥ 0, представляли собой отклонения текущих концентраций от плановых
значений и уравнения динамики имели вид
Yt = -k0
Yt dt + σ
Ytd wt,
(25)
Yt = k0
Yt dt - k1Yt dt +
Ytd ŵt
(26)
с неслучайными начальными условиям
Y0 = y,
Y0 = ŷ; k0,k1 > 0 - темпы абсорбции (в (26)
постоянная k0 также задавала темп поступления вещества); ( wt, ŵt), t ≥ 0, - двумерный
винеровский процесс;
σ, σ > 0 - константы, характеризующие степень влияния случайных
факторов. Процесс
Yt
Yt), t ≥ 0, получался после воздействия выбранной авторами рабо-
ты [13] стратегии управлении, и возникал вопрос, насколько это способствует достижению
системой нулевого состояния в долгосрочном периоде. Нетрудно заметить, что процесс в урав-
нении (25) - геометрическое броуновское движение, а (26) задаёт так называемое неоднородное
геометрическое броуновское движение. Таким образом,
Yt = yexp {-k0t - (1/2)σ2t + σ wt} и,
очевидно,
Yt → 0 п.н. t → ∞. Для исследования сходимости
Yt используется утверждение
теоремы 1. Полагая Xt
Yt, x = ŷ, ft = k0
Yt, at ≡ -k1, σt ≡ σ, получаем вид уравнения
(1). При этом условия (2) и (3) из предположения A выполняются для δt = -k1. Так как в
[13] не делается предположений о соотношении k1 и
σ2, то в условии (4) κ = 1 - σ2/(2k1).
Из (16) имеем
∫
t
ht ∼exp {-2k1t-(1-λ0)σ2t}ŷ2 + tαk20y2 exp {-2k1(1-λ1)(t-s)}exp {-2k0s - σ2s + 2σ ws}ds,
0
где λ0, λ1 - константы, 0 < λ0 < 1,
0 < λ1 < 1; α = 2 + β, β > 0 - сколь угодно малое
число. При 2k1 - 2k0 - σ2 < 0 существует с.в.
∫∞
χ∞ = exp{2k1(1 - λ1)s}exp{-2k0s - σ2s + 2σ ws}ds
0
(см. [27]), и тогда выполняется оценка lim sup{ht/ĥt} < ∞, гдеĥt = exp{-2k1(1 - λ)t}, при
t→∞
любой константе λ,
0 < λ < 1. Если же 2k1 - 2k0 - σ2 ≥ 0, то из закона повторного
ĥt
логарифма имеем, что lim sup{ht/ĥt} < ∞ для
= exp {-2k0t - (1 - λ)σ2t} при любой
t→∞
константе λ,
0 < λ < 1. Таким образом,
Yt → 0 с единичной вероятностью при t → ∞, и
при этом lim sup
Y2t/exp (-γt)} < ∞, величина γ = min{2k1(1 - λ),2k0 + (1 - λ)σ2} для
t→∞
любой константы 0 < λ < 1.
2. Приложение к моделированию аномальных диффузий. Физические процессы,
получившие название аномальных диффузий, часто наблюдаются в реальном мире. Термин
“аномальная” принят вследствие того, что ряд известных свойств этих процессов существен-
но отличается от “нормальных” диффузий, моделируемых броуновским движением. Базовой
характеристикой, приписываемой любой диффузии, является среднеквадратичное перемеще-
ние (MSD, mean-square displacement). Тогда аномальная диффузия определяется как процесс
с нелинейным ростом во времени среднеквадратичного перемещения.
Определение 1. Пусть Xt, t ≥ 0, задаёт процесс скорости и T > 0 - длина горизонта
∫T
наблюдения. Тогда YT =
Xt dt - соответствующий процесс перемещения при начальном
0
условии Y0 = 0. Среднеквадратичное перемещение определяется по формуле
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ
1311
(∫T
)2
∫
T
∫
T
DT = EY2T = E Xt dt
=
E(XtXs) ds dt.
