ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 10, с. 1324-1332
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.957
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИИ СПИНОВЫХ ВОЛН
© 2022 г. А. И. Аристов, А. А. Холомеева
Построены семейства точных решений нелинейного уравнения из теории спиновых волн,
описывающего нестационарный процесс в магнитной среде с пространственной дисперсией.
Исследованы групповые свойства этого уравнения и соответствующего ему стационарного
уравнения. Доказана теорема о неединственности классического решения задачи Коши для
нелинейного уравнения.
DOI: 10.31857/S037406412210003X, EDN: KQAELG
Введение. Рассмотрим в области {(x, t) = (x, y, z, t): x ∈ R3, t > 0} уравнение
∂
Δu + D[u] = 0,
(1)
∂t
где Δ - оператор Лапласа,
)
∂
(∂u ∂u
∂
(∂u ∂u)
∂
(∂u ∂u)
D[u] = α
+β
+γ
∂x
∂y ∂z
∂y
∂x ∂z
∂z
∂x ∂y
Предполагается, что α + β + γ = 0, причём α2 + β2 + γ2 = 0. Уравнение (1) получено в
книге [1, гл. 3, § 7] для описания нестационарного процесса в магнитной среде с простран-
ственной дисперсией. В данной работе будут найдены различные точные решения уравнения
(1) c использованием методов из работы [2]. Похожий подход уже применялся для нахождения
точных решений неклассических уравнений в статьях [3, 4].
1. Решения типа неполной бегущей волны. Под решениями типа неполной бегущей
волны подразумеваем точные решения вида u(x, y, z, t) = f(ξ, t), где f(·) - пока произвольная
функция двух аргументов, ξ = a1x+a2y+a3z, a = (a1, a2, a3) - постоянный единичный вектор.
Заметим, что
)
∂
(∂u ∂u)
∂
(∂f
∂f
∂
((∂f)2)
=
=a1a2a3
∂x
∂y ∂z
∂x
∂ξ
a2 ∂ξa3
∂ξ
∂ξ
Аналогично вычислив другие слагаемые, убедимся, что для рассматриваемого класса решений
D[u] = 0. Значит, уравнение сводится к следующему:
∂3f
= 0.
∂t∂ξ2
Последовательно интегрируя его, получаем
f (ξ, t) = p(t)ξ + q(t) + θ(ξ),
где p(·), q(·) и θ(·) - произвольные функции одного аргумента. Таким образом, решения
определяются по формуле
u(x, t) = p(t)(a, x) + q(t) + θ((a, x)).
1324
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
1325
2. Решения специального вида. Случай 1. Построим решения вида u(x,y,z,t) =
= f(ρ,t), где ρ = xyz. Непосредственным вычислением можно убедиться, что, во-первых,
имеет место равенство
)
∂f
(∂f
∂2f
D[u] = 2(α + β + γ)ρ
+ρ
= 0,
∂ρ
∂ρ
∂ρ2
во-вторых,
∂
∂3f
Δu =
((yz)2 + (xz)2 + (xy)2).
∂t
∂t∂ρ2
Значит, для выполнения соотношения (1) достаточно потребовать выполнения условия
∂3f
= 0,
∂t∂ρ2
откуда легко получить
f (ρ, t) = p(t)ρ + q(t) + θ(ρ),
где p(·), q(·) и θ(·) - произвольные функции. Таким образом, решения имеют вид
u(x, t) = p(t)xyz + q(t) + θ(xyz).
Случай 2. Построим решения вида u(x,y,z,t) = f(ρ,t), где ρ = x2 + y2 + z2. Непосред-
ственным вычислением получим
∂
(∂f ∂f)
∂
(∂f ∂f)
∂
(∂f ∂f)
∂
((∂f)2)
=
=
= 8xyz
,
∂x
∂y ∂z
∂y
∂x ∂z
∂z
∂x ∂y
∂ρ
∂ρ
а следовательно, D[u] = 0. Кроме того, справедливо равенство
∂2f
∂f
Δu = 4ρ
+6
∂ρ2
∂ρ
Таким образом, уравнение сводится к следующему:
(
)
∂
∂2f
∂f
∂2f
∂f
4ρ
+6
= 0, или
2ρ
+3
= k(ρ),
∂t
∂ρ2
∂ρ
∂ρ2
∂ρ
где k(·) - произвольная функция одного аргумента. Приведём последнее уравнение к виду
(
)
∂2f
3
∂f
ρ1/2k(ρ)
∂
∂f
ρ1/2k(ρ)
ρ3/2
+
ρ1/2
=
,
или
ρ3/2
=
,
∂ρ2
2
∂ρ
2
∂ρ
∂ρ
2
откуда несложно выразить функцию f :
∫
∫
-1/2
ρ1/2k(ρ)dρ
ρ
f =
dρ +
p(t) + q(t),
2ρ3/2
-1/2
где p(·) и q(·) - произвольные функции. Обозначив первое слагаемое снова как k(ρ), а
(-2p(t)) как p(t), получим
p(t)
f (ρ, t) = k(ρ) +
√ρ+q(t).
