ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 10, с. 1344-1352

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.6+517.929

ЗАДАЧА ТРИКОМИ

ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

СМЕШАННОГО ТИПА С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ

ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ

Исследуется задача Трикоми для дифференциально-разностного уравнения с оператором

Лаврентьева-Бицадзе в главной части с параллельными линиями изменения типа в неогра-

ниченной области. Доказаны теоремы единственности и существования дважды непрерыв-

но дифференцируемого решения.

DOI: 10.31857/S0374064122100053, EDN: KQDVAB

Введение. Известный метод решения задачи Трикоми, основанный на её редукции к син-

гулярному интегральному уравнению (см. [1, с. 79]), может быть применён и к некоторым

уравнениям смешанного типа с запаздывающими аргументами, когда найдены их общие ре-

шения [2].

Предлагаемая работа изучает задачу Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с со-

средоточенным некарлемановским сдвигом по пространственной переменной вида

(sgn y(h - y))U_xx(x, y) + U_yy(x, y) = H(x - τ)[U_x(x - τ, y) + U(x - τ, y)],

(1)

0 < τ ≡ const; H(ζ) - функция Хевисайда; в области D = D⁺

^⋃D-1 ⋃D-2 ⋃I, где D⁺{(x,y) :

⋃+∞

0 < x < +∞, 0 < y < h} =

D+k(0 < h ≡ const); D^-i = {(x,y) : x > 0, -x - (i - 1)h <

k=0

⋃+∞

< (-1)i+1y < (1 - i)h} =

D^-ik

^⋃ (D^-i\⋃+∞k=0 D^-ik), i = 1, 2, - эллиптическая и гиперболиче-

k=0

ская части области D, причём

D+k = {(x,y) : kτ < x < (k + 1)τ,0 < y < h}, k = 0,1,2,... ,

D^-ik = {(x,y) : kτ + (-1)ⁱy + (1 - i)h < x < (k + 1)τ + (-1)i+1y + (i - 1)h,

(1 - i)h + (-1)2i-1τ/2 < (-1)i+1y < (1 - i)h}, k = 0, 1, 2, . . . , i = 1, 2,

⋃

I =I₁

^⋃I₂, I_i = {(x,y) : x > 0, y = (i - 1)h} =

I_ik,

k=0

I_ik = {(x,y) : kτ < x < (k + 1)τ, y = (i - 1)h}, i = 1,2.

1. Постановка задачи. Регулярным решением уравнения (1) в области D назовём функ-

цию U(x, y) ∈ C(D)

^⋂C²(D), имеющую непрерывные производные в D, кроме, быть может,

точек (0, 0),

(0, h), в которых производные U_x(x, y), U_y(x, y) могут обращаться в бесконеч-

ность порядка меньше единицы.

Задача T. Найти регулярное в области D решение U(x, y) уравнения (1), удовлетворя-

ющее условиям

U (0, y) = 0,

0 ≤ y ≤ h,

(2)

lim U(x, y) = 0,

0 ≤ y ≤ h,

(3)

x→+∞

U (x, y)|y=(-1)ix+(i-1)h = ψ_i(x), x ≥ 0, i = 1, 2, ψ_i(0) = ψ_i(+∞) = 0,

(4)

1344

ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

1345

U (x, (i - 1)h-) = U(x, (i - 1)h+) = ω_i(x), x ≥ 0, i = 1, 2,

(5)

U_y(x,(i - 1)h-) = U_y(x,(i - 1)h+) = ν_i(x), x > 0, i = 1,2,

(6)

где ψ_i(x), i = 1, 2, - заданные непрерывные достаточно гладкие функции; ω_i(x), ν_i(x),

i = 1,2, - неизвестные функции, подлежащие определению в процессе решения задачи.

2. Однозначная разрешимость задачи T.

Теорема. Если функции ψ_i(x) ∈ C[0, +∞)

^⋂C²(0,+∞) абсолютно интегрируемы на про-

межутке (0,+∞) и ψ_i(0) = ψ_i(+∞) = 0, то существует единственное регулярное решение

задачи T.

Доказательство. Единственность решения задачи T основана на установлении знако-

∫+∞

определённости интеграла β = β₁ - β₂, β_i =

ω_i(x)ν_i(x)dx, i = 1,2.

