ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 10, с. 1333-1343
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.4
ПОТЕНЦИАЛ ПУАССОНА
В ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
В ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ НА ПЛОСКОСТИ
© 2022 г. Е. А. Бадерко, С. И. Сахаров
Рассмотрена первая начально-краевая задача для параболической системы в полуограни-
ченной области на плоскости с негладкой боковой границей, допускающей “клювы”. Иссле-
дован характер непрерывности следа потенциала Пуассона на такой границе, и доказана
теорема о существовании классического решения рассматриваемой задачи в случае неод-
нородной параболической системы и ненулевого начального условия.
DOI: 10.31857/S0374064122100041, EDN: KQCLFN
Введение. Теория однозначной разрешимости начально-краевых задач для параболиче-
ских систем с гёльдеровскими коэффициентами общего вида в пространствах Hk+α,(k+α)/2(Ω),
k ≥ 2,
0 < α < 1, в областях Ω с гладкими боковыми границами построена в статье [1]
(см. также [2, c. 706]).
В настоящей работе рассматривается первая начально-краевая задача для одномерной по
пространственной переменной x параболической по Петровскому (см. [3]) системы второго
порядка с Дини-непрерывными коэффициентами в полуограниченной области с негладкой,
вообще говоря, боковой границей из класса Дини-Гёльдера H1/2+ω. Здесь ω обозначает неко-
торый модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини (см. п. 1).
В случае одного параболического уравнения в статьях [4-6] установлена однозначная раз-
решимость такой задачи в пространстве H1,ω(Ω), где ω - некоторый модуль непрерывности,
при более сильных, по сравнению с настоящей работой, требованиях на характер непрерыв-
ности коэффициентов этого уравнения и боковой границы области. При этом предполагалось,
что начальная функция ограничена вместе со своей первой производной и эта производная
Дини-непрерывна.
В работах [7-9] доказаны теоремы об однозначной классической разрешимости в прост-
ранстве C1,0(Ω) первой начально-краевой задачи для однородной параболической системы с
0
нулевым начальным условием при выполнении рассматриваемых в настоящей работе условий
на коэффициенты этой системы и на негладкую боковую границу области.
Естественно возникает вопрос об исследовании разрешимости в пространстве C1,0(Ω) та-
кой задачи для неоднородной параболической системы при минимальных условиях на харак-
тер непрерывности начальной функции h. В настоящей работе изучается поведение следа
потенциала Пуассона на негладкой кривой, а затем методом граничных интегральных урав-
нений строится классическое решение рассматриваемой задачи, при этом предполагается, что
h является лишь непрерывной и ограниченной, вместе со своей первой производной, функ-
цией. В п. 1 приводятся необходимые определения и формулируется основная теорема, в п. 2
исследуется характер непрерывности следа потенциала Пуассона на негладкой кривой, в п. 3
доказывается теорема существования для первой начально-краевой задачи.
1. Необходимые сведения и формулировка основного результата. Функция ν(z),
z ≥ 0, называется почти убывающей, если для некоторой постоянной C > 0 выполняется
неравенство ν(z1) ≤ Cν(z2), z1 ≥ z2 ≥ 0. Следуя [10, с. 150], модулем непрерывности назы-
ваем непрерывную, неубывающую, полуаддитивную функцию ω : [0, +∞) → R такую, что
1333
1334
БАДЕРКО, САХАРОВ
ω(0) = 0. Если (вектор)-функция h непрерывна на отрезке [x1, x2], то её модуль непрерыв-
ности на этом отрезке
ωh(z) =
sup
|Δxh(x)|, z ≥ 0,
x,x+Δx∈[x1,x2]
0≤|Δx|≤z
обладает перечисленными выше свойствами.
Здесь и далее для числового вектора a (числовой матрицы A) под |a| (соответственно
|A|) понимаем максимум из модулей его компонент (её элементов).
Из известных свойств модуля непрерывности отметим неравенства
ω(λz) ≤ (λ + 1)ω(z), λ ≥ 0, z ≥ 0,
и
ω(z1)
ω(z2)
≤2
,
z1 ≥ z2 > 0
z1
z2
(т.е. функция z-1ω(z) почти убывает). Кроме того (см. [11]), справедливо неравенство
ω(|x|) exp{-|x|2/t} ≤ Cω(t1/2) exp{-c|x|2/t}, x ∈ R, t > 0,
для некоторых постоянных C, c > 0.
