ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 10, с. 1360-1379

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.957

О ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ

ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ НА КОМПАКТЕ БОРА

Дана формулировка пространственно почти периодических (в смысле Безиковича) реше-

ний вырождающихся нелинейных параболических уравнений в рамках теории диффе-

ренциальных уравнений на компактной группе Бора. Введено понятие обобщённого

энтропийного решения задачи Коши, доказано его существование и единственность. Для

доказательства единственности развит вариант метода Кружкова удвоения переменных.

Данная формулировка полезна для описания новых инвариантных преобразований на мно-

жестве энтропийных решений (обобщённых сдвигов).

DOI: 10.31857/S0374064122100077, EDN: KQJPCE

Введение. В полупространстве Π = {(t, x) : t ∈ R₊ = (0, +∞), x ∈ Rⁿ} рассматривается

нелинейное параболическое уравнение

u_t + div_x(ϕ(u) - a(u)∇_xu) = 0,

(1)

в котором вектор потока ϕ(u) = (ϕ₁(u), . . . , ϕ_n(u)) лишь непрерывен: ϕ_i(u) ∈ C(R), i = 1, n,

а матрица диффузии a(u) = (a_ij (u))ni,j=1 измерима по Лебегу и ограничена: a_ij(u) ∈ L^∞(R),

i, j = 1, n. Также предполагается, что матрица a(u) ≥ 0 (неотрицательно определена). У этой

матрицы может быть нетривиальное ядро, так что в общем случае (1) - вырождающееся

(гиперболическое-параболическое) уравнение. В частном случае при a ≡ 0 оно превращается

в закон сохранения первого порядка

u_t + div_xϕ(u) = 0.

(2)

Формально уравнение (1) записывается в консервативной форме

u_t + div_xϕ(u) - D2x · A(u) = 0,

(3)

где матрица A(u) - первообразная для a(u), т.е. A^′(u) = a(u), а оператор D2x (дивергенция

второго порядка) определяется как

∑

∂²

D2x · A(u)=

A_ij(u).

∂x_i∂x_j

i,j=1

Уравнение (1) дополним начальным условием

u(0, x) = u₀(x).

(4)

Пусть функция g(u) ∈ BV_loc(R) имеет ограниченную вариацию на любом отрезке из мно-

жества R. Нам понадобится ограниченный линейный оператор T_g : C(R)/C → C(R)/C, где C

обозначает одномерное подпространство постоянных функций, который задаётся с точностью

до аддитивной постоянной соотношением

∫u

T_g(f)(u) = g(u-)f(u) - f(s)dg(s)

(5)

1360

О ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

1361

(изменение параметра c сводится к добавлению константы и не меняет оператора), где

g(u-) = lim g(v) - левосторонний предел функции g в точке u, а интеграл в (5) понимается

v→u-

в соответствии с формулой

∫

f (s)dg(s) = sign (u - c)

f (s)dg(s),

J (u)

здесь sign (u - c) = 1 и J(u) - интервал [c, u), если u > c, и sign (u - c) = -1, J(u) = [u, c)

при u ≤ c. Отметим, что функция T_g(f)(u) непрерывна даже при разрывной g(u). Например,

если g(u) = sign (u - k), то T_g(f)(u) = sign (u - k)(f(u) - f(k)). Отметим также, что на

подпространстве гладких функций C¹(R) оператор T_g определяется однозначно с точностью

до аддитивной постоянной равенством T_g(f)^′(u) = g(u)f^′(u) (в пространстве обобщённых

функций D^′(R)).

Фиксируем представление матрицы диффузии a(u) в форме

a(u) = b^т(u)b(u),

где b(u) = (b_ij (u)), i = 1, r, j = 1, n, - r × n-матричнозначная функция с ограниченными

измеримыми компонентами, b_ij ∈ L^∞(R). При r = n мы можем взять b(u) = (a(u))1/2.

Представление a(u) = b^т(u)b(u) означает, что для всех j, k = 1, n справедливо равенство

∑

a_jk(u) =

b_ij(u)b_ik(u).

(6)

i=1

Напомним теперь понятие энтропийного решения (э.р.) задачи Коши (1), (4), введённое в

работе [1].

Определение 1. Функция u = u(t, x) ∈ L^∞(Π) называется энтропийным решением задачи

(1), (4), если выполнены следующие условия:

(i) для всех i = 1, r распределение

div_xB_i(u(t, x)) ∈ L^2loc(Π)

(частичная соболевская регулярность), где векторы B_i(u) = (Bi1(u), . . . , B_in(u)) ∈ C(R, Rⁿ)

таковы, что B^′ij (u) = b_ij(u), j = 1, n;

(ii) для любой функции s(u) ∈ C¹(R), i = 1, r,

div_xT_s(B_i)(u(t, x)) = s(u(t, x)) div_xB_i(u(t, x)) в D^′(Π)

(цепное правило);

(iii) для любой выпуклой функции η(u) ∈ C²(R) (энтропии)

∑

η(u)_t + div_xT_η′ (ϕ)(u) - D2x · T_η′ (A)(u) + η^′′(u) (div_xB_i(u))² ≤ 0 в D^′(Π);

(7)

i=1

(iv) ess limu(t, · ) = u0 в пространстве L1loc(Rn).

t→0

Энтропийное соотношение (7) означает, что для любой неотрицательной пробной функции

f = f(t,x) ∈ C∞0(Π) справедливо неравенство

∫ [

]

∑

η(u)f_t + T_η′ (ϕ)(u) · ∇_xf + T_η′ (A)(u) · D2xf - fη^′′(u) (div_xB_i(u))2 dt dx ≥ 0,

(8)

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1362

ПАНОВ

где D2xf - симметричная матрица производных второго порядка функции f по простран-

ственным переменным x (гессиан), а символ “ · ” обозначает обычное скалярное произведение

векторов или матриц (так что в случае матриц имеет место равенство A · B = Tr A^тB ).

В изотропном случае, когда матрица A(u) = g(u)E скалярна, понятие э.р. было введено

ранее в работе [2], и определение э.р. в этом случае значительно упрощается. Для законов

сохранения (2) определение 1 сводится к известному определению обобщённого энтропийного

решения в смысле С.Н. Кружкова [3]. Подставив η(u) = ±u в (7), получим, что

u_t + div_xϕ(u) - D2x · A(u) = 0 в D^′(Π),

т.е. э.р. u(t, x) является слабым решением уравнения (3).

Известно (см., например, [4, предложение 2.1]), что начальное условие можно включить в

интегральное энтропийное неравенство, заменив условия (iii), (iv) на одно, эквивалентное им,

соотношение: для любой выпуклой функции η(u) ∈ C²(R) и любой неотрицательной пробной

функции f(t, x) ∈ C∞0(Π), где

Π= [0,+∞) × Rⁿ, выполняется неравенство

∫ [

]

∑

η(u)f_t + T_η′ (ϕ)(u) · ∇_xf + T_η′ (A)(u) · D2xf - fη^′′(u) (div_xB_i(u))2

dt dx +

i=1

∫

+ η(u₀(x))f(0,x)dx ≥ 0.

(9)

Rⁿ

Как показано в [1], в случае непрерывного по Липшицу вектора потока э.р. задачи (1), (4)

всегда существует и единственно. В нашем случае, когда вектор потока лишь непрерывен,

а матрица диффузии может вырождаться на целом интервале, свойство единственности мо-

жет нарушаться, в случае законов сохранения (2) это было показано в работах [5, 6]. В ста-

тье [4] установлено существование единственных наибольшего и наименьшего э.р. задачи (1),

(4), откуда легко выводится единственность э.р. в случае периодических начальных данных.

В работе [7] исследовался более общий случай почти периодической (в смысле Безиковича)

начальной функции.