Лемма 1. Если U(x, y) - решение уравнения (1) в области D⁺ из класса C(D⁺)^⋂

C²(D⁺),

обращающееся в нуль при x = 0, x → +∞,

0 ≤ y ≤ h, то

β≤0

(7)

∫∫

{

[

]₂

β+

U2y(x,y) + H(x - τ) U_x(x - τ,y) +

U (x, y)

[2 - H(x - τ)]U²(x, y) +

D⁺

[(∫x

)₂

(∫x

)₂]}

H(x - τ)

U_ζ(ζ,y)dζ

dx dy = 0.

(8)

x-τ

Доказательство следует из тождества

U (x, y)[U_xx(x, y) + U_yy(x, y) - H(x - τ)U_x(x - τ, y) - H(x - τ)U(x - τ, y)] =

= (U(x, y)U_x(x, y))_x - U2x(x, y) + (U(x, y)U_y(x, y))_y - U2y(x, y) -

- H(x - τ)U(x,y)U_x(x - τ,y) - H(x - τ)U(x,y)U(x - τ,y) = 0,

интегрируя которое по области D+ερ = {(x, y) : ε < x < ρ, 0 < y < h},

0 < ε < ρ ≡ const,

применяя формулу Грина [3, с. 541] и условия леммы, в пределе при ε → 0, ρ → +∞ в силу

(5), (6) и равенств

∫∫

[U2x(x, y) + H(x - τ)U(x, y)U_x(x - τ, y)] dx dy =

D⁺

∫∫

{

[

]₂

U2x(x,y) - H(x - τ)U2x(x - τ,y) + H(x - τ) U_x(x - τ,y) +

U (x, y)

D⁺

}

∫∫

{[

]₂

}

−

H(x - τ)U²(x, y) dx dy =

H(x - τ) U_x(x - τ, y) +

U (x, y)

U²(x,y) dxdy,

D⁺

∫∫

H(x - τ)U(x, y)U(x - τ, y) dx dy =

H(x - τ)U²(x - τ, y) dx dy +

D⁺

∫∫

H(x - τ){U²(x, y) - [U(x, y) - U(x - τ, y)]²} dx dy =

D⁺

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1346

ЗАРУБИН

∫∫

[(∫x

)₂

(∫x

)₂]

U²(x,y)dxdy +

H(x - τ)

U_ζ(ζ,y)dζ

dx dy

D⁺

x-τ

получим (8).

Так как

∫∫

[(∫x

)₂

(∫x

)₂]

H(x - τ)

U_ζ(ζ,y)dζ

dx dy ≥

D⁺

x-τ

∫∫

[(∫x

)₂

(∫x

)₂]

≥ H(x - τ)

|U_ζ (ζ, y)| dζ

dx dy ≥ 0,

D⁺

x-τ

то из (8) следует неравенство (7). Лемма доказана.

Лемма 2. Если U(x, y) ∈ C(D^-i)^⋂ C²(D^-i) - решение уравнения (1) в области D^-i, обра-

щающееся в нуль на характеристике y = (-1)ⁱx + (i - 1)h, x > 0, i = 1, 2, то

β ≥ 0.

(9)

Доказательство следует из тождества

U (x, y)[-U_xx(x, y) + U_yy(x, y) - H(x - τ)U_x(x - τ, y) - H(x - τ)U(x - τ, y)] =

= -(U(x,y)U_x(x,y))_x + U2x(x,y) + (U(x,y)U_y(x,y))_y - U2y(x,y) -

- H(x - τ)U_x(x - τ,y)U(x,y) - H(x - τ)U(x,y)U(x - τ,y) = 0,

интегрируя которое по области

D^-iε = {(x,y) : x > ε,

-x - (i - 1)h < (-1)i+1y < -ε - (i - 1)h},

0 < ε ≡ const,

i = 1,2,

с применением формулы Грина [3, с. 541] и условий леммы, в пределе при ε → 0 в силу (5) и

(6) имеем

+∞

∫∫

(-1)i+1

ω_i(x)ν_i(x)dx =

[U2y(x, y) - U2x(x, y) +

D^-

+ H(x - τ)U(x,y)U_x(x - τ,y) + H(x - τ)U(x,y)U(x - τ,y)]dxdy, i = 1,2.