Говорят, что модуль непрерывности ω удовлетворяет условию Дини, если
∫z
ω(z) = ω(ξ)ξ-1 dξ < +∞, z > 0.
(1)
0
Через D обозначим линейное пространство, состоящее из модулей непрерывности, которые
удовлетворяют условию Дини (1). Если ω ∈ D, то и ω является модулем непрерывности,
причём ω(z) ≤ 2ω(z), z ≥ 0. Кроме того, функция ω∗(z) = ω(z1/2) также является модулем
непрерывности, при этом если ω ∈ D, то ω∗ ∈ D и имеет место равенство
ω∗(z) = 2ω(z1/2), z ≥ 0.
Обозначим через C1(R) пространство (вектор)-функций h : R → Rm, непрерывных и
ограниченных вместе со своей первой производной h′, с нормой
∥h; R∥1 = sup |h(x)| + sup |h′(x)|.
x∈R
x∈R
Пусть фиксировано число T > 0. Через C[0, T ] обозначим пространство непрерывных
(вектор)-функций ψ : [0, T ] → Rm, m ∈ N, с нормой ∥ψ; [0, T ]∥0 = max |ψ(t)|. Положим
t∈[0,T ]
C[0, T ] = {ψ ∈ C[0, T ] : ψ(0) = 0}. Через C1(0, T ] обозначим пространство (вектор)-функций,
0
имеющих непрерывную на промежутке (0, T ] первую производную.
Пусть ω - некоторый модуль непрерывности. Положим
{
}
{ |Δxh′(x)|}
H1+ω(R) = h ∈ C1(R) : ∥h;R∥1+ω = ∥h;R∥1 + sup
<∞ ,
x,x+Δx∈R
ω(|Δx|)
Δx=0
{
Hq+ω[0,T] = ψ ∈ C[0,T] : ∥ψ;[0,T]∥q+ω = ∥ψ;[0,T]∥0 +
{
}
}
|Δtψ(t)|
+ sup
< ∞ , q = 0,1/2,
t,t+Δt∈(0,T )
|Δt|qω(|Δt|1/2)
Δt=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ПОТЕНЦИАЛ ПУАССОНА В ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
1335
H1/2+ω[0,T] = {ψ ∈ H1/2+ω[0,T] : ψ(0) = 0}.
0
Пусть
t
∫
1
d
∂1/2ψ(t) ≡ (∂1/2tψ)(t) =
√π dt(t-τ)-1/2ψ(τ)dτ,t∈[0,T],
0
- оператор дробного дифференцирования порядка 1/2. Следуя работам [12, 13], введём прост-
ранство
C1/2[0, T ] = {ψ ∈ C[0, T ] : ∂1/2ψ ∈ C[0, T ],
∥ψ; [0, T ]∥1/2 = ∥ψ; [0, T ]∥0 + ∥∂1/2ψ; [0, T ]∥0 < ∞}.
0
0
0
Замечание 1. Для произвольной функции ψ ∈ C1/2[0, T ] имеет место равенство ψ(0) = 0,
которое следует из представления
t
∫
1
ψ(t) =
√π(t-τ)-1/2∂1/2ψ(τ)dτ,t∈[0,T].
0
Замечание 2. Если ψ ∈ H1/2+ω[0, T ], ω ∈ D, то ψ ∈ C1/2[0, T ] (см. [11]). Обратное,
0
0
вообще говоря, неверно (см. [13]).
В полосе D = {(x, t) ∈ R2 : x ∈ R, t ∈ (0, T )} рассмотрим произвольную область Ω. Обо-
значим через C2,1(Ω) пространство (вектор)-функций u : Ω → Rm, непрерывных вместе со
своими производными ∂tu, ∂lxu, l = 1,2, в Ω. Через C0(Ω) обозначим пространство непре-
рывных и ограниченных (вектор)-функций u : Ω → Rm с нормой ∥u; Ω∥0 = sup
|u(x, t)|.