Напомним (см., например, [8, гл. 5, § 10]), что пространство Безиковича B^p(Rⁿ), p ≥ 1 - это

замыкание (по указанной ниже норме N_p) тригонометрических многочленов, т.е. конечных

сумм

^∑a_λe2πiλ·x, i² = -1, λ ∈ Rⁿ, в фактор-пространстве B^p(Rⁿ)/Bp0(Rⁿ), где

B^p(Rⁿ) = {u ∈ Lploc(Rⁿ) : N_p(u) < +∞}, Bp0(Rⁿ) = {u ∈ Lploc(Rⁿ) : N_p(u) = 0},

(

∫

)1/p

N_p(u) = lim sup R-n

|u(x)|^p dx

R→∞

C_R

- средняя “ L^p-норма” функции u = u(x). Здесь C_R = {x ∈ Rⁿ : |x|_∞

= max |x_i| < R/2} -

i=1,n

n-мерный куб со стороной R > 0. Пространство B^p(Rⁿ), снабжённое нормой N_p, является

банаховым пространством, которое изоморфно пополнению пространства Бора AP (Rⁿ) рав-

номерно почти периодических функций по норме N_p.

Известно, что пространства B^p(Rⁿ) сужаются с ростом p ≥ 1 (так что B¹(Rⁿ) является

самым “большим” среди пространств Безиковича), и что для любой функции u ∈ B¹(Rⁿ)

существуют среднее значение

∫

- u(x) dx

= lim R^-n

u(x) dx,

R→+∞

Rⁿ

C_R

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

О ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

1363

а также более общие коэффициенты Бора-Фурье

∫

a_λ = - u(x)e-2πiλ·x dx, λ ∈ Rⁿ.

Rⁿ

Напомним, что множество

Sp (u) = {λ ∈ Rⁿ : a_λ = 0}

называется спектром почти периодической функции u(x, t) и является не более чем счётным

множеством в Rⁿ. Обозначим через G(u) наименьшую аддитивную подгруппу пространства

Rⁿ, содержащую Sp(u), это также счётное множество (конечно, если оно отлично от нулевой

подгруппы). В статье [7] доказана следующая

Теорема 1. Пусть u₀(x) ∈ B¹(Rⁿ)

^⋂L^∞(Rⁿ) - ограниченная почти периодическая на-

чальная функция, u(t, x) - э.р. задачи (1), (4). Тогда u(t, · ) ∈ B¹(Rⁿ)

^⋂L^∞(Rⁿ) и G(u(t,·)) ⊂

⊂ G(u₀) для п.в. t > 0.

В [7] также доказана и единственность э.р. (в пространстве L^∞(R₊, B¹(Rⁿ)). В данной

работе докажем единственность э.р. в более общей постановке, когда задача (1), (4) формули-

руется в рамках теории уравнений на боровском компакте B_n.

1. Компактная группа Бора B_n. Известно (см., например, [9, гл. 1, § 8]), что боров-

ский компакт B_n - это компактная абелева группа, совпадающая со спектром (простран-

ством максимальных идеалов) алгебры AP (Rⁿ) равномерно почти периодических функций

Бора. Имеется непрерывный групповой мономорфизм b : Rⁿ → B_n, задаваемый тождеством

f (b(x)) = f(x) для всех f ∈ AP (Rⁿ), где f

f - преобразование Гельфанда (так что

f “про-

бегает” все непрерывные функции на B_n). При этом образ b плотен в B_n. Можно показать,

что группа B_n изоморфна (B₁)ⁿ, где B₁ - стандартный “одномерный” боровский компакт.

Обозначим через m меру Хаара на B_n, которая представляет собой функционал среднего

значения, т.е. для любой почти периодической функции v(x) ∈ AP (Rⁿ)

∫

v(x) dm(x) = - v(x) dx.

Rⁿ

В частности, для любого p ≥ 1 справедливы равенства

∫

|v(x)|^p dm(x) =

(|v(x)|^p)^∧ dm(x) = - |v(x)|^p dx,

Rⁿ

откуда следует, что преобразование Гельфанда допускает единственное непрерывное продол-

жение до изоморфизма B^p(Rⁿ) → L^p(B_n, m), p ≥ 1. Сохраним как обозначение u → û, так

и наименование “преобразование Гельфанда” для этого изоморфизма. Как показано в статье

[10, лемма 4.1], при преобразовании Гельфанда пространство B¹(Rⁿ)

^⋂L^∞(Rⁿ) переходит в

пространство L^∞(B_n, m). Для полноты изложения приведём это свойство с доказательством.

Лемма 1. Функция u(x) принадлежит пространству B¹(Rⁿ)

^⋂L^∞(Rⁿ) тогда и только

тогда, когда û(x) ∈ L^∞(B_n, m).

Доказательство. По свойствам преобразования Гельфанда h(u) = h(û) при всех u =

= u(x) ∈ AP (Rⁿ), h = h(u) ∈ C(R). Если функция h(u) непрерывна по Липшицу, то отобра-

жения u → h(u), u → h(u) непрерывны на B¹(Rⁿ) и совпадают на плотном подпространстве

AP (Rⁿ). Поэтому эти отображения равны, т.е. h(u) = h(u) для всех u = u(x) ∈ B¹(Rⁿ),

откуда следует, что

∫

− h(u(x)) dx = h(u)(x) dm(x) = h(u(x)) dm(x).

Rⁿ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

5^∗

1364

ПАНОВ

Подставив в это равенство h(u) = (|u| - M)⁺ = max(0, |u| - M), M ≥ 0, получим, что

∫

- (|u(x)| - M)⁺ dx =

(|û(x)| - M)⁺ dm(x).

(10)

Rⁿ

Если u(x) ∈ B¹(Rⁿ)

^⋂L^∞(Rⁿ) и M = ∥u∥_∞, то из (10) следует, что |û(x)| ≤ M m-п.в. на

∥û∥_∞ ≤ M. Обратно, если û ∈ L^∞(B_n,m), M = ∥û∥_∞, то

∫n, а значит, û ∈ L∞(Bn,m),

-_Rn(|u(x)| - M)⁺ dx = 0.

Рассмотри∫м функцию v(x) = max(-M, min(M, u(x))) ∈ B1(Rn)

^⋂L^∞(Rⁿ). Очевидно, что

N₁(u - v) =

-_Rn(|u(x)| - M)⁺ dx = 0. Поэтому функции u и v совпадают в пространстве

B¹(Rⁿ). Итак, u ≡ v ∈ B¹(Rⁿ)

^⋂L^∞(Rⁿ), что и требовалось доказать.

Из доказательства леммы 1 имеем

∥û∥_∞ = min{∥v∥_∞ : v ∈ L^∞(Rⁿ), v = u в B¹(Rⁿ)}.

Для почти периодических функций Бора u(x) ∈ AP (Rⁿ) преобразование Гельфанда û(x) яв-

ляется единственным непрерывным продолжением u(x) на B_n, так что u(x) = û(x) на Rⁿ.

Поэтому мы вправе отождествить функции u(x) и û(x) и будем опускать знак ˆ преобра-

зования Гельфанда. Для элементов пространств Безиковича их продолжение на группу Бора

(как функций) рассматривать бессмысленно, поскольку Rⁿ является, как нетрудно видеть,

множеством нулевой m-меры, так что здесь целесообразно сохранить знак преобразования

Гельфанда.

Заметим, что коэффициенты Бора-Фурье функции u(x) совпадают с коэффициентами

Фурье û(x) по группе характеров e2πiλ·x, λ ∈ Rⁿ, т.е.

∫

a_λ =

û(x)e-2πiλ·x dm(x).

Следующее свойство почти периодических функций также хорошо известно (см., например,

[10, лемма 4.2]).

Лемма 2. Пусть v(x) ∈ B¹(Rⁿ), g(y) ∈ C₀(Rⁿ). Тогда справедливо равенство

∫

lim R^-n

v(x)g(x/R) dx = c_g

v(x) dm(x),

R→+∞

Rⁿ

∫

где c_g =Rn g(y) dy.

Доказательство. Выберем k > 0 так, что supp g содержится в кубе C_k и пусть M =

= ∥g∥_∞. Тогда



∫



∫



im sup R^-n

v(x)g(x/R) dx

Mkn limsup(kR)^-n

|v(x)| dx = Mkⁿ∥v∥_B1(Rn₎.

l

≤

R→+∞

Rⁿ

C_kR

Ввиду этой оценки и плотности множества тригонометрических многочленов в пространстве

B¹(Rⁿ) = L¹(B_n,m) утверждение леммы достаточно доказать для функций v(x) = e2πiλ·x,

λ ∈ Rⁿ. Сделав замену y = x/R, получим

{

∫

λ = 0,

R^-n v(x)g(x/R)dx =

e2πiRλ·yg(y)dy

→

=c_g

v(x) dm(x),

R→+∞ c_g

λ=0

Rⁿ

поскольку e2πiRλ·y

⇀ 0 ∗-слабо в L^∞(Rⁿ), если λ = 0. Лемма доказана.