3. Решения - обобщённые многочлены от x. Построим решения, представляющие
собой многочлены от переменной x. Если решение является многочленом степени n, то ли-
нейная часть уравнения будет многочленом степени n, а D[u] - многочленом степени (2n-1).
Эти степени будут равны при n = 1. Значит, решение u следует искать в виде
u(x, t) = xf(y, z, t) + g(y, z, t),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1326
АРИСТОВ, ХОЛОМЕЕВА
где f(·) и g(·) - функции трёх переменных, подлежащие определению. Вычислив нужные
производные, получим равенства
∂
∂3f
∂3g
∂3f
∂3g
Δu = x
+
+x
+
,
∂t
∂t∂y2
∂t∂y2
∂t∂z2
∂t∂z2
)
)
∂f ∂f
(∂f ∂g
∂f ∂g
(∂f ∂f
∂2f
D[u] = 2xα
+α
+
+ βx
+f
+
∂y ∂z
∂y ∂z
∂z ∂y
∂y ∂z
∂y∂z
)
)
)
(∂f ∂g
∂2g
(∂f ∂f
∂2f
(∂g ∂f
∂2g
+β
+f
+ γx
+f
+γ
+f
∂y ∂z
∂y∂z
∂y ∂z
∂y∂z
∂y ∂z
∂y∂z
Таким образом, уравнение можно записать в виде A(y, z, t)x + B(y, z, t) = 0, что должно
выполняться тождественно, а следовательно, A = B = 0. Значит,
)
)
∂3f
∂3f
∂f ∂f
(∂f ∂f
∂2f
(∂f ∂f
∂2f
+
+ 2α
+β
+f
+γ
+f
= 0,
∂t∂y2
∂t∂z2
∂y ∂z
∂y ∂z
∂y∂z
∂y ∂z
∂y∂z
)
)
)
∂3g
∂3g
(∂f ∂g
∂f ∂g
(∂f ∂g
∂2g
(∂g ∂f
∂2g
+
+α
+
+β
+f
+γ
+f
= 0.
∂t∂y2
∂t∂z2
∂y ∂z
∂z ∂y
∂y ∂z
∂y∂z
∂y ∂z
∂y∂z
С учётом того, что α + β + γ = 0, получим
∂3f
∂3f
∂f ∂f
∂2f
+
+α
- αf
= 0,
∂t∂y2
∂t∂z2
∂y ∂z
∂y∂z
∂3g
∂3g
∂f ∂g
∂f ∂g
∂2g
+
-γ
-β
- αf
= 0.
∂t∂y2
∂t∂z2
∂y ∂z
∂z ∂y
∂y∂z
Построим два семейства решений этой системы.
1. Рассмотрим решения типа бегущей волны: пусть f(y, z, t) = F (θ), g(y, z, t) = G(θ), θ =
= t+λy+μz, λ, μ - произвольные постоянные. Подставив эти выражения в систему, получим
F′′′(θ) + l(F′2(θ) - F(θ)F′′(θ)) = 0, G′′′(θ) + l(F′(θ)G′(θ) - F(θ)G′′(θ)) = 0,
где l = αλμ/(λ2 + μ2). Подберём решения первого уравнения вида F = Aθp. Все члены урав-
нения будут пропорциональны одной степени функции F при p = -1. Сократив уравнение
и выразив A, получим A = -6/l. Значит, F = -6θ-1/l. Подставив это выражение во вто-
рое уравнение, получим линейное уравнение для функции G(θ), у которого несложно найти
общее решение
G=c1θ-2 +c2θ-1 +c3.
