ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 10, с. 1353-1359
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.32
КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ
ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
© 2022 г. В. И. Корзюк, И. И. Столярчук
Рассмотрена первая смешанная задача для волнового уравнения в цилиндрической облас-
ти. С помощью метода характеристик получена явная формула классического решения
данной задачи, а также найдены условия согласования на исходные функции, гарантиру-
ющие достаточную гладкость решения во всей области.
DOI: 10.31857/S0374064122100065, EDN: KQGELA
Введение. Смешанные задачи для гиперболических уравнений используются в различ-
ных прикладных сферах современной науки. Много работ посвящено исследованию коррект-
ной постановки задач для двумерных гиперболических уравнений. Для этих задач доказаны
критерии корректности или получены достаточные условия для существования единственного
классического решения (см. [1-5]). Однако для уравнений с большим числом независимых пе-
ременных таких исследований проведено мало. Например, для задачи Коши для трёхмерного
и четырёхмерного волновых уравнений получены формулы Кирхгофа и Пуассона. В книге [6,
с. 65-70] выведены формулы для решения задачи Коши в случае произвольной размерности
n. В работе [7] с помощью метода Фурье исследована первая смешанная задача для волнового
уравнения, при этом вопрос об условиях согласования не изучен.
Возникает вопрос, можно ли получить достаточные условия существования единственно-
го классического решения смешанных задач в случае пространств высоких размерностей и
вывести явную формулу данного решения? В данной статье для простейшего случая первой
смешанной задачи для четырёхмерного волнового уравнения найдена явная формула решения
и выведены необходимые и достаточные условия согласования на значения этих функций и
их производных до третьего порядка включительно для существования единственного класси-
ческого решения поставленной задачи при заданной гладкости исходных функций. Стоит от-
метить, что в случае четырёх независимых переменных для гладкости решения поставленной
задачи требуется более высокая гладкость на исходные функции, чем для первой смешанной
задачи для уравнения колебания струны.
1. Постановка задачи. Задача рассматривается на множестве четырёх независимых пе-
ременных x = (x0, x′) = (x0, x1, x2, x3).
В области Q = {x = (x0, x′) : x0 ∈ (0, +∞), x′ ∈ Ω}, где Ω = {x′ : x21 + x22 + x23 < R2} ⊂
⊂ R3 - трёхмерный шар в четырёхмерном пространстве, относительно неизвестной функции
u : R4 ⊃ Q → u(x) ⊂ R задаётся волновое уравнение
∂2x
u - a2Δx′u = 0,
(1)
0
∑3
где R - множество действительных чисел, Δx′ =
∂2/∂xj2 - оператор Лапласа.
j=1
К уравнению (1) добавляются условия Коши
u|x0=0 = ϕ(x′),
∂x0 u|x0=0 = ψ(x′),
(2)
где ϕ : R3 ⊃ Ω → ϕ(x′) ⊂ R, ψ : R3 ⊃ Ω → ψ(x′) ⊂ R - заданные функции. На боковой
поверхности Γ = (0; +∞) × ∂Ω задаётся граничное условие Дирихле
u|Γ = μ(x),
(3)
здесь μ : R4 ⊃ Γ → μ(x) ⊂ R - заданная функция.
1353
1354
КОРЗЮК, СТОЛЯРЧУК
2. Операторы осреднения. Для задачи Коши (1), (2) в области {(x0,x′) : x0 ∈ (0,+∞),
x′ ∈ R3} с помощью операторов осреднения доказана теорема о существовании единствен-
ного классического решения u(x) при достаточной гладкости исходных данных и выведена
формула под принятым названием формула Кирхгофа, которая даёт аналитическое выраже-
ние полученного решения [8, с. 155-157]. Этот же подход применим для первой смешанной
задачи (1)-(3).
Рассмотрим оператор
∫
∫
∫
1
1
1
Ju(x,r) =
u(x + ry) dsy =
u(x + y) dsy =
u(y) dsy.