(10)

Так как

∫∫

H(x - τ)U2x(x - τ, y) dx dy =

U2x(x,y)dxdy,

D^-

D_i

а U_x(x - τ,y) ∼ (U(x,y) - U(x - τ,y))/τ при x → x - τ (см. [4, с. 100]), т.е. U_x(x - τ,y) =

= α(x)(U(x, y) - U(x - τ, y))/τ, lim α(x) = 1, α(x) > 0 (см. [3, с. 130]), причём

x→x-τ

(

)₂

(

)₂

α(x)

U (x, y) - U_x(x - τ, y)

U (x, y) -

(U(x, y) - U(x - τ, y))

∫

)₂

)∫x

∫

)₂

⁽1

α(x)

⁽⁽1

α(x)

U_ζ(ζ,y)dζ -

U_ζ(ζ,y)dζ

U_ζ(ζ,y)dζ +

U_ζ(ζ,y)dζ

≤

x-τ

∫

)₂

∫

)₂

⁽1

≤

|U_ζ (ζ, y)| dζ +

|U_ζ (ζ, y)| dζ

U²(x,y),

x-τ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

1347

то

∫∫

[-U2x(x, y) + H(x - τ)U(x, y)U_x(x - τ, y)] dx dy =

D^-i

∫∫

[

- U2x(x,y) +

H(x - τ)U(x, y)U²(x, y) + H(x - τ)U2x(x - τ, y) -

D^-

(

)₂]

- H(x - τ)

U (x, y) - U_x(x - τ, y)

dx dy =

∫∫

(

)₂]

^[1

H(x - τ)

U²(x,y) -

U (x, y) - U_x(x - τ, y)

dx dy ≥

D-i

∫∫

[

]

≥

H(x - τ)

U²(x,y) -

U²(x,y) dxdy = 0.

(11)

D^-

Кроме того, аналогично лемме 1 имеет место неравенство

∫∫

H(x - τ)U(x, y)U(x - τ, y) dx dy ≥ 0.

(12)

D^-i

∫+∞

Поэтому в силу (11), (12) из равенств (10) имеем (-1)i+1

ω_i(x)ν_i(x)dx = (-1)i+1β_i ≥ 0,

i = 1,2, т.е. β = β₁ - β₂ ≥ 0. Лемма доказана.

Вернёмся к доказательству единственности решения задачи T. Из неравенств (7), (9) сле-

дует, что β = 0, а потому из (8) получим положительно определённый двойной интеграл,

равный нулю, и значит, U_x(x, y) ≡ 0, U_y(x, y) ≡ 0, т.е. U(x, y) ≡ const в D⁺.

Однородность граничных условий в области D⁺ и U(x, y) ∈ C(D⁺) позволяет утвер-

ждать, что U(x, y) ≡ 0 в D⁺ и, в частности, U(x, (i - 1)h) = ω_i(x) = 0, x ≥ 0. Последнее

равенство в совокупности с однородным условием (4) обеспечивает тривиальность решения

U (x, y) ≡ 0 первой задачи Дарбу в D^-i, i = 1, 2. Значит, в силу того, что U(x, y) ≡ 0 в D⁺

и в D-i , i = 1,2, следует, что U(x,y) ≡ 0 в D = D+ ⋃D-1 ⋃D-2 . Поэтому единственность

решения задачи T для уравнения (1) с граничными условиями (2)-(6) в области D доказана.

Существование решения. Вопрос существования решения задачи T связан с разреши-

мостью системы функциональных соотношений относительно функций (5), (6), т.е. ω_i(x) и

ν_i(x), i = 1,2, привнесённых специальным образом на линии изменения типа I_i = {(x,y) :

x > 0, y = (i - 1)h}, i = 1,2, из области D⁺ и D^-i решениями:

1) в эллиптической области D⁺ задачи Дирихле (1)-(3), (5) для уравнения (1);

2) в гиперболической области D^-i, i = 1, 2, задачи Коши (1), (5), (6) для уравнения (1).