Собирая полученные выражения, приходим к следующему семейству решений:
u = -6(λ2 + μ2)θ-1x/(αλμ) + c1θ-2 + c2θ-1 + c3,
где c1, c2 и c3 - произвольные константы.
2. Рассмотрим решения с разделёнными переменными: f(y, z, t) = Atm1 yn1 zk1 , g(y, z, t) =
= Btm2yn2zk2, mi, ni, ki, i = 1,2, - вещественные числа. Подставив эти выражения в
систему, заметим, что в первом уравнении все члены пропорциональны или tm1-1, или t2m1 .
Для его тождественного выполнения надо потребовать m1 - 1 = 2m1 или m1 = -1. Во
втором уравнении все члены пропорциональны или tm2-1, или tm1+m2 , что не накладывает
ограничений на m2 при m1 = -1. Сократив систему, запишем её в виде
n1(n1 - 1)z2 + k1(k1 - 1)y2 = 0,
m2n2(n2 - 1)yn2-2zk2 + m2k2(k2 - 1)yn2 zk2-2-Ayn1+n2-1zk1+k2-1(γn1k2 + βk1n2 + αn2k2) = 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
1327
Система должна выполняться тождественно, следовательно, все коэффициенты равны нулю:
n1(n1 -1) = 0, k1(k1 -1) = 0, m2n2(n2 -1) = 0, m2k2(k2 -1) = 0, γn1k2 +βk1n2 +αn2k2 = 0.
Рассмотрим отдельно случаи m2 = 0 и m2 = 0. В первом случае n1 и k1 - произвольные
числа из множества {0, 1}, а n2 и k2 - произвольные действительные числа, удовлетворяющие
условию
γn1k2 + βk1n2 + αn2k2 = 0.
(2)
Во втором случае n1, k1, n2, k2 - произвольные числа из множества {0, 1}, удовлетворя-
ющие условию (2). Таким образом, решения имеют вид u = At-1xyn1 zk1 + Btm2 yn2 zk2 , где
A, B, m2 - произвольные действительные постоянные, n1 и k1 - произвольные числа из
множества {0, 1}, а n2 и k2 - произвольные числа из множеств R или {0, 1} при m2 = 0
или m2 = 0 соответственно.
4. Решения - обобщённые многочлены от t-1. Если решение является многочленом
степени n, то линейная часть уравнения будет многочленом степени n + 1, а D[u] - много-
членом степени 2n. Эти степени будут равны при n = 1. Значит, решение u следует искать
в виде
u(x, t) = t-1f(x) + g(x),
где f(·) и g(·) - функции пространственных переменных. Вычисляя нужные производные,
приведём уравнение к виду
)
)
∂
(∂f ∂f
∂
(∂f ∂g
∂f ∂g
∂
(∂g ∂g)
-t-2Δf + αt-2
+ αt-1
+
+α
+
∂x
∂y ∂z
∂x
∂y ∂z
∂z ∂y
∂x
∂y ∂z
)
)
∂
(∂f ∂f
∂
(∂f ∂g
∂f ∂g
∂
(∂g ∂g)
+ βt-2
+ βt-1
+
+β
+
∂y
∂x ∂z
∂y
∂x ∂z
∂z ∂x
∂y
∂x ∂z
)
)
∂
(∂f ∂f
∂
(∂f ∂g
∂f ∂g
∂
(∂g ∂g)
+ γt-2
+ γt-1
+
+γ
= 0.
∂z
∂x ∂y
∂z
∂x ∂y
∂y ∂x
∂z
∂x ∂y
Это равенство, имеющее вид t-2A + t-1B + C = 0, должно выполняться тождественно, сле-
довательно, A = B = C = 0:
)
∂
(∂f ∂f
∂
(∂f ∂f)
∂
(∂f ∂f)
-Δf + α
+β
+γ
= 0,
∂x
∂y ∂z
∂y
∂x ∂z
∂z
∂x ∂y
)
)
)
∂
(∂f ∂g
∂f ∂g
∂
(∂f ∂g
∂f ∂g
∂
(∂f ∂g
∂f ∂g
α
+
+β
+
+γ
+
= 0,
∂x
∂y ∂z
∂z ∂y
∂y
∂x ∂z
∂z ∂x
∂z
∂x ∂y
∂y ∂x
)
∂
(∂g ∂g
∂
(∂g ∂g)
∂
(∂g ∂g)
α
+β
+γ
= 0.