(x,t)∈Ω
Положим
{
}
∑
C1,0(Ω) = u ∈ C0(Ω) : ∂xu ∈ C0(Ω),
∥u; Ω∥1,0 =
∥∂lxu; Ω∥0 < ∞
,
l=0
C1,0(Ω) = {u ∈ C1,0(Ω) : ∂lxu(x, 0) = 0, l = 0, 1},
0
{
{
}
}
|Δx,tu(x, t)|
Hω(Ω) = u ∈ C0(Ω) : ∥u;Ω∥ω = ∥u;Ω∥0 +
sup
<∞ ,
(x,t),(x+Δx,t+Δt)∈Ω
ω(|Δx|) + ω(|Δt|1/2)
(Δx)2+|Δt|=0
где ω - некоторый модуль непрерывности. Под значениями функций и их производных на
границе произвольной области Ω понимаем их предельные значения “изнутри” Ω.
В полосе D рассмотрим равномерно параболический по Петровскому оператор
∑
Lu ≡ ∂tu - Al(x,t)∂lxu, u = (u1,... ,um)т, m ∈ N,
l=0
где Al = ∥aijl∥mi,j=1, l = 0, 1, 2, - m×m-матрицы, элементами которых являются вещественные
функции, определённые в D = {(x, t) ∈ R2 : x ∈ R, t ∈ [0, T ]} и удовлетворяющие условиям:
(a) собственные числа μr, r = 1, m, матрицы A2 подчиняются неравенствам Re μr(x, t) ≥ δ
для всех (x, t) ∈ D и некоторого δ > 0;
(b) aijl ∈ Hω0 (D), где ω0 - модуль непрерывности, такой что
y
∫z
∫
ω0(z) = y-1 dy ω0(ξ)ξ-1 dξ < +∞, z > 0,
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1336
БАДЕРКО, САХАРОВ
и для некоторого ε0 ∈ (0, 1) функция z-ε0 ω0(z), z > 0, почти убывает.
Положим D∗ = {(x, t; ξ, τ) ∈ D × D : t > τ}. Матрицу Γ(x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D∗,
называем фундаментальной матрицей решений (ф.м.р.) системы Lu = 0, если её элементы
Γij, i,j = 1, m, являются непрерывными функциями в своей области определения, и для
любой финитной и непрерывной (вектор)-функции h : R → Rm, h = (h1, . . . , hm)т, и любого
τ0 ∈ [0,T) (вектор)-функция (потенциал Пуассона)
+∞
u(x, t) =
Γ(x, t; ξ, τ0)h(ξ) dξ, x ∈ R, t ∈ [τ0, T ],
-∞
является классическим ограниченным решением задачи Коши
Lu = 0
в R × (τ0,T],u(x,τ0) = h(x), x ∈ R,
удовлетворяющим (в случае m ≥ 2) при любом ε ∈ (0, T - τ0] условиям
|∂lxu(x, t)| ≤ C(ε), (x, t) ∈ R × [τ0 + ε, T ], l = 1, 2,
(2)
для некоторой постоянной C(ε).
Из результатов работы [14] о единственности решения задачи Коши для параболических
систем следует единственность ф.м.р. системы Lu = 0, если m ≥ 2. В случае m = 1 требова-
ние (2) можно опустить и воспользоваться теоремой о единственности решения задачи Коши
для одного уравнения (см. [2, с. 29]).
Пусть
∫
1
Z(x, t; A2(ξ, τ)) =
eiσx exp(-σ2A2(ξ,τ)t)dσ, (x,t) ∈ D, (ξ,τ) ∈ D.
2π
-∞
Имеют место следующие оценки (см. [15, с. 298]):
|∂kt∂lxZ(x, t; A2(ξ, τ))| ≤ C(k, l)t-(2k+l+1)/2 exp(-cx2/t),
(3)
|Δξ,τ ∂kt∂lxZ(x, t; A2(ξ, τ))| ≤ C(k, l){ω0(|Δξ|) + ω0(|Δτ|1/2)}t-(2k+l+1)/2 exp(-cx2/t),
(4)
где (x, t) ∈ D, (ξ, τ), (ξ + Δξ, τ + Δτ) ∈ D, k, l ≥ 0.
Известно (см. [16], если m = 1, и [17], если m ≥ 2), что при выполнении условий (a) и
(b) у системы Lu = 0 существует ф.м.р. Γ(x, t; ξ, τ). При этом столбцы матрицы Γ(x, t; ξ, τ)
при любых фиксированных (ξ, τ) ∈ R × [0, T ) удовлетворяют по переменным (x, t) системе
Lu = 0 в полосе R × (τ,T] и справедливы оценки
|∂kt∂lxΓ(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-(2k+l+1)/2 exp{-c(x - ξ)2/(t - τ)}, (x, t; ξ, τ) ∈ D∗,
2k + l ≤ 2.