Решения задач Дирихле и Коши будем искать по аналогии с работой [2] с помощью непо-

средственно проверяемого общего решения уравнения (1) вида

{

}

}(x, y) =

}(x, y) : (x, y) ∈ D{k}, k = 0, 1, 2, . . . , i = 1, 2 ,

(13)

^{0

^{k

здесь (x, y) ∈ D^±, D^- = D-1

^⋃D-2,

∑

d^j

γ_mjH(x - mτ)

Im0,x-mτ,0Φ{0

}(x, y),

(14)

^{k^}(x,y)=

dx^j

m=0 j=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

4^∗

1348

ЗАРУБИН

где

(

)

(

)

√

Φ{0}(x, y) = g{0} x-y

−sgny(h - y)

-sgn y(h - y)

(15)

^{0^} x+y

∫

Im0,x-mτ;αΦ{0

}(x, y) =

η((x - mτ + α)² - (η + α)²)m-1Φ{0}(η, y)dη

(16)

Γ(m)

– интеграл Эрдейи-Кобера [5, с. 246], причём I00,x;0Φ{0}(x, y) = Φ{0}(x, y) - тождественный

оператор Эрдейи-Кобера; γ_mj = (j!(m - j)!22m)-1; Γ(t) - гамма-функция [6, с. 246]; g{0}(t),

^{0^}(t),i=1,2,-произвольныедваждынепрерывнодифференцируемыефункции.

Для определения функций g{0}(t),

^{0^}(t),i=1,2,вформуле(15)длязадачиДирихле

и задачи Коши воспользуемся соответственно условиями (5) и (5), (6).

В результате из (13) и (14) получим интегро-разностное уравнение

∑

d^j

γ_mjH(x - mτ)

Im0,x-mτ,0Z^Θ(x) = Θ(x),

(17)

dx^j

m=0 j=0

где Θ(x) = ω₁(x), ω₂(x) для задачи Дирихле, причём

Zω1(x) = Φ⁺⁰(x,0) = g⁺⁰(x) + f⁺⁰(x),

(18)

√

Zω2(x) = Φ⁺⁰(x,h) = g⁺⁰(x - ih) + f⁺⁰(x + ih), i =

-1;

(19)

или Θ(x) = ω_j (x), ν_j (x), j = 1, 2, для задач Коши, когда

Zωj (x) = Φ^-j(x,(j - 1)h) = g^-j(x - (j - 1)h) + f^-j(x + (j - 1)h),

(20)

Zνj (x) = Φ^-jy(x,(j - 1)h) = -g^-j′(x - (j - 1)h) + f^-j′(x + (j - 1)h), j = 1,2,

(21)

Z^Θ(x) = {ZΘk(x) : kτ ≤ x ≤ (k + 1)τ, k = 0,1,2,...}.

(22)

Интегро-разностное уравнение (17) после обращения (см. [2]) приводит к решению вида

(22), в котором

∑

d^j

ZΘk(x) =

(-1)^mγ_mj H(x - mτ)

Im0,x-mτ,0Z^Θ(x).

(23)

dx^j

m=0 j=0

Лемма 3. Если выполняются условия ω_j(x) ∈ C[0, +∞)

^⋂C²(0,+∞), ω_j(0) = ω_j(+∞) =

= 0, j = 1, 2, то решение U+0 (x, y) задачи Дирихле (1)-(3), (5) для уравнения (1) в области

D⁺ существует, причём U⁺⁰(x,y) ∈ C(D⁺)^⋂ C²(D⁺).

Доказательство. Из системы (18), (19) получим разностное уравнение

f⁺⁰(x) = R2ihxf⁺⁰(x) + β(x),

где β(x) = RihxZω2(x) - R2ihxZω1(x), Rτx - оператор сдвига, действующий по переменной

x : R^τxq(x) = q(x - τ), единственное решение которого, найденное в статье [7] методом по-

следовательных приближений, имеет вид

∑

f⁺⁰(x) =

R2ihnxβ(x) =

Rih(2n+1)xZω2(x) -

R2ih(n+1)xZω1(x).

n=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

1349

Тогда, согласно равенствам (18),

∑

f⁺⁰(x) = Zω1 (x) -

Rih(2n+1)xZω2(x) +

R2ih(n+1)xZω1(x).

n=0

Значит, в силу формулы (15) будем иметь

∑

Φ⁺⁰(x,y) = g⁺⁰(x - iy) + f⁺⁰(x + iy) =

{Ri[h(2n+1)-y]x - Ri[h(2n+1)+y]x}Zω2 (x) +

n=0

∑

√

{Ri[h(2n+1)-(h-y)]x - Ri[h(2n+1)+(h-y)]x}Zω1 (x), i =

-1.