0
0
0
Отметим, что если Xt - процесс “белого шума”, то YT = BT , где Bt, t ≥ 0, - броуновское
движение, DT = T .
Определение 2 [6]. Пусть
d1 = lim inf(DT /T ) и
d2 = lim sup(DT /T). Тогда при
0 <
T→∞
T→∞
< d1 ≤ d2 < ∞ диффузия называется нормальной, в противном случае - аномальной (для
d2 = 0 - субдиффузией), при d1 = ∞ - супердиффузией.
Среднеквадратичное перемещение относится к важным статистическим характеристикам,
однако не даёт ответа на вопрос о возможных колебаниях отдельной траектории случайного
процесса YT при T → ∞. Как известно, этой цели служит понятие верхней функции процесса,
когда соотношение lim sup{ZT /hT } < ∞ выполняется п.н. для случайного процесса ZT ≥ 0,
T→∞
T ≥ 0, и функцииhT ≥ 0, которая обычно выбирается детерминированной. В частности, из
√
закона повторного логарифма следует, чтоhT =
T ln ln T для ZT = |BT |. Следующее ниже
√
определение основано на идее сравнения процессов YT с функцией
T ln ln T при T → ∞.
√
Определение 3. Если lim sup{|YT |/
T ln ln T } = 0, то процесс называется субдиффузией
T→∞
по отношению к верхней функции.
Отметим, что если YT → Y∞ п.н., T → ∞, где Y∞ - с.в., то имеет место “вырожденный”
случай субдиффузии, который также является следствием ограниченности DT , T ≥ 0.
Уравнение вида (1) обобщает ранее известные описания диффузий, допуская зависящие от
времени коэффициенты, коррелированные шумы разных типов, а также случайные внешние
воздействия. В данной части работы результаты п. 1 используются для выявления субдиффу-
зий. На основе результатов леммы 2 и теоремы 1 формулируется следующее
Утверждение. Пусть выполнено предположение A. Тогда:
a) если для функции
ht из (8) выполняется
htt → 0, t → ∞, то процесс Xt задаёт
субдиффузию в среднем квадратичном;
б) если для функции ht из (16) выполняется {ht(t/ln ln t)} → 0, t → ∞, то процесс Xt
описывает субдиффузию по отношению к верхней функции.
∫T ∫T
∫T
√
Доказательство. Из оценки DT =
E(XtXs) ds dt ≤ (
EX2t dt)2 и результа-
0
0
0
та леммы 2 следует, что выполнение условия
htt → 0, t → ∞, гарантирует и соотношение
DT /T → 0, T √∞, т.е. утверждение а). В б) используется вид ht, полученный в теореме 1,
оценка |Xt| ≤ c
ht п.н. при t > t0(ω), t0(ω) - п.н. конечный момент, и также нетрудно устано-
вить, что наличие условия {ht(t/ln ln t)} → 0, t → ∞, влечёт за собой при T → ∞ сходимость
√
|YT |/
T ln ln T → 0 с единичной вероятностью. Утверждение доказано.
В следующем ниже примере показывается, что условия в утверждении можно ослабить.