Здесь и далее через C, c обозначаем положительные постоянные, зависящие от чисел T, m,
коэффициентов оператора L и модуля непрерывности ω1, введённого ниже (см. (12)). Кроме
того, для разности
W (x, t; ξ, τ) ≡ Γ(x, t; ξ, τ) - Z(x - ξ, t - τ; A2(ξ, τ)), (x, t; ξ, τ) ∈ D∗,
имеют место неравенства
(
)
(x - ξ)2
|∂kt∂lxW (x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-(2k+l+1)/2 ω0((t - τ)1/2) exp -c
,
2k + l ≤ 2,
(5)
t-τ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ПОТЕНЦИАЛ ПУАССОНА В ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
1337
(
)
(x - ξ)2
|Δt∂lxW (x, t; ξ, τ)| ≤ C(Δt)1-l/2(t - τ)-3/2 ω0((t - τ)1/2) exp -c
,
l = 0,1,
(6)
t-τ
где x, ξ ∈ R,
0 ≤ τ < t < t + Δt ≤ T, Δt ≤ t - τ.
В частности, для оператора
L1u = ∂tu - A2(x,t)∂2xu - A1(x,t)∂xu
ф.м.р. Γ1(x, t; ξ, τ) системы L1u = 0 может быть представлена в виде
Γ1(x,t;ξ,τ) = Z(x - ξ,t - τ;A2(ξ,τ)) + W1(x,t;ξ,τ), (x,t;ξ,τ) ∈ D∗,
(7)
где для слагаемого W1 выполнены оценки (5), (6). Отметим равенство
∫
Γ1(x,t;ξ,0)dξ = E, (x,t) ∈ D,
(8)
−∞
где E - единичная матрица.
Для ф.м.р. Γ(x, t; ξ, τ) в дальнейшем будут полезны представление
Γ(x, t; ξ, τ) = Γ1(x, t; ξ, τ) + W2(x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D∗,
(9)
где
∫t
∫
W2(x,t;ξ,τ) = dη
Γ(x, t; y, η)A0(y, η)Γ1(y, η; ξ, τ) dy,
τ
-∞
и оценки
(
)
(x - ξ)2
|∂lxW2(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)(1-l)/2 exp -c
,
l = 0,1,
(10)
t-τ
)
(
)
(Δt
(x - ξ)2
|ΔtW2(x, t; ξ, τ)| ≤ CΔt ln
t - τ)-1/2 exp -c
,
(11)
(
T
t-τ
где x, ξ ∈ R, 0 ≤ τ < t < t + Δt ≤ T, Δt < t - τ.
В полосе D рассматриваем полуограниченную область Ω = {(x, t) ∈ D : x > g(t),
t ∈
∈ (0, T )} с негладкой, вообще говоря, боковой границей Σ = {(x, t) ∈ D : x = g(t)},
где
функция g удовлетворяет условию
g ∈ H1/2+ω1[0,T], ω1 ∈ D.
(12)
В области Ω рассмотрим первую начально-краевую задачу
Lu = f, (x,t) ∈ Ω; u(x,0) = h(x), x ≥ g(0); u(g(t),t) = ψ(t), t ∈ [0,T].
(13)
Основное содержание настоящей работы составляет
Теорема 1. Пусть выполнены условия (a), (b) и (12). Предположим, что f ∈ C0(D) и
существует модуль непрерывности ω ∈ D такой, что
|Δxf(x, t)|
sup
< ∞.
(x+Δx,t),(x,t)∈D
ω(|Δx|)
Δx=0
Тогда для любых функций h ∈ C1(R) и ψ : [0, T ] → Rm с условием ψ - h(g(0)) ∈ C1/2[0, T ]
0
существует (единственное) решение u ∈ C2,1(Ω)
⋂C1,0(Ω) задачи (13), которое имеет вид
суммы (векторных) параболических потенциалов
+∞
∫
t
∫
∫
t
u(x, t) =
Γ(x, t; ξ, 0)h(ξ) dξ +
dτ
Γ(x, t; ξ, τ)f(ξ, τ) dξ + Γ(x, t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ ≡
−∞
0
-∞
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1338
БАДЕРКО, САХАРОВ
≡ Ph(x,t) + V f(x,t) + Uϕ(x,t), (x,t) ∈ Ω,
(14)
где ϕ ∈ C[0, T ] - единственное в пространстве C[0, T ] решение системы граничных инте-
0
гральных уравнений Вольтерры первого рода
t
∫
Γ(g(t), t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ = ψ(t) - P h(g(t), t) - V f(g(t), t), t ∈ [0, T ];
(15)
0
и справедлива оценка
∥u; Ω∥1,0 ≤ C{∥h; R∥1 + ∥f; D∥0 + ∥ψ - h(g(0)); [0, T ]∥1/2 }.