(24)

n=0

Можно показать, что при выполнении условий леммы на функции ω_j(x), j = 1, 2, ряды в

(24) равномерно сходятся на промежутке [0, +∞), и их возможно почленно дифференцировать

по x и y дважды. Выражение (13) с функциями (14) для U⁺⁰(x, y), (x, y) ∈ D⁺ удовлетво-

ряет уравнению (1) и условиям (2), (3), (5), так как функции zωj (x) ∈ C[0, +∞)

^⋂C²(0,+∞)

абсолютно интегрируемы на [0, +∞), zωj (0) = Zωj (+∞) = 0, j = 1, 2, и операторы Эрдейи-

Кобера (16) этих функций ограничены (см. [5, с. 246]).

Интегральное представление решения (13) с функциями (14) и (24) задачи Дирихле в об-

ласти D⁺ найдём исходя из того, что любая непрерывная на луче [0, +∞) функция имеет

вид (см. [8, с. 254])

+^∞

r(x) = (r(ζ), δ(ζ - x) - δ(ζ + x)) =

r(ζ)[δ(ζ - x) - δ(ζ + x)] dζ,

(25)

где

∫

δ(z) =

cos(λz) dλ =

e^iλz dλ

(26)

2π

-∞

– дельта-функция Дирака.

Действительно, для первого ряда выражения (24) в силу (25), (26) и формул (5.4.12.4),

(2.5.46.8) из [9] имеем

∑

{Ri[h(2n+1)-y]x - Ri[h(2n+1)+y]x}Zω2 (x) =

n=0

∫

∑

Zω2 (ζ)dζ (eiλ(ζ-x) - e-iλ(ζ+x))sh (λy)

e-λh(2n+1) dλ =

n=0

-∞

∫

sh (λy)

Zω2(ζ)dζ

(cos λ(ζ - x) - cos λ(ζ + x))

dλ =

sh (λh)

∫

[

]

sin(yπ/h)

Zω2(ζ)

dζ.

ch ((ζ - x)π/h) + cos(yπ/h)

ch ((ζ + x)π/h) + cos(yπ/h)

Аналогичные преобразования второго ряда из (24) приводят к искомому интегральному

представлению

∫

[

∑

sin(yπ/h)

Φ⁺⁰(x,y) =

Zωj (ζ)

ch ((ζ - x)π/h) + (-1)^j cos(yπ/h)

j=1 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1350

ЗАРУБИН

]

dζ,

(27)

ch ((ζ + x)π/h) + (-1)^j cos(yπ/h)

а само решение U⁺⁰ задачи Дирихле (1)-(3), (5) в области D⁺ в интегральной форме будет

определяться равенствами (13), (14), (27). Лемма доказана.

Функциональное соотношение между функциями Zνj(x) и Zωj(x), привнесённое из

области D⁺ на линию y = (j - 1)h,

0 ≤ x < +∞, j = 1,2, найдём, воспользовавшись

условием (6) в формулах (13), (14), (27), из интегро-дифференциально-разностного уравнения

типа (17):

∑

d^j

γ_mjH(x - mτ)

Im0,x-mτ,0(Φ+0y′(x,y)|y=(n-1)h) = ν_n(x), n = 1,2,

dx^j

m=0 j=0

решение которого (см. [2]) имеет вид

Φ+0y′(x,y)|y=(n-1)h = Zνn(x),

0 < x < +∞, n = 1,2,

(28)

где функция Zνn (x) определяется аналогично решению (22), в котором следует заменить Θ(x)

на ν_n(x), n = 1, 2,

Дифференцируя выражение (27) (предварительно проинтегрировав по частям) по y, по-