Пример 3. Пусть в уравнении (1) коэффициенты at ≡ -1, ft ≡ 0, начальное условие
X0 = 0, и предположим также, что выполнено неравенство (4). Тогда (1) принимает вид
dXt = -Xt dt + Gt dWt + σtXt dwt,
откуда процесс перемещения определяется по формуле YT = M(1)T + M(2)T - XT , где M(1)T =
∫T
∫T
=
Gt dWt, M(2)T =
σtXt dwt. При этом DT ≤2(E[M(1)T]2+E[M(2)T]2+EX2T ), где E[M(1)T]2 =
0
0
∫
∫T
T
=
G2s ds, E[M(2)T]2 =
σ2sEX2s ds, оценка для EX2t приведена в (2). Замечаем, что условие
0
0
∫∞
G2t dt < ∞ влечёт за собой при T → ∞ сходимости EX2T → 0, E[M(1)T]2 + E[M(1)T]2 →
0
→ E[M∞1)]2+E[M∞1)]2 и ограниченность DT, т.е. субдиффузию. Если же Gt → 0, t → ∞, то
также EX2T → 0, {E[M(1)T]2 + E[M(1)T]2}/T → 0 при T → ∞, и вновь имеем случай субдиф-
фузии в среднем квадратичном. Переходя к потраекторному анализу процесса перемещения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1312
ПАЛАМАРЧУК
∫∞
YT , T → ∞, рассмотрим две ситуации. При
G2t dt < ∞ наблюдаются сходимости M(1)T →
0
→ M∞1), M(2)T → M∞2), T → ∞. Помимо этого, согласно лемме 3, XT → 0 п.н., и тогда
YT → Y∞ с вероятностью, равной единице, T → ∞, и получается “вырожденный” случай
∫T
субдиффузии. Пусть теперь
G2t dt → ∞, T → ∞. По закону повторного логарифма для
0
мартингалов с единичной вероятностью выполняются соотношения
{
√
}
lim sup M(i)T/
〈M(i)T〉 ln ln〈M(i)T〉
< ∞, i = 1,2,
T→∞
∫T
∫T
здесь квадратические характеристики
〈M(1)T〉 =
G2t dt,
〈M(2)T〉 =
σ2tX2t dt. Предполо-
0
0
жим, что Xt → 0 и Gt → 0, t → ∞, тогда для i = 1, 2
〈M(i)T〉/T → 0, T → ∞, а значит, и
√
|YT |/
T ln ln T → 0 с вероятностью, равной единице, при T → ∞. Воспользовавшись теоре-
∫t
мой 1 и ограниченностью σ2t, находим, что выполнение условияĥt = G2t ln t(
σ2v dv)α → 0,
0
t → ∞, влечёт за собой сходимость Xt → 0 п.н., t → ∞, при этом константа α задаётся в
(15). Таким образом, требованиеĥt → 0 будет достаточным для выявления субдиффузии в
∫T
случае
G2t dt → ∞, T → ∞.
0
Предположение D. Темп устойчивости δt является монотонной дифференцируемой
функцией, t ≥ 0, и для функции φt =δt/δ2t (˙ - знак производной по времени) выполняется
по меньшей мере одно из двух соотношений:
lim
φt = κ1, lim
(1/φt) = κ2,
(27)
t→∞
t→∞
где κ1,
κ2
- неположительные константы.
Предположение D ранее вводилось в работе [28] при исследовании перемещения YT , за-
даваемого процессом Орнштейна-Уленбека с переменными коэффициентами, т.е. при σt ≡ 0,
ft ≡ 0 в уравнении (1). Следует отметить, что случаи κ1, κ2 > 0 соответствуют δt < 0, что не
удовлетворяет предположению A, поэтому они здесь не рассматриваются. Основным резуль-
татом данного пункта является следующая
Теорема 2. Пусть выполнены предположения A и D со значением κ1 > -2. Тогда, если
для функцииht, определённой в (8), и коэффициентов уравнения (1) выполняется:
G2t + σ2tht + tEf2t
а)
→ 0, t → ∞, то процесс Xt задаёт субдиффузию в среднем квадра-
δ2
t
тичном;
√
G2t + σ2tht
t
б) функция
ограничена при t → ∞, а также имеет место одно из
δ2
ln ln t
t
двух условий:
√
|ft|
t
→ 0 п.н., t → ∞,
δt
ln ln t
или же ограничено выражение
√
Ef2t
t
t
,
t → ∞,
δ2
ln ln t
t
то процесс Xt задаёт субдиффузию по отношению к верхней функции.