(4)
4π
4πr2
4πr2
|y|=1
|y|=r
|x-y|=r
Оператор J обладает следующими очевидными свойствами, которые фактически задают
непрерывность оператора при r = 0:
J-1) Ju(x, 0) = u(x);
J-2) lim
Ju(x,r) = u(x).
r→0
Наряду с оператором (4) введём оператор Mru(x) = rJu(x, r), для которого справедливы
следующие свойства:
M-1) lim
Mru(x) = 0;
r→0
Mru(x)
M-2) lim
= u(x);
r→0
r
∂
Mru(x)
M-3)
Mru(x)
= lim
= u(x).
∂r
r→0
r
r=0
Утверждение 1. Функция u(x) непрерывна на множестве своего задания тогда и толь-
ко тогда, когда существует такая окрестность нуля U0, что для любого параметра r ∈ U0
функция Mru(x) непрерывна по переменным r, x и непрерывно-дифференцируема по r.
Доказательство. Необходимость. Непрерывность функции u(x) гарантирует непре-
рывность функции Mru(x) по переменным x. Непрерывность функции Mru(x) по перемен-
ной r следует из свойств J-1), J-2), M-2).
Непрерывная дифференцируемость функции Mru(x) по переменной r в U0 следует из
свойства M-3).
Достаточность. Доказательство достаточности следует из свойства M-3). Утверждение
доказано.
Также введём оператор осреднения
J по сектору сферы S(x, r) - части поверхности сфе-
ры, высекаемой телесным углом с величиной 4πr/R, где R - радиус трёхмерного шара Ω, а
|S(x, r)| = 4πrR - площадь части сферы.
Оператор
J определяется следующим образом:
∫
∫
1
1
Ju(x,r) =
u(x + ry) dsy =
u(x + y) dsy =
4πR
4πrR
y∈S(x,1)
y∈S(x,r)
∫
1
=
u(y) dsy.
4πrR
x-y∈S(x-y,r)
Заметим, что оператор
J удовлетворяет свойствам J-1), J-2), а также сохраняет гладкость
функции.
3. Решение вспомогательной задачи для уравнения колебания струны. Рассмот-
рим точку N(x0, x′) с фиксированными пространственными координатами x′. Применим к
задаче (1)-(3) в точке N оператор Mr по переменным x′. В результате задача (1)-(3) све-
дётся к задаче для уравнения
∂2x
Mru(x0,x′) - a2∂2rMru(x0,x′) = 0
(5)
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
1355
в области
Q={(x0,r) : x0 > 0, r ∈ (0,rN ]}, где rN = d(N,Γ) - расстояние от точки N до
границы Γ, с начальными условиями
Mru|x0=0 = Mrϕ(x′) = ϕ(r), Mr∂x0 u|x0=0 = Mrψ(x′) = ψ(r)
(6)
и граничными условиями
Mru|r=rN = μ(x0)
Jμ(x0,x′,rN), Mru|r→0 = 0.
(7)
Задача (5)-(7) представляет собой первую смешанную задачу для одномерного волнового
уравнения, заданную в полуполосе относительно функции v(x0, r; x′) = Mru(x). При этом
искомая функция из задачи (1)-(3) u(x) выражается через решение v(x0, r; x′) задачи (5)-
(7) по формуле
∂
Mru(x)
u(x) =
v(x0, r; x′) = lim
,
(8)
∂r
r→0
r
откуда и в силу утверждения 1 следует, что решение u будет принадлежать классу C2(Q),
если решение v задачи (5)-(7) будет из класса C3([0, +∞) × [0, rN ]).
Для задачи (5)-(7) в статье [9] уже доказан критерий существования единственного клас-
сического решения из класса C3([0, +∞) × [0, rN ]).
Утверждение 2. Классическое решение задачи (5)-(7) существует и единственно в
классе C3(Q) тогда и только тогда, когда ϕ(r) ∈ C3([0, rN ]), ψ(r) ∈ C2([0, rN ]), μ(x0) ∈
∈ C3([0,+∞)), и выполняются условия согласования
ϕ(0) = 0, ϕ(rN ) = μ(0), ψ(0) = 0, ψ(rN ) = dμ(0),
d2ϕ(0) = 0, d2μ(0) = a2d2ϕ(rN ), d2ψ(0) = 0, d3μ(0) = a2d2ψ(l).