(3)
∂x
∂y ∂z
∂y
∂x ∂z
∂z
∂x ∂y
Несложно убедиться в том, что третьему уравнению системы (3) удовлетворяет функция
g(x, y, z) = ϕ(x) + ψ(y) + χ(z), где ϕ(·), ψ(·), χ(·) - произвольные функции. Тогда, учитывая,
что α + β + γ = 0, можем второе уравнение привести к виду
∂2f
∂2f
∂2f
γχ′(z)
+ βψ′(y)
+ αϕ′(x)
= 0,
(4)
∂x∂y
∂x∂z
∂y∂z
а первое записать как
Δf = D[f].
(5)
Пусть f(x, y, z) = F (θ), где θ = c1x + c2y + c3z, c = (c1, c2, c3) - произвольный постоян-
ный вектор. Тогда левая часть соотношения (5) равна F′′(θ), а правая - нулю. Что касается
уравнения (4), то несложно привести его к виду
F′′(θ)(c1c2γχ′(z) + c1c3βψ′(y) + c2c3γϕ′(x)) = 0,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1328
АРИСТОВ, ХОЛОМЕЕВА
что выполняется при F′′(θ) = 0. Значит, F (·) - произвольная линейная функция.
Таким образом, имеем семейство решений
c1x + c2y + c3z + c
u=
+ ϕ(x) + ψ(y) + χ(z).
t
5. Метод разделения переменных. Cлучай 1. Построим решения u = f(x)+g(y,z,t),
где f(·) и g(·) - функции одной и трёх переменных соответственно. Вычислив нужные про-
изводные, приведём уравнение к виду
∂3g
∂3g
∂2g
+
- αf′(x)
= 0.
(6)
∂t∂y2
∂t∂z2
∂y∂z
Разберём случаи, когда функция f′(x) является или не является постоянной.
1. Пусть f′(x) = c1. Тогда приходим к линейному уравнению, определяющему функ-
цию g(·):
∂3g
∂3g
∂2g
+
- αc1
= 0.
∂t∂y2
∂t∂z2
∂y∂z
Несложно убедиться в том, что, например, оно имеет решения вида
g=c2ec1αλμθ/(λ2+μ2) +c3θ+c4,
где θ = t + λy + μz, λ, μ - произвольные постоянные. Следовательно,
u=c1x+c2ec1αλμθ/(λ2+μ2) +c3θ+c4.
2. Пусть f′(x) не является постоянной. Тогда для тождественного выполнения равен-
ства (6) потребуем, чтобы коэффициент при f′(x) и член, не зависящий от x, были равны
нулю:
∂2g
∂3g
∂3g
α
= 0,
+
= 0.
∂y∂z
∂t∂y2
∂t∂z2
Пусть α = 0. Общее решение первого уравнения этой системы имеет вид g = k(y, t) +
+ l(z,t), где k(·) и l(·) - произвольные функции. С учётом этой формулы второе уравнение
можно записать в виде
∂3k
∂3l
=-
∂t∂y2
∂t∂z2
Здесь правая часть не зависит от z, а левая - от y, следовательно, они равны произвольной
функции только от переменной t, которую выберем в виде 2p′(t). Интегрируя выражения
для производных k(·) и l(·) и складывая, получаем
g = p(t)(y2 - z2) + q(y) + r(z) + p1(t)y + p2(t)z + p3(t),
где p(·), q(·), r(·), p1(·), p2(·), p3(·) - произвольные функции одного аргумента. Значит,
решения определяются по формуле
u = f(x) + p(t)(y2 - z2) + q(y) + r(z) + p1(t)y + p2(t)z + p3(t)
с произвольной функцией f(·).
Пока не рассмотрен случай α = 0. Здесь решения следует искать в виде u = f(x)+g(y, z, t),
где f(·) - произвольная функция одного аргумента, а g(·) - произвольное решение линейного
уравнения
∂3g
∂3g
+
= 0.
∂t∂y2
∂t∂z2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
1329
Случай 2. Построим решения u = f(x,t) + g(y,z), где f(·) и g(·) - функции двух пере-
менных. Вычисляя нужные производные и учитывая, что β + γ = -α, приведём уравнение к
виду
∂3f
∂f ∂2g
= -α
∂t∂x2
∂x ∂y∂z
Потребуем, чтобы смешанная производная от функции g была равна постоянной:
∂2g
=c1
или g = c1yz + p(y) + q(z),
∂y∂z
где p(·) и q(·) - произвольные функции. Тогда для f(·) получаем линейное уравнение
∂3f
∂f
+ αc1
=0
∂t∂x2
∂x
и в результате приходим к семейству решений
u = f(x,t) + c1yz + p(y) + q(z).