R→+∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

О ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

1365

Пусть H ⊂ Rⁿ является счётно-мерным линейным подпространством над полем рацио-

нальных чисел Q и Λ = {λ_j }∞j=1 - его базис. Определим соответствующую Λ последователь-

ность ядер Бохнера-Фейера

(

)

∑

∏

∑

∏

|k_j |

⁽ 2π

sin²(π(r + 1)λ_j · x)

Φ_r(x) =

exp

k_jλ_j · x

(r + 1)!

((r + 1)!)^r

sin²(πλ_j · x/r!)

k∈Z^r

j=1

|k|∞<(r+1)!

Эти ядра являются тригонометрическими многоч

∫

жение на группу B_n. Заметим, что Φ_r(x) ≥ 0 иBn Φ_r(x) dm(x) = 1. Следующее свойство

также содержится в работе [10], приведём его с доказательством.

Лемма 3. Пусть v(x) ∈ B¹(Rⁿ), Sp (v) ⊂ H. Тогда

∫

lim

|v(x) - v(y)|Φ_r(x - y) dm(x) dm(y) = 0.

(11)

r→∞

Bn×Bn

Доказательство. Для любого ε > 0 найдётся тригонометрический многочлен w(x) =

∑

= λ∈S^aλe2πiλ·x такой,чтоS=Sp(w)⊂Sp(v)и∥v-w∥L¹(Bn)<ε/2.Таккак,очевидно,

||v(x) - v(y)| - |w(x) - w(y)|| ≤ |v(x) - w(x)| + |v(y) - w(y)|,

то



∫



|v(x) - v(y)|Φ_r(x - y) dm(x) dm(y) -

|w(x) - w(y)|Φ_r(x - y) dm(x) dm(y)



≤

Bn×Bn

∫

(∫

)

∫

(∫

)

≤

|v(x) - w(x)|

Φ_r(x - y)dm(y) dm(x) +

|v(y) - w(y)|

Φ_r(x - y)dm(x) dm(y) =

∫

|v(x) - w(x)| dm(x) +

|v(y) - w(y)| dm(y) = 2

|v(x) - w(x)| dm(x) < ε.

(12)

Заметим далее, что

∫

∑

|w(x) - w(y)|Φ_r(x - y) dm(y) ≤

|a_λ|

|e2πiλ·x - e2πiλ·y|Φ_r(x - y) dy =

λ∈S

∫

∑

|a_λ|

|e2πiλ·(x-y) - 1|Φ_r(x - y) dm(y) =

|a_λ|

|e2πiλ·z - 1|Φ_r(z) dm(z)= I_r.

(13)

λ∈S

Так как функция h_λ(z) = |e2πiλ·z - 1| является равномерно почти периодической функци-

ей Бора и её спектр лежит в H, то последовательность средних Бохнера-Фейера сходится

равномерно по x к этой функции, т.е.

∫

(h_λ)_r(x) = - |e2πiλ·(x-z) - 1|Φ_r(z)dz = h_λ(x - z)Φ_r(z) dm(z)

→

h_λ(x).

r→∞

Rⁿ

В частности,

∫

(h_λ)_r(0) = h_λ(-z)Φ_r(z) dm(z) = h_λ(z)Φ_r(z) dm(z)

→

h_λ(0) = 0.

r→∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1366

ПАНОВ

Отсюда, с учётом конечности множества S, следует, что I_r → 0 при r → ∞. Ввиду (13)

последовательность интегралов

∫

|w(x) - w(y)|Φ_r(x - y) dm(y)

→ 0

r→∞

равномерно по x ∈ B_n, поэтому

∫

lim

|w(x) - w(y)|Φ_r(x - y) dm(x) dm(y) = 0.

r→∞

Bn×Bn

Из последнего соотношения и (12) вытекает оценка

∫

lim sup

|v(x) - v(y)|Φ_r(x - y) dm(x) dm(y) ≤ ε,

r→∞

Bn×Bn

откуда, с учётом произвольности ε > 0, и следует равенство (11). Лемма доказана.

Следствие. Если ω(r) - непрерывная функция на промежутке [0, +∞), такая что

ω(r) ≥ ω(0) = 0, а v(x) ∈ L^∞(B_n, m), Sp (v) ⊂ H, то

∫

lim

ω(|v(x) - v(y)|)Φ_r(x - y) dm(x) dm(y) = 0.

(14)

r→∞

Bn×Bn

Доказательство. Пусть M = ∥v∥_∞ и ε > 0. Тогда найдётся такая константа C > 0, что

ω(r) ≤ ε + Cr для любого r ∈ [0, 2M].

(15)

Действительно, выберем δ > 0 так, что ω(r) < ε при 0 ≤ r < δ. Легко проверить, что тогда

неравенство (15) выполнено при C = δ-1 max ω(r). В силу (15) и леммы 3 приходим к

δ≤r≤2M

соотношению

∫

lim sup

ω(|v(x) - v(y)|)Φ_r(x - y) dm(x) dm(y) ≤

r→∞

Bn×Bn

∫

≤ ε + C lim

|v(x) - v(y)|Φ_r(x - y) dm(x) dm(y) = ε,

r→∞

Bn×Bn

и тогда равенство (14) следует из произвольности ε > 0.

2. Распределения на B_n. Уравнение (1) на боровском компакте. Полезно сфор-

мулировать уравнение (1) как уравнение на группе B_n, понимаемое в смысле распределе-

ний. Введём сначала частные производные f_t, fxi , i = 1, n, функции f(t, x) на множестве

= R₊ × B_n, задаваемые классическими поточечными предельными соотношениями

f (t + h, x) - f(t, x)

f (t, x + he_i) - f(t, x)

f_t(t,x) = lim

fxi(t,x) = lim

h→0

где t > 0, x ∈ B_n, а e_i, i = 1, n, - стандартный базис пространства Rⁿ. Индуктивно

определяются и производные высших порядков

|α|

∂

D^αf(t,x) =

∂^α0 t∂^α1 x₁ ··· ∂^αn x_n

∑_n

где α = (α₀, . . . , α_n) ∈ Zn+1 - мультииндекс порядка |α| =

α_i. Стандартным образом

i=0

определяются пространства C^r(Q), Cr0(Q). Из инвариантности мер dt и m относительно

сдвигов следует, что имеет место равенство

∫

fxig dtdm(x) + fgxi dtdm(x) = (fg)xi dtdm(x) = 0, i = 0,n,

(16)

для любых гладких финитных функций f, g ∈ C¹⁰(Q).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

О ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

1367

Рассмотрим пространство C∞0(Q) бесконечно дифференцируемых функций с компактным

носителем на Q. Элементы этого пространства можно определить как функции f(t, x) ∈

∈ C^∞(Π), носитель которых содержится в множестве вида I × Rⁿ, где I ⊂ R₊ - отрезок, и у

которых все частные производные являются равномерно почти периодическими функциями по

пространственным переменным x. Пространство обобщённых функций D^′(Q) определяется

как пространство линейных непрерывных функционалов на локально выпуклом пространстве

основных функций C∞0(Q). Как обычно, функции u(t, x) ∈ L^1loc(Q, dt × m) вкладываются в

D^′(Q) в соответствии с тождеством

∫

〈u, f〉 = u(t, x)f(t, x) dt dm(x), f = f(t, x) ∈ C∞0(Q).

Стандартным образом определяются обобщённые производные 〈Dαu, f〉 = (-1)|α|〈u, Dαf〉.

В случае u, v = D^αu ∈ L^1loc(Q, dt × m) справедливо тождество

∫

u(t, x)D^αf(t, x) dt dm(x) = (-1)^|α| v(t, x)f(t, x) dt dm(x)

для любых функций f(t, x) ∈ C∞0(Q). Заметим, что для обычных производных это тождество

легко следует из равенства (16).

Сформулируем понятие э.р. задачи Коши для уравнения (1)

v_t + div_x(ϕ(v) - a(v)∇_xv) = 0, v = v(t,x), (t,x) ∈ Q,

(17)

рассматриваемого на множестве Q, с начальным условием

v(0, x) = v₀(x) ∈ L^∞(B_n, m).