(16)
Замечание 3. Единственность решения задачи (13) следует из работы [9].
Замечание 4. Если h ∈ C1(R), ψ ∈ H1/2+ω[0, T ], ω ∈ D, и ψ(0) = h(g(0)), то условия
теоремы 1 для (вектор)-функций h и ψ выполнены, причём имеет место оценка
∥ψ - h(g(0)); [0, T ]∥1/2 ≤ C∥ψ; [0, T ]∥1/2+ω .
Замечание 5. В случае f ≡ 0 в D и h ≡ 0 на R теорема 1 доказана в статье [8].
Замечание 6. Если g ∈ H1/2+ω1 [0, T ], причём модуль непрерывности ω1 не удовлетворяет
условию (1), то решение задачи (13) из пространства C1,0(Ω) может не существовать. В самом
деле, пусть T ∈ (0, 1) и
g(t) = (T - t)1/2ω1((T - t)1/2), t ∈ [0, T ],
ω1(z) = (ln(1/z))-1,
0 < z ≤ T1/2, ω1(0) = 0.
Пусть u ∈ C(Ω) - классическое решение начально-краевой задачи
∂tu - ∂2xu = 0, (x,t) ∈ Ω; u(x,0) = 0, x ≥ g(0); u|Σ = ψ(t),
где ψ ∈ C[0, T ] - строго убывающая функция, причём ψ(T ) < 0. Тогда в силу теоремы 2
из [18]
lim
∂xu(x,T) = +∞.
x→0+
Замечание 7. Для любых (вектор)-функций f и h, удовлетворяющих условиям теоре-
мы 1, сумма (векторных) параболических потенциалов (см. (14))
u(x, t) = P h(x, t) + V f(x, t), (x, t) ∈ D,
является классическим решением задачи Коши
Lu = f, (x,t) ∈ D; u(x,0) = h(x), x ∈ R.
При этом u ∈ C1,0(D), справедливо равенство
∂xPh(x,0) = h′(x), x ∈ R,
и имеет место оценка
∥u; D∥1,0 ≤ C{∥h; R∥1 + ∥f; D∥0}.
2. След потенциала Пуассона на кривой Σ.
Лемма 1. Пусть ψ ∈ C[0, T ]
⋂C1(0,T], причём
0
|ψ′(t)| ≤ t-1/2ω(t1/2), t ∈ (0, T ],
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ПОТЕНЦИАЛ ПУАССОНА В ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
1339
где ω - некоторый модуль непрерывности. Тогда ψ ∈ C1/2[0, T ].
0
Доказательство. Докажем сначала, что
t
∫
1
∂1/2ψ(t) =
(17)
√πτ-1/2ψ′(t-τ)dτ,t∈(0,T].
0
Фиксируем произвольное значение t0 ∈ (0, T ]. Достаточно доказать справедливость форму-
лы (17) для t ∈ [t0, T ].
Пусть t ∈ [t0, T ]. Для всех n ∈ N таких, что 1/n < t0/2 положим
∫
In(t) =
τ-1/2ψ(t - τ)dτ.
1/n
Справедливы равенства
∫
t
∫
t
lim
In(t) = τ-1/2ψ(t - τ)dτ = (t - τ)-1/2ψ(τ)dτ, t ∈ [t0,T],
(18)
n→∞
0
0
и
∫
I′n(t) = (t - 1/n)-1/2ψ(1/n) +
τ-1/2ψ′(t - τ)dτ ≡ (t - 1/n)-1/2ψ(1/n) + Ψn(t),
1/n
причём в силу условий на функцию ψ
(t - 1/n)-1/2ψ(1/n) → 0, n → ∞,
равномерно по t ∈ [t0, T ]. Кроме того, Ψn ∈ C[t0, T ], n ∈ N, 1/n < t0/2, и последовательность
Ψn(t) сходится равномерно по t ∈ [t0,T] к интегралу
t
∫
τ-1/2ψ′(t - τ)dτ
0
в силу неравенства
∫
∫
t
)
√
+
τ-1/2ψ′(t - τ)dτ
C(t0)ω(
1/n), t ∈ [t0, T ].