Доказательство. Используется представление (10), при помощи которого находится
оценка
∫T
{
∫
t
}
DT ≤ 2E[I(1)T]2 + 2E[I(2)T]2 + 2E[I(3)T]2 + 2c exp
-2
δv dv dtx2,
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ
1313
∫T ∫T
где E[I(1)T]2 =
E(Y(0)t
s
) ds dt, и при этом
0
0
∫T
∫
t
{ ∫ t
}
E[I(1)T]2 ≤ 2c
exp
- δv dv σ2sEX2s dsdt,
0
0
s
∫T ∫T
см. доказательство леммы 3. Также (см. [6]) E[I(2)T]2 =
E(X(0)t
s
) ds dt и E[I(2)T]2 ≤
0
0
∫T ∫t
∫T
∫t
2c
exp {-
δv dv}G2s ds dt. Для I(3)T =
ξt dt в силу неизвестности ковариационной
0
0
s
0
функции E(ftfs), входящей в E(ξtξs), используется неравенство
(∫T
∫
t
{ ∫ t
)2
}√
E[I(3)T]2 ≤
exp
- δv dv
Ef2s ds dt
0
0
s
Далее, при κ1 > -2 выполняется неравенство (δt/δ2t) + 2 > ε, где ε > 0 - сколь угодно малое
число, t > t0(ε), откуда при условии а), что G2t + σ2tEX2t < εδ2t(δt/δ2t + 2), ε > 0 также сколь
∫t
угодно малое число, t > t1(ε). Умножая это неравенство на exp {-2
δv dv}, при интегриро-
0
вании получаем, что
{
}∫ t
{ ∫s
}
∫
t
E[Y(0)t]2 + E[X(0)t]2 ≤ c exp
-2
δv dv
exp
2
δv dv (G2s + σ2sEX2s)ds ≤
0
0
0
{
∫
t
}
≤ εδt + c0 exp
-2
δv dv ds
0
при некоторой константе c0 > 0. Дальнейшие операции умножения и интегрирования приво-
дят к соотношению
(∫T
{ ∫ t
}
)2
∫
T
{ ∫ t
}
E[I(1)T]2 + E[I(2)T]2
≤ εT + (c0/2)
exp
- δv dv dt
+c1
exp
- δv dv dt + c2,
0
0
0
0
где c1, c2 > 0 - некоторые константы, T > T0(ε, ε). Тогда, очевидно, {E[I(1)T]2 + E[I(2)T]2}/T →
→ 0, T → ∞. Для приведённой выше оценки E[I(3)T]2 аналогичным образом показывается,
что ввиду наличия требования κ1 > -2 условие {(Ef2t/δ2t)t} → 0, t → ∞, влечёт за собой
∫T
∫t
сходимость E[I(3)T]2/T → 0. Также при κ1 > -2 выражение {
exp {-2
δv dv}dtx2/T}→ 0,
0
0
T → ∞. Таким образом, приходим к выводу, что DT/T → 0, T → ∞, и получаем субдиффу-
зию в среднем квадратичном.
√
Для доказательства утверждения б) требуется рассмотреть отношение |YT |/
T ln ln T . Ис-
пользуется оценка
∫T
{ ∫ t
}
|YT | ≤ I(1)T + I(2)T + I(3)T + exp
- δv dv dt|x|,
0
0
∫T
∫T
∫T
где I(1)T =
Y (0)tdt, I(2)T =
X(0)t dt, I(3)T =
ξt dt. Сначала отметим, что
0
0
0
∫
T
{ ∫ t
}
√
exp
- δv dv dt|x|/
T ln ln T → 0, T → ∞,
0
0
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1314
ПАЛАМАРЧУК
если
κ1 > -2. Затем для каждого из интегралов I(i)T, i = 1,2,3, применяется достаточное
условие сходимости при T → ∞ с единичной вероятностью отношения I(i)T/ΓT → 0, где ΓT =
√
=
T ln ln T . Это условие (см. [29]) имеет вид E[I(i)T]2 ≤ cΓT . Из приведённых выше оценок
для E[I(i)T]2 и условия б), проведя аналогичные а) рассуждения, получаем, что требование
√
√
ограниченности {(G2t +σ2tht)/δ2t}
t/ln ln t+(tEf2t/δ2t)
t/ln ln t влечёт за собой также и огра-
√
√
ниченность DT /
T ln ln T , т.е. |YT |/
T ln ln T → 0 п.н. при T → ∞. Если вместо условия для
√
Ef2t из б) п.н. выполняется (|ft|/δt)
t/ln ln t → 0, t → ∞, то из оценки I(3)T ≤ FT п.н., где
∫T
{ ∫ t
}∫ t
{∫s
}
FT = exp
- δv dv exp
δv dv
|fs| ds dt,
0
0
0
0
√
будет следовать, что {I(3)T/
T ln ln T } → 0 п.н. при T → ∞. Действительно, если F∞ < ∞,
√
то искомое соотношение очевидно. В противном случае, для нахождения lim
{FT /
T ln ln T }
T→∞
√
дважды применяется правило Лопиталя. Следовательно, I(3)T/
T ln ln T → 0 п.н., и тогда
√
также |YT |/
T ln ln T → 0 с единичной вероятностью при T → ∞. Утверждение доказано.