Случай 3. Построим решения следующего вида: u = f(x)g(y,z,t), где f(·) и g(·) - функ-
ции одной и трёх переменных соответственно. Вычисляя нужные производные и учитывая, что
β + γ = -α, приведём уравнение к виду
(
)
)
∂g
∂3g
∂3g
(∂g ∂g
∂2g
f′′(x)
+f
+
+ αf(x)f′(x)
-g
= 0.
(7)
∂t
∂t∂y2
∂t∂z2
∂y ∂z
∂y∂z
Потребуем выполнения условия
f′′(x) = c1f(x)f′(x) + c2f(x).
Понизим порядок, положив f′(x) = ω(f), откуда f′′(x) = ωdω/df :
ωdω/df = c1fω + c2f.
(8)
Рассмотрим отдельно случаи c1 = 0 и c1 = 0.
1. Пусть c1 = 0. Уравнение (8) приведём к виду
ωdω
= c1fdf,
ω + c2/c1
откуда, проинтегрировав, получим неявную формулу для функции ω ≡ f′(x):
c2
c1f2
2
f′ -
lnf′ +c
+c3.
(9)
=
c1
c1
2
Вернёмся к уравнению (7), которое можно записать как
(
)
)
∂g
∂g
∂3g
∂3g
(∂g ∂g
∂2g
c1f(x)f′(x)
+ c2f(x)
+f
+
+ αf(x)f′(x)
-g
= 0.
∂t
∂t
∂t∂y2
∂t∂z2
∂y ∂z
∂y∂z
Для тождественного выполнения этого равенства надо потребовать, чтобы суммы коэф-
фициентов при f(x)f′(x) и при f(x) были равны нулю. Тогда получим систему
)
∂g
(∂g ∂g
∂2g
∂g
∂3g
∂3g
c1
+α
-g
= 0, c2
+
+
= 0.
∂t
∂y ∂z
∂y∂z
∂t
∂t∂y2
∂t∂z2
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1330
АРИСТОВ, ХОЛОМЕЕВА
Будем искать решения этой системы типа бегущей волны: g = g(θ), θ = λy + μz + t, λ и μ -
произвольные постоянные:
(
)
c1g′(θ) + αλμ g′2(θ) - g(θ)g′′(θ)
= 0, c2g′(θ) + (λ2 + μ2)g′′′(θ) = 0.
Запишем первое уравнение системы в виде
g′
gg′′ - g′2
d 1
d g′
,
или
-c1
= αλμ
,
c1 g2=αλμ
g2
dθ g
dθ g
откуда, проинтегрировав, получим уравнение
αλμg′ + c1 + c4g = 0,
общее решение которого определяется по формуле
⎧
⎨
c5e-c4θ/(αλμ) -
c1 , c4 = 0,
c4
g=
(10)
⎩-c1θ
+c5,
c4 = 0.
αλμ
В результате получим семейство решений u = f(x)g(λy + μz + t), где f(·) удовлетворяет
уравнению (9), а функция g(·) находится по формуле (10).
2. Пусть теперь c1 = 0. Интегрирование уравнения (8) даёт равенство f′2 = c2f2 + c3,
откуда можно выразить f(·) через элементарные функции.
Вернёмся к уравнению (7). Рассуждая по аналогии с предыдущим случаем, придём к сис-
теме
αλμ(g′2(θ) - g(θ)g′′(θ)) = 0, c2g′(θ) + (λ2 + μ2)g′′′(θ) = 0.
Несложно убедиться в том, что первое уравнение системы имеет общее решение g = c4ec5θ.
Подставив это выражение во второе уравнение системы, получим условие непротиворечивости:
c2 = -c25(λ2 + μ2).
В результате имеем семейство решений u = c4f(x)ec5(λy+μz+t), где f(·) определяется урав-
нением f′2 = c2f2 + c3.
Случай 4. Построим решения вида u = f(x,t)+g(y,z,t), где f(·) и g(·) - функции двух и
трёх переменных соответственно. Вычисляя нужные производные и учитывая, что β+γ = -α,
приведём уравнение к виду
∂3f
∂3g
∂3g
∂f ∂2g
+
+
-α
= 0.