≤
0
t-1/n
Отсюда и из (18) следует формула (17) и включение
∂1/2ψ ∈ C(0,T].
Равенство ∂1/2ψ(0) = 0 получаем после этого из (17). Лемма доказана.
Теорема 2. Пусть h ∈ C1(R). Тогда для функции P h(g(t), t), t ∈ [0, T ], имеют место
представление
P h(g(t), t) = h(g(0)) +ĥ(t), t ∈ [0, T ],
гдеĥ ∈ C1/2[0, T ], и оценка
0
∥ĥ;[0,T]∥1/2 ≤ C∥h;R∥1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1340
БАДЕРКО, САХАРОВ
Доказательство. Воспользовавшись равенствами (7)-(9), запишем функцию P h(g(t), t)
в виде
+∞
∫
P h(g(t), t) = h(g(0)) +
Γ1(g(t),t;ξ,0)[h(ξ) - h(g(0))]dξ +
W2(g(t),t;ξ,0)h(ξ)dξ =
−∞
-∞
+∞
= h(g(0)) + Z(g(0) - ξ, t; A2(g(0), 0))[h(ξ) - h(g(0))] dξ +
-∞
+∞
+
[Z(g(0) - ξ, t; A2(ξ, 0)) - Z(g(0) - ξ, t; A2(g(0), 0))][h(ξ) - h(g(0))] dξ +
-∞
+∞
+
[Z(g(t) - ξ, t; A2(ξ, 0)) - Z(g(0) - ξ, t; A2(ξ, 0))][h(ξ) - h(g(0))] dξ +
-∞
+∞
∫
∑
+ W1(g(t),t;ξ,0)[h(ξ) - h(g(0))]dξ +
W2(g(t),t;ξ,0)h(ξ)dξ ≡ h(g(0)) +
Pi(t).
i=1
−∞
-∞
Докажем, что Pi ∈ C1/2[0, T ], i = 1, 5.
0
Рассмотрим слагаемое P1, для которого выполнены условия леммы 1. В самом деле, из
условий на функцию h следует, что P1 ∈ C[0, T ]
⋂C1(0,T]. Далее имеем
0
+∞
P′1(t) =
∂tZ(g(0) - ξ,t;A2(g(0),0))[h(ξ) - h(g(0))]dξ =
-∞
(
∫
∫
)
=
+
A2(g(0),0)∂xZ(g(0) - ξ,t;A2(g(0),0))[h′(ξ) - h′(g(0))]dξ, t > 0.
|ξ-g(0)|≤1
|ξ-g(0)|≥1
Отсюда, в силу условий на функцию h, следует оценка
{
∫
(
)
(g(0) - ξ)2
|P′1(t)| ≤ Ch
t-1ωh′(|g(0) - ξ|)exp -c
dξ +
t
|ξ-g(0)|≤1
∫
(
)
}
(g(0) - ξ)2
+
t-1 exp -c
dξ
≤ Ch[t-1/2ωh′(t1/2) + 1] ≤ Cht-1/2ωh′(t1/2), t > 0,
t
|ξ-g(0)|≥1
где ωh′ - модуль непрерывности функции h′ на отрезке [g(0) - 1, g(0) + 1]. Здесь и далее
Ch = C∥h;R∥1. Таким образом, в силу леммы 1 P1 ∈ C1/2[0,T].
0
Далее докажем, что Pi ∈ C1/2[0, T ], i = 2, 5. Для этого достаточно установить, что Pi ∈
0
∈ H1/2+ωi[0,T], где ωi ∈ D, i = 2,5, - некоторые модули непрерывности.
0Рассмотрим P2. В силу условий на h и оценок (4) имеем
+∞
(
)
(g(0) - ξ)2
|P2(t)| ≤ Ch
t-1/2|g(0) - ξ|ω0(|g(0) - ξ|)exp -c
dξ ≤ Cht1/2ω0(t1/2);
(19)
t
−∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ПОТЕНЦИАЛ ПУАССОНА В ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
1341
+∞
(
)
(g(0) - ξ)2
|ΔtP2(t)| ≤ ChΔt t-3/2|g(0) - ξ|ω0(|g(0) - ξ|) exp -c
dξ ≤
t
-∞
≤ Ch(Δt)1/2ω0((Δt)1/2),
0 < Δt < t < t + Δt ≤ T.