(18)

Следующее определение фактически повторяет определение 1.

Определение 2. Функция v = v(t, x) ∈ L^∞(Q, dt × m) называется э.р. задачи (17), (18),

если:

(i) для всех i = 1, r распределение

div_xB_i(v(t, x)) ∈ L^2loc(Q);

(ii) для любой функции s(u) ∈ C¹(R), i = 1, r

div_xT_s(B_i)(v(t, x)) = s(v(t, x))div_xB_i(v(t, x)) в D^′(Q);

(iii) для любой выпуклой функции η(u) ∈ C²(R) (энтропии)

∑

η(v)_t + div_xT_η′ (ϕ)(v) - D2x · T_η′ (A)(v) + η^′′(v)

(div_xB_i(v))² ≤ 0 в D^′(Q);

(19)

i=1

(iv) ess limv(t, · ) = v0 в L1(Bn, m).

t→0

Заметим, что энтропийное соотношение (19) означает, что для любой неотрицательной

пробной функции f = f(t, x) ∈ C∞0(Q) выполняется неравенство

∫ [

]

∑

η(v)f_t + T_η′ (ϕ)(v) · ∇_xf + T_η′ (A)(v) · D2xf - fη^′′(v)

(div_xB_i(v))2 dt dm(x) ≥ 0.

(20)

i=1

Пространство L^∞(Q, dt × m) по определению состоит из измеримых функций на множе-

стве Q. На самом деле, это довольно сильное ограничение. Например, при n = 1 ограниченная

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1368

ПАНОВ

аналитическая функция v(t, x) = sin tx при естественном её продолжении на Q (со свойством

непрерывности по x) перестаёт быть даже измеримой ∫по мере dt × m). Действительно, для

любой вещественной функции g(x) ∈ L¹(B₁) интеграл

v(t, x)g(x) dm(x) = 0 для всех t, за

B₁

исключением не более чем счётного мн∫жества t ∈ (2π)-1 Sp (g). Предположив, что функция

v(t, x) измерима на Q, получим, что_Q v(t, x)q(t)g(x) dt dm(x) = 0 при всех q(t) ∈ L¹(R₊),

g(x) ∈ L¹(B₁). Так как конечные линейные ко∫бинации функций f(t, x) = q(t)g(x) плотны в

пространстве L¹(Q), приходим к тождеству_Q v(t, x)f(t, x) dt dm(x) = 0 при всех f(t, x) ∈

∈ L¹(Q), откуда имеем v(t,x) = 0 dt × m -п.в., что противоречит равенству

∫

|v(t, x)|² dm(x) =

(1 - cos 2tx) dm(x) =

для любого t > 0.

3. Существование энтропийного решения. Докажем сначала существование э.р. зада-

чи (17), (18). Для этого выберем функцию u₀(x) ∈ B¹(Rⁿ)

^⋂L^∞(Rⁿ) так, что в соответствии

с леммой 1 v₀ = û₀(x). По теореме 1 существует э.р. u = u(t, x) ∈ L^∞(R₊, B¹(Rⁿ))

^⋂L^∞(Π)

задачи (1), (4). Положим v(t, x) =

u(t, · )(x). Измеримость функции v(t, x) на множестве Q

вытекает из следующего ниже результата о её правосторонней непрерывности по временной

переменной в метрике L¹(B_n). Определим множество

E₁ = {t ≥ 0 : (t,x) - точка Лебега функции u(t,x) для п.в. x ∈ Rⁿ}.

Как показано в работе [10, лемма 1.2],∫ E₁ - множество полной меры в R₊ и t ∈ E₁ является

общей точкой Лебега функций t →Rn u(t, x)ρ(x) dx, ρ(x) ∈ L¹(Rⁿ). Ввиду ограниченно-

сти u(t, x) множество E₁ не уменьшится при замене u(t, x) на ∫(u(t, x)), где η(u) ∈ C(R).

Поэтому точки t ∈ E₁ также будут точками Лебега функций t →Rn η(u(t, x))ρ(x) dx, ρ(x) ∈

∈ L¹(Rⁿ), η(u) ∈ C(R). Обозначим через E множество значений t ∈ E₁ со свойствами

u(t, · ) ∈ B¹(Rⁿ)

^⋂L^∞(Rⁿ), G(u(t,·)) ⊂ G(u₀). По теореме 1 множество E имеет полную меру

на промежутке [0, +∞). При этом, как следует из начального условия (iv) определения 1,

0∈E.

Предложение 1. При любом t₀ ∈ E справедливо соотношение

∫

lim

|v(t, x) - v(t₀, x)| dm(x) = 0.

(21)

E∋t→t₀+

Доказательство. Заметим, прежде всего, что из энтропийного условия (7) следует, что

для любой выпуклой функции η(u) ∈ C²(R) имеет место неравенство

η(u)_t + div_xT_η′ (ϕ)(u) - D2x · T_η′ (A)(u) ≤ 0 в D^′(Π).

(22)

∫+∞

Пусть функция ρ(s) ∈ C∞0(R) такова, что supp ρ(s) ⊂ [0, 1], ρ(s) ≥ 0,

ρ(s)ds = 1.

-∞

Положим при ν ∈ N

∫t

∫

νt

δ_ν(s) = νρ(νs), θ_ν(t) = δ_ν(s)ds = ρ(s)ds.

Очевидно, что последовательность δ_ν (s) сходится при ν → ∞ к δ-мере Дирака слабо в

пространстве D^′(R), а последовательность θ_ν (t) - поточечно к функции Хевисайда θ(t). При

t₁ > t₀ > 0 положим χ_ν(t) = θ_ν(t - t₀) - θ_ν(t - t₁). Тогда χ_ν(t) ∈ C∞0(R⁺), 0 ≤ χν(t) ≤ 1

и последовательность χ_ν (t) поточечно сходится при ν → ∞ к индикаторной функции χ(t)

интервала (t₀, t₁]. Применим соотношение (22) к пробной функции f = χ_ν (t)p(x), где p(x) ∈

∈ C∞0(Rⁿ), p(x) ≥ 0. После элементарных преобразований получим, что

∫

η(u)(δ_ν (t - t₀) - δ_ν (t - t₁))p(x) dt dx+

[T_η′ (ϕ)(u) · ∇_xp(x) + T_η′ (A)(u) · D2xp(x)]χ_ν (t) dt dx ≥ 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

О ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

1369

∫

Если t₀, t₁ ∈ E, то эти точки являются точками Лебега функции I(t)

= Rnη(u(t,x))p(x)dx,

и из полученного выше соотношения в пределе при ν → ∞ следует неравенство

∫

I(t₁) - I(t₀) ≤

[T_η′ (ϕ)(u) · ∇_xp(x) + T_η′ (A)(u) · D2xp(x)] dx ≤

(t₀,t₁)×Rⁿ

∫

≤ C(t₁ - t₀)

(|∇p(x)| + |D2xp(x)|) dx

(23)

Rⁿ

(здесь и ниже |v| обозначает евклидову норму конечномерного вектора v), где константа

C = max (|T_η′(ϕ)(u)| + |T_η′(A)(u)|), M = ∥u∥_∞.

|u|≤M

Пусть g = g(x) ∈ C∞0(Rⁿ), h = h(x) ∈ C^∞(B_n) (так что сужение этой функции на Rⁿ явля-

ется равномерно почти периодической функцией вместе со всеми её частными производными),

g,h ≥ 0. При R > 0 подставим p(x) = R^-ng(x/R)h(x) в (23). Учитывая, что

∇p(x) = R^-ng(x/R)∇h(x) + h(x)R-n-1∇_yg(x/R), D²g(x) = R^-ng(x/R)D2xh(x) +

+ R-n-1(∇_yg(x/R)

^⊗ ∇h(x) + ∇h(x)^⊗ ∇_yg(x/R)) + R-n-2h(x)D2yg(x/R),

получим

(

∫

)

I_R(t₁) - I_R(t₀) ≤ C(t₁ - t₀) R-n

(|∇h(x)| + |D2xh(x)|)g(x/R) dx + C₁/R

≤

Rⁿ

≤ C(t₁ - t₀)[c_g(∥∇h∥_∞ + ∥D2xh∥_∞) + C₁/R], C₁ = const,

(24)

где обозначено

∫

I_R(t) = R-n η(u(t, x))h(x)g(x/R) dx.