лагая y = (n - 1)h, n = 1, 2, из (28) получим искомое функциональное соотношение

∫

[

⁽ (ζ - x)π⁾

⁽ (ζ + x)π^)]

(-1)n+1Zνn (x) =

(Zωn (ζ))^′ cth

- cth

dζ -

∫

[

⁽ (ζ - x)π⁾

⁽ (ζ + x)π^)]

(Zωk (ζ))^′ th

- th

dζ, n, k = 1, 2, n = k,

0 < x < +∞,

или

∫

sh(xπ/h)

dζ

(-1)n+1Zνn (x) =

(Zωn (ζ))^′

ch (ζπ/h) - ch (xπ/h)

∫

sh (xπ/h)

dζ

(Zωk (ζ))^′

n,k = 1,2, n = k,

0 < x < +∞.

(29)

ch (ζπ/h) + ch (xπ/h)

Лемма 4. Если выполняются условия ω_j(x) ∈ C[0, +∞)

^⋂C²(0,+∞), ν_j(x) ∈ C¹(0,+∞),

ω_j(0) = ω_j(+∞) = 0, то решение U^-j(x,y), j = 1,2, задачи Коши (1), (5), (6) для уравнения

(1) в области D^-j существует, причём U^-j(x,y) ∈ C(D^-j)^⋂ C²(D^-j), j = 1,2.

Доказательство. Для построения решения задачи Коши (1), (5), (6) в области D^-j найдём

g^-j(x), f^-j(x) из системы (20), (21) в виде

∫

g^-j(x) =

Zωj (x + (j - 1)h) -

Zνj (ζ)dζ +

∫

f^-j(x) =

Zωj (x - (j - 1)h) +

Zνj (ζ)dζ -

(30)

где C ≡ const, j = 1, 2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

1351

Подставив значения (30) в формулу (15), получим

Φ^-j(x,y) = g^-j(x - y) + f^-j(x + y) =

∫

[Zωj (x - y + (j - 1)h) + Zωj (x + y - (j - 1)h)] +

Zνj (ζ)dζ,

(31)

x-y+(j-1)h

где Θ(x) = ω_j (x), ν_j (x), j = 1, 2, Z^Θ(t) определяется равенством типа (22) с функциями (23).

Таким образом, решение задачи Коши (1), (5), (6) определяется выражениями (13), (14),

(31). При этом U^-j(x, y) ∈ C(D^-j)^⋂ C²(D^-j), так как ω_j(x) ∈ C[0, +∞)^⋂ C²(0, +∞), ν_j (x) ∈

∈ C¹(0,+∞), ω_j(0) = ω_j(+∞) = 0, абсолютно интегрируемы на (0,+∞); функции Zωj(x) ∈

∈ C[0,+∞)

^⋂C²(0,+∞), Z^νj(x) ∈ C¹(0,+∞), Z^ωj(0) = Z^ωj(+∞) = 0, j = 1,2, абсолютно

интегрируемы на промежутке (0, +∞) и операторы Эрдейи-Кобера этих функций ограниче-

ны. Лемма доказана.

Функциональные соотношения между Zνj(x) и Zωj(x), привнесённые из областей

D^-j на линии y = (j - 1)h, 0 ≤ x < +∞, j = 1,2, найдём, воспользовавшись условиями (4)

в (13), (14), (31), из интегро-дифференциально-разностного уравнения типа (17):

∑

d^j

γ_mjH(x - mτ)

Im0,x-mτ,0(Φ^-n(x,y)|y=(-1)nx+(n-1)h) = ψ_n(x), n = 1,2,

0 < x < +∞,

dx^j

m=0 j=0

решение которого (см. [2]) имеет вид

Φ^-n(x,y)|y=(-1)nx+(n-1)h = Zψn(x),

0 < x < +∞,

(32)

где Zψn (x) определяется аналогично (22), если там заменить Θ(x) на ψ_n(x), n = 1, 2.

С учётом в (32) выражения (31) после замены x на x/2 и дифференцирования получим

искомое функциональное соотношение

(Zωn (x))^′ + (-1)ⁿZνn (x) = Z

(Zψn (x/2)), x > 0, n = 1, 2.