(20)
Из оценок (19) и (20) следует, что P2 ∈ H1/2+ω0 [0, T ].
0
Рассмотрим слагаемое P3. Здесь и далее пользуемся неравенством (a - b)2 ≥ a2/2 - b2,
a, b ∈ R. В силу условий на h и соотношений (3), (12) имеем
+∞
(
)
(g(0) - ξ)2
|P3(t)| ≤ Cht1/2ω1(t1/2)
t-1|g(0) - ξ|exp -c
dξ ≤ Cht1/2ω1(t1/2);
(21)
t
−∞
[
∫
(
)
(g(0) - ξ)2
|ΔtP3(t)| ≤ Ch (Δt)1/2ω1((Δt)1/2)
t-1|g(0) - ξ|exp -c
dξ +
t
−∞
+∞
(
)
]
(g(0) - ξ)2
+ Δt t-3/2ω1(t1/2)|g(0) - ξ|exp -c
dξ
≤
t
−∞
≤ Ch(Δt)1/2ω1((Δt)1/2),
0 < Δt < t < t + Δt ≤ T.
(22)
Из (21) и (22) следует, что P3 ∈ H1/2+ω1 [0, T ].
0
Рассмотрим теперь P4. Из условий на функцию h и соотношений (5), (6), (12) следуют
неравенства
|P4(t)| ≤ Cht1/2 ω0(t1/2);
(23)
{
∫
(
)
(g(0) - ξ)2
|ΔtP4(t)| ≤ Ch (Δt)1/2ω1((Δt)1/2)
t-1|g(0) - ξ|exp -c
dξ +
t
−∞
+∞
(
)
}
(g(0) - ξ)2
+ Δt t-3/2ω0(t1/2)|g(0) - ξ|exp -c
dξ
≤
t
−∞
≤ Ch(Δt)1/2{ω1((Δt)1/2) + ω0((Δt)1/2)},
0 < Δt < t < t + Δt ≤ T.
(24)
Из оценок (23) и (24) следует, что P4 ∈ H1/2+ω4 [0, T ], ω4 = ω1 + ω0.
0
Наконец, рассмотрим слагаемое P5. В силу условий на h и соотношений (10)-(12) имеем
∫
(
)
(g(t) - ξ)2
|P5(t)| ≤ Cht1/2
exp
-c
dξ ≤ Cht;
(25)
t
−∞
{
∫
(
)
(g(t) - ξ)2
|ΔtP5(t)| ≤ Ch (Δt)1/2ω1((Δt)1/2)
exp
-c
dξ +
t
−∞
)
∫
(
)
}
(Δt
(g(t) - ξ)2
+ Δtln
t-1/2 exp -c
dξ
≤
T
t
−∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1342
БАДЕРКО, САХАРОВ
≤ Ch(Δt)1/2{ω1((Δt)1/2) + (Δt)1/4},
0 < Δt < t < t + Δt ≤ T.
(26)
Из оценок (25) и (26) следует, что P5 ∈ H1/2+ω5 [0, T ], ω5(z) = ω1(z) + z1/2, z ≥ 0. Теорема
0
доказана.
3. Доказательство теоремы 1.
Лемма 2 (см. [19]). Пусть для оператора L выполнены условия (a), (b). Тогда для любой
функции f ∈ C0(D) объёмный потенциал V f (см. (14)) удовлетворяет оценкам
|∂lxV f(x, t)| ≤ C∥f; D∥0t1-l/2, l = 0, 1,
|ΔtV f(x, t)| ≤ C∥f; D∥0|Δt|(1 + | ln |Δt||),
|Δt∂xV f(x, t)| ≤ C∥f; D∥0|Δt|1/2,
|Δx∂xV f(x, t)| ≤ C∥f; D∥0|Δx|(1 + | ln |Δx||), (x, t), (x + Δx, t), (x, t + Δt) ∈ D.
Следствие. Пусть выполнены условия леммы 2 и
f (t) = V f(g(t), t), t ∈ [0, T ]. Тогда
f ∈ C1/2[0,T]
(27)
0
и справедлива оценка
f;[0,T]∥1/2 ≤ C∥f;D∥0.