Rⁿ

∫

Заметим, что c_g =Rn g(y) dy > 0 (считаем, что g ≡ 0). Так как u(t, x) ∈ B¹(Rⁿ)

^⋂L^∞(Rⁿ)

при t = t₀, t₁, то также и η(u(t, x))h(x) ∈ B¹(Rⁿ)

^⋂L^∞(Rⁿ). По лемме 2 имеем

∫

lim

I_R(t_i) = c_g η(v(t,x))h(x)dm(x), i = 0,1.

R→+∞

Поэтому из (24) в пределе при R → +∞ вытекает оценка

∫

η(v(t₁, x))h(x) dm(x) - η(v(t₀, x))h(x) dm(x) ≤ C_h(t₁ - t₀),

C_h = C(∥∇h∥_∞ + ∥D2xh∥_∞) = const,

из которой следует, что

∫

lim sup

η(v(t, x))h(x) dm(x) ≤ η(v(t₀, x))h(x) dm(x).

(25)

E∋t→t₀+

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1370

ПАНОВ

Так как любая выпуклая непрерывная функция может быть равномерно на любом отрезке

аппроксимирована выпуклыми функциями η(u) ∈ C²(R), то оценка (25) верна для всех вы-

пуклых η(u) ∈ C(R). В частности, при η(u) = |u - k|, k ∈ R, получим, что

∫

lim sup

|v(t, x) - k|h(x) dm(x) ≤

|v(t₀, x) - k|h(x) dm(x).

(26)

E∋t→t₀+

Так как обе части этого неравенства непрерывно зависят от h ∈ C^∞(B_n) по норме L¹(B_n), в то

время как пространство C^∞(B_n) плотно в L¹(B_n), то неравенство (26) справедливо для всех

неотрицательных функций h(x) ∈ L¹(B_n) и для всех k ∈ R. Поскольку v(t₀, x) ∈ L^∞(B_n) ⊂

⊂ L¹(B_n), то для любого ε > 0 найдётся ступенчатая функция

∑

w(x) = k_iχAi (x),

i=1

где χAi (x) - индикаторные функции разбивающих B_n и попарно не пересекающихся измери-

мых множеств A_i ⊂ B_n, i = 1, m, такая, что ∥v(t₀, x) - w∥₁ < ε. Из (26) следует, что

∫

∑∫

lim sup

|v(t, x) - w(x)| dm(x) = lim sup

|v(t, x) - k_i|χAi (x) dm(x) ≤

E∋t→t₀+

E∋t→t₀+ i=1

∫

∑

≤

|v(t₀, x) - k_i|χAi (x) dm(x) =

|v(t₀, x) - w(x)| dm(x) < ε,

i=1

откуда

∫

lim sup

|v(t, x) - v(t₀, x)| dm(x) ≤

E∋t→t₀+

∫

≤ lim sup

|v(t, x) - w(x)| dm(x) +

|w(x) - v(t₀, x)| dm(x) < 2ε.

E∋t→t₀+

Ввиду произвольности ε > 0

∫

lim

|v(t, x) - v(t₀, x)| dm(x) = 0,

E∋t→t₀+

что и требовалось доказать.

Из соотношения (21) следует, что найдётся последовательность конечных сумм

^∑v_i(x)χ_i(t)

(простых функций), где v_i ∈ L^∞(B_n), а χ_i(t) - индикаторные функции интервалов, которая

почти всюду сходится к функции v(t, x). Так как простые функции измеримы на Q, получаем

измеримость и предельной функции v = v(t, x). Таким образом, v ∈ L^∞(Q). Проверим теперь

условия (i), (ii) определения 2.

Предложение 2. Функция v = u(t, · )(x) удовлетворяет условиям (i), (ii) определения 2.

При этом для всех i = 1,r распределения

∑

∂

div_xB_i(v(t, x)) =

B_ij(v(t,x)) ∈ L²(Q)

∂x_j

j=1

и для всех s(u) ∈ C(R), s(u) ≥ 0, f = f(t,x) ∈ C₀(Q), f ≥ 0 справедливо неравенство

∫

c_g

s(v(t, x))(div_xB_i(v(t, x)))²f dt dm(x) ≤

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

О ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

1371

∫

≤ lim inf R^-n

s(u(t, x))(div_xB_i(u(t, x)))²f(t, x)g(x/R) dt dx,

(27)

R→∞

∫

где g(y) ∈ C∞0(Rⁿ), g ≥ 0 и c_g =Rn g(y) dy.

Доказательство. Применим соотношение (9) с η(u) = u²/2 к пробной функции f =

= R^-ng(x/R)(1 - θ_ν(t - T)), где g(y) ∈ C∞0(Rⁿ), g ≥ 0, T ∈ E. Перейдём затем к пределу

при ν → ∞ и получим неравенство (в котором Π_T = (0, T ) × Rⁿ)

∫

∑

R^-n

(div_xB_i(u(t, x)))2g(x/R) dt dx - R-n-1

T_u(ϕ)(u) · (∇_yg)(x/R)dtdx -

i=1

Π_T

∫

-R-n-2

T_u(A)(u) · (D2yg)(x/R)dtdx ≤

Π_T

∫

-n

R^-n

≤

(u₀(x))²g(x/R) dx -

(u(T, x))²g(x/R) dx ≤

(u₀(x))²g(x/R) dx.

Rⁿ

Далее, перейдём в этом неравенстве к пределу при R → +∞ (тогда после∫ние два интеграла в

левой части исчезнут) и с использованием леммы 2 (напомним, что c_g =Rn g(y) dy) получим

оценку

∫

∑

c_g

lim sup R^-n

(div_xB_i(u(t, x)))²g(x/R) dt dx ≤

(28)

∥v₀∥2L2(Bn,m)^.

R→+∞

i=1

Π_T

Пусть теперь s(u) ∈ C¹(R), f(t, x) ∈ C∞0(Q). Тогда f(t, x)g(x/R) ∈ C∞0(Π) при всех

положительных R, и из условий (i), (ii) определения 1 следует соотношение

∫

R^-n T_s(B_i)(u(t,x)) · ∇_x(f(t,x)g(x/R))dtdx =

∫

= -R^-n s(u)div_xB_i(u(t,x))f(t,x)g(x/R)dtdx.

(29)

В частности, из (29) при s ≡ 1 с помощью неравенства Коши-Буняковского вытекает оценка

 ∫



R^-n B_i(u(t,x)) · ∇_x(f(t,x)g(x/R))dtdx

≤

(

∫

)1/2(

∫

)1/2

≤ R^-n (div_xB_i(u(t, x)))2g(x/R) dt dx

R^-n (f(t,x))²g(x/R)dtdx

(30)

Π_T

где число T > 0 таково, что supp f ⊂ Q_T

= (0, T ) × B_n. Заметим, что по лемме 2 и теореме

Лебега об ограниченной сходимости под знаком интеграла имеют место соотношения

∫

R^-n T_s(B_i)(u(t,x))·∇_x(f(t, x)g(x/R)) dt dx = R-n Ts(Bi)(u(t, x))·(∇xf(t, x))g(x/R) dt dx+

∫

+R-n-1

T_s(B_i)(u(t,x))·(∇_yg)(x/R)f(t,x)dtdx

→

c_g

T_s(B_i)(v(t,x))·∇_xf(t,x)dtdm(x),

R→+∞

∫

R^-n (f(t,x))²g(x/R) dt dx

→

c_g (f(t,x))² dtdm(x),

(31)

R→+∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1372

ПАНОВ

с учётом которых и неравенства (28) из (30) в пределе при R → +∞ следует оценка

∫



√



B_i(v(t,x)) · ∇_xf(t,x)dtdm(x)

C∥f∥_L2(Q,dt×m), C = ∥v₀∥₂/



≤

∫

Поэтому линейный функционал f → -_Q B_i(v(t, x)) · ∇_xf(t, x) dt dm(x) непрерывен в норме

гильбертова пространства L²(Q, dt × m) и по теореме Рисса задаётся скалярным произведе-

нием с некоторым элементом w_i = w_i(t, x) ∈ L²(Q, dt × m). Таким образом,

∫

B_i(v(t,x)) · ∇_xf(t,x)dtdm(x) = - w_i(t,x)f(t,x)dtdm(x)

(32)

для любой функции f(t, x) ∈ C∞0(Q). Это означает, что в пространстве D^′(Q)

div_xB_i(v(t, x)) = w_i(t, x) ∈ L²(Q, dt × m),

что доказывает условие (i), так как i = 1, r произвольно. Из соотношений (29), (31) (при

s ≡ 1) и тождества (32) следует, что при всех f = f(t,x) ∈ C∞0(Q_T)

∫

lim R^-n

div_xB_i(u(t, x))f(t, x)g(x/R) dt dx = c_g w_i(t, x)f(t, x) dt dm(x).