(9)
Из формулы (8) следует, что для нахождения решения исходной задачи необходимо найти
предел решения вспомогательной задачи (5)-(7) при r → 0 для каждой фиксированной точ-
ки N. Это означает, что для x0 > 0 в зависимости от его величины при r → 0 для достаточно
малых значений параметра r будет выполняться неравенство (k + 1)rN - ax0 < r < ax0 - krN ,
k = 0,1,... В работе [1] для решения задачи (5)-(7) в области, описываемой предыдущим
неравенством, приведена рекуррентная формула
∫
1
1
v(k)(x0,r;x′) =
(ϕ(k)(r + ax0 - krN ) - ϕ(k)(-r + ax0 - krN )) +
ψ(k)(z)dz.
(10)
2
2a
−r+ax0-krN
Выведем явную формулу решения в данной области.
Значения функций ϕ(k), ψ(k) находятся из решения v(k-1)(x0, r; x′) по следующим фор-
мулам (см. [1]):
ϕ(k)(r) = v(k-1)(krN /a, r; x′) = p(k-1)(r - krN ) + g(k-1)(r + krN ),
ψ(k)(r) = ∂x0 v(k-1)(krN/a,r;x′) = -adp(k-1)(r - krN) + adg(k-1)(r + krN ),
а функции p(k), g(k) определяются по формулам
∫
1
1
C
p(k)(z) = -
ϕ(k)(-z - kl) -
ψ(k)(ξ)dξ -
,
2
2a
2
rN
)
∫
(y-rN
1
1
C
g(k)(y) = μ
-
ϕ(k)(2rN - y + krN ) +
ψ(k)(ξ)dξ +
a
2
2a
2
rN
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1356
КОРЗЮК, СТОЛЯРЧУК
Из последних выражений следует, что
)
(r + (k - 1)rN
ϕ(k)(r) = p(k-1)(r - krN ) + g(k-1)(r + krN ) = μ
- ϕ(k-1)(rN - r) =
a
)
(r + (k - 1)rN
( (k - 1)rN - r)
=μ
-μ
+ ϕ(k-2)(r).
a
a
Продолжив далее этот процесс, получим формулу для произвольного k, которая выража-
ется через известную функцию ϕ:
(
)
∑
( (-1)j r + rN ((k - 1) - 2⌊j/2⌋))
πk
ϕ(k)(r) =
(-1)j μ
+ (-1)kϕ (-1)kr +
in
s
a
2
j=0
Аналогично выводится формула для функции ψ(k) :
(
)
∑
( (-1)j r + rN ((k - 1) - 2⌊j/2⌋))
πk
ψ(k)(r) =
(-1)j dμ
+ (-1)kψ (-1)kr +
in
s
a
2
j=0
Таким образом, решение (10) задачи (5)-(7) для (k+1)rN -ax0 < r < ax0-krN представимо
в виде
(
)
))
1
∑
( (-1)jr
( (-1)j+1r
v(k)(x0,r;x′) =
(-1)j μ
+ τ(k;N)j(x0)
-μ
+ τ(k;N)j(x0)
+
2
a
a
j=0
(
)
k
(-1)
+
ϕ((-1)kr + χ(k;N)(x0)) - ϕ((-1)(k+1)r + χ(k;N)(x0))
+
2
∫
∑
1
( (-1)j ξ + rN ((k - 1) - 2⌊j/2⌋))
+
(-1)j
dμ
dξ +
2a
a
j=0
−r+ax0-krN
∫
(
)
(-1)
k
πk
+
ψ (-1)kξ +
in
ξ,
(11)
s
d
2a
2
−r+ax0-krN
где
τ(k;N)j(x0) = (-1)jx0 +1(rN ((k - 1) - 2⌊j/2⌋) + (-1)j+1krN ),
a
k
χ(k;N)(x0) = (-1)k(ax0 - krN ) +sinπ
N.