(33)

Вопрос существования решения U(x,y) задачи T для уравнения (1) в области D

связан с разрешимостью системы функциональных соотношений (29), (33) между Zωn(x) и

Zνn(x), n = 1,2, привнесённых на линии y = (n - 1)h, x > 0, n = 1,2, решениями задачи

Дирихле (13), (14), (27) и задачи Коши (13), (14), (31), т.е. к сингулярной интегральной системе

уравнений

+^∞

dζ

(Zωn (x))^′ -

sh (xπ/h) (Zωn (ζ))^′

ch (ζπ/h) - ch (xπ/h)

+^∞

dζ

sh(xπ/h) (Zωk (ζ))^′

= β_n(x), x > 0,

(34)

ch (ζπ/h) + ch (xπ/h)

где β_n(x) = 2

(Zψn (x)), n, k = 1, 2, n = k, β_n(x) ∈ C¹(0, +∞).

Складывая и вычитая уравнения системы (34), после преобразований получаем систему

+∞

ch {[(n - 1)x + (2 - n)ζ]/h}

(Zω1 (x) - (-1)ⁿZω2 (x))^′ -

sh(xπ/h) (Zω1(ζ)-(-1)ⁿZω2(ζ))^′

dζ =

sh²(ζπ/h) - sh²(xπ/h)

= β₁(x) - (-1)ⁿβ₂(x), x > 0, n = 1,2,

(35)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1352

ЗАРУБИН

которая после замены переменных и функций по формулам

(Zω1 (x) - (-1)ⁿZω2 (x))^′ = sh (nxπ/h) r_n(y), y = sh (xπ/h),

β₁(x) - (-1)ⁿβ₂(x) = sh(nxπ/h)q_n(y), t = sh (ζπ/h), n = 1,2,

(36)

примет вид

∫

t dt

r_n(y) -

r_n(t)

= q_n(y), y > 0, n = 1,2.

(37)

t² - y²

Операция преобразования системы (35) в систему (37) законна ввиду однозначности и

монотонности функции sh (πx/h),

0 < x < +∞, и условия q_n(y) ∈ C¹(0,+∞).

Обращение сингулярной интегральной системы (37) в классе функций r_n(y), удовлетво-

ряющих условию Гёльдера, проведено в работе [2] и имеет вид

[

∫

]

^√t

t dt

r_n(y) =

q_n(y) +

q_n(t)

y > 0, n = 1,2,

t² - y²

а возврат к старым переменным и функциям по формулам (36) приводит к решению системы

уравнений (34), (35)

[

∫

(Zω1 (x) - (-1)ⁿZω2 (x))^′ =

(β₁(x) - (-1)ⁿβ₂(x)) +

sh(xπ/h) (β₁(ζ) - (-1)ⁿβ₂(ζ)) ×

√

]

sh(πζ/h) ch {[(n - 1)x + (2 - n)ζ]/h}dζ

x > 0, n = 1,2,

(38)

sh (πx/h)

sh²(πζ/h) - sh²(πx/h)

где β_n(x), n = 1, 2, - правая часть системы (34).

Из (38) найдём Zωn (x), а из соотношения (33) с помощью (38) получим Zνn (x), n = 1, 2.

Подставив в (13), (14), (27) и (13), (14), (31) найденные выражения для Zωn (x) и Zνn (x),

n = 1,2, получим окончательный вид соответственно искомых решений задачи Дирихле в об-

ласти D⁺ и задачи Коши в области D^-n, n = 1, 2, а значит, и решение задачи T в области D.

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М., 1959.

2. Зарубин А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Орел, 1999.

3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М., 1988.

4. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М., 1999.

5. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые

их приложения. Минск, 1987.

6. Градштейн И.С., Ражик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971.

7. Зарубин А.Н. Краевые задачи для функционально-дифференциальных канонических уравнений

смешанного типа // Докл. РАН. 2017. Т. 477. № 2. С. 133-137.

8. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М., 1978.

9. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М., 1981.

Орловский государственный университет

Поступила в редакцию 08.04.2022 г.

имени И.С. Тургенева

После доработки 08.04.2022 г.

Принята к публикации 15.08.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022