(33)

R→+∞

Π_T

Q_T

С учётом оценки (28) обе части равенства (33) непрерывны по f в норме L²(Q_T ), так что это

равенство остаётся справедливым для функций f ∈ L²((0, T ), B²(Rⁿ)) ⇔

f (t, · )(x) ∈ L²(Q_T ),

т.е. справедливо равенство

∫

lim R^-n

div_xB_i(u(t, x))f(t, x)g(x/R) dt dx = c_g w_i(t, x)f (t, · )(x) dt dm(x).

R→+∞

Π_T

Q_T

В частности, мы можем подставить s(u(t, x))f(t, x) вместо функции f, получив для любой

f = f(t,x) ∈ C∞0(Q_T) тождество

∫

lim R^-n

s(u(t, x))div_xB_i(u(t, x))f(t, x)g(x/R) dt dx = c_g s(v(t, x))w_i(t, x)f(t, x) dt dm(x).

R→+∞

(34)

По условию (ii) определения 1 и соотношений (31) левая часть этого тождества совпадает с

выражением

∫

- lim R^-n

T_s(B_i)(u(t,x))·∇_x(f(t,x)g(x/R))dtdx = -c_g T_s(B_i)(v(t,x))·∇_xf (t, x) dt dm(x),

R→+∞

тогда из (34) следует, что для всех f = f(t, x) ∈ C∞0(Q_T ) выполняется равенство

∫

T_s(B_i)(v(t,x)) · ∇_xf(t,x)dtdm(x) = - s(v(t,x))w_i(t,x)f(t,x)dtdm(x).

Ввиду произвольности T > 0 имеем

div_xT_s(B_i)(v(t, x)) = s(v(t, x))w_i(t, x) = s(v(t, x))div_xB_i(v(t, x)) в D^′(Q),

что доказывает условие (ii).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

О ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

1373

Для доказательства неравенства (27) выберем последовательность p_m ∈ C∞0(Q), m ∈

∈ N, такую, что p_m → w_i при m → ∞ в L²(Q). Из соотношения (34) с пробной функцией

fp_m вместо f и неравенства Коши-Буняковского (по мере R^-ns(u(t,x))f(t,x)g(x/R)dtdx)

следует, что

∫

c_g

s(v(t, x))w_i(t, x)p_m(t, x)f(t, x) dt dm(x) =

^Q∫

= lim R^-n

s(u(t, x))div_xB_i(u(t, x))p_m(t, x)f(t, x)g(x/R) dt dx ≤

R→+∞

(

∫

)1/2

≤ lim inf R^-n

s(u(t, x))(div_xB_i(u(t, x)))²f(t, x)g(x/R) dt dx

R→+∞

(

∫

)1/2

× R^-n s(u(t,x))(p_m(t,x))²f(t,x)g(x/R)dtdx

≤

(

∫

)1/2

≤ lim inf R^-n

s(u(t, x))(div_xB_i(u(t, x)))²f(t, x)g(x/R) dt dx

R→+∞

(

∫

)1/2

× c_g s(v(t,x))(p_m(t,x))²f(t,x)dtdm(x)

где мы также воспользовались леммой 2. Из этого неравенства в пределе при m → ∞ выте-

кает, что

∫

c_g

s(v(t, x))(w_i(t, x))²f(t, x) dt dm(x) ≤

(

∫

)1/2

≤ lim inf R^-n

s(u(t, x))(div_xB_i(u(t, x)))²f(t, x)g(x/R) dt dx

R→+∞

(

∫

)1/2

× c_g s(v(t,x))(w_i(t,x))²f(t,x)dtdm(x)

что эквивалентно неравенству (27). Предложение доказано.

Докажем теперь существование э.р.

Теорема 2. Функция v(t, x) - э.р. задачи (17), (18).

Доказательство. По предложению 1 v(t, x) ∈ L^∞(Q), а по предложению 2 эта функция

удовлетворяет условиям (i), (ii) определения 2. Кроме того, при t₀ = 0 из свойства (21) следует

начальное условие (iv). Таким образом, для завершения доказательства остаётся только про-

верить энтропийное неравенство (iii). Пусть η(u) ∈ C²(R), η^′′(u) ≥ 0, f = f(t, x) ∈ C∞0(Q),

f ≥ 0. Из интегрального неравенства (8) с пробной функцией R^-ng(x/R)f(t,x), где g(y) ∈

∈ C∞0(Rⁿ), g(y) ≥ 0, вытекает соотношение

∫

[

R^-n

η(u)f_t + T_η′ (ϕ)(u) · ∇_xf + T_η′ (A)(u) · D2xf -

]

∑

- fη^′′(u)

(div_xB_i(u))2 g(x/R) dt dx + J(R) ≥ 0,

(35)

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1374

ПАНОВ

где J(R) → 0 при R → ∞. По лемме 2

∫

[

]

R^-n

η(u)f_t + T_η′ (ϕ)(u) · ∇_xf + T_η′ (A)(u) · D2xf g(x/R) dt dx

→

R→∞

∫

[

]

→

c_g

η(v)f_t + T_η′ (ϕ)(v) · ∇_xf + T_η′ (A)(v) · D2xf dt dm(x),

R→∞

а по свойству (27) при s(u) = η^′′(u)

∫

∑

lim inf R^-n

fη^′′(u)

(div_xB_i(u))²g(x/R) dt dx ≥ cg fη′′(v) (divxBi(v))2 dt dm(x).

R→∞

i=1

С учётом этих соотношений из (35) в пределе при R → ∞ следует интегральное энтропийное

неравенство (20). Теорема доказана.

4. Единственность энтропийного решения. Выберем функцию s(σ) ∈ C^∞(R) со свой-

ствами s^′(σ) ≥ 0, s(-σ) = -s(σ), s(σ) = sign σ при |σ| > 1 и положим s_ε(σ) = s(σ/ε), ε > 0.

Очевидно, что s_ε(σ) → sign σ при ε → 0. Пусть теперь v, w ∈ L^∞(Q) - пара функций, удо-

влетворяющих условиям (i), (ii) определения 2. Следующее свойство, установленное в случае

“классического” уравнения (1) в работе [1, лемма 4.2], играет ключевую роль при обосновании

метода удвоения переменных.

Предложение 3. Для любой функции f = f(t, x; τ, y) ∈ C∞0(Q × Q) справедливо соотно-

шение

∫

∑

lim

(s_ε)′(w - v)

div_xB_i(w)div_yB_i(v)f dt dm(x) dτ dm(y) =

ε→0

i=1

Q×Q

∫

∑

sign (w - v)(A_jk(w) - A_jk(v))fxj y_k dt dm(x) dτ dm(y),

(36)

j,k=1

Q×Q

где w = w(t, x), v = v(τ, y).

Доказательство. По цепному свойству (ii) для функции w = w(t, x) при всех i = 1, r

∑

(s_ε)^′(w - v)div_xB_i(w) = div_xT_s′

(ψ^εij )xj в D^′(Q × Q),

ε(·-v)(^Bi)(w)=

j=1

где

∫

ψ^εij = ψ^εij(w,v) = T_s′(·-v)Bij (w) = sε(α - v)bij (α)dα, w = w(t, x), v = v(τ, y).

Перебросив производные на пробную функцию f, имеем

∫

∑

I_ε

= (s_ε)^′(w - v) div_xB_i(w)div_yB_i(v)f dt dm(x) dτ dm(y) =

i=1

Q×Q

∫

∑

ψ^εij(w,v)div_yB_i(v)fxj dtdm(x)dτ dm(y).