(12)
r
2
4. Вывод формулы для решения первой смешанной задачи в цилиндре. Исполь-
зуя формулу (8), найдём из (11) решение исходной задачи для точек (x0, x′) для каждого
фиксированного x′. Для этого рассмотрим слагаемые с μ, dμ, ϕ, ψ по отдельности.
Слагаемые с ϕ преобразуются следующим образом:
(-1)k
(ϕ((-1)kr + χ(k;N)(x0)) - ϕ((-1)(k+1)r + χ(k;N)(x0))) =
2
k
(-1)
M(-1)kr+χ(k;N)(x0)ϕ(x′)-M(-1)(k+1)r+χ(k;N)(x0)ϕ(x′)
=
lim
=
2
r→0
r
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
1357
k
(-1)
M(-1)kr+χ(k;N)(x0)ϕ(x′)-Mχ(k;N)(x0)ϕ(x′)
=
lim
+
2
r→0
r
k
(-1)
Mχ(k;N)(x0)ϕ(x′)-M(-1)(k+1)r+χ(k;N)(x0)ϕ(x′)
+
lim
=
2
r→0
r
(
∫
)
∂Mχ(k;N)(r/a)
ϕ(x′)
1
∂
1
∂Mχ(k;N)(x0)ϕ(x′)
=
=
=
ϕ(y′) dsy′ .
∂r
∂(ax0)
4πa ∂x0
χ(k;N)(x0)
r=ax0
|x′-y′|=χ(k;N)(x0)
Аналогично случаю с ϕ преобразуются слагаемые с μ:
(
)
))
∑
( (-1)jr
( (-1)j+1r
(-1)j μ
+ τ(k;N)j(x0)
-μ
+ τ(k;N)j(x0)
=
2
a
a
j=0
∂M˜
μ(x)
∫
∑
∑
1
τ(k;N)j(x0)
1
∂
=
=
μ(x0, y′) dsy′ .
a
∂x0
4πRa
∂x0
j=0
j=0
x′-y′∈S(x-y,τ(k;N)j(x0))
Слагаемые с ψ преобразуются с использованием правила Лопиталя для раскрытия неопре-
делённости вида [0/0] следующим образом:
∫
(
)
(-1)k
1
πk
lim
ψ (-1)kξ +
in
dξ =
s
2a
r→0
r
2
−r+ax0-krN
k
(-1)
=
lim
M(-1)kr+χ(k;N)(x0)ψ(x′) + M(-1)(k+1)r+χ(k;N)(x0)ψ(x′) =
2a
r→0
∫
1
1
=
ψ(y′) dsy′ .
Mχ(k;N)(x0)ψ(x′)=
a
4πaχ(k;N)(x0)
|x′-y′|=χ(k;N)(x0)
Аналогично получим для слагаемых с dμ:
∫
∑
( (-1)j ξ + rN ((k - 1) - 2⌊j/2⌋))
j
(-1)
dμ
dξ =
2a
a
j=0
−r+ax0-krN
∂M˜
μ(x)
∫
∑
∑
1
τ(k;N)j(x0)
1
∂
=
=
μ(x0, y′) dsy′ .
a
∂x0
4πRa
∂x0
j=0
j=0
x′-y′∈S(x-y,τ(k;N)j(x0))
Таким образом, решение (11) задачи (5)-(7) преобразуется к решению задачи (1)-(3):
(
∫
)
∫
1
∂
1
1
u(x) =
ϕ(y′) dsy′
+
ψ(y′) dsy′ +
4πa ∂x0
χ(k;N)(x0)
4πaχ(k;N)(x0)
|x′-y′|=χ(k;N)(x0)
|x′-y′|=χ(k;N)(x0)
∫
∑
1
∂
+
μ(x0, y′) dsy′ ,
(13)
2πRa
∂x0
j=0
x′-y′∈S(x-y,τ(k;N)j(x0))
где функции τ, χ определены по формуле (12).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1358
КОРЗЮК, СТОЛЯРЧУК
5. Условия согласования. В утверждении 2 важную роль играет выполнение условий
согласования (9). Найдём эквивалентные условия в терминах исходных функций ϕ, ψ, μ.