(11)
∂t∂x2
∂t∂y2
∂t∂z2
∂x ∂y∂z
Рассмотрим два возможных случая.
1. Пусть
∂2f
∂f
=0
или
= p(t), или f = xp(t) + q(t),
∂x2
∂x
где p(·) и q(·) - произвольные функции одного аргумента. Тогда (11) примет вид
∂3g
∂3g
∂2g
+
- αp(t)
= 0.
(12)
∂t∂y2
∂t∂z2
∂y∂z
Таким образом, получаем семейство решений
u = xp(t) + q(t) + g(y,z,t),
где функция g(·) определяется линейным уравнением (12).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
1331
2. В противном случае продифференцируем (11) по x и поделим на ∂2f/∂x2 :
(∂2f)-1 ∂4f
∂2g
=α
∂x2
∂t∂x3
∂y∂z
Здесь левая часть равенства зависит от x и t, а правая - от y, z и t. Значит, обе части
равны произвольной функции только от t, которую выберем в виде αp(t). Таким образом,
∂2g
α
= αp(t) или g = p(t)yz + q(y, t) + r(z, t),
(13)
∂y∂z
где q(·) и r(·) - произвольные функции двух аргументов. Подставим предварительную форму
(13) в (11):
(
)
∂3f
∂f
∂3q
∂3r
- αp(t)
+
+
= 0.
∂t∂x2
∂x
∂t∂y2
∂t∂z2
Здесь первое слагаемое (взятое в скобки) зависит только от переменных x и t, второе - от y и
t, третье - только от z и t. Следовательно, три указанных выражения являются функциями
только от t.
Пусть
∂3q
∂3r
= 2σ′(t),
= 2ρ′(t),
(14)
∂t∂y2
∂t∂z2
где σ(·) и ρ(·) - пока произвольные функции. Тогда для f(·) получаем линейное уравнение
∂3f
∂f
- αp(t)
= -2(σ′(t) + ρ′(t)).
(15)
∂t∂x2
∂x
Интегрируя равенства (14) и возвращаясь к переменной u, получаем
u = f(x,t) + p(t)yz + σ(t)y2 + ρ(t)z2 + k1(z) + k2(t)z + k3(t) + k4(y) + k5(t)y,
где ki(·), i = 1, 5, - произвольные функции одного аргумента, а f(·) определяется линейным
уравнением (15).
6. О симметриях. Интересно отметить следующие групповые свойства уравнения (1) и
соответствующего ему стационарного уравнения.
Во-первых, легко убедиться в том, что если u = u0(x, y, z, t) - решение (1), k(·) - произволь-
ная функция одного аргумента, то u = u0(x, y, z, t) + k(t) - тоже решение (1). Следовательно,
если дано решение уравнения
D[u] = 0,
(16)
то, прибавив к нему произвольную функцию времени, получим решение (1). Поэтому пред-
ставляет интерес исследование и стационарного уравнения (16). Кроме того, из этого следует
Теорема. Классическое решение задачи Коши для уравнения (1) не единственно.
Во-вторых, укажем способ добавления произвольной функции в решение уравнения (16).
Пусть дано некоторое решение u = θ(x, y, z). Рассмотрим его решения вида u = f(θ(x, y, z)),
где f(·) - некоторая функция одного аргумента. Вычислив нужные производные, получим,
что D[u] = 0. Значит, u = f(θ(x, y, z)) с произвольной f(·) - тоже решение (16).
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что функции вида
u(x, y, z) = f(x)g(y)h(z) и u(x, y, z) = f(x) + g(y) + h(z),
где f(·), g(·), h(·) - произвольные функции одного аргумента, являются решениями (16).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-21-
00449).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
3∗
1332
АРИСТОВ, ХОЛОМЕЕВА
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения
соболевского типа. М., 2007.
2. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической
физики и механики. М., 2005.
3. Аристов А.И. О точных решениях одного неклассического уравнения в частных производных
// Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2015. Т. 55. № 11. С. 1870-1875.
4. Аристов А.И. Точные решения неклассического уравнения с нелинейностью под знаком лапласиана
// Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 10. С. 1360-1370.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 22.07.2022 г.
имени М.В. Ломоносова,
После доработки 22.07.2022 г.
Федеральный исследовательский центр
Принята к публикации 15.08.2022 г.
“Информатика и управление” РАН, г. Москва
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022