(37)

i=1 j=1

Q×Q

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

О ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

1375

Используя теперь цепное свойство (ii) для функции v = v(τ, y), получим соотношение

ψ^εij(w,v)div_yB_i(v) = div_yT_ψε

(w,· )(Bi)(v).

Подставив это соотношение в (37) и перебросив производные на функции fxj , придём к ра-

венству

∫

∑

I_ε =

T_ψε

(38)

(w,· )(Bik)(v)fxj ykdtdm(x)dτdm(y)вD′(Q×Q),

i=1 j,k=1

Q×Q

в котором

∫

T_ψε

(w,· )(Bik)(v) =

ψ^εij(w,β)b_ik(β)dβ.

(39)

Заметим далее, что функции θ(±s)s^′ε(s) слабо в пространстве D^′(R) сходятся при ε → 0 к

δ-функции Дирака (т.е. образуют аппроксимативную единицу). Поэтому

∫w

ψ^εij(w,β) = s^′ε(α - β)b_ij(α)dα →

sign (w - β)b_ij (β) для п.в. β ∈ R.

ε→0

Ввиду ограниченности ψ^εij (w, β) можно применить теорему Лебега об ограниченной сходимо-

сти и получить из (39) предельное соотношение

∫

T_ψε

b_ij(β)b_ik(β)dβ.

(w,· )(Bik)(v) → sign (w - v)

ε→0

∑_r

Просуммировав по i = 1, r и использовав равенства (6),

b_ij(β)b_ik(β) = a_jk(β), получим

i=1

∫

∑

T_ψε

(w,· )(Bik)(v) → sign (w - v)

a_jk(β)dβ = -sign (w - v)(A_jk(w) - A_jk(v)).

ε→0

i=1

Используя это соотношению и теорему Лебега, перейдём к пределу в равенстве (38) и получим

желаемое равенство (36):

∫

∑

lim

I_ε = -

sign (w - v)(A_jk(w) - A_jk(v))fxj y_k dt dm(x) dτ dm(y).

ε→0

j,k=1

Q×Q

Предложение доказано.

Для доказательства единственности э.р. применим параболический вариант метода Круж-

кова удвоения переменных, развитый в случае анизотропных уравнений (1) в работе [1].

Обобщение на случай уравнений (17) на боровском компакте наталкивается на определённые

трудности, связанные с отсутствием аппроксимационной единицы в D^′(B_n). Однако наличия

“частичной” аппроксимационной единицы Φ_r(z), обладающей свойствами аппроксимационной

единицы на основных функциях со спектром из заданного рационального подпространства H

(в соответствии с леммой 3), оказывается достаточно для обоснования метода удвоения пе-

ременных в случае, когда одно из э.р. является преобразованием Гельфанда “обычного” э.р.

и потому обладает свойством стабильности спектра. Для законов сохранения (2) это было

продемонстрировано в статье [10].

Перейдём к формулировке утверждений. Пусть v(t, x) =

u(t, · )(x) - э.р. задачи (17), (18),

полученное из э.р. задачи (1), (4) в соответствии с теоремой 2, а w = w(t, x) ∈ L^∞(Q) -

некоторое э.р. задачи (17), (18) с начальной функцией w₀(x) ∈ L^∞(B_n).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1376

ПАНОВ

Теорема 3. Для п.в. t > 0 справедливо неравенство

∫

|v(t, x) - w(t, x)| dm(x) ≤

|v₀(x) - w₀(x)| dm(x).

(40)

В частности, при w₀ = v₀ из этого свойства следует, что э.р. задачи (17), (18) единст-

венно.

Доказательство. Пусть ε > 0, f = f(t, x; τ, y)∫∈ C∞0(Q × Q). Рассмотрим энтропийное

условие (20) для э.р. w(t, x) с энтропией η_ε(w, v) =

s_ε(σ - v)dσ, v = v(τ,y), где функция

s_ε(σ) = s(σ/ε) была определена выше (см. п. 4). Применив это условие к пробной функции f

и проинтегрировав по дополнительным переменным (τ, y), получим

∫

[

η_ε(w,v)f_t + Tsε(·-v)(ϕ)(w) · ∇xf + Tsε(·-v)(A)(w)·Dxf -

Q×Q

]

∑

- fs^′ε(w - v) (div_xB_i(w))2

dt dm(x) dτ dm(y) ≥ 0.

i=1

Аналогично, меняя ролями э.р. w(t, x), v(τ, y) и переменные (t, x), (τ, y), придём к соотно-

шению

∫

[

η_ε(v,w)f_τ + Tsε(·-w)(ϕ)(v) · ∇yf + Tsε(·-w)(A)(v)·Dyf -

Q×Q

]

∑

- fs^′ε(w - v) (div_yB_i(v))2

dt dm(x) dτ dm(y) ≥ 0,

i=1

здесь использована также чётность функции s^′ε(σ). Складывая полученные соотношения, по-

лучаем неравенство

∫

[(η_ε(w, v)f_t + η_ε(v, w)f_τ ) + (Tsε(·-v)(ϕ)(w) · ∇xf + Tsε(·-w)(ϕ)(v)·∇yf)+

Q×Q

+ (Tsε(·-v)(A)(w) · D^xf + Tsε(·-w)(A)(v) · D^yf)] dt dm(x) dτ dm(y) ≥

∫

∑

≥ fs^′ε(w - v)

[(div_xB_i(w))² + (div_yB_i(v))²] dt dm(x) dτ dm(y) ≥

i=1

Q×Q

∫

∑

≥2

fs^′ε(w - v)

div_xB_i(w) · div_yB_i(v) dt dm(x) dτ dm(y),

(41)

i=1

Q×Q

где последнее неравенство является следствием неравенства Коши a² + b² ≥ 2ab. Перейдём в

(41) к пределу при ε → 0. Нетрудно проверить, что для любой функции g(u) ∈ C(R)

∫w

Tsε(·-v)(g)(w) = (g(w) - g(σ))s^ε(σ - v)dσ → sign (w - v)(g(w) - g(v)).

ε→0

Кроме того, очевидно, что η_ε(w, v) → |w - v| (это также следует из предыдущего соотноше-

ε→0

ния при g(u) = u). В силу симметричности этих предельных величин относительно (w, v)

получим, что левая часть (41) сходится при ε → 0 к интегралу

∫

[|w - v|(∂_t + ∂_τ )f + sign (w - v)(ϕ(w) - ϕ(v)) · (∇_x + ∇_y)f +

Q×Q

+ sign (w - v)(A(w) - A(v)) · (D2x + D2y)f]dtdm(x)dτ dm(y).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

О ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

1377

Правая же часть сходится к

∫

∑

-2

sign (w - v)(A_jk(w) - A_jk(v))fxj y_k dt dm(x) dτ dm(y)

j,k=1

Q×Q

по предложению 3. Итак, из (41) в пределе при ε → 0 вытекает неравенство

∫

[

|w - v|(∂_t + ∂_τ )f + sign (w - v)(ϕ(w) - ϕ(v)) · (∇_x + ∇_y)f +

Q×Q

+ sign (w - v)(A(w) - A(v)) · (D2x + D2y)f +

]

∑

sign (w - v)(A_jk(w) - A_jk(v))fxj y_k dt dm(x) dτ dm(y) ≥ 0.

(42)

j,k=1

Поскольку с учётом симметричности матрицы A

∑

sign (w - v)(A(w) - A(v)) · (D2x + D2y)f + 2

sign (w - v)(A_jk(w) - A_jk(v))fxj y_k =

j,k=1

∑

= sign (w - v)(A_jk(w) - A_jk(v))(fxj x_k + fy_j y_k + fx_j y_k + fx_ky_j ) =

j,k=1

∑

= sign (w - v)(A_jk(w) - A_jk(v))(∂xj + ∂yj )(∂xk + ∂yk )f =

j,k=1

= sign (w - v)(A(w) - A(v)) · (∇_x + ∇_y)

^⊗ (∇_x + ∇_y)f,

то можно записать (42) в виде

∫

[|w - v|(∂_t + ∂_τ )f + sign (w - v)(ϕ(w) - ϕ(v)) · (∇_x + ∇_y)f +

Q×Q

+ sign (w - v)(A(w) - A(v)) · (∇_x + ∇_y)

^⊗ (∇_x + ∇_y)f] dt dm(x) dτ dm(y) ≥ 0.