Замечание 2. При κ1/κ ≤ -2,
κ1 и κ - константы из (27) предположения D и неравен-
ства (3) соответственно, даже в самой простой ситуации детерминированного уравнения (1)
с нетривиальным начальным условием, не равным нулю, будет выполняется DT /T ≥ c > 0,
T → ∞, c> 0 - некоторая константа. Таким образом, в данном случае субдиффузия не на-
∫T
∫t
блюдается. Действительно, здесь DT ≥ x2κ22(
exp{
-κδv dv} dt)2. При этом в силу условия
0
0
κ1/κ ≤ -2 для некоторой константы ĉ > 0 выполняется оценка
{∫t
}√
exp
-κδv dv
t ≥ ĉ> 0, t → ∞,
0
и, следовательно, DT /T отделено от нуля при T → ∞.
Заключение. В данной работе проведено исследование асимптотического поведения ре-
шений Xt, t ≥ 0, линейных неоднородных СДУ (1) (вид процессов Xt определён в лемме 1).
Соответствующее уравнение динамики (1) с переменными коэффициентами содержит кор-
релированные аддитивные и мультипликативные возмущения, а также внешние случайные
воздействия ft. Найдены верхние оценкиht и ht для X2t при t → ∞ как функции от па-
раметров уравнения (1) (см. лемму 2 и теорему 1). Обращаясь к (8) и (16), можно выделить
очевидную зависимостьht и ht от указанных выше факторов, влияющих на эволюцию Xt
во времени. В частности, наличие мультипликативных возмущений увеличивает ht пропор-
∫t
∫t
ционально (EZ2t)α = (
σ2s ds)α, т.е. дисперсии процесса Zt =
σs dws при её возведении в
0
0
степень α. Полученные результаты использованы для выявления условий на коэффициенты в
(1), при которых Xt задаёт процесс субдиффузии (см. утверждение 1, пример 3 и теорему 2).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 18-71-
10097).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Yong J., Zhou X.Y. Stochastic Сontrols: Hamiltonian Systems and HJB Equations. New York, 1999.
2. Merahi F., Bibi A. Evolutionary transfer functions solution for continuous-time bilinear stochastic
processes with time-varying coefficients // Commun. in Stat. Theory and Methods. 2020. V. 22. P. 5189-
5214.
3. Grimberg P., Schuss Z. Stochastic model of a pension plan // arXiv preprint arXiv:1407.0517. 2014.
4. Fa K.S. Linear Langevin equation with time-dependent drift and multiplicative noise term: exact study
// Chem. Phys. 2003. V. 287. № 1-2. P. 1-5.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ
1315
5. Паламарчук Е.С. Об оптимальной суперэкспоненциальной стабилизации решений линейных стоха-
стических дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 2021. № 3. С. 98-111.
6. Паламарчук Е.С. Аналитическое исследование процесса Орнштейна-Уленбека с переменными ко-
эффициентами при моделировании аномальных диффузий // Автоматика и телемеханика. 2018.
№ 2. С. 109-121.
7. Cherstvy A.G., Vinod D., Aghion E., Sokolov I.M., Metzler R. Scaled geometric Brownian motion fea-
tures sub-or superexponential ensemble-averaged, but linear time-averaged mean-squared displacements
// Phys. Rev. E. 2021. V. 103. № 6. P. 062127.