Заметим, что некоторые из этих условий, а именно ϕ(0) = 0, ψ(0) = 0, d2ϕ(0) = 0, d2ψ(0) =
= 0, выполняются автоматически в силу определения оператора Mr.
Рассмотрим условие согласования ϕ(rN ) = μ(0). Исходя из определения, имеем
∫
1
ϕ(rN ) = MrN ϕ(x′) =
ϕ(y′) dsy′ ,
4πrN
|x′-y′|=rN
∫
1
μ(0) =
μ(x0, y′) dsy′ ,
4πRrN
x′-y′∈S(x′-y′,rN )
откуда следует, что
∫
∫
1
ϕ(y′) dsy′ =
μ(x0, y′) dsy′ .
(14)
R
|x′-y′|=rN
x′-y′∈S(x′-y′,rN )
Аналогично выводятся остальные условия согласования:
∫
∫
1
ψ(y′) dsy′ =
∂x0μ(x0,y′)dsy′ ,
R
|x′-y′|=rN
x′-y′∈S(x′-y′,rN )
∫
∫
1
a2
Δϕ(y′) dsy′ =
∂2x
μ(x0, y′) dsy′ ,
0
R
|x′-y′|=rN
x′-y′∈S(x′-y′,rN )
∫
∫
1
a2
Δψ(y′)dsy′ =
∂3x
μ(x0, y′) dsy′ .
(15)
0
R
|x′-y′|=rN
x′-y′∈S(x′-y′,rN )
Таким образом, в силу утверждения 2, формулы (13) и выведенных выше условий согла-
сования следует теорема о разрешимости первой смешанной задачи для волнового уравнения
в цилиндрической области.
Теорема. Пусть ϕ(x′) ∈ C3(Ω), ψ(x′) ∈ C2(Ω), μ(x) ∈ C3(Γ). Классическое решение
задачи (1)-(3) существует, единственно в классе C2(Q) и может быть найдено в точках
x, у которых x0 ∈ [krN /a,(k + 1)rN /a], k = 1,2,... , по формуле (13), где rN = d(N,Γ) -
расстояние от точки x до границы Γ, тогда и только тогда, когда выполняются условия
согласования (14), (15).
Заключение. В данной работе выведена явная формула для решения первой смешан-
ной задачи для четырёхмерного волнового уравнения в цилиндре и получены необходимые и
достаточные условия согласования на исходные данные задачи.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования
Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-
ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Корзюк В.И., Столярчук И.И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения
Клейна-Гордона-Фока в полуполосе // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 8. С. 1108-1117.
2. Корзюк В.И., Столярчук И.И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболи-
ческого уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами
// Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 1. С. 77-88.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
1359
3. Чернятин В.А. О разрешимости смешанной задачи для неоднородного гиперболического уравнения
// Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 4. C. 717-720.
4. Барановская С.Н., Юрчук Н.И. Смешанная задача для уравнения колебания струны с зависящей
от времени косой производной в краевом условии // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 8.
С. 1188-1191.
5. Шлапакова Т.С., Юрчук Н.И. Смешанная задача для уравнения колебания ограниченной струны с
производной в краевом условии, направленной не по характеристике // Вестн. Белорус. гос. ун-та.
Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. 2013. № 1. С. 64-69.
6. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. Новосибирск, 2003.
7. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений
// Успехи мат. наук. 1960. Т. 15. № 2. С. 97-154.
8. Корзюк В.И. Уравнения математической физики. М., 2021.
9. Корзюк В.И., Столярчук И.И. Произвольной гладкости классическое решение первой смешанной
задачи для уравнения типа Клейна-Гордона-Фока // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук.
2022. Т. 58. № 1. С. 34-47.
Белорусский государственный университет,
Поступила в редакцию 05.06.2022 г.
г. Минск,
После доработки 29.08.2022 г.
Институт математики НАН Беларуси,
Принята к публикации 30.08.2022 г.
г. Минск
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