(28)
Доказательство теоремы 1. Решение u задачи (13) будем искать в виде
u(x, t) = v(x, t) + P h(x, t) + V f(x, t), (x, t) ∈ Ω.
(29)
Положим
ψ(t) = ψ(t) - P h(g(t), t) - V f(g(t), t), t ∈ [0, T ].
В силу условий на функцию ψ, леммы 2, соотношений (27), (28) и теоремы 2 имеем
ψ ∈ C1/2[0,T],
(30)
0
ψ;[0,T]∥1/2 ≤ C{∥h;R∥1 + ∥f;D∥0 + ∥ψ - h(g(0));[0,T]∥1/2}.
Замена (29) в силу включения (30) сводит задачу (13) к поиску (вектор)-функции v такой,
что
Lv = 0, (x,t) ∈ Ω; v(x,0) = 0, x ≥ g(0); v(g(t),t)
ψ(t), t ∈ [0, T ].
(31)
Из работ [7, 8] следует, что существует решение задачи (31) из пространства C1,0(Ω), при-
0
чём оно имеет вид потенциала простого слоя
∫t
v(x, t) = Γ(x, t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ, (x, t) ∈ Ω,
0
где ϕ ∈ C[0, T ] - единственное в C[0, T ] решение системы граничного интегрального уравне-
0
ния (15), и справедлива оценка
∥v; Ω∥1,0 ≤ C{∥h; R∥1 + ∥f; D∥0 + ∥ψ - h(g(0)); [0, T ]∥1/2 }.
Отсюда следует (см. замечание 7), что задача (13) имеет решение u из пространства C1,0(Ω),
и для него справедливы представление (14) и оценка (16). Теорема 1 доказана.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ПОТЕНЦИАЛ ПУАССОНА В ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
1343
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных
уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.
2. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-
раболического типа. М., 1967.
3. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в
области неаналитических функций // Бюлл. МГУ. Секц. А. 1938. Т. 1. № 7. С. 1-72.
4. Камынин Л.И. О решении методом потенциалов основных краевых задач для одномерного пара-
болического уравнения второго порядка // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15. № 4. С. 806-834.
5. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. О приложениях принципа максимума к параболическим уравнени-
ям 2-го порядка // Докл. АН СССР. 1972. Т. 204. № 3. С. 529-532.
6. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Об аналогах теоремы Жиро для параболического уравнения 2-го
порядка // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14. № 1. С. 86-110.
7. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Задача Дирихле для параболических систем с Дини-непрерывными
коэффициентами на плоскости // Докл. РАН. 2017. Т. 476. № 1. С. 7-10.
8. Baderko E.A., Cherepova M.F. Dirichlet problem for parabolic systems with Dini continuous coefficients
// Appl. Analysis. 2021. V. 100. № 13. P. 2900-2910.
9. Бадерко Е.А., Сахаров С.И. Единственность решений начально-краевых задач для параболических
систем с Дини-непрерывными коэффициентами в плоских областях // Докл. РАН. 2022. Т. 502.
№ 2. С. 26-29.
10. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.
11. Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов в пространстве Дини-Гёльдера // Сиб. мат.
журн. 1970. Т. 11. № 5. С. 1017-1045.
12. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Первая краевая задача для параболических систем в плоских областях
с негладкими боковыми границами // Докл. РАН. 2014. Т. 458. № 4. С. 379-381.
13. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Потенциал простого слоя и первая краевая задача для параболической
системы на плоскости // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 2. С. 198-208.
14. Бадерко E.A., Черепова М.Ф. О единственности решения задачи Коши для параболических систем
// Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 6. С. 822-830.
15. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., 1968.
16. Бадерко Е.А. О потенциалах для 2p-параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1983.
Т. 19. № 1. С. 9-18.
17. Зейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка
в классах Дини // Деп. ВИНИТИ РАН. 16.04.92. № 1294-В92.
18. Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Принцип максимума и локальные оценки Липшица вблизи боковой
границы для решений параболического уравнения 2-го порядка // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. № 6.
С. 1172-1187.
19. Тверитинов В.А. Решение второй краевой задачи для параболической системы с одной простран-
ственной переменной методом граничных интегральных уравнений // Деп. ВИНИТИ АН СССР.
15.11.89. № 6906-В89.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 05.06.2022 г.
имени М.В. Ломоносова,
После доработки 05.06.2022 г.
Московский центр фундаментальной
Принята к публикации 30.08.2022 г.
и прикладной математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022