8. Petroni N.C., De Martino S., De Siena S. Logistic and θ-logistic models in population dynamics: general
analysis and exact results // J. of Phys. A. Math. and Theor. 2020. V. 53. № 44. P. 445005.
9. Cui Z., Nguyen D. First hitting time of integral diffusions and applications // Stoch. Models. 2017. V. 33.
№ 3. P. 376-391.
10. Gora P.F. Linear transmitter with correlated noises // Phys. A. Stat. Mech. and its Appl. 2005. V. 354.
P. 153-170.
11. Turnovsky S.J. Optimal stabilization policies for stochastic linear systems: the case of correlated
multiplicative and additive disturbances // The Rev. of Econ. Stud. 1976. V. 43. № 1. P. 191-194.
12. Sun J., Yong J. Stochastic Linear-Quadratic Optimal Control Theory: Differential Games and Mean-Field
Problems. New York, 2020.
13. Liu Q., Shan Q. A stochastic analysis of the one compartment pharmacokinetic model considering optimal
controls // IEEE Access. 2020. № 8. P. 181825-181834.
14. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб., 1992.
15. Appleby J.A.D., Rodkina A. Rates of decay and growth of solutions to linear stochastic differential
equations with state-independent perturbations // Stoch. an Int. J. of Probab. and Stoch. Processes.
2005. V. 77. № 3. P. 271-295.
16. Il’chenko O. On the asymptotic degeneration of systems of linear inhomogeneous stochastic differential
equations // Theory of Probab. and Math. Stat. 2008. V. 76. P. 41-48.
17. Паламарчук Е.С. Об обобщении логарифмической верхней функции для решения линейного сто-
хастического дифференциального уравнения с неэкспоненциально устойчивой матрицей // Диф-
ференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 2. С. 195-201.
18. Mao X. Stochastic Differential Equations And Applications. Philadelphia, 2007.
19. Tang S. General linear quadratic optimal stochastic control problems with random coefficients: linear
stochastic Hamilton systems and backward stochastic Riccati equations // SIAM J. on Control and
Optimiz. 2003. V. 42. № 1. P. 53-75.
20. Kohlmann M., Tang S. Minimization of risk and linear quadratic optimal control theory // SIAM J. on
Control and Optimiz. 2003. V. 42. № 3. P. 1118-1142.
21. Shreve S.E. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Berlin, 2004.
22. Teschi G. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence, 2012.
23. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. М., 1969.
24. Wang J. A law of the iterated logarithm for stochastic integrals // Stoch. Process. and Their Appl. 1993.
V. 47. № 2. P. 215-228.
25. Guijing C., Fanchao K., Zhengyan L. Answers to some questions about increments of a Wiener process
// The Annals of Probab. 1986. V. 14. № 4. P. 1252-1261.
26. Chen B., Csorgo M. A functional modulus of continuity for a Wiener process // Stat. & Prob. Lett. 2001.
V. 51. № 3. P. 215-223.
27. Dufresne D. The distribution of a perpetuity, with applications to risk theory and pension funding
// Scand. Actuar. J. 1990. V. 1990. № 1. P. 39-79.
28. Паламарчук Е.С. О верхних функциях для аномальных диффузий, моделируемых процессом
Орнштейна-Уленбека с переменными коэффициентами // Теория вероятностей и её применения.
2019. Т. 64. № 2. С. 258-282.
29. Паламарчук Е.С. Асимптотическое поведение решения линейного стохастического дифферен-
циального уравнения и оптимальность “почти наверное” для управляемого случайного процесса
// Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2014. Т. 54. № 1. С. 89-103.
Центральный экономико-математический
Поступила в редакцию 27.12.2021 г.
институт РАН, г. Москва,
После доработки 13.08.2022 г.
Математический институт имени В.А. Стеклова РАН,
Принята к публикации 15.08.2022 г.
г. Москва
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
2∗