(43)

Пусть Φ_r(x), r ∈ N, - последовательность ядер Бохнера-Фейера, построенная по базису Q-

линейного пространства H, содержащего Sp (v₀), а δ_ν (s), ν ∈ N, - последовательность (ап-

проксимативная единица), определённая при доказательстве предложения 1. Возьмём в (43)

функцию f = f(t, x; τ, y) = g(t, x)δ_ν (τ -t)Φ_r(y-x), где g = g(t, x) ∈ C∞0(Q), g ≥ 0. Учитывая,

что

(∂_t + ∂_τ )δ_ν (τ - t) = 0,

(∇_x + ∇_y)Φ_r(y - x) = 0,

(∇_x + ∇_y)

^⊗ (∇_x + ∇_y)g = D2xg,

получим

∫

[|w - v|g_t + sign (w - v)(ϕ(w) - ϕ(v)) · ∇_xg +

Q×Q

+ sign (w - v)(A(w) - A(v)) · D2xg]δ_ν(τ - t)Φ_r(y - x)dtdm(x)dτ dm(y) ≥ 0.

(44)

Перейдём в этом неравенстве к пределу сначала при ν → ∞. Очевидны следующие оценки:

||w - v| - |w - v₁|| ≤ |v - v₁|,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1378

ПАНОВ

|sign (w - v)(ϕ(w) - ϕ(v)) - sign (w - v₁)(ϕ(w) - ϕ(v₁)| ≤ 2ω_ϕ(|v - v₁|),

|sign (w - v)(A(w) - A(v)) - sign (w - v₁)(A(w) - A(v₁))| ≤ 2ω_A(|v - v₁|),

(45)

в которых w = w(t, x), v = v(τ, y), v₁ = v(t, y), а

ω_ϕ(r) = max

|ϕ(u) - ϕ(v)|, ω_A(r) = max

|A(u) - A(v)|

u,v∈[-M,M]

|u-v|≤r

– модули непрерывности ϕ(u) и A(u) на отрезке [-M, M], M = max(∥w|_∞, ∥v∥_∞). Далее,

из свойства непрерывности в среднем легко вывести соотношение

∫

lim

ω(|v(t, y) - v(τ, y)|)h(t)δ_ν (τ - t) dt dτ = 0 для п.в. y ∈ B_n,

ν→∞

R₊×R₊

справедливое для любой непрерывной в нуле функции ω(r), такой что 0 = ω(0) ≤ ω(r), и

любой неотрицательной функции h(t) ∈ C₀(R). Это свойство и оценки (45) позволяют перейти

к пределу при ν → ∞ в (44) и получить, что

∫

[|w - v|g_t + sign (w - v)(ϕ(w) - ϕ(v)) · ∇_xg +

R₊×Bn×Bn

+ sign (w - v)(A(w) - A(v)) · D2xg]Φ_r(y - x)dtdm(x)dm(y) ≥ 0,

(46)

где w = w(t, x), v = v(t, y). Снова используя неравенства (45) при w = w(t, x), v = v(t, y),

v₁ = v(t,x) и лемму 3 вместе с её следствием (заметим, что по теореме 1 Sp(v(t,·)) ⊂ G(v₀) ⊂

⊂H дляп.в. t>0), получим,чтопризамен

∫

части неравенства (46) не меняется (так какBn Φ_r(y - x) dm(y) = 1) равен

∫

[|w - v|g_t + sign (w - v)(ϕ(w) - ϕ(v)) · ∇_xg + sign (w - v)(A(w) - A(v)) · D2xg] dt dm(x),

R₊×Bn

где w = w(t, x), v = v(t, x). Итак, в пределе при r → ∞ из (46) следует, что для всех

g = g(t,x) ∈ C∞0(Q), g ≥ 0, выполняется неравенство

∫

[|w - v|g_t + sign (w - v)(ϕ(w) - ϕ(v)) · ∇_xg + sign (w - v)(A(w) - A(v)) · D2xg] dt dm(x) ≥ 0, (47)

т.е.

∂

|w - v| + div_x[sign (w - v)(ϕ(w) - ϕ(v))] - D2x · [sign (w - v)(A(w) - A(v))] ≤ 0 в D^′(Q).

∂t

Подставив в (47) пробную функцию g = g(t) ∈ C∞0(R₊), g ≥ 0, получим, что

∫ (∫

)

|w(t, x) - v(t, x)| dm(x) g^′(t) dt ≥ 0.

Это соотношение означает, что I^′(t) ≤ 0 в пространстве D^′(R₊), где

∫

I(t) =

|w(t, x) - v(t, x)| dm(x).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

О ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

1379

Поэтому для п.в. t > 0

∫

I(t) ≤ I(0)

= ess lim I(t) =

|w₀(x) - v₀(x)| dm(x),

(48)

t→0+

где учтены начальные условия (18) для э.р. w, v. Очевидно, что (48) совпадает с неравен-

ством (40). Теорема доказана.

Как видно из определения 2 и инвариантности меры Хаара m, множество э.р. уравне-

ния (17) инвариантно относительно сдвигов на элементы h ∈ B_n (а не только на элементы

“физического” пространства Rⁿ). Заметим, что значения характеров e2πiλ·x в точке h опреде-

ляют мультипликативный функционал μ_h(λ) на Rⁿ со значениями в единичной комплексной

окружности и сдвиг функции S_hu(x) = u(x+h) сводится к умножению коэффициентов Фурье

a_λ функции u на μ_h(λ). Интересно, что при h ∈ Rⁿ функционал μ_h даже не измерим по

Лебегу. Из теоремы 3 при w = v(t, x + h) следует, что э.р. v(t, x) удовлетворяет для п.в. t > 0

неравенствам

∫

|v(t, x + h) - v(t, x)| dm(x) ≤

|v₀(x + h) - v₀(x)| dm(x), h ∈ B_n.

В частности, если начальная функция v₀ инвариантна относительно сдвига на h, т.е.

v₀(x + h) = v₀(x) m-п.в. на B_n, то и э.р. v задачи (17), (18) обладает этим же свойством

инвариантности: v(t, x + h) = v(t, x) п.в. на Q.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-21-

00344).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Chen G.-Q., Perthame B. Well-posedness for non-isotropic degenerate parabolic-hyperbolic equations

// Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire. 2003. V. 20. P. 645-668.

2. Carrillo J. Entropy solutions for nonlinear degenerate problems // Arch. Ration. Mech. Anal. 1999.

V. 147. P. 269-361.

3. Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными

// Мат. сб. 1970. Т. 81. № 2. С. 228-255.

4. Panov E.Yu. On some properties of entropy solutions of degenerate non-linear anisotropic parabolic

equations // J. Differ. Equat. 2021. V. 275. P. 139-166.

5. Кружков С.Н., Панов Е.Ю. Консервативные квазилинейные законы первого порядка с бесконечной

областью зависимости от начальных данных // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314. № 1. С. 79-84.

6. Kruzhkov S.N., Panov E.Yu. Osgood’s type conditions for uniqueness of entropy solutions to Cauchy

problem for quasilinear conservation laws of the first order // Ann. Univ. Ferrara Sez. VII (N.S.). 1994.

V. 40. P. 31-54.

7. Panov E.Yu. On decay of entropy solutions to nonlinear degenerate parabolic equation with almost

periodic initial data // Lobachevskii J. Math. 2021. V. 42. № 5. P. 974-988.

8. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М., 1953.

9. Гамелин Т. Равномерные алгебры. М., 1973.

10. Panov E.Yu. On the Cauchy problem for scalar conservation laws in the class of Besicovitch almost

periodic functions: global well-posedness and decay property // J. Hyperbolic Differ. Equat. 2016. V. 13.

№ 3. P. 633-659.

Новгородский государственный университет

Поступила в редакцию 22.11.2021 г.

имени Ярослава Мудрого, г. Великий Новгород,

После доработки 22.11.2021 г.

ООО “Центр научных исследований и разработок”,

Принята к публикации 15.08.2022 г.

г. Великий Новгород,

Российский университет дружбы народов,

г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

6